北京市怀柔区2020届高三一模数学试题及答案

2019-2020学年怀柔区第二学期适应性练习数 学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分(选择题 共40分)一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） 1．已知集合{1,2}A =，{02}B x x =<<，则A B =IA ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{02}x x << 2．若复数z 满足i 1i z =-，则z =A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i -- 3．函数22cos 1y x =-的最小正周期为 A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 4．函数2log y x =的图象是A ．B ．C ．D ．5．在等差数列{}n a 中，若45615a a a ++=，则28a a +=A ．6B ．10C ．7D ．56．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于原点对称，则圆C 的方程为A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋(y ＋1)2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．(x ＋1)2＋y 2＝17．已知1a =r ，则“()a a b ⊥+r r r”是“1a b ⋅=-r r ”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件8．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．23 B ．43 C ．3 D ．32 9．已知0a b <<，则下列不等式成立的是A ．1b a< B ．22a b < C ．11a b < D ．2a ab <10．“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法．在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明．其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求π．当时刘微就是利用这种方法，把π 的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率π的计算最精确的数据．这种方法 的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的．为此，刘微把 它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这种方法极其 重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分．根据“割圆术”，若用正 二十四边形来估算圆周率π，则π的近似值是（精确到0.01） （参考数据sin150.2588≈o ） A ．3.05 B ．3.10C ．3.11D ．3.14第二部分 (非选择题 共110分)二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．）11．已知抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为 ；准线方程为 ．12．7(1)x +的展开式中3x 的系数是 ．13．在ABC ∆中，60ABC ∠=o，22BC AB ==，E 为AC 的中点，则AB BE ⋅=u u u r u u u r．14．某网店“五一”期间搞促销活动，规定：如果顾客选购商品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购商品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下 表累计计算．元，则他实际所付金额为 元． 15．若函数()(cos )x f x e x a =-在区间(,)22ππ-上单调递减，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 16．（本题满分14分）已知在ABC ∆中，2a =，b =，同时还可能满足以下某些条件：① π4A =；②B A >；③sin sin B A <；④4c =． （Ⅰ）直接写出所有可能满足的条件序号； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求B 及c 的值．17．（本题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，,E F 分别是,BC PC 的中点，2AB AP ==．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求二面角E AF C --的大小．18．（本题满分14分）某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，测试成绩满分为100分，规定测试成绩在[85,100]之间为“体质优秀”，在[75,85)之间为“体质良好”，在[60,75)之间为“体质合格”，在[0,60)之间为“体质不合格”．现从这两个年级中各随机抽取7名学生，测试成绩如下：其中,m n （Ⅰ）若该校高一年级有280学生，试估计高一年级“体质优秀”的学生人数；（Ⅱ）若从高一年级抽取的7名学生中随机抽取2人，记X 为抽取的2人中为“体质良好”的学生人数，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）设两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，当高二年级被抽取学生的测试成绩的方差最小时，写出,m n 的值．（只需写出结论）19．（本小题15分）已知函数()ln ,()x f x x g x e ==． （Ⅰ）求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0x >时，证明：()()f x x g x <<；（Ⅲ）判断曲线()f x 与()g x 是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由．20．（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>，离心率为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设,A B 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点A 在第一象限，AE x ⊥轴，垂足为E ，连接BE 并延长交椭圆于点D ，证明：ABD ∆为直角三角形．21．（本小题满分14分）已知数列{}{}{},,n n n a b c ，且11,()n n n n n n b a a c b b n N *++=-=-∈．若{}n b 是一个非零常数列，则称{}n a 是一阶等差数列，若{}n c 是一个非零常数列，则称{}n a 是二阶等差数列． （Ⅰ）已知111,1,1n a b c ===，试写出二阶等差数列{}n a 的前五项；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：222n n n a -+=；（Ⅲ）若{}n a 的首项21=a ，且满足)(2311*++∈-=+-N n a b c n n n n ，判断{}n a 是否为二阶等差数列．参考答案及评分标准一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)． 11. (2,0);2x =-； 12. 35； 13. 1-； 14. 1120； 15. [2,)+∞． 三、解答题(共6小题，共85分．) 16．（本题满分14分）解：（Ⅰ）①，③．-------------------------------------------------------4分（Ⅱ）由sin sin a b A B= 得22sin 4π=6分22sin2142sin 222B π⨯∴=== -----------------------8分 226a b A B B π=>=⇒>⇒=Q --------------------------9分解法一：762sin sin(())sin12C A B ππ+=-+==由622sin 431sin sin sin 2a c a Cc A C A+⨯=⇒===+．----------------14分 解法二：22222222cos 2(2)22a b c bc A c c =+-⇒=+-⨯⨯⨯由 解得 31c =+或31c =-+（舍）．-----------------------------------------14分 17．（本题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD -------------------------------1分Θ四边形ABCD 为正方形∴BD AC ⊥，------------------------2分 PA ⊥又底面,ABCD BD ABCD ⊂平面， ∴BD PA ⊥，------------------------4分 PA AC C =I 而∴PAC BD 平面⊥ --------------------5分题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案A CB D BDCDAC（Ⅱ）解：ΘABCD PA 平面⊥，AD AB ⊥---------------------------------------------------------------6分 ∴以A 为原点、AB 为x 轴、AD 为y 轴、AP 为z 轴，建立空间直角坐标系---------7分则)0,0,0(A ,)0,0,2(B ,)0,1,2(E ,(0,2,0)D ,)1,1,1(F ,,--------9分 设AEF 平面的一个法向量为),,(z y x =∴00n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r ,即⎩⎨⎧=++=+002z y x y x --------------------------------10分 令1=x ，则1,2=-=z y ∴)1,2,1(-=n ------------------------11分由（Ⅰ）知)0,2,2(-=为ACF 平面的法向量------------12分cos ,2||||n BD n BD n BD ⋅∴<>==r u u u ru u r u u u u r r u u ur --------------------------------13分 所以，二面角的大小为．--------------------------14分 18．（本题满分14分）解：（Ⅰ）高一年级随机抽取的7名学生中，“体质优秀”的有3人，优秀率为37，将此频率视为概率，估 计高一年级“体质优秀”的学生人数为32801207⨯=人．---------------------3分（Ⅱ）高一年级抽取的7名学生中“体质良好”的有2人，非“体质良好”的有5人。

所以X 的可能取值 为0,1,2------------------------------------------------------------------------------------5分所以02112025252522277710101(0),(1),(2)212121C C C C C C P X P X P X C C C =========--------8分 所以随机变量X 的分布列为：10101124()012212121217E X =⨯+⨯+⨯== --------------------------------------------------------11分 （Ⅲ）78m n ==．--------------------------------------------------------------------------------------------14分 19．（本小题15分）解：（Ⅰ）()ln f x x =的定义域(0,)+∞-----------------------------------1分 1()(1)1f x k f x=⇒'='=由-------------------------------------2分 (2,1,0)AE =u u u r (1,1,1)AF =u u u r E AF C --6π又(1)0f =--------------------------------------------------------------3分所以()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为: 1y x =-．--------------------4分 （Ⅱ）设()()ln (0)h x f x x x x x =-=->，11'()101x h x x x x-=-==⇒=由， '(),()h x h x x 随变化如下:x (0,1) 1(1,)+∞'()h x +-()h x↑极大值↓max()f x x ∴<-------------------------------------------------------------7分设()()'()10(0,),xxs x s x x g x x x e e =-=-=-<∈+∞在则上恒成立，(0,())x s x ∈+∴∞在上单调递减()(0)10()s x s x g x ∴≤=-<⇒<-----------------------------------9分综上()()f x x g x <<----------------------------------------------------10分（Ⅲ）曲线()f x 与()g x 存在公切线，且有2条，理由如下：---------------------11分由（Ⅱ）知曲线()f x 与()g x 无公共点，设12,l l 分别切曲线()f x 与()g x 于2112(,ln ),(,)xx x x e ，则22112211:ln 1;:(1)x x l y x x l y e x e x x =⋅+-=⋅+-，若12l l =，即曲线()f x 与()g x 有公切线，则 222122121(1)10ln 1(1)x x x e x e x x x e x ⎧=⎪⇒-++=⎨⎪-=-⎩ 令()(1)1xh x e x x =-++，则曲线()f x 与()g x有公切线，当且仅当()h x 有零点，'()1x h x xe =-+Q ，0'()0,()(,0)x h x h x ≤>-∞当时,在单调递增，0''()(1)0,'()(0,)x x h x x e h x >=-+<+∞当时,在单调递减， '(0)10,'(1)10h h e =>=-<又，0000(0,1)'()10xx h x x e ∴∈=-+=存在使得，0(0,)'()0,()x x h x h x ∈>且时,单调递增，0(,)'()0,()x x h x h x ∈+∞<时,单调递减，max 0000001()()(1)1(1)10xh x h x e x x x x x ∴==-++=-++>， 22(2)310,(2)30h e h e --=-<=-+<又，00()(2,),(,2)h x x x ∴-在内各存在有一个零点，故曲线()f x 与()g x 存在2条公切线。