人教版八年级数学上《轴对称与等腰三角形》期末复习专题试卷及答案
八年级数学上册第十三章《轴对称》综合测试题-人教版(含答案)
八年级数学上册第十三章《轴对称》综合测试题-人教版（含答案）题号一二三总分19 20 21 22 23 24分数一、选择题(每题3分，共30分)1以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（）A．1，1，2 B．1，1，3 C．2，2，1 D．2，2，52如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是（）A．∠B＝∠C B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CADC．AD⊥BC，BD＝CD D．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD3如图，DE是△ABC中AB边的垂直平分线，若BC＝6，AC＝8，则△BCE的周长为（）A．10 B．12 C．14 D．164．如图，直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A＝120°，∠B＝110°，那么∠BCD的度数为( )A．50° B．60° C．70° D．80°5．如图，在等腰△ABO中，∠ABO＝90°，腰长为2，则A点关于y轴的对称点的坐标为（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，﹣2）C．（2，2）D．（2，﹣2）6．以下叙述中不正确的是（）A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线B．有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形C．等腰三角形一定是锐角三角形D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等7．如图①，在边长为4cm的正方形ABCD中，点P从点A出发，沿AB→BC的路径匀速运动，当点C停止，过点P作PQ∥BD，PQ与边AD（或边CD）交于点Q，PQ的长度y（cm）与点P的运动时间x（s）的函数关系图象如图②所示，当点P运动2.5s时，PQ的长是（）cm．A．B．C．D．8.如图13-5，P是∠AOB外的一点，M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q 恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R恰好落在MN的延长线上.若PM=2.5 cm，PN=3 cm，MN=4 cm，则线段QR的长为（）A.4.5 cmB.5.5 cmC.6.5 cmD.7 cm图13-5 图13-69.如图13-6，已知在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BD⊥AC，DE⊥BC，D，E分别为垂足，下列结论中正确的是（）A.AC=2ABB.AC=8ECC.CE=12BDD.BC=2BD10. 如图，△ABE、△ADC和△ABC分别是关于AB，AC边所在直线的轴对称图形，若∠1：∠2：∠3＝7：2：1，则∠α的度数为（）A．90°B．108°C．110°D．126°二、填空题(每题3分，共24分)11如图所示，分别将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为P，Q，M，N的四个图形，按照“由哪个正方形剪开后拼成的轴对称图形”的对应关系：A与对应，B与对应，C与对应，D与对应．12如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C，D两地，此时可以判断C，D到B的距离相等，用到的数学道理是．13如图在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为．14设点P（2m﹣3，3﹣m）关于y轴的对称点在第二象限，则整数m的值为．15如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为．16定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝32°，以点C为圆心、BC的长为半径作弧，交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠ABE的大小为______.18.如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC ＝84°，则∠BDC＝______.三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)19．如图，已知△ABC，（1）分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2；（2）直接写出B1和B2点坐标．20．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列四个条件：①∠EBD＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD；④OB＝OC．上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形，选择其中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．21．如图，△ABC中，AB＝AC，DE是腰AB的垂直平分线．（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；（2）若AB＝9，BC＝5，求△BDC的周长．22．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB延长线于点E，连接CE．求证：∠BCE＝∠A+∠ACB．23．已知△ABC中，AC=BC，∠C=120°，点D为AB边的中点，∠EDF=60°，DE、DF分别交AC、BC于E、F点．（1）如图1，若EF∥AB．求证：DE=DF．（2）如图2，若EF与AB不平行．则问题（1）的结论是否成立？说明理由．24．已知等腰ABC，AC AB⊥交BA延长线于点D，点P在直线AC上=，30ABC∠=︒，CD AB运动，连接BP，以BP为边，并在BP的左侧作等边三角形BPE，连接AE．(1)如图1，当BP AC≌△△；⊥时，求证：ABP ACD(2)如图2，当点D与点E在直线CP同侧时，求证：AP AB AE=+；(3)在点P运动过程中，是否存在定直线，使得线段BE、CE始终关于这条直线对称，若存在，指出这一条直线，并加以证明：若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题(每题3分，共30分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C D C D C C D B D B二、填空题(每题3分，共24分)11如图所示，分别将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为P，Q，M，N的四个图形，按照“由哪个正方形剪开后拼成的轴对称图形”的对应关系：A与对应，B与对应，C与对应，D与对应．【考点】轴对称图形．【答案】见试题解答内容【分析】应根据各图形组成特征找出对应关系．【解答】解：A剪开后是三个三角形，B和C剪开后是两个直角梯形和一个三角形，D剪开后是两个三角形和一个四边形，因而，A与G对应，B与E对应，C与F对应，D与H对应．12如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C，D两地，此时可以判断C，D到B的距离相等，用到的数学道理是．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】三角形．【答案】见试题解答内容【分析】先根据题意得到AB垂直平分CD，然后根据线段垂直平分线的性质可判断C，D到B的距离相等．【解答】解：∵AB⊥CD，AC＝AD，∴AB垂直平分CD，∴BC＝BD，即C，D到B的距离相等．故答案为：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．13如图在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为．【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】推理填空题．【答案】见试题解答内容【分析】根据等边三角形的性质得到AD＝4，AC＝8，∠A＝∠C＝60°，根据直角三角形的性质得到AE＝AD＝2，计算即可．【解答】解：等边△ABC中，D是AB的中点，AB＝8，∴AD＝4，BC＝AC＝8，∠A＝∠C＝60°，∵DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，∴∠AFD＝∠CFE＝90°，∴AE＝AD＝2，∴CE＝8﹣2＝6，∴CF＝CE＝3，∴BF＝5，故答案为：5．14设点P（2m﹣3，3﹣m）关于y轴的对称点在第二象限，则整数m的值为．【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解；关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】平面直角坐标系；数感；运算能力．【答案】2．【分析】由于点P关于y轴的对称点在第二象限，则点P在第一象限，再根据点的坐标特征，即可得出整数m的值．【解答】解：由于点P关于y轴的对称点在第二象限，则点P在第一象限．依题意有解得＜m＜3．因为m为整数，所以m＝2，故答案为：2．15如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为．【考点】等边三角形的性质；轴对称﹣最短路线问题．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据等边三角形的性质得到AC＝BC，∠B＝60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，根据直角三角形的性质得到BG＝2BF＝14，求得EG＝8，于是得到结论．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠B＝60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，∵∠B＝60°，∠BFG＝90°，∴∠G＝30°，∵BF＝7，∴BG＝2BF＝14，∴EG＝8，∵CE＝CG＝4，∴AC＝BC＝10，故答案为：10．16定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．【考点】等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【答案】见试题解答内容【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或17．21°解析：∵AB＝AC，∠A＝32°，∴∠ABC＝∠ACB＝74°.依题意可知BC＝EC，∴∠BEC ＝∠EBC＝53°，∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝74°－53°＝21°.18．96°解析：如图，过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于点F.∵AD是∠BAC的平分线，∴DE ＝DF .∵DP 是BC 的垂直平分线，∴BD ＝CD .在Rt△DEB 和Rt△DFC 中，⎩⎨⎧DB ＝DC ，DE ＝DF ，∴Rt△DEB ≌Rt△DFC (HL)．∴∠BDE ＝∠CDF ，∴∠BDC ＝∠EDF .∵∠DEB ＝∠DFA ＝90°，∠BAC ＝84°，∴∠BDC ＝∠EDF ＝360°－90°－90°－84°＝96°.三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)19．如图，已知△ABC ，（1）分别画出与△ABC 关于x 轴、y 轴对称的图形△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2；（2）直接写出B 1和B 2点坐标．【分析】（1）分别作出点A 、B 、C 关于x 轴、y 轴对称的点，然后顺次连接；（2）根据坐标系的特点，写出点B 1和B 2的坐标．【解答】解：（1）所作图形如图所示：；（2）B1（2，2），B2（﹣2，﹣4）．20．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列四个条件：①∠EBD＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD；④OB＝OC．上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形，选择其中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．【分析】①③；②③；①④；②④都可以组合证明△ABC是等腰三角形；选①③为条件证明△ABC是等腰三角形，首先证明△EBO≌△DCO，可得BO＝CO，根据等边对等角可得∠OBC ＝∠OCB，进而得到∠ABC＝∠ACB，根据等角对等边可得AB＝AC，即可得到△ABC是等腰三角形．【解答】①③；②③；②④都可以组合证明△ABC是等腰三角形；选①③为条件证明△ABC是等腰三角形；证明：∵在△EBO和△DCO中，∵，∴△EBO≌△DCO（AAS），∴BO＝CO，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠EBO+∠OBC＝∠DCO+∠OCB，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．21．解：（1）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝＝70°．∵DE是腰AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∠DBA＝∠A＝40°，∴∠DBC＝70°﹣40°＝30°；（2）由（1）得：AD＝BD，∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝AB+BC＝9+5＝14．答：△BDC的周长是14．22．证明：∵BC的垂直平分线交BC于点D，交AB延长线于点E，∴CE＝BE，∴∠ECB＝∠EBC，∵∠EBC＝∠A+∠ACB，∴∠BCE＝∠A+∠ACB．23.【答案】（1）解：∵EF∥AB．∴∠FEC=∠A=30°．∠EFC=∠B=30°∴EC=CF．又∵AC=BC∴AE=BFD是AB中点．∴DB=AD∴△ADE≌△BDF．∴DE=DF（2）解：过D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．∵AC=BC，∴∠A=∠B，又∵∠ACB=120°，∴∠A=∠B=（180°﹣∠ACB）÷2=30°，∴∠ADM=∠BDN=60°，∴∠MDN=180°﹣∠ADM﹣∠BDN=60°．∵AC=BC、AD=BD，∴∠ACD=∠BCD，∴DM=DN．由∠MDN=60°、∠EDF=60°，可知：一当M 与E 重合时，N 就一定与F 重合．此时：DM=DE 、DN=DF ，结合证得的DM=DN ，得：DE=DF ．二当M 落在C 、E 之间时，N 就一定落在B 、F 之间．此时：∠EDM=∠EDF﹣∠MDF=60°﹣∠MDF，∠FDN=∠MDN﹣∠MDF=60°﹣∠MDF，∴∠EDM=∠FDN，又∵∠DME=∠DNF=90°、DM=DN ，∴△DEM≌△DFN（ASA ），∴DE=DF．三当M 落在A 、E 之间时，N 就一定落在C 、F 之间．此时：∠EDM=∠MDN﹣∠EDN=60°﹣∠EDN，∠FDN=∠EDF﹣∠EDN=60°﹣∠EDN，∴∠EDM=∠FDN，又∵∠DME=∠DNF=90°、DM=DN ，∴△DEM≌△DFN（ASA ），∴DE=DF．综上一、二、三所述，得：DE=DF ．24. (1)证明∶如图1，∵CD ⊥AB ， BP ⊥AC ，∴∠ADC =∠APB =90°，∵在△ABP 和△ACD 中，ADC APB CAD BAP AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABP ≌△ACD ；(2)证明：如图3，在PA 上取一点M ，使得PM =AB ，∵△BPE是等边三角形，∴BE=PE，∠BEP=60°，∵AB=AC，∠ABC=30°，∴∠ACB=∠ABC=30°，∴∠BAP=∠ABC+∠ACB=60*，∴∠BEP=∠BAP，∴∠EPM=∠EBA，∴△PEM≌△BEA，∴EM=AE，∠PEM=∠BEA，∴∠AEM=∠AEB+∠BEM=∠PEM+∠MEB=∠BEP=60°，∴△AEM是等边三角形，∵AE=AM，∴AP=AM+PM=AE+AB；(3)解∶存在定直线，使得线段BE、CE始终关于这条直线对称，理由如下：①当点D与点E在直线CP同侧时，连接CE，如图4，∵△AEM是等边三角形，∴∠EAM=60°，∵∠BAP =60°，∴∠DAE =180°-∠DAE -∠EAM =60°，∴∠CAE =CAD +∠DAE =120°，∠BAE =∠BAP +∠AEM =120°，∴∠CAE =∠BAE ，∵在△CAE 和△BAE 中AE AE CAE BAE AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CAE ≌△BAE ，∴CE =BE ，∴点E 在线段BC 的垂直平分线上，△CEB 是等腰三角形，∵等腰三角形CEB 的对称轴为线段BC 的垂直平分线，∴线段BE 、CE 始终关于线段BC 的垂直平分线对称；②当点D 与点E 在直线CP 两侧时，在PC 上取一点M ，使得PM = BA ，如图5，∵△BPE 是等边三角形，∴BE =PE ，∠BEP =60°，∵AB =AC ，∠ABC =30°，∴∠ACB =∠ABC =30°，∴∠BAP =∠ABC +∠ACB =60°，∴∠BEP =∠BAP ，∴∠EPM =∠EBA ，∴△PEM ≌△BEA ，∴∠PME =∠BAE ， EM =AE ，∴∠PME =∠MAE ，∴∠MAE =∠BAE ，∵△ACE 和△ABE 中，CA AB MAE BAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△ABE ，∴CE =BE ，∴点E 在线段BC 的垂直平分线上，△CEB 是等腰三角形，∵等腰三角形CEB 的对称轴为线段BC 的垂直平分线，∴线段BE 、CE 始终关于线段BC 的垂直平分线对称；即∶在点P 运动过程中，存在定直线（线段BC 的垂直平分线），使得线段BE 、CE 始终关于这条直线对称．。
人教版八年级数学上《全等三角形》《轴对称》期末复习提优题及答案解析
人教版八年级数学上《全等三角形》《轴对称》期末复习提优题及答案解析八年级[上]数学期末《全等三角形》《轴对称》复习一.选择题(共4小题)1.如图,Rt△ACB中,∠ACB90°,∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P,分别交AC和BC的延长线于E,D.过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H,交BC的延长线于点F,连接AF交DH于点G.则下列结论:①∠APB45°;②PFPA;③BD?AHAB;④DGAP+GH.其中正确的是( )A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④2.如图,将30°的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置,使B点的对应点D落在BC边上,连接EB、EC,则下列结论:①∠DAC∠DCA;②ED 为AC的垂直平分线;③EB平分∠AED;④ED2AB.其中正确的是( )A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④3.如图,Rt△ACB中,∠ACB90°,△ABC的角平分线AD、BE相交于点P,过P 作PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于点H,则下列结论:①∠APB135°;②PFPA;③AH+BDAB;④S四边形ABDES△ABP,其中正确的是( )A. ①③B. ①②④C. ①②③D. ②③4.如图,在四边形ABCD中,∠B∠C90°,∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC 边上的M点,则下列结论:①∠AMD90°;②M为BC的中点;③AB+CDAD;④;⑤M到AD的距离等于BC的一半;其中正确的有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二.解答题(共8小题)5.如图1,在Rt△ACB中,∠ACB90°,∠ABC30°AC1点D为AC上一动点,连接BD,以BD为边作等边△BDE,EA的延长线交BC的延长线于F,设CDn,(1)当n1时,则AF _________ ;(2)当0<n<1时,如图2,在BA上截取BHAD,连接EH,求证:△AEH为等边三角形.6.两个等腰直角△ABC和等腰直角△DCE如图1摆放,其中D点在AB上,连接BE.(1)则 _________ ,∠CBE _________ 度;(2)当把△DEF绕点C旋转到如图2所示的位置时(D点在BC上),连接AD并延长交BE于点F,连接FC,则 _________ ,∠CFE _________ 度;(3)把△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,请求出∠CFE的度数_________ .7.已知△ABC为边长为10的等边三角形,D是BC边上一动点:①如图1,点E在AC上,且BDCE,BE交AD于F,当D点滑动时,∠AFE的大小是否变化?若不变,请求出其度数.②如图2,过点D作∠ADG60°与∠ACB的外角平分线交于G,当点D在BC上滑动时,有下列两个结论:①DC+CG的值为定值;②DG?CD的值为定值.其中有且只有一个是正确的,请你选择正确的结论加以证明并求出其值.8.如图,点A、C分别在一个含45°的直角三角板HBE的两条直角边BH和BE 上,且BABC,过点C作BE的垂线CD,过E点作EF上AE交∠DCE的角平分线于F 点,交HE于P.(1)试判断△PCE的形状,并请说明理由;(2)若∠HAE120°,AB3,求EF的长.9.如图,AD是△ABC的角平分线,H,G分别在AC,AB上,且HDBD.(1)求证:∠B与∠AHD互补;(2)若∠B+2∠DGA180°,请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系,并加以证明.10.如图,在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中,∠BDE∠ACB90°,且BE在AB 边上,取AE的中点F,CD的中点G,连接GF.(1)FG与DC的位置关系是 _________ ,FG与DC的数量关系是 _________ ;(2)若将△BDE绕B点逆时针旋转180°,其它条件不变,请完成下图,并判断(1)中的结论是否仍然成立?请证明你的结论.11.如图1,△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q.(1)试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论.(2)若连接EF交GA的延长线于H,由(1)中的结论你能判断并证明EH与FH 的大小关系吗?(3)图2中的△ABC与△AEF的面积相等吗?(不用证明)12.已知如图1:△ABC中,ABAC,∠B、∠C的平分线相交于点O,过点O作EF‖BC交AB、AC于E、F.①图中有几个等腰三角形?请说明EF与BE、CF间有怎样的关系.②若AB≠AC,其他条件不变,如图2,图中还有等腰三角形吗?如果有,请分别指出它们.另第①问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?③若△ABC中,∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O,过O点作OE‖BC交AB于E,交AC于F.如图3,这时图中还有哪几个等腰三角形?EF与BE、CF间的关系如何?为什么?八年级[?]数学期末《全等三角形》《轴对称》复习提优题【大海之音组卷】参考答案与试题解析一.选择题(共4小题)1.如图,Rt△ACB中,∠ACB90°,∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P,分别交AC和BC的延长线于E,D.过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H,交BC的延长线于点F,连接AF交DH于点G.则下列结论:①∠APB45°;②PFPA;③BD?AHAB;④DGAP+GH.其中正确的是( )A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④考点: 直角三角形的性质;角平分线的定义;垂线;全等三角形的判定与性质.4387773专题: 推理填空题.分析: ①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP,再根据角平分线的定义∠ABP∠ABC,然后利用三角形的内角和定理整理即可得解;②③先根据直角的关系求出∠AHP∠FDP,然后利用角角边证明△AHP与△FDP全等,根据全等三角形对应边相等可得DFAH,对应角相等可得∠PFD∠HAP,然后利用平角的关系求出∠BAP∠BFP,再利用角角边证明△ABP与△FBP全等,然后根据全等三角形对应边相等得到ABBF,从而得解;④根据PF⊥AD,∠ACB90°,可得AG⊥DH,然后求出∠ADG∠DAG45°,再根据等角对等边可得DGAG,再根据等腰直角三角形两腰相等可得GHGF,然后求出DGGH+AF,有直角三角形斜边大于直角边,AF>AP,从而得出本小题错误.解答: 解:①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线,∴∠ABP∠ABC,∠CAP(90°+∠ABC)45°+∠ABC,在△ABP中,∠APB180°?∠BAP?∠ABP, 180°?(45°+∠ABC+90°?∠ABC)?∠ABC, 180°?45°?∠ABC?90°+∠ABC?∠ABC, 45°,故本小题正确;②③∵∠ACB90°,PF⊥AD,∴∠FDP+∠HAP90°,∠AHP+∠HAP90°, ∴∠AHP∠FDP,∵PF⊥AD,∴∠APH∠FPD90°,在△AHP与△FDP中,,∴△AHP≌△FDP(AAS),∴DFAH,∵AD为∠BAC的外角平分线,∠PFD∠HAP, ∴∠PAE+∠BAP180°,又∵∠PFD+∠BFP180°,∴∠PAE∠PFD,∵∠ABC的角平分线,∴∠ABP∠FBP,在△ABP与△FBP中,,∴△ABP≌△FBP(AAS),∴ABBF,APPF故②小题正确;∵BDDF+BF,∴BDAH+AB,∴BD?AHAB,故③小题正确;④∵PF⊥AD,∠ACB90°,∴AG⊥DH,∵APPF,PF⊥AD,∴∠PAF45°,∴∠ADG∠DAG45°,∴DGAG,∵∠PAF45°,AG⊥DH,∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形,∴DGAG,GHGF,∴DGGH+AF,∵AF>AP,∴DGAP+GH不成立,故本小题错误,综上所述①②③正确.故选A.点评: 本题考查了直角三角形的性质,全等三角形的判定,以及等腰直角三角形的判定与性质,等角对等边,等边对等角的性质,综合性较强,难度较大,做题时要分清角的关系与边的关系.2.如图,将30°的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置,使B点的对应点D落在BC边上,连接EB、EC,则下列结论:①∠DAC∠DCA;②ED为AC的垂直平分线;③EB平分∠AED;④ED2AB.其中正确的是( )A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④考点: 旋转的性质;含30度角的直角三角形.4387773分析: 根据直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半,以及旋转的性质即可判断.解答: 解:①根据旋转的性质可以得到:ABAD,而∠ABD60°,则△ABD是等边三角形,可得到∠DAC30°,∴∠DAC∠DCA,故正确;②根据①可得ADCD,并且根据旋转的性质可得:ACAE,∠EAC60°,则△ACE是等边三角形,则EAEC,即D、E都到AC两端的距离相等,则DE在AC的垂直平分线上,故正确;③根据条件AB‖DE,而AB≠AE,即可证得EB平分∠AED不正确,故错误;④根据旋转的性质,DEBC,而BC2AB,即可证得ED2AB,故正确;故正确的是:①②④.故选B.点评: 正确理解旋转的性质,图形旋转前后两个图形全等是解决本题的关键.3.如图,Rt△ACB中,∠ACB90°,△ABC的角平分线AD、BE相交于点P,过P 作PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于点H,则下列结论:①∠APB135°;②PFPA;③AH+BDAB;④S四边形ABDES△ABP,其中正确的是( )A. ①③B. ①②④C. ①②③D. ②③考点: 全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.4387773分析: 根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐条分析判断.解答: 解:在△ABC中,AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC, ∵∠ACB90°,∴∠A+∠B90°,又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC,∴∠BAD+∠ABE(∠A+∠B)45°,∴∠APB135°,故①正确.∴∠BPD45°,又∵PF⊥AD,∴∠FPB90°+45°135°,∴∠APB∠FPB,又∵∠ABP∠FBP,BPBP,∴△ABP≌△FBP,∴∠BAP∠BFP,ABFB,PAPF,故②正确.在△APH和△FPD中,∵∠APH∠FPD90°,∠PAH∠BAP∠BFP,PAPF,∴△APH≌△FPD,∴AHFD,又∵ABFB,∴ABFD+BDAH+BD.故③正确.∵△ABP≌△FBP,△APH≌△FPD,∴S四边形ABDES△ABP+S△BDP+S△APH?S△EOH+S△DOPS△ABP+S△ABP?S△EOH+S△DOP2S△ABP?S△EOH+S△DOP.故选C.点评: 本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.4.如图,在四边形ABCD中,∠B∠C90°,∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC 边上的M点,则下列结论:①∠AMD90°;②M为BC的中点;③AB+CDAD;④;⑤M到AD的距离等于BC的一半;其中正确的有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个考点: 全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.4387773分析: 过M作ME⊥AD于E,得出∠MDE∠CDA,∠MAD∠BAD,求出∠MDA+∠MAD(∠CDA+∠BAD)90°,根据三角形内角和定理求出∠AMD,即可判断①;根据角平分线性质求出MCME,MEMB,即可判断②和⑤;由勾股定理求出DCDE,ABAE,即可判断③;根据SSS证△DEM≌△DCM,推出S三角形DEMS三角形DCM,同理得出S三角形AEMS三角形ABM,即可判断④.解答: 解:过M作ME⊥AD于E,∵∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点, ∴∠MDE∠CDA,∠MAD∠BAD,∵DC‖AB,∴∠CDA+∠BAD180°,∴∠MDA+∠MAD(∠CDA+∠BAD)×180°90°,∴∠AMD180°?90°90°,∴①正确;∵DM平分∠CDE,∠C90°(MC⊥DC),ME⊥DA,∴MCME,同理MEMB,∴MCMBMEBC,∴②正确;∴M到AD的距离等于BC的一半,∴⑤正确;∵由勾股定理得:DC2MD2?MC2,DE2MD2?ME2,又∵MEMC,MDMD,∴DCDE,同理ABAE,∴ADAE+DEAB+DC,∴③正确;∵在△DEM和△DCM中,∴△DEM≌△DCM(SSS),∴S三角形DEMS三角形DCM同理S三角形AEMS三角形ABM,∴S三角形AMDS梯形ABCD,∴④正确;故选D.点评: 本题考查了角平分线性质,垂直定义,直角梯形,勾股定理,全等三角形的性质和判定等知识点的应用,主要考查学生运用定理进行推理的能力.二.解答题(共8小题)5.如图1,在Rt△ACB中,∠ACB90°,∠ABC30°AC1点D为AC上一动点,连接BD,以BD为边作等边△BDE,EA的延长线交BC的延长线于F,设CDn,(1)当n1时,则AF 2 ;(2)当0<n<1时,如图2,在BA上截取BHAD,连接EH,求证:△AEH为等边三角形.考点: 含30度角的直角三角形;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.4387773专题: 动点型.分析: (1)根据三角形内角和定理求出∠BAC60°,再根据平角等于180°求出∠FAC60°,然后求出∠F30°,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可;(2)根据三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用∠CBD 表示出∠ADE30°+∠CBD,又∠HBE30°+∠CBD,从而得到∠ADE∠HBE,然后根据边角边证明△ADE与△HBE全等,根据全等三角形对应边相等可得AEHE,对应角相等可得∠AED∠HEB,然后推出∠AEH∠BED60°,再根据等边三角形的判定即可证明.解答: (1)解:∵△BDE是等边三角形,∴∠EDB60°,∵∠ACB90°,∠A BC30°,∴∠BAC180°?90°?30°60°,∴FAC180°?60°?60°60°,∴∠F180°?90°?60°30°,∵∠ACB90°,∴∠ACF180°?90°,∴AF2AC2×12;(2)证明:∵△BDE是等边三角形,∴BEBD,∠EDB∠EBD60°,在△BCD中,∠ADE+∠EDB∠CBD+∠C,即∠ADE+60°∠CBD+90°,∴∠ADE30°+∠CBD,∵∠HBE+∠ABD60°,∠CBD+∠ABD30°, ∴∠HBE30°+∠CBD,∴∠ADE∠HBE,在△ADE与△HBE中,,∴△ADE≌△HBE(SAS),∴AEHE,∠AED∠HEB,∴∠AED+∠DEH∠DEH+∠HEB,即∠AEH∠BED60°,∴△AEH为等边三角形.点评: 本题考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质与判定,以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,(2)中求出∠ADE∠HBE是解题的关键.6.两个等腰直角△ABC和等腰直角△DCE如图1摆放,其中D点在AB上,连接BE.(1)则 1 ,∠CBE 45 度;(2)当把△DEF绕点C旋转到如图2所示的位置时(D点在BC上),连接AD并延长交BE于点F,连接FC,则 1 ,∠CFE 45 度;(3)把△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,请求出∠CFE的度数135° .考点: 圆周角定理;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形;确定圆的条件.4387773分析: (1)先证明∠ACD∠BCE,再根据边角边定理证明△ACD≌△BCE,然后根据全等三角形对应边相等和对应角相等解答;(2)根据(1)的思路证明△ACD和△BCE全等,再根据全等三角形对应边相等得BEAD,对应角相等得∠DAC∠DBF,又AC⊥CD,所以AF⊥BF,从而可以得到C、E、F、D四点共圆,根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠CFE∠CDE45°;(3)同(2)的思路,证明C、F、D、E四点共圆,得出∠CFD∠CED45°,而∠DEF90°,所以∠CFE的度数即可求出.解答: 解:(1)∵△ABC和△DCE是等腰三角形,∴ACBC,CDCE,∵∠ACB∠DCE90°,∴∠ACB?∠BCD∠DCE?∠BCD, 即∠ACD∠BCE,在△ACD和△BCE中,,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴BEAD,∠CBE∠CAD45°,因此1,∠CBE45°;(2)同(1)可得BEAD,∴1,∠CBE∠CAD;又∵∠ACD90°,∠ADC∠BDF, ∴∠BFD∠ACD90°;又∵∠DCE90°,∴C、E、F、D四点共圆,∴∠CFE∠CDE45°;(3)同(2)可得∠BFA90°,∴∠DFE90°;又∵∠DCE90°,∴C、F、D、E四点共圆,∴∠CFD∠CED45°,∴∠CFE∠CFD+∠DFE45°+90°135°.点评: 本题综合考查了等边对等角的性质,三角形全等的判定和全等三角形的性质,四点共圆以及同弧所对的圆周角相等的性质,需要熟练掌握并灵活运用.7.已知△ABC为边长为10的等边三角形,D是BC边上一动点:①如图1,点E在AC上,且BDCE,BE交AD于F,当D点滑动时,∠AFE的大小是否变化?若不变,请求出其度数.②如图2,过点D作∠ADG60°与∠ACB的外角平分线交于G,当点D在BC上滑动时,有下列两个结论:①DC+CG的值为定值;②DG?CD的值为定值.其中有且只有一个是正确的,请你选择正确的结论加以证明并求出其值.考点: 等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质.4387773专题: 探究型.分析: ①∠AFE的大小不变,其度数为60°,理由如下:由三角形ABC为等边三角形,得到三条边相等,三个内角相等,都为60°,可得出ABBC,∠ABD∠C,再由BDCE,利用SAS可得出三角形ABD与三角形BCE全等,根据全等三角形的对应角相等可得出∠BAD∠CBE,在三角形ABD中,由∠ABD为60°,得到∠BAD+∠ADB的度数,等量代换可得出∠CBE+∠ADB的度数,利用三角形的内角和定理求出∠BFD的度数,根据对应角相等可得出∠AFE∠BFD,可得出∠AFE的度数不变;②连接AG,如图所示,由三角形ABC为等边三角形,得出三条边相等,三个内角都相等,都为60°,再由CG为外角平分线,得出∠ACG也为60°,由∠ADG为60°,可得出A,D,C,G四点共圆,根据圆内接四边形的对角互补可得出∠DAG与∠DCG互补,而∠DCG为120°,可得出∠DAG为60°,根据∠BAD+∠DAC∠DAC+∠CAG60°,利用等式的性质得到∠BAD∠CAG,利用ASA可证明三角形ABD与三角形ACG全等,利用全等三角形的对应边相等可得出BDCG,由BCBD+DC,等量代换可得出CG+CDBC,而BC10,即可得到DC+CG为定值10,得证.解答: 解:①∠AFE的大小不变,其度数为60°,理由为:∵△ABC为等边三角形,∴ABBC,∠ABD∠C60°,在△ABD和△BCE中,,∴△ABD≌△BCE(SAS),∴∠BAD∠CBE,又∠BAD+∠ADB120°,∴∠CBE+∠ADB120°,∴∠BFD60°,则∠AFE∠BFD60°;②正确的结论为:DC+CG的值为定值,理由如下:连接AG,如图2所示:∵△ABC为等边三角形,∴ABBCAC,∠ABD∠ACB∠BAC60°,又CG为∠ACB的外角平分线,∴∠ACG60°,又∵∠ADG60°,∴∠ADG∠ACG,即A,D,C,G四点共圆,∴∠DAG+∠DCG180°,又∠DCG120°,∴∠DAG60°,即∠DAC+∠CAG60°,又∵∠BAD+∠DAC60°,∴∠BAD∠GAC,在△ABD和△ACG中,∵,∴△ABD≌△ACG(ASA),∴DBGC,又BC10,则BCBD+DCDC+CG10,即DC+CG的值为定值.点评: 此题考查了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,四点共圆的条件,以及圆内接四边形的性质,利用了等量代换及转化的思想,熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键.8.如图,点A、C分别在一个含45°的直角三角板HBE的两条直角边BH和BE 上,且BABC,过点C作BE的垂线CD,过E点作EF上AE交∠DCE的角平分线于F 点,交HE于P.(1)试判断△PCE的形状,并请说明理由;(2)若∠HAE120°,AB3,求EF的长.考点: 全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.4387773专题: 计算题;证明题.分析: (1)根据∠PCE∠DCE×90°45°,求证∠CPE90°,然后即可判断三角形的形状.(2)根据∠HEB∠H45°得HBBE,再根据BABC和∠HAE120°,利用ASA求证△HAE≌△CEF,得AEEF,又因为AE2AB.然后即可求得EF.解答: 解:(1)△PCE是等腰直角三角形,理由如下:∵∠PCE∠DCE×90°45°∠PEC45°∴∠PCE∠PEC∠CPE90°∴△PCE是等腰直角三角形h(2)∵∠HEB∠H45°∴HBBE∵BABC∴AHCE而∠HAE120°∴∠BAE60°,∠AEB30°又∵∠AEF90°∴∠CEF120°∠HAE而∠H∠FCE45°∴△HAE≌△CEF(ASA)∴AEEF又∵AE2AB2×36∴EF6点评: 此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形等知识点的理解和掌握,解答(2)的关键是利用ASA求证△HAE≌△CEF,此题有一定的拔高难度,属于中档题.9.如图,AD是△ABC的角平分线,H,G分别在AC,AB上,且HDBD.(1)求证:∠B与∠AHD互补;(2)若∠B+2∠DGA180°,请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系,并加以证明.考点: 全等三角形的判定与性质.4387773专题: 证明题.分析: (1)在AB上取一点M,使得AMAH,连接DM,则利用SAS可得出△AHD≌△AMD,从而得出HDMDDB,即有∠DMB∠B,通过这样的转化可证明∠B与∠AHD互补.(2)由(1)的结论中得出的∠AHD∠AMD,结合三角形的外角可得出∠DGM∠GDM,可将HD转化为MG,从而在线段AG上可解决问题.解答: 证明:(1)在AB上取一点M,使得AMAH,连接DM,∵,∴△AHD≌△AMD,∴HDMD,∠AHD∠AMD,∵HDDB,∴DBMD,∴∠DMB∠B,∵∠AMD+∠DMB180°,∴∠AHD+∠B180°,即∠B与∠AHD互补.(2)由(1)∠AHD∠AMD,HDMD,∠AHD+∠B180°,∵∠B+2∠DGA180°,∠AHD2∠DGA,∴∠AMD2∠DGM,又∵∠AMD∠DGM+∠GDM,∴2∠DGM∠DGM+∠GDM,即∠DGM∠GDM,∴MDMG,∴HDMG,∵AGAM+MG,∴AGAH+HD.点评: 本题考查了全等三角形的判定及性质,结合了等腰三角形的知识,解决这两问的关键都是通过全等图形的对应边相等、对应角相等,将题目涉及的角或边进行转化.10.如图,在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中,∠BDE∠ACB90°,且BE在AB 边上,取AE的中点F,CD的中点G,连接GF.(1)FG与DC的位置关系是 FG⊥CD ,FG与DC的数量关系是 FGCD ;(2)若将△BDE绕B点逆时针旋转180°,其它条件不变,请完成下图,并判断(1)中的结论是否仍然成立?请证明你的结论.考点: 全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.4387773专题: 探究型.分析: (1)证FG和CD的大小和位置关系,我们已知了G是CD的中点,猜想应该是FG⊥CD,FGCD.可通过构建三角形连接FD,FC,证三角形DFC是等腰直角三角形来得出上述结论,可通过全等三角形来证明;延长DE交AC于M,连接FM,证明三角形DEF和FMC全等即可.我们发现BDMC是个矩形,因此BDCMDE.由于三角形DEB和ABC都是等腰直角三角形,∠BED∠A45°,因此∠AEM∠A45°,这样我们得出三角形AEM是个等腰直角三角形,F是斜边AE的中点,因此MFEF,∠AMF∠BED45°,那么这两个角的补角也应当相等,由此可得出∠DEF∠FMC,这样就构成了三角形DEF和CMF的全等的所有条件,可得到DFFC,即三角形DFC是等腰三角形,下面证直角.根据两三角形全等,我们还能得出∠MFC∠DFE,我们知道∠MFC+∠CFE90°,因此∠DFE+∠CFE∠DFC90°,这样就得出三角形DFC是等腰直角三角形了,也就能得出FG⊥CD,FGCD的结论了.(2)和(1)的证法完全一样.解答: 解:(1)FG⊥CD,FGCD.(2)延长ED交AC的延长线于M,连接FC、FD、FM,∴四边形BCMD是矩形.∴CMBD.又△ABC和△BDE都是等腰直角三角形,∴EDBDCM.∵∠AEM∠A45°,∴△AEM是等腰直角三角形.又F是AE的中点,∴MF⊥AE,EFMF,∠EDF∠MCF.∵在△EFD和△MFC中,∴△EFD≌△MFC.∴FDFC,∠EFD∠MFC.又∠EFD+∠DFM90°,∴∠MFC+∠DFM90°.即△CDF是等腰直角三角形,又G是CD的中点,∴FGCD,FG⊥CD.点评: 本题中通过构建全等三角形来证明线段和角相等是解题的关键.11.如图1,△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q.(1)试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论.(2)若连接EF交GA的延长线于H,由(1)中的结论你能判断并证明EH与FH 的大小关系吗?(3)图2中的△ABC与△AEF的面积相等吗?(不用证明)考点: 全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.4387773分析: (1)根据全等三角形的判定得出△ABG≌△EAP,进而求出AGEP.同理AGFQ,即EPFQ.(2)过点E作EP⊥GA,FQ⊥GA,垂足分别为P、Q.根据全等三角形的判定和性质即可解题.(3)由(1)、(2)中的全等三角形可以推知△ABC与△AEF的面积相等.解答: 解:(1)EPFQ,理由如下:如图1,∵Rt△ABE是等腰三角形,∴EABA.∵∠PEA+∠PAE90°,∠PAE+∠BAG90°,∴∠PEA∠BAG在△EAP与△ABG中,,∴△EAP≌△ABG(AAS),∴EPAG.同理AGFQ.∴EPFQ.(2)如图2,HEHF.理由:过点E作EP⊥GA,FQ⊥GA,垂足分别为P、Q.由(1)知EPFQ.在△EPH与△FQH中,∵,∴△EPH≌△FQH(AAS).∴HEHF;(3)相等.理由如下:由(1)知,△ABG≌△EAP,△FQA≌△AGC,则S△ABGS△EAP,S△FQAS△AGC.由(2)知,△EPH≌△FQH,则S△EPHS△FQH,所以S△ABCS△ABG+S△AGCS△EAP?S△EPH+S△FQA?S△FQHS△EAP+S△FQAS △AEF,即S△ABCS△AEF.故图2中的△ABC与△AEF的面积相等.点评: 本题考查了全等三角形的证明,考查了全等三角形对应边相等的性质,考查了三角形内角和为180°的性质,考查了等腰三角形腰长相等的性质,本题中求证△AFQ≌△CAG是解题的关键.12.已知如图1:△ABC中,ABAC,∠B、∠C的平分线相交于点O,过点O作EF‖BC交AB、AC于E、F.①图中有几个等腰三角形?请说明EF与BE、CF间有怎样的关系.②若AB≠AC,其他条件不变,如图2,图中还有等腰三角形吗?如果有,请分别指出它们.另第①问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?③若△ABC中,∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O,过O点作OE‖BC交AB于E,交AC于F.如图3,这时图中还有哪几个等腰三角形?EF与BE、CF间的关系如何?为什么?考点: 等腰三角形的判定与性质;平行线的性质.4387773专题: 计算题;证明题.分析: (1)根据EF‖BC,∠B、∠C的平分线交于O点,可得∠EOB∠OBC,∠FOC ∠OCB,∠EOB∠OBE,∠FCO∠FOC,再加上题目中给出的ABAC,共5个等腰三角形;根据等腰三角形的性质,即可得出EF与BE、CF间有怎样的关系.(2)根据EF‖BC 和∠B、∠C的平分线交于O点,还可以证明出△OBE和△OCF 是等腰三角形;利用几个等腰三角形的性质即可得出EF与BE,CF的关系.(3)EO‖BC和OB,OC分别是∠ABC与∠ACL的角平分线,还可以证明出△BEO 和△CFO是等腰三角形.解答: 解:(1)有5个等腰三角形,EF与BE、CF间有怎样的关系是:EFBE+CF2BE2CF.理由如下:∵EF‖BC,∴∠EOB∠OBC,∠FOC∠OCB,又∠B、∠C的平分线交于O点,∴∠EBO∠OBC,∠FCO∠OCB,∴∠EOB∠OBE,∠FCO∠FOC,∴OEBE,OFCF,∴EFOE+OFBE+CF.又ABAC,∴∠ABC∠ACB,∴∠EOB∠OBE∠FCO∠FOC,∴EFBE+CF2BE2CF;(2)有2个等腰三角形分别是:等腰△OBE和等腰△OCF;第一问中的EF与BE,CF的关系是:EFBE+CF.(3)有,还是有2个等腰三角形,△EBO,△OCF,EFBE?CF,理由如下:∵EO‖BC,∴∠EOB∠OBC,∠EOC∠OCG(G是BC延长线上的一点)又∵OB,OC分别是∠ABC与∠ACG的角平分线∴∠EBO∠OBC,∠ACO∠OCG,∴∠EOB∠EBO,∴BEOE,∠FCO∠FOC,∴CFFO,又∵EOEF+FO,∴EFBE?CF.点评: 此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解和掌握,此题难度并不大,但是步骤繁琐,属于中档题,还有第(1)中容易忽略△ABC也是等腰三角形,因此这又是一道易错题.要求学生在证明此题时一定要仔细,认真.。
人教版八年级数学上学期期末复习：第13章《轴对称》填空题精选(含答案)
人教版八年级数学上学期期末复习：第13章《轴对称》填空题精选一．填空题（共30小题）1．（2020春•渝中区校级期末）如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在P A、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为．2．（2020春•沙坪坝区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM＝1，则PM+PN的最小值为．3．（2019秋•九龙坡区校级期末）已知△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝10，BC＝8，BD为∠ABC的平分线，点P 为线段BD上的一动点，过点P作线段AB的垂线，垂足为点M，连接AP，则PM+P A的最小值为．4．（2020春•沙坪坝区校级期末）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB 上，∠AED＝73°，若点P是等腰△ABC的腰上的一点，则当△EDP为以DE为腰的等腰三角形时，∠EDP的度数是．5．（2019秋•渝中区校级期末）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE＝6cm，∠B＝15°，则AC等于．6．（2019秋•渝中区校级期末）在平面直角坐标系中，若点A（a，b）与点B（1，﹣2）关于y轴对称，则a+b＝．7．（2019秋•巴南区期末）如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，点E，F分别在线段BD、CD上，点G在EF的延长线上，△EFD与△EFH关于直线EF对称，若∠A＝60°，∠BEH＝84°，∠HFG＝n°，则n＝．8．（2019秋•开州区期末）如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝4cm，△ADC的周长为10cm，则△ABC的周长是cm．9．（2019秋•两江新区期末）如图，在△ABC中，DB和DC分别平分∠ABC和∠ACB，过D作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，若EF＝5，BE＝3，则线段CF的长为．10．（2019秋•江津区期末）如图，在等腰△ABC的两腰AB、BC上分别取点D和E，使DB＝DE，此时恰有∠ADE= 12∠ACB，则∠A的度数是．11．（2019秋•九龙坡区期末）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣5）关于x轴对称点的点的坐标是．12．（2019秋•梁平区期末）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是BC，AB的中点，且AD＝4cm．F是AD上一动点，则BF+EF的最小值为cm．13．（2019秋•江北区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝7，则CE的长为．14．（2019秋•万州区期末）如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC＝3，则BE＝．15．（2019秋•长寿区期末）在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是．16．（2019秋•长寿区期末）等腰三角形一边长为4，另一边长为9，则它的周长是．17．（2019春•南岸区期末）如图，在△ABC中，过A作DE∥BC交∠ABC的平分线BD于点D、交∠ACB的平分线CE于点E．若BC＝7，DE＝9，则△ABC的周长为．18．（2018秋•南岸区期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABC三个顶点的横坐标分别乘以﹣1，而纵坐标保持不变，得到△A′B′C′，则△A′B′C′和△ABC关于对称（横线上填“x轴”、“y轴”或“原点”）．19．（2019春•渝中区校级期末）如图，△ABC中，AC＝BC，CE为△ABC的中线，BD为AC边上的高，BF平分∠CBD交CE于点G，连接AG交BD于点M，若∠AFG＝63°，则∠AMB的度数为°．20．（2018秋•渝中区期末）如图，已知∠BAC＝65°，D为∠BAC内部一点，过D作DB⊥AB于B，DC⊥AC于C，设点E、点F分别为AB、AC上的动点，当△DEF的周长最小时，∠EDF的度数为．21．（2018秋•合川区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∠BCD＝60°，若BD＝3cm，则AD＝cm．22．（2018秋•渝北区期末）如图，∠ABC＝20°，点D，E分别在射线BC，BA上，且BD＝3，BE＝3，点M，N 分别是射线BA，BC上的动点，求DM+MN+NE的最小值为．23．（2018秋•巴南区期末）如图，BE、CD分别是等边△ABC的高和角平分线，点O是它们的交点，若∠BOC＝m°，则m＝．24．（2018秋•江北区期末）在等腰△ABC中，一腰上的高与另一腰的夹角为26°，则底角的度数为．25．（2019春•沙坪坝区校级期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、F在同一直线上，CD＝CE，DF＝DG，则∠F＝度．26．（2019春•南岸区校级期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，∠B＝120°，线段AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，若AC＝12，则DE＝．27．（2019春•沙坪坝区校级期末）如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝15，BC＝17．D，P分别是线段AC，BC上的动点，则BD+DP的最小值是．28．（2019春•渝中区校级期末）在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线与AB所在直线相交所得的锐角为40°，∠C＝．29．（2019春•渝中区校级期末）如图，△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，CD＝4，CD为△ABC的中线，点E、点F分别为线段CD、CA上的动点，连接AE、EF，则AE+EF的最小值为．30．（2018秋•九龙坡区校级期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣3）关于x轴对称点的坐标为．参考答案一．填空题（共30小题）1．【解答】解：∵∠ABC ＝80°，∴∠BMN +∠BNM ＝100°，∵M 、N 分别在P A 、PC 的中垂线上，∴MA ＝MP ，NP ＝NC ，∴∠MP A ＝∠MAP =12∠BMN ，∠NPC ＝∠NCP =12∠BNM ，∴∠MP A +∠NPC =12×100°＝50°，∴∠APC ＝180°﹣50°＝130°， 故答案为：130°．2．【解答】解：如图所示，作点M 关于BD 的对称点M '，连接PM '，则PM '＝PM ，BM ＝BM '＝1， ∴PN +PM ＝PN +PM '，当N ，P ，M '在同一直线上，且M 'N ⊥AC 时，PN +PM '的最小值等于垂线段M 'N 的长，此时，∵Rt △AM 'N 中，∠A ＝30°，∴M 'N =12AM '=12（6﹣1）=52，∴PM +PN 的最小值为52， 故答案为：52．3．【解答】解：如图，过点P 作PK ⊥BC 于K ，过点A 作AH ⊥BC 于H ．∵AB ＝AC ＝10，AH ⊥BC ，∴BH ＝CH ＝4，∴∠AHB ＝90°，∴AH =√AA 2−AA 2=√102−42=2√21，∵BD 平分∠ABC ，PM ⊥AB ，PK ⊥BC ，∴PM ＝PK ，∴P A +PM ＝P A +PK ≥AH ，∴P A +PM ≥2√21，∴P A +PM 的最小值为2√21．4．【解答】解：∵AB ＝AC ，∠B ＝50°，∠AED ＝73°，∴∠EDB ＝23°，∵当△DEP 是以DE 为腰的等腰三角形，①当点P 在AB 上，∵DE ＝DP 1，∴∠DP 1E ＝∠AED ＝73°，∴∠EDP 1＝180°﹣73°﹣73°＝34°，②当点P 在AC 上，∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴∠BAD ＝∠CAD ，过D 作DG ⊥AB 于G ，DH ⊥AC 于H ，∴DG ＝DH ，在Rt △DEG 与Rt △DP 2H 中，{AA =AA 2AA =AA， ∴Rt △DEG ≌Rt △DP 2H （HL ），∴∠AP 2D ＝∠AED ＝73°，∵∠BAC ＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠EDP 2＝134°，③当点P 在AC 上，同理证得Rt △DEG ≌Rt △DPH （HL ），∴∠EDG ＝∠P 3DH ，∴∠EDP 3＝∠GDH ＝180°﹣80°＝100°，④当点P 在AB 上，EP ＝ED 时，∠EDP =12（180°﹣73°）＝53.5°．故答案为：34°或53.5°或100°或134°．5．【解答】解：∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝15°，∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°，∵DE垂直平分AB，BE＝6cm，∴BE＝AE＝6cm，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠EAC＝75°﹣15°＝60°，∵∠C＝90°，∴∠AEC＝30°，∴AC=12AE=12×6cm＝3cm，故答案为：3cm．6．【解答】解：∵点A（a，b）与点B（1，﹣2）关于y轴对称，∴a＝﹣1，b＝﹣2，∴a+b＝﹣3，故答案为：﹣3．7．【解答】解：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCM，设∠ABD＝∠DBC＝x，∠ACD＝∠DCM＝y，∵∠A+∠ABC＝∠ACM，∴12∠A+12∠ABC=12∠ACM，即30°+x＝y，∵∠D+∠DBC＝∠DCM，∴∠D+x＝y，∴∠D＝30°，∵EFD与△EFH关于直线EF对称，∠BEH＝84°，∴∠DEG＝∠HEG=180°−84°2=48°，∴∠HFG＝n°＝∠DFG＝48°+30°＝78°则n＝78．故答案为：78．8．【解答】解：∵DE是△ABC中边AB的垂直平分线，∴AD＝BD，AB＝2AE＝2×4＝8（cm），∵△ADC的周长为10cm，即AD+AC+CD＝BD+CD+AC＝BC+AC＝10cm，∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝8+10＝18（cm）．故答案为：18．9．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠EDB，∴BE＝ED，同理DF＝CF，∴EF＝3+CF＝5，∴CF＝2，故答案为：2．10．【解答】解：设∠B＝x．∵DB＝DE，∴∠DEB＝∠B＝x，∴∠ADE＝∠DEB+∠B＝2x，∴∠ACB＝2∠ADE＝4x．∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠A＝4x．在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴4x+x+4x＝180°，∴x＝20°．即∠B＝20°∴∠A＝4x＝80°故答案为：80°11．【解答】解：点P（1，﹣5）关于x轴对称点的点的坐标是：（1，5）．故答案为：（1，5）．12．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF＝CE，∵等边△ABC中，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，∴CF＝BF，即BF+EF＝CF+EF＝CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB ＝∠CEB ＝90°，在△ADB 和△CEB 中，{∠AAA =∠AAAAAAA =AAAA AA =AA，∴△ADB ≌△CEB （AAS）， ∴CE ＝AD ＝4cm ，即BF +EF ＝4cm ．故答案为：4．13．【解答】解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，在△BAD 和△CAE 中，{∠AAA =∠AAA AA =AAAA =AA ，∴△BAD ≌△CAE （ASA ），∴BD ＝CE ＝7，故答案为：7．14．【解答】解：连接CD ，BD ，∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF ＝DE ，∠F ＝∠DEB ＝90°，∠ADF ＝∠ADE ， ∴AE ＝AF ，∵DG 是BC 的垂直平分线，∴CD ＝BD ，在Rt △CDF 和Rt △BDE 中，{AA =AA AA =AA， ∴Rt △CDF ≌Rt △BDE （HL ），∴BE ＝CF ，∴AB ＝AE +BE ＝AF +BE ＝AC +CF +BE ＝AC +2BE ， ∵AB ＝6，AC ＝3，∴BE ＝1.5．故答案为：1.5．15．【解答】解：线段的垂直平分线所在的直线是对称轴，是轴对称图形，符合题意；直角的角平分线所在的直线就是对称轴，是轴对称图形，符合题意；等腰三角形底边中线所在的直线是对称轴，是轴对称图形，符合题意；直角三角形不一定是轴对称图形，不符合题意．故成轴对称图形的是：线段、直角、等腰三角形．故答案为：线段、直角、等腰三角形．16．【解答】解：当等腰三角形的三边为：4、4、9时，不符合三角形三边关系，因此这种情况不成立；当等腰三角形的三边为：4、9、9时，符合三角形三边关系，则三角形的周长为：4+9+9＝22．因此等腰三角形的周长为22．故填22．17．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠E＝∠ECB，∠D＝∠DBC，∵CE平分∠ACB，BD平分∠ABC，∴∠ECB＝∠ACE，∠DBC＝∠ABD，∴∠E＝∠ACE，∠D＝∠ABD，∴AE＝AC，AB＝AD，∵AB+AC＝AD+AE＝DE＝9，BC＝7，∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝DE+BC＝9+7＝16．故答案为16．18．【解答】解：∵横坐标乘以﹣1，∴横坐标相反，又纵坐标不变，∴关于y轴对称．故答案为：y轴．19．【解答】解：∵BD为AC边上的高，∴BD⊥AC，∴∠BDF＝90°，∵∠AFG＝63°，∴∠DBF＝90°﹣63°＝27°，∵BF平分∠CBD交CE于点G，∴∠CBD＝2∠DBF＝54°，∴∠ACB＝90°﹣∠CBD＝36°，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA=12（180°﹣36°）＝72°，∴∠ABD＝72°﹣54°＝18°，∴∠ABG＝27°+18°＝45°，∵CE为△ABC的中线，∴CE⊥AB，∴CE垂直平分AB，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA＝45°，∴∠AMB＝180°﹣45°﹣18°＝117°，故答案为：117．20．【解答】解：如图所示：延长DB和DC至M和N，使MB＝DB，NC＝DC，连接MN交AB、AC于点E、F，连接DE、DF，此时△DEF的周长最小．∵DB⊥AB，DC⊥AC，∴∠ABD＝∠ACD＝90°，∠BAC＝65°，∴∠BDC＝360°﹣90°﹣90°﹣65°＝115°，∴∠M+∠N＝180°﹣115°＝65°根据对称性质可知：DE＝ME，DF＝NF，∴∠EDM＝∠M，∠FDN＝∠N，∴∠EDM+∠FDN＝65°，∴∠EDF＝∠BDC﹣（∠EDM+∠FDN）＝115°﹣65°＝50°．故答案为50°．21．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∠BCD＝60°，BD＝3cm，∴BC＝2CD，可得：BC2﹣CD2＝4CD2﹣CD2＝9，解得：CD=√3cm，∴BC＝2√3cm，∴AC=AA√3=2cm，∴AB＝4cm，∴AD＝4﹣3＝1cm．故答案为：122．【解答】解：如图所示：作点D关于AB的对称点G，作点E关于BC的对称点H，连接GH交AB于点M、交BC于点N，连接DM、EN，此时DM+MN+NE的值最小．根据对称的性质可知：DB＝BG＝3，∠GBE＝∠DBE＝20°，BH＝BE＝3，∠HBD＝∠EBD＝20°，∴∠GBH＝60°，∴△BGH是等边三角形，∴GH＝GB＝HB＝3，∴DM+MN+NE的最小值为3．故答案为3．23．【解答】解：∵BE、CD分别是等边△ABC的高和角平分线，∴∠ODB＝90°，∠ABE＝30°，∴∠BOC＝∠ODB+∠DBE＝90°+30°＝120°，故答案为：12024．【解答】解：①∵AB＝AC，∠ABD＝26°，BD⊥AC，∴∠A＝64°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣64°）÷2＝58°．②∵AB＝AC，∠ABD＝26°，BD⊥AC，∴∠BAC＝26°+90°＝116°∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣116°）÷2＝32°．故答案为：58°或32°．25．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝30°，∠FDG＝150°，∵DF＝DG，∴∠F＝15°．故答案为：15．26．【解答】解：连接BE，∵AB＝BC，∠B＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EBA＝∠A＝30°，∴∠CBE＝90°，又∠C＝30°，∴BE=12EC，∴AE=12EC，∴AE=13AC＝4，在Rt△ADE中，∠A＝30°，∴DE=12AE＝2，故答案为：2．27．【解答】解：作B关于AC的对称点E，过E作EP⊥BC于P，交AD于D，则AE＝AB＝8，此时，BD+DP的值最小，BD+DP的最小值＝EP，∵∠BAC＝∠BPE＝90°，∠C＝∠E，∴△ABC∽△PBE，∴AAAA=AAAA，∴1617=AA 15，∴PE =24017， 故答案为：24017．28．【解答】解：当△ABC 为锐角三角形时，如图1，设AC 的垂直平分线交线段AB 于点D ，交AC 于点E ，∵∠ADE ＝40°，DE ⊥AC ，∴∠A ＝90°﹣40°＝50°，∵AB ＝AC ，∴∠C =12（180°﹣∠A ）＝65°；当△ABC 为钝角三角形时，如图2，设AC 的垂直平分线交AC 于点E ，交AB 于点D ，∵∠ADE ＝40°，DE ⊥AC ，∴∠DAC ＝50°，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵∠B +∠C ＝∠DAB ，∴∠C ＝25°；综上可知∠C 的度数为65°或25°，故答案为：65°或25°．29．【解答】解：过B 作BF ⊥AC 于F ，交CD 于E ， 则BF 的长即为AE +EF 的最小值，∵AC ＝BC ＝5，CD 为△ABC 的中线，∴AD =12AB ＝3，∵S △ABC =12AB •CD =12AC •BF ，∴BF =6×45=245， ∴AE +EF 的最小值为245， 故答案为：245．30．【解答】解：点P （﹣2，﹣3）关于x 轴对称点的坐标为：（﹣2，3）． 故答案为：（﹣2，3）．。
2020年 人教版八年级数学上册期末专题《轴对称与等腰三角形》(含答案)
△BCD 的周长是
cm．
10.如图，在△ABC 中，AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 E、F．
①若△AEF 的周长为 10cm，则 BC 的长为 cm．
②若∠BAC=138°，则∠EAF=
．
11.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 60°，则这个等腰三角形的顶角为 .
12.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（2，3），在坐标轴上找一点 P，使得△AOP 是等腰三
GH…添的钢管长度都与 OE 相等,则最多能添加这样的钢管（ ）根．
A.2
B.4
C.5
D.无数
5.如图，在△ABC 中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE 的度数为（ ）
A．20°
B．25°
C．30°
D．40°
6.如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC，BD 是△ABC 的角平分线．若在边 AB 上截取 BE=BC， 连接 DE，则图中等腰三角形共有（ ）
18.解：(1)BE 垂直平分 AD，理由： ∵AM⊥BC， ∴∠ABC＋∠5=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠ABC＋∠C=90°， ∴∠5=∠C. ∵AD 平分∠MAC， ∴∠3=∠4， ∵∠BAD=∠5＋∠3，∠ADB=∠C＋∠4，∠5=∠C， ∴∠BAD=∠ADB， ∴△BAD 是等腰三角形， 又∵∠1=∠2， ∴BE 垂直平分 AD. (2)△ABD 是等 边三角形. 证明：由(1)知，△ABD 是等腰三角形， ∵∠5=∠C=30°，AM⊥BC， ∴∠ABD=60°， ∴△ABD 是等边三角形.
1.答案为：C.
参考答案
2.答案为：C.
3.答案为：A. 4.C 5.D 6.D 7.答案为：C. 8.A 9.分析：连接 BD，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得 AD=BD，然后求出△
(人教版)初中数学八上 期末专项复习02—轴对称-答案
期末专项复习—轴对称答案解析一、1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】C【解析】MN AB 垂直平分，AN BN ∴=，BN+CN=AC=4 cm ∴.BCN △的周长是7 cm ，74 3 cm BC ∴=-=.4.【答案】A【解析】将最后得到的图形沿两次折痕所在的直线作两次轴对称可得图形A.5.【答案】B【解析】如图，在Rt CBE △中，30C ∠=︒，112=122BE BC ==⨯. 6.【答案】B【解析】由折叠知AD DF =，D ABC AB △为边的中点，65.AD DB DF DB DFB B ∴=∴=∴∠=∠=︒，，180656550BDF ∴∠=︒-︒-︒=︒.7.【答案】D【解析】60MNP P MN NP ∠=︒= 中，，△，MNP ∴△是等边三角形，60PNM PMN ∠∴∠==︒.MNP △的周长为12，且MQ PN ⊥，垂足为Q ，4230PM PN MN PQ NQ QMN ∴=====∠=︒，，，2NG NQ == ，30G NQG ∴∠=∠=︒G QMN ∴∠=∠，QG MQ a ∴==，MGQ ∴△的周长是4262MG MQ QG a a a ++=+++=+.8.【答案】A【解析】设C x ∠=︒.由AB AC =知，°B C x ∠=∠=.AD CD = ，DAC C x ∴∠=∠=︒，2ADB x ∴∠=︒.由AB BD =知，2BAD ADB x ∠=∠=︒.在ABC △中，180B BAC C ∠+∠+∠=︒，3180x x x ∴++=，解得36x =，72ADB ∴∠=︒.9.【答案】D10.【答案】D【解析】由120BC AC BCD ACE CD CE =∠=∠=︒=，，，得()SAS BCD ACE △≌△，得①AE BD =是正确的；由BCD ACE △≌△，得FBC GAC ∠=∠，再根据60BC AC BCF ACG =∠=∠=︒，，得()ASA BCF ACG △≌△，BF AG ∴=②是正确的；由BCF ACG △≌△，得CF CG =，60FCG ∠=︒ ，60CGF CFG FCG ∴∠=∠=∠=︒，FG BE ∴③∥是正确的；如图，过点C 作CM BD ⊥，垂足为M ，CN AE ⊥，垂足为N ，易证BCM ACN △≌△，CM CN ∴=，BOC EOC ∴∠=∠④是正确的. 二、11.【答案】12.【答案】M64537913.【答案】22 cm14.【答案】115.【答案】关于y 轴对称16.【答案】315︒17.【答案】120︒18.【答案】45 m三、19.【答案】解：连接AF ，180180120=3022A AB AC B C ︒-∠︒-︒=∠=∠==︒ ，. 又EF 垂直平分AC ，AF CF ∴=，30CAF C ∴∠=∠=︒. 1203090BAF BAC CAF ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒.在Rt ABF △中，30B ∠=︒ ，2BF AF ∴=，又AF CF =，2BF CF ∴=.20.【答案】解：ABC △为等边三角形，且AD BE CF ==，AE BF CD ∴==.又60A B C ∠=∠=∠=︒ ，()SAS ADE BEF CFD ∴△≌△≌△，DF ED EF ∴==，DEF ∴△是等边三角形.21.【答案】解：（1）如图；（2）（-1，2），（-3，1），（2，-1）；（3）ABC △的面积=1119353321522222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=. 22.【答案】解：（1）AB AC = ，D 是BC 的中点，AD BC ∴⊥.又FG BC ⊥ ，AD FG ∴∥；（2）FG BC ⊥ ，90F C ∴∠+∠=︒，90B BEG ∠+∠=︒.又AB AC = ，B C ∴∠=∠.F BEG FEA ∴∠=∠=∠.AFE ∴△为等腰三角形.23.【答案】解：ABC △是等边三角形，60B ACD ∴∠=∠=︒，BC CA =.60B DE AB ∠=︒⊥ ，，906030BDE ∴∠=︒-︒=︒，2BD BE ∴=.又2BD CD = ，BE CD ∴=.在BCE △和CAD △中， BE CD B ACD BC CA ⎧⎪=∠=∠⎨⎪=⎩，， .()SAS .BCE CAD ∴△≌△.BCE CAD ∠=∠∴60APE PAC PCA BCE PCA BCA ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.24.【答案】（1）在Rt DEF △中，304DEF DF ∠=︒=，，8BF ∴=；（2）在BDC △中，BC DE =，BDC BCD ∠=∠∴.30DEF ∠=︒ ，75BDC BCD ∴∠=∠=︒.45ACB ∠=︒ ，75DOC DEF ACB ∴∠=∠+∠=︒.DOC BDC ∴∠=∠，CDO ∴△是等腰三角形.。
【人教】八年级数学上册第13章轴对称练习题及答案133等腰三角形.doc
【人教】八年级数学上册第13章轴对称练习题及答案13.3等腰三角形基础巩固1.若等腰三角形底角为72。
，则顶角为（）A.108°B. 72°C. 54°D. 36°2.如图，在厶ABC中，AB=AC, AD=BD=BC,AA则ZC=()AcA. 72°B. 60°C. 75°D. 45°3.若等腰三角形的周长为26 cm, 一边为11 cm,则腰长为（）A. 11 cmB. 7.5 cmC. 11 cm或7.5 cm D・以上都不对4.下列三角形：①有两个角等于60。
的三角形；②有一个角等于60。
的等腰三角形；③ 三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的屮线也是这条腰上的高的等腰三角形.其屮是等边三角形的有（）A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④5.如图所示，已知Z1 = Z2,要使BD=CD,还应增加的条件是（）®AB=AC ② ZB=ZC ®AD丄BC ④ AB=BCA.①B.①②C.①②③D.①②③④6.如图所示，在△ABC 中，ZACB=90。
，ZB=30°, CD丄A3 于点D,若AD=2,则AB= .能力提升7.如图，在厶ABC 中，AB=AC, 3D 和CD 分别是ZABC 和ZAC3的平分线，EF 过网格线的交点称为格点.已知A, B 是两格点，如果C也是图中的格点，月•使得△ABC 为等腰三角形，则点C 的个数是（）如图，D 是ZUBC 中BC 边上一点，AB=AC=BD,则Z1和Z2的关系是（）10.如图，中,AB=AC, ZC=30°,DA 丄34 于 A, BC=4・2 cm,则 AD=D 点,且 EF//BC. 图中等腰三角形共有（） AA. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 8 •如图所示的正方形网格中, A. B. 7 c.9.A- Z1=2Z2 C. 18O°-Z1=3Z2 B. Zl + Z2=90°D ・ 18O°+Z2 = 3Z111.如图，在厶ABC中,(1)分别以A ，B 为圆心，以大于丄AB 的长为半径做弧，两弧相交于点P 和Q ； 2(2)作直线PQ 交AB 于点D 交BC 于点E,连接AE.若CE=4,则AE=13. 如图所示，在△力BC 中，点E 在C4的延长线上，且ZAEF= ZAFE.求 证：EF 丄BC.14. 如图，在厶ABC 中，ZACB=45°, ZA = 90°, BD 是ZABC 的角平分线，CH 丄BD, 交的延长线于H,求证：BD=2CH.15. 如图，MBC 是边长为6的等边三角形，P 是AC 边上一动点，由A 向C 运动(与 A, C 不重合)，Q 是延长线上一点，与点P 同时以相同的速度由B 向CB 延长线方向运 动(Q 不与B 重合)，过P 作PE 丄A3于E,连接PQ 交AB 于D⑴当ZBQD=30°吋，求AP 的长；(2)当运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果变化 请说明理由.若PC=4,求PD 的长. 12.如图所示,参考答案1.D点拨：等腰三角形两底角相等，所以顶角为36。
人教版 八年级数学上册 第13章 轴对称之等腰三角形专题拓展练习(含答案)
人教版 八年级数学上册 第13章 轴对称之等腰三角形专题拓展练习（含答案）例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。
求证：M 是BE 的中点。
E分析：欲证M 是BE 的中点，已知DM ⊥BC ，所以想到连结BD ，证BD ＝ED 。
因为△ABC 是等边三角形，∠DBE ＝∠ABC ，而由CE ＝CD ，又可证∠E ＝∠ACB ，所以2121∠1＝∠E ，从而问题得证。
证明：因为三角形ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点所以∠1＝∠ABC 21又因为CE ＝CD ，所以∠CDE ＝∠E所以∠ACB ＝2∠E即∠1＝∠E所以BD ＝BE ，又DM ⊥BC ，垂足为M 所以M 是BE 的中点 （等腰三角形三线合一定理）例2. 如图，已知：中，，D 是BC 上一点，且，ABC ∆AC AB =CA DC DB AD ==，求的度数。
BAC ∠ A B CD 解：因为，所以AC AB =CB ∠=∠ 因为，所以；DB AD =C DAB B ∠=∠=∠ 因为，所以（等边对等角）CD CA =CDA CAD ∠=∠ 而DAB B ADC ∠+∠=∠ 所以BDAC B ADC ∠=∠∠=∠22， 所以B3BAC ∠=∠又因为 180=∠+∠+∠BAC C B 即 所以 180B 3C B =∠+∠+∠36B =∠即求得108BAC =∠ 说明1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。
把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。
本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。
2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。
3. 此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。
例3. 已知：如图，中，于D 。
求证：ABC ∆AB CD AC AB ⊥=，。
【期末复习】2017-2018学年 八年级数学上册期末专题复习卷--轴对称与等腰三角形(含答案)
2017-2018学年八年级数学上册期末专题复习卷--轴对称与等腰三角形一、选择题：1.以下图形中对称轴的数量小于3的是（）2.下列图形中，△A′B′C′与△ABC成轴对称的是（）A．B．C．D．3.等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为( )A．25 B．25或32 C．32 D．194.如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D,∠A=50°,则∠BDC=（）A．50°B．100°C．120°D．130°5.等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（）A．16cm B．17cm C．20cm D．16cm或20cm6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE=（）A．80°B．60°C．50°D．40°7.等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（）A．50°B．80°C．50°或80°D．20°或80°8.如图,∠AOB是一钢架,∠AOB=15°,为使钢架更加牢固,需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH…添的钢管长度都与OE相等,则最多能添加这样的钢管（）根．A．2 B．4 C．5 D．无数9.附图（①）为一张三角形ABC纸片，P点在BC上．今将A折至P时，出现折线BD，其中D点在AC上，如图（②）所示．若△ABC的面积为80，△DBC的面积为50，则BP与PC的长度比为何？（）A．3：2 B．5：3 C．8：5 D．13：810.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为( )A．36°B．60°C．72°D．108°11.如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（）A．15︒或30︒B．30︒或45︒C．45︒或60︒D．30︒或60︒12.如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN 上的对应点为H，沿AH和DH剪下，这样剪得的三角形中（）A．AH=DH≠AD B．AH=DH=AD C．AH=AD≠DH D．AH≠DH≠AD二、填空题：13.若点关于x轴的对称点为（b，2016），则a+b= ．14.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为15.在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，则∠B= ．16.如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是______．17.已知等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，其它两边的长为18.如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A 落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm．三、解答题：19.如下图所示，在△ABC中，∠A=40°，∠B=90°，AC的垂直平分线MN分别与AB、AC交于点D、E，求∠BCD的度数．20.如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE=4cm，求△ABD的周长．21.如图,△ABC中,AD平分∠BAC,EG∥AD,找出图中的等腰三角形,并给出证明．22.如图所示，已知在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．23.如图,已知△ABC中,AB=AC=10厘米,BC=8厘米,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上由B 出发向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点出发向A点运动.设运动时间为t秒。
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八年级数学期末复习专题轴对称与等腰三角形姓名：_______________班级：_______________得分：_______________一选择题：1.一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（）A． B． C． D．2.小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是（）A.21：10B.10：21C.10：51D.12：013.平面内点A（-1，2）和点B（-1，6）的对称轴是（）A．x轴 B．y轴 C．直线y=4 D．直线x=-14.如图，△ABC与△关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是( )(A)△是等腰三角形． (B)MN垂直平分．（C）△ABC与△面积相等．（D）直线AB、的交点不一定在MN上．5.如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）．6.若等腰三角形一个外角等于100，则与它不相邻的两个内角的度数分别为…（）A.40，40B.80°，20C.50°，50°D.80°，20°或 50°，50°7.如图是轴对称图形，它的对称轴有（）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条8.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于E点，如果BC=10，△BDC的周长为22，那么△ABC的周长是（）A.24B.30C.32D.349.如图，把一长方形纸片ABCD沿EG折叠后，点A、B分别落在A′、B′的位置上，EA′与BC相交于点F，已知∠1=130°，则∠2的度数是（）A.40°B.50°C.65°D.80°10.如图图中的阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，若在图中的方格里涂黑两个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，涂法有几种（）A. 2种B. 4种C. 5种D. 7种11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB交BC于点E，BE=4，则AC长为( )A．2 B．3 C．4 D．以上都不对12.为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（）A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处13.∠BAC=110°若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,则∠PAQ的度数是( )A.20°B. 40°C.50°D. 60°14.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm15.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C的度数是( )A．30° B．35° C．40° D．50°16.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，－2)，在y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个17.平面上有A、B两点，以线段AB为一边作等腰直角三角形，能作（）A．3个B．4个C．6个 D．无数个18.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A． B． C． D．不能确定19.如图，已知∠AOB=60º，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM的长为（）A.3B.4C.5D. 620.如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）A.（）n•75°B.）n﹣1•65°C.（）n﹣1•75°D.（）n•85°二填空题:21.若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为cm．22.已知等腰三角形一腰上的中线将它周长分成18cm和9cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长是cm．23.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是______．24.课间，顽皮的小刚拿着老师的等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内(如图)，已知直角顶点H的坐标为(0，1)，另一个顶点G的坐标为(4，4)，则点K的坐标为25.如图，所示，在△ABC中，D在AC上，连结BD，且∠ABC=∠C=∠1，∠A=∠3，则∠A 的度数为．26.如图，∠ACB=90°,E、F为AB上的点，AE=AC，BC=BF，则∠ECF=__________．27.如图，∠AOB是一角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG、GH…，且OE=EF=FG=GH…，在OA、OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为______．28.如图所示，线段AB=8cm，射线AN⊥AB于点A，点C是射线上一动点，分别以AC、BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE中，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为．29.如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3，……在射线ON上，点B1，B2，B3，……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，……均为等边三角形，若OA1=2，则△A5B5A6的边长为.30.如图，△ABC中，∠ACB=60°，△ABC′，△BCA′，△CAB′都是△ABC形外的等边三角形，点D在边AC 上，且DC=BC．连接DB，DB′，DC′．有下列结论：①CDB是等边三角形；②△C′BD≌△B′DC；③S△AC′D ≠S△DB′A④S△ABC+S△ABC′=S△ACB′+S△A′BC其中，正确的结论有（请写序号，少选、错选均不得分）三作图题:31.作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹，如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等。
你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案32.我们知道：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,说明斜边上的中线可把直角三角形分成两个等腰三角形(图①)。
又比如,顶角为36°的等腰三角形也能分成两个等腰三角形（图②）。
（1）试试看，你能把图③、图④、图⑤中的三角形分成两个等腰三角形吗？（2）△ABC中，有一内角为36°，过某一顶点的直线将△ABC分成两个等腰三角形，则满足上述条件的不同形状（相似的认为是同一形状）的△ABC最多有5种，除了图②、图③中的两种，还有三种，请你画出来。
33.如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：（1）BC=AD；（2）△OAB是等腰三角形．34.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC为上一点，∠B=30°，∠DAB=45°.(1)求∠DAC的度数；(2)求证：DC＝AB.35.如图在△ABC中，BC=10，∠BAC=110°，MN，PQ分别垂直平分AB，AC.求∠MAP的度数和△AMP的周长．36.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：（1）MD=MB；（2）MN⊥BD．37.如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于点P．（1）求证：CE=BF；（2）求∠BPC的度数．38.如图，等腰直角△ABC中，CA=CB，点E为△ABC外一点，CE=CA，且CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE=60°．求证：△CBE为等边三角形．39.【阅读】如图，等边△中，P是边上一点, 是延长线上一点,若AP=BQ.则过P作PF∥BC交AB于F，可证△APF是等边三角形，再证△PDF≌QDB可得D是FB的中点.请写出证明过程.【运用】如图，△是边长为6的等边三角形，P是边上一动点，由向运动（与,不重合），是延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由向延长线方向运动（Q不与重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D.（1）当∠时，求的长；（2）在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果发生改变，请说明理由．参考答案1、C2、C3、C4、D5、D6、D7、C8、D9、D 10、D 11、A 12、B 13、B 14、C 15、B 16、C 17、C 18、B 19、C 20、C 21、35 cm． 22、3 23、9 ．24、(3，－3)_．25、 26、45° 27、8 ．28、 4 ．29、32 30、①②④ 31、略32、V（1）正确画出图③、④、⑤各得2分。
（2）画出第一种得2分，第二种1分，第三种1分。
33、【解答】证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠ADB=∠ACB=90°，在Rt△ABC和Rt△BAD中，∵，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴BC=AD，（2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB，∴△OAB是等腰三角形．34、解：(1)∠DAC＝120°－45°＝75°(2)∵∠ADC＝180°－75°－30°＝75°，∴∠DAC＝∠ADC，∴DC＝AC，又AB＝AC，∴DC＝AB35、∠MAP＝40°，△AMP的周长为10.36、【解答】证明：（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，∴BM=AC，DM=AC，∴DM=BM；（2）由（1）可知DM=BM，∵N是BD的中点，∴MN⊥BD．37、【解答】（1）证明：如图，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°，∴在△BCE与△ABF 中，，∴△BCE≌△ABF（SAS），∴CE=BF；（2）解：∵由（1）知△BCE≌△ABF，∴∠BCE=∠ABF，∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，∴∠BPC=180°﹣60°=120°．即：∠BPC=120°．38、详解：∵CA=CB，CE=CA，∴BC=CE，∠CAE=∠CEA，∵CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE=60°，∴∠ACD=∠DCB=45°，∠DAC+∠ACD=∠EDC=60°，∴∠DAC=∠CEA=15°，∴∠ACE=150°，∴∠BCE=60°，∴△CBE为等边三角形。