线性方程组的迭代解法
第三章 线性方程组的迭代解法
其中
v x (0) = ( x1(0) , x2 (0) ,…, xn (0) )
是迭代初值。 是迭代初值。
写成矩阵形式： 写成矩阵形式： 矩阵形式
A=
D
U
v v Ax = b ⇔ ⇔ ⇔
v v (D + L + U )x = b v v v Dx = −( L + U ) x + b v v v −1 −1 x = −D (L + U )x + D b
( ( a 111 ) a 121 ) ... a 1( 1 ) n
A
( ( ( a ij2 ) = a ij1 ) − m i 1 a 1 1j ) (2) b i = b i( 1 ) − m i 1 b1( 1 ) ( i , j = 2 , ..., n )
− 共进行 n ？1 步
(1 ( ( a12) ... a11) x1 b11) n b( 2) ( 2) ( 2) a22 ... a2n x2 2 . . = . ... . . . . . . ( n) (n ann) xn bn
… … …
…
( ( ( ( ( xnk +1) = 1 (−an1 x1k +1) − an 2 x2k +1) − an3 x3k +1) − L − ann−1 xnk +1) + bn ) −1 ann v v ( k +1) v ( k +1) v (k ) −1 −1 写成矩阵形式 矩阵形式： 写成矩阵形式： x = − D ( Lx + Ux ) + D b v (k +1) v (k ) v ⇔ (D + L)x = −U x + b v v ( k +1 ) −1 v ( k ) −1 ⇔ x = − ( D + L ) Ux + ( D + L ) b v Gauss-Seidel B vf v ( k + 1) v(k ) 迭代阵
第五章 解线性方程组的迭代解法
定义迭代法为： 定义迭代法为：
x ( k + 1) = G J x ( k ) + g
其中Jacobi迭代矩阵：GJ = D1 ( L + U ) 迭代矩阵： 其中 迭代矩阵
g = D 1b = (7.2, 8.3, 8.4)T 取 x ( 0 ) = (0, 0, 0)T , 代入迭代式，得x(1) = Bx ( 0 ) + g = (7.2, 8.3, 8.4)T x ( 2 ) = Bx (1) + g = (9.71,10.70,11.5)T x (9 ) = (10.9994,11.9994,12.9992) 精确解为 x = (11,12,13)T .
记
A = D L U
其中 D = diag (a11 ,, ann ) , L, U 分别为 A 的 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵. Gauss-Seidel方法的矩阵形式为 方法的矩阵形式为
x ( k +1) = D1 ( Lx ( k +1) + Ux ( k ) + b)
或者
x ( k +1) = ( D L)1Ux ( k ) + ( D L)1 b
( 这说明Gauss-Seidel方法的迭代矩阵为 D L)1U 方法的迭代矩阵为 这说明
从而有
定理5.2 定理5.2 Gauss-Seidel方法收敛的充分必要条件为 方法收敛的充分必要条件为
ρ (GG ) < 1 或
计算方法3_线性方程组迭代解法
计算方法3_线性方程组迭代解法线性方程组的迭代解法是解决线性方程组的一种常见方法，常用于大规模的线性方程组求解。
该方法通过不断迭代更新解的近似值，直到满足一定的收敛准则为止。
线性方程组的迭代解法有很多种，其中最经典的是雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和超松弛迭代法。
本文将分别介绍这三种迭代解法及其计算方法。
雅可比迭代法是一种比较简单的线性方程组迭代解法，它的基本思想是先将线性方程组转化为对角占优的形式，然后通过迭代求解逐渐接近精确解。
雅可比迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)是第k+1次迭代的近似解，n是未知数的个数，a_ij 是系数矩阵A的元素，f_i是方程组的右端向量的元素。
雅可比迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式，即保证矩阵A的对角元素绝对值大于其它元素的绝对值。
2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。
3.根据雅可比迭代公式，计算x^(k+1)。
4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。
高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法，它的基本思想是在每次迭代计算x^(k+1)时，利用已经计算出的近似解作为x的一部分。
高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。
高斯-赛德尔迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式。
2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。
3.根据高斯-赛德尔迭代公式，计算x^(k+1)。
4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。
超松弛迭代法是对高斯-赛德尔迭代法的一种改进方法，它引入了松弛因子ω，通过调整参数ω的值，可以加快迭代的收敛速度。
超松弛迭代法的迭代公式为：其中，0<ω<2，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。
线性方程组的迭代式求解方法
线性方程组的迭代式求解方法迭代法解方程的基本原理1.概述把 Ax=b 改写成 x=Bx+f ，如果这一迭代格式收敛，对这个式子不断迭代计算就可以得到方程组的解。
道理很简单：对 x^{(k+1)}=bx^{(k)}+f 两边取极限，显然如果收敛，则最终得到的解满足 \lim_{k\rightarrow\infty } x^{(k)}=x^*=Bx^*+f ，从而必然满足原方程 Ax^*=b 。
迭代方法的本质在于这一次的输出可以当作下一次的输入，从而能够实现循环往复的求解，方法收敛时，计算次数越多越接近真实值。
2.收敛条件充要条件：迭代格式 x=Bx+f 收敛的充要条件是 \rho (B)<1充分条件： \Vert B\Vert <1即 \Vert B\Vert <1 \Rightarrow \rho(B)<1\Leftrightarrow 迭代收敛一、Jacobi迭代法怎样改写Ax=b ，从而进行迭代求解呢？一种最简单的迭代方法就是把第i行的 x_i 分离出来(假定 a_{ii} \ne 0 )：\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j=b_i\Rightarrow x_i=\frac{b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j}{a_{ii}}\quad \\这就是Jacobi(雅可比)迭代法。
迭代格式给定x^{(0)}=\left[x_1^{(0)},x_2^{(0)},\cdots,x_n^{(0)}\rig ht]^T ，则Jacobi法的迭代格式（也称分量形式）为x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left ( {b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j^{(k)}}\right),\quadi=1,2,\cdots,n\\矩阵形式设 A=D-L-U。
Jacobi法的矩阵形式（也称向量形式）为x^{(k+1)}=B_Jx^{(k)}+D^{-1}b\\其中迭代矩阵 B_J=D^{-1}(L+U)收敛条件\begin{eqnarray} \left. \begin{array}{lll} \VertB_J\Vert <1 \\ A 严格对角占优\\ A, 2D-A对称正定\end{array} \right \} \end{eqnarray} \Rightarrow \rho (B_J)<1\Leftrightarrow 迭代收敛特别地，若 A 对称正定且为三对角，则 \rho^2(B_J)=\rho (B_G)<1 。
数值分析第六章线性方程组迭代解法
1)
b2 a21x1(k) a23x3(k)
xn( k
1)
bn an1x1(k) an2 x2(k)
a1n
x(k) n
a11
a2n xn(k) a22
an,n1
x(k) n1
ann
x(k1) D1(L U ) x(k) D1b
D1(D A) x(k) D1b
(I D1A) x(k) D1b x(k) D1(b Ax(k) )
x(7) = ( 2.0000, 3.0000, -1.0000 )T 如何确定 SOR 迭代中的最优松弛因子是一件很困难的事
26
收敛性
收敛性定理 Jacobi 迭代收敛的充要条件 (J)<1 G-S 迭代收敛的充要条件 (G)<1 SOR 迭代收敛的充要条件 (L)<1
Jacobi 迭代收敛的充分条件 ||J|| <1 G-S 迭代收敛的充分条件 ||G|| < 1 SOR 迭代收敛的充分条件 ||L|| < 1
x1( k x2( k
1) 1)
1
x(k) 2
2
8
x ( k 1) 1
x(k) 3
3
x3(k1)
5
x ( k 1) 2
2
迭代可得： x(1) = ( 0.5000, 2.8333, -1.0833 )T
x(9) = ( 2.0000, 3.0000, -1.0000 )T
25
举例
SOR 迭代：
x(k1) i
bi
i 1
a x(k1) ij j
n
aij
x(jk
)
aii
j 1
j i 1
线性方程组迭代法
线性方程组迭代法
线性方程组迭代法，又称坐标下降法，是一种用于解线性方程组的迭代求解方法，常用于线性规划以及单纯形法等技术。
早在上世纪50年代，此方法就在解决
线性规划问题中得到了广泛应用，到目前为止，这种技术仍然广泛使用。
线性方程组迭代法是一种基于不断迭代调整变量，使目标函数达到最优结果的
迭代求解法。
其基本步骤是：
(1) 初始化目标函数变量：首先，初始化线性方程组的目标函数的变量；
(2) 评估梯度：选择合适的算法计算目标函数的梯度；
(3) 根据该梯度更新变量：更新目标函数变量的值，使得在此次更新之后的值
更加有利于满足线性方程组的要求；
(4) 重复上述步骤，直到目标函数足够接近最优值为止；
线性方程组迭代法能够快速地求解出线性规划问题的最优解，因此，它在计算
机上经常被用来优化问题，进而提高系统运行效率。
随着网络技术的发展，线性方程组迭代法在互联网领域得到了广泛应用，这在大大缩短了计算机程序的运行时间，提高了互联网的效率。
同时，线性方程组迭代法也有助于提高系统的性能，改善用户的体验，提升企业的品牌形象。
8 线性代数方程组的迭代法
写成矩阵形式：
Ax b ( D-L-U ) x b
-U
A=
D
x D1 ( L U ) x D1b D1 ( L U )=D1 ( D A) I D1 A-Lx( k Nhomakorabea)D
1
(L U )x
(k )
D b
1
(4)
B
(4)即为雅克比（Jacobi）迭代公式
x x 3 2x 4x 3
(k ) 1 (k ) 1 (k ) 2 (k ) 2
( 0) ( 0) 取 x1 x2 0
计算得：
x1(1) 3 (1) x2 3 ,
x1(2) 3 (2) x2 3 ,
x1(3) 9 (3) x2 9 ,
第八章
线性方程组的迭代解法
主要内容
第一节 引言 第二节 基本迭代法
1. Jacobi迭代法
2. Gauss-Seidel迭代法
3. SOR迭代法
第三节 迭代法的收敛性
§1 引言
考虑线性方程组 Ax b
其中A为非奇异矩阵。
定义上:
直接法: 经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计 舍入误差!) 迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去 逼近精确解的方法。（一般有限步内得不到精确解）
( k 1) 1
U
…
…
…
…
( k 1) xn
1 ( k 1) ( k 1) ( k 1) (bn an1 x1 an 2 x 2 an 3 x 3 ann
0 a21 0 L a31 a32 0 a a a n2 n3 n1 ann
第三章 线性方程组的迭代解法
定理3.2 若 ||B|| =q<1，则由迭代格式x(k+1)=Bx(k)+f 和任意初始 向量x(0)产生的迭代序列x(k)收敛于准确解x*. 本定理是迭代法收敛的充分条件，它只能判别收敛的情况，当 ||B|| ≥1时,不能断定迭代不收敛.但由于||B||,特别是||B|| 1和||B|| ∞ 的计算比较容易，也不失为一种判别收敛的方法。 同时当||B|| <1时可以用来估计迭代的次数，或用来设置退出 计算的条件. 这时有定理3.3和定理3.4 定理3.3 若||B|| =q<1，则迭代格式x(k+1) =Bx(k)+f产生的向量序 k 列 {x(k)}中 q (k ) * (0) (1 )
3.2 几种常用的迭代法公式 3.2.1 Jacobi迭代法
先看一个算例：
10 x 1 2 x 2 x 3 3 例1 2 x 10 x x 15 1 2 3 x 2 x 5 x 10 1 2 3
从以上三个方程中分别解出x1, x2, x3
|| x x || 1 q || x x || ( 3 . 17 )
利用此定理可以在只计算出x(1)时，就估计迭代次数k，但估 计偏保守，次数偏大. 称为事前误差估计. 13 结束
x2
x3
0
0
可见它对这一方程组比Jacobi迭代法收敛快一些。
Gauss-Seidel迭代法的公式如下：
xi
( k 1)
bi a ii
1 i 1 a ij x (j k 1 ) a ii j 1
n
a ij x j
(k )
j i 1
i 1, 2 , n k 0 ,1, 2 ,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
不等式成立，则称 A为弱对角占优矩阵。
Def 3
设 A R
T
n n
，如果能找到排列阵 P ，使得 均为方 O 其中 A11与 A22 A22 阵，称 A为可约的
A11 () PAP A12
1 1
例如：矩阵 A 0
2 1
是可约的
0
0 1 1
r1 r3
0 1 1
1
(0) (0)
(I M )
1
x
g
(0)
Mx
g
( 0) ( 0) ( I M ) x Mx g 1
(I M )
1
x
( 0)
x
(1)
代入前述不等式即得。
利用矩阵的范数判定迭代收敛只是一个充分条 件，通常采用矩阵的1-范数、 -范数来判定。
称为单步定常线性迭代法，M 为迭代矩阵，g 为常数项。 当迭代公式产生的序列 即 lim x
k (k )
x
收敛到向量 x ，
x
，则称该迭代法收敛，否则为发散。
lim x
k
(k )
x x M x g Ax b
？
引理
6 .2 .1
( k 1) (k )
由相容性知，
lim x
k
(k )
x M O ( x0任意)
k
Th6.2.1
求解方程组 Ax b 的单步线性定常迭代法
( k 1)
x
Mx
(k )
g, k 0,1, 2,
收敛的充要条件是 ( M ) 1 。 上述定理说明： （1）迭代法是否收敛取决于迭代矩阵的谱半径，与初 始向量和常数项无关。 （2）而对于同一个方程组，不同的迭代法对应的迭代 矩阵的谱半径一般不会相同，因而收敛性也不同。
1
1
1
相应的迭代格式 x( k 1) Mx( k ) g; k 0,1, 2,
上述方法称为Jacobi迭代法，简称J法或简单迭代法
分量形式：
x
( k 1) i
bi aij x
j 1
i 1
(k ) j
j i 1
a
n
ij
x
(k ) j
a ii
; i 1, 2, , n
(14 3 x
(k ) 2
14
x )
(k ) 3
10 (k ) (k ) ( 5 2 x1 3 x3 ) ( k 1) x2 ( 10) (k ) (k ) (14 x1 3 x2 ) ( k 1) x3 10
x
( k 1) 1
x
x
( k 1) 1
( k 1) 2
与解f (x)=0 的不动点迭代相似 ， 将方程组 A x b 思 等价改写成 x M x g 形式，从而建立迭代格式 路 ( k 1) (k ) (k ) (0) { x } x M x g ，从 x 出发，生成迭代序列 迭代法是一种逐次逼近的方法,与直接法比较, 具有: 程序简单,存储量小的优点。特别适用于求解系数 矩阵为大型稀疏矩阵 /* sparse matrices */ 的方程组。
Th6.2.3 若迭代矩阵 M 的范数 M q 1，并假定
范数满足
I 1，则迭代法 x
(k )
( k 1)
Mx
(k )
g
的第k次迭代向量 x
与精确解 x 的误差满足：
x
(k )
q ( k 1) (k ) x x x 1 q
证明：与前面类似。
Th6.2.4 设 B 为Jacobi法的迭代矩阵，若 B
M x g 收敛的充要条件是 M k O 证明：设迭代法 x( k 1) M x( k ) g 收敛，则有
迭代法 x
lim x
k
(k )
x x Mx g
x 为方程组 Ax b 的解， x M x g Ax b k ( 0) (k ) ( k 1) x x M( x x ) M (x x )
Th6.2.5 设 B 为Jacobi法的迭代矩阵，若 B 1 1
则Gauss-Seidel迭代收敛，而且有估计式
x
其中
(k )
(1) ( 0) x 1 x x )(1 s ) (1
k
1
s max
j
i j 1
n
bij ,
n 1 bij i j 1
使得
aij 0 i , j
1 1
1
则称矩阵 A 可约，否则称 A 不可约。
2 1
例如：矩阵 A 0
0
0 1 1
a21 0 a22 0 a31 0
1 1 0
矩阵 B
2
1
1
1
0
0
a13 0 a32 0 a33 0
不可约
Th6.2.8 设 A (aij )nn为 严格对角占优或不可约弱对角
0
0
1 2
c1 c3
1 1 0 1 2
0
1
0
1
1 1
若系数矩阵是可约的，则可通过行与列重排化为 上面(*)式，从而可将方程组简化为低阶方程组。
Def 3（可约矩阵的等价定义） ' nn 设矩阵 A R ( n 2) ， 1, 2,, n ，如果 存在 的两个非空子集 T 和 ，满足 , 2, 3
j 1 i 1 ( k 1) j
x
( k 1) i
j i 1
a
n
ij
x
(k ) j
a ii
; i 1, 2, , n
例1：利用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组
10 3
1
1
2 10 3
解：
Jacobi 迭 代 格 式
x1 x2
14 5
3
10 x3
例2：说明用J法和G-S法求解下列方程组的收敛性：
2 1
1
解：
1
1
1
1
x1 x2
3
1
6
3
0
1 2
J法不收敛
1
2
x3
2 1
1
1
A 1
1
1
1
1
M I D A 1 0
1 2
1 2
1 2
1
2
0
计算特征值：
0, 2,3
后面两个特征值算错了，应该是是复数
5 i (M ) 1 2
则Gauss-Seidel迭代收敛，而且有估计式
1
x
其中
(k )
x
k
1
x x
(1)
( 0)
n max bij j i 1 i
B
i 1 1 bij j 1
且有
1，这里 bij是矩阵 B 的元素。
(k )
k
x
x M (x x ) q x x 1 1 1 M q 1 (I M ) 1 M 1 q
(k ) k (0) k ( 0)
x x x (I M ) g
( 0) ( 0)
1ຫໍສະໝຸດ (I M ) ( I M ) x
j 1 max bij i 1 j
B 1 1
Th6.2.6 如果 A 是对称矩阵，且有正的对角元，则
求解方程组 Ax b 的J法收敛的充要条件是矩阵 A
和
2 D A 均为正定的，其中 D diag(a11 ,, ann )
占优，则 推论 6.2.1 设
aii 0, i 1, 2,, n ，且 A 非奇异。
A为 严格对角占优或不可约弱对角占优的 A正定。
对称矩阵，且对角元素皆为正，则
Th6.2.9
若 A 为 严格对角占优或不可约弱对角占优的，
则Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代收敛。
迭代法的收敛速度： 设迭代法 x( k 1) Mx( k ) g 收敛，即 ( M ) 1 Def 4（/* Rate of Average Convergence */） 平均压
迭 代 格 式
10 ( k 1) (k ) ( 5 2 x1 3 x3 )
(14 3 x
(k ) 2
x )
(k ) 3
G-S
似 解
1.0002507)
0.9999541)
0.9999981)
Gauss-Seidel迭代法 取初值
计 算 结 果
要求 精度
x (0 0 0)
T
迭代 方 程 组 的 近 次数 0.001 5 (0.9997916 0.9998479 0.0001 7 (0.9999929 0.9999949 0.00001 8 (1.0000013 1.0000009
G-S法收敛
Th6.2.2 若迭代矩阵 M 的范数 M q 1，并假定
范数满足
I 1 ，则迭代法 x
(k )
( k 1)
Mx
(k )