统计学作业答案

1. 一家调查公司进行一项调查，其目的是为了了解某市电信营业厅大客户对该电信的服务的满意情况。

调查人员随机访问了30名去该电信营业厅办理业务的大客户，发现受访的大客户中有9名认为营业厅现在的服务质量较两年前好。

试在95％的置信水平下对大客户中认为营业厅现在的服务质量较两年前好的比率进行区间估计。

4.据某市场调查公司对某市80名随机受访的购房者的调查得到了该市购房者中本地人购房比率p 的区间估计，在置信水平为10%下，其允许误差E ＝0.08。

则：（1）这80名受访者样本中为本地购房者的比率是多少？（2）若显著性水平为95%，则要保持同样的精度进行区间估计，需要调查多少名购房者。

解：这是一个求某一属性所占比率的区间估计的问题。

根据已知n =30，2/αz ＝1.96，根据抽样结果计算出的样本比率为%30309ˆ==p。

总体比率置信区间的计算公式为： ()np p z p ˆ1ˆˆ2/-±α 计算得： ()n p p z p ˆ1ˆˆ2/-±α＝30％()30%301%3096.1-⨯⨯± ＝（13.60％，46.40％）5、某大学生记录了他一个月31天所花的伙食费，经计算得出了这个月平均每天花费10.2元，标准差为2.4元。

显著性水平为在5%，试估计该学生每天平均伙食费的置信区间。

解：由已知：=x 10.2，s ＝2.4，96.1025.0=z ，则其置信区间为：314.296.12.10025.0⨯±=±n s z x ＝〔9.36，11.04〕。

该学生每天平均伙食费的95％的置信区间为9.36元到11.04元。

6、据一次抽样调查表明居民每日平均读报时间的95％的置信区间为〔2.2，3.4〕小时，问该次抽样样本平均读报时间t 是多少？若样本量为100，则样本标准差是多少？若我想将允许误差降为0.4小时，那么在相同的置信水平下，样本容量应该为多少？解：样本平均读报时间为：t ＝24.32.2+＝2.8 由()96.121002.24.322.24.305.0⨯-=⇒-==s n s z E ＝3.06 2254.006.396.12222205.02=⨯=⨯=E s z n 7、某电子邮箱用户一周内共收到邮件56封，其中有若干封是属于广告邮件，并且根据这一周数据估计广告邮件所占比率的95％的置信区间为〔8.9％，16.1％〕。

问这一周内收到了多少封广告邮件。

若计算出了20周平均每周收到48封邮件，标准差为9封，则其每周平均收到邮件数的95％的置信区间是多少？（设每周收到的邮件数服从正态分布）解：本周收到广告邮件比率为：p ＝2161.0089.0+＝0.125 收到广告邮件数为：n ×p ＝56×0.125＝7封 根据已知：x ＝48，n ＝20，s ＝9，093.2)19(025.0=t()199093.24819025.0⨯±=±n st x =[43.68，52.32]8、为了解某银行营业厅办理某业务的办事效率，调查人员观察了该银行营业厅办理该业务的柜台办理每笔业务的时间，随机记录了15名客户办理业务的时间，测得平均办理时间为t ＝12分钟，样本标准差为s =4.1分钟，则：（1）其95％的置信区间是多少？（2）若样本容量为40，而观测的数据不变，则95％的置信区间又是多少？解：（1）根据已知有()145.214025.0=t ，n ＝15，t ＝12，s =4.1。

置信区间为：()151.4145.21214025.0⨯±=±n st t ＝〔9.73，14.27〕（2）若样本容量为n=40，则95％的置信区间为：401.496.112025.0⨯±=±n s z t ＝〔10.73，13.27〕1. 电视机显像管批量生产的质量标准为平均使用寿命1200小时，标准差为300小时。

某电视机厂宣称其生产的显像管质量大大超过规定的标准。

为了进行验证，随机抽取了100件为样本，测得平均使用寿命1245小时。

能否说该厂的显像管质量显著地高于规定的标准？（1） 给出上题的原假设和被择假设（2） 构造适当的检验统计量，并进行假设检验，分析可能会犯的错误（取α＝0.05）（3） 若要拒绝原假设，样本平均寿命至少要达到多少，此时可能会犯哪类错误，大小如何？解：（1）1200 ;120010>≤μμ：：H H（2）验问题属于大样本均值检验，因此构造检验统计量如下：n σ/－x z ＝0μ由题知：0μ＝1200，300=σ，n =100，x =1245，检验统计量的z 值为：n /x z 0σμ－＝＝10030012001245－＝1.5 取α＝0.05时，拒绝域为z >αz ＝05.0z ＝1.645。

因为z ＝1.5<1.645，故落入接受域，这说明我们没有充分的理由认为该厂的显像管质量显著地高于规定的标准。

(3) 由上题的分析可知拒绝域为z>αz ＝05.0z ＝1.645，这要求：645.1n /x z 0=>ασμz －＝ 有，n 645.10σμ⨯+>x ＝1200+1.645⨯100300＝1249.35这说明只有样本均达到1249.35以上时，我们才能有充分的理由认为该厂的显像管质量显著地高于规定的标准，这时我们犯错的概率为0.05。

2. 由于时间和成本对产量变动的影响很大，所以在一种新的生产方式投入使用之前，生产厂家必须确信其所推荐新的生产方法能降低成本。

目前生产中所用的生产方法成本均值为每小时200元。

对某种新的生产方法，测量其一段样本生产期的成本。

（1） 在该项研究中，建立适当的原假设和备择假设。

（2） 当不能拒绝0H 时，试对所做的结论进行评述。

（3） 当可以拒绝0H 时，试对所做的结论进行评述。

解： (1) 200 ;20010<≥μμ：：H H(2) 当不能拒绝0H 时,说明我们没有充分的证据认为新的生产方法比原来的方法在生产成本上有显著降低，但此时我们可能犯第二类错误，即实际上新的生产方法确实比原来的方法在生产成本上有显著降低，我们对犯该类错误的概率没有做控制。

（3）当可以拒绝0H 时，说明新的生产方法比原来的生产方法在生产成本上有显著降低，但此时我们可能犯第一类错误，即可能新的生产方法比原来的方法在生产成本上并没有显著降低，但由于样本随机性的原因，使检验统计量的值落入拒绝域，我们对这一类错误给予了控制，这就是显著性水平α。

3. 某种生产线的感冒冲剂规定每包重量为12克，超重或过轻都是严重问题。

从过去的资料知σ是0.6克，质检员每2小时抽取25包冲剂称重检验，并作出是否停工的决策。

假定产品重量服从正态分布。

（1） 建立适当的原假设和备择假设。

（2） 在α＝0.05时，该检验的决策准则是什么？（3） 如果x ＝12.25克，你将采取什么行动？（4） 如果x ＝11.95克，你将采取什么行动？解： （1）12 ;1210≠μμ：＝：H H （2）这是小样本总体均值检验问题，且方差σ2已知。

检验统计量为：n /x z 0σμ－＝在α＝0.05时，临界值2/z α＝1.96,故拒绝域为z ＞1.96。

（3）当x ＝12.25克，z ＝25/6.01225.12－=2.08 由于z ＝2.08＞1.96，拒绝120＝：μH 。

应该对生产线停产检查。

（4）当x ＝11.95克，z ＝25/6.01295.11－=-0.42 由于z ＝0.42＜1.96，不能拒绝120＝：μH 。

不应该对生产线停产检查。

4. 某厂生产需用玻璃纸作包装，按规定供应商供应的玻璃纸的横向延伸率不应低于65。

已知该指标服从正态分布，σ一直稳定于5.5。

从近期来货中抽查了100个样品，得样本均值x ＝55.06，试问：（1） 在α=0.05水平上能否接收这批玻璃纸，并分析检验中会犯哪类错误。

（2） 抽查的100个样本的样本平均值为多少时可以接收这批玻璃纸，此时可能犯的错误属于哪种类型？解：（1）65 ;6510<≥μμ：：H H该检验问题为大样本总体均值检验，且方差已知，故检验统计量为：n /x z 0σμ－＝在α＝0.05水平上，α-1z ＝-1.645，故拒绝域为：z ＜-1.645由已知得：n /x z 0σμ－＝＝100/5.56506.55-=-18.07＜-1.645故应拒绝原假设，不能接收这批玻璃纸。

此时可能会犯第一类错误，即本来这批玻璃纸是符合标准的，但由于抽样的随机性使得样本检验统计量的值落入了拒绝域，从而拒绝接收该批玻璃纸。

但这个犯错概率是受到控制的，其出错概率不会超过显著性水平α＝0.05。

（2）接受该批玻璃纸，检验统计量值应满足为：n /x z 0σμ－＝≥-1.645此时，n 645.1x 0σμ⨯-≥＝65－1.645⨯5.5/100＝64.095也就是说检验统计量的值在64.095以上时，才可以接受该批玻璃纸。

此时可能犯第二类错误，即可能会接受没有达到标准的玻璃纸，并且这个出错概率我们无法确定。

5. 某洗涤剂厂有一台瓶装洗洁精的灌装机，在生产正常是地，每瓶洗涤洁精的净重服从正态分布，均值为454g ，标准差为12g 。

为检查近期机器是否正常，从中抽出16瓶，称得其净重的平均值为x ＝456.64g 。

（1） 试对机器正常与否作出判断。

（取α=0.01，并假定2σ不变）（2） 若标准差未知，但测得16瓶洗涤洁精的样本标准差为s ＝12g ，试对机器是否正常作出判断。

（取α＝0.01）解：（1）454: 454:10≠=μμH H在α＝0.01时，58.2005.02/==z z α，从而拒绝域为58.2≥z 。

现由样本求得 88.016/1245464.456=-=z 由于58.2<z ，故不能拒绝0H ，即认为机器正常。

（2）当方差未知时，假设形式与上一问是相同的，只是检验统计量变为：88.016/1245464.456/0=-=-=n s x t μ在α＝0.01时9467.2)15()1(005.02/==-t n t α，拒绝域为9467.2≥t 。

由于9467.288.0<=t ，故不能拒绝0H ，即认为机器正常。

6. 某厂产品的优质品率一直保持在40％，近期技监部门来厂抽查，共抽查了15件产品，其中优质品为5件，在α＝0.05水平上能否认为其优质品率仍保持在40%？解 4.0:0=πH 4.0:1≠πH检验统计量为:n p z )1(πππ--=，在α＝0.05水平上拒绝域为96.12/=>αz z ，由已知数据得检验统计量：n p z )1(πππ--=＝0.52705-15)0.4-1(4.04.015/5＝-， 由于96.1527.02/=<αz z ＝，故接受原假设，即可以认为该厂产品优质品率保持在40％。