2021年天一大联考高考模拟文科数学试题及答案解析
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(十三)数学文科
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（十三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|10}A x x =->，{|0}B x x =>，则A B =（ ）A. (1,)+∞B. (0,1)C. (0,)+∞D. [1,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式10x ->即可.【详解】因为10x ->，所以1x <，所以(,1)A =-∞，因为(0,)B =+∞，所以(0,1)A B =．故选：B【点睛】本题考查集合的运算，较简单.2.复数31iz i+=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】由题，根据复数的运算，将复数化简，可得点坐标，即得结果. 【详解】因为复数3i (3)(1)121i (1)(1)i i z i i i +++===+--+ 所以在复平面所对应的点为(1,2),在第一象限 故选A【点睛】本题考查了复数，掌握好复数的运算法则，属于基础题. 3.已知3log 0.3a =， 4.13b -=，32c =，则（ ） A. c b a << B. c a b <<C. a b c <<D. a c b <<【答案】C 【解析】 【分析】利用指对数函数的知识得出,a b 的范围即可. 【详解】因为3log 0.30a =<， 4.13(0,1)b -=∈，312c =>，所以a b c <<． 故选：C【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，较简单.4.已知双曲线22:144y x C -=，P 是双曲线渐近线上第一象限的一点，O 为坐标原点，且||OP =点P 的坐标是（ ）A. B. (3,3)C.D. (2,2)【答案】D 【解析】 【分析】双曲线224y x -=过第一象限的渐近线方程为y x =，然后由||OP =.【详解】等轴双曲线224y x -=过第一象限的渐近线方程为y x =，因为||OP =P 的坐标为(2,2)． 故选：D【点睛】本题主要考查的是由双曲线的标准方程得渐近线方程，较简单. 5.已知3sin 24θ=-，则1tan tan θθ+=（ ） A. 83- B. 43-C. 83D.43【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式求得sin cos θθ，切化弦后，结合同角三角函数平方关系可求得结果. 【详解】3sin 22sin cos 4θθθ==-，3sin cos 8θθ∴=-，221sin cos sin cos 18tan 3tan cos sin sin cos 38θθθθθθθθθθ+∴+=+===--. 故选：A .【点睛】本题考查三角函数值的求解问题，涉及到二倍角公式、同角三角函数平方关系的应用，属于基础题.6.已知||||2a b ==，21a a b +⋅=，则向量a ，b 的夹角θ=（ ）A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】C 【解析】 【分析】首先算出1a b ⋅=-，然后求出cos θ即可.【详解】因为21a a b +⋅=，所以1a b ⋅=-，所以1cos 2||||a b a b θ=⋅=-，所以23θπ=故选：C【点睛】本题考查的是向量的数量积的有关计算，较简单.7.函数()3ln ||x f x x =的大致图象为（ ）A .B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】由函数()f x 为非奇非偶函数可排除选项C ，D ，当x →+∞时，函数值()f x →+∞，可排除选项B ． 【详解】因为函数()f x 为非奇非偶函数，所以函数图象不关于y 轴对称，排除选项C ，D ， 当x →+∞时，函数值()f x →+∞，故排除选项B ． 故选：A【点睛】解决本类题时，通常是利用函数的单调性、奇偶性、函数值等排除选项.8.中国古典乐器一般按“八音”分类．“八音”是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo ）、竹”八音．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从打击乐器、弹拨乐器中任取不同的‘两音’，含有弹拨乐器的概率为（ ） A.310B.25C.12D.14【答案】B 【解析】 【分析】列出总的情况和满足所求事件的情况即可【详解】设事件A =“从打击乐器和弹拨乐器中任取两音，含有弹拨乐器”，从打击乐器和弹拨乐器中任取两音的基本事件有：（金、石），（金，木），（金，革）， （金，丝），（石，木），（石，革），（石，丝），（木，革），（木，丝），（革，丝），共10种情况 含有弹拨乐器的基本事件有：（金，丝），（石，丝），（木，丝），（革，丝），共4种情况 所以42()105P A ==． 故选：B【点睛】本题考查中国传统文化与古典概型，较简单.9.已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ） A. 若//αβ，则l//m B. 若αβ⊥，则l m ⊥ C. 若l β⊥，则αβ⊥ D. 若αβ⊥，则m α⊥【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果. 【详解】对于A ，若//αβ，则,l m 可能为平行或异面直线，A 错误； 对于B ，若αβ⊥，则,l m 可能为平行、相交或异面直线，B 错误； 对于C ，若l β⊥，且l α⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，C 正确； 对于D ，若αβ⊥，只有当m 垂直于,αβ的交线时才有m α⊥，D 错误. 故选：C .【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.10.在一次某校举行的演讲比赛中，甲、乙、丙、丁四位同学表现都很优秀，甲说：“乙这次应该是第一名”；乙说：“丁这次应该是第一名”；丙说：“第一名应该不是我”；丁说：“我不赞同乙的判断”．若这四位同学中只有一人判断正确，则获得这次演讲比赛第一名的人是（ ） A. 甲 B. 乙C. 丙D. 丁【答案】C 【解析】 【分析】由题意乙说：“丁应该是第一名”，丁说：“我不赞同乙的判断”，说明这两位同学有一个判断正确，另一个判断不正确，所以甲、丙的判断不正确，即可推断出答案.【详解】由题意乙说：“丁应该是第一名”，丁说：“我不赞同乙的判断”， 说明这两位同学有一个判断正确，另一个判断不正确，所以甲、丙的判断不正确，所以获得这次演讲比赛第一名的人就是丙． 故选：C【点睛】本题考查逻辑推理，较简单.11.已知函数()3sin()f x x ωϕ=+（其中0ω<，0ϕπ<<），其图象向右平移6π个单位长度得()y g x =的图象，若函数()g x 的最小正周期是π，且3122g π⎛⎫=⎪⎝⎭，则（ ） A. 12ω=-，23ϕπ=B. 12ω=-，3πϕ=C. 2ω=-，23ϕπ=D. 2ω=-，3πϕ=【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得()3sin 6g x x πωωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，首先利用函数()g x 的最小正周期是π可求出ω，然后利用3122g π⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ϕ 【详解】由题意可得()3sin 6g x x πωωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为函数()g x 的最小正周期是π，所以2||ππω=，所以2ω=±，因为0ω<，所以2ω=-， 所以()3sin 23g x x πϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 因为3122g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1sin 62πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2k ϕ=π或22()3k k Z ππ+∈，因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=． 故选：C【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题.12.已知数列{}n a ，{}n b 都是公差为2的等差数列，1a 是正整数，若1126a b +=，则1210a a a b b b +++=（ ） A. 220 B. 180C. 100D. 80【答案】A 【解析】 【分析】因为14(2)n n a a b b n --=≥，所以数列{}n a b 为等差数列；再根据1126a b +=，求出首项1a b 的值，最后利用等差数列的前n 项和公式即可算出结果．【详解】因为()()()11111212124(2)n n a a n n n n b b b a b a a a n ----+--+-=-==≥⎡⎤⎣⎦， 所以数列{}n a b 是以11224b a +-=为首项，4为公差的等差数列， 所以1210110410942202a a ab b b ++⋅⋅⋅+=⨯+⨯⨯⨯=． 故选：A【点睛】本题考查等差数列的综合应用，利用定义判断出{}n a b 是等差数列是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.若变量x ，y 满足约束条件20300x y x y x y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值为__________．【答案】32【解析】 【分析】根据约束条件可以画出可行域，从而将问题转化为直线322zy x =-+在y 轴截距最大的问题的求解，通过数形结合的方式可确定过13,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，z 取最大值，代入可求得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将32z x y =+化为322z y x =-+，则z 最大时，直线322zy x =-+在y 轴截距最大； 由直线32y x =-平移可知，当322zy x =-+过B 时，在y 轴截距最大，由2030x y x y -+=⎧⎨+=⎩得：13,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，max 13332222z ⎛⎫∴=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：32. 【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距的最值的求解问题，通过数形结合的方式可求得结果.14.已知n S 是正项等比数列{}n a 的前n 项和，若374S =，314a =，则公比q =________． 【答案】12【解析】 【分析】由条件列出方程组求解即可.【详解】因为374S =，314a =，所以()212171414a q q a q ⎧++=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得12q =或13q =-（不合题意，舍去）．故答案为：12【点睛】本题考查的是等比数列的基本量的计算，较简单.15.在三棱锥P ABC -中，AB AP ⊥，CB AP ⊥，CB AB ⊥，2AB BC ==，点P 到底面ABC 的距离为1．则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为________． 【答案】9π 【解析】 【分析】首先由条件可得1AP =，然后证明BC ⊥平面PAB ，从而得出球的直径为CP ，然后即可算出答案.【详解】因为AB AP ⊥，CB AP ⊥，CB AB B ⋂=，所以PA ⊥底面ABC ． 因为点P 到底面ABC 距离为1．所以1AP =．因为CB AP ⊥，CB AB ⊥，AB PA A ⋂=，所以BC ⊥平面PAB ， 故BC PB ⊥，90PBC PAC ∠=∠=︒，即该球的直径为CP ，2222222213CP AB CB AP =++=++=．所以球的半径为32R =，所以249S R ππ==． 故答案为：9π【点睛】本题考查多面体与球，找出球的直径是解题的关键.16.已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则AF =_______（用含p 的式子表示），||||FB TS =________． 【答案】 (1). 43p (2). 2 【解析】 【分析】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 辅交于点N ，由||2||FA AS =和抛物线的定义可求得AF 和||TS ，利用抛物线的性质112||||2AF BF p+=可构造方程求得BF ，进而求得结果. 【详解】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 辅交于点N ，因为||2||FA AS =，所以||1||3SA SF =，所以1||33pAN OF ==，所以4||3AM p =， 根据抛物线的定义知43AF AM p ==． 因为12||||23AS AF p ==，所以||2SF p =，所以||2TS p =． 根据抛物线的性质：112||||2AF BF p +=，所以3114||p BF p+=，解得4BF p =，所以||42||2FB pTS p==． 故答案为：43p ，2 【点睛】本题考查抛物线的定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.在如图所示的平面四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，5AD =，7AB =，30BDC ∠=︒．（1）求sin DBA ∠的值； （2）求BD 的长． 【答案】（1）3sin 14DBA ∠=；（2）8BD = 【解析】 【分析】（1）在ABD △中利用正弦定理即可求出答案 （2）在ABD △中利用余弦定理即可求出答案【详解】（1）因为30BDC ∠=︒，AD CD ⊥，所以60ADB ∠=︒．ABD △中，由正弦定理得sin sin AD ABDBA ADB=∠∠，即57sin sin 60DBA =∠︒，解得53sin DBA ∠=．（2）在ABD △中，由余弦定理得2222cos AB BD AD BD AD ADB =+-⨯⨯∠， 即25240BD BD --=，解得8BD =或3-（不合题意，舍去）． 所以8BD =【点睛】本题考查的是利用正余弦定理解三角形，属于基础题.18.金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生，新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：（1）通过估算，试判断男、女哪种性别的学生愿意投入到新生接待工作的概率更大．（2）能否有99%的把握认为，愿意参加新生接待工作与性别有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．3.841【答案】（1）男生愿意投入到新生接待工作的概率更大；（2）有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关．【解析】【分析】（1）由调查数据，分别算出男、女学生愿意投入到新生接待工作的比率即可（2）算出2K的观测值k即可【详解】（1）由调查数据，男学生愿意投入到新生接待工作的比率为600.75 80=，所以男学生愿意投入到新生接待工作的概率估计值是0.75；女学生愿意投入到新生接待工作的比率为40=0.5 80，所以女学生愿意投入到新生接待工作的概率估计值是0.5．所以男生愿意投入到新生接待工作的概率更大．（2）因为2K 的观测值2160(60404020)32==10.667 6.6358080100603k ⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯， 所以有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关．【点睛】本题考查用频率估计概率、独立性检验，属于基础题19.在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，AC BD O =，1A O ⊥平面ABCD ．（1）证明：1//A O 平面11B CD ．（2）若12AB AA ==，求点C 到平面11ABB A 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）263． 【解析】 【详解】（1）连接11A C ，设1111B D A C M =，连接MC ，因为在四棱柱1111ABCD A B C D -中，O ，M 分别为AC ，11A C 的中点所以1OC //A M ，1OC A M =，所以四边形1AOCM 为平行四边形，所以1//AO MC ，因为1AO ⊄平面11B CD ，MC ⊂平面11B CD ，所以1//A O 平面11B CB ． （2）以O 为坐标原点，以OB 所在直线为x 轴，以OC 所在直线为y 轴，以1OA 所在直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系因为12AB AA ==，所以22112OA A A OA =-= 所以()()()()10,2,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2A BC A - 所以()()12,2,0,0,2,2AB AA == 设平面11ABB A 的一个法向量为(),,a x y z =因为1220220AB a x y AA a y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，所以不妨取()1,1,1a =-因为()0,22,0AC =所以点C 到平面11ABB A 的距离为22263AC aa ⋅== 【点睛】1.通常是构造平行四边形或三角形的中位线来找线线平行，进而证明线面平行；2.向量法可以用来求点到平面的距离，计算是解题的关键.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，且1()0,1B ，112A B B 为等边三角形，过点(1,0)的直线与椭圆C 在y 轴右侧的部分交于M 、N 两点，O 为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若21||5MN =MN 的方程． 【答案】（1）2213x y +=；（2）3(1)y x =- 【解析】【分析】（1）由1()0,1B 得1b =，由112A B B 为等边三角形得3a b（2）分直线MN 的斜率不存在和存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y k x =-，然后联立直线方程与椭圆方程消元，用弦长公式建立方程求解即可.【详解】（1）因为1()0,1B ，所以1b =，因为112A B B 为等边三角形，所以3a b，所以a =所以椭圆的标准方程为2213x y +=． （2）当直线MN的斜率不存在时，可得1,3M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以||35MN =≠， 所以直线MN 的斜率存在，设直线MN 的斜率为k ，则直线MN 的方程为(1)y k x =-，设()11,M x y ，()22,N x y ．联立2213(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，化简得()2222316330k x k x k +-+-=，所以2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，12|||MN x x =-=== 因为1>0x ，20x >，所以||1k >，所以解得23k =或2613k =-（舍去）， 所以直线MN的方程1)y x =-．【点睛】涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.21.已知函数()()2ln 2f x a x x x x =-+-． （1）当2a e =-（e 为自然对数的底数）时，求函数()f x 的极值；（2）()f x '为()y f x =的导函数，当0a >，120x x >>时，求证：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫''-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【答案】（1）极大值21e --，极小值2e -；（2）详见解析.【解析】【分析】首先确定函数的定义域和()f x '；（1）当2a e =-时，根据()f x '的正负可确定()f x 单调性，进而确定极值点，代入可求得极值；（2）通过分析法可将问题转化为证明12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，设121x t x =>，令()()21ln 1t h t t t -=-+，利用导数可证得()0h t >，进而得到结论.【详解】由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()()()121122x x a f x a x x x-+⎛⎫'=-+-= ⎪⎝⎭， （1）当2a e =-时，()()()21x x e f x x--'=， ∴当()0,1x ∈和(),e +∞时，()0f x '>；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x ∴在()0,1，(),e +∞上单调递增，在()1,e 上单调递减，()f x ∴极大值为()121221f e e =-+-=--，极小值为()()22212f e e e e e e =--+-=-. （2）要证：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫''-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即证：()()()1212122x x f x f x f x x '+⎛⎫-<- ⎪⎝⎭， 即证：()()2211222211ln 2ln 2a x x x x a x x x x -+----+()12121222a x x a x x x x ⎛⎫<++--- ⎪+⎝⎭， 化简可得：()1212122ln a x x x a x x x ->+． 0a >，()1212122ln x x x x x x -∴>+，即证：12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+， 设121x t x =>，令()()21ln 1t h t t t -=-+，则()()()22101t h t t t -'=>+，()h t ∴在()1,+∞上单调递增，()()10h t h ∴>=，则由12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+， 从而有：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫''-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到函数极值的求解、利用导数证明不等式的问题；本题不等式证明的关键是能够将多个变量的问题转化为一个变量的问题，通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l经过点(1,M --且倾斜角为α. （1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于,A B ，满足A 为MB 的中点，求tan α.【答案】（1）4cos ρθ=，1cos t sin x t y αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩；（2【解析】【分析】（1）由曲线C 的参数方程消去参数可得曲线C 的普通方程，由此可求曲线C 的极坐标方程；直接利用直线的倾斜角以及经过的点求出直线的参数方程即可；（2）将直线的参数方程，代入曲线C 的普通方程224x y x +=，整理得)26cos 320t t αα-++=，利用韦达定理，根据A 为MB 的中点，解出α即可.【详解】（1）由22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）消去参数， 可得()2224x y -+=，即224x y x +=，∴已知曲线C 的普通方程为224x y x +=，cos x ρθ=，222x y ρ=+，∴24cos ρρθ=，即4cos ρθ=，∴曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l经过点(1,M --，且倾斜角为α， ∴直线l的参数方程：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数，0απ≤≤）. （2）设,A B 对应的参数分别为A t ，B t .将直线l 的参数方程代入C 并整理，得)26cos 320t t αα-++=，∴)6cos A B t t αα+=+，32A B t t ⋅=. 又A 为MB 的中点，∴2B A t t =，∴)2cos 4sin 6A t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，8sin 6B t πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴232sin 326A B t t πα⎛⎫⋅=+= ⎪⎝⎭，即2sin ()16πα+=，0απ≤≤， ∴7666πππα≤+<， ∴62ππα+=，即3πα=，∴tan 3π=【点睛】本题考查了圆的参数方程与极坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用，考查了计算能力，属于中档题. [选修4-5：不等式选讲]23.设函数()121f x x x a =++-+．（1）当1a =时，解不等式()6f x ≤；（2）设12a <-，且当21a x ≤<-时，不等式()26f x x ≤+有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[2,3]-；（2）12,2⎛⎫--⎪⎝⎭. 【解析】【分析】 （1）通过分类讨论去掉绝对值符号，进而解不等式组求得结果；（2）将不等式整理为3a x --≤，根据能成立思想可知max 3a x --≤，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当1a =时，()6f x ≤可化为125x x ++-≤，21,2123,1212,1x x x x x x x ->⎧⎪++-=-≤≤⎨⎪-<-⎩∴由2215x x >⎧⎨-≤⎩，解得23x <≤；由1235x -≤≤⎧⎨≤⎩，解得12x -≤≤；由1125x x <-⎧⎨-≤⎩，解得21x -≤<-． 综上所述：所以原不等式的解集为[]2,3-．（2）21a x ≤<-，()26f x x ≤+，12126x x a x ∴--+-+≤+，3a x ∴--≤，()26f x x ≤+有解，31a ∴--<-，即2a >-，又21a <-，12a ∴<-， ∴实数a 的取值范围是12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、根据不等式有解求解参数范围的问题；关键是明确对于不等式能成立的问题，通过分离变量的方式将问题转化为所求参数与函数最值之间的比较问题.。
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(十一)数学文科试卷
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（十一）数学试卷（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
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7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|42M x x =-<<，{}2|60N x x x =--<，则M N ⋃=（ ）A. {}|43x x -<<B. {}|42x x -<<-C. {}|22x x -<<D. {}|23x x <<【答案】A 【解析】 【分析】化简集合N ，进而求并集即可.【详解】由题意可得{}|42M x x =-<<，{}|23N x x =-<<， 所以{}|43MN x x =-<<，故选A.【点睛】本题考查集合的并集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.已知角α的终边经过点(-，则sinα的值为（）A.B.5- C.12- D. -2【答案】B【解析】【分析】求出(-到原点的距离，进而可求sinα的值.【详解】解：由题意知，(-到原点的距离5 r==，所以sin5rα==-.故选:B.【点睛】本题考查了已知角的三角函数值的求解.当已知角α终边上一点的坐标为(),x y，则代入公式sincostanyrxryxααα⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，其中r=.3.已知1e，2e为单位向量，且满足()12220e e e+⋅=，则12,e e=（）A. 30B. 60︒C. 120︒D. 150︒【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的数量积定义及乘法运算,即可求得12,e e【详解】因为()12220e e e+⋅=则212220e ee⋅+=由向量数量积的定义可得2121222cos,0e e e e e⋅+=1e ,2e 为单位向量则122cos ,10e e += 即121cos ,2e e =-由向量夹角的取值范围为o 0180⎡⎤⎣⎦，可得12,120e e = 故选:C【点睛】本题考查了向量数量积的定义,向量的夹角求法,属于基础题.4.《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作.其中有一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同）.二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至后的那个节气（小暑）晷长为（ ）A. 五寸B. 二尺五寸C. 三尺五寸D. 四尺五寸【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，从夏至到冬至，冕长组成了等差数列{}n a ，其中115a =，13135a =，结合等差数列通项公式，可求公差10d =，进而可求小暑晷长.【详解】解：设从夏至到冬至，每个节气冕长为n a ，即夏至时冕长为115a =，冬至时冕长为13135a =， 由每个节气晷长损益相同可知，1n n a a +-=常数，所以{}n a 为等差数列，设公差为d ， 由题意知，131121512135a a d d =+=+=，解得10d =，则21151025a a d =+=+=.故选:B.【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的通项公式的求解及应用.本题的关键是将各个节气的冕长抽象成等差数列. 5.将函数sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像上所有的点向右平移4π个单位长度，再把图形上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图像的解析式为（ ） A. 5sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭B. 5sin 212x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C. 5sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. 5sin 224x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数平移伸缩的变换求解即可.【详解】将函数sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有的点向右平移4π个单位长度得到5sin sin 4612y x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.再把图形上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变）则变成15sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】本题主要考查了三角函数图像的变换,属于基础题型.6.已知函数2()2cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数，则函数()y f x '=的图像大致为（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】因为()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-，显然()f x '是奇函数，求导易得()f x '在R 上单调递增. 【详解】因为()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-，显然()f x '是奇函数， 又()22cos 0f x x ''=-≥,所以()f x '在R 上单调递增.只有C 符合, 故选C ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数判断函数的单调性,属中档题. 7.等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“34a a <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式,结合充分必要条件的判断即可得解. 【详解】因为{}n a 为等比数列,10a >若13a a <,即211a a q <,可得21q <解得1q <或1q <-.则233141,a a q a a q ==当1q <时, 34a a <;当1q <-时, 34a a >,所以“13a a <”是“34a a <”非充分条件若34a a <,则233141,a a q a a q ==,即2311a q a q <,解得1q < 故2131a a a q <=,所以“13a a <”是“34a a <”的必要条件综上可知, “13a a <”是“34a a <”的必要不充分条件 故选:B【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的简单应用,充分必要条件的判断,属于基础题. 8.若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则//m nB. 若//,,m n αβαβ⊥⊥，则m n ⊥C. 若//,//,//m n αβαβ，则//m nD. 若,//,//m n αβαβ⊥，则m n ⊥【答案】D 【解析】利用空间线面、面面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解． 【详解】对于A 中，若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥，所以不正确；对于B 中，若//,,m n αβαβ⊥⊥，则m 与n 的关系不能确定，所以不正确； 对于C 中，若//,//,//m n αβαβ，则m 与n 的关系不能确定，所以不正确；对于D 中，若,//m βαα⊥，可得m β⊥，又由//n β，可得m n ⊥，所以是正确的．故选：D ．【点睛】本题主要考查了空间线面、面面位置关系的判定定理与性质定理，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题．9.已知2a =112b⎛⎫> ⎪⎝⎭，12log 1c >，则（ ）A. a b c >>B. c a b >>C. a c b >>D. c b a >>【答案】C 【解析】 【分析】根据指数与对数的转化,结合指数与对数的图像与性质,即可比较大小. 【详解】因为2a =由指数与对数的转化可知,2log a =根据对数函数的图像与性质可得221log log 2a =>=因为112b⎛⎫> ⎪⎝⎭,由指数函数的图像可知0b < 因为12log 1c >,由对数函数的图像与性质可知102c <<综上可知, a c b>> 故选:C【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,指数函数与对数函数的图像与性质,属于基础题.10.已知1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，直线y =与双曲线C 的一个交点P 在以线段12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 4+ B. 5+C.1D.2【解析】 【分析】先由题意得到12PF PF ⊥，不妨令P 在第一象限内，再得到2POF ∆为等边三角形，求出2PF c =，1PF =，结合双曲线的定义，即可求出结果.【详解】因为直线y =与双曲线C 的一个交点P 在以线段12F F 为直径的圆上， 所以12PF PF ⊥，不妨令P 在第一象限内， 又O 为12F F 中点，12(,0),(,0)F c F c -，所以1212F O c F P ==，因为直线y =的倾斜角为260POF ∠=， 所以2POF ∆为等边三角形，所以2PF c =，因此，在12Rt PF F ∆中，1PF ==，由双曲线的定义可得：212PF PF c a -=-=，所以双曲线C 的离心率为1c e a ===. 故选C【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质以及双曲线的定义即可，属于常考题型. 11.已知a ，b 为正实数，直线2y x a =-+与曲线1x b y e +=-相切，则11a b+的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4D. 8【答案】B 【解析】 【分析】直线与曲线相切，则切点在直线与曲线上，且切点处的导数相等，求出,a b 的关系，再利用基本不等式求所求分式的最值.【详解】由2y x a =-+得1y'=；由1x b y e +=-得'x by e +=；因为2y x a =-+与曲线1x by e+=-相切，令1x b e +=，则可得x b =-，代入1x b y e +=-得0y =； 所以切点为(,0)b -.则20b a --+=，所以2a b +=.故1111()()22a b a b a b +=++=1222b a a b++≥ 当且仅当22b a a b=，即1a b ==时等号成立，此时取得最小值2.选B. 【点睛】本题主要考查导数的意义及基本不等式的综合应用．关于直线与曲线相切，求未知参数的问题，一般有以下几步：1、分别求直线与曲线的导函数；2、令两导数相等，求切点横坐标；3、代入两方程求参数关系或值.12.设函数2e 1,0(),0x x f x x ax x ⎧-=⎨->⎩，若关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有三个不相等的实数根，则a 的取值范围是（） A. (,2]-∞- B. [2,)+∞C. [2,2]-D. (,2][2,)-∞-+∞【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为当0x >时，2x ax m -=-恒有两个正根,再根据二次方程实根分布列式可解得. 【详解】因为关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有三个不相等的实数根 所以当0x 时，(0,1)m ∀∈ ，1x e m -=-有一根，当0x >时，2x ax m -=-恒有两个正根，由二次函数的图象可知20240aa m ⎧>⎪⎨⎪=->⎩ 对任意的(0,1)m ∈恒成立，所以24a ≥ 解得2a ．故选B ．【点睛】本题考查了函数与方程,不等式恒成立,属中档题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.设,x y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩, 则2z x y =-的最大值为______.【答案】8 【解析】【详解】作可行域，则直线2z x y =-过点B(5,2)时z 取最大值8.14.已知向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，则()sin cos 2παπα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭______. 【答案】45【解析】 【分析】由向量平行可得2cos sin αα=，结合221sin cos αα=+可得24sin 5α=，结合诱导公式化简得()2sin cos sin 2παπαα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭即可得解.【详解】向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，所以2cos sin αα=.()2sin cos (sin )(sin )sin 2παπαααα⎛⎫-+=--= ⎪⎝⎭.由22222sin 5sin 1sin cos sin 44ααααα=+=+=，所以24sin 5α=. 故答案为：45. 【点睛】本题主要考查了向量共线的向量表示及同角三角函数关系，属于基础题.15.过抛物线2:4C y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A B 、两点，若A 到抛物线的准线的距离为4，则AB = .【答案】163【解析】试题分析：∵24y x =，∴抛物线的准线为1x =-，(1,0)F ，又A 到抛物线准线的距离为4，∴14A x +=，∴3A x =，∵214A B p x x ==，∴13B x =，∴1163233A B AB x x p =++=++=.考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.抛物线的定义及性质.16.已知边长为23的空间四边形ABCD 的顶点都在同一个球面上，若3BAD π∠=，平面ABD ⊥平面CBD ，则该球的球面面积为___________.【答案】20π 【解析】 【分析】根据题意,画出空间几何图形.由几何关系,找出球心.由勾股定理解方程即可求得球的半径,进而得球的面积. 【详解】根据题意, G 为底面等边三角形CBD 的重心,作OG ⊥底面CBD .作AE BD ⊥交BD 于E ,过O 作OF AE ⊥交AE 于F .连接,AO OC 画出空间几何图形如下图所示:因为等边三角形CBD 与等边三角形ABD 的边长为23且3BAD π∠=所以23sin33AE CE π===G 为底面等边三角形CBD 的重心,则113133EG CE ==⨯=,2GC = 面ABD ⊥平面CBD因而四边形OGEF 为矩形,设OG h =,则EF h =,球的半径为rRt AFO ∆和Rt OGC ∆中()222222312h r h r⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩解得15h r =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以球的表面积为2244520S r πππ==⨯=故答案为: 20π【点睛】本题考查了空间几何体的结构特征,三棱锥外接球的半径与表面积求法,属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线l ：20ax y a ++=，1l ：10x ay a ++-=，圆C ：228120x y y +-+=. （1）当a 为何值时，直线l 与1l 平行；（2）当直线l 与圆C 相交于A ，B两点，且AB =l 的方程. 【答案】（1）1a =；（2）7140x y -+=或20x y -+=. 【解析】 【分析】（1）当0a ≠时，由直线平行，可得两直线斜率相等，即可求出1a =或1a =-，将a 的值带回直线方程进行验证，可舍去1a =-；当0a =，求出两直线方程进行验证是否平行，进而可求出a 的值.（2）将已知圆的方程整理成标准方程形式，得到圆的半径和圆心，求出圆心到直线的距离，由勾股定理可知AB ==a 的方程，从而可求出a 的值，进而可求直线的方程. 【详解】解：（1）当0a ≠ 时，直线l 的斜率k a =-，1l 的斜率11k a=-，由两直线平行可知， 1a a-=-，解得1a =或1a =-.当1a =时，l ：20x y ++=，1l ：0x y +=，符合题意， 当1a =-时，l ：20x y -+-=，1l ：20x y -+=，此时两直线重合，不符合题意. 当0a =时，l ：0y =，1l ：10x +=，两直线垂直，不符合题意； 综上所述：1a =.（2）由题意知，C ：()2244x y +-=，则圆的半径2r ，圆心为()0,4C ，则圆心到直线l的距离d =.由AB ==()2242214a a +-+=整理得，2870a a ++= ，解得7a =-或1a =-. 故所求直线方程为7140x y -+=或20x y -+=.【点睛】本题考查了两直线的位置关系，考查了直线与圆相交的弦长问题.本题的易错点，一是未讨论a 的值，直接令斜率相等；二是求出a 的值未带回 直线方程进行验证.涉及到直线和圆相交的弦长问题时，通常是结合勾股定理表示弦长.18.已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若611a =，220S =.（1）求通项n a ；（2）设{}n n b a -是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T . 【答案】（1）232n a =n -；（2）12322n n b n -=-+，22221n n n -+-【解析】 【分析】（1）设公差为d ，由等差数列的通项公式和前n 项和公式，可得6122151122212202a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，从而可求出首项和公差，进而可求出通项公式.（2）由题意知12n n n b a -=+，结合分组求和法，可求出n T .【详解】（1）解：设公差为d ，由题意可得6122151122212202a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得1212a d =⎧⎨=-⎩. 所以232n a =n -.（2）由题意12n n n b a --=，故12n n n b a -=+.由（1）知，()211222n n n S a n d n n -=+=-， 因此1121212......12 (2)12nn n n n n T b b b a a a S --=++=+++++++=+- 22221n n n =-+-.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和，考查了等比数列的前n 项和，考查了分组求和.本题第一问的关键是用基本量即首项和公差，表示出已知622,a S .对于数列求和问题，常见的方法有公式法、分组求和法、错位相减法、裂项求和法.19.已知ABC ∆是斜三角形，内角A B C 、、所对的边的长分别为a b c 、、．己知．（I ）求角C ；（II ）若c =21，且sin sin()5sin 2,C B A A +-=求ABC ∆的面积. 【答案】（I ）；（II ）.【解析】【详解】试题分析：（I ）根据正弦定理算出 csin A asinC =，与题中等式比较可得，结合为三角形内角，可得的大小；（II ）余弦定理2222cos c a b ab C =+-的式子，列式解出5,1a b ==，再利用三角形的面积公式加以计算，即可得到ABC ∆的面积． 试题解析：（I ）根据正弦定理a csinA sinC=，可得 csin A asinC =， sinA 3cos ,sin 3cos c a C a C a C =∴=，可得sin 3cos C C =，得3sinC tanC cosC ==,03C C ππ∈∴=（，），； （II ）sin sin(B A)5sin 2A,C 3C π+-==sin sin()C A B ∴=+sin(A B)sin(B A)5sin 2A ∴++-=，2sin cosA 25sin cos B A A ∴=⨯为斜三角形，cos 0A ∴≠，sinB 5sinA ∴=，由正弦定理可知5b a =……（1） 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-2212122a b ab…..（2） 由（1）（2）解得1,5a b ==11353sin 152224ABCSab C ∴==⨯⨯⨯=考点：1.正弦定理的运用；2.余弦定理的运用；3.面积公式的运用.【方法点睛】本题主要考查的是正弦定理，余弦定理和面积公式的运用，三角函数的化简和求值，运算能力，属于中档题，此类题目的解题方法主要是在对正弦定理与余弦定理的灵活运用，对正弦定理进行变形可得，从而求出的大小，通过三角函数之间的转化加上正弦定理可求出5b a =，再利用余弦定理可求出5,1a b ==，从而求出ABC ∆的面积，因此此类题目灵活运用正余弦定理是解决问题的关键. 20.如图，在几何体BACDEF 中，四边形CDEF 是菱形，//AB CD ，平面ADF ⊥平面CDEF ，AD AF =.（1）求证：AC DF ⊥；（2）若2FA FC FD ===，1AB =，求三棱锥A CDF -和三棱锥E BDF -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）1,1 【解析】 【分析】（1）连接CE ，与DF 交于点O ，连接AO 易知CE DF ⊥，AO DF ⊥，由线面垂直的判定定理可得DF ⊥平面AOC ，从而可证明AC DF ⊥；（2）由面面垂直的性质可知，AO ⊥平面CDEF ，即AO 为三棱锥A CDF -的高，结合菱形、等边三角形的性质，可求出3CDFS=，从而可求三棱锥A CDF -的体积；由//AB 平面CDEF ，可知点B 到平面CDEF 的距离也为3AO =，由菱形的性质可知C FEDFD SS=，从而可求出三棱锥E BDF -的体积.【详解】（1）证明:如图，连接CE ，与DF 交于点O ，则O 为DF 的中点，连接AO ， 由四边形CDEF 是菱形可得CE DF ⊥，因为AD AF =，所以AO DF ⊥， 因为CEAO O =，所以DF ⊥平面AOC ，因为AC ⊂平面AOC ，所以AC DF ⊥.（2）因为平面ADF ⊥平面CDEF ，平面ADF 平面CDEF FD =，且AO DF ⊥，所以AO ⊥平面CDEF ，即AO 为三棱锥A CDF -的高. 由2FA FC FD ===，四边形CDEF 是菱形，且AD AF =，可得ADF 与CDF 都是边长为2的等边三角形，所以2sin 603AO =⨯︒=因为CDF 的面积2323CDFS=⨯=1133133A CDFFCDV S AO -=⋅==. 因为//AB CD ，CD ⊂ 平面CDEF ，AB ⊄ 平面CDEF ，所以//AB 平面CDEF ， 故点B 到平面CDEF 的距离也为3AO =CDEF 是菱形得C FEDFD S S=因此1133133E BDF B DEF EDFV V S AO --==⋅==. 【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查了线面垂直的判定，考查了锥体体积的求解，考查了面面垂直的性质.证明线线垂直时，可借助勾股定理、菱形的对角线、矩形的临边、线面垂直的性质证明.求三棱锥的体积时，注意选择合适的底面和高，会使得求解较为简单.21.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率2e =，左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l ：y kx m =+与圆M ：2223x y +=相切，且直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，求OA OB ⋅的值.【答案】（1）2212x y +=；（2）0【解析】 【分析】（1）由抛物线2y =的焦点)F是该椭圆的一个顶点，可得a =e =，可求1c =，进而可求出2221b a c =-=，从而可求椭圆的方程. （2）由直线和圆相切，可知圆心到直线的距离等于半径，即()22213m k =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线和圆的方程，整理后由韦达定理可知，21222221m x x k -=+，22122221m k y y k -=+，从而可求12120OA OB x x y y ⋅=+=.【详解】解：（1）因为椭圆C的离心率e =，所以c a =，即a =．因为抛物线2y =的焦点)F恰好是该椭圆的一个顶点，所以a =所以1c ==，则222211b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为2212x y +=． （2）由圆的方程可知，圆心为()0,0M，半径为3r =；由于直线l 与圆M 相切， 故圆心到直线l的距离3d ==，整理得()22213m k =+，则联立直线和椭圆的方程，即2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222214220k x kmx m +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+，则 ()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222221m k k -=+．所以()2222121222212232202121k k m k OA OB x x y y k k +----⋅=+===++. 【点睛】本题考查了抛物线焦点的求解，考查了椭圆标准方程的求解，考查了直线和圆的位置关系，考查了直线和椭圆的位置关系.本题的难点是第二问中的计算化简.本题的关键是由直线和圆相切得两个参数的关系.22.设0a >，函数()222ln f x x ax a x =--，()2ln x xg x x+=. （1）当12a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）求函数()g x 的极值；（3）若函数()f x 在区间()0,∞+上有唯一零点，试求a 的值.【答案】（1）()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞；（2）()g x 有极大值()11g =，无极小值；（3）12a =. 【解析】 【分析】（1）求出()1'210f x x x =--=，解得1x =或12-，则可探究当01x <<时，当1x >时，()(),f x f x ' 的变化，从而求出单调区间； （2）求出()312ln 'x xg x x --=，令()()12ln 0h x x x x =-->，结合导数探究()h x 在()0,∞+ 的单调性，结合()10h =，可探究出()(),g x g x '随x 的变化情况，从而可求极值； （3）令222ln 0x ax a x --=，可得21ln 2x x a x+=在()0,∞+只有一个解，借助第二问可知()1112g a ==，从而可求出a 的值. 【详解】解：（1）当12a =时，()2ln f x x x x =--.易知()f x 定义域为()0,∞+，令()()()2211121'210x x x x f x x x x x+---=--===，解得1x =或12-，当01x <<时，()'0f x <，则()f x 递减；当1x >时，()'0f x >，则()f x 递增， 因此，()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞. （2）()g x 的定义域为()0,∞+，则()312ln 'x xg x x--=，令()()12ln 0h x x x x =-->， 则()2'10h x x=--<，故()h x 在()0,∞+单调递减，又知()10h =， 当01x <<时，()0h x >，即()'0g x >；当1x >时，()0h x <，即()'0g x < 因此()g x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减. 即当1x = 时， ()g x 有极大值()11g =，无极小值. （3）令222ln 0x ax a x --=，整理得：21ln 2x x a x +=在()0,∞+只有一个解， 即12y a=的图像与()2ln x xg x x+=的图像在()0,∞+只有一个交点，由（2）知， ()g x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，且()g x 有极大值()11g =，所以，()1112g a ==，解得12a =. 【点睛】本题考查了运用导数求函数的单调性，考查了运用导数求解函数的极值，考查了方程的根与函数的零点.本题的难点在于第二问，需要二次求导来确定导数为零的解.本题的易错点是求极值时，混淆了极值和极值点的概念，或漏写了极小值.。
2021届河南省天一大联考高三阶段性测试数学(文)试题Word版含答案
2021届河南省天一大联考高三阶段性测试数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集*U N =，集合{}{}1,2,3,5,2,4,6A B ==，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}2B ．{}2,4,6C ．{}4,6D ．{}1,3,5 2.已知i 是虚数单位，复数z 满足()1i z i -=，则z 的虚部是（ ） A ．12-B ．12C ．12iD ．12i - 3.若2cos 2πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则()cos 2πα-= （ ） A ．59 B ．59- C ．29 D ． 29- 4.“113x⎛⎫< ⎪⎝⎭”是“11x >”的（ ）A ．充分且不必要条件B ．既非充分也非必要条件 C. 充要条件 D ．必要且不充分条件 5.在区间[]0,1上任选两个数x 和y ，则21y x ≥- ）A ．16π-B ．6πC. 14π-D ．4π6. 将函数cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上的点,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭向右平移()0m m >个单位长度得到点P '，若P '位于函数cos 2y x =的图象上，则（ ）A ．3t m =的最小值为6πB ．3t m =的最小值为12π C. 1,2t m =-的最小值为6π D ．1,2t m =-的最小值为12π7.执行如图所示的程序框图，若输入4,3m t ==，则输出y = （ ）A ．184B ．183 C. 62 D ．61 8.函数()2af x x x =+（其中a R ∈）的图象不可能是（ ） A ． B ．C. D ．9.已知M 是抛物线()2:20C y px p =>上一点，F 是抛物线C 的焦点.若,MF p K =是抛物线C 的准线与x 轴的交点，则MKF ∠=（ ）A ．60°B ．45° C. 30° D ．15°10.已知P 为矩形ABCD 所在平面内一点，4,3,5,25AB AD PA PC ====，则PB PD = （ ） A ．0 B ．-5或0 C. 5 D ．-511.某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．3π C. 2π D ．π12.已知函数()2,01,0x e x f x x ax x ⎧≤=⎨++>⎩，()()1F x f x x =--，且函数()F x 有2个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(],0-∞B ． [)1,+∞ C. ()0,+∞ D ．(),1-∞第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线30x y -+=平行，则此双曲线的离心率为 ．14.若实数,x y 满足1002x y x y --≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩，则221y x +的最小值是 ．15.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米.”则该圆柱形容器能装米 斛.（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率3π≈） 16.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,a b a c >>.ABC ∆的外接圆半径为1，3a =若边BC 上一点D 满足2BD DC =，且090BAD ∠=，则ABC ∆的面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*21n n a S n N =+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电情况进行了调查，通过抽样，获得了某年200户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照[)[)[)[)[)[)0,100,100,200,200,300,300,400,400,500,500,600，[)[)[]600,700,700,800,800,900分成9组，制成了如图所示的频率直方图.（1）求直方图中m 的值并估计居民月均用电量的中位数；（2）现从第8组和第9组的居民中任选取2户居民进行访问，则两组中各有一户被选中的概率. 19. 如图，在四棱锥A BCDE -中，CD ⊥平面,//,,,ABC BE CD AB BC CD AB BC M ==⊥为AD 上一点，EM ⊥平面ACD . （1）求证：//EM 平面ABC ；（2）若2CD =，求四棱锥A BCDE -的体积.20.已知圆22:1O x y +=过椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的短轴端点，,P Q 分别是圆O 与椭圆C 上任意两点，且线段PQ 长度的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,t 作圆O 的一条切线交椭圆C 于,M N 两点，求OMN ∆的面积的最大值.21.已知函数()2ln 2af x x x =-的图象在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为0. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若()()12g x f x mx =+，在区间()1,+∞上没有零点，求实数m 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）判断直线l 与圆C 的交点个数；（2）若圆C 与直线l 交于,A B 两点，求线段AB 的长度. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()()22f x x x m m R =+--+∈. （1）若1m =，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若方程()f x x =有三个实根，求实数m 的取值范围.2021届河南省天一大联考高三阶段性测试数学（文）试题参考答案一、选择题1-5: CABDC 6-10: DBCBA 11、12：BD二、填空题14.43三、解答题17.解析：（1）当1n =时，1112121a S a =+=+，解得11a =-. 当2n ≥时，1121,21n n n n a S a S --=+=+，两式相减得12n n n a a a --=，化简得1n n a a -=-，所以数列{}n a 是首项为-1，公比为-1的等比数列，可得()1nn a =-.（2）由（1）得()()211nn b n =--， 下面提供三种求和方法供参考：（错位相减法）()()()()()123113151211nn T n =-+-+-++--，()()()()()()2311131231211nn n T n n +-=-+-++--+--，两式相减得()()()()()23121212121211nn n T n +=-+-+-++----()()()()()()211111122112111n n n n n -+⎡⎤-⨯--⎣⎦=-+⨯---=---，所以数列{}n b 的前n 项和()1nn T n =-.（并项求和法）当n 为偶数时，12n n b b -+=，22n nT n =⨯=； 当n 为奇数时，1n +为偶数，()()11121n n n T T b n n n ++=-=+-+=-. 综上，数列{}n b 的前n 项和,,n n n T n n ⎧=⎨-⎩为偶数为奇数.（裂项相消法）因为()()()()()1211111nnn n b n n n +=--=----，所以()()()()()()()1223101111121111nn n T n n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=---+---++----⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()110111n nn n +=---=-，所以数列{}n b 的前n 项和()1nn T n =-.18.【解析】（1）()11000.00040.00080.00210.00250.00060.00040.00022100m -⨯++++++=⨯， ∴0.0015m =.设中位数是x 度，前5组的频率之和为0.040.080.150.210.250.730.5++++=>， 而前4组的频率之和为0.040.080.150.210.480.5+++=<，所以400500x <<，0.50.484001000.25x --=⨯，故408x =，即居民月均用电量的中位数为408度.（2）第8组的户数为0.00041001004⨯⨯=，分别设为1234,,,A A A A ，第9组的户数为0.00021001002⨯⨯=，分别设为12,B B ，则从中任选出2户的基本事件为()()1213,,A A A A ，，()()1411,,A A A B ，，()12,A B ，()23,A A ，()24,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()34,A A ，()31,A B ， ()32,A B ，()41,A B ，()42,A B ，()12,B B ，共15种.其中两组中各有一户被选中的基本事件为()()()()11122122,,,,,,A B A B A B A B ，()()3132,,,A B A B ，()()4142,,,A B A B ，共8种.所以第8，9组各有一户被选中的概率815P =. 19.【解析】（1）取AC 的中点F ，连接BF ，因为AB BC =，所以BF AC ⊥， 因为CD ⊥平面ABC ，所以CD BF ⊥，又ACCD C =，所以BF ⊥平面ACD ，因为EM ⊥平面ACD ，所以//EM BF ，又EM ⊄平面,ABC BF ⊂平面ABC ，所以//EM 平面ABC .（2）连接MF ，因为//,BE CD BE ⊄平面,ACD CD ⊂平面ACD ，所以//BE 平面ACD ， 又平面BEMF ⋂平面ACD MF =，所以//BE MF ，由（1）知//EM BF ，所以四边形BEMF 为平行四边形，所以BE MF =.因为F 是AC 的中点，所以M 是AD 的中点， 所以112BE MF CD ===. 因为CD ⊥平面ABC ，所以CD AB ⊥， 又BC AB ⊥，所以AB ⊥平面BCDE . 所以四棱锥A BCDE -的体积()11112222332A BCDE BCDE V S AB -=⨯=⨯⨯+⨯⨯=. 20.【解析】（1）∵圆O 过椭圆C 的短轴端点，∴1b =，又∵线段PQ 长度的最大值为3， ∴13a +=，即2a =，∴椭圆C 的方程为2214y x +=.（2）由题意可设切线MN 的方程为y kx t =+，即0kx y t -+=1=，得221k t =- ①联立得方程组2214y kx t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()2224240k x ktx t +++-=. 其中()()()222222444161664480kt k t t k ∆=-+-=-++=>，设()()1122,,,M x y N x y ，则12224kt x x k -+=+，212244t x x k -=+，则21616t MN -+=②将①代入②得MN =112OMN S MN ∆=⨯⨯=1，等号成立当且仅当3t t =，即t =.综上可知：()max 1OMN S ∆=. 21.【解析】（1）()2ln 2a f x x x =-的定义域为()0,+∞，()22af x x x'=-， 因为1102f a ⎛⎫'=-=⎪⎝⎭，所以()()()()22121111,ln ,2222x x a f x x x f x x x x -+'==-=-=. 令()0f x '>，得12x >，令()0f x '<，得102x <<， 故函数()f x 的单调递增区间是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间是10,2⎛⎫⎪⎝⎭.（2）()211ln 22g x x x mx =-+，由()214120222m x mx g x x x x +-'=-+==，得x =，设0x =，所以()g x 在(]00,x 上是减函数，在[)0,x +∞上为增函数.因为()g x 在区间()1,+∞上没有零点，所以()0g x >在()1,+∞上恒成立，由()0g x >，得1ln 22x m x x >-，令ln 2xy x x=-，则22222ln 22ln 4144x x x y x x ---'=-=， 当1x >时，0y '<，所以ln 2xy x x =-在()1,+∞上单调递减， 所以当1x =时，max1y =-，故112m ≥-，即[)2,m ∈-+∞.22.【解析】（1）消去参数得直线l10y +-=， 由2sin ρθ=得圆C 的直角坐标方程为2220x y y +-=. 因为圆心()0,1在直线l 上，所以直线l 与圆C 的交点个数为2.（2）由（1）知AB 为圆C 的直径，而圆C 的直径可求得为2，所以2AB =. 23.【解析】（1）∵1m =时，()221f x x x =+--+. ∴当2x ≤-时，()3f x =-，不可能非负，当22x -<<时，()21f x x =+，由()0f x ≥可解得12x ≥-，于是122x -≤<. 当2x ≥时，()50f x =>恒成立. ∴不等式()0f x ≥的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （2）由方程()f x x =可变形为22m x x x =+--+.令()4,222,224,2x x h x x x x x x x x +<-⎧⎪=+--+=--≤≤⎨⎪->⎩，作出图象如图所示于是由题意可得22m -<<.。
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(九)数学(文)试题
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（ ）A. {|0}x x <B. {|01}x xC. {|10}x x -<D. {|1}x x -【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，再求集合B 的补集，然后求()RAB【详解】{|11},{|0}A x x B x x =-=<，所以 (){|1}RA B x x =-.故选：D【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.2.若复数z 与其共轭复数z 满足213z z i -=+，则||z =（ ） A .B.C. 2D.【答案】A 【解析】 【分析】设z a bi =+，则2313z z a bi i -=-+=+，得到答案.【详解】设z a bi =+，则222313z z a bi a bi a bi i -=+-+=-+=+，故1a =-，1b =，1z i =-+，z =.故选：A .【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.3.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为53，则其渐近线为( )A. 2x+y=0B. 20x y ±=C. 340x y ±=D. 430x y ±=【答案】D 【解析】 本题由双曲线的标准方程，离心率出发来求解其渐近线，主要考察学生对双曲线概念，基本关系的理解与应用，属于简单题型． 请在此填写本题解析! 解 因为5e 3c a ==, 23c 5a,9c =即=252a ,因为22c a =+2b ,所以，29a +29b =252a 即化简得b a =43,所以答案为D. 4.在区间(]0,4内随机取两个数a b 、，则使得“命题‘x R ∃∈，不等式220x ax b ++<成立’为真命题”的概率为（ ） A.14B.12C.13D.34【答案】A 【解析】 【分析】由该命题为真命题得出20a b ->，画出不等式组040420a b a b <≤⎧⎪<≤⎨⎪->⎩表示的平面区域，根据几何概型的计算公式求解即可.【详解】x R ∃∈，不等式220x ax b ++<成立，即()22min0x ax b++<则2202022a a a b a b ⎛⎫⎛⎫-+⨯-+<⇒-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭作出040420a b a b <≤⎧⎪<≤⎨⎪->⎩的可行域，如下图所示则使得该命题为真命题的概率14212444P ⨯⨯==⨯ 故选：A【点睛】本题主要考查了线性规划的简单应用，面积型几何概型求概率问题，属于中档题. 5.若向量(1,2)a x =+与(1,1)b =-平行，则|2+|=a b （ ）2 32 C. 322 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行得到3x =-，故()|2+|=3,3a b -，计算得到答案.【详解】向量(1,2)a x =+与(1,1)b =-平行，则()12x -+=，故3x =-，()()()|2+|=4,41,13,3a b -+-=-=故选：C .【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，向量的模，意在考查学生的计算能力.6.F 是抛物线22y x =的焦点，A B 、是抛物线上的两点，8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A. 4 B.92C. 3D.72【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出A,B 的中点横坐标的和,求出线段AB 的中点到y 轴的距离 【详解】F 是抛物线22y x =的焦点,1,02F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,准线方程12x =-,设()()1122,,A x y B x y ,1211||||822AF BF x x ∴+=+++=, 127x x ∴+=,∴线段AB 的中点横坐标为72, ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为72所以D 选项是正确的【点睛】抛物线的弦长问题一般根据第一定义可简化运算．7.已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（ ） A. 若,m n m α⊥⊥，则//n α B. 若//,//,m n m n αα⊄，则//n α C. 若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥ D. 若//,//m ααβ，则//m β或m β⊂【答案】A【解析】 【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】对于A ：若,m n m α⊥⊥，则//n α或n ⊂α，故A 错误；BCD 正确. 故选：A .【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力. 8.已知函数()y f x =的部分图像如图，则()f x 的解析式可能是（ ）A. ()tan f x x x =+B. ()2sin f x x x =+C. ()sin f x x x =-D. 1()cos 2f x x x =-【答案】C 【解析】 【分析】根据定义域排除A ，根据奇偶性排除D ，根据单调性排除B ，即可得出答案. 【详解】由图象可知，函数()f x 在R 上单调递增，且为奇函数 对A 项，由于定义域不是R ，则A 错误； 对B 项，当(0,)x π∈时，()12cos f x θ'=+2()003f x x π'>⇒<<；2()03f x x ππ'<⇒<< 则函数()f x 在(0,)π不是单调递增，则B 错误；对C 项，()1cos 0f x x '=-≥，则函数()f x 在R 上单调递增又()2sin()2sin ()f x x x x x f x =-+-=--=-，则函数()f x 为奇函数，则C 正确； 对D 项，11()cos()cos ()22f x x x x x f x -=---=--≠-，则函数()f x 不是奇函数，则D 错误； 故选：C【点睛】本题主要考查了根据图象判断解析式，属于中档题.9.已知函数41()2x xf x -=，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c b a << B. b a c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到0.321>，0.300.21<<，0.3log 20<，即可得解；【详解】解：因为41()222x x xxf x --==-，定义域为R ，()()22x x f x f x --=-=- 故函数是奇函数，又2xy =在定义域上单调递增，2xy -=在定义域上单调递减，所以()22x xf x -=-在定义域上单调递增，由0.321>，0.300.21<<，0.3log 20< 所以()()()0.30.30.320.2log 2f f f >>即a b c >> 故选：A【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.10.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus ，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..M R Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()1221 2.5lg lg m m E E -=-.其中星等为i m 的星的亮度为()1,2i E i =.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是(当x 较小时， 2101 2.3 2.7x x x ≈++) A. 1.24 B. 1.25C. 1.26D. 1.27【答案】C 【解析】【分析】根据题意，代值计算，即可得r ，再结合参考公式，即可估算出结果. 【详解】根据题意可得：()211 1.25 2.5lgE lgE -=-可得12110E lgE =，解得1110210E r E ==， 根据参考公式可得111 2.3 2.7 1.25710100r ≈+⨯+⨯=， 故与r 最接近的是1.26. 故选：C.【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题. 11.已知数列{}n a 的通项公式是6n n a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，其中()sin()0||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭， 的部分图像如图所示，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2020S 的值为（ ）A. 1-B. 0C.12D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像得到()sin(2)3f x x π=+，sin 33n n a ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，6n n a a +=，计算每个周期和为0，故20201234S a a a a =+++，计算得到答案.【详解】741234T πππ=-=，故T π=，故2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+，2sin()033f ππϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 故2,3k k Z ϕππ+=∈，故2,3k k Z πϕπ=-∈，当1k =时满足条件，故3πϕ=，()sin(2)3f x x π=+，sin 633n n n a f πππ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()66sin 33n n a n a ππ++⎛⎫= ⎪⎝⎭=+，1a =，20a =，32a =-，42a =-，50a =，62a =，每个周期和为0，故20201234S a a a a =+++=. 故选：D .【点睛】本题考查了数列和三角函数的综合应用，意在考查学生计算能力和综合应用能力.12.已知函数2(1)1,2()1(2),22x x f x f x x ⎧--+<⎪=⎨-≥⎪⎩，若函数()()F x f x mx =-有4个零点，则实数m 的取值范围是( )A. 5126⎛⎫⎪⎝⎭B. 52⎛-⎝C. 1,320⎛-⎝ D. 11,206⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据函数零点定义可知()f x mx =有四个不同交点，画出函数图像可先求得斜率的大致范围.根据函数在24x ≤<和46x ≤<的解析式，可求得y mx =与两段函数相切时的斜率，即可求得m 的取值范围. 【详解】函数2(1)1,2()1(2),22x x f x f x x ⎧--+<⎪=⎨-≥⎪⎩，函数()()F x f x mx =-有4个零点，即()f x mx =有四个不同交点. 画出函数()f x 图像如下图所示：由图可知，当24x ≤<时，设对应二次函数顶点为A ，则13,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，11236OAk ==， 当46x ≤<时，设对应二次函数的顶点为B ，则15,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，114520OB k ==.所以11206m <<. 当直线y mx =与24x ≤<时的函数图像相切时与函数()f x 图像有三个交点，此时()211322y mxy x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩，化简可得()22680x m x +-+=.()226480m ∆=--⨯=，解得322,m =- 322m =+； 当直线y mx =与46x ≤<时的函数图像相切时与函数()f x 图像有五个交点，此时()211544y mxy x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩，化简可得()2410240x m x +-+=.()24104240m ∆=--⨯=，解得56,2m =562m =；故当()f x mx =有四个不同交点时56,3222m ⎛∈- ⎝. 故选：B.【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法，函数零点与函数交点的关系，直线与二次函数相切时的切线斜率求法，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本.若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为_____. 【答案】700 【解析】 【分析】设从高三年级抽取的学生人数为2x 人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x 的值，可得高三年级的学生人数.【详解】设从高三年级抽取的学生人数为2x 人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x ﹣2，2x ﹣4. 由题意可得()()2222436x x x +-+-=，∴7x =. 设我校高三年级的学生人数为N ，再根据36271800N⨯=，求得N ＝700 故答案为：700.【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题.14.已知实数,x y 满足24020x y y x y --≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =-的最大值为_______.【答案】22 【解析】 【分析】3y x z =-，作出可行域，利用直线的截距与b 的关系即可解决.【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由3z x y =-可得3y x z =-，观察可知，当直线3y x z =-过点B 时，z 取得最大值，由2402x y y --=⎧⎨=⎩，解得82x y =⎧⎨=⎩，即(8,2)B ，所以max 38222z =⨯-=.故答案为：22.【点睛】本题考查线性规划中线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题.15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34310a S ==，，则11nk kS ==∑_____. 【答案】21nn + 【解析】 【分析】 计算得到()12n n n S +=，再利用裂项相消法计算得到答案. 【详解】3123a a d =+=，414610S a d =+=，故11a d ==，故()12n n n S +=， ()1111211122211111nn nk k k k n S k k k k n n ===⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 故答案为：21nn +. 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和，裂项相消法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 16.在三棱锥P ABC -中，2,1,90PA PC BA BC ABC ︒====∠=，点P 到底面ABC 的距离是3；则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是_________. 【答案】5π 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理以及勾股定理得出3PB =，PB ⊥平面ABC ，将三棱锥P ABC -放入长方体中，得出长方体的外接球的半径，即为三棱锥P ABC -的外接球的半径，再由球的表面积公式得出答案. 【详解】取AC 中点为D ，连接,PD BD ，过点P 作BD 的垂线，垂足为E2,1PA PC BA BC ====,AC BD AC PD ⊥⊥,PD BD ⊂平面PBD ，PD BD D ⋂=AC ∴⊥平面PBDPE ⊂平面PBD ，PE AC ∴⊥PE BD ∴⊥，,BD AC ⊂平面ABC ，BD AC D ⋂= PE ∴⊥平面ABC ，即3PE =在Rt PED ∆中，2227222PD ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭ ()22222732ED PD PE ⎛⎫-=⎪ ⎪⎝∴=⎭=- 2BD =，E ∴与B 重合，即3PB =，PB ⊥平面ABC 将三棱锥P ABC -放入如下图所示的长方体中则该三棱锥的外接球的半径22211(3)52R ++==所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积2545S ππ=⨯=⎝⎭故答案为：5π【点睛】本题主要考查了多面体的外接球的问题，涉及了线面垂直的证明，属于中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分）17.某年级教师年龄数据如下表：(1)求这20名教师年龄的众数与极差；(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图；(3)现在要在年龄为29岁和31岁的教师中选2位教师参加学校有关会议，求所选的2位教师年龄不全相同的概率．【答案】（1）30,18；（2）见解析；（3）47 【解析】 试题分析：(1)由所给的年龄数据可得这20名教师年龄的众数为30，极差为18. (2)结合所给的数据绘制茎叶图即可；(3)由题意可知，其中任选2名教师共有21种选法，所选的2位教师年龄不全相同的选法共有12种，结合古典概型计算公式可得所求概率值为47. 试题解析：(1)年龄为30岁的教师人数为5，频率最高，故这20名教师年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差，即40－22＝18. (2)(3)设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件A .年龄为29，31岁的教师共有7名，从其中任选2名教师共有＝21种选法，3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法，4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法，所以所选的2位教师年龄不全相同的选法共有21－9＝12种，所以P (A )＝＝. 18.在锐角△ABC 中，3a =________， （1）求角A ；（2）求△ABC 的周长l 的范围．注：在①(cos ,sin ),(cos ,sin )2222A A A Am n =-=，且12m n ⋅=-，②cos (2)cos A b c a C -=，③11()cos cos(),()344f x x x f A π=--=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．【答案】（1）若选①，3π（2）(623,63+ 【解析】 【分析】（1）若选①，12m n ⋅=-，得到1cos 2A =，解得答案. （2）根据正弦定理得到4sin sin sin a b c ABC ===，故43236ABC l B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭△到答案.【详解】（1）若选①，∵(cos,sin ),(cos ,sin )2222A A A Am n =-=，且12m n ⋅=-221cos sin 222A A ∴-+=-，1cos 2A ∴=，0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭.（2）4sin sin sin a b cA B C===， 故24sin 4sin 234sin 4sin 233ABC l B C B B π⎛⎫=++=-++⎪⎝⎭△ 43236ABClB π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，锐角△ABC ，故62B ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，.2,633B πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭,(623,63ABC l ⎤∴∈+⎦△. （1）若选②，()cos 2cos A b c a C =-，则2cos cos cos b A a C c A =+，2sin cos sin B A B =，1cos 2A ∴=，0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭，（2）问同上；（1）若选③131()cos (cos sin )224f x x x x =+-＝21cos 2x ＋3cos sin 2x x －14＝12×1+cos 22x ＋3×sin 22x －141131=(cos 2sin 2)=sin(2)22226x x x π++， ()11sin 2462f A A π⎛⎫=∴+= ⎪⎝⎭，0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭.（2）问同上；【点睛】本题考查了向量的数量积，正弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 19.如图所示的多面体中，四边形ABCD 是正方形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF DC ，112ED EF CD ===，30EAD =∠°.（1）求证：AE FC ⊥；（2）求点D 到平面BCF 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2221【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理以及性质，即可证明； （2）利用等体积法求解即可. 【详解】（1）四边形ABCD 是正方形，CD AD ∴⊥又平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCDCD 平面ADE又AE ⊂平面ADECD AE ∴⊥在ADE 中，2,1,30AD DE EAD ==∠=︒ 由余弦定理得，3AE =，∴222AE DE AD +=，∴AE ED ⊥.又CDED D =，,CD ED ⊂平面EFCD∴AE ⊥平面EFCD . 又FC ⊂平面EFCD ∴AE FC ⊥.（2）连结DF ，由（1）可知，AE ⊥平面CDEF 四边形ABCD 是正方形，∴//AB DC 又DC ⊂面CDEF ，AB ⊄面CDEF ∴//AB 面CDEF∴A 到CDEF 的距离等于B 到CDEF 的距离.即B 到面DFC 的距离为AE .在直角梯形EFCD 中，1,1,2EF DE DC === ∴2FC =∴112CDF S DC DE =⨯⨯=△，1333B CDF CDF V S AE -=⋅=△ 在直角梯形EFBA 中，1,3,2EF AE AB ===可得2BF =在等腰BFC △中，2BC BF ==，2FC =∴1147222BFC S ==△ 设点D 到平面BFC 的距离为d ，D BCF B CDF V V --=，即133D BCF BFC V S d -=⋅=△，3221=7BFCd S ∆∴=∴点D 到平面BCF 的距离为2217.【点睛】本题主要考查了证明线线垂直以及求点到平面的距离，属于中档题.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，且过点(01)B ，. （1）求椭圆的标准方程；（2）直线:(2)l y k x =+交椭圆于,P Q 两点，若点B 始终在以PQ 为直径的圆内，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=；（2）31,102⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）题设条件为1,2b a b ==易得椭圆方程；（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，直线方程与椭圆方程联立，消元得一元二次方程，由韦达定理可得12x x +，注意到直线(2)y k x =+恒过定点(2,0)-，此为椭圆的左顶点，因此有12x =-，10y =，这样可得出Q 点坐标，点B 始终在以PQ 为直径的圆内，则0BP BQ ⋅<，由此可得k 的范围．【详解】（1）由题意知，213a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 椭圆的标准方程为：2214x y +=.（2）设1122(,),(,)P x y Q x y 联立22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得：2222(14)16(164)0(*)k x k x k +++-=， 依题意：直线:(2)l y k x =+恒过点(2,0)-，此点为椭圆的左顶点，所以112,0x y =-=① ，由（*）式，21221614k x x k +=-+②，得1212()4y y k x x k +=++ ③ ，由①②③，22222284,1414k kx y k k -==++， 由点B 在以PQ 为直径圆内，得PBQ ∠为钝角或平角，即0BP BQ ⋅<.22(2,1),(,1)BP BQ x y =--=-22210BP BQ x y ⋅=--+<.即2224164101414k kk k -+->++ 整理得220430k k --<，解得31,102k ⎛⎫∈-⎪⎝⎭.【点睛】本题考查椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交中的范围问题．由于直线过定点(2,0)-是椭圆左顶点，即其中一个交点已知了，因此可求出另一交点坐标，利用0BP BQ ⋅<求得结论．本题属于中档题．考查学生的运算求解能力．21.已知函数()ln f x x ax =-()a R ∈.（1）若曲线()y f x =与直线1ln 20x y ---=相切，求实数a 的值； （2）若不等式()()1ln xx f x x e+≤-在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】分析：（1）求导，利用导数的几何意义进行求解；（2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再求导，通过导数的符号变化确定函数的单调性，进而求出极值和最值. 详解：（1）()1'f x a x=-， 设切点的横坐标为0x ，由题意得00001112a x x ln lnx ax⎧-=⎪⎨⎪--=-⎩， 解得012x =，1a =， 所以实数a 的值为1.（2）由题意，()()1ln ln xx x ax x e+-≤-在定义域内恒成立， 得()ln 111x a x e x ≥+++在定义域内恒成立， 令()()()ln 1011x g x x x e x =+>++， 则()()2111ln '1x e x g x x -+-=+，再令()111ln h x x e x =-+-，则()211'0h x x x ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，即()y h x =在()0,+∞上单调递减，又()0h e =，所以当()0,e x ∈时，()0h x >，从而()'0g x >，()y g x =在()0,e 上单调递增； 当()e,x ∈+∞时，()0h x <，从而()'0g x <，()y g x =在(),e +∞上单调递减； 所以()g x 在x e =处取得最大值()1g e e=， 所以实数a 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.点睛：1.在处理曲线的切线时，要注意区分“在某点的切线”和“过某点的切线”，前者的点一定为切点，但后者的点不一定在曲线上，且也不一定为切点；2.在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用“()f x M ≥恒成立min ()f x M ⇔≥”进行处理.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 的极坐标方程为6cos 0ρθ-=. （1）写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(1,0)A ，若直线l 与曲线C 交于,P Q 两点，,P Q 中点为M ，求||||||AP AQ AM 的值.【答案】（1）10x y --=.22(3)9x y -+=.（2）2【解析】 【分析】（1）直接利用极坐标和参数方程公式计算得到答案.（2）设直线l的参数方程为1,22x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入方程得到125t t =-，12t t +=.【详解】（1）直线:cos 4l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故cos sin 10ρθρθ--=，即直线l 的直角坐标方程为10x y --=.因为曲线:6cos 0C ρθ-=，则曲线C 的直角坐标方程为2260x y x +-=， 即22(3)9x y -+=.（2）设直线l的参数方程为1,22x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入曲线C的直角坐标系方程得250t --=.设P ，Q 对应的参数分别为1t ，2t ，则125t t =-，12t t += 所以M对应的参数1202t t t +==120|t ||t |||||=||||2AP AQ AM t ==. 【点睛】本题考查了参数方程和极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|2|f x x =+.（1）求不等式()(2)4f x f x x +-<+的解集；（2）若x ∀∈R ，使得()()(2)f x a f x f a ++恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1) {}22x x -<<.(2) 22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】（1）先由题意得24x x x ++<+，再分别讨论2x -≤，20x -<≤，0x >三种情况，即可得出结果； （2）先由含绝对值不等式的性质，得到()()22f x a f x x a x a ++=++++≥，再由题意，可得22a a ≥+，求解，即可得出结果.【详解】（1）不等式()()24f x f x x +-<+ 可化为24x x x ++<+， 当2x -≤时，224x x --<+ ，2x >-，所以无解； 当20x -<≤时，24x <+ 所以20x -<≤；当0x >时，224x x +<+，2x < ，所以02x <<，综上，不等式()()24f x f x x +-<+的解集是{}|22x x -<<.（2）因为()()22f x a f x x a x a ++=++++≥又x R ∀∈，使得()()()2f x a f x f a ++≥ 恒成立，则22a a ≥+，()2222a a ≥+，解得223a -≤≤-. 所以a 的取值范围为22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.。
2021届全国天一大联考新高考模拟考试(八)数学(文科)
2021届全国天一大联考新高考模拟考试（八）文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}22,A x x R =-≤≤∈，集合{}23,B y y x x A ==-∈，则AB =（ ）A. {}32x x -≤≤ B. {}21x x -≤≤ C. {}22x x -≤≤ D. {}31x x -≤≤【答案】B 【解析】 【分析】因为{}22,A x x R =-≤≤∈，{}23,B y y x x A ==-∈，可得[]23,2,2y x x =-∈-，结合二次函数图象和交集定义，即可求得答案. 【详解】{}22,A x x R =-≤≤∈，{}23,B y y x x A ==-∈可得[]23,2,2y x x =-∈-根据二次函数图象特征可得：31y -≤≤∴ []3,1B =- ∴ [][][]2,23,12,1A B --=-=故{}21A B x x ⋂=-≤≤ 故选：B.【点睛】本题考查了集合交集运算，解题关键是掌握交集定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 2.若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.3.已知平面α，β，直线m ，n 满足m α⊂，n β⊂，则下列结论正确的是（ ） A. 若αβ⊥，则m n ⊥ B. 若//αβ，则//m n C. 若m β⊥，则αβ⊥ D. 若//m β，则//αβ 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线、平面之间的位置关系及面面垂直的判定定理逐项判断. 【详解】已知m α⊂，n β⊂，若αβ⊥，则m n ，可能相交、平行或异面，A 错误； 若//αβ，则m n ，可能平行或异面，B 错误；若m β⊥，根据面面垂直的判定定理知αβ⊥，C 正确； 若//m β，则平面αβ，可能相交或平行，D 错误. 故选：C【点睛】本题考查直线、平面之间的位置关系、空间中的平行与垂直关系，属于基础题.4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1543a a a +=，324S =，则下列结论正确的是（ ） A. n S 有最大值32 B. n S 有最小值10 C. n S 有最大值1214D. n S 有最大值30【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件求出等差数列{}n a 的首项和公差，从而得到等差数列{}n a 的前n 项和n S 的解析式，结合二次函数的性质即可得到答案..【详解】解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由题意得：()11124333324a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩，解得1102a d =⎧⎨=-⎩.所以()()21102112n n n S n n n -=⨯+⨯-=-+.因为n *∈N ， 所以当5n =或6时，n S 取最大值，最大值为30. 故选：D.【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最值，考查学生的计算能力，属于基础题. 5.已知1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.79 B.89C. 79-D. 89-【答案】C 【解析】 【分析】根据1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用诱导公式将cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭转化为cos 23πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再利用二倍角的余弦公式求解.，【详解】因为1sin 33πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 所以cos 2cos 233ππαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=---⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 2cos 22sin 133ππαα⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2172139⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 6.函数()32ln x x f x x-=的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再判断奇偶性，然后由函数图像的变化趋势可得答案 【详解】解：函数的定义域为{}0x x ≠，因为3322()ln ln ()()()x xx x f x f x x x-----===-，所以()f x 为偶函数，所以排除C,D,又因为当0x >时，322ln ln ()x x xf x x x x -==-， 当x →+∞时，()f x →+∞，所以排除B 故选：A【点睛】此题考查了由函数关系式识别函数图像，利用了函数的奇偶性和函数值的变化趋势进行了辨别，属于基础题.7.某中学注重培育学生劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀.为了让学生更深刻理解劳动创造价值，丰富职业体验，现组织学生到工厂参加社会实践活动.学生在活动过程中观察到一个生产所需零件的几何体三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位：2cm ）是（ ）A. 4πB.174π C. 14π D. 15π【答案】A 【解析】 【分析】观察三视图知该几何体是由一个圆柱和一个半球拼接而成，分别计算圆柱的侧面积，半球的表面积和一个圆的面积即可.【详解】通过三视图可知该几何体是由一个圆柱和一个半球拼接而成, 其中圆柱的底面半径为12，高为1；半球的半径为1 ∴该几何体的表面积为221121+1+41=422ππππ⨯⨯⨯⨯⨯（2cm ）故选：A【点睛】本题主要考查空间几何体的表面积计算，属于基础题.8.“一世”又叫“一代”.东汉·王充《论衡·宜汉篇》：“且孔子所谓一世，三十年也”，清代·段玉裁《说文解字注》：“三十年为一世，按父子相继曰世”.而当代中国学者测算“一代”平均为25年.另根据国际一家研究机构的研究报告显示，全球家族企业的平均寿命其实只有26年，约占总量的28%的家族企业只能传到第二代，约占总量的14%的家族企业只能传到第三代，约占总量4%的家族企业可以传到第四代甚至更久远（为了研究方便，超过四代的可忽略不计）.根据该研究机构的研究报告，可以估计该机构所认为的“一代”大约为（ ） A. 23年 B. 22年C. 21年D. 20年【答案】B 【解析】 【分析】设“一代”为x 年，根据约占总量的28%的家族企业只能传到第二代，约占总量的14%的家族企业只能传到第三代，约占总量4%的家族企业可以传到第四代，列出频率分布表，然后根据平均寿命其实只有26年，利用平均数的求法求解.【详解】设“一代”为x 年，由题意得：企业寿命的频率分布表为：又因为全球家族企业的平均寿命其实只有26年，所以家族企业的平均寿命为：0.540.50.28 1.50.14 2.50.04 3.526x x x x ⨯+⨯+⨯+⨯=， 解得22x ≈， 故选：B【点睛】本题主要考查频率分布表的应用以及平均数的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 9.将含有甲、乙、丙的6名医护人员平均分成两组到A 、B 两家医院参加“防疫救护”工作，则甲、乙至少有一人在A 医院且甲、丙不在同一家医院参加“防疫救护”工作的概率为（ ） A.320B.340C.920D.940【答案】C 【解析】 【分析】先计算含有甲、乙、丙的6名医护人员平均分成两组到A 、B 两家医院参加“防疫救护”工作的基本事件总数，再计算甲、乙至少有一人在A 医院且甲、丙不在同一家医院参加“防疫救护”工作包含的基本事件数，最后由古典概率公式计算即可.【详解】解：设含有甲、乙、丙的6名医护人员的另外三人分别为,,C D E ，6名医护人员平均分成两组到医院参加“防疫救护”工作有3620C =种不同分配方案.甲、乙至少有一人在A 医院且甲、丙不在同一家医院参加“防疫救护”工作包含的基本事件有：A 医院有甲CD ，甲CE ，甲DE ，乙丙C ，乙丙D ，乙丙E ，甲乙C ，甲乙D ，甲乙E ，共有9种不同分配方法.根据古典概率公式得：甲、乙至少有一人在A 医院且 甲、丙不在同一家医院参加“防疫救护”工作的概率为920. 故选：C.【点睛】本题考查古典概率的计算，属于基础题.10.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c .若双曲线上存在点P 满足12a PF c PF =，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. (1,1+B. (1,1C. (1,1D. (1,1【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线定义可得12||||2PF PF a -=，则222||a PF c a=-，又2||PF c a ≥-，即可得到不等式，即可解得；【详解】解：因为12a PF c PF = 所以12||||cPF PF a=； 1ac<，21PF PF ∴<， P ∴在双曲线右支上，又由双曲线的定义，得12||||2PF PF a -=，∴222c PF PF a a -=，即222||a PF c a=-， 由双曲线的几何性质，知2||PF c a ≥-，∴22a c a c a≥--， 即2220c ac a --≤； 2210e e ∴--≤，解得11e ≤； 又1e >，∴双曲线离心率的范围是(1⎤⎦．故选：A ．【点睛】本题考查了求双曲线的离心率的范围的问题，也考查了双曲线的定义与简单性质的灵活运用问题，属于中档题．11.若{},,min ,,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩()sin cos f x x x =+，()sin cos g x x x =-，()()(){}min ,h x f x g x =，关于函数()h x 的以下结论： ①T π= ②对称轴方程为212k x π+=，k Z ∈③值域为⎡⎤⎣⎦ ④在区间35,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③C. ①③④D. ②③④【答案】D 【解析】 分析】根据()()(){}min ,h x f x g x =定义求出函数()h x 的解析式，然后画出()h x 的图象，结合图像即可判断()h x 的结论.【详解】解:()()(){}sin cos ,cos 0,min ,sin cos ,cos 0,x x x h x f x g x x x x +≤⎧==⎨->⎩32sin ,22,4222sin ,22,422x k x k x k x k ππππππππππ⎧⎛⎫++≤≤+ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--<<+ ⎪⎪⎝⎭⎩()k Z ∈. 因为()(),f x g x 都是周期为2π的函数，所以()h x 的周期为2π，①错误； 如下图所示（一个周期内图象）：()h x 的对称轴方程为：2122k x k πππ+=+=，k Z ∈，②正确； 由图直接得知③正确； 当32,(,)35,,()44442x x x f x ππππππ⎛⎛⎫++∈ ⎪⎫∈=⎝⎭⎪⎝⎭，()f x ∴在区间35,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，④正确. 故选：D.【点睛】本题考查分段三角函数图象和性质，关键是做出图象，属于中档题. 12.函数()()3211232f x x a x x =-++（0a >）在()e,+∞内有极值，那么下列结论正确的是（ ） A. 当10,e 2e a ⎛⎫∈+- ⎪⎝⎭时，1e 1e a a --> B. 当1e e 2,e 2a ⎛⎫∈+- ⎪⎝⎭时，1e 1e a a --< C. 当e ,e 2a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，1e 1e a a --> D. 当1e,e e a ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，1e 1e a a --<【答案】B 【解析】 【分析】求出导数，根据题意分类讨论利用二次函数的图象与性质列出不等式求解a 的取值范围，考查不等式1e 1ea a--<，令()()11ln h a a e a =---，利用导数研究函数()h a 的单调性，由120h e e ⎛⎫+-<⎪⎝⎭及()0h e =可得当12,a e e e ⎛⎫∈+- ⎪⎝⎭时，()0h a <成立，即1e 1e a a --<，即可得出正确选项. 【详解】令()()()221g x f x x a x '==-++（0a >），()2=240a ∆+->若()f x 在()e,+∞内仅有1个极值点，即()g x 在()e,+∞内有1个零点，则()()20210a g e e a e >⎧⎨=-++<⎩，解得12a e e >+-； 若()f x 在()e,+∞内有2个极值点，即()g x 在()e,+∞内有2个零点，则()()2021022a g e e a e a e ⎧⎪>⎪=-++>⎨⎪+⎪>⎩，无解. 所以当12,a e e ⎛⎫∈+-+∞ ⎪⎝⎭时，函数()()3211232f x x a x x =-++（0a >）在()e,+∞内有极值. 现考查不等式1e 1e a a --<，两边同时取对数可得：()11ln a e a -<-，即()11ln 0a e a ---<， 令()()11ln h a a e a =---，12,a e e ⎛⎫∈+-+∞ ⎪⎝⎭， ()11e h a a-'=-，令()0h a '>，解得1a e >-， 所以函数()h a 在12,1e e e⎛⎫+-- ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,e -+∞上单调递增，又因为()()11111231ln 221ln 10h e e e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫+-=+---+-<+---=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()11ln 0h e e e e =---=，所以当12,a e e e ⎛⎫∈+- ⎪⎝⎭时，()0h a <成立，即1e 1e a a --<， 所以当1e e 2,e 2a ⎛⎫∈+- ⎪⎝⎭时，1e 1e a a --<. 故选：B【点睛】本题考查导数在研究函数的性质中的应用、利用导数研究函数的零点及单调性、证明不等式，属于较难题.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.复数12i z =+，若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 的虚部为______；【答案】45- 【解析】 【分析】由已知求得2z ，代入12z z ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：12z i =+，且复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，22z i ∴=-+，则122(2)(2)342(2)(2)55z i i i i z i i i ++--===---+-+--． 则12z z 的虚部为45- 故答案为：45-． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 14.已知向量a 、b 不共线，23m a b =+，3n a kb =+，若//m n ，则k =______. 【答案】92【解析】 【分析】根据//m n ，可设n λm =，根据题意可得出关于λ、k 的方程组，即可解得实数k 的值. 【详解】//m n ，设n λm =，23m a b =+，3n a kb =+，则()323a kb a b λ+=+，所以，323k λλ=⎧⎨=⎩，解得3292k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故答案为：92. 【点睛】本题考查利用平面向量共线求参数，考查计算能力，属于基础题.15.已知实数a ，b ，c ，d ，满足e e 12a cb d ==+（其中e 是自然对数的底数），那么()()22a cb d -+-的最小值为______； 【答案】24e 1+ 【解析】 【分析】根据e e 12a cb d ==+，得到a b e =，2d ec =-，可知点(,)A a b 的轨迹方程为：x y e =，点(,)B cd 的轨迹方程为：2y ex =-，故22()()a c b d -+-的几何意义为2||AB ，结合导数的几何意义及应用计算可得结果.【详解】∵e e 12a cb d ==+∴a b e =，2d ec =-，即点(,)A a b 的轨迹方程为：xy e =，点(,)B c d 的轨迹方程为：2y ex =-则22()()a c b d -+-的几何意义为2||AB ，设斜率为e 的直线与曲线xy e =相切且切点为()00,C x y ，由x y e '=，则0x e e =，解得01x =，0y e =， 由点到直线的距离公式得d ，即2224||1mine AB ⎛⎫==+， 故答案为：24e 1+ 【点睛】本题考查了22()()a c b d -+-的几何意义及利用导数求函数切线的切点坐标，属难度较大的题型.16.ABC 中，AD 为BAC ∠平分线，若287ABD ACD S S==△△，且()sin tan tan tan tan A B C B C +=，则ABC 的周长为______. 【答案】12346+ 【解析】 【分析】由角平分线的性质得出2ABD ACD S cS b ==△△，可得2c b =，再由弦化切思想以及正弦定理边角互化思想得出2bc a =，可得2a b =，利用余弦定理求得cos BAC ∠，进而可求得sin BAC ∠，利用三角形的面积公式可求得b 的值，由此可求得该三角形的面积.【详解】在ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，AD 为BAC ∠平分线，则2ABD ACD S cS b==△△，2c b ∴=， ()sin tan tan tan tan A B C B C +=，即()sin sin cos cos sin sin sin cos cos cos cos A B C B C B CB C B C+=， ()sin sin sin sin A B C B C ∴+=，即2sin sin sin A B C =，222a bc b ∴==，由余弦定理得2223cos 24b c a BAC bc +-∠==，27sin 1cos BAC BAC ∴∠=-∠=， 2117sin 212722ABC S bc BAC b =∠=⨯=△，解得43b =因此，ABC 的周长为((32433212346a b c b ++===故答案为：12346.【点睛】本题考查三角形周长的计算，同时也考了三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足1212n n a --=，()246212n n n a a a a +++++=，*n ∈N . （1）求2n a ； （2）求数列{}nn a ⋅的前2n 项和.【答案】（1）2n a n =；（2）)()12411223nn n S n +=-+-+ 【解析】 【分析】（1）当1n =时21a =，当2n ≥时利用所给偶数项的和求出2n a ，即可得解；（2）列出2n S ，奇数项利用等比数列的求和公式求和，偶数项利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）当1n =时，21a =， 当2n ≥时，因为()246212n n n a a a a +++++=， 所以()2462212n n n a a a a --++++=，两式相减得2na n =，21a =也满足上式，所以*2n a n n N =∈，；（2）()2321221232122n nn n n S a a a a --=++++()()()()3521242211222221222n nn n --⎤⎡⎤=+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅++⋅⎥⎢⎥⎦⎣⎦)()012442421222n n n -=+++⋅+⋅+⋅++⋅)()2142122214n n n -=+⋅+⋅++⋅- )()241212223nn n =-+⋅+⋅++⋅设221222n n T n =⋅+⋅+⋅ 则231221222n n T n +=⋅+⋅+⋅，相减得，()()()2311121222222212212n n n n n nT n n n +++--=+++-⋅=-⋅=---()1122n n T n +=-+，所以()()122411223nn n S n +=-+-+. 【点睛】本题考查等比数列求和公式、错位相减法求和、由n S 求数列的通项公式，属于中档题. 18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB BC ⊥，AB AC =（1）求证：11A B A C =；（2）若四边形11BCC B 为正方形，1A AB 为正三角形，M 是1C C 的中点，求二面角B AM C --的余弦值 【答案】（1）证明见解析；（2）5757【解析】 【分析】（1）取BC 的中点为N ，通过线线垂直证明BC ⊥平面1AA N ，即可推出1BC A N ⊥，利用等腰三角形三线合一的性质即可得证；（2）首先证明1A ABC -为正三棱锥，过点1A 作1A O ⊥平面ABC ，则O 为正ABC 的中心，取BC 上靠近点C 的三等分点为E ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：取BC 的中点为N ，在ABC 中，AB AC =，所以AN BC ⊥,又1BB BC ⊥，且11//AA BB ，所以1AA BC ⊥，1AA ，AN ⊂平面1AA N ，1AA AN A =，所以BC ⊥平面1AA N ，又1A N ⊂平面1AA N ，所以1BC A N ⊥，所以在1A BC 中，由1BC A N ⊥及BC 的中点为N ，得11A B A C =. （2）由四边形11BCC B 为正方形，得1BB BC =，由1A AB 为正三角形，得11A A AB A B ==，所以11A A AB A B BC AC ==== 又由（1）知11A B A C =，所以1A ABC -为正三棱锥，过点1A 作1A O ⊥平面ABC ，则O 为正ABC 的中心，取BC 上靠近点C 的三等分点为E ，则1OA ，OB ，OE 两两垂直，分别以射线OB ，OE ，1OA 为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，设2OB =，则322232AC =⨯⨯=()22123222AO =-=()2,0,0B，()1,A -，()C -，(1A，()0,AC =，()3,AB =，(11,3,AA =，，()1111222AM AC CM AC AA ⎛⎛=+=+=+= ⎝⎝， 设平面BAM 的法向量(),,n x y z =，则102230x y x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，取1x =，得1,3,2n ⎛=- ⎝⎭， 设平面CAM 的法向量(),,m x yz '''=，则10220x y ⎧++=⎪⎨⎪='''⎩'，所以0y'=，取2x '=，得2,0,m ⎛= ⎝⎭72cos ,m n -==， 设二面角B AMC --为θ，因为θ为钝角，所以cos θ=， 即所求二面角的余弦值为57. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、线面垂直的判定、空间向量法求二面角夹角的余弦值，属于较难题. 19.为了解高新产业园引进的甲公司前期的经营状况，市场研究人员对该公司2019年下半年连续六个月的利润进行了统计，统计数据列表如下：（1）请用相关系数说明月利润y （单位：万元）与月份代码x 之间关系的强弱（结果保留两位小数），求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年1月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，己知生产新型材料的乙企业对A 、B 两种型号各100件新型材料进行模拟测试，统计两种新型材料使用寿命频数如下表所示：现有采购成本分别为10万元/件和12万元/件的A 、B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，不同类型的新型材料损坏的时间各不相同，经甲公司测算，平均每件新型材料每月可以带来5万元收入，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每件新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率估计每件新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每件新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑回归直线方程为y bx a =+，其中()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-.参考数据：()()61350iii x x y y =--=∑，()62117.5ii x x =-=∑，()6217600i i y y=-=∑365≈.【答案】（1）0.96r ≈，y 与x 具有很强的线性相关关系；2090y x =+；230万元；（2）采购A 型材料 【解析】 【分析】（1）首先求出相关系数，判断x 与y 的相关关系，再用最小二乘法求出回归直线方程，最后代入7x =计算可得；（2）求出A ，B 两种新材料的使用寿命的平均值，进行比较得结论． 【详解】（1）因为()()61350iii x x y y =--=∑，()62117.5ii x x =-=∑，()6217600i i y y=-=∑所以()()63500.96365iix x y y r --===≈≈∑因为0.75r >，所以y 与x 具有很强的线性相关关系 由题意知，()1123456 3.56x =⨯+++++=， ()196011013016015020021016066y =⨯+++++==，()()()616213502017.5iii i i x x y y b x x==--===-∑∑，16020 3.590a y bx =-=-⨯= y 关于x 的线性回归方程为2090y x =+2020年1月对应的是7x =，则20790230y =⨯+= 即预测公司2020年1月（即7x =时）的利润为230万元；（2）由频率估计概率，A 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.15，0.4，0.35，0.1. 所以A 型材料利润的数学期望为()()()()5100.1510100.415100.3520100.12-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（万元）；B 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2 B 型材料利润的数学期望为()()()()5120.110120.315120.420120.2 1.5-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（万元）； 2 1.5>，故应该采购A 型材料．【点睛】本题考查了线性回归方程，考查随机变量期望的求法，考查计算能力，属于中档题．20.已知椭圆C ：22221x y a b -=（0a b >>）过点122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，离心率为2.其左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点.直线l ：y kx m =+与以线段12F F 为直径的圆相切，且直线l 与椭圆C 交于不同的A ，B 两点. （1）求椭圆C 的方程； （2）若满足4556OA OB ≤⋅≤，求AOB 面积的取值范围.【答案】（1）2212x y +=；（2）,65⎣⎦【解析】 【分析】（1）根据题意题意列出方程组求解a b c ，，，即可求得椭圆方程；（2）由直线与椭圆相切用k 表示m ，联立直线与椭圆方程得关于x 的一元二次方程，利用韦达定理求出1212x x x x +，，根据向量数量积的坐标表示由4556OA OB ≤⋅≤求出k 的范围，求出AOB 面积的表达式，利用换元法判断函数单调性求最值即可. 【详解】（1）因为椭圆C的离心率为2，所以2c a =，则a =，b c ==因为椭圆C过点12⎫⎪⎪⎝⎭，所以2261144a b +=，a =，bc =代入上式可得211c c =⇒=，则1a b ==，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）由（1）知以12F F 为直径的圆的方程为221x y +=， 又直线l1=，即221m k =+.由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222214220k x kmx m +++-=， 因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点，所以280k ∆=>， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k +=-+，21222221m x x k -=+；()()()222121212122121k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+， 212122121k x x OA O y y k B ⋅+=+=+，依题意224155216k k +≤≤+，所以21143k ≤≤，112ABO S S AB ==⨯==△ 设42t k k =+则54169t ≤≤，S ==，54169t ≤≤，S 关于t 在54,169⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 且5166S ⎛⎫=⎪⎝⎭，495S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以AOB面积的取值范围是⎣⎦. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、根据直线与圆的位置关系求参数、韦达定理、椭圆中的三角形面积问题，属于较难题.21.已知函数()()211e 2x f x x a x =--（1a ≤）. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有极大值M ，求证：21ln e 12a M a <+-. 【答案】（1）详见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，分0a ≤、01a <<、1a =三种情况讨论导数的符号从而判断函数()f x 的单调性；（2）由(1)知只有当01a <<时函数有极大值，求出极大值M 将不等式转化为e ln 20a a -->，利用导数判断函数()e ln 2x g x x =--的单调性证明()0g x >成立即可. 【详解】（1）()()()e 1e 1e x x xf x x a a x x a '=---=-. ①当0a ≤时，()f x 在区间(),0-∞单调递减，在区间()0,∞+单调递增；②当01a <<时，令()0f x '=，10x =，2ln 0x a =->，则()f x 在区间()0,ln a -单调递增；在区间(),0-∞和()ln ,a -+∞单调递减；③当1a =时，令()0f x '=，120x x ==，()0f x '≤恒成立，则()f x 在R 上单调递减.综上，当0a ≤时，()f x 在区间(),0-∞单调递减，在区间()0,∞+单调递增；当01a <<时，()f x 在区间()0,ln a -单调递增，在区间(),0-∞和()ln ,a -+∞单调递减；当1a =时，()f x 在R 上单调递减.（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 在区间(),0-∞单调递减；在区间()0,∞+单调递增.则函数()f x 没有极大值，当1a =时，()f x 在R 上单调递减，则函数()f x 没有极大值，只有当01a <<时，()f x 在区间()0,ln a -单调递增；在区间(),0-∞和()ln ,a -+∞单调递减，()21ln ln ln 12M f a a a =-=++， 要证明21ln 12a M a e <+-，即证：e ln 20a a -->（01a <<）， 令()e ln 2xg x x =--（01x <<），()1e x g x x '=-， 设()00g x '=，则001e x x =（001x <<），0001ln ln x x x ==-， 当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当()0,1x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，∴当0x x =时，()g x 取得唯一的极小值，也是最小值.()g x 的最小值是()000001e ln 220x g x x x x =--=+->成立， 从而，e ln 20a a -->（01a <<），即21ln e 12a M a <+-. 【点睛】本题考查导数在研究函数性质中的综合应用、分类讨论求含参函数的单调性、利用导数证明不等式，属于较难题.请考生在第22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为21cos ρθ=-，直线1l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），2παπ<<，点A 为直线1l 与曲线C 在第二象限的交点，过O 点的直线2l 与直线1l 互相垂直，点B 为直线2l 与曲线C 在第三象限的交点. （1）写出曲线C 的直角坐标方程及直线1l 的普通方程；（2）若OA OB =，求OAB 的面积.【答案】（1）244y x =+，tan y x α=.（2παπ<<）；（2）12OAB S =-△.【解析】【分析】（1）根据cos x ρθ=，222x y ρ=+得出曲线C 的直角坐标方程，消掉参数t 得出直线1l 的普通方程；（2）根据极坐标中极径的意义以及三角形的面积公式，即可得出OAB 的面积.【详解】（1）曲线C 的极坐标方程化为cos 2ρρθ=+，cos x ρθ=，222x y ρ=+∴曲线C 的直角坐标方程为244y x =+.直线1l 的普通方程为tan y x α=.（2παπ<<）（2）射线OA 的极坐标方程为θα=，（2παπ<<），则21cos OA α=- 射线OB 的极坐标方程为2πθα=+，（2παπ<<），则 221sin 1cos 2OB παα==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 由OA OB =得221cos 1sin αα=-+，2παπ<<，解得：34πα=故2114122212OAB S OA OB ===-⎛+ ⎝⎭△ 【点睛】本题主要考查了参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程，利用极坐标求三角形的面积，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()12f x x x =-+-.（1）求不等式()3f x <的解集I ；（2）当a ，b ，c I ∈时，求证：11191111114333a b b c c a ++≤+++---.【答案】（1）{}03I x x =<<；（2）见解析.【解析】【分析】（1）采用分类讨论的方法，求出各段的范围，然后取并集，可得结果.（2）根据不等式2++≥≤a b a b ，化简式子，可证明该结果. 【详解】（1）当1x ≤时，原不等式化简为323-<x ，即01x <≤；当12x <≤时，原不等式化简为13<，恒成立，即12x <≤；当2x >时，原不等式化简为233x -<，即23x <<. 综上，原不等式的解集{}03I x x =<<.（2）当a ，b ，c I ∈时，a ，b ，c ，3a -，3b -，3c -均为正数， 令111111111333=+++++---T a b b c c a则≤T ()()()33394444+-+-+-≤++=a b b c c a T . 当且仅当32===a b c 时，取等号 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的应用，熟练使用分类讨论的方法（或零点分段法），同时善于观察，识记基本不等式的使用条件：一正，二定，三相等，属中档题.。
2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟卷一(附带答案及详细解析)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（模拟卷一）本试卷共5页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120 分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1.答题前， 先将白己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写 在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡.上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸 和答题卡，上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答 题卡.上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效。
.5.考试结束后， 请将本试卷和答题卡-并上交。
一、选择题：1.已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|x 2≤1}，则A∩B=（ ）A. {-1，0，1}B. {0，1}C. {-1，1}D. {0，1，2} 2.若z （1+i ）=2i ，则z=（ ）A. -1-iB. -1+iC. 1-iD. 1+i 3.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ） A. 16 B. 14 C. 13 D. 124.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著。
某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.85.函数f(x)=2sin x−sin2x在[0，2π]的零点个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 56.已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=（）A. 16B. 8C. 4D. 27.已知曲线y=ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（）A. a=e，b=-1B. a=e，b=1C. a=e-1，b=1D. a=e-1，b=-18.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A.BM=EN，且直线BM、EN是相交直线BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C. BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D. BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9.执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于（）A. 2−124B. 2−125C. 2−126D. 2−12710.已知F 是双曲线C ： x 24−y 25=1 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若|OP|=|OF| ，则 △OPF 的面积为（ ）A. 32B. 52C. 72D. 9211.记不等式组 {x +y ⩾6,2x −y ≥0表示的平面区域为D .命题 p:∃(x,y)∈D,2x +y ⩾9 ；命题 q:∀(x,y)∈D,2x +y ⩽12 .下面给出了四个命题（ ）① p ∨q ② ¬p ∨q ③ p ∧¬q ④ ¬p ∧¬q这四个命题中，所有真命题的编号是（ ）A. ①③B. ①②C. ②③D. ③④ 12.设f （x ）是定义域为R 的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（ ）A. f （log 3 14 ）＞ f （ 2−32 ）＞ f （ 2−23 ）B. f（log3 14）＞f（2−23）＞f（2−32）C. f（2−32）＞f（2−23）＞f（log3 14）D. f（2−23）＞f（2−32）＞f（log3 14）二、填空题：13.已知向量a→=(2,2),b→=(−8,6)，则cos<a→,b→>=________.14.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3=5,a7=13，则S10=________.15.设F1，F2为椭圆C：x236+y220=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________。
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(九)数学(文科)
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（九）数学试题（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}24410U x x x =-+≥，{}20B x x =-≥，则UB =（ ）A. (),2-∞B. (],2-∞C. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭D. 11,,222⎛⎫⎛⎫-∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合U 和B ，进而可求出UB .【详解】由()22441210x x x -+=-≥恒成立，所以U =R . 又因为{}{}202B x x x x =-≥=≥，所以{}2UB x x =<.故选：A.【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的补集，属于基础题. 2.已知32a ib i i-=+（,a b ∈R ），其中i 为虚数单位，则复数z a bi =-在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算，结合复数相等，求得参数,a b ，写出复数在复平面内对应点的坐标即可判断. 【详解】因为32a ib i i-=+，故可得32a i bi -=-+， 故可得2,3a b =-=-，则复数23a bi i -=-+在复平面内对应的点为()2,3-， 其位于第二象限. 故选：B.【点睛】本题考查复数的运算，涉及复数相等求参数，以及复数在复平面内对应点的考查，属综合基础题. 3.在正项等比数列{}n a 中，若2124a a =，则72a （ ） A. 2- B. 2C. 4D. 16【答案】C 【解析】 【分析】结合等比数列的性质可得，27212a a a =，即可求出7a ，从而可求出()72a-. 【详解】在正项等比数列{}n a 中，由题意得272124a a a ==，72a ∴=，()()72224a -=-=∴.故选：C.【点睛】本题考查等比中项的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.4.假设有一个专养草鱼的池塘，现要估计池塘内草鱼的数量.第一步，从池塘内打捞一批草鱼，做上标记，然后将其放回池塘，第二步，再次打捞一批草鱼，根据其中做标记的草鱼数量估计整个池塘中草鱼的数量.假设第一次打捞的草鱼有50尾，第二次打捞的草鱼总数为50尾，其中有标记的为7尾，试估计整个池塘中草鱼的数量大约为（ ） A. 250 B. 350C. 450D. 550【答案】B【解析】 【分析】根据池塘中带有标记的草鱼数量与草鱼总数的比值等于样本中带有标记的草鱼数量与样本容量的比值. 【详解】设池塘中草鱼的数量大约为x ，可得50750x =， 所以357x ≈，所以池塘中草鱼大约有350条.故选：B.【点睛】本题考查用样本估计总体，难度较易.总体中某一类个体所占的比例等于样本中该类个体所占的比例.5.若3cos()23πα+=-，则cos2=α（ ）A. 23-B. 13-C.13D.23【答案】C 【解析】 【分析】本道题化简式子,计算出sin α,结合2cos 212sin αα=-,即可. 【详解】3cos sin 3ααπ⎛⎫+=-=- ⎪2⎝⎭,得到3sin 3α=,所以 211cos 212sin 1233αα=-=-⋅=,故选C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.6.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的,a b 分别为135，180，则输出的a =（ ）A. 0B. 5C. 15D. 45【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图，列出算法循环的每一步，结合判断条件，可得输出的a 值. 【详解】运行该程序，输入135a =，180b =， 则a b ，且a b <，可得135a =，18013545b =-=； 则a b ，且a b >，可得1354590a =-=，45b =； 则ab ，且a b >，可得904545a =-=，45b =；则a b =，退出循环，输出45a =. 故选：D.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步，考查学生的计算求解能力，属于基础题.7.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，直线9x =与双曲线C 的两条渐近线的交点分别为P ，Q ，O为坐标原点.若OPQ △为正三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 2B.3C.43D.【答案】B 【解析】 【分析】由OPQ △为正三角形，可得π6QOx ∠=，从而可知双曲线C 的渐近线为y x =，即可求出b a 的值，再结合离心率c e a ==.【详解】依题意得OPQ △为正三角形，所以π3POQ ∠=，结合对称性可知，π6QOx ∠=，所以双曲线C 的渐近线为y x =，即b a =所以离心率c e a ====. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的渐近线，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 8.已知直三棱柱111ABC A B C -玉石，10cm AB =，6cm AC =，8cm BC =，14cm AA =，若将此玉石加工成一个球，则此球的最大表面积为（ ）2cm .A.8π3B.32π3C. 16πD.64π3【答案】C 【解析】 【分析】由222AB AC BC =+，可知ABC 为直角三角形，可求得Rt ABC △的内切圆的半径r ，可知12AA r =，从而将此玉石加工成一个球，此球是该三棱锥的内切球时，球的表面积最大，且内切球半径R r =，求出该球的表面积即可.【详解】在ABC 中，10cm AB =，6cm AC =，8cm BC =，则222AB AC BC =+，所以ABC 为直角三角形，在Rt ABC △中，设内切圆的半径为r ，则()1168681022r ⨯⨯=++，即2cm r =， 因为12AA r =，所以将此玉石加工成一个球，要求此球的最大表面积，此球应是直三棱的内切球，球的半径R 等于底面直角三角形内切圆的半径，即2cm R =， 所以该球的最大表面积为24π16πS R ==. 故选：C.【点睛】本题考查几何体的结构特征、内切球的表面积，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.9.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象向右平移π3个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间为（ ）A. 335π11π2π,2πk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z B. 335π11π4π,4πk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z C. 33π5π2π,2πk k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈ZD. 33π5π4π,4πk k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z【答案】D 【解析】 【分析】由图象可知函数()f x 的周期7ππ233T ⎛⎫=⨯-⎪⎝⎭，结合2πT ω=，可求出ω，再结合函数()f x 的图象经过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭，π,03⎛⎫⎪⎝⎭，可求出,A ϕ，即可得到函数()f x 的表达式，进而利用平移变换，可得到()g x 的表达式，然后求出单调递增区间即可.【详解】由图象可知，函数()f x 的周期7ππ2π24π33T ω⎛⎫=⨯-==⎪⎝⎭，12ω∴=.又函数()f x 的图象经过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，ππsin 036f A ϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π2π6n ϕ+=∴()n ∈Z ，π2π6n ϕ=-∴，π2ϕ<，π6ϕ∴=-，又()π30sin sin 62f A A ϕ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，3A ∴=，()1π3sin 26f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.∴()π1π3sin 323g x f x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令π1ππ2π2π2232k x k -+≤-≤+()k ∈Z ，得π5π4π4π33k x k -+≤≤+， 故()g x 的单调递增区间为33π5π4π,4πk k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .选择：D.【点睛】本题考查三角函数的解析式、图象的平移变换及单调递增区间，考查学生的计算求解能力，属于中档题.10.定义在R 上的奇函数()f x 在,0上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. c b a <<B. b a c <<C. c a b <<D. a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】易知()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()22211log log log 555a f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而可判断出0.822log 5log 4.122>>>，结合函数的单调性可得()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】由()f x 是定义域为R 的奇函数，且在(),0-∞上是增函数， 则()f x 在(0,)+∞上是增函数， 所以()22211log log log 555a f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又()2log 4.1b f =，()0.82c f =，易知222log5log 4.1log 42>>=，而10.822<，所以0.822log 5log 4.12>>.所以()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即c b a <<.故选：A.【点睛】本题考查几个数的大小比较，考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为AD 的中点，点Q 为11B C 上的动点，下列说法中：①PQ 可能与平面11CDD C 平行； ②PQ 与BC 所成的角的最大值为3π； ③1CD 与PQ 一定垂直； ④2PQ ≥.其中正确个数（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据点P 为AD 的中点，点Q 为11B C 上的动点，①中，当Q 为11B C 的中点时，1PQ C D ∥，由线面平行的判定定理判断.②中，当Q 为11B C 的中点时，由垂直平行线中的一条则垂直另一条判断.③中，由11CD C D ⊥，111CD B C ⊥，由线面垂直的判定定理判断.④中，当Q 为11B C 的中点时，由勾股定理判断.【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为AD 的中点，点Q 为11B C 上的动点， 知：在①中，当Q 为11B C 的中点时，1PQ C D ∥，由线面平行的判定定理可得PQ 与平面11CDD C 平行，故①正确；在②中，当Q 为11B C 的中点时， 1PQ C D ∥，111B C C D ⊥，11BCB C ，可得PQ BC ⊥，故②错误；在③中，由11CD C D ⊥，111CD B C ⊥，可得1CD ⊥平面11ADC B ，即有1CD PQ ⊥，故③正确； 在④中，当Q 为11B C 的中点时，PQ 2，故④正确. 所以正确的个数为3. 故选：C.【点睛】本题主要考查线线，线面关系，还考查了空间想象和推理论证的能力，属于中档题. 12.已知P 是曲线1C ：e x y =上任意一点，点Q 是曲线2C ：ln xy x=上任意一点，则PQ 的最小值是（ ） A. ln 212-B. ln 212+C. 2D.【答案】D 【解析】 【分析】易知1C 在点()0,1A 处切线方程为1y x =+，且e 1x x ≥+恒成立，2C 在点()1,0B 处的切线方程为1y x =-，且()ln 10xx x x-≥>恒成立，由AB 等于平行线1y x =+与1y x =-间的距离，从知min PQ AB =. 【详解】曲线1C ：e x y =，求导得e xy '=，易知1C 在点()0,1A 处切线方程为1y x =+. 下面证明e 1x x ≥+恒成立.构造函数()e 1xf x x =--，求导得()e 1xf x '=-，则(),0x ∈-∞时，0fx，()f x 单调递减；()0,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增.故函数()()00f x f ≥=，即e 1x x ≥+恒成立. 又2C ：ln x y x =，求导得21ln xy x-'=，当1x =时，1y '=，且2C 过点()1,0B ，故2C 在点()1,0处的切线方程为1y x =-. 下面证明ln 1xx x-≥在0,上恒成立.令()2ln F x x x x =--，则()()()221112121x x x x F x x x x x+---'=--==， 当01x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；当1x >时，()0F x '>，()F x 单调递增， 所以()()min 10F x F ==，即()()10F x F ≥=， 则2ln 0--≥x x x ，即ln 1xx x-≥在0,上恒成立.因为AB ==1y x =+与1y x =-=，所以PQ的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查曲线的切线的应用，考查平行线间距离的计算，考查函数单调性的应用，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()2,3a =，()3,b m =，且0a b ⋅=，则向量a 在向量()a b -上的投影为__________.【答案】2【解析】 【分析】由0a b ⋅=，可求出m ，进而由向量a 在()a b -上的投影为()a a b a b⋅--，求解即可.【详解】因为630a b m ⋅=+=，解得2m =-，所以()3,2b =-，()1,5a b -=-， 所以向量a 在()a b -上的投影为()1a a b a b⋅-==+-. . 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查平面向量的投影，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 14.某省级示范校新校区计划今年九月招生，学校决定面向全国招聘优秀老师，其中数学科今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名.若a ，b 满足不等式组2527a b a b a -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，若设该校今年计划招聘数学科教师最多z 名，则z =__________.【答案】13 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的平面区域，作直线0b a +=，并平移，结合a ，b ∈N ，可求出+a b 的最大值. 【详解】如图所示，画出约束条件所表示的平面区域，即可行域，作直线0b a +=，并平移，结合a ，b ∈N ，可知当6a =，7b =时，+a b 取得最大值. 故()max 6713a b +=+=，即13z =. 故答案为：13.【点睛】本题考查利用线性规划解决实际问题，考查数形结合的思想在解题中的应用，属于基础题. 15.过已知抛物线216y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，则2AF BF +的最小值为__________.【答案】1282+【解析】 【分析】设直线方程为4x my =+，与抛物线联立得216640y my --=，，根据124,4AF x BF x =+=+，得到1114AF BF +=，再利用“1”的代换，利用基本不等式求解. 【详解】抛物线216y x =的焦点()4,0F ，设直线方程为4x my =+，与抛物线联立得216640y my --=，由韦达定理得：21212121216,64,168,16y y m y y x x m x x +=⋅=-+=+⋅=，因为124,4AF x BF x =+=+，1114AF BF ∴+=， ()211242431282BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2AF =时，等号成立.故答案为：1282+【点睛】本题主要考查抛物线的定义以及基本不等式求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16.已知数列{}n a 满足14a =，144n na a +=-，且()()()()()12232222f n a a a a =--+--+()()()()3412222n n a a a a +--++--，若对()3n n *∀≥∈N ，都有()22f n m m ≥-恒成立，则实数m 的最小值为__________.【答案】1- 【解析】 【分析】 易知124422n n n n a a a a +--=-=，可得111122422n n n n a a a a +==+---，从而可得数列22n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，进而可求出22n a -及2n a -的表达式，从而可求出()f n 的表达式，然后求出()f n 的最小值，令()2min 2f n m m ≥-，即可求出实数m 的范围，从而可求出实数m 最小值.【详解】14a =，144n na a +=-， ∴124422n n n na a a a +--=-=， 若存在()2,n n n *≥∈N，使得12n a+=，则2n a =，即112n n a a a -====，显然与14a =矛盾，12n a +∴≠，2n a ≠. 111122422n n n n a a a a +∴==+---，122122n n a a +∴-=--，1221242a ==--，22n a ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列；2112n n n a ∴=+-=-，22n a n-=， ()()1221122411n n a a n n n n +⎛⎫∴--=⋅=- ⎪++⎝⎭， ()()()()()()()()()122334122222222n n f n a a a a a a a a +∴=--+--+--++--1111144122311n n n n ⎛⎫=-+-++-=⎪++⎝⎭.对()*3n n ∀≥∈N，都有()22f n mm ≥-恒成立，所以()2min 2f n m m ≥-，因为()*3n n ∀≥∈N时，()44141n f n n n ==-++，易知()f n 在[)3,+∞上是增函数，所以()()min 33f n f ==，即2230m m -≤-，解得13m -≤≤，所以实数m 的最小值为1-. 故答案为：1-.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的证明及通项公式的求法，考查裂项相消求和法的应用，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，7a =，8c =..（1）若sin C =A ；（2）若ABC 的面积为，求ABC 周长.【答案】（1）π3A =；（2）周长为20或15+【解析】 【分析】 （1）由正弦定理sin sin a c A C =，可求出sin A ，易知π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而可求出角A ； （2）由1sin 2ABC S ac B =△，可求出sin B ，进而可求出cos B ，结合余弦定理，可求出b ，即可求出ABC 的周长.【详解】（1）由已知条件可知，7a =，8c =，sin C =根据正弦定理可得sin sin a cA C=，si 7sin n 8a A c C =∴==，a c <，A C ∴<，π0,2A ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，π3A ∴=.（2）因为ABC 的面积为103，且7a =，8c =.1sin 28sin 1032ABC S ac B B ∴===△，53sin 14B ∴=. 2111si s 14co n B B ±=±∴=-. ①若11cos 14B =，由余弦定理得，22222112cos 782782514b ac ac B ⨯=+-⨯⨯-=+=， 5b ∴=，ABC ∴的周长为78520a b c ++=++=；②若1os 14c 1B =-，由余弦定理得，22222112cos 7827820114b a c ac B ⎛⎫=+-=+-⨯-= ⎪⎝⎭⨯⨯，201b ∴=，ABC ∴的周长为2011527081a b c ++=+++=.综上，ABC 周长为20或15201+.【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.18.随着时代的发展和社会的进步，“农村淘宝”发展十分迅速，促进“农产品进城”和“消费品下乡”，“农产品进城”很好地解决了农产品与市场的对接问题，使农民收入逐步提高，生活水平得到改善，农村从事网店经营的人收入逐步提高.西凤脐橙是四川省南充市的特产，因果实呈椭圆形、色泽橙红、果面光滑、无核、果肉脆嫩化渣、汁多味浓，深受人们的喜爱.为此小王开网店销售西凤脐橙，每月月初购进西凤脐橙，每售出1吨西凤脐橙获利润800元，未售出的西凤脐橙，每1吨亏损500元.经市场调研，根据以往的销售统计，得到一个月内西凤脐橙市场的需求量的频率分布直方图如图所示.小王为下一个月购进了100吨西凤脐橙，以x （单位：吨）表示下一个月内市场的需求量，y （单位：元）表示下一个月内经销西凤脐橙的销售利润.（1）将y 表示为x 的函数；（2）根据频率分布直方图估计小王的网店下一个月销售利润y 不少于67000元的概率；【答案】（1）130050000,7010080000,100120x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩（2）0.7【解析】 【分析】（1）根据小王购进了100吨和频率分布直方图，分需求量大于等于70小于100和需求量大于等于100小于等于120，两种情况讨论求解.（2）根据销售利润y 不少于67000元由（1）的模型，求得需求量的范围，再根据频率分布直方图求解概率. 【详解】（1）依题意得，x 表示一个月内的市场需求量，y 表示一个月内经销西凤脐橙的利润， 当[)70,100x ∈时，()800500100130050000y x x x =--=-. 当[]100,120x ∈时，80010080000y =⨯=. 所以130050000,7010080000,100120x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩.（2）由（1）知下一个月网店利润y 不少于67000元，所以67000y ≥， 当[)70,100x ∈时，由13005000067000x -≥，得90x ≥，所以90100x ≤<. 由直方图知西凤脐橙需求量[]90,120x ∈的频率为()0.030.0250.015100.7++⨯=， 所以下一个月内的利润y 不少于67000元的概率的估计值为0.7.【点睛】本题主要考查函数模型的实际应用以及频率直方图样本估计总体，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.如图，四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1CC ⊥底面ABCD ，且60BAD ∠=，11124CD CC C D ===，E 是棱1BB 的中点.（1）求证：1AA BD ⊥； （2）求三棱锥111B A C E -的体积.【答案】（1）详见解析；（2）233. 【解析】 【分析】(1) 推导出CC 1⊥BD ．BD ⊥AC ．从而BD ⊥平面ACC 1，由此能证明BD ⊥AA 1； (2)利用等积法即可得到三棱锥111B A C E -的体积. 【详解】（1）证明：因为底面，所以.因为底面是菱形，所以. 又，所以平面.又由四棱台知，四点共面. 所以.（2）由已知，得，又因为，所以.【点睛】等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．20.已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点22,2P ⎫⎪⎪⎭. （1）求椭圆M方程；（2）设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）1625 【解析】【分析】（1）设椭圆的上下顶点为()10,B b ，()20,B b -，左焦点为()1,0F c -，则121B B F △是正三角形，可得2b a =，进而将2⎭代入椭圆方程，可求出,a b 的值，即可得到椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为x ky m =+，与椭圆方程联立，并消去x 得到关于y 的一元二次方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，由以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点()2,0C ，可得0CA CB ⋅=，将其展开并结合韦达定理，可求得65m =，即直线l 恒过点6,05D ⎛⎫⎪⎝⎭，进而1212ABCS DC y y =-，结合韦达定理，求出最大值即可.【详解】（1）根据题意，设椭圆的上下顶点为()10,B b ，()20,B b -，左焦点为()1,0F c -，则121B B F △是正三角形，所以2b a ==，则椭圆方程为222214x y b b+=.将2⎫⎪⎪⎭代入椭圆方程，可得2221142b b +=，解得2a =，1b =. 故椭圆的方程为2214x y +=.（2）由题意，设直线l 的方程为x ky m =+，联立2214x y x ky m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()2224240k y kmy m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则有12224km y y k -+=+，212244m y y k -=+，因为以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点()2,0C ，所以0CA CB ⋅=， 由()112,CA x y =-，()222,CB x y =-，则()()1212220x x y y --+=，将11x ky m =+，22x ky m =+代入上式并整理得()()()()2212121220k y y k m y y m ++-++-=，则()()()()22222214222044k m k m m m k k +---++-=++，化简得()()5620m m --=， 解得65m =或2m =，因为直线x ky m =+不过点()2,0C ，所以2m ≠，故65m =. 所以直线l 恒过点6,05D ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故121162225ABCSDC y y ⎛=-=⨯- ⎝==， 设211044t t k ⎛⎫=<≤ ⎪+⎝⎭，则ABCS =在10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，当14t=时，1625ABCS ==， 所以ABC 面积的最大值为1625. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查三角形的面积的计算，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于难题. 21.已知函数1()ln af x a x x x-=-++. （1）当2a ≥时，求函数()f x 的单调区间；（2）设()23xg x e mx =+-，当21a e =+时，对任意1[1,)x ∈+∞，存在2[1,)x ∈+∞，使212()2()f x e g x +≥，证明：2m e e ≤-.【答案】(1)见解析；(2)见证明 【解析】 【分析】（1）求导221(1)[(1)]()1a a x x a f x x x x'----=-++=，讨论1x =与1x a =-的大小关系得单调区间；(2)当21a e =+时，由（1）得()f x 在[)1,+∞上的最小值为22()3f e e =--，由题 212()2()f x e g x +≥转化为21min2g xf x e ，得22xmx e e +≤，分离m 得22x e e m x -≤，构造函数22()x e e h x x -=求其最大值即可证明【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 又221(1)[(1)]()1a a x x a f x x x x '----=-++=， 由()0f x '=，得1x =或1x a =-.当2a >即11a ->时，由()0f x '<得11x a <<-，由()0f x '>得01x <<或1x a >-； 当2a =即11a -=时，当0x >时都有()0f x '≥；∴当2a >时，单调减区间是()1,1a -，单调增区间是0,1，()1,a -+∞；当2a =时，单调增区间是0,，没有单调减区间；（2）当21a e =+时，由（1）知()f x 在()21,e 单调递减，在()2,e +∞单调递增. 从而()f x 在[)1,+∞上的最小值为22()3f e e =--.对任意[)11,x ∈+∞，存在[)21,x ∈+∞，使()()2212g x f x e ≤+，即存在[)21,x ∈+∞，使的值不超过()22f x e +在区间[)1,+∞上的最小值23e -.由222e 32e e 3xmx --+≥+-得22xmx e e +≤，22xe e m x-∴≤. 令22()xe e h x x-=，则当[)1,x ∈+∞时，max ()m h x ≤. ()()()22223222()x x x x e x e e xxe e e h x x x ---+-'==-，当[1,2]x ∈时()0h x '<；当[2,)x ∈+∞时，()22e 20xxxx xe exee +->-≥，()0h x '<.故()h x 在[1,)+∞上单调递减，从而2max ()(1)h x h e e ==-,从而实数2m e e ≤-得证【点睛】本题考查函数的单调区间，不等式有解及恒成立问题，分离参数求最值问题，转化化归能力，是中档题（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4—4：坐标系与参数方程】22.已知在平面直角坐标系xoy中，曲线11:12x C y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）写出曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知()1,1M ，曲线1C ，2C 相交于A ，B 两点,试求点M 到弦AB 的中点N 的距离. 【答案】（1）sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()2224x y -+=；（2【解析】 【分析】（1）消去参数得到20x y +-=，再利用极坐标公式化简得到答案. （2）根据直线过圆心得到()2,0，计算得到答案.【详解】（1）曲线1:C 1212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，得20x y +-=， 其极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=，即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 4cos ρθ=，24cos ρρθ=，即2240x y x +-=，所以曲线2C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.（2）由题意及（1）知直线1C 过圆2C 的圆心()2,0，则点N 的坐标为()2,0， 又()1,1M，所以MN ==.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程的转化，线段长度，意在考查学生的计算能力.【选修4—5：不等式选讲】23.[选修4-5：不等式选讲] 设函数()|1|f x x =+.（1）求不等式()5(3)f x f x ≤--的解集；（2）已知关于x 的不等式2()||4f x x a x ++≤+在[1,1]-上有解，求实数a 的取值范围.【答案】(1) {}23x x -≤≤ (2) 24a -≤≤【解析】【分析】（1）零点分段去绝对值解不等式即可（2）由题x a 2x +≤-在[]1,1-上有解，去绝对值分离变量a 即可.【详解】（1）不等式()()f x 5f x 3≤--，即x 1x 25++-≤ 等价于1,125,x x x <-⎧⎨---+≤⎩ 或12,125,x x x -≤≤⎧⎨+-+≤⎩或2,125,x x x >⎧⎨++-≤⎩解得 2x 3-≤≤， 所以原不等式的解集为{}x 2x 3-≤≤；（2）当[]x 1,1∈-时，不等式()2f x x a x 4++≤+，即x a 2x +≤-， 所以x a 2x +≤-在[]1,1-上有解即2a 22x -≤≤-在[]1,1-上有解，所以，2a 4-≤≤．【点睛】本题考查绝对值不等式解法，不等式有解求参数，熟记零点分段，熟练处理不等式有解问题是关键，是中档题.。
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(六)数学(文)试题
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（六）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知{}11A x x =-<<，{}0B x x =<，则AB =（ ） A. ()1,0-B. ()0,1C. ()1,-+∞D. (),1-∞ 【答案】D【解析】【分析】利用并集的定义可求得集合A B . 【详解】{}11A x x =-<<，{}0B x x =<，因此，(),1A B ⋃=-∞.故选：D.【点睛】本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.已知：()32z i i =-，则z =（ ）A. 23i -B. 23i +C. 32i +D. 32i -【答案】A【解析】【分析】 利用复数的乘法计算得出复数z ，再利用共轭复数的定义可求得复数z .【详解】()3223z i i i =-=+，因此，23z i =-.故选：A.【点睛】本题考查共轭复数的计算，涉及复数乘法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.3.某高中三个年级学生人数的比例如图所示，先采用分层抽样的办法从高一、高二、高三共抽取50人参加“全面依法治国”知识竞赛，则高二年级应抽取人数为（ ）A. 20B. 16C. 14D. 12【答案】B 【解析】【分析】 利用总人数乘以高二学生所占的比例可求得结果.【详解】由题意可知，高二学生所占的比例为0.32，所以，高二年级应抽取人数为500.3216⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查利用扇形统计图计算频数，考查计算能力，属于基础题.4.已知平面向量a ，b 满足()1,2a =-，()3,b t =-，且()a ab ⊥+，则b =（ ）A. 3B. 10C. 3D. 5 【答案】B【解析】分析】先求出a b +，再利用()0a a b ⋅+=求出t ，再求b .【详解】解：()()()1,23,2,2t t a b -+-=-=-+由()a a b ⊥+，所以()0a a b ⋅+= ()()()12220t ⨯-+-⨯-=，1t =，()3,1b =-，10=b故选：B【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题. 5.已知双曲线()22105x y m m-=>的一个焦点为()3,0F -，则其渐近线方程为（ ）A. 2y x =±B. 5y x =±C. 52y x =±D. 25y x =± 【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的一个焦点坐标求出m 的值，进而可得出双曲线的渐近线方程.【详解】由于双曲线()22105x y m m-=>的一个焦点为()3,0F -，则2354m =-=，双曲线的标准方程为22154x y -=，其渐近线方程为5y x =±. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，同时也考查了利用双曲线的焦点坐标求参数，考查计算能力，属于基础题.6.已知tan 3α=，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A. 45- B. 35 C. 35 D. 45【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式和二倍角公式得出222222cos sin sin 2cos 2cos sin 2cos sin παααααααα-⎛⎫+==-= ⎪+⎝⎭，利用弦化切思想可求得结果. 【详解】22222222cos sin 1tan 4sin 2cos 2cos sin 2cos sin 1tan 5παααααααααα--⎛⎫+==-===- ⎪++⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查三角求值，涉及诱导公式、二倍角公式以及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于基础题.7.为了弘扬中国优秀传统文化，某班打算召开中国传统节日主题班会，在春节、清明节、端午节、中秋节、重阳节中随机选取两个节日来学习其文化内涵，其中中秋节被选中的概率为（ ）A. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.3 【答案】C【解析】【分析】将春节、清明节、端午节、中秋节、重阳节分别记为a 、b 、c 、d 、e ，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】将春节、清明节、端午节、中秋节、重阳节分别记为a 、b 、c 、d 、e ，从上述五个节日中任取两个节日，所有的基本事件有：ab 、ac 、ad 、ae 、bc 、bd 、be 、cd 、ce 、de ，共10种情况，其中，事件“中秋节被选中”所包含的基本事件有：ad 、bd 、cd 、de ，共4种情况， 因此，所求事件的概率为.40410=. 故选：C.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.8.已知ln a π=，12b e -=，1lg 2c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A. a b c >>B. b c a >>C. c b a >>D. c a b >>【答案】A【解析】【分析】 利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】对数函数ln y x =在()0,∞+上为增函数，则ln ln 1a e π=>=；指数函数x y e =在R 上为增函数，则10201e e -<<=，即01b <<；对数函数lg y x =在()0,∞+上为增函数，则1lglg102c =<=. 因此，a b c >>.故选：A.【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.9.已知抛物线()220y px p =>经过点(M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）AB.C. D. - 【答案】A【解析】【分析】先求出p ，再求焦点F 坐标，最后求MF 的斜率【详解】解：抛物线()220y px p =>经过点(M(222p =⨯，2p =， ()1,0F ，MF k =故选：A【点睛】考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题.10.侧棱长与底面边长都相等的四棱锥P ABCD -中，若E 为侧棱PB 的中点，则异面直线PD 与AE 所成角的正弦值为（ ）A. 3B. 23C. 3D. 2【答案】A【解析】【分析】作出图形，连接AC 、BD 交于点O ，连接OE ，可得出异面直线PD 与AE 所成的角为AEO ∠，通过解三角形可求得sin AEO ∠，即可得解.【详解】设四棱锥P ABCD -的棱长为2，连接AC 、BD 交于点O ，连接OE ，如下图所示：则点O 为BD 的中点，又E 为PB 的中点，//OE PD ∴，所以，异面直线PD 与AE 所成的角为AEO ∠， 且112OE PD ==，122AO AC ==223AE PA PE =-=， 222AO OE AE ∴+=，AO OE ∴⊥，则26sin 3AO AEO AE ∠===. 故选：A. 【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般通过平移直线法找出异面直线所成角，考查计算能力，属于中等题.11.在ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，若23b =cos 320B B +-=，且sin 2sin C A =，则ABC 的周长是（ ） A. 123+ B. 3 C. 3 D. 623+【答案】D【解析】【分析】由已知条件求出角B 的值，利用余弦定理求出a 、c 的值，由此可计算出ABC 的周长. 【详解】cos 32sin 26B B B π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，sin 16B π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 0B π<<，7666B πππ∴<+<，则62B ππ+=，3B π∴=， sin 2sinC A =，2c a ∴=，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2312a =，2a ∴=，24c a ==，因此，ABC 周长是623a b c ++=+故选：D.【点睛】本题考查三角形周长的计算，涉及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.12.若函数()20202020log 1010f x a x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭为奇函数（其中a 为常数），则不等式()0f x ≥的整数解的个数是（ ）A. 1011B. 1010C. 2020D. 2021【答案】B【解析】【分析】利用奇函数的定义求得a 的值，可得出函数()y f x =的解析式，并求出该函数的定义域，解不等式()0f x ≥，进而可得出该不等式的整数解的个数. 【详解】()20202020202020201010log log 10101010a ax f x a x x --⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，()202020201010log 1010a ax f x x-+-=-， 由于函数()y f x =为奇函数，则()()0f x f x +-=，即2020101020201010110101010a ax a ax x x ---+⋅=+-， ()22222202010101010a a x x ∴--=-，则()2222020101010101a a ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得1a =， ()20201010log 1010x f x x-∴=+， 解不等式101001010x x ->+，即101001010x x -<+，解得10101010x -<<， 由()0f x ≥，可得10101101010101010x x x -⎧≥⎪+⎨⎪-<<⎩，解得10100x -<≤，因此，不等式()0f x ≥的整数解的个数是1010.故选：B.【点睛】本题考查对数不等式的求解，同时也考查了利用函数的奇偶性求参数，在求解函数不等式时，不要忽略了函数定义域的求解，考查计算能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线()122ln f x x x=-+在1x =处的切线方程为__________． 【答案】320x y --=【解析】【分析】求出()1f 和()1f '的值，利用点斜式可求得所求切线的方程.【详解】()122ln fx x x =-+，()221f x x x'∴=+，()11f ∴=，()13f '=， 因此，曲线()122ln f x x x =-+在1x =处的切线方程为()131y x -=-，即320x y --=. 故答案为：320x y --=.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.14.实数x ，y 满足约束条件1022020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为__________.【答案】10【解析】【分析】画出可行域，根据目标函数截距可求.【详解】解：作出可行域如下：由2z x y =-得1122y x z =-，平移直线1122y x z =-， 当1122y x z =-经过点B 时，截距最小，z 最大 解得()6,2B -2z x y =-的最大值为10故答案为：10【点睛】考查可行域画法及目标函数最大值的求法，基础题.15.设m 、n 是空间两条不同的直线，α、β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若//m α，βn//，//αβ，则//m n ；②若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α；③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则βn//；④若αβ⊥，l αβ=，//m α，m l ⊥，则m β⊥．其中正确的是__________（填序号）．【答案】②④【解析】【分析】利用空间中直线与直线的位置关系可判断命题①的正误；利用面面垂直的性质定理以及线面平行的判定定理可判断命题②的正误；利用线面垂直的性质可判断命题③的正误；利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理可判断命题④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，若//m α，βn//，//αβ，则m 与n 平行、相交或异面，命题①错误； 对于命题②，设l αβ=，若αβ⊥，则存在n ⊂α，使得n l ⊥，则n β⊥， 又m β⊥，则//m n ，m α⊄，//m α∴，命题②正确；对于命题③，m α⊥，//αβ，则m β⊥，又m n ⊥，则βn//或n β⊂，命题③错误；对于命题④，过直线m 作平面γ，使得a αγ⋂=，//m α，m γ⊂，则//a m ， m l ⊥，则a l ⊥.αβ⊥，l αβ=，a β∴⊥，//a m ，m β∴⊥，命题④正确.因此，正确命题的序号为②④.故答案为：②④.【点睛】本题考查空间中线面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.16.设函数()sin 4f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭时，若()2020,x a ∈时，()f x 存在零点和极值点，则整数a 的最小值为__________．【答案】2021【解析】【分析】由()2020,x a ∈计算出4x ππ+的取值范围，根据题意可得出关于实数a 的不等式，进而可得出整数a 的最小值. 【详解】当()2020,x a ∈时，2020444x a ππππππ+<+<+，由于函数()y f x =在区间()2020,a 上存在零点和极值点， 则20214a πππ+>，可得120214a >-，因此，整数a 的最小值为2021. 故答案为：2021. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的零点与极值点求参数，解答的关键就是求出4x ππ+的取值范围，考查计算能力，属于中等题. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.数列{}n a 满足11a =，n a 是1-与1n a +的等差中项.（1）证明：数列{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2n a n +的前n 项和n S .【答案】（1）见解析，21n n a =-（2）1222n n S n +=+-【解析】【分析】（1）根据等差中项的定义得112n n a a +-=，然后构造新等比数列{}1n a +，写出{}1n a +的通项即可求 （2）根据（1）的结果，分组求和即可【详解】解：（1）由已知可得112n n a a +-=，即121n n a a +=+，可化为()1121n n a a ++=+，故数列{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列.即有()111122n n n a a -+=+⋅=，所以21n n a =-.（2）由（1）知，数列{}2n a n +的通项为：2221n n a n n +=+-，()()123222213521n n S n ∴=+++++++++-()2122122212n n n n +-=+=+--故1222n n S n +=+-.【点睛】考查等差中项的定义和分组求和的方法；中档题.18.某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了让健身馆会员参与的健身促销活动．（1）为了解会员对促销活动的兴趣程度，现从某周六参加该健身馆健身活动的会员中随机采访男性会员和女性会员各50人，他们对于此次健身馆健身促销活动感兴趣的程度如下表所示： 感兴趣无所谓合计男性 26 24 50 女性 3020 50合计 56 44100根据以上数据能否有95%的把握认为“对健身促销活动感兴趣”与“性别”有关？（参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）()2P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k2.0722.7063.8415.0246.635（2）在感兴趣的会员中随机抽取10人对此次健身促销活动的满意度进行调查，以茎叶图记录了他们对此次健身促销活动满意度的分数（满分10分），如图所示，若将此茎叶图中满意度分为“很满意”（分数不低于9.5分）、“满意”（分数不低于平均分且低于9.5分）、“基本满意”（分数低于平均分）三个级别．先从“满意”和“很满意”的会员中随机抽取两人参加回访馈赠活动，求这两人中至少有一人是“很满意”会员的概率．【答案】（1）没有95%的把握认为“健身促销活动感兴趣”与“性别”有关，理由见解析；（2）35. 【解析】 【分析】（1）计算2K 的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）计算出这10个数据的平均数，记这10人中“满意”的4人分别为a 、b 、c 、d ，“很满意”的2人分别记为1、2，列举出所有的基本事件，并确定事件“这两人中至少有一人是“很满意”会员”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】解：（1）由列表可得：()()()()()()22210026203024500.649 3.8415050564477n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈<++++⨯⨯⨯． 所以没有95%的把握认为“健身促销活动感兴趣”与“性别”有关； （2）由茎叶图知，这10个数据的平均数为()17.67.98.28.58.99.19.29.39.59.88.810⨯+++++++++=． 依题意这10人中“满意”的有4人，记为a 、b 、c 、d ，“很满意”的有2人，记为1、2．从这6人中任取2人，所有的基本事件有：(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),1a 、(),2a 、(),b c 、(),b d 、(),1b 、(),2b 、(),c d 、(),1c 、(),2c 、(),1d 、(),2d 、()1,2，共15个基本事件，记A 为从“满意”和“很满意”的会员中随机抽取两人至少有一人很满意，则A 中包含的基本事件有：(),1a 、(),2a 、(),1b 、(),2b 、(),1c 、(),2c 、(),1d 、(),2d 、()1,2，共9个基本事件.所以()93155P A ==． 【点睛】本题考查利用独立性检验的基本思想解决实际问题，同时也考查了古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.19.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱11B C 的中点．（1）画出过点E 且与直线1A C 垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）； （2）求点B 到该平面的距离． 【答案】（1）见解析；（2）3. 【解析】 【分析】（1）直接作出符合条件的截面即可；（2）设点B 到该平面的距离为h ，利用等体积法得出J HIB B HIJ V V --=，进而求得h 的值.【详解】（1）截面如下图所示：其中F 、G 、H 、I 、J 分别为边11C D 、1DD 、AD 、AB 、1BB 的中点．（2）设点B 到该平面的距离为h ， 则由J HIB B HIJ V V --=可知1133HIB HIJ S JB S h ⨯⨯=⨯⨯△△， 所以2211122sin231323HIBHIJSJBh Sπ⨯⨯⨯=⨯⨯==．因此，点B到该平面的距离为3. 【点睛】本题考查截面的作法，同时也考查了利用等体积法计算点到平面的距离，考查计算能力，属于中等题.20.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点)F，过点F 且与x轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,2P 的直线与椭圆C 交于M 、N 两点，O 为坐标原点，若2MP PN =，求MON △的面积．【答案】（1）22186x y +；（2. 【解析】 【分析】（1）由题意可知点2⎭在椭圆C 上，利用椭圆的定义可求得a 值，结合c 的值可求得b 的值，进而可求得椭圆C 的标准方程；（2）设()11,M x y 、()22,N x y ，设直线MN 的方程为2y kx =+，将直线MN 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由2MP PN =得出122x x =-，结合韦达定理求得2k 的值，再由三角形的面积公式可求得MON △的面积.【详解】（1）依题意有c =C的焦点坐标为()，且点2⎭在椭圆C 上，由椭圆的定义可得2a ==即a =b ∴=， 因此，椭圆C 的方程为22186x y +；（2）设()11,M x y 、()22,N x y ，由2MP PN =，得()12122222x x y y -=⎧⎨-=-⎩．由题意直线MN 的斜率存在，所以设直线MN 的方程为2y kx =+， 代入椭圆方程整理，得()22431680k x kx ++-=， 所以1221643kx x k -+=+，122843x x k -=+． 将122x x =-代入上式可得，22216824343k k k --⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，解得2120k =． 所以MON △的面积1212MONSOP x x =⋅-====. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积的计算，涉及向量共线问题的求解，考查运算求解能力，属于中等题. 21.函数()()21ln 12f x x ax a x =-+-（a R ∈且0a ≠）． （1）若2a =-，判断函数()f x 的单调性；（2）当2a <时，求证：()y f x =的图象恒在函数()()21102y a x x =-->的图象的下方． 【答案】（1）单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（2）见解析.【解析】 【分析】（1）求出函数()y f x =的定义域和导数，分别解不等式()0f x '>和()0f x '<可求得函数()y f x =的增区间和减区间；（2）构造函数()()()2112g x f x a x =+-，利用导数证明出()max 0g x <即可证得结论成立. 【详解】（1）当2a =-时，函数()2ln 3f x x x x =+-的定义域为()0,∞+，()()()2123123121x x f x x x xx x x -+'=+-=-=-， 令()0f x '>，可得102x <<或1x >；令()0f x '<，可得112x <<.因此，函数()y f x =的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（2）令()()()211ln 22a g x f x a x x x =+-=-+，其中0x >， ()111xg x x x-'=-=， 当01x <<时，()0g x '>，此时函数()y g x =单调递增； 当1x >时，()0g x '<，此时函数()y g x =单调递减. 所以，函数()y g x =在1x =处取得极大值，亦即最大值，即()()max 1102ag x g ==-<，所以，()0g x <恒成立， 即当2a <时，()y f x =的图象恒在函数()()21102y a x x =-->的图象的下方．【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明不等式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分． 选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为：ρθ=. （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线():0l y kx k =>与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求OA OB +取得最大值时直线l 的直角坐标方程.【答案】（1）曲线1:2cos C ρθ=，曲线(222:3C x y +=（2）y =.【解析】 【分析】（1）用1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩和cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩消去参数α即得1C 的极坐标方程；将ρθ=两边同时乘以ρ，然后由222,sin x y y ρρθ=+=解得直角坐标方程.（2）过极点的直线的参数方程为,0,2R πθϕϕρ⎛⎫=<<∈ ⎪⎝⎭，代入到1:2cos C ρθ=和2C ：ρθ=中，表示出OA OB +即可求解.【详解】解：由1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩和cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得cos 1cos sin sin ρθαρθα-=⎧⎨=⎩ ()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，化简得2cos ρθ=故1C ：2cos ρθ=将ρθ=两边同时乘以ρ，得2sin ρθ= 因为222,sin x y y ρρθ=+=，所以220x y +-= 得2C的直角坐标方程(222:3C x y +=.（2）设直线l 的极坐标方程,0,2R πθϕϕρ⎛⎫=<<∈ ⎪⎝⎭由2cos θϕρθ=⎧⎨=⎩，得||2cos OA ϕ=，由θϕρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，得||OB ϕ=故2cos 4sin 6OA OB πϕϕϕ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭当3πϕ=时，OA OB +取得最大值此时直线的极坐标方程为：()3R πθρ=∈，其直角坐标方程为：y =.【点睛】考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互相转化以及应用圆的极坐标方程中ρ的几何意义求距离的的最大值方法；中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()1f x x =-，不等式()()15f x f x +-<的解集为{}x m x n <<. （1）求实数m ，n 的值；（2）若0x >，0y >，0nx y m ++=，求证：9x y xy +≥. 【答案】（1）1m =-，4n =.（2）见解析【解析】 【分析】（1）分三种情况讨论即可（2）将m ，n 的值代入，然后利用均值定理即可.【详解】解：（1）不等式()()15f x f x +-<可化为125x x -+-<.即有1325x x ≤⎧⎨-<⎩或12x <<或2235x x ≥⎧⎨-<⎩. 解得，11x -<≤或12x <<或24x ≤<.所以不等式的解集为{}14x x -<<，故1m =-，4n =. （2）由（1）知，0nx y m ++=，即41x y +=，由0x >，0y >得，()1111445549x yx y x y x y y x⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4x y y x =，即16x =，13y =时等号成立.故119x y +≥，即9x y xy +≥. 【点睛】考查绝对值不等式的解法以及用均值定理证明不等式，中档题.。