9矩阵桁架例题解析

x M2 v2 Fx2
v1
Fx1 u1 Fy1
θ2
u2
Fy1
（１）、轴向位移与轴向力 Fex1 1 2 2’ 1’
EA
e l
u1e
e = EA/l k 11 1 1’
u2e
F ex2
e = -EA/l k 2 21
1
e = - EA/l k 12 1
EA l
2
EA l
e = EA/l k 2’ 22
e
l2
12EI l3
6EI
l2
l3
2EI 2EI
4EI
4EI
l
l
l
6EI l2
e
l
-6EI l2
v2e=1
12EI e 6EI θ e e Fy 1 = 3 v 1+ 2 1 l l M1
e=
6EI e 4EI θ e v + 1 1 2 l l
12EI e 6EI e θ2 v + l3 2 l2 6EI e 2EI e θ2 v + l2 2 l
12EI 12EI 6EI 6EI θ e e e e e θ + Fy 2 = v v 1 1 l3 l2 l3 2 l2 2 M2
e=
6EI e 2EI θ e v 1+ 1 2 l l
6EI e 4EI e θ2 v + 2 2 l l
( 10-3 )
由此可得：
F x1
e=
EA
12EI 6EI e θ1 F ye1 = v e1+ v e2+ l3 l2 l3 6EI 6EI 4EI e θ1 M e1 = v e1+ v e2+ l2 l l2 EA e e F x2 = （u e1 + u 2 ） l 12EI 12EI 6EI e θ1+ F ye2 = v e1 v e2 l3 l2 l3
第 十 章
矩阵位移法
§10-1、概述
• 一、结构矩阵分析方法要点 • 结构矩阵分析方法是电子计算机计 算技术进入结构分析领域后，产生的一 种结构计算方法。 • 结构矩阵分析方法与传统的结构分 析方法原理上完全一致。但由于计算工 具不同，作法上有所差异。
• 传统人工手算： • • 电子计算机计算： • • • • •
• • 根据单元分析（杆件）与整体（结构）分析 的不同需要，采用两种直角坐标系。
1
局部坐标系以杆轴为x轴，“ 1”为始端， “ 2 ”为终端。1 2为正方向。 • 局部坐标系下所有量值的正负号规定：杆端 位移和杆端力分量与局部坐标方向一致为正。 x e x e
1
y
EA , EI, l
EA , EI, l 2
速度低，精度差。 忌繁重的计算工作量。 速度快，精度高。 忌无规律可循。
学习结构矩阵分析，先修课为： 1、结构力学 （理论基础） 2、线性代数矩阵运算 （建模工具） 3、电算语言 （机算方法）
•
矩阵分析方法的理论基础是传统结 构力学，说明结构矩阵方法与传统结构 力学同源。由于形成的年代和条件不同， 引来了方法上的差异。因此，学习中我 们应该注意，两种方法的共同点和结构 矩阵方法新的着眼点（矩阵符号的运用、 坐标的引入、未知量的判断与单元类型 的关系、刚度集成的概念等）。 • 矩阵运算用简洁的符号代替传统的 运算表达式，公式单一、紧凑、统一， 便于计算机计算程序的自动化运算。
一、单元的划分
• 杆系结构中，任何相邻两个结点之间的杆段 都是一个杆件单元，一般采用等截面直杆单元。 • 结点：
•
构造结点：杆件折转点，交汇点，支承点，自由
端，截面突变处等。 • 非构造结点：集中荷载作用点；曲线杆件计算时， 可将一个曲杆视为由许多折杆组成，其人为设定折点 处。

2、局部坐标系（单元坐标系、杆件坐标系）
2
y
1
EA , EI
e
2 M2 v2
x
M1
Fy1 u1
l θ1 θ2
v1
Fx1
u2
Fx2 Fy1
y
用{F}e代表单元 e 的杆端力列向量:
{F } F (1) F (2) F (3) F (4) F (5) F (6)
e


eT
= ( F x1 F y1 M 1 F x 2 F y 2 M 2 )
1
EA e） e u （ Fx1 u1 2 l EA e e） Fx2 = + u （u e 1 2 l
e=
(10-2)
（2）、横向位移、转角位移与杆端力
6EI v1e=1 -6EI l2 -12EI -6EI l2
e
12EI l3 θ1e=1 e 6EI l2 -6EI l2 -12EI l3
eT
用{Δ}e代表单元 e 的杆端位移列向量:
{} (1) (2) (3) (4) (5) (6)
e 1
u

eT
v1 1 u 2 v 2 2

eT
( 10-1）
3、局部坐标中等截面直杆单元的单元刚度方程
• •
•
推导过程如位移法，注意几点：
①、重新规定正负号；②、采用矩阵形式。
结构矩阵分析方法又称为：杆件 有限单元法；计算结构力学。包括： • 矩阵力法（柔度法），以力法为 基础。 • 矩阵位移法（刚度法），以位移 法为基础。 • 矩阵混合法，以混合法为基础。
•
矩阵位移法方法要点：
• （1）、离散化（单元分析）：先把 结构整体拆开，分成若干有限数目的单 元体，进行单元分析。找出单元杆端力 与杆端位移的关系，建立单元刚度方程。 • （2）、集合（整体分析）：利用静 力平衡条件和变形协调条件，将各离散 单元在结点上相互连接起来。使结点上 的受力变形情况与原结构完全相同，进 行整体分析。建立整体刚度方程。
等截面直杆单元，在变形过程中，考虑弯曲变 形和轴向变形的影响。因此，在左右两端各有三 个独立的位移分量（两个线位移，一个角位移）。 杆件共有六个杆端位移分量，相应的有六个杆端 力分量。 单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆端 力时所建立的方程 —— 记为“ Δ → F ”方程。
Байду номын сангаас
e 1 M1
θ1
2
二、需讨论的问题：
• 1、单元分析，在矩阵位移法中取何 种单元，并找出各单元的杆端位移和杆 端力之间的关系。 • 2、整体分析，如何由单元分析直接 集成整体分析。 • 3、建立结构的刚度方程，求解并找 出各杆端内力。
§10-2、单元刚度矩阵（局部坐标系）
• 单元分析的主要任务：研究单元杆端 位移与杆端力之间的关系。 • 推导方法：根据变形与力之间的物理 关系，采用矩阵形式。
计算过程示意：
•
• • • •
由于位移法有其自身的优点,易于实现计 算过程的程序化,目前在工程界应用广泛。 故在此只介绍矩阵位移法。 矩阵位移法与传统位移法力学概念完全 一致。其中： 基本未知量：结构的独立结点位移。 基本体系：加上人为约束的动定结构。 基本方程：根据结点（或截面）平衡条 件和变形协调条件建立的刚度方程。