人教版八年级数学上册15.1.2 分式的基本性质(002)
15.1.2分式的基本性质2
1.分式的基本性质:
(1)语言叙述:分式的分子与分母乘(或除以)
同一个不等于0 的整式，分式的值不变． (2)字母表示:
A C A B C B
A ，B
A C B C
(C≠0)，其中
A,B,C是整式．
2.约分: (1)约分:把分式的分子、分母的 公因式 约去,不改变 分式的值. 没有公因式 的分式. (2)最简分式:分子与分母___________ 3.通分: (1) 通分 : 把几个异分母的分式化成与原来的分式相 同分母 的分式. 等的_______ (2)最简公分母:各分母的所有因式的 最高次幂的积 .
【例1】将下列各式通分：
2a c x 1 , , . b ab 2ab
a b c , , 2 . 2 2 x－y 2y－2x x －2xy y
【解】 (1)∵最简公分母是2ab,
2a 2a 2a 4a ∴ b b 2a 2ab c c2 2c ab ab 2 2ab x x 2ab 2ab
b b b ( x y) b(x y) 2y 2x 2(x y) 2(x y) (x y) 2(x y)
2
c c c2 2c x 2xy y (x y) (x y) 2 2(x y)
2 2 2 2
2
【想一想】
【方法一点通】 找最简公分母的方法 1.找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取 它们的最小公倍数. 2.找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含 字母的式子都要选取. 3.找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字 母的式子中指数的最大值.
】 分式约分的“两思路” 1.分子分母都是单项式：先确定分子、分母的公因式, 再约分. 2. 分子或分母中有多项式：先因式分解 , 再确定公因 式,然后约分.
新人教版初中数学8年级上册15.1.2分式的基本性质第2课时
15.1.2分式的基本性质（2）——（约分）
学教目标：1、进一步理解分式的基本性质，并能用其进行分式的约分。
2、了解最简分式的意义，并能把分式化成最简分式。
3、通过思考、探讨等活动，发展学生实践能力和合作意识。
学教重点：分式的约分。
学教难点：利用分式的基本性质把分式化成最简分式。
学教过程：
一、温故知新：
1、分式的基本性质是： 用式子表示 。
2、分解因式：（1）x 2—y 2 、（2）x 2+xy 、（3）9a 2+6ab+b 2 、（4）x 2+x-6 。
自主探究：p 130的“思考”。
归纳：分式的约分定义：
最大公因式：所有相同因式的最 次幂的积
最简分式：
二、学教互动：
1、例1、p 131的“例3”
通过上面的约分，你能说出分式进行约分的关键是什么？
2、例2、约分：
（1）6
6522-++-m m m m 、 （2）21415222-+--m m m m 、（3）99622-++x x x 。
三、拓展延伸：
约分：
（1）66522-++-m m m m 、（2）21415222-+--m m m m 、（3）2
22
22y xy x y x ++-
四、反馈检测：
约分：
（1）d b a bc a 10235621-、 （2）2
24202525y xy x y x +--、
（3）16816
22
++-a a a 、
（4）7017501522+++-m m m m 、
（5）m m m m -+-222
3 。
五、小结与反思：。
15.1.2分式的基本性质(2)
式时，应先将 各分母分解因 式，再找出最 简公分母。
课堂练习
y x 1 , 2, 1.三个分式 的最简公分母是（ 2 x 3 y 4 xy
）
A. 4 xy
B. 3 y
2
C. 12xy
2
2 2 12 x y D.
1 x , 2.分式 2 的最简公分母是_________. x x 2( x 1)
3.分母中所有字母的最高次幂。
例.通分：
3 ab (1) 2 与 2 2a b ab c
2 a 2 b 2
c
最简 公分母
例.通分：
解：最简公分母是 2a 2b 2c
3 ab (1) 2 与 2 2a b ab c
3 3bc 3 bc 2 2 2 2 2a b 2a b bc 2a b c 2 a b (a b) 2a 2a 2ab 2 2 2 2 ab c ab c 2a 2a b c
(1)将各个分式的分母分解因式；(2)取 各分母系数的最小公倍数(3)凡是出现的 所有字母或因式都要取；(4)相同字母 (或含字母的式子)的幂取指数最大的； (5)将上述所得系数的最小公倍数与各字 母(或因式)的最高次幂全都乘起来，就
得到了最简公分母
通过本课时的学习，需要我们掌握 1.分式的基本性质. 2.通分和约分是根据分式的基本性质的“等值”变形.
3
x x x6 x 7x 49 x
2
2 2
2
4 x 3 先进行分解因式，再约分
问题情景
1.分数的通分：
7 1 (1) 与 12 8
什么叫做分数的通分？
问题情景
1. 通分：
7 1 (1) 与 12 8
最新人教版八年级数学上册《15.1.2 分式的基本性质》优质教学课件
x 1
4 x3
解：(3)最简公分母是 12x 3 .
x 1 （x 1） 6 x
6 x（x 1）
,
2
2
3
2 x
2 x 6 x
12 x
4
4 （ 4 x 2） 16 x 2
,
2
3
3x
3 x （ 4 x ） 12 x
x 1 （x 1）（ 3） （
(2)所乘(或除以)的必须是同一个整式；
(3)所乘(或除以)的整式应该不等于零.
探究新知
素养考点 1
分式的基本性质的应用
例 下列等式成立吗？右边是怎样从左边得到的？
解: (1)成立.
(2) 成立.
因为
因为
所以
所以
巩固练习
下列变形是否正确？如果正确，说出是如何变形的？如
果不正确，说明理由.
x
1
(1)
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整
式，分式的值不变．
探究新知
追问1 如何用式子表示分式的基本性质？
A
A C A
A C
,
（C 0）
.
B
B C B
B C
其中A，B，C 是整式.
探究新知
追问2 应用分式的基本性质时需要注意什么？
(1)分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算；
,
B. 3a 2b3 与 3a 2b 2c 通分后为 2 3
3a b c 3a 2 b 3 c
1
C. m +n 与
1
m–n
的最简公分母为m2-n2
八年级数学上册15.1.2 分式的基本性质(人教版)
八年级数学上册15.1.2分式的基本性质（人教版）15.1.2分式的基本性质【教学目标】1.会用分式的基本性质将分式进行简单的恒等变形，并能熟练地进行分式的通分、约分.2.经历对分式基本性质及符号法则的探究过程，在探究中获得一些探索定理性质的初步经验，渗透良好的类比联想思维习惯和思想方法. 【重点难点】0重点：理解并掌握分式的基本性质.难点：灵活应用分式的基本性质将分式变形.┃教学过程设计┃教学过程设计意图一、创设情境，导入新课1.创设情境.多媒体课件播放有关“自然景色美”的短片，烘托气氛，然后，打出字幕：“数学因简约、对称、和谐而美”.2.探索发现：图1展示分蛋糕的图片(图1)，从图中得到三个分数：14，28，416.然后提出问题：问题1：根据我们对数学的“审美标准”，上面的哪个分数最具“简约之美”？答：14.问题2：从416，28到14，我们实施了怎样的变形？答：分数的约分.问题3：那这种变形的依据是什么？其内容是什么？答：变形的依据是分数的基本性质，其内容是分数的分子与分母同乘以或同除以同一个不为零的数，分数的值不变.通过大自然的“造化”之美引向数学的“简约”之美，培养学生的审美情趣，为美化数学式子奠定基础.为了拉长分式基本性质的发现过程，通过分蛋糕复习分数，然后在审美意识的驱动下复习了分数的基本性质，为类比引出分式的基本性质蓄好了认知之势.二、师生互动，探究新知问题1：下面的变形成立吗？请用图形的面积作出说明.1a＝22a，22a＝1a.分析：成立.适合用矩形的面积说明，在面积为1，长为a的矩形上再拼上一个相同的矩形(使得宽重合)，如图2，所得的新矩形面积为2，长变成了2a，但宽没有变化，即1a＝22a.图2若将面积为2，长为2a的矩形沿长的中间均分为两部分，得面积为1的矩形，如图3，它们的宽与原矩形的宽相等，即22a＝1a.图3问题2：若将问题1中的“2”替换成“3，4，5，…，n，n＋1”还成立吗？分析：有了问题1解答的铺垫，本问靠想象即能完成，只要在原来的基础上拼接或等分即可，可发现仍然成立.问题3：请归纳你的发现.答：分式的分子、分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.教师说明，这就是分式的基本性质.问题4：能用字母表达式表示你的发现吗？答：AB＝A•CB•C，AB＝A÷CB÷C(C≠0)，其中A，B，C是整式.通过问题1启动了数形结合，让学生亲眼看见、切身体验分式基本性质的存在，增强可感性，扣住学生心理，自然实现难点理解的突破，至于后面的几个问题的解决已是水到渠成，揭示出分式的基本性质.三、运用新知，解决问题1.填空.(1)a＋bab＝（）a2b，2a－ba2＝（）a2b；(2)x2＋xyx2＝x＋y（），xx2－2x＝（）x－2.2.你能说出多少个与b2a的值相等的分式？通过练习1的两个问题强化分式基本性质的两种变形：同乘以与同除以；通过练习2以开放的形式给不同层次的学生提供施展的空间. 四、课堂小结，提炼观点经历分式基本性质得出的过程，从中学到了什么方法？受到什么启发？五、布置作业，巩固提升必做题：教材第132页练习1，2，第133页第4，5题.选做题：教材第133页第6，7题，第134页第12题.。
人教版八年级数学上册课件：15.1.2.2 分式的约分、通分
2．怎样计算45＋67？怎样把45，67通分？ 类似的，你能把分式ab，dc变成同分母的分式吗？ 利用分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化
成与原来的分式相等的同分母的分式，我们把这样的分 式变形叫做__分__式__的__通__分____．
二、探究新知 1．约分：(1)－1255aab22bcc3；(2)x2＋x2－6x＋9 9；(3)6x2－3x1－2x3y＋y 6y2. 分析：为约分，要先找出分子和分母的公因式．
教师引导：通分的关键是先确定最简公分母；如果分 式的分母是多项式则应先将分母分解因式，再按上述的方 法确定分式的最简公分母．
学生板演并互批及时纠错． 6．思考：分数和分式在约分和通分的做法上有什么 共同点？这些做法的根据是什么？ 教师让学生讨论、交流，师生共同作以小结．
三、课堂小结 1．什么是分式的约分？ 怎样进行分式的约分？ 什么是最简分式？ 2．什么是分式的通分？ 怎样进行分式的通分？ 什么是最简公分母？ 3．本节课你还有哪些疑惑？ 四、布置作业 教材第133页习题15.1第6，7题．
本节课是在学习了分式的基本性质后学的，重点是运用分 式的基本性质正确的约分和通分，约分时要注意一定要约 成最简分式，熟练运用因式分解；通分时要将分式变形后 再确定最简公分母．
解：(1)－1255aab22bcc3＝－55aabbcc··5a3cb2＝－53abc2； (2)x2＋x2－6x＋9 9＝（x＋（3x）＋（3）x－2 3）＝xx＋－33； (3)6x2－31x－2xy3＋y 6y2＝63（（xx－－yy））2＝2(x－y)．
若分子和分母都是多项式，则往往需要把分子、分母
一、类比引新
1．在计算56×125时，我们采用了“约分”的方法，分 数的约分约去的是什么？分式a2a＋2bab，a＋abb相等吗？为什 么？
人教版数学八年级上册15.1.2：分式的基本性质应用：约分、通分教案
§15.1.2 分式的基本性质(2)——分式的约分和通分一、内容分析本节教学内容是人教版八年级上册《15.1.2分式的基本性质》第二课时，即分式的约分和通分。
本节是在学生有小学学习的分数的约分通分、初一学习了因式分解及上节课学习了分式的基本性质的知识基础上，进一步学习分式基本性质的应用。
学生通过类比分数的约分和通分来总结出分式的约分与通分的法则，从中体会数学的类比思想。
同时分式的约分和通分，是进行分式的加减乘除四则运算所必须掌握的分式变形，为后边分式的计算学习做铺垫，在本章中也有着非常重要的地位和作用。
二、教材分析（一）教学目标知识与技能：理解分式约分和通分的基本概念，认识到约分和通分其实是分式基本性质的应用和巩固，并会用分式的基本性质将分式进行正确的约分和通分。
过程与方法：应用分式的基本性质将分式变形，通过复习分数的约分、通分类比分式的约分、通分，从中渗透数学的类比思想方法，并在探究过程中掌握分式约分通分的关键。
情感态度与价值观：通过思考、探究等活动获得学习数学的成功体验，树立学习数学的信心，培养独立思考、合作交流的能力。
（二）教学重难点教学重点：分式的约分和通分教学难点：分式的约分和通分三、学情分析学生已经学过分数的约分和通分，已具备一定的知识基础，因而对于分式的约分和通分理解要相对容易一点。
但学生基础不是很好，无法灵活运用所学知识，在约分过程中先找分子和分母的公因式和在通分过程中先确定最简公分母这两个关键点不能很好地把握，尤其是当分子分母是多项式时要先进行因式分解，这样的变形过程对于学生来说更困难。
四、教学法分析本着以学生为主，教师为辅，充分发挥学生的主体地位，让学生积极主动地参与探索，互动交流学习，体现以“自主、探究、合作”为特征的教与学方式。
五、教学过程设计（一）温故知新分式的基本性质：_________________________________________________________用数学符号怎么表示：_________________________________________________________ 师生活动：学生回忆并举手发言，师展示答案。
人教版八年级上册15.1.2分式的基本性质(教案)
不过，我也注意到，在实践活动环节，有些小组在操作过程中还是会出现一些小错误。这让我意识到，我们在教学中不仅要注重理论知识的学习，还要加强学生的动手操作能力，让他们在实际操作中感受数学的魅力。
五、教学反思
今天我们在八年级上册学习了分式的基本性质，这节课让我感受到了同学们的积极性和思考能力。我发现，当我们在讲解分式的概念时，大部分同学能够紧跟我的思路，但是对于分子分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式这个性质，有些同学还是显得有些迷茫。我意识到，这可能是因为他们对分式的抽象理解还不够深入，需要更多的实际例题来帮助他们理解。
人教版八年级上册15.1.2分式的基本性质（教案）
一、教学内容
人教版八年级上册15.1.2分式的基本性质：本节课我们将学习分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；分式分子分母的公因式可以约去；分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数或者整式，分式的值不变；两个分式相乘时，分子与分子相乘，分母与分母相乘；两个分式相除时，相当于第一个分式乘以第二个分式的倒数。通过具体实例，让学生掌握并运用这些基本性质进行分式的化简和运算。
-在约分环节，通过示例展示如何找出分子分母的最大公因式，如$\frac{18x^2}{12x}$，找出$6x$作为公因式进行约分。
-通过对比练习，让学生区分分式乘除和加减的运算规则，强调分式乘除是分子与分子、分母与分母分别相乘或相除。
-对于策略选择，通过典型题目分析，指导学生在何时应用分式的基本性质，何时进行分式的展开，何时约分等，以简化计算过程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x2 xy x2
（x
y
）
(x2 xy) x x2 x
x y x
x2
x
（
2x
x
）
2
xx 1 (x2 2x) x x 2
想一想：
联想分数的约分，由例1你能想出如何对分式进
行约分？
与分数约分类似，关键是要找出分式的分子与
分母的最简公分母.
知识要点
约分的定义 像这样，根据分式的基本性质，把一个分式
a2b
2a - b a2
(2ab b2) a2b （b≠0）
想一想： 联想分数的通分，由例1你能想出如何对分式进行 通分？
知识要点
分式的通分的定义
与分数的通分类似，根据分式的基本性质，使分子、
分母同乘适当的整式（即最简公分母），把分母不
相同的分式变成分母相同的分式，这种变形叫分式
的通分.如分式 a b 与 2a - b 分母分别是ab,a2,通
的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． 经过约分后的分式 x y ，其分子与分母没 2x
有公因．像这样分子与分母没有公因式的式子， 叫做最简分式．
分式的约分，一般要约去分子和分母所有的 公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
议一议
在化简分式 5xy 时，小颖和小明的做法
20x2 y
出现了分歧：
第十五章 分 式
15.1.2 分式的基本性质
学习目标
1.理解并掌握分式的基本性质．（重点） 2.会运用分式的基本性质进行分式的约分和通分．（难点）
导入新课
情境引入 1.把3个苹果平均分给6个同学，每个同学得到几个 苹果？
解：3 6
2 与 4 相等吗?
5 10
分数的
2.这些分数相等的依据是什么？
基本性质
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个 不等于零的数，分数的值不变.
讲授新课
一 分式的基本性质
思考：下列两式成立吗？为什么？
3 3c （c 0） 4 4c
5c 5 （c 0） 6c 6
a 即对于任意一个分数 b 有：
a a • c a a c （ｃ ０）
b b•c b bc
和通分的依据 的 基 础
基本性质
(1)分子分母同时进行；
(2)分子分母只能同乘或同除， 注 意 不能进行同加或同减；
(3)分子分母只能同乘或同除 同一个整式；
(4)除式是不等于零的整式
思考：你认为分式“a ”与“1”；分式
2a
2
“n ”与“n2 ”相等吗？
m
mn
（a，m ，n 均不为0）
想一想：类比分数的基本性质，你能猜想分 式有什么性质吗？
知识要点
分式的基本性质： 分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不
等于0的整式，分式的值不变.
上述性质可以用式表示为： A A C , A A C（C 0）. B BC B BC 其中A,B,C是整式.
3bc 2a2b2c
,
ab ab2c
(a b) 2a ab2c 2a
2a2 2ab 2a2b2c
.
(2)
2x 与 3x x5 x5
（2）最简公分母是(x+5)(x-5)
最 简
1·(x-5)
1·(x+5)
公
分 1(x-5) (x+5)
2x x5
3x x5
2x(x 5) (x 5)(x 5)
2x2 x2
典例精析 例1 填空：
想一想：（1） 看分母如何变化，想分子中如为何什变么化不.给 看分子如何变化，想分母出中如x却何≠给0变,出而化了（.b2）≠0?
（1）x3 xy
（x2 ）， 3x2 3xy
y
6x2
x （
2
x） y（x
0）；
（2） 1 ab
（
a a2b
），
2a b a2
（
2ab a2b
x y； xy
（3） x
2
x2 xy 2xy
y2
（x x （x
y） y）2
x x
； y
（4）m2 m
m 2 1
（1
m（m m）（1
1）m）
m. m1
6.通分：（1）3a1b3
,
3 4a2b
解：最简公分母是12a2b3
1 3ab3
3 4a2b
4a 12a2b3
9b2 12a 2b3
(2) 4 ， 2x 1 2x 4x2 1
2xy
2xy(x y)
2x2 y 2xy2
(x y)2 (x y)2(x y) (x y)2(x y)
x x2 y2
x(x y) (x y)2(x y)
x2 y2 (x y)2(x y)
课堂小结
内容
A A C , A A C（C 0）. B BC B BC
作用
分式进行约分
进行分式运算
分式的
解：最简公分母是(2x+1)(2x-1)
4
4(2x+1)
8x+4
1- 2x -(2x -1)(2x+1) -4x2 +1
2x 4x2 -1
小贴士：在分式的约分与通分中，通常碰到如下 因式符号变形： (b-a)2=(a-b)2;b-a=-(a-b).
(3)
2xy (x y)2
， x2
x
y2
解：最简公分母是(x+y)2(x-y)
中的x和 y
都扩大3倍,那么分式
的值( A ).
A．扩大3倍 B．扩大9倍
C．扩大4倍 D．不变
5.约分
（1）2bc ；（2）（x y）y ；（3 ） x2 xy ；（4 ）m2 m ．
ac
xy2
x2 2xy y2
m2 1
解： （1）2bc 2b ；
ac a
（2）（x
y）y xy2
小颖：250xxy2 y
5x 20 x 2
5xy 小明：20x2 y
5xy 4x 5xy
1 4x
你对他们俩的解法有何看法？说说看！
•一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式.
典例精析
例3 约分:（1）1255aab2b2cc3 ； (公因式是5ac2)
分析：为约分要先找出分子和分母的公因式.
找公因式方法: （1）约去系数的最大公约数. （2）约去分子分母相同因式的最低次幂.
三 分式的通分
问题1：
7
通分：
与1
12 8
解：7 7 2 14 12 12 2 24
1 13 3 8 83 24
最小公倍数：24
通分的关键是确 定几个分母的最 小公倍数
分数的通分：把几个异分母的分数化成同分母的分
数，而不改变分数的值，叫做分数的通分.
问题2：填空
a b (a2 ab)
ab
想一想：
分数和分式在约分和通分的做法上有什
么共同点？这些做法的根据是什么？
分数 分式 依据
约分
通分
找分子与分母的 找所有分母的
最大公约数
最小公倍数
找分子与分母 的公因式
找所有分母的 最简公分母
分数或分式的基本性质
当堂练习
1.下列各式成立的是（ D ）
A.
c ba
c ab
C.
c ba
c ab
B.
b2 ）（b
0）.
想一想: 运用分式的基本性质应注意什么? (1)“都” (2) “同一个” (3) “不为0”
例2 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母 的各项系数都化为整数.
⑴
⑵
练一练
不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“－”号
⑴ 2x
5y
⑵ 3a 7b
⑶ 10m 3n
二 分式的约分
ab
a2
分后分母都变成了a2b.
最简公分母
为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的 所有因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分 母. 注意：确定最简公母是通分的关键.
例4 通分：
(1)
3 2a2b
与
ab ab2c
2 a2 b2 c
最简公分母
解：（1）最简公分母是2a2b2c
3 2a2b
3 bc 2a2b bc
（2） x2 9 ． x2 6x 9
分析：约分时,分子或分母若是多项式,能分解 则必须先进行因式分解.再找出分子和分母的 公因式进行约分.
知识要点
约分的基本步骤 （１）若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最 大公约数，并约去相同字母的最低次幂； （２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分 解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．
b(x y) x(x y)(x y)
bx x3
by xy2
,
方法归纳：先将分母因式分解，再将每一个 因式看成一个整体，最后确定最简公分母．
Hale Waihona Puke 法归纳确定几个分式的最简公分母的方法： （1）因式分解 （2）系数：各分式分母系数的最小公倍数； （3）字母：各分母的所有字母的最高次幂 （4）多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂 （5）积
5x , 25
3x(x 5) (x 5)(x 5)
3x2 x2
5x . 25
母 不同的因式
例5
通分：
x
2
a
y2
与
x2
b
xy
(x+y)(x-y) x(x+y)
解：最简公分母是x(x+y)(x-y)
a x2 y2
a (x y)(x
y)
ax x(x y)(x