【精准解析】2021届高考数学人教B版单元检测八 解析几何(提升卷B)
【精准解析】2021届高考数学人教B版单元检测三 导数及其应用(提升卷)
－f(x)<x2＋2x 对 x∈(0，＋∞)恒成立．下列结论正确的是( )
A．2f(2)－3f(1)>5
B．若 f(1)＝2，x>1，则 f(x)>x2＋1x＋1 22
C．f(3)－2f(1)<7
D．若 f(1)＝2,0<x<1，则 f(x)>x2＋1x＋1 22
12．对于定义在 R 上的函数 f(x)，若存在非零实数 x0，使函数 f(x)在(－∞，x0)和(x0，＋∞)
因为 g(x)＝f(x)－k 有 3 个零点，所以 y＝k 与 y＝f(x)的图象有 3 个交点，
上均有零点，则称 x0 为函数 f(x)的一个“折点”．现给出下列四个函数，其中存在“折点”
的函数是( )
A．f(x)＝3|x－1|＋2
B．f(x)＝lg|x＋2 019|
C．f(x)＝x3－x－1 3
D．f(x)＝x2＋2mx－1(m∈R)
第Ⅱ卷(非选择题 共 70 分)
三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上)
C．f′(2)<f(2)－f(1)<f′(1)
D．f′(2)<f′(1)<f(2)－f(1)
2．已知函数 f(x)＝ln x＋x2f′(a)，且 f(1)＝－1，则实数 a 的值为( )
A．－1或 1
B.1
2
2
C．1
D．2
3．(2020·丹东期末)设函数 f(x)＝aln x＋bx2，若函数 f(x)的图象在点(1,1)处的切线与 y 轴垂直，
是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是________．(本题第一空 2 分，第二空 3 分)
16．设实数λ>0，若对任意的 x∈(0，＋∞)，不等式 eλx－ln x≥0 恒成立，则λ的最小值为________． λ
2021新高考高三优质数学试题分项汇编《专题8 平面解析几何》(原卷版)
专题8 平面解析几何纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.预测2021年将保持稳定，一大二小.其中客观题考查圆、椭圆、双曲线、抛物线问题，难度在中等或以下.主观题考查或直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系，相关各种综合问题应有充分准备.一、单选题1．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知点()2,4M 在抛物线C :22y px =(0p >)上,点M 到抛物线C 的焦点的距离是( ) A ．4B ．3C ．2D ．12．（2020·山东高三模拟）已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ）AB ．2C ．4D ．3．（2020届山东省济宁市高三3月月考）过点(的直线将圆()22325x y -+=分成两段圆弧，当两段圆弧中的劣弧所对圆心角最小时，该直线的斜率为( )A ．B C ．-D 4．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）过点()1,2P 的直线与圆221x y +=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．43-C ．0或43D ．435．（2020届山东省高考模拟）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为( )A ．2B ．3C ．2D ．36．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两顶点为1A ，2A ，虚轴两端点为1B ，2B ，两焦点为1F ，2F ，若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，则双曲线的离心率是（ ） A ．51-B ．35+ C ．51+ D ．31+7．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C的左顶点，点P 在过A 且斜率为3的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12 C ．13D ．148．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交C ．外切D ．相离9．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A ．622B 21C ．622D 2110．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为（ ）A ．7112+B ．9+C ．8312D ．9+11．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知双曲线C :22221x y a b -=,(0a >,0b >)的左､右焦点分别为1F ,2F , O 为坐标原点,P 是双曲线在第一象限上的点,1222PF PF m ==,(0m >),212PF PF m ⋅=,则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y x =±D ．y =12．（2020·山东高三下学期开学）已知抛物线2:12C y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且,,A F B 三点共线，则||AF =（ ） A ．12B ．10C ．6D ．813．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣14．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知点()2,4M 在抛物线C :22y px =(0p >)上,点M 到抛物线C的焦点的距离是( ) A ．4B ．3C ．2D ．115．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）过点(的直线将圆()22325x y -+=分成两段圆弧，当两段圆弧中的劣弧所对圆心角最小时，该直线的斜率为( )A ．B C ．-D 16．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为( )A B C ． D ．17．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知双曲线C :22221x y a b-=,(0a >,0b >)的左､右焦点分别为1F ,2F ,O 为坐标原点,P 是双曲线在第一象限上的点,1222PF PF m ==,(0m >),212PF PF m ⋅=,则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．12y x =±B ．y x =±C ．y x =±D ．y =18．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左､右顶点分别是12,A A ，过F 作x 轴的垂线与双曲线交于,B C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A B ．C D 二、多选题19．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 、E ，直线x m =(11)m -<<与椭圆相交于点A 、B ，则（ ）A ．当0m =时，FAB B ．不存在m 使FAB 为直角三角形 C ．存在m 使四边形FBEA 面积最大D ．存在m ，使FAB 的周长最大20．（2020·山东高三模拟）设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点1F 且斜率l 与C 在第一象限相交于一点P ，则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 倾斜角的余弦值为78B ．若112F P F F =，则C 的离心率43e = C ．若212PF F F =，则C 的离心率2e =D ．12PF F △不可能是等边三角形21．（2020届山东省高考模拟）设A ，B 是抛物线2y x 上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是（ ）A ．若OA OB ⊥，则2OA OB ≥ B ．若OA OB ⊥，直线AB 过定点(1,0)C ．若OA OB ⊥，O 到直线AB 的距离不大于1D ．若直线AB 过抛物线的焦点F ，且13AF =，则||1BF =22．（2020届山东省济宁市高三3月月考）设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于,B D 两点，若90ABD ∠=，且ABF ∆的面积为93，则( ) A ．3BF =B ．ABF ∆是等边三角形C ．点 F 到准线的距离为3D ．抛物C 的方程为26y x =23．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ．若抛物线C 上存在一点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3．则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线的方程是22x y = B ．抛物线的准线是1y =- C ．sin QMN ∠的最小值是12D ．线段AB 的最小值是624．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于,B D 两点，若90ABD ∠=，且ABF ∆的面积为93，则( ) A ．3BF =B ．ABF ∆是等边三角形C ．点 F 到准线的距离为3D ．抛物C 的方程为26y x =25．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面m 千米，远地点B （离地面最远的点）距地面n 千米，并且F A B 、、三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为222a b c 、、，则（ ）A ．a c m R -=+B ．a c n R +=+C ．2a m n =+D ．()()b m R n R ++26．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知点P 是双曲线E ：221169x y -=的右支上一点，1F ，2F 为双曲线E 的左、右焦点，12PF F ∆的面积为20，则下列说法正确的是（ ）A ．点P 的横坐标为203 B ．12PF F ∆的周长为803C ．12F PF ∠小于3πD ．12PF F ∆的内切圆半径为3427．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）设椭圆的方程为22124x y +=，斜率k 为的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于,A B 两点，M 为线段AB 的中点.下列结论正确的是（ ）A ．直线AB 与OM 垂直；B ．若点M 坐标为()1,1，则直线方程为230x y +-=；C ．若直线方程为1y x =+，则点M 坐标为13,34⎛⎫⎪⎝⎭D ．若直线方程为2y x =+，则AB =28．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）已知点P 在双曲线22:1169x y C -=上，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，若12PF F ∆的面积为20，则下列说法正确的有（ ） A ．点P 到x 轴的距离为203B ．12503PF PF += C ．12PF F ∆为钝角三角形 D ．123F PF π∠=三、填空题29．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点（O为坐标原点），且AOB 为等腰直角三角形，则实数a 的值为________．30．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．31．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）双曲线2213x y -=的渐近线与直线x =y轴旋转360︒，则所得旋转体的体积为___；表面积为_____32．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．33．（2020届山东省泰安市肥城市一模）在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合.若直线l 与直线l 1关于点（2，3）对称，则直线l 的方程是________________.34．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知直线0x y a -+=与圆22:2o x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为__________；35．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）以双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的右焦点(),0F c 为圆心，a 为半径的圆与C 的一条渐近线交于A ，B 两点，若23AB c =，则双曲线C 的离心率为__________．36．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）对于中心在原点的双曲线，给出下列三个条件： ①离心率为2；②一条渐近线的倾斜角为30；③实轴长为4，且焦点在x 轴上. 写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程________.37．（2020届山东省高考模拟）已知曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点2,6)，则该双曲线的离心率为____________.38．（2020·山东高三下学期开学）已知抛物线24y x =的准线与x 轴的交点为H ，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且PH k PF =，当k 最大时，点P 恰好在以H ，F 为焦点的双曲线上，则k 的最大值为_____，此时该双曲线的离心率为_____．39．（2020届山东省济宁市高三3月月考）设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，直线43200x y -+=过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为,P O 为原点，OP OF =，则双曲线C 的右焦点的坐标为__________；离心率为_________________.40．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）双曲线C ：222210x y a b a b-=（，＞）的左、右焦点为F 1，F 2，直线y =与C 的右支相交于点P ，若|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线C 的离心率为_____；若该双曲线的焦点到其渐_____.41．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点和点()2,P a b 为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C 的离心率为________.42．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知m 是2与8的等比中项，则圆锥曲线221yx m-=的离心率是_____． 四、解答题43．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知直线1x y +=过椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，且交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点是21,33M ⎛⎫⎪⎝⎭，（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线l 与线段AB 相交（不含端点）且交椭圆于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值.44．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）如图，已知抛物线2x y =.点A 1139-2424B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，抛物线上的点P （x,y ）13-x 22⎛⎫ ⎪⎝⎭＜＜,过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q（I ）求直线AP 斜率的取值范围； （II ）求PA?PQ 的最大值45．（2020·山东高三模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为23，离心率12e =，其右焦点为F .（1）求椭圆C 的方程； （2）过F 作夹角为4π的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,P Q 和,M N ，求||||PQ MN 的取值范围.46．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．47．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）如图，点()0,1P -是椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的一个顶点，1C 的长轴是圆222:4C x y +=的直径，1l 、2l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于A 、B 两点，2l 交椭圆1C 于另一点D .（1）求椭圆1C 的方程；（2）求ABD ∆面积的最大值及取得最大值时直线1l 的方程.48．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，且椭圆C 过点32⎛ ⎝⎭．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且与圆：222x y +=交于E 、F 两点，求2AB EF⋅的取值范围．49．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，椭圆C 截直线1y =所得的线段的长度为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若OA OB OD +=，判定四边形OADB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.50．（2020届山东省高考模拟）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，椭圆C 截直线1y =所得的线段的长度为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若OA OB OD +=，判定四边形OADB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.51．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知椭圆()22122:10x y E a b a b+=>>与抛物线22:4E y x =在第一象限的交点为P ，椭圆1E 的左、右焦点分别为12,F F ，其中2F 也是抛物线2E 的焦点，且253PF =. （1）求椭圆1E 的方程；（2）过2F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆1E 于M N 、两点，点A 为椭圆1E 的左顶点，直线AM AN 、分别交直线4x =于点B C 、，求证：2BF C ∠为定值.52．（2020届山东省淄博市高三二模）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ． （Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．53．（2020届山东省泰安市肥城市一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的焦距为2，且过点1,2⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M ，N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为BMN ∆的垂心，若存在，求出直线l 的方程：若不存在，说明理由.54．（2020·山东高三下学期开学）已知12,F F 分别为椭圆22:143x y C +=的左、右焦点，MN 为该椭圆的一条垂直于x 轴的动弦，直线:4m x =与x 轴交于点A ，直线2MF 与直线AN 的交点为B . （1）证明：点B 恒在椭圆C 上.（2）设直线n 与椭圆C 只有一个公共点P ，直线n 与直线m 相交于点Q ，在平面内是否存在定点T ，使得2PTQ π∠=恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由.55．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知抛物线()2:20C y px p =>，直线:1l y x =-与抛物线C 交于A ，B 两点，且8AB =. （1）求抛物线C 的方程；（2）求过点A ，B 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.56．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）给定椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>),称圆心在原点O ,半径为C 的“卫星圆”.若椭圆C 的离心率2,点(在C 上.(1)求椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程;(2)点P 是椭圆C 的“卫星圆”上的一个动点,过点P 作直线1l ,2l 使得1l ⊥2l ,与椭圆C 都只有一个交点,且1l ,2l 分别交其“卫星圆”于点M ,N ,证明:弦长MN 为定值.57．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知椭圆2:2(0)C y px p =>，点F 为抛物线的焦点，焦点F 到直线3x-4y+3=0的距离为d 1，焦点F 到抛物线C 的准线的距离为d 2，且1235d d =。
2021届高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程创新教学案含解析
第八章平面解析几何第1讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程[考纲解读］ 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能根据两条直线的斜率判断这两条直线的平行或垂直关系．（重点)2．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等），并了解斜截式与一次函数的关系．（难点）[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是命题的热点，但很少独立命题．预测2021年高考对本讲内容将考查:①直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；②直线平行与垂直的判定或应用，求直线的方程．试题常以客观题形式考查,难度不大。
1。
直线的斜率(1）当α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，用k表示，即错误!k ＝tanα。
当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．（2)斜率公式给定两点P1(x1,y1）,P2（x2,y2)(x1≠x2)，经过P1,P2两点的直线的斜率公式为错误!k＝错误!.2．直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k与点（x1，y1）错误!y－y1＝k（x－x1)直线不垂直于x轴斜截式斜率k与直线在y轴上的截距b错误!y＝kx＋b直线不垂直于x轴两点式两点（x1,y1），(x2，y2）错误!错误!＝错误!（x1≠x2,y1≠y2)直线不垂直于x轴和y轴截距式直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b错误!错误!＋错误!＝1（a≠0，b≠0)直线不垂直于x轴和y轴,且不过原点一般式—错误!Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）任何情况1．概念辨析（1）直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α。
( )（2）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(3）经过点P（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．( ）(4)经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)（x2－x1）＝(x－x1）（y2－y1)表示．（）答案(1）×(2)×（3)×（4）√2．小题热身(1）直线l经过原点和点（－1，－1),则直线l的倾斜角是( ）A．45° B．135°C．135°或225° D．60°答案A解析由已知,得直线l的斜率k＝错误!＝1，所以直线l的倾斜角是45°.(2）在平面直角坐标系中，直线错误!x＋y－3＝0的倾斜角是（)A.错误!B。
数学一轮复习第八章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题第1课时最值范围证明问题学案含解析
第九节圆锥曲线的综合问题最新考纲考情分析1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．2．了解圆锥曲线的简单应用．3．理解数形结合的思想.1.直线与椭圆、抛物线的位置关系是近几年高考命题的热点．2．考查知识有直线与椭圆、抛物线相交，涉及弦长、中点、面积、对称、存在性问题．3．题型主要以解答题的形式出现,属中高档题。
知识点一直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0（A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y（也可以消去x）得到一个关于变量x(或变量y）的一元方程．即错误!消去y，得ax2＋bx＋c＝0。
（1）当a≠0时,设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．（2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1，y1），B（x2,y2),则|AB｜＝错误!｜x1－x2|＝错误!·错误!＝错误!·|y1－y2|＝错误!·错误!.知识点二圆锥曲线中的最值与取值范围问题圆锥曲线中的最值与取值范围问题一直是高考命题的热点，各种题型都有，命题角度很广,归纳起来常见的命题角度有：1．转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值；2．利用三角函数有界性求最值；3．数形结合利用几何性质求最值．知识点三圆锥曲线中的定值与定点问题1．这类问题一般考查直线与圆锥曲线的位置关系,一元二次方程的根与系数之间的关系，考查斜率、向量的运算以及运算能力．2．解决这类定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）（1）直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．(√)（2）直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．(×)（3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C 只有一个公共点．（×)（4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1）,B(x2，y2)两点,则弦长｜AB|＝错误!｜y1－y2|.(√）解析：(2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时,也只有一个公共点，是相交，但并不相切．（3）因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时,也只有一个公共点，是相交，但不相切．2．小题热身（1)过点（0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(C)A．1条B．2条C．3条D．4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点（0,1)且平行于x轴的直线以及过点（0,1）且与抛物线相切的直线（非直线x＝0)．（2)（2020·浙江八校联考）抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0）交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则(B）A．x3＝x1＋x2B．x1x2＝x1x3＋x2x3C．x1＋x2＋x3＝0 D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0解析：由错误!消去y得ax2－kx－b＝0,可知x1＋x2＝错误!，x1x2＝－错误!，令kx＋b＝0得x3＝－错误!，所以x1x2＝x1x3＋x2x3.(3)已知抛物线y＝ax2(a>0)的准线为l,l与双曲线x24－y2＝1的两条渐近线分别交于A,B两点，若｜AB｜＝4，则a＝错误!.解析：抛物线y＝ax2(a〉0）的准线l：y＝－错误!,双曲线错误!－y2＝1的两条渐近线分别为y＝错误!x，y＝－错误!x，可得x A＝－错误!，x B＝错误!，可得｜AB|＝错误!－错误!＝4，解得a＝错误!。
高考数学一轮复习单元双优测评卷__第八单元立体几何初步B卷含解析
第八单元 立体几何初步B 卷 培优提能过关卷一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．（2021·浙江高考真题）如图已知正方体1111ABCD A B C D -,M ,N 分别是1A D ,1D B 的中点,则（ ）A ．直线1A D 与直线1DB 垂直,直线//MN 平面ABCDB ．直线1A D 与直线1D B 平行,直线MN ⊥平面11BDD BC ．直线1AD 与直线1D B 相交,直线//MN 平面ABCDD ．直线1A D 与直线1D B 异面,直线MN ⊥平面11BDD B2．（2021·全国高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中,地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ,半径r 为6400km 的球,其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α,记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ）,则S 占地球表面积的百分比约为（ ）A ．26%B ．34%C ．42%D ．50%3．（2021·北京高考真题）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm ）来判断降雨程度．其中小雨（10mm <）,中雨（10mm 25mm -）,大雨（25mm 50mm -）,暴雨（50mm 100mm -）,小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水,如图,则这天降雨属于哪个等级（ ）A ．小雨B ．中雨C ．大雨D ．暴雨4．（2021·全国高考真题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（ ）A ．20123+B ．282C ．563D ．28235．（2021·浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（ ）A ．32B ．3C ．322D ．326．（2021·全国高考真题（理））在正方体1111ABCD A B C D -中,P 为11B D 的中点,则直线PB 与1AD 所成的角为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π67．（2021·全国高考真题）已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为（ ）A ．2B ．22C ．4D ．428．（2021·全国高三模拟）如图,已知一底面半径为1,体积为π的圆锥内接于球O (其中球心O 在圆锥内),则球O 的表面积为（ ）A ．1009πB ．209πC ．203πD ．503π 二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．（2021·全国高考真题）如图,在正方体中,O 为底面的中心,P 为所在棱的中点,M ,N 为正方体的顶点．则满足MN OP ⊥的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（2021·福建福州市·高三模拟）在正方体1AC 中,E 是棱1CC 的中点,F 是侧面11BCC B 内的动点,且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直,如图所示,下列说法正确的是（ ）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值11．（2021·辽宁高三模拟）在三棱锥A －BCD 中,AB ⊥平面BCD ,BC ⊥CD ,AB ＝BC ＝1,BD ＝2,三棱锥A －BCD 的所有顶点均在球O 的表面上,若点M 、N 分别为△BCD 与△ABD 的重心,直线MN 与球O 的表面相交于F 、G 两点,则（ ）A ．三棱锥A －BCD 的外接球表面积为3πB ．点O 到线段MN 的距离为33C ．26||3FG =D ．||:||23FG MN =12．（2021·广东佛山市高三模拟）中国饮食文化是有着长远历史,博大精深的中国文化.譬如粽子,有人说是因为纪念爱国诗人屈原人们用艾叶或苇叶､荷叶包住食物,用五色丝线捆好,投江祭奠；也有人说是为了清明节纪念晋文公名臣介子推.现在粽子已演变出不同品种､不同类别,很多地方逢年过节怀着美好祝愿以棕子为食物.其中一种粽子被包成比较对称的四面体形状.现有一只质地均匀的粽子各棱长为12的四面体ABCD ,兄弟三人分食此粽.大哥将棕子平放桌面上(面BCD 在桌面),准备用垂直于桌面的两刀将粽子体积三等分,忽略粽子的变形,第一刀经过了棱AB 上点E ,切截面与棱BC ,BD 均相交；则以下结论正确的是（ ）A ．若AE =2,第一刀切底面所得的三角形面积是定值；B ．若AE =2,截面截底面两边的长度为216127425+及216127425-； C ．点E 能与点A 重合；D ．若第二刀将剩余部分分为全等的两块,则BE 长为66.三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．13．（2021·全国高三模拟（理））如图,已知圆柱的上底面圆心为O ,高和底面圆的半径相等,AB 是底面圆的一条直径,点C 为底面圆周上一点,且45ABC ∠=︒,则异面直线AC 与OB 所成角的余弦值为___________.14．（2021·江苏泰州市·高三模拟）由两种或三种正多边形面组成的凸多面体称作阿基米德多面体．将一个棱长为12的正四面体截去4个小正四面体后可以得到一个由正三角形和正六边形构成的阿基米德八面体,则该阿基米德八面体的外接球的表面积为_________．15．（2020·河北高三模拟（文））我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”,现有一“阳马”(如图所示),其中PA ⊥底面ABCD ,3PA =,2AB =,1AD =,则该“阳马”的外接球的体积为___________.16．（2021·合肥市第六中学高三模拟（理））如图,在平面四边形ABCD 中,4,42,120,DA DC BA BC ADC E ︒∠=＝＝＝＝为AC 的中点,将ABC 沿AC 折起,使得4BD =,以D 为球心,DE 为半径的球与三棱锥B ADC -各面交线的长度和为___________.四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2021·全国高考真题（文））已知直三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA B B 为正方形,2AB BC ==,E ,F 分别为AC 和1CC 的中点,11BF A B ⊥.（1）求三棱锥F EBC -的体积；（2）已知D 为棱11A B 上的点,证明：BF DE ⊥.18．（2021·全国高考真题）如图,在三棱锥A BCD -中,平面ABD ⊥平面BCD ,AB AD =,O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形,点E 在棱AD 上,2DE EA =,且二面角E BC D --的大小为45︒,求三棱锥A BCD -的体积.19．（2021·上海市高三模拟）如图,在四棱锥P ABCD -中,PC ⊥底面,ABCD ABCD 是直角梯形,,//AD DC AB DC ⊥,222AB AD CD ===,点E 是PB 的中点.（1）证明：直线BC ⊥平面PAC ；（2）者直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值为33,求三棱锥P ACE -的体积.20．（2021·重庆市育才中学高三二模）如图,二面角MN αβ--的大小为23π,半径为2的球O 与平面α相切于点A ,与β相交于圆1O ,BC 为圆1O 的一条直径,AB AC =,132OO =.（1）证明：MN ⊥平面1AOO ；（2）过球心的平面截球面所得圆称为大圆,如圆O ,不过球心的平面截球面所得的圆为小圆,如圆1O ,过某两点的大圆上两点间的劣弧的长度叫这两点的球面距离,球面距离是球面上两点间距离的最小值.试求A ､B 两点间的球面距离.(如果某个0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭)满足sin m α=,则可将α记作arcsin m )21．（2021·四川高三三模（文））如图,由半径为2的四分之一圆面绕其半径所在直线l 旋转一周,形成的几何体底面圆的圆心为O ,D 是几何体侧面上不在O 上的动点,AB 是O 的直径,C 为O 上不同于A ,B 的动点,G 为ABC 的重心,2AE ED =.（1）证明：//EG 平面BCD ；（2）当三棱锥D ABC -体积最大时,求三棱锥G CDE -的体积.22．（2021·广东高三模拟）棱锥是生活中最常见的空间图形之一,譬如我们熟悉的埃及金字塔,它的形状可视为一个正四棱锥.我国数学家很早就开始研究棱锥问题,公元一世纪左右成书的《九章算术》第五章中的第十二题,计算了正方锥、直方锥（阳马）、直三角锥（鳖臑）的体积,并给出了通用公式.公元三世纪中叶,数学家刘徽在给《九章算术》作的注中,运用极限思想证明了棱锥的体积公式.请你使用学过的相关知识,解决下列问题：如图,正三棱锥S ABC -中,三条侧棱SA ,SB ,SC 两两垂直,侧棱长是3,底面ABC 内一点P 到侧面,,SAB SBC SAC 的距离分别为x ,y ,z .（1）求证：3x y z ++=；（2）若1113x y z ++=,试确定点P 在底面ABC 内的位置2022年高考数学一轮复习单元双优测评卷（新高考地区专用）第八单元 立体几何初步B 卷 培优提能过关卷一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．（2021·浙江高考真题）如图已知正方体1111ABCD A B C D -,M ,N 分别是1A D ,1D B 的中点,则（ ）A ．直线1A D 与直线1DB 垂直,直线//MN 平面ABCDB ．直线1A D 与直线1D B 平行,直线MN ⊥平面11BDD BC ．直线1AD 与直线1D B 相交,直线//MN 平面ABCDD ．直线1A D 与直线1D B 异面,直线MN ⊥平面11BDD B2．（2021·全国高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中,地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ,半径r 为6400km 的球,其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α,记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ）,则S 占地球表面积的百分比约为（ ）A ．26%B ．34%C ．42%D ．50%3．（2021·北京高考真题）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm ）来判断降雨程度．其中小雨（10mm <）,中雨（10mm 25mm -）,大雨（25mm 50mm -）,暴雨（50mm 100mm -）,小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水,如图,则这天降雨属于哪个等级（ ）A ．小雨B ．中雨C ．大雨D ．暴雨4．（2021·全国高考真题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（ ）A ．20123+B ．282C ．563D ．28235．（2021·浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（ ）A ．32B ．3C ．322D ．326．（2021·全国高考真题（理））在正方体1111ABCD A B C D -中,P 为11B D 的中点,则直线PB 与1AD 所成的角为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π67．（2021·全国高考真题）已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为（ ） A ．2B ．22C ．4D ．428．（2021·全国高三模拟）如图,已知一底面半径为1,体积为π的圆锥内接于球O (其中球心O 在圆锥内),则球O 的表面积为（ ）A ．1009π B ．209π C ．203π D ．503π二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．（2021·全国高考真题）如图,在正方体中,O 为底面的中心,P 为所在棱的中点,M ,N 为正方体的顶点．则满足MN OP ⊥的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（2021·福建福州市·高三模拟）在正方体1AC 中,E 是棱1CC 的中点,F 是侧面11BCC B 内的动点,且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直,如图所示,下列说法正确的是（ ）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值11．（2021·辽宁高三模拟）在三棱锥A －BCD 中,AB ⊥平面BCD ,BC ⊥CD ,AB ＝BC ＝1,BD ＝2,三棱锥A －BCD 的所有顶点均在球O 的表面上,若点M 、N 分别为△BCD 与△ABD 的重心,直线MN 与球O 的表面相交于F 、G 两点,则（ ）A ．三棱锥A －BCD 的外接球表面积为3πB ．点O 到线段MN 的距离为33C ．26||3FG =D ．||:||23FG MN =12．（2021·广东佛山市高三模拟）中国饮食文化是有着长远历史,博大精深的中国文化.譬如粽子,有人说是因为纪念爱国诗人屈原人们用艾叶或苇叶､荷叶包住食物,用五色丝线捆好,投江祭奠；也有人说是为了清明节纪念晋文公名臣介子推.现在粽子已演变出不同品种､不同类别,很多地方逢年过节怀着美好祝愿以棕子为食物.其中一种粽子被包成比较对称的四面体形状.现有一只质地均匀的粽子各棱长为12的四面体ABCD ,兄弟三人分食此粽.大哥将棕子平放桌面上(面BCD 在桌面),准备用垂直于桌面的两刀将粽子体积三等分,忽略粽子的变形,第一刀经过了棱AB 上点E ,切截面与棱BC ,BD 均相交；则以下结论正确的是（ ）A ．若AE =2,第一刀切底面所得的三角形面积是定值；B ．若AE =2,；C ．点E 能与点A 重合；D ．若第二刀将剩余部分分为全等的两块,则BE 长为66. 三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．13．（2021·全国高三模拟（理））如图,已知圆柱的上底面圆心为O ,高和底面圆的半径相等,AB 是底面圆的一条直径,点C 为底面圆周上一点,且45ABC ∠=︒,则异面直线AC 与OB 所成角的余弦值为___________.14．（2021·江苏泰州市·高三模拟）由两种或三种正多边形面组成的凸多面体称作阿基米德多面体．将一个棱长为12的正四面体截去4个小正四面体后可以得到一个由正三角形和正六边形构成的阿基米德八面体,则该阿基米德八面体的外接球的表面积为_________． 15．（2020·河北高三模拟（文））我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”,现有一“阳马”(如图所示),其中PA ⊥底面ABCD ,3PA =,2AB =,1AD =,则该“阳马”的外接球的体积为___________.16．（2021·合肥市第六中学高三模拟（理））如图,在平面四边形ABCD 中,4,42,120,DA DC BA BC ADC E ︒∠=＝＝＝＝为AC 的中点,将ABC 沿AC 折起,使得4BD =,以D 为球心,DE 为半径的球与三棱锥B ADC -各面交线的长度和为___________.四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（2021·全国高考真题（文））已知直三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA B B 为正方形,2AB BC ==,E ,F 分别为AC 和1CC 的中点,11BF A B ⊥.（1）求三棱锥F EBC -的体积；（2）已知D 为棱11A B 上的点,证明：BF DE ⊥.18．（2021·全国高考真题）如图,在三棱锥A BCD -中,平面ABD ⊥平面BCD ,AB AD =,O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形,点E 在棱AD 上,2DE EA =,且二面角E BC D --的大小为45︒,求三棱锥A BCD -的体积.19．（2021·上海市高三模拟）如图,在四棱锥P ABCD -中,PC ⊥底面,ABCD ABCD 是直角梯形,,//AD DC AB DC ⊥,222AB AD CD ===,点E 是PB 的中点.（1）证明：直线BC ⊥平面PAC ；（2）者直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值为33,求三棱锥P ACE -的体积.20．（2021·重庆市育才中学高三二模）如图,二面角MN αβ--的大小为23π,半径为2的球O 与平面α相切于点A ,与β相交于圆1O ,BC 为圆1O 的一条直径,AB AC =,132OO =.（1）证明：MN ⊥平面1AOO ；（2）过球心的平面截球面所得圆称为大圆,如圆O ,不过球心的平面截球面所得的圆为小圆,如圆1O ,过某两点的大圆上两点间的劣弧的长度叫这两点的球面距离,球面距离是球面上两点间距离的最小值.试求A ､B 两点间的球面距离.(如果某个0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭)满足sin m α=,则可将α记作arcsin m )21．（2021·四川高三三模（文））如图,由半径为2的四分之一圆面绕其半径所在直线l 旋转一周,形成的几何体底面圆的圆心为O ,D 是几何体侧面上不在O 上的动点,AB 是O 的直径,C 为O 上不同于A ,B 的动点,G 为ABC 的重心,2AE ED =.（1）证明：//EG 平面BCD ；（2）当三棱锥D ABC -体积最大时,求三棱锥G CDE -的体积.22．（2021·广东高三模拟）棱锥是生活中最常见的空间图形之一,譬如我们熟悉的埃及金字塔,它的形状可视为一个正四棱锥.我国数学家很早就开始研究棱锥问题,公元一世纪左右成书的《九章算术》第五章中的第十二题,计算了正方锥、直方锥（阳马）、直三角锥（鳖臑）的体积,并给出了通用公式.公元三世纪中叶,数学家刘徽在给《九章算术》作的注中,运用极限思想证明了棱锥的体积公式.请你使用学过的相关知识,解决下列问题：如图,正三棱锥S ABC -中,三条侧棱SA ,SB ,SC 两两垂直,侧棱长是3,底面ABC 内一点P 到侧面,,SAB SBC SAC 的距离分别为x ,y ,z .（1）求证：3x y z ++=；（2）若1113x y z ++=,试确定点P 在底面ABC 内的位置。
高考数学一轮复习第八章解析几何第二讲两条直线的位置关系学案含解析新人教版
第二讲 两条直线的位置关系知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合__三种情况． (1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2． 对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔__A 1A 2＋B 1B 2＝0__． 知识点二 两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．相交⇔方程组有__唯一解__； 平行⇔方程组__无解__； 重合⇔方程组有__无数个解__． 知识点三 三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2． 特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2． (2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2．(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2． 归纳拓展1．求解距离问题的规律运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线间的距离公式时，需先把两平行线方程中x ，y 的系数化为相同的形式．2．对称问题的求解规律(1)中心对称：转化为中点问题处理．(2)轴对称：转化为垂直平分线问题处理．特殊地：点P (a ，b )关于直线x ＋y ＋m ＝0对称的点坐标为(－b －m ，－a －m )，点P (a ，b )关于直线x －y ＋m ＝0对称的点坐标为(b －m ，a ＋m )．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两直线的斜率相等，则两直线平行，反之，亦然．( × )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1．( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0．( √ )(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2．( × )(5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．( √ )题组二 走进教材2．(课本习题改编)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( A ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．(必修2P 110B 组T2)已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( C ) A ． 2 B ．2－ 2 C ．2－1D ．2＋1[解析] 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1．解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2． ∵a ＞0，∴a ＝－1＋2． 题组三 走向高考4．(2020·高考全国Ⅲ)点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( B ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2 [解析] 解法一：由y ＝k (x ＋1)可知直线过定点P (－1,0)，设A (0，－1)，当直线y ＝k (x ＋1)与AP 垂直时，点A 到直线y ＝k (x ＋1)距离最大，即为|AP |＝2，故选B ．解法二：因为点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离d ＝|1＋k |k 2＋1＝k 2＋2k ＋1k 2＋1＝1＋2k k 2＋1；∵要求距离的最大值，故需k ＞0；可得d ＝1＋2k ＋1k≤2，当且仅当k ＝1时取等号，故选B ．5．(2018·全国)坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为__(6，－6)__．[解析] 设坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎨⎧ba ×1＝－1a 2－b2－6＝0，解得a ＝6，b ＝－6，∴坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(6，－6)．考点突破·互动探究考点一 两条直线平行、垂直的关系——自主练透例1 (1)(2021·高安期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( A )A ．6x －4y －3＝0B ．3x －2y －3＝0C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0(2)“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2021·青岛调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( C ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3D ．－2或－3(4)等腰直角三角形斜边的中点是M (4,2)，一条直角边所在直线的方程为y ＝2x ，则另外两边所在直线的方程为__x －3y ＋2＝0、x ＋2y －14＝0__．[解析] (1)因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝⎛⎭⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0． (2)由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0，∴m ＝3或m ＝－2，∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件．(3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋1)＝6，4m ≠－4，解得m ＝2或－3．故选C ．(4)设斜边所在直线的斜率为k ，由题意知tan π4＝2－k 1＋2k ＝1，∴k ＝13，∴斜边所在直线方程为y －2＝13(x －4)，即x －3y ＋2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x x －3y ＋2＝0可知A ⎝⎛⎭⎫25，45， ∴A 关于M 的对称点B ⎝⎛⎭⎫385，165，∴另一条直角边的方程为y －165＝－12⎝⎛⎭⎫x －385， 即x ＋2y －14＝0，故填x －3y ＋2＝0、x ＋2y －14＝0．名师点拨(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 〔变式训练1〕(1)(2021·吉林长春模拟)曲线f (x )＝2sin x 在x ＝π3处的切线与直线ax ＋y －1＝0垂直，则a＝__1__．(2)(2012·浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0”平行的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)由题得f ′(x )＝2cos x ，∴k ＝f ′⎝⎛⎭⎫π3＝1．所以1×(－a )＝－1，∴a ＝1． (2)l 1∥l 2⇔a 2＋a －2＝0⇔a ＝1或－2，∴a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．故选A ． 考点二 两直线的交点、距离问题——师生共研例2 (1)两条垂直直线l 1：2x ＋y ＋1＝0与l 2：ax ＋4y －6＝0的交点到原点的距离为__2__．(2)已知点P (2，－1)．①求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；②求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？③是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．(3)(2020·上海)已知直线l 1：x ＋ay ＝1，l 2：ax ＋y ＝1，若l 1∥l 2，则l 1与l 2的距离为__2__． [解析] (1)kl 1＝－2，kl 2＝－a 4，由l 1⊥l 2知－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＝－1，∴a ＝－2，∴l 2：x －2y ＋3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0x －2y ＋3＝0得交点A (－1，1)，∴|AO |＝2． (2)①过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过点P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2． 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0．由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34．此时l 的方程为3x －4y －10＝0．综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0．②作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1， 所以k l ＝－1k OP＝2．由直线方程的点斜式，得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0．所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝5．③由②可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．(3)直线l 1：x ＋ay ＝1，l 2：ax ＋y ＝1， 当l 1∥l 2时，a 2－1＝0，解得a ＝±1； 当a ＝1时l 1与l 2重合，不满足题意； 当a ＝－1时l 1∥l 2，此时l 1：x －y －1＝0，l 2：x －y ＋1＝0； 则l 1与l 2的距离为d ＝|－1－1|12＋(－1)2＝2．名师点拨距离的求法(1)点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离：①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式．提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x 、y 的系数分别相等．〔变式训练2〕(1)(2021·西南名校联盟联考)设直线l 1：3x －y －1＝0与直线l 2：x ＋2y －5＝0的交点为A ，则A 到直线l ：x ＋by ＋2＋b ＝0的距离的最大值为( C )A ．4B ．10C ．3 2D ．11(2)已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0距离相等，则m 的值可以为( C ) A ．－6或12B ．－12或1C ．12或－6D ．1或－6(3)(2021·绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( C )A ．95B ．185C ．2910D ．295[解析] (1)解法一：显然l 1与l 2的交点A (1,2)，又直线l 过点B (－2，－1)，∴所求最大距离为|AB |＝32，故选C ．解法二：显然l 1与l 2的交点为A (1,2)，则A 到直线l 的距离d ＝|1＋2b ＋2＋b |1＋b 2＝31＋b 2＋2b1＋b 2＝31＋2b 1＋b 2≤32(当且仅当b ＝1时取等号)，故选C ． (2)直线mx ＋y ＋3＝0与直线AB 平行或过AB 中点，∴－m ＝4－2－1－3＝－12，即m ＝12；AB中点(1,3)，∴m ＋3＋3＝0即m ＝－6，故选C ．(3)因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910．考点三,对称问题——多维探究 角度1 线关于点的对称例3 (2021·河北五校联考)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为( D )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0[解析] 由ax ＋y ＋3a －1＝0，可得y －1＝－a (x ＋3)，所以M (－3,1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，所以所求方程为2x ＋3y ＋12＝0，故选D ．另解：在直线2x ＋3y －6＝0上取点A (0,2)、B (3,0)，则A 、B 关于M 的对称点分别为A ′(－6,0)，B ′(－9,2)，又k A ′B ′＝2－0－9－(－6)＝－23，故所求直线方程为y ＝－23(x ＋6)，即2x ＋3y＋12＝0．故选D ．角度2 点关于线的对称例4 (2021·长沙一模)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为__6x －y －6＝0__．[解析] 设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎨⎧b －4a －(－3)＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0．又反射光线经过点N (2，6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0． (代入法)当x ＝－3时，由x －y ＋3＝0得y ＝0， 当y ＝4时，由x －y ＋3＝0得x ＝1． ∴M (－3,4)关于直线l 的对称点为M ′(1,0)．又k NM ′＝6－02－1＝6，∴所求直线方程为y ＝6(x －1)，即6x －y －6＝0．[引申]本例中入射光线所在直线的方程为__x －6y ＋27＝0__．[解析] N (2,6)关于直线l 的对称点N ′(3,5)，又k MN ′＝5－43－(－3)＝16，∴所求直线方程为y－4＝16(x ＋3)，即x －6y ＋27＝0．角度3 线关于线的对称例5 (2021·合肥模拟)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0．若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( B )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0[解析] 解法一：因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0．解法二：在l 1上取两点A (0，－2)，B (1,0)，则A 、B 关于l 的对称点分别为A ′(－1，－1)，B ′(1,0)，∴k A ′B ′＝0－(－1)1－(－1)＝12．∴l 2的方程为y －0＝12(x －1)，即x －2y －1＝0．故选B ．解法三：设P (x ，y )是直线l 2上任一点，则P 关于直线l 的对称点为P ′(y ＋1，x －1)，又P ′∈l 1，∴2(y ＋1)－(x －1)－2＝0，即直线l 2的方程为x －2y －1＝0．故选B ．名师点拨对称问题的解法以光线反射为代表的很多实际问题，都可以转化为对称问题，关于对称问题，一般常见的有：(1)中心对称①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎨⎧n －bm －a×(－AB )＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．特别地，当对称轴的斜率为±1时，可类比关于y ＝x 的对称问题采用代入法，如(1,3)关于y ＝x ＋1的对称点为(3－1，1＋1)，即(2,2)．〔变式训练3〕已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)(角度2)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)(角度3)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)(角度1)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． [解析] (1)设A ′(x ，y )，由已知条件得⎩⎨⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413． (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎨⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013．设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)． 又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0．(3)设P (x ，y )在l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )， ∵点P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0．名师讲坛·素养提升巧用直线系求直线方程例6 (1)求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R )恒过定点，并求出定点坐标；(2)求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．[解析] (1)证明：解法一：令m ＝0，则直线方程为3x ＋y ＋1＝0．再令m ＝1时，直线方程为6x ＋y ＋4＝0． ①和②联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＋1＝0，6x ＋y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.将点A (－1,2)的坐标代入动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0中，(m 2＋2m ＋3)×(－1)＋(1＋m －m 2)×2＋3m 2＋1＝(3－1－2)m 2＋(－2＋2)m ＋2＋1－3＝0，故动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0恒过定点A ．解法二：将动直线方程按m 降幂排列整理，得m 2(x －y ＋3)＋m (2x ＋y )＋3x ＋y ＋1＝0，① 不论m 为何实数，①式恒为零，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，3x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. 故动直线恒过点A (－1,2)．(2)解法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0,2)． 因为l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以直线l 的斜率为－43， 由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2， 即4x ＋3y －6＝0．解法二：设所求直线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，将解法一中求得的交点P (0,2)代入上式可得m ＝－6，故所求直线方程为4x ＋3y －6＝0．解法三：设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0．又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11．∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0．[引申]若将本例(2)中的“垂直”改为“平行”，则直线l 的方程为__3x －4y ＋8＝0__．名师点拨]1．确定方程含参数的直线所过定点的方法：(1)将直线方程写成点斜式y －y 0＝f (λ)(x －x 0)，从而确定定点(x 0，y 0)．(2)将直线方程整理成关于参数的方程，由方程中各项系数及常数项为0确定定点．(3)给参数取两个不同值，再解直线方程构成的方程组，从而确定定点坐标．2．直线系的主要应用(1)共点直线系方程：经过两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中A 1B 2－A 2B 1≠0，待定系数λ∈R ．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，因此它不能表示直线l 2．(2)过定点(x 0，y 0)的直线系方程为y －y 0＝k (x －x 0)(k 为参数)及x ＝x 0．(3)平行直线系方程：与直线y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m (m 为参数且m ≠b )；与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C ，λ是参数)．(4)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0(λ为参数)．如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，那么可选用直线系方程来求解．〔变式训练4〕(1)(2021·启东模拟)不论m 为何值时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( D )A ．⎝⎛⎭⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3) D ．(9，－4)(2)与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线的方程是__5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0__．[解析] (1)解法一：由(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5，得(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得定点坐标为(9，－4)，故选D ． 解法二：令m ＝1，则y ＝－4；令m ＝12，则－12x ＝－92，即x ＝9，∴直线过定点(9，－4)，故选D ． 解法三：将直线方程化为(2m －1)(y ＋a )＝(1－m )(x ＋b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－52a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－9，∴y ＋4＝1－m 2m －1(x －9)，故直线过点(9，－4)，故选D ．(2)设所求直线的方程为5x－12y＋c＝0，则|c－6|52＋122＝2，解得c＝32或－20，故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．。
2021高三人教B数学：第8章 第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图
课时作业1．给出下列命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是( )A．0 B．1C．2 D．3答案A解析①底面是菱形的直平行六面体,满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③显然错误．2．(2019·河北唐山五校联考)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（）答案A解析由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A,故选A。
3．如图,直观图所表示的平面图形是( ）A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形答案D解析由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后如图AC∥y轴，BC∥x轴．所以△ABC是直角三角形．故选D.4．（2019·宁德质检）如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是（)答案C解析该几何体的侧视图是从左边向右边看．故选C.5．如图所示，从三棱台A′B′C′－ABC中截去三棱锥A′－ABC,则剩余部分是（)A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．三棱台答案B解析剩余部分是四棱锥A′－BB′C′C，选B。
6．（2019·湖南长沙模拟)如图是一个正方体，A，B,C为三个顶点，D是棱的中点,则三棱锥A－BCD的正视图、俯视图是（注:选项中的上图为正视图,下图为俯视图）( ）答案A解析正视图和俯视图中棱AD和BD均看不见，为虚线,故选A.7．某几何体的正视图和侧视图完全相同，均如图所示，则该几何体的俯视图一定不可能是（)答案D解析几何体的正视图和侧视图完全相同，则该几何体从正面看和从侧面看的长度相等，只有等边三角形不可能．故选D。
8．(2019·临沂模拟）如图甲，将一个正三棱柱ABC－DEF截去一个三棱锥A－BCD，得到几何体BCDEF，如图乙，则该几何体的正（主）视图是( ）答案C解析由于三棱柱为正三棱柱,故侧面ADEB⊥底面DEF，△DEF是等边三角形,所以CD在面ABED上的投影为AB的中点与D 的连线，CD的投影与底面DEF不垂直．故选C.9．（2019·河北石家庄质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的侧视图可能为（)答案D解析由图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD。
2021年高考数学一轮复习 第8篇 解析几何能力提升练 北师大版
2021年高考数学一轮复习第8篇解析几何能力提升练北师大版一、选择题1．(xx·山东省实验中学诊断)已知两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，则a等于( )．A．1或－3 B．－1或3C．1或3 D．－1或3解析因为直线y＝ax－2的斜率存在且为a，所以－(a＋2)≠0，所以3x－(a＋2)y＋1＝0的斜截式方程为y＝3a＋2x＋1a＋2，由两直线平行，得3a＋2＝a且1a＋2≠－2，解得a＝1或a＝－3.答案A2．(xx·南昌模拟)椭圆x216＋y29＝1的焦距为( )．A．10 B．5C．7 D．27解析由题意知a2＝16，b2＝9，所以c2＝a2－b2＝16－9＝7，所以c＝7，即焦距为2c ＝27.答案 D3．(xx·长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于( )．A．3 3 B．2 3C． 3 D．1解析圆心到直线的距离d＝|－5|32＋42＝1，弦AB的长l＝2r2－d2＝24－1＝2 3.答案 B4．(xx·武汉一模)已知圆C 经过A (5,2)，B (－1,4)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程是( )．A ．(x －2)2＋y 2＝13 B ．(x ＋2)2＋y 2＝17 C ．(x ＋1)2＋y 2＝40 D ．(x －1)2＋y 2＝20解析 设圆心坐标为C (a,0)，则|AC |＝|BC |，即a －52＋22＝a ＋12＋42，解得a ＝1，所以半径r ＝1＋12＋42＝20＝25，所以圆C 的方程是(x －1)2＋y 2＝20. 答案 D5．(xx·上饶模拟)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的焦点为(5,0)，则该双曲线的离心率等于( )． A.32 B.43 C ．54D.53解析 因为双曲线的焦点为(5,0)，所以c ＝5，又a 2＋9＝c 2＝25，所以a 2＝16，a ＝4，所以离心率为e ＝c a ＝54.答案 C6．(xx·萍乡一模)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点在直线x －2y －2＝0上，则该抛物线的准线方程为 ( )．A ．x ＝－2B ．x ＝4C ．x ＝－8D ．y ＝－4解析 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，代入直线x －2y －2＝0方程，得p2－2＝0，即p ＝4，所以抛物线的准线方程为x ＝－p 2＝－42＝－2.答案 A7．(xx·郑州模拟)以双曲线x 26－y 23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )．A ．(x －3)2＋y 2＝ 3 B ．(x －3)2＋y 2＝3 C ．(x －3)2＋y 2＝ 3D ．(x －3)2＋y 2＝3解析 双曲线的右焦点为(3,0)，双曲线的渐近线为y ＝±22x ，不妨取渐近线y ＝22x ，即2x －2y ＝0，所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径，即r ＝|32|22＋22＝326＝33＝ 3.所以圆的方程为(x －3)2＋y 2＝3.答案 D8．(xx·萍乡一模)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )． A ．－2 B ．2 C ．－4D ．4解析 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，椭圆的右焦点为(2,0)，所以由p2＝2，得p ＝4.答案 D9．(xx·杭州模拟)已知两点M (－5,0)和N (5,0)，若直线上存在点P ，使|PM |－|PN |＝6，则称该直线为“R 型直线”．给出下列直线：①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝43x ；④y ＝2x＋1，其中为“R 型直线”的是 ( )． A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④解析 由题意可知，点P 的轨迹是在双曲线的右支上，其中2a ＝6，a ＝3，c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝16.所以双曲线方程为x 29－y 216＝1(x ＞0)．显然当直线y ＝x ＋1与y ＝2和双曲线的右支有交点，所以为“R 型直线”的是①②. 答案 A10．(xx·镇安中学模拟)已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 ( )．A.5＋12B.2＋1 C ．3＋1D.2 2＋12解析 依题意，得F (p,0)，因为AF ⊥x 轴，设A (p ，y )，y >0，y 2＝4p 2，所以y ＝2p .所以A (p,2p )．又点A 在双曲线上，所以p 2a 2－4p 2b 2＝1.又因为c ＝p ，所以c 2a 2－4c2c 2－a 2＝1，化简，得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－6⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1＝0.所以e 2＝3＋22，e ＝2＋1. 答案 B 二、填空题11．(xx·兰州一模)已知抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 的横坐标是________．解析 由抛物线定义知，y P ＋1＝5，即y P ＝4，所以有x 2P ＝16，解得x P ＝±4. 答案 ±412．(xx·上海卷)设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且∠CBA ＝π4.若AB ＝4，BC ＝2，则Γ的两个焦点之间的距离为________．解析 设D 在AB 上，且CD ⊥AB ，AB ＝4，BC ＝2，∠CBA ＝45°，所以有CD ＝1，DB ＝1，AD ＝3，所以有C (1,1)，把C (1,1)代入椭圆的标准方程得1a 2＋1b2＝1，a 2＝b 2＋c 2且2a ＝4，解得，b 2＝43，c 2＝83，则2c ＝43 6.答案436 13．(xx·安徽卷)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________． 解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x 2＋y －a 2＝a ，得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0，即(y －a )[y －(a －1)]＝0.由已知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1≥0，解得a ≥1.答案 [1，＋∞)14．(xx·长安一中模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成5∶3两段，则此双曲线的离心率为________． 解析 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b2，0，由题意知b2－－cc －b2＝53，c ＝2b ，所以c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，即4a 2＝3c 2，所以2a ＝3c ，所以e ＝c a＝23＝233.答案233三、解答题15．(xx·广东卷)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程． 解 (1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2＝4cy ， 则|c ＋2|2＝322，c >0，解得c ＝1. 所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)抛物线C 的方程为x 2＝4y ， 即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)， 即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0， 又点P (x 0，y 0)在切线PA 和PB 上，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0 的两组解， 所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.16．(xx·新课标全国Ⅰ卷)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |. 解 (1)设圆P 的半径为r ，则|PM |＝1＋r ，|PN |＝3－r ，∴|PM |＋|PN |＝4>|MN |，∴P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆(左顶点除外)，且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴P 的轨迹曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)由(1)知2r ＝(|PM |－|PN |)＋2≤|MN |＋2＝4， ∴圆P 的最大半径为r ＝2.此时P 的坐标为(2,0)． 圆P 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.①当l 的倾斜角为90°，方程为x ＝0时，|AB |＝23， ②当l 的倾斜角不为90°， 设l 的方程为y ＝kx ＋b (k ∈R )，⎩⎪⎨⎪⎧|－k ＋b |1＋k2＝1，|2k ＋b |1＋k 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝24，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－24，b ＝－ 2.∴l 的方程为y ＝24x ＋2，y ＝－24x － 2.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝24x ＋2，化简得7x 2＋8x －8＝0，∴x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，∴|AB |＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝187. 当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝23或187.17．(xx·东北三校联考)如图，已知点E (m,0)(m ＞0)为抛物线y 2＝4x 内一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点． 解 (1)当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点， ∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD .设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4.∵M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1，2k 1，同理，点N (2k 21＋1，－2k 1)， ∴S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 12·2k 212＋－2k 12＝2k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4，当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取得最小值4. (2)设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －m ，y 2＝4x得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m ，∵M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，2k 1，同理，点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22＋m ，2k 2， ∴k MN ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2. ∴直线MN 的方程为y －2k 1＝k 1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，即y ＝k 1k 2(x －m )＋2， ∴直线MN 恒过定点(m,2)．18．(xx·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为64的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P .设OP →＝tOE →，求实数t 的值．解 (1)设椭圆C 的方程为：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝22，2b ＝2，解得a ＝2，b ＝1，因此椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)(ⅰ)当A ，B 两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为x ＝m ，由题意得－2<m <0或0<m < 2.将x ＝m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，得|y |＝2－m22， 所以S △AOB ＝|m |2－m 22＝64. 解得m 2＝32或12.①又OP →＝tOE →＝12t (OA →＋OB →)＝12t (2m,0)＝(mt,0)，因为P 为椭圆C 上一点，所以mt22＝1. ②由①②，得t 2＝4或43.又因为t >0，所以t ＝2或233.(ⅱ)当A ，B 两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋h ， 将其代入椭圆的方程x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由判别式Δ＞0可得1＋2k 2＞h 2， 此时x 1＋x 2＝－4kh 1＋2k 2，x 1x 2＝2h 2－21＋2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2h ＝2h1＋2k2. 所以|AB |＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝221＋k21＋2k 2－h21＋2k2. 因为点O 到直线AB 的距离d ＝|h |1＋k2.所以S △AOB ＝12|AB |d＝12×221＋k 21＋2k 2－h 21＋2k 2|h |1＋k2.＝21＋2k 2－h 21＋2k 2|h |. 又S △AOB ＝64， 所以21＋2k 2－h 21＋2k 2|h |＝64.③令n ＝1＋2k 2，代入③整理得3n 2－16h 2n ＋16h 4＝0. 解得n ＝4h 2或43h 2，即1＋2k 2＝4h 2或1＋2k 2＝43h 2.④又OP →＝tOE →＝12t (OA →＋OB →)＝12t (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kht 1＋2k 2，ht 1＋2k 2.因为P 为椭圆C 上一点，所以t 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kh 1＋2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫h 1＋2k 22＝1，即h 21＋2k2t 2＝1.⑤ 将④代入⑤得t 2＝4或43，又知t ＞0，故t ＝2或233，经检验，适合题意． 综合(ⅰ)(ⅱ)得t ＝2或23327244 6A6C 橬29839 748F 璏l39662 9AEE 髮25990 6586 斆35197 897D 襽" c•g29477 7325 猥 25012 61B4 憴25097 6209 戉。
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单元检测八 解析几何(提升卷B)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知过点P (－2，m )，Q (m,6)的直线的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．已知A (1,4)，B (－3,2)，直线l ：ax ＋y ＋2＝0，若直线l 过线段AB 的中点，则a 等于( ) A ．－5 B ．5 C ．－4 D ．43．点P (2，－1)为圆(x －3)2＋y 2＝25中弦的中点，则该弦所在直线的方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y －1＝0D ．x －y ＋1＝04．(2020·大连模拟)已知双曲线C 1：x 28－y 24＝1，双曲线C 2的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线C 1相同，则双曲线C 2的离心率为( ) A. 2 B.5－1 C ．23－1 D. 35．已知直线y ＝ax 与圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1交于A ，B 两点，且∠ACB ＝60°，则圆的面积为( )A ．6πB ．36πC ．7πD ．49π6．(2020·江西省南昌市第二中学月考)如图，已知F 1，F 2是椭圆T ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 是椭圆T 上任意一点，过F 2作△F 1PF 2中∠F 1PF 2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线7．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1，F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1与e 2满足的关系是( ) A.1e 1＋1e 2＝2 B.1e 1－1e 2＝2 C ．e 1＋e 2＝2D ．e 2－e 1＝28．已知直线l ：kx －y －2k ＋1＝0与椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，与圆C 2：(x－2)2＋(y －1)2＝1交于C ，D 两点．若存在k ∈[－2，－1]，使得AC →＝DB →，则椭圆C 1的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12B.⎣⎡⎭⎫12，1C.⎝⎛⎦⎤0，22D.⎣⎡⎭⎫22，1 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知直线l ：y ＝k (x －1)，圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)，则下列命题正确的是( ) A ．∀k ∈R ，l 与C 相交 B ．∃k ∈R ，l 与C 相切 C ．∀r >0，l 与C 相交D ．∃r >0，l 与C 相切10．(2020·四川省绵阳市绵阳南山中学月考)下列四个说法中，错误的是( ) A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线，都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)来表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线P 1P 2，都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝ (x －x 1)(y 2－y 1)来表示C ．在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程都可以用x a ＋yb＝1来表示D ．经过点(0，b )的直线，都可以用方程y ＝kx ＋b 来表示11．(2020·福建厦门一中月考)已知△ABC 为等腰直角三角形，其顶点为A ，B ，C ，若圆锥曲线E 以A ，B 为焦点，并经过顶点C ，则该圆锥曲线E 的离心率可以是( ) A.2－1 B.22C. 2D.2＋1 12．(2020·福建厦门一中月考)已知F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，AB ，CD 是经过点F 的弦且AB ⊥CD ，AB 的斜率为k ，且k >0，C ，A 两点在x 轴上方，则下列结论中成立的是( )A.1|AB |＋1|CD |＝12pB ．若|AF |·|BF |＝43p 2，则k ＝33C.OA →·OB →＝OC →·OD →D ．四边形ACBD 面积的最小值为16p 2第Ⅱ卷(非选择题 共70分)三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________. 14．(2020·湖北黄石期末)直线x ＋y ＋1＝0被圆C ：x 2＋y 2＝2所截得的弦长为________；由直线x ＋y ＋3＝0上的一点向圆C 引切线，切线长的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)15．椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到两焦点距离之积为m ，则当m 取最大值时，P 点坐标为________．16．已知A ，B 分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点，两不同点P ，Q 在椭圆C 上，且关于x 轴对称，设直线AP ，BQ 的斜率分别为m ，n ，则当2b a ＋a b ＋12mn ＋ln|m |＋ln|n |取最小值时，椭圆C 的离心率为________．四、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)(2020·湖北荆门期末)已知过点P (0，－2)的圆M 的圆心(a,0)在x 轴的非负半轴上，且圆M 截直线x ＋y －2＝0所得弦长为2 2. (1)求圆M 的标准方程；(2)若过点Q (0,1)且斜率为k 的直线l 交圆M 于A ，B 两点，若△P AB 的面积为372，求直线l的方程．18.(12分)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．19．(13分)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程． 20.(13分)(2019·湖北省荆门市龙泉中学月考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为6，且椭圆C 与圆M ：(x －2)2＋y 2＝409的公共弦长为4103. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点P (0,1)作斜率为k (k >0)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得△ADB 为以AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．答案精析1．B 2.B 3.B 4.D 5.A6．B [延长F 2Q 与F 1P 的延长线交于点M ，连接OQ .因为PQ 是△F 1PF 2中∠F 1PF 2的外角的角平分线， 且PQ ⊥F 2M ，所以在△PF 2M 中，|PF 2|＝|PM |， 且Q 为线段F 2M 的中点． 又O 为线段F 1F 2的中点， 由三角形的中位线定理，得 |OQ |＝12|F 1M |＝12(|PF 1|＋|PF 2|)．由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|OQ |＝a ，点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2， 所以点Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为a 的圆．] 7．B [由椭圆与双曲线的定义得e 1＝2c 10＋2c ，e 2＝2c 10－2c ，所以1e 1－1e 2＝4c2c＝2，故选B.]8．C [直线l 过圆C 2的圆心，∵AC →＝DB →， ∴|AC 2→|＝|C 2B →|，∴圆C 2的圆心(2,1)为A ，B 两点的中点． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2，化简可得－2·b 2a 2＝k ，又∵a >b ，∴b 2a 2＝－k 2∈⎣⎡⎭⎫12，1， 所以e ＝1－b 2a 2∈⎝⎛⎦⎤0，22.] 9．AC [∵直线l ：y ＝k (x －1)经过定点(1,0)， 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)的圆心为(1,0)，半径为r ， ∴直线l 经过圆C 的圆心，∴∀k ∈R ，l 与C 相交， ∴∀r >0，l 与C 相交，∴AC 正确．]10．ACD [A 中，过定点P 0(x 0，y 0)的直线斜率不存在时，方程不成立，故A 错误； B 中，对于任意不同点确定的直线都适合，B 正确；C 中，根据截距概念知a ，b 可以为0，此时不能用x a ＋yb ＝1来表示，故C 错误；D 中，当过点(0，b )的直线斜率不存在时，不能用方程y ＝kx ＋b 来表示，故D 错误．] 11．ABD [(1)若该圆锥曲线是椭圆，当C ＝π2时，离心率e ＝2c 2a ＝|AB ||CA |＋|CB |＝22，当C ＝π4时，离心率e ＝|AB ||CA |＋|CB |＝12＋1＝2－1；(2)若该圆锥曲线是双曲线，根据双曲线的特征可得， 只有C ＝π4，此时，离心率e ＝2c 2a ＝AB ||CA |－|CB ||＝12－1＝2＋1.]12．AC [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，可得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2，x 1x 2＝14p 2，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝p (k 2＋2)k 2＋p ＝2p (k 2＋1)k 2，同理可得|CD |＝2p ⎝⎛⎭⎫1k 2＋11k 2＝2p (1＋k 2)，则有1|AB |＋1|CD |＝12p ，所以A 正确；OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝14p 2＋k 2⎝⎛⎭⎫x 1－p 2⎝⎛⎭⎫x 2－p 2 ＝14p 2＋k 2⎣⎡⎦⎤x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋14p 2 ＝14p 2＋12k 2p 2－p 2(k 2＋2)2＝－34p 2，与k 无关， 同理OC →·OD →＝－34p 2，故OA →·OB →＝OC →·OD →，C 正确；若|AF |·|BF |＝43p 2，由⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2＝x 1x 2＋p 2·(x 1＋x 2)＋14p 2，得12p 2＋p 2(k 2＋2)2k 2＝p 2＋p 2k 2＝43p 2，解得k ＝3，故B 错误；因为AB ⊥CD ，所以四边形ABCD 的面积S 四边形ACBD ＝12|AB ||CD |＝12·2p (k 2＋1)k 2·2p (1＋k 2)＝2p 2(k 2＋1)2k2＝2p 2⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋2≥8p 2，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝1时，等号成立，故D 错误．] 13．2解析 设A (x 0，y 0)，由抛物线定义知x 0＋1＝2， ∴x 0＝1，则直线AB ⊥x 轴，∴|BF |＝|AF |＝2. 14.6102解析 圆C ：x 2＋y 2＝2的圆心C (0,0)，半径r ＝2， 设圆心C 到直线x ＋y ＋1＝0的距离为d ， 则d ＝12＝22， 弦长为2r 2－d 2＝22－⎝⎛⎭⎫222＝ 6. 设M 为直线x ＋y ＋3＝0上一点， 过点M 向圆C 引切线切圆C 于点N ， 则有CN ⊥MN ， ∴|MN |＝|CM |2－r 2＝|CM |2－2，故|CM |取最小值时，切线长最小， 此时CM 垂直于直线x ＋y ＋3＝0，即|CM |的最小值为圆心C 到直线x ＋y ＋3＝0的距离32， 所以|MN |最小值为102. 15．(0,3)和(0，－3)解析 由标准方程可知两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)， 因为|PF 1|＋|PF 2|＝10， 所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号，即P 点为短轴端点． 故当m 取最大值时，P 点坐标为P (0,3)或(0，－3)． 16.22解析 设P (x 0，y 0)，则x 20a 2＋y 20b 2＝1，所以mn ＝b 2a2，从而2b a ＋a b ＋12mn ＋ln|m |＋ln|n |＝2b a ＋a b ＋a 22b 2＋ln b 2a 2，设b 2a 2＝x ，令f (x )＝12x＋ln x (0<x <1)， 则f ′(x )＝2x －12x 2，所以当0<x <12时，f (x )单调递减， 当12<x <1时，f (x )单调递增，故f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12， 即b 2a 2＝12.因为2b a ＋ab≥22， 当且仅当2b a ＝a b ，即b 2a 2＝12时取等号，取等号的条件一致，此时e 2＝1－b 2a 2＝12，所以e ＝22. 17．解 (1)设圆M 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a ≥0)， 则圆心M 到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|a －2|2，由题意得⎩⎨⎧a ≥0，a 2＋4＝r 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －2|22＋2＝r 2，解得a ＝0，r 2＝4，∴圆M 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 则圆心M 到直线l 的距离为1k 2＋1，∴|AB |＝24－1k 2＋1＝24k 2＋3k 2＋1， 又点P (0，－2)到直线l 的距离为d ＝3k 2＋1，∴S △P AB ＝12|AB |d ＝12×24k 2＋3k 2＋1×3k 2＋1＝372，解得k 2＝1，∴k ＝±1，则直线l 的方程为±x －y ＋1＝0.18．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2－4x －4b ＝0.(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2.将其代入x 2＝4y ，得y ＝1.故A (2,1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2， 所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.19．解 (1)椭圆C 1：x 24＋y 2＝1的长轴长为4，离心率为e 1＝c 1a 1＝32，∵椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率，∴椭圆C 2的焦点在y 轴上，2b 2＝4，e 2＝c 2a 2＝32，∴b 2＝2，a 2＝4，∴椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)设A ，B 的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )，∵OB →＝2OA →，∴O ，A ，B 三点共线，当斜率不存在时，OB →＝2OA →不成立，∴点A ，B 不在y 轴上，当斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx ，将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1，消元可得(1＋4k 2)x 2＝4，∴x 2A ＝41＋4k 2，将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1，消元可得(4＋k 2)x 2＝16，∴x 2B ＝164＋k 2，∵OB →＝2OA →，∴x 2B ＝4x 2A ，∴164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1，∴直线AB 的方程为y ＝±x .20．解 (1)由题意可得2a ＝6，所以a ＝3.由椭圆C 与圆M ：(x －2)2＋y 2＝409的公共弦长为4103，恰为圆M 的直径，可得椭圆C 经过点⎝⎛⎭⎫2，±2103，所以49＋409b 2＝1，解得b 2＝8.所以椭圆C 的方程为x 29＋y28＝1.(2)直线l 的解析式为y ＝kx ＋1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为E (x 0，y 0)．假设存在点D (m,0)，使得△ADB 为以AB 为底边的等腰三角形，则DE ⊥AB . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x 29＋y 28＝1得，(8＋9k 2)x 2＋18kx －63＝0，Δ>0恒成立，所以x 1＋x 2＝－18k8＋9k 2，所以x 0＝－9k8＋9k 2，y 0＝kx 0＋1＝88＋9k 2. 因为DE ⊥AB ，所以k DE ＝－1k ，即88＋9k 2－0－9k 8＋9k 2－m ＝－1k ， 所以m ＝－k 8＋9k 2＝－19k ＋8k. 当k >0时，9k ＋8k≥29×8＝122， 所以－224≤m <0. 综上所述，在x 轴上存在满足题目条件的点D ，且点D 的横坐标的取值范围为⎣⎡⎭⎫－224，0.。