2018年秋高中数学 课时分层作业5 角度问题 新人教A版必修5

课时分层作业(五) 角度问题

(建议用时：40分钟)

[学业达标练]

一、选择题

1．在静水中划船的速度是每分钟40 m ，水流的速度是每分钟20 m ，如果船从岸边A 处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为( )

【导学号：91432067】

A ．15°

B ．30°

C ．45°

D ．60°

B [如图所示，

sin∠CAB ＝2040＝1

2

，∴∠CAB ＝30°.]

2．如图1-2-27所示，长为3.5 m 的木棒AB 斜靠在石堤旁，木棒的一端A 在离堤足C 处1.4 m 的地面上，另一端B 在离堤足C 处2.8 m 的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tan α等于( )

图1-2-27

A.

231

5 B.51

6 C.23116

D.

115

A [由题意，可得在△ABC 中，A

B ＝3.5 m ，A

C ＝1.4 m ，BC ＝2.8 m ，且α＋∠ACB ＝π. 由余弦定理，可得AB 2

＝AC 2

＋BC 2

－2×AC ×BC ×cos∠ACB ，即 3.52

＝1.42

＋2.82

－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cos α＝5

16

.

所以sin α＝

23116，所以tan α＝sin αcos α＝2315

.] 3．我舰在敌岛A 处南偏西50°的B 处，且A ，B 距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为( )

【导学号：91432068】

A ．28海里/小时

B ．14海里/小时

C ．142海里/小时

D ．20海里/小时

B [如图，设我舰在

C 处追上敌舰，速度为v ，在△ABC 中，AC ＝10×2＝

20 海里，

AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，

∴BC 2

＝AB 2

＋AC 2

－2AB ·AC cos 120° ＝784， ∴BC ＝28海里， ∴v ＝14海里/小时．]

4．如图1-2-28，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20

m,50 m ，

BD 在水平面上，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 的大小是( )

图1-2-28

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．75°

B [∵AD 2

＝602

＋202

＝4 000，

AC 2＝602＋302＝4 500，

在△ACD 中，由余弦定理得cos∠CAD ＝AD 2＋AC 2－CD 22AD ·AC ＝2

2

，∠CAD ∈(0°，180°)，

∴∠CAD ＝45°.]

5．地上画了一个角∠BDA ＝60°，某人从角的顶点D 出发，沿角的一边DA 行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达△BDA 的另一边BD 上的一点，我们将该点记为点N ，则N 与D 之间的距离为( )

【导学号：91432069】

A ．14米

B ．15米

C ．16米

D ．17米 C [如图，设DN ＝x m ，

则142

＝102

＋x 2

－2×10×

x cos 60°，

∴x 2

－10x －96＝0， ∴(x －16)(x ＋6)＝0， ∴x ＝16或x ＝－6(舍)， ∴N 与D 之间的距离为16米．] 二、填空题

6．某船在岸边A 处向正东方向航行x 海里后到达B 处，然后朝南偏西60°方向航行3海里

到达C 处，若A 处与C 处的距离为3海里，则x 的值为________．

3或23 [x 2

＋9－2·x ·3cos 30°＝(3)2

， 解得x ＝23或x ＝ 3.]

7．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.

【导学号：91432070】

302 [如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，

∠AMB ＝45°， 在△AMB 中，

由正弦定理得60sin 45°＝BM

sin 30°，

解得BM ＝302(km)．]

8．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A 开始做匀速直线运动，到达点B 时，发现足球在点D 处正以2倍于自己的速度向点A 做匀速直线滚动，如图1-2-29所示，已知AB ＝4 2 dm ，AD ＝17 dm ，∠BAC ＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A 点________dm 的C 处截住足球．

图1-2-29

7 [设机器人最快可在点C 处截住足球，

点C 在线段AD 上，设BC ＝x dm ，由题意知CD ＝2x dm ，AC ＝AD －CD ＝(17－2x )dm. 在△ABC 中，由余弦定理得BC 2

＝AB 2

＋AC 2

－2AB ·AC ·cos A ，

即x 2＝(42)2＋(17－2x )2

－82(17－2x )cos 45°，解得x 1＝5，x 2＝373.

∴AC ＝17－2x ＝7(dm)，或AC ＝－23

3

(dm)(舍去)．

∴该机器人最快可在线段AD 上距A 点7 dm 的点C 处截住足球．] 三、解答题

9．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇(如图1-2-30所示)．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.

【导学号：91432071】

图1-2-30

[解] 如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇， 则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°.

根据余弦定理得(14x )2

＝122

＋(10x )2

－240x cos 120°， 解得x ＝2. 故AC ＝28，BC ＝20.

根据正弦定理得BC sin α＝AC

sin 120°，

解得sin α＝20sin 120°28＝53

14

.

10．岛A 观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行(如图1-2-31所示)，观察站即刻通知在岛A 正南方向B 处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C 处，随即以每小时

103海里的速度前往拦截．

图1-2-31

(1)问：海监船接到通知时，距离岛A 多少海里？

(2)假设海监船在D 处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间． [解] (1)根据题意得∠BAC ＝45°，∠ABC ＝75°，BC ＝10， 所以∠ACB ＝180°－75°－45°＝60°. 在△ABC 中，由AB sin∠ACB ＝BC

sin∠BAC

得AB ＝BC sin∠ACB sin∠BAC ＝10sin 60°

sin 45°＝10×

322

2

＝5 6.

答：海监船接到通知时，距离岛A 56海里．

(2)设海监船航行时间为t 小时，则BD ＝103t ，CD ＝10t ， 又因为∠BCD ＝180°－∠ACB ＝180°－60°＝120°， 所以BD 2

＝BC 2

＋CD 2

－2BC ·CD cos 120°，

所以300t 2＝100＋100t 2－2×10×10t ·? ??

??－12，所以2t 2

－t －1＝0，

解得t ＝1或t ＝－1

2(舍去)．

所以CD ＝10，所以BC ＝CD ，

所以∠CBD ＝1

2(180°－120°)＝30°，

所以∠ABD ＝75°＋30°＝105°.

答：海监船沿方位角105°航行，航行时间为1个小时． (或答：海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1个小时．)

[冲A 挑战练]

1．为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C ，D 两点处进行测量．在C 点测得塔底B 在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿着南偏东40°方向前进10米到D 点，测得塔顶的仰角为30°，则塔的高度为( )

【导学号：91432072】

A ．5米

B ．10米

C ．15米

D ．20米 B [如图，由题意得，AB ⊥平面BCD ，

∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD . 设塔高AB ＝x ，

在Rt△ABC 中，∠ACB ＝45°， 所以BC ＝AB ＝x ，

在Rt△ABD 中，∠ADB ＝30°， ∴BD ＝

AB

tan 30°

＝3x ，

在△BCD 中，由余弦定理得

BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD ·cos 120°，

∴(3x )2

＝x 2

＋100＋10x ，

解得x ＝10或x ＝－5(舍去)，故选B.]

2．甲船在岛A 的正南B 处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB ＝10千米，同时乙船自岛A 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )

A.

150

7

分钟 B.

15

7

分钟 C ．21.5分钟 D ．2.15小时

A [如图，设t 小时后甲行驶到D 处，则AD ＝10－4t ，乙行驶到C 处，则AC ＝6t .∵∠BAC ＝120°，∴DC 2

＝AD 2

＋AC 2

－2AD ·AC ·cos 120°＝(10－4t )2

＋(6t )2

－2×(10－4t )×6t ×cos 120°＝28t 2

－20t ＋100＝

28? ??

??t －5142＋6757.

当t ＝514时，DC 2

最小，即DC 最小，此时它们所航行的时间为514×60＝1507分钟．]

3．如图1-2-32所示，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 位于北偏东α，前进m 海里后在B 处测得该岛位于北偏东β，已知该岛周围n 海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险.

【导学号：91432073】

图1-2-32

m cos αcos β>n sin(α－β) [在△ABM 中，由正弦定理得BM

－α

＝

m

α－β，

故BM ＝

m cos α

α－β

，

要使该船没有触礁危险需满足BM sin(90°－β)＝

m cos αcos β

α－β

>n .

∴当α与β满足m cos αcos β>n sin(α－β)时，该船没有触礁危险．]

4．如图1-2-33所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ＝

________.

图1-2-33

21

14

[在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°， 由余弦定理知BC 2

＝AB 2

＋AC 2

－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800?BC ＝207. 由正弦定理AB sin∠ACB ＝BC

sin∠BAC ?

sin∠ACB ＝AB BC ·sin∠BAC ＝

217

， ∠BAC ＝120°，则∠ACB 为锐角，cos∠ACB ＝27

7

.

由θ＝∠ACB ＋30°，则cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos∠ACB ·cos 30°－sin∠ACB ·sin 30°＝

21

14

.] 5．如图1-2-34所示，港口B 在港口O 正东方向120海里处，小岛C 在港口O 北偏东60°方向，且在港口B 北偏西30°方向上，一艘科学家考察船从港口O 出发，沿北偏东30°的OA 方向以20海里/时的速度行驶，一艘快艇从港口B 出发，以60海里/时的速度驶向小岛C ，在C 岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，则快艇驶离港口

B 后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？

【导学号：91432074】

图1-2-34

[解] 设快艇驶离港口B 后，经过x 小时，在OA 上的点D 处与考察船

相遇．

如图所示，连接CD ，则快艇沿线段BC ，CD 航行．

在△OBC 中，由题意易得∠BOC ＝30°，∠CBO ＝60°，所以∠BCO ＝

90°.

因为BO ＝120，

所以BC ＝60，OC ＝60 3.

故快艇从港口B 到小岛C 需要1小时，所以x >1.

在△OCD 中，由题意易得∠COD ＝30°，OD ＝20x ，CD ＝60(x －2)．

由余弦定理，得CD 2

＝OD 2

＋OC 2

－2OD ·OC cos∠COD ，所以602

(x －2)2

＝(20x )2

＋(603)2

－

2×20x ×603×cos 30°.

解得x ＝3或x ＝3

8，

因为x >1，所以x ＝3.

所以快艇驶离港口B 后，至少要经过3小时才能和考察船相遇．