全国百强校教师原创上海交大附中学高一上学期数学精品教学案 ： 命题的形式及等价关系一

一、概念课【教案样例】教学目标：１．知道命题、真命题、假命题，理解命题的推出关系、等价关系，推出关系的传递性；２．在探究命题推出关系的过程中，体会举反例判断假命题的要领，初步会用推出关系的传递性证明一个命题是真命题的方法；３．在认识一些基本的逻辑关系及其运用活动中，体会逻辑语言在数学表达和论证中的作用， 确立真命题必须作出证明的数学意识.教学重点：理解命题的推出关系.教学难点：运用逻辑语言表述和判断假命题、论证真命题.教学过程：２．概念形成：（教学提示：这一环节可采用教师引领下的学生阅读教材或学生阅读教师呈现的PPT 素材，教师引导学生举反例判断假命题用逻辑语言论证真命题，激发学生积极思考、参与教学的热情） （１）命题的构成：在数学中常见的命题由条件与结论两部分组成.如命题“如果2x >，那么24x >”，其中2x >是条件，24x >则是结论.2x y +=，但不满足命题结论11x y ≥≥且.如命题“末两位数是１２的正整数能被４整除”是一个真命题.理由：因为末两位数是１２的正整数可以写成10012k +的形式（*k N ∈），而100124(253)k k +=+，所以10012k +能被４整除.即命题“末两位数是１２的正整数能被４整除”是一个真命题.（４）推出关系：一般地说，如果命题α成立可以推出命题β成立，那么就说由α可以推出β，并用记号“βα⇒”，读作“α推出β”.也就是说，βα⇒表示以α为条件、β为结论的命题是真命题.如果α成立不能推出β成立，记为“βα⇒/”，读作“α推不出β”.换言之，βα⇒/表示以α为条件、β为结论的命题是假命题.（５）等价关系：如果αβ⇒，并且βα⇒，那么记作αβ⇔，叫做α与β等价.数学交流：（１） 阅读教材16P 第１行至第１１行，说一说利用推出关系的传递性证明一个命题是真命题的基本方法.（教学提示：教师概括）（２）推出关系“⇒”是一种关系符号，具有传递性，试举出具有传递性的其他关系符号……３．概念应用（教学提示：采用师生共同完成，或让学生独立完成，再选代表交流，提问是否有不同答案，进一步明晰概念，达成正确理解概念的目的）【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，解答题，中，分析问题解决问题【题目】下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么他们是真命题或是假命题？为什么？（１）个位数是５的自然数能被５整除；（２）凡直角三角形都相似；（３）上课请不要讲话；（４）互为补角的两个角不相等；（５）如果两个三角形的三条边对应相等，那么两个三角形全等；（6）你是高一学生吗？【解答】（略，解答祥见教材）．解题反思：举反例是判断假命题的重要方法；我们必须通过论证来说明一个命题是真命题.【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，中，分析问题解决问题【题目】判断下列各组中命题,αβ的推出关系：（１）:αk 是能被４整除的自然数， :βk 是偶数；（２）:α实数x 满足方程2870x x -+=，:β17x x ==或；（３）:α实数x 满足方程||5x =，:β5x =；【解答】（１） :αk 是能被４整除的自然数，即42(2)()k m m m N ==∈，所以，k 是偶数.即αβ⇒.但β⇒α/.反例：因为6k =是偶数，而不能被４整除.（２） 实数x 满足方程2870x x -+=，可得17x x ==或，即⇒αβ.同样，如果17x x ==或，则有2870x x -+=，即⇒βα.因此，⇔αβ.（３） 若5x =，必有||5x =，即⇒βα.但5x =-满足||5x =，而不满足5x =，即α⇒β/.４．课堂反馈（学生独立完成，教师巡视，提供指导和发现闪光点，获取第一手反馈材料,强化概念的理解和重视概念的应用）（１）教材练习P１．４（１）：１，２．16（２）练习册P习题１．４A组１,２．5５．课堂小结：（让学生用自己的语言归纳小结，并通过补充和订正提高参与度）（１）命题、真命题、假命题；（２）命题的推出关系、等价关系，推出关系的传递性；（３）会用举反例方法判断假命题；确定一个命题是真命题则需要证明.6．作业布置：（基础型）必做题：（１）练习册P１．４A ３；5（２）练习册P１．４B １,２．6（拓展型）选做题：（３）请举出一个或两个具有传递性的关系符号或运算.【情景资源】情景１（新课导入）在初中，我们已经知道，可以判断真假的语句叫做命题.命题通常用陈述句表述.正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．今天，我们将进一步学习运用基本的逻辑关系判断命题的真假，或用初步的逻辑语言论证真命题，我们先学习的“命题与推出关系”（引入新课）……情景２（过渡衔接）我们说一个命题是假命题，只要列举一个反例即可（尽管有千百种理由说明是假命题，但只要一个反例即可，举两个则多余）；那么如果我们说明一个命题是真命题，那我们又应该做什么呢？……情景３（过渡衔接）我们都知道符号“＝、>、<”具有传递性，那么“ ”也是一种符号，它也具有传递性吗？说一说你的想法……【题目资源】【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】【解答】真命题．【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】【解答】真命题．【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】【解答】假命题．【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】【解答】真命题.【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】【解答】假命题.【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】命题．【解答】假命题.【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】【解答】假命题.【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】【解答】假命题.【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】【解答】真命题.【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】已知:αABC ∆是等边三角形；:βABC ∆是轴对称图形.命题,αβ的推出关系是 ．【解答】αβ⇒，但βα⇒/．【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，中，分析问题解决问题【题目】已知:α一次函数(0)y kx b k =+≠的图像经过第一、二、三象限；:β一次函数(0)y kx b k =+≠中0,0k b >>.命题,αβ的推出关系是 ．【解答】αβ⇔.【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】已知:α实数x 满足方程2x x =；:β1x =.命题,αβ的推出关系是【解答】βα⇒，但αβ⇒/．【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】已知x y N ∈、，α：x y +是偶数，β：x 和y 都是偶数. 命题,αβ的推出关系是 ．【解答】βα⇒，但αβ⇒/．【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，解答题，较难，分析问题解决问题【题目】已知α：1a >，β：a >. 命题,αβ的推出关系是 ．【解答】若1a >，则2a a >（两边同乘以a ），即a >.因此，αβ⇒.若a >0a >）两边平方，得2a a >，两边同除以a ，得1a >.于是，有βα⇒. 所以，,αβ的推出关系是αβ⇔.【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】已知m n Z ∈、，α：m n 、均为偶数，β：m n +是偶数. ,αβ的推出关系是 .【解答】αβ⇒，但βα⇒/．【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】【解答】βα⇒，但αβ⇒/.【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】已知a b c R ∈、、且0a ≠，p ：240b ac ->，q :关于x 的方程20ax bx c ++=有实数根. ,p q 的推出关系是 .【解答】p q ⇒，但q p ⇒/.【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】【解答】αβ⇒，但βα⇒/.【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】已知p ：0a ≠，q :0ab ≠. ,p q 的推出关系是 .【解答】q p ⇒，但p q ⇒/.【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，较难，数学探究与创新【题目】对于直角坐标平面上任意两点1122(,)(,)A x y B x y 、，定义他们之间的一种新距离为： 1212||||||AB x x y y =-+-.现给出下列三个命题（点A 、B 、C 均在坐标平面上）中，真命题的是 .（１）若点C 在线段AB 上，则||||||AC CB AB +=；（２）在ABC ∆中，若90C ∠=，则222||||||AC CB AB +=； （３） 在ABC ∆中，||||||AC CB AB +>【解答】（１）是真命题．（２）、（３）都是假命题.。