浙教版八下数学期末较难题压轴题
2015年浙教版八下数学期末试题（较难题、压轴题）
1.刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，在Rt△ABC中∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；Rt△FDE中∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm。
如图是刘卫同学所做的一个实验，他将Rt△FDE的直角边DE与Rt△ABC的斜边AC重合在一起，并将△FDE 沿AC的方向移动，在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）。
（1）在△FDE沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐；
（填“不变”、“变大”或“变小”）
（2）刘卫同学经过进一步的研究，编制了如下问题:
问题①：当△FDE移动到什么位置时，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行
问题②：当△FDE移动到什么位置时，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC 的长度为三边长的三角形能构成直角三角形（请完成解答过程。
）
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．点O是AC的中点，过点O 的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D，过点C
作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．
（1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；
\
②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；
（2）当α=90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．
3.如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
（3）若BC=DE=2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．
4.我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）除了正方形外，写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：；}
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O （0，0），A （3，0），B （0，4），请你画出以格点为顶点，OA ，OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB ，并写出点M 的坐标；
（3）如图2，以ΔABC 的边AB ，AC 为边，向三角形外作正方形ABDE 及ACFG ，连结CE ，BG 相交于O 点，P 是线段DE 上任意一点．求证：四边形OBPE 是勾股四边形．
5.如图，边长为1的正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF 、GH 分割为四个小矩形，EF 与GH 交于点P.
（1）若AG=AE ，证明：AF=AH.
（2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH.
（3）若Rt ΔGBF 的周长为1，求矩形EPHD 的面积.
6把一幅三角板按如图（1）摆放（点C 与点E 重合），点B ，C （E ），F 在同一条直线上。
∠ACB=∠DFE=90°，∠A=30°，∠DEF=45°，BC=EF=8cm ，点P 是线段AB 的中点。
△DEF 从图
（1）出发，以4cm/s 的速度沿CB 方向匀速移动，如图（2），DE 与AC 相交于点Q 。
当点D 移动到AC 边上时，△DEF 停止移动，设移动时间为t （s ），解答下列问题；
（1）当t=1时，求出AQ 的长
`
（2）当t 为何值时，点A 在线段PQ 的垂直平分线上
（3）当t=2时，如图（3），△ABC 绕点C 逆时针旋转90°得到△A ˊB ˊC ˊ，点P ˊ是A ˊB ˊ中点，则DP ˊ=cm （直接写出答案）
7．如图1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF 旋转到如图3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 8.如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D )，
以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系： （1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；
图2 E ' B D G F O M N 图3
A B D G E F * M N C
图1 A (G ) B (E )
D
②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到
的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a ，BC=b ，CE=ka ，CG=kb (a ≠b ，
k >0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立若成立，以图5为例简要说明理由．
（3）在第(2)题图5中，连结DG 、BE ，且a =3，b =2，k =12
，求22BE DG +的值． 9.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝16cm ，AB ＝12cm ，BC ＝21cm ，
动点P 从点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒2cm 的速度运动，动点Q 从点A 出发，在线段AD 上以每秒1cm 的速度向点D 运动，点P ，Q 分别从点B ，A 同时出发，当点Q 运动到点D 时，点P 随之停止运动，设运动的时间为t(秒).
/
（1）当t 为何值时，四边形PQDC 是平行四边形.
（2）当t 为何值时，以C,D,Q,P 为顶点的梯形面积等于60cm 2
（3）是否存在点P ，使△PQD 是等腰三角形若存在，请求出所有满足要求的t 的值，若不存在，请说明理由.
10.将正方形ABCD 绕中心O 顺时针旋转角α得到正方形1111D C B A ，如图1所示.
（1）当α=45o 时(如图2)，若线段OA 与边11D A 的交点为E ，线段1OA 与AB 的交
点为F ，可得下列结论成立①FOP
EOP ∆≅∆；②1PA PA =，试选择一个证明
（2）当o o 900<<α时,第（1）小题中的结论1PA PA =还成立吗如果成立，请证
明;如果不成立，请说明理由.
（3）在旋转过程中，记正方形1111D C B A 与AB 边相交于P ,Q 两点，探究POQ ∠的
度数是否发生变化如果变化，请描述它与α之间的关系;如果不变，请直接写出POQ ∠的度数.
;
第9题
O 11.在△ABC 中，AB=AC ，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧
作△ADE ，使AD=AE ，∠DAE=∠BAC,连接CE.
（1）如图1，当点D 在线段BC 上，求证ACE ABD ∆≅∆.
（2）设∠BAC=α，∠BCE=β.
①如图2，当点D 在线段BC 上移动，则α，β之间有怎么样的数量关系请说明理由；
\
②当点D 在线段CB 的延长线上时，则
α，β之间有怎么样的数量关系，请画出图形并直接写出你的结论.
图2
图1
A B D E
图1 A
B C D E 图2 B C。
八年级下册数学难题压轴题
八年级下册数学难题压轴题一、选择题（每题3分，共30分）1. 若关于x的分式方程(m)/(x - 1)+(3)/(1 - x)=1的解为正数，则m的取值范围是（）- A. m>2- B. m<2- C. m>2且m≠3- D. m<2且m≠ - 3解析：首先将分式方程(m)/(x - 1)+(3)/(1 - x)=1化简，方程变形为(m)/(x - 1)-(3)/(x - 1)=1。
两边同乘以(x - 1)得：m-3=x - 1，解得x=m - 2。
因为方程的解为正数，所以x=m - 2>0，即m>2。
又因为分母不能为0，即x-1≠0，m - 2-1≠0，m≠3。
所以m的取值范围是m>2且m≠3，答案为C。
2. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）- A. 当AB = BC时，四边形ABCD是菱形。
- B. 当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形。
- C. 当∠ ABC = 90^∘时，四边形ABCD是矩形。
- D. 当AC = BD时，四边形ABCD是正方形。
解析：- 选项A：一组邻边相等的平行四边形是菱形，当AB = BC时，四边形ABCD 是菱形，该选项正确。
- 选项B：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，该选项正确。
- 选项C：一个角是直角的平行四边形是矩形，当∠ ABC=90^∘时，四边形ABCD是矩形，该选项正确。
- 选项D：对角线相等的平行四边形是矩形，当AC = BD时，四边形ABCD是矩形，而不是正方形，该选项错误。
答案为D。
二、填空题（每题3分，共15分）1. 化简frac{x^2-1}{x^2+2x + 1}的结果是______。
解析：先对分子分母进行因式分解，分子x^2-1=(x + 1)(x - 1)，分母x^2+2x + 1=(x + 1)^2。
所以frac{x^2-1}{x^2+2x + 1}=((x + 1)(x - 1))/((x + 1)^2)=(x - 1)/(x + 1)。
浙教版初中数学八年级下册期末测试卷(标准难度)(含答案解析)
浙教版初中数学八年级下册期末测试卷（标准难度）（含答案解析）考试范围：全册； 考试时间：120分钟；总分：120分，第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 把式子m√−1中根号外的m移到根号内的是( )mA. −√mB. √−mC. −√−mD. −√m22. 下列计算中，正确的是( )A. (2√5+√2)(√5−√2)=2(√5)2−(√2)2=10−2=8B. (√7−√3)2=7−3=4C. (2√2−3√3)(2√2+3√3)=(2√2)2−(3√3)2=8−27=−19D. (√7+√3)×√10=√10×√10=103. 若关于x的一元二次方程x2−2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的图象可能是( )A. B.C. D.4. 已知a，b是方程x2+2x−5=0的两个实数根，则a2−ab+3a+b的值为( )A. 2B. 3C. −2D. 85. 方差是刻画数据波动程度的量.对于一组数据x1，x2，x3，⋯，x n，可用如下算式计算方[(x1−5)2+(x2−5)2+(x3−5)2+⋯+(x n−5)2]，其中“5”是这组数据的( )差：s2=1nA. 最小值B. 平均数C. 中位数D. 众数6. 颠球是练习足球球感最基本的招式之一．某校足球队10名球员在一次训练中的颠球测试成绩(以“次”为单位计)为：52，50，46，54，50，56，47，52，53，50.则以下数据中计算错误的是( )A. 平均数为51B. 方差为8.4C. 中位数为53D. 众数为507. 如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=4，BE平分∠ABC，交CD于点E，则DE的长度是( )A. 32B. 2 C. 52D. 38. 有长度分别为6cm，8cm，10cm的铁丝三根，取其中一根作为边，另外两根作为对角线.下列取法中，能搭成一个平行四边形的是( )A. 取10cm长的铁丝为边B. 取8cm长的铁丝为边C. 取6cm长的铁丝为边D. 任意取一根铁丝为边均可9. 如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为( )A. 平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C. 平行四边形→正方形→菱形→矩形D. 平行四边形→菱形→正方形→矩形10. 如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.若∠BEC= 80∘，则∠EFD的度数为( )A. 20∘B. 25∘C. 35∘D. 40∘11. 为了建设生态城市，某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造，如图描述的是月利润y(万元)关于月份x之间的变化关系，治污改造完成前是反比例函数图象的一部分，治污改造完成后是一次函数图象的一部分.下列说法错误的是( )A. 5月份该厂的月利润最低B. 治污改造完成后，每月利润比前一个月增加30万元C. 治污改造前后，共有6个月的月利润不超过120万元D. 治污改造完成后的第8个月，该厂月利润达到300万元12. 设反比例函数y=a2(a≠0)，当x=p，q，r(p<q<r)时，对应的函数值分别为P，Q，xR，若pqr<0，则必有( )A. Q>RB. R>PC. P>QD. P>R第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知|2021−a|+√a−2022=a，则a−20212=_________14. 给出一种运算：对于函数y=x n，规定y′=nx n−1.例如：若函数y=x4，则有y′=4x3.已知函数y=x3，则方程y′=12的解是．15. 某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示.如果将学历、经验和工作态度三项得分按2:1:3的比例确定两人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么将被录用(填“甲”或“乙”)．甲乙学历98经验76工作态度5716. 如图，A，B两点的坐标分别为(5,0)，(1,3)，C是平面直角坐标系内一点.若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是菱形，则点C的坐标为．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。
浙教版初二下册数学期末压轴题及答案
浙教版八下数学期末压轴题1 如图，梯形ABCD 中，AD // BC,/ B=Rt Z, AD=21cm , BC=24cm，动点P 从点A 出发沿AD 边向D以1cm/s的速度运动，另一动点Q同时从点C出发沿CB边向点B以2cm/sP运动时间为t.的速度运动(运动到点B时，P、Q同时停止运动).设点(1)t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？(2)t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？2、如图，在直角梯形ABCD 中，AB // CD , / BCD=Rt /, AB=AD=10cm , BC=8cm .点P 从点A 出发，以每秒2cm的速度沿线段AB方向向点B运动，点Q从点D出发，以每秒3cm的速度沿线段DC 方向向点C运动.已知动点P、Q同时发，当点P运动到点B时，P、Q运动停止，设运动时间为t.(1 )求CD的长；(2)当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；(3)在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2?若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由.3、如图，在梯形ABCD 中，AD // BC，/ B= 90 ° ,AD = 16cm, AB = 12cm, BC = 21cm,动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动，动点Q从点A出发，在线段AD 上以每秒1cm的速度向点D运动，点P, Q分别从点B, A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t(秒).(1 )当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形•(2)当t为何值时，以C,D,Q,P为顶点的梯形面积等于60cm2?(3)是否存在点卩，使厶PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由•4、如图，四边形ABCD 中，AD // BC , AD=15 , BC=25, AB=DC=10，动点P从点D 出发，以每秒1个单位长的速度沿线段DA的方向向点A运动，动点Q从点C出发，以每秒2个单位长的速度沿射线CB的方向运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动。
专题10 压轴题训练一-2020-2021学年八年级数学下学期期末考试压轴题专练(浙教版)(原卷版)
2021年八下期末考试金牌压轴题训练（一）一、单选题1．如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，其中正确的有（ ）个．①方程x 2+5x +6＝0是倍根方程：①若pq ＝2，则关于x 的方程px 2+4x +q ＝0是倍根方程；①若（x ﹣3）（mx +n ）＝0是倍根方程，则18m 2+15mn +2n 2＝0；①若方程ax 2+bx +c ＝0是倍根方程，且3a +b ＝0，则方程ax 2+bx +c ＝0的一个根为1 A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．如图1，在平面直角坐标系中，ABCD 在第一象限，且//BC x 轴，直线y x =从原点O 出发沿x 轴正方向平移．在平移过程中，直线被ABCD 截得的线段长度n 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图像如图2所示，那么ABCD 的面积为（ ）A．3 B ．6 C ．D ．3．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以AB ，AC ，BC 为边，在AB 的同侧作正方形ABHI ，ACFG ，BCED ．若图中两块阴影部分的面积分别记为1S ，2S ，则对1S ，2S 的大小判断正确的是（ ）A ．12S S >B ．12S SC ．12S S <D ．无法确定 4．如图，一次函数y ax b =+的图象与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，与反比例函数ky x =的图象相交于C 、D 两点，分别过C 、D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E 、F ，连接CF 、DE ，有下列结论：①CEF 与DEF 的面积相等；①//EF CD ；①DCE CDF ≅；①AC BD =；①CEF 的面积等于2k ，其中正确的个数有（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题5．若0xy >，则二次根式________．6．已知x =20x ax b ++=的一个根，且a ，b 为有理数，则a =______，b =______．7．如图，①APB 中，AB=2，①APB=90°，在AB 的同侧作正①ABD 、正①APE 和正①BPC ，则四边形PCDE 面积的最大值是__．8．正方形A 1B 1C 1O ，正方形A 2B 2C 2C 1，正方形A 3B 3C 3C 2，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，若点A 1、A 2、A 3和C 1、C 2、C 3…分别在直线y ＝x+1和x 轴上，则点B 2019的坐标是_____．三、解答题9．在Rt①ABC 中，①B=900，AC=100cm, ①A=600,点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D 、E 运动的时间是t 秒（0＜t≤25）过点D 作DF①BC 于点F ，连结DE 、EF 。
专题11 压轴题训练二-2020-2021学年八年级数学下学期期末考试压轴题专练(浙教版)(原卷版)
2021年八下期末考试金牌压轴题训练（二）一、单选题1．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞12B．k≥12C．k＞12且k≠1D．k≥12且k≠12．已知3a=+3b=）A．24B．±C．D．3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB=12BC=1，则下列结论：平行四边形ABCD =AB•AC∠OE=14AD∠S∠APO是（）A．2B．3C．4D．54．如图，在∠ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边BC 上一动点，PE∠AB 于E，PF∠AC于F，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（）A．1B．1.3C．1.2D．1.55．如图，小华剪了两条宽为1的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60，则它们重叠部分的面积为（）A．1B．2C．D．二、填空题6．已知|a﹣，则a﹣20072的值是_____．7．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB∠∠APD∠∠AEB；∠点B到直线AE∠EB∠ED；∠S∠APD+S∠APB∠S正方形ABCD论的序号是．8．如图，等腰直角∠ABC位于第二象限，BC＝AC＝3，直角顶点C在直线y＝﹣x上，且点C的横坐标为﹣4，边BC、AC分别平行于x轴、y轴．若双曲线y＝kx与∠ABC的边AB有2个公共点，则k的取值范围为___________ ．9．如图，在四边形ABCD中，AD∠BC，AD=4，BC=12，点E是BC的中点．点P、Q分别是边AD、BC上的两点，其中点P以每秒1个单位长度的速度从点A运动到点D后再返回点A，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发向点B运动．当其中一点到达终点时停止运动．当运动时间t为_____秒时，以点A、P，Q，E为顶点的四边形是平行四边形．三、解答题10．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．11．如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的点，AF=AD+FC，平行四边形ABCD的面积为S，由A、E、F三点确定的圆的周长为t．（1）若∠ABE的面积为30，直接写出S的值；（2）求证：AE平分∠DAF；（3）若AE=BE，AB=4，AD=5，求t的值．12．如图1，线段AB、CD相交于点O，连结AD、CB，我们把这个图形称为“8字型”根据三角形内角和容易得到：∠A+∠D=∠C+∠B.(1)用“8字型”如图2,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=___________；(2)造“8字型”如图3,∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G =_____________;(3)发现“8字型”如图4，BE 、CD 相交于点A ，CF 为∠BCD 的平分线，EF 为∠BED 的平分线.∠图中共有________个“8字型”；∠若∠B ：∠D ：∠F =4：6：x ，求x 的值.13．如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标为()6,6，将正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转角度α ()090α︒<<︒，得到正方形CDEF ， ED 交线段AB 于点G ， ED 的延长线交线段OA 于点H ，连结CH 、CG ．（1）求证：CG 平分 DCB ∠；（2）在正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转的过程中，求线段HG 、OH 、BG 之间的数量关系；（3）连结BD 、DA 、AE 、EB ，在旋转的过程中，四边形AEBD 是否能在点G 满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直线DE 的解析式；若不能，请说明理由． 14．如图，已知点A 的坐标为（a ，4）（其中a <-3），射线OA 与反比例函数12y x =-的图象交于点P ，点B ，C 分别在函数12y x =-的图象上，且AB ∠x 轴，AC ∠y 轴，连结BO ，CO ，BP ，CP ．（1）当a =-6，求线段AC 的长；（2）当AB =BO 时，求点A 的坐标；（3）求证：1ABPACP S S =．。
专题11 压轴题训练二-2020-2021学年八年级数学下学期期末考试压轴题专练(浙教版)(解析版)
2021年八下期末考试金牌压轴题训练（二）一、单选题1．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞12B．k≥12C．k＞12且k≠1D．k≥12且k≠1【答案】C 【详解】根据题意得k-1≠0且△=2²-4（k-1）×（-2）＞0，解得：k＞12且k≠1．故选C【点睛】本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．2．已知3a=+3b=）A．24B．±C．D．【答案】C【解析】【分析】【详解】△a=3b=3△a+b=6，ab=4，=故选C．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，抓住式子的特点，灵活利用完全平方公式变形，使计算简便．3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB=12BC=1，则下列结论：平行四边形ABCD =AB•AC∠OE=14AD∠S∠APO是（）A．2B．3C．4D．5【答案】D【分析】△先根据角平分线和平行得：△BAE=△BEA，则AB=BE=1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：△ACE=30°，最后由平行线的性质可作判断；△先根据三角形中位线定理得：OE=12AB=12，OE△AB，根据勾股定理计算OC= =OD的长，可得BD的长；△因为△BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；△根据三角形中位线定理可作判断；△根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得：S△AOE=S△EOC=1212POEAOPSS=，代入可得结论．【详解】△△AE平分△BAD，△△BAE=△DAE，△四边形ABCD是平行四边形，△AD△BC，△ABC=△ADC=60°，△△DAE=△BEA，△△BAE=△BEA，△AB=BE=1，△△ABE是等边三角形，△AE=BE=1，△BC=2，△EC=1，△AE=EC，△△EAC=△ACE，△△AEB=△EAC+△ACE=60°，△△ACE=30°，△AD△BC，△△CAD=△ACE=30°，故△正确；△△BE=EC，OA=OC，△OE=12AB=12，OE△AB，△△EOC=△BAC=60°+30°=90°，Rt△EOC中，=△四边形ABCD是平行四边形，△△BCD=△BAD=120°，△△ACB=30°，△△ACD=90°，Rt△OCD中，2=，△正确；△由△知：△BAC=90°，△S△ABCD=AB•AC，故△正确；△由△知：OE是△ABC的中位线，又AB=12BC，BC=AD，△OE=12AB=14AD，故△正确；△△四边形ABCD是平行四边形，△OA=OC=2，△S△AOE=S△EOC=12OE•OC=12×12=△OE△AB，△12 EP OEAP AB==，△12POEAOPSS=，△S△AOP=23S△AOE=23△正确；本题正确的有：△△△△△，5个，故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．4．如图，在∠ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边BC 上一动点，PE∠AB 于E，PF∠AC于F，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（）A．1B．1.3C．1.2D．1.5【答案】C【分析】首先证明四边形AEPF为矩形，可得AM=12AP，最后利用垂线段最短确定AP的位置，利用面积相等求出AP的长，即可得AM.【详解】在△ABC中，因为AB2+AC2=BC2，所以△ABC为直角三角形，△A=90°，又因为PE△AB，PF△AC，故四边形AEPF为矩形，因为M为EF中点，所以M也是AP中点，即AM=12 AP，故当AP△BC时，AP有最小值，此时AM最小，由1122ABCS AB AC BC AP=⨯⨯=⨯⨯，可得AP=125，AM=12AP=61.25故本题正确答案为C.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP△BC时AM最小是解题关键.5．如图，小华剪了两条宽为1的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60，则它们重叠部分的面积为（）A．1B．2C．D．【答案】D【解析】过点D作DE△AB，垂足为E；过点D作DF△BC，垂足为F. (如图)根据辅助线作法和纸条宽度的定义可知：△AED=△CFD=90°，DE=DF=1，由纸条的几何特征可知，AD△BC，AB△DC，故四边形ABCD为平行四边形，由题目条件和对顶角关系可知，△BCD=60°，△在平行四边形ABCD中，△BAD=△BCD=60°，即△EAD=△FCD=60°，△在△AED 与△CFD 中：EAD FCD AED CFD DE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AED △△CFD (AAS)△AD =CD ，△平行四边形ABCD 为菱形，△在Rt△CFD 中，△FCD =60°，△△FDC =30°，△在Rt△CFD 中，12=FC CD ， △在Rt△CFD 中，2222112CD FC DF CD ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，△3CD =， △在菱形ABCD 中，BC =CD ，△BC CD == △菱形ABCD的面积为：1BC DF ⋅==. 故本题应选D.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题6．已知|a﹣，则a﹣20072的值是_____．【答案】2008【解析】分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a的取值范围；再根据a的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形．详解：△|a﹣a，△a≥2008，△a﹣a，，两边同平方，得：a﹣2008=20072，△a﹣20072=2008．故答案为：2008．点睛：解决此题的关键是能够得到a的取值范围，从而化简绝对值并变形．7．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB∠∠APD∠∠AEB；∠点B到直线AE∠EB∠ED；∠S∠APD+S∠APB∠S正方形ABCD论的序号是．【答案】△△△【分析】△利用同角的余角相等，易得△EAB =△P AD ，再结合已知条件利用SAS 可证两三角形全等；△过B 作BF △AE ，交AE 的延长线于F ，利用△中的△BEP =90°，利用勾股定理可求BE ，结合△AEP 是等腰直角三角形，可证△BEF 是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF 、BF ；△利用△中的全等，可得△APD =△AEB ，结合三角形的外角的性质，易得△BEP =90°，即可证；△连接BD ，求出△ABD 的面积，然后减去△BDP 的面积即可；△在Rt△ABF 中，利用勾股定理可求AB 2，即是正方形的面积．【详解】△△△EAB +△BAP =90°，△P AD +△BAP =90°，△△EAB =△P AD ，又△AE =AP ，AB =AD ，△在△APD 和△AEB 中，AE AP EAB PAD AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△APD △△AEB （SAS ）；故此选项成立；△△△APD △△AEB ，△△APD =△AEB ，△△AEB=△AEP+△BEP，△APD=△AEP+△P AE，△△BEP=△P AE=90°，△EB△ED；故此选项成立；△过B作BF△AE，交AE的延长线于F，△AE=AP，△EAP=90°，△△AEP=△APE=45°，又△△中EB△ED，BF△AF，△△FEB=△FBE=45°，又△BE=2PE=△BF=EF=2故此选项不正确；△如图，连接BD，在Rt△AEP中，△AE=AP=1，△EP=又△PB =△BE =△△APD △△AEB ，△PD =BE =△S △ABP +S △ADP =S △ABD -S △BDP = 12S 正方形ABCD - 12×DP ×BE = 12×（4+- 12×× 12+ 故此选项不正确．△△EF =BF = 2AE=1，△在Rt△ABF 中，AB 2=（AE +EF ） 2+BF 2=4+，△S 正方形ABCD =AB 2=4+故此选项正确．故答案为△△△．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识．8．如图，等腰直角∠ABC 位于第二象限，BC ＝AC ＝3，直角顶点C 在直线y ＝﹣x 上，且点C 的横坐标为﹣4，边BC 、AC 分别平行于x 轴、y 轴．若双曲线y ＝k x与∠ABC 的边AB 有2个公共点，则k 的取值范围为___________ ．【答案】－254＜k≤－4．【解析】点C在直线y=-x上，其中A点的横坐标为-4，则把x=-4代入y=-x解得y=4，则A的坐标是（-4，4），△AB=AC=3，△B点的坐标是（-1，4），A点坐标（-4，1），△AB的中点坐标为（52-，52），当双曲线y=kx经过点（-1，4）时，k=-4；当双曲线y=kx经过点（52-，52）时，k=254-，此时双曲线与AB只有一个交点，△k的取值范围为－254＜k≤－4，故答案为－254＜k≤－4．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形，解答本题的关键是确定出A、B两点以及AB中点的坐标.9．如图，在四边形ABCD中，AD∠BC，AD=4，BC=12，点E是BC的中点．点P、Q分别是边AD、BC上的两点，其中点P以每秒1个单位长度的速度从点A运动到点D后再返回点A，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发向点B运动．当其中一点到达终点时停止运动．当运动时间t为_____秒时，以点A、P，Q，E为顶点的四边形是平行四边形．【答案】2或14 3.【分析】分别从当Q运动到E和B之间与当Q运动到E和C之间去分析, 根据平行四边形的性质, 可得方程, 继而可求得答案.【详解】解：E是BC的中点,∴BE=CE=12BC=12⨯12=6,△当Q运动到E和C之间, 设运动时间为t, 则AP=t, DP=AD-AP=4-t,CQ=2t,EQ=CE-CQ=6-2t∴t=6-2t,解得: t=2;△当Q运动到E和B之间,设运动时间为t,则AP=t, DP=AD-AP=4-t, CQ=2t, EQ=CQ-CE=2t-6,∴t=2t-6,解得: t=6（舍），△P点当D后再返回点A时候，Q运动到E和B之间,设运动时间为t，则AP=4-（t-4）=8-t, EQ=2t-6，∴8-t=2t-6，14 t=3,∴当运动时间t为2、143秒时,以点P,Q,E，A为顶点的四边形是平行四边形．故答案为: 2或14 3.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及解一元一次方程.三、解答题10．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．【答案】(1) 李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析.【解析】试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．试题解析：设其中一段的长度为cm，两个正方形面积之和为cm2，则，（其中），当时，，解这个方程，得，，△应将之剪成12cm和28cm 的两段；（2）两正方形面积之和为48时，，，△，△该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm2，李明的说法正确．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．11．如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的点，AF=AD+FC，平行四边形ABCD的面积为S，由A、E、F三点确定的圆的周长为t．（1）若∠ABE的面积为30，直接写出S的值；（2）求证：AE平分∠DAF；（3）若AE=BE，AB=4，AD=5，求t的值．【答案】（1）平行四边形ABCD的面积为60；（2）证明见解析；（3）△AEF的外接圆的周长t=295π．【解析】【分析】（1）作EG△AB于点G，由S△ABE=12×AB×EG=30得AB•EG=60，即可得出答案；（2）延长AE交BC延长线于点H，先证△ADE△△HCE得AD=HC、AE=HE及AD+FC=HC+FC，结合AF=AD+FC得△FAE=△CHE，根据△DAE=△CHE即可得证；（3）先证△ABF=90°，根据勾股定理可得出AF2=AB2+BF2=16+（5﹣FC）2=（FC+CH）2=（FC+5）2，据此求得FC的长，从而得出AF的长度，再由AE=HE、AF=FH知FE△AH，即AF是△AEF的外接圆直径，从而得出答案．【详解】（1）如图，作EG△AB于点G，则S△ABE=12×AB×EG=30，则AB•EG=60，△平行四边形ABCD的面积为60；（2）如图，延长AE交BC延长线于点H，△四边形ABCD是平行四边形，△AD△BC，△△ADE=△HCE，△DAE=△CHE，△E为CD的中点，△CE=ED，△△ADE△△HCE，△AD=HC、AE=HE，△AD+FC=HC+FC，由AF=AD+FC和FH=HC+FC得AF=FH，△△FAE=△CHE，又△△DAE=△CHE，△△DAE=△FAE，△AE平分△DAF；（3）连接EF，△AE=BE、AE=HE，△AE=BE=HE，△△BAE=△ABE，△HBE=△BHE，△△DAE=△CHE，△△BAE+△DAE=△ABE+△HBE，即△DAB=△CBA，由四边形ABCD是平行四边形得△DAB+△CBA=180°，△△CBA=90°，△AF2=AB2+BF2=16+（5﹣FC）2=（FC+CH）2=（FC+5）2，解得：FC=45，△AF=FC+CH=295，△AE=HE、AF=FH，△FE△AH，△AF是△AEF的外接圆直径，△△AEF的外接圆的周长t=295π．【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及到平行四边形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键.12．如图1，线段AB、CD相交于点O，连结AD、CB，我们把这个图形称为“8字型”根据三角形内角和容易得到：∠A+∠D=∠C+∠B.(1)用“8字型”如图2,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=___________；(2)造“8字型”如图3,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=_____________;(3)发现“8字型”如图4，BE、CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线.∠图中共有________个“8字型”；∠若∠B：∠D：∠F=4：6：x，求x的值.【答案】(1)360°；(2)540；(3)△6；△x=5.【解析】分析：（1）根据题意即可得到结论；（3）△由图形即可得到结论；△根据三角形内角和为180°的性质即可证得关系为△D+△B=2△F，再根据△B、△D、△F 的比值，即可求得x的值；详解：（1）△△A+△B=△GKH+△GHK，△C+△D=△GHK+△HGK，△E+△F=△HGK+△GKH，△A+△B+△C+△D+△E+△F=2（△GKH+△GHK+△HGK）=2×180°=360°，故答案为：360°；（2）如图，连结BC，△△E+△G=△GCB+△EBC，△△A+△B+△C+△D+△E+△F+△G=五边形FABCD的内角和，即△A+△B+△C+△D+△E+△F+△G=（5-2）•180°=540°，故答案为：540°；（3）△图中共有6个“8字型”；故答案为：6．△：△CF平分△BCD，EF平分△BED△△DEG=△AEG，△ACH=△BCH，△在△DGE和△FGC中，△DGE=△FGC△△D+△DEG=△F+△ACH△在△BHC和△FHE中，△BHC=△FHE△△B+△BCH=△F+△AEG△△D+△DEG+△B+△BCH=△F+△ACH+△F+△AEG△△D+△B=2△F；△△B：△D：△F=4：6：x，△D+△B=2△F，△x=5．点睛：考查了多边形的内角与外角，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．13．如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标为()6,6，将正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转角度α ()090α︒<<︒，得到正方形CDEF ， ED 交线段AB 于点G ， ED 的延长线交线段OA 于点H ，连结CH 、CG ．（1）求证：CG 平分 DCB ∠；（2）在正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转的过程中，求线段HG 、OH 、BG 之间的数量关系；（3）连结BD 、DA 、AE 、EB ，在旋转的过程中，四边形AEBD 是否能在点G 满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直线DE 的解析式；若不能，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）3342y x =- 【解析】试题分析：（1）根据旋转和正方形的性质可以得出CD =CB ，△CDG =△CBG =90°，根据全等三角形的判定定理（HL ）即可证出Rt△CDG △Rt△CBG ，即△ DCG =△BCG ，由此即可得出CG 平分△DCB ；（2）由（1）的Rt△CDG △Rt△CBG ，可得出BG =DG ，根据直角三角形的判定定理(HL)即可证出Rt△CHO △Rt△CHD ，即OH =HD ,再根据线段间的关系即可得出HG HD DG OH BG =+=+ ；（3）根据（2）的结论即可找出当G 点为AB 的中点时，四边形AEBD 为矩形，再根据正方形的性质以及点B 的坐标可得出点G 的坐标，设H 点的坐标为()0x ，，由此可得出HO x =，根据勾股定理即可求得x 的值，即可得出点H 的坐标，结合点H 、G 的坐标利用待定系数法即可求得直线DE 的解析式.试题解析：（1）证明：△正方形ABCO 绕点C 旋转得到正方形CDEF ，△ CD CB =，90CDG CBG ∠=∠=︒，在Rt ΔCDG 和Rt ΔCBG 中，CG CG CD CB=⎧⎨=⎩， △ Rt ΔCDG △ Rt ΔCBG ()HL ，△ DCG BCG ∠=∠ ，即CG 平分DCB ∠.（2）由(1)证得：Rt ΔCDG △Rt ΔCBG ，△ BG DG = ， 在Rt ΔCHO 和Rt ΔCHD 中，CH CH CO CD =⎧⎨=⎩，△ ΔCHO △ ΔCHD ()HL ，△ OH HD = ，△ HG HD DG OH BG =+=+ .（3）四边形AEBD 可为矩形..当G 点为AB 中点时，四边形AEBD 为矩形．如图，12BG GA AB ==， 由(2)证得：BG DG =，又AB DE =, 则1122BG GA DG AB DE GE =====， △四边形AEBD 为矩形..△点B 坐标为（6,6）,△ AB =6，△1 32AG AB ==, △ G 点的坐标为()6,3..设H 点的坐标为(),0x ，则HO x =.△OH DH =，BG DG =,△ HD x =，3DG =，在Rt ΔHGA 中，3HG x =+，3GA =，6HA x =-，由勾股定理得：()()222336x x +=+-，解得：2x =，△ H 点的坐标为()2,0.设直线DE 的解析式为：y kx b =+ ()0k ≠，又直线DE 过点H ()2,0、()6,3G ，△2063k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：3432k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， △ 直线DE 的解析式为：3342y x =- . 点睛：本题是一道综合题，主要考查用待定系数法求一次函数的解析式、三角形全等的性质与判定、勾股定理以及特殊平行四边形的性质，解题的关键在于图形与函数的知识整合程度，熟练地运用性质可快速找到解决问题的突破口.14．如图，已知点A 的坐标为（a ，4）（其中a <-3），射线OA 与反比例函数12yx =-的图象交于点P ，点B ，C 分别在函数12y x=-的图象上，且AB ∠x 轴，AC ∠y 轴，连结BO ，CO ，BP ，CP ．（1）当a =-6，求线段AC 的长；（2）当AB =BO 时，求点A 的坐标； （3）求证：1ABPACP S S =．【答案】（1）2AC =；（2）(8,4)A -；（3）见解析【分析】（1）当6a =-时，由于AC y ∥轴，所以C 点的横坐标也为-6，将C 点的横坐标代入反比例函数解析式即可求得C 点的坐标，利用两点间的距离公式即可求得AC 的长； （2）根据AB x 轴.可以得到A 点和B 点的纵坐标相同，由此根据反比例函数解析式即可求得B 点的坐标，所以OB 的长度可以求出，再结合AB BO =，求出点A 的坐标； （3）分别延长AB 交y 轴于点D ，延长AC 交x 轴于点E ，根据AB x 轴，AC y ∥轴，90DOE ∠=︒可以证得四边形AEOD 为矩形，所以AEO ADO S S =△△，而根据反比例函数的性质可得6CEO BDO S S ==△△，所以ACO ABO S S =△△，利用面积关系即可得到ACP ABP S S =△△，从而得到证明；【详解】解：（1）△AC y ∥轴，△点A 、C 的横坐标相等．△点C 的坐标(6,2)-．△422AC =-=．（2）△AB x 轴，△点A 、B 的纵坐标相等，△点B 的坐标()3,4-．△5AB BO ==．△点(8,4)A -．（3）延长AB 交y 轴于点D ，延长AC 交x 轴于点E ，连接CO ．△AB x 轴，AC y ∥轴，△四边形AEOD 为平行四边形．又△90DOE ∠=︒，△平行四边形AEOD 为矩形．△AEO ADO S S =△△．又6CEO BDO S S ==△△，△ACO ABO S S =△△．又△ACP ACO AP S S AO =⨯△△，ABP ABO AP S S AO=⨯△△， △ACP ABP S S =△△． △1ABP ACP SS =．【点睛】本题主要考查反比例函数的面积关系，熟练掌握反比例函数中k 的几何意义是解决本题的关键，难度中等，需要仔细分析图形.。
浙教版八年级(下)数学期末特殊平行四边形压轴题专项汇编(3)(含详解)
浙教版八年级（下）数学期末特殊平行四边形压轴题专项汇编（3）（含详解）1．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F．（1）如图2，取AB的中点H，连接HE，求证：AE＝EF．（2）如图3，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由．2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．3．定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．（1）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF 是准矩形；（2）如图2，准矩形ABCD中，M、N分别AD、BC边上的中点，若AC=2MN，求AB2、BC2、CD2、AD2之间的关系．4．如图，以△ABC的各边为边长，在边BC的同侧分别作正方形ABDI，正方形BCFE，正方形ACHG，连接AD，DE，EG．（1）求证：△BDE≌△BAC；（2）①设∠BAC＝α，请用含α的代数式表示∠EDA，∠DAG；②求证：四边形ADEG是平行四边形；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？请说明理由．5．已知：如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点G是射线AB上的一个动点，以DG为边向右作正方形DGEF，作EH⊥AB于点H．（1）若点G在点B的右边．试探索：EH﹣BG的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．（2）连接EB，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，求∠EBH的度数．6．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．7．已知：在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD 的边AB、BC、DA上．（1）如图1，四边形EFGH 为正方形，AE ＝2，求GC 的长．（2）如图2，四边形EFGH 为菱形，设BF ＝x ，△GFC 的面积为S ，且S 与x 满足函数关系S ＝621x ．在自变量x 的取值范围内，是否存在x ，使菱形EFGH 的面积最大？若存在，求x 的值，若不存在，请说明理由．8．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，∠CAB 的平分线分别交BD 、BC 于E 、F ，作BH ⊥AF 于点H ，分别交AC 、CD 于点G 、P ，连接GE 、GF ． （1）求证：△OAE ≌△OBG ．（2）试问：四边形BFGE 是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由．9．已知，如图，O 为正方形对角线的交点，BE 平分∠DBC ，交DC 于点E ，延长BC 到点F ，使CF ＝CE ，连接DF ，交BE 的延长线于点G ，连接OG ． （1）求证：△BCE ≌△DCF ．（2）判断OG与BF有什么关系，证明你的结论．（3）若DF2＝8﹣42，求正方形ABCD的面积？10．如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明；（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化？若不变化，求出∠EMB的度数；若发生变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，过A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请求出线段CM与BN的数量关系．参考答案与解析1．（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF；∴∠1+∠AEB ＝90°，∠2+∠AEB ＝90° ∴∠1＝∠2，∵BH ＝BE ，∠BHE ＝45°，且∠FCG ＝45°， ∴∠AHE ＝∠ECF ＝135°，AH ＝CE ， 在△AHE 和△ECF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ECF AHE CEAH 21， ∴△AHE ≌△ECF （ASA ）， ∴AE ＝EF ；（2）解：AE ＝EF 成立，理由如下：如图2，延长BA 到M ，使AM ＝CE ， ∵∠AEF ＝90°， ∴∠FEG +∠AEB ＝90°． ∵∠BAE +∠AEB ＝90°， ∴∠BAE ＝∠FEG ， ∴∠MAE ＝∠CEF ． ∵AB ＝BC ， ∴AB +AM ＝BC +CE ， 即BM ＝BE ． ∴∠M ＝45°， ∴∠M ＝∠FCE ． 在△AME 与△ECF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ECF M CEAM CEF MAE ， ∴△AME ≌△ECF （ASA ）， ∴AE ＝EF ．2．（1）证明：能．理由如下：在△DFC 中，∠DFC ＝90°，∠C ＝30°，DC ＝4t ， ∴DF ＝2t ， 又∵AE ＝2t ， ∴AE ＝DF ，∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ， ∴AE ∥DF ， 又∵AE ＝DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形， 当AE ＝AD 时，四边形AEFD 为菱形，即60﹣4t ＝2t ，解得t ＝10．∴当t ＝10秒时，四边形AEFD 为菱形．（2）①当∠DEF ＝90°时，由（1）知四边形AEFD 为平行四边形， ∴EF ∥AD ，∴∠ADE ＝∠DEF ＝90°， ∵∠A ＝60°， ∴∠AED ＝30°， ∴AD=21AE ＝t ， 又AD ＝60﹣4t ，即60﹣4t ＝t ，解得t ＝12；②当∠EDF ＝90°时，四边形EBFD 为矩形，在Rt △AED 中∠A ＝60°，则∠ADE ＝30°， ∴AD ＝2AE ，即60﹣4t ＝4t ，解得t=215． ③若∠EFD ＝90°，则E 与B 重合，D 与A 重合，此种情况不存在． 综上所述，当t=215或12秒时，△DEF 为直角三角形．3．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ∠A ＝∠ABC ＝90°， ∴∠EAF +∠EBC ＝90°， ∵BE ⊥CF ，∴∠EBC +∠BCF ＝90°， ∴∠EBF ＝∠BCF ， ∴△ABE ≌△BCF ， ∴BE ＝CF ，∴四边形BCEF 是准矩形；（2）解：连接AN 、DN ，过点C 作CE ∥BD ，过点B 作BE ∥DC ， 则四边形BECD 为平行四边形，连接DE ，则D 、N 、E 三点共线，过点B 作BF ⊥CE 于F ，过点D 作DG ⊥EC 交EC 延长线于点G ，如图2所示： ∵四边形BECD 为平行四边形， ∴BE ＝DC ，BE ∥DC ，ED ＝2DN ， ∴∠BEF ＝∠DCG ， 在△BEF 和△DCG 中，⎪⎩=DC BE ∴△BEF ≌△DCG （AAS ）， ∴BF ＝DG ，EF ＝CG ，在Rt △BFC 中，BC 2＝BF 2+FC 2＝BF 2+（EC ﹣EF ）2，在Rt △DEG 中，DE 2＝DG 2+EG 2＝DG 2+（EC +CG ）2＝BF 2+（EC +EF ）2， ∴BC 2+DE 2＝2BF 2+2EC 2+2EF 2＝2（BF 2+EF 2）+2EC 2＝2BE 2+2EC 2＝2BD 2+2CD 2， ∴BC 2+4DN 2＝2BD 2+2CD 2，∴DN 2=41（2BD 2+2CD 2﹣BC 2） 同理：AN 2=41（2AB 2+2AC 2﹣BC 2），MN 2=41(2AN 2+2DN 2﹣AD 2)=41(BD 2+CD 221-BC 2+AB 2+AC 221-BC 2﹣AD 2)=41（AC 2+CD 221-BC 2+AB 2+AC 221-BC 2﹣AD 2）21=AC 2+41（AB 2+CD 2﹣BC 2﹣AD 2），∵AC 2=MN ，∴MN 221=AC 2， ∴MN 2＝MN 2+41（AB 2+CD 2﹣BC 2﹣AD 2），即：41（AB 2+CD 2﹣BC 2﹣AD 2）＝0，∴AB 2+CD 2＝BC 2+AD 2．4．（1）证明：∵四边形ABDI 、四边形BCFE 、四边形ACHG 都是正方形， ∴AC ＝AG ，AB ＝BD ，BC ＝BE ，∠GAC ＝∠EBC ＝∠DBA ＝90°． ∴∠ABC ＝∠EBD （同为∠EBA 的余角）． 在△BDE 和△BAC 中，⎪BE⎩=BC∴△BDE≌△BAC（SAS），（2）①解：∵△BDE≌△BAC，∠ADB＝45°，∴∠EDA＝α﹣45°，∵∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣α＝225°﹣α，②证明：∵△BDE≌△BAC，∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（3）解：结论：当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．理由：由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．∵四边形ABDI是正方形，=AB．∴AD2又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，=AB．∴AC2=AB时，四边形ADEG是正方形．∴当∠BAC＝135°且AC25．解：（1）EH﹣BG的值是定值，∵EH⊥AB，∴∠GHE＝90°，∴∠GEH+∠EGH＝90°，又∠AGD+∠EGH＝90°，∴∠GEH＝∠AGD，∵四边形ABCD与四边形DGEF都是正方形，∴∠DAG＝90°，DG＝GE，∴∠DAG＝∠GHE，在△DAG和△GHE中，⎪DG⎩=GE∴△DAG≌△GHE（AAS）；∴AG＝EH，又AG＝AB+BG，AB＝4，∴EH＝AB+BG，∴EH﹣BG＝AB＝4；（2）（I）当点G在点B的左侧时，如图1，同（1）可证得：△DAG≌△GHE，∴GH＝DA＝AB，EH＝AG，∴BH＝AG＝EH，又∠GHE＝90°，∴△BHE是等腰直角三角形，∴∠EBH＝45°；（II）如图2，当点G在点B的右侧时，由△DAG≌△GHE．∴GH＝DA＝AB，EH＝AG，∴AG＝BH，又EH＝AG，∴EH＝HB，又∠GHE＝90°，∴△BHE是等腰直角三角形，∴∠EBH＝45°；（III）当点G与点B重合时，如图3，同理△DAG≌△GHE，∴GH＝DA＝AB，EH＝AG＝AB，∴△GHE（即△BHE）是等腰直角三角形，∴∠EBH＝45°综上，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，∠EBH都等于45°．6．解：（1）∵MN∥BC，∴∠3＝∠2，又∵CF平分∠GCO，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴FO＝CO，同理：EO＝CO，∴EO＝FO．（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，∴四边形AECF 是平行四边形，由（1）可知，FO ＝CO ，∴AO ＝CO ＝EO ＝FO ，∴AO +CO ＝EO +FO ，即AC ＝EF ，∴四边形AECF 是矩形．（3）当点O 运动到AC 的中点时，且△ABC 满足∠ACB 为直角的直角三角形时，四边形AECF 是正方形．∵由（2）知，当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形，∵MN ∥BC ，∴∠AOE ＝∠ACB∵∠ACB ＝90°，∴∠AOE ＝90°，∴AC ⊥EF ，∴四边形AECF 是正方形．7．解：（1）如图1，过点G 作GM ⊥BC ，垂足为M ．由矩形ABCD 可知：∠A ＝∠B ＝90°，由正方形EFGH 可知：∠HEF ＝90°，EH ＝EF ，∴∠1+∠2＝90°，又∠1+∠3＝90°，∴∠3＝∠2，∴△AEH ≌△BFE ．∴BF ＝AE ＝2，同理可证：△MGF ≌△BFE ，∴GM ＝BF ＝2，FM ＝BE ＝8﹣2＝6，∴CM ＝BC ﹣BF ﹣FM ＝12﹣2﹣6＝4，在Rt △CMG 中，由勾股定理得：CG=524222=+；（2）如图2，过点G 作GM ⊥BC ，垂足为M ，连接HF ，由矩形ABCD 得：AD ∥BC ，∴∠AHF ＝∠HFM ，由菱形EFGH 得：EH ∥FG ，EH ＝FG ，∴∠EHF ＝∠HFM ，∴∠AHE ＝∠GFM ，又∠A ＝∠M ＝90°，EH ＝FG ，∴△MGF ≌△AEH ，∴GM ＝AE ，又 BF ＝x ，∴S △GFC 21=FC•GM 21=（12﹣x ）•GM ＝621-x ， ∴GM ＝1，∴AE ＝GM ＝1，BE ＝8﹣1＝7，∵H 在边AD 上，∴菱形边长EH 的最大值14511222=+=，即EH ＝EF 145=， 此时BF ＝x ()6496181452==--=， ∴0≤x ≤64，∵EH ＝EF ，由勾股定理得：AH 2222248171x x EH +=-+=-=，∴S 菱形EFGH ＝BM •AB ﹣2⨯⨯217x ﹣2248121x +⨯⨯⨯=8（x +FM ）﹣7x ﹣FM ＝x +7248x +， ∴当x 最大时，菱形EFGH 的面积最大，即当x ＝64时，菱形EFGH 的面积最大．8．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴OA ＝OB ，∠AOE ＝∠BOG ＝90°．∵BH ⊥AF ，∴∠AHG ＝∠AHB ＝90°，∴∠GAH +∠AGH ＝90°＝∠OBG +∠AGH ，∴∠GAH ＝∠OBG ，即∠OAE ＝∠OBG ．在△OAE 与△OBG 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠BOG AOE OBOA OBG OAE ， ∴△OAE ≌△OBG （ASA ）；（2）解：四边形BFGE 为菱形；理由如下：在△AHG 与△AHB 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠AHB AHG AHAH BAH GAH ， ∴△AHG ≌△AHB （ASA ），∴GH ＝BH ，∴AF 是线段BG 的垂直平分线，∴EG ＝EB ，FG ＝FB ．∵∠BEF ＝∠BAE +∠ABE ＝67.5°，∠BFE ＝90°﹣∠BAF ＝67.5°， ∴∠BEF ＝∠BFE ，∴EB ＝FB ，∴EG ＝EB ＝FB ＝FG ，∴四边形BFGE 是菱形；9．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCF ＝90°，在△BCE 和△DCF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CF CE DCF BCE DC BC ，∴△BCE ≌△DCF （SAS ）；（2）OG ∥BF 且OG=21BF ， 理由：如图，∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠CDB ＝∠CBD ＝45°，∵BE 平分∠DBC ，∴∠2＝∠3=21∠CBD ＝22.5°， 由（1）知，△BCE ≌△DCF ，∴∠CDF ＝∠3＝22.5°，∴∠BDF ＝∠CDB +∠CDF ＝67.5°，∴∠F ＝180°﹣∠CBD ﹣∠BDF ＝67.5°＝∠BDF ，∴BD ＝BF ，而BE 是∠CBD 的平分线，∴DG ＝GF ，∵O 为正方形ABCD 的中心，∴DO ＝OB ，∴OG 是△DBF 的中位线，∴OG ∥BF 且OG=21BF ； （3）设BC ＝x ，则DC ＝x ，BD=2x ，由（2）知△BGD ≌△BGF ， ∴BF ＝BD ，∴CF ＝（2-1）x ，∵DF 2＝DC 2+CF 2，∴x 2+[（2-1）x ]2＝8﹣42，解得x 2＝2，∴正方形ABCD 的面积是2．10．解：（1）AG ＝EC ，AG ⊥EC ，理由为：∵正方形BEFG ，正方形ABCD ，∴GB ＝BE ，∠ABG ＝90°，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，在△ABG 和△BEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC BA EBC ABC BE BG ，∴△ABG ≌△BEC （SAS ），∴CE ＝AG ，∠BCE ＝∠BAG ，延长CE 交AG 于点M ，∴∠BEC ＝∠AEM ，∴∠ABC ＝∠AME ＝90°，∴AG ＝EC ，AG ⊥EC ；（2）∠EMB 的度数不发生变化，∠EMB 的度数为45°理由为： 过B 作BP ⊥EC ，BH ⊥AM ，在△ABG 和△CEB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EB BG EBC ABG BC AB ，∴△ABG ≌△CEB （SAS ），∴S △ABG ＝S △EBC ，AG ＝EC ，∴21EC •BP=21AG •BH ， ∴BP ＝BH ，∴MB 为∠EMG 的平分线，∵∠AMC ＝∠ABC ＝90°，∴∠EMB=21∠EMG=21×90°＝45°；（3）CM=2BN ，理由为：在NA 上截取NQ ＝NB ，连接BQ ， ∴△BNQ 为等腰直角三角形，即BQ=2BN ，∵∠AMN ＝45°，∠N ＝90°，∴△AMN 为等腰直角三角形，即AN ＝MN ，∴MN ﹣BN ＝AN ﹣NQ ，即AQ ＝BM ，∵∠MBC +∠ABN ＝90°，∠BAN +∠ABN ＝90°，∴∠MBC ＝∠BAN ，在△ABQ 和△BCM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BCAB MBC BAN BMAQ ，∴△ABQ ≌△BCM （SAS ），∴CM ＝BQ ，则CM=2BN ．故答案为：CM=2BN。
浙江省各地市选择、填空压轴60题—备战2023-2024学年八年级数学下学期期末(浙教版)(解析版)
八下浙江省各地市选择、填空压轴60题考点分类选练一．估算无理数的大小（共1小题）1．（2023春•仙居县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），B（0，2），以点A为圆心，AB为半径画圆，交x轴于点C，D，记点C，D之间距离为d，则数d的大小在哪两个相邻整数之间（）A．5与6之间B．6与7之间C．7与8之间D．12与13之间【分析】结合已知条件求得OA，OB的长度，然后利用勾股定理求得AB的长度，继而求得CD 的长度，然后估算出它在哪两个连续整数之间即可．【解答】解：由题意可得OA＝3，OB＝2，∠AOB＝90°，则AB＝＝，那么CD＝2AB＝2，∵2＝，49＜52＜64，∴7＜＜8，即数d的大小在7与8之间，故选：C．二．完全平方式（共1小题）2．（2023春•诸暨市期末）已知9x2+18（n﹣1）x+18n是完全平方式，则常数n的值是．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出n的值．【解答】解：∵9x2+18（n﹣1）x+18n＝9[x2+2（n﹣1）x+2n]是完全平方式，∴（n﹣1）2＝2n，解得：n＝2+或n＝2﹣，故答案为：2+或2﹣，三．一元二次方程的定义（共1小题）3．（2023春•南浔区期末）若关于x的方程（k+2）x2﹣2（k﹣1）x+k+1＝0，有且只有一个x的值使等式成立，则k的值是（）A．B．1C．1或﹣2D．或﹣2【分析】分为两种情况：①方程是一元二次方程，此时k+2≠0且Δ＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4（k+2）（k+1）＝0，②方程为一元一次方程，此时k+2＝0且﹣2（k﹣1）≠0，再求出k即可．【解答】解：分为两种情况：①方程是一元二次方程，此时k+2≠0且Δ＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4（k+2）（k+1）＝0，解得：k＝﹣，②方程为一元一次方程，此时k+2＝0且﹣2（k﹣1）≠0，解得：k＝﹣2，故选：D．四．一元二次方程的解（共2小题）4．（2023春•舟山期末）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．【分析】根据方程的解的定义，把x＝0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．【解答】解：根据题意得：a2﹣1＝0且a﹣1≠0，解得：a＝﹣1．故选：B．5．（2023春•东阳市期末）已知m为方程x2+3x﹣2023＝0的根，那么m3+2m2﹣2026m﹣2023的值为．【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m2＝﹣3m+2023，再用m表示m3得到m3＝2032m﹣6069，然后利用整体代入的方法得到m3+2m2﹣2026m﹣2023＝2032m﹣6069+2（﹣3m+2023）﹣2026m﹣2023，最后合并即可．【解答】解：∵m为方程x2+3x﹣2023＝0的根，∴m2+3m﹣2023＝0，∴m2＝﹣3m+2023，∴m3＝m（﹣3m+2023）＝﹣3m2+2023m＝﹣3（﹣3m+2023）+2023m＝2032m﹣6069，∴m3+2m2﹣2026m﹣2023＝2032m﹣6069+2（﹣3m+2023）﹣2026m﹣2023＝2032m﹣6069﹣6m+4046﹣2026m﹣2023＝﹣4046．故答案为：﹣4046．五．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）6．（2023春•上城区期末）有学者认为，阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》关于一元二次方程的几何求解法与中国古代数学的“出入相补原理”相近，可能受到中国传统数学思想的影响．花拉子米关于x2+10x＝39的几何求解方法如图1，在边长为x的正方形的四个边上向外作边长为x和的矩形，再把它补充成一个边长为x+5的大正方形，我们得到大正方形的面积为（x+5）2＝x2+10x+25＝39+25＝64（因为x2+10x＝39）．所以大正方形边长为x+5＝8，得到x＝3．思考：当我们用这种方法寻找x2+6x＝7的解时，如图2中间小正方形的边长x为1；阴影部分每个正方形的边长为．【分析】仿照题中方法求解．【解答】解：∵x2+6x+4×（）2＝7+9＝16＝42＝（x+3）2，∴x+3＝4，∴x＝1，∴如图2中间小正方形的边长x为1；阴影部分每个正方形的边长为，故答案为：1，．六．根的判别式（共2小题）7．（2023春•上虞区期末）已知a（a＞1）是关于x的方程x2﹣bx+b﹣a＝0的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当a＝t+1时，一定有b＝t﹣1；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（）A．①②B．②③C．①③D．③④【分析】把x＝a代入方程中，变形后得到a（a﹣1）＝b（a﹣1）即可判断．【解答】解：∵a（a＞1）是关于x的方程x2﹣bx+b﹣a＝0的实数根，∴a2﹣ab+b﹣a＝0，∴a（a﹣1）＝b（a﹣1），∴b＝a，∴关于x的方程x2﹣ax＝0，当a＝t+1时，则b＝t+1，∴此方程有两个不相等的实数根，故②④错误，③④正确；故选：C．8．（2023春•舟山期末）若关于x的方程2x2﹣mx+3＝0有两个不相等的实根，则m的取值范围是．【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣m）2﹣4×2×3＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣m）2﹣4×2×3＞0，解得m＜﹣2或m＞2．故答案为：m＜﹣2或m＞2．七．根与系数的关系（共1小题）9．（2023春•钱塘区期末）已知1x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（t+1）x+t2+5＝0的两个实数根，若+＝36，则t的值是（）A．﹣7或3B．﹣7C．3D．﹣3或7【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2＝2（t+1），x1x2＝t2+5，再结合所给的条件进行求解即可．【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（t+1）x+t2+5＝0的两个实数根，∴x1+x2＝2（t+1）＝2t+2，x1x2＝t2+5，Δ＝[﹣2（t+1）]2﹣4（t2+5）≥0，解得：t≥2，∵+＝36，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝36，（2t+2）2﹣2（t2+5）＝36，解得：t＝3或t＝﹣7，故t的值只能为3．故选：C．八．动点问题的函数图象（共2小题）10．（2023春•婺城区期末）如图，在▱ABCD中（AB＜BC），∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O，动点E从点B出发，沿着B→C→D运动．设点E运动的路程为x，△BOE的面积为y，y关于x的函数图象如图所示．则AC长为（）A．5B．6C．D．【分析】根据平行四边形性质可知S△BOC＝S△COD＝S△AOB，结合y关于x的函数图象可知当动点E从点B出发到达点C时，面积最大，y＝3，即S△BOC＝S△COD＝S△AOB＝3，作DH⊥BC，垂足为H，利用S△ABC＝2S△BOC＝6，BC+AB＝10，结合30度直角三角形性质可求出AB＝4，BC＝6，进而在Rt△AHB用勾股定理即可得到AC长．【解答】解：在▱ABCD中对角线AC、BD交于点O，则S△BOC＝S△COD＝S△AOB，∵动点E从点B出发，沿着B→C→D运动．设点E运动的路程为x，△BOE的面积为y，y关于x的函数图象如图所示，∴当动点E从点B出发到达点C时，面积最大，y＝3，即S△BOC＝S△COD＝S△AOB＝3，当动点E从点B出发到达点D时，点E运动的路程为x＝10，即x＝BC+CD＝10，设在▱ABCD中，AB＝CD＝a，则BC＝10﹣a，∵∠ABC＝60°，∴∠BAH＝30°，∴BH＝a，AH＝＝a，∵S△ABC＝2S△BOC＝6，S△ABC＝BC•AH＝×，∴＝6，解得：a1＝4，a2＝6（不合题意舍去），∵AB＜BC，故AB＝4，BC＝6，∴，，HC＝BC﹣BH＝6﹣2＝4，∴在Rt△AHB中，，故选：D．11．（2023春•柯桥区期末）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，动点P由点A 出发，沿A→B→C运动，设点P的运动路程为x，△AEP的面积为y，y与x的函数关系图象如图2，则AC的长为．【分析】分析图1与图2的对应关系可以得出，AB+BC＝8，，再由AB＝BC可求得AB＝4；在直角三角形ABE中，由面积关系式与勾股定理即可得出关于AE、BE的二元二次方程组，可求解AE，即可得出AC＝2AE．【解答】解：因为菱形ABCD的各边相等且对角线互相垂直平分，∴AB＝BC，AC＝2AE，∠AEB＝90°．由图2知，点P由点A运动到点C时，x＝8，即AB+BC＝8，∵AB＝BC，∴AB＝4．由图2知，点P由点A运动到点B时，△AEP的面积最大，此时，即：．∴．即：．在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2＝42＝16，组成方程组，解得：或．当时，；当AE＝2时，AC＝2AE＝4．故AC的长为：或4．九．反比例函数的性质（共2小题）12．（2023春•婺城区期末）对于反比例函数，当y＞2时，x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜0B．x＜﹣3C．x＞﹣3D．x＜﹣3或x＞0【分析】根据反比例函数的图象与性质，由不等式与函数图象的关系，数形结合即可得到答案．【解答】解：作出反比例函数图象，如图所示：由图可知，反比例函数图象与2的交点为（﹣3，2），则当y＞2时，直线y＝2上方的图象对应的x的取值范围是﹣3＜x＜0，故选：A．13．（2023春•嵊州市期末）已知在平面直角坐标系中，反比例函数的图象在第二、四象限内，一次函数的图象经过第二、三、四象限．则满足条件的整数m为1．【分析】根据反比例函数与一次函数的性质可得，再解不等式组即可得到答案．【解答】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限内，一次函数的图象经过第二、三、四象限．∴，解得：，∴满足条件的整数m为：1；故答案为：1十．反比例函数系数k的几何意义（共2小题）14．（2023春•柯桥区期末）如图，已知正方形ABCD的面积为9．它的两个顶点B，D是反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上两点，若点D的坐标是（m，n），则m﹣n的值为（）A．3B．﹣3C．D．【分析】求出AB＝AD＝3，然后表示出点B的坐标，再根据点B，D在反比例函数图象上列式计算即可．【解答】解：∵正方形ABCD的面积为9，∴AB＝AD＝3，∵点D的坐标是（m，n），∴点B的坐标是（m+3，n﹣3），∵点B，D是反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上两点，∴mn＝（m+3）（n﹣3），∴m﹣n＝﹣3，故选：B．15．（2023春•嵊州市期末）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点P是▱ABCO对角线OB的中点，反比例函数的图象经过点A，点P．若▱ABCO的面积为30，且y轴将▱ABCO 的面积分为1：3，则k的值为．【分析】此题应该向k的几何意义上考虑，所以分别过点P、A作x轴的垂线，垂足分别为M、G，构造．可以确定D是CB的中点，进而确定E是OA的中点，最后利用S△OBF＝S△OBE+S△OEF建立k的方程求解．【解答】解：设BD与y轴交于点D，连接DP并延长交OA于点E，连接BE并延长交x轴于点F，分别过点P、A作x轴的垂线，垂足分别为M、G，∵y轴将▱ABCO的面积分为1：3，∴D是CB的中点，∵点P是▱ABCO对角线OB的中点，∴DP∥OC，∵CD∥OE，∴四边形OEDC是平行四边形，∴OE＝CD，∵CD＝DB，∴OE＝DB，∴四边形OEBD是平行四边形，∴BE∥OD，∴BF⊥x轴，∴△OPM∽△OBF，且＝，∵S△OPM＝，∴S△OBF＝2k，∵△OEF∽△OAG，且＝，∴S△OAG＝，∴S△OEF＝，∵S△OBE＝S▱ABCO＝×30＝，S△OBF＝S△OBE+S△OEF，∴2k＝+，∴k＝4．故答案为：4．十一．反比例函数图象上点的坐标特征（共7小题）16．（2023春•义乌市期末）已知点A（x1，﹣3），B（x2，﹣1），C（x3，4）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系为（）A．x2＜x1＜x3B．x1＜x2＜x3C．x3＜x2＜x1D．x3＜x1＜x2【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质，可以判断出x1，x2，x3的大小关系，本题得以解决．【解答】解：∵反比例函数的中a＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵点A（x1，﹣3），B（x2，﹣1），C（x3，4）都在反比例函数的图象上，﹣3＜﹣1＜0＜4，∴x3＜x1＜x2，故选：D．17．（2023春•舟山期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB ＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数的图象过点C 且交线段AB于点D，连接CD，OD，若，则的值为（）A．B．C．D．3【分析】过点C作CE⊥x轴于E，设A（m，0），B（m，m），且m＞0，得到，推出，再由，求出，，由此得到答案．【解答】解：过点C作CE⊥x轴于E，∵∠OAB＝90°，AO＝AB，△OAB的边OA在x轴正半轴上，∴设A（m，0），B（m，m），且m＞0，∴AO＝AB＝m，∵点C为斜边OB的中点，∴，∴，∵反比例函数的图象过点C，∴，∴，∴，∵∠OAB＝90°，点D在线段AB上，∴点D的横坐标为m，∵反比例函数的图象过点D，∴当x＝m时，，∴，∴，，，∴，∴．故选：B．18．（2023春•东阳市期末）若点A（m﹣1，y1），B（m+1，y2）在反比例函数的图象上，且y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1B．﹣|＜m＜1C．m＞1D．m＜﹣1或m＞1【分析】根据反比例函数的性质和增减性，结合点A和点B横纵坐标的大小关系，得到关于m 的二元一次方程组，解之即可．【解答】解：∵k＝3＞0，∴反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内y随着x的增大而减小，∵m﹣1＜m+1，y1＞y2，∴点A和点B的横坐标同号，∴或，解得：m＞1或m＜﹣1，故选：D．19．（2023春•拱墅区期末）已知点R1（a﹣2，b）与点P2（a+1，b﹣2）在反比例函数的图象上，（）A．若k＞0，则a＞2，0＜b＜2B．若k＞0，则a＜﹣1，b＞2C．若k＜0，则a＜2，b＞2D．若k＜0，则﹣1＜a＜2，0＜b＜2【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征研究反比例函数的性质即可判断．【解答】解：A、若k＞0，则反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限y随x 的增大而减小，∵a＞2，∴a+1＞a﹣2＞0，∴点R1（a﹣2，b）与点P2（a+1，b﹣2）在第一象限，∴b＞0，故选项A错误；B、若k＞0，则反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，∵a＜﹣1，∴a﹣2＜a+1＜0，∴点R1（a﹣2，b）与点P2（a+1，b﹣2）在第三象限，∴b＜0，故选项B错误；C、若k＜0，则反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大，∵﹣1＜a＜2，∴a﹣2＜0，∴点R1（a﹣2，b）在第二象限，∴b＞0，不合题意，故选项C错误；D、若k＜0，则反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大，∵a＜2，∴a﹣2＜0，∴点R1（a﹣2，b）在第二象限，点P2（a+1，b﹣2）在第四象限，∴，∴0＜b＜2，故选项D正确．故选：D．20．（2023春•德清县期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k＞0，k是常数）在第一象限部分的图象与矩形OABC的两边AB和BC分别交于D，F两点，将△OAD沿OD翻折得到△OED，DE的延长线恰好经过点C．若∠EOC＝45°，则的值是．【分析】设A（0，a）（a＞0），根据矩形的性质和翻折的性质可得OE＝OA＝a，∠OED＝∠OAD＝90°，根据等角对等边和勾股定理可得CE＝OE＝a，，继而得到BD＝BC＝a，，可得，根据点F在反比例函数图象上，可得点F的纵坐标，可得，再求出，即可得到的值．【解答】解：设A（0，a）（a＞0），∴OA＝a，∵四边形OABC是矩形，∴BC＝OA＝a，AB＝OC，∠OAD＝∠OCB＝90°，AB∥OC，将△OAD沿OD翻折得到△DE的延长线恰好经过点C，∴OE＝OA＝a，∠OED＝∠OAD＝90°，∴∠OEC＝90°，∵∠EOC＝45°，∴∠ECO＝90°﹣45°＝45°＝∠EOC，∴CE＝OE＝a，∴，∴，∵AB∥OC，∠OCB＝90°，∴∠BDC＝∠ECO＝45°，∠BCD＝90°﹣∠ECO＝90°﹣45°＝45°，∴∠BDC＝∠BCD＝45°，∴BD＝BC＝a，∴，∴，∵点在反比例函数图象上，∴，∴，∴反比例函数的解析式为，∵点F在反比例函数图象上，，即点F的横坐标为，∴，∴，∴，∴，即的值是．故答案为：．21．（2023春•东阳市期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，E为正方形对角线的交点，反比例函数的图象经过点C，E．若点A（4，0），则k的值是．【分析】利用中点坐标公式可得点C的横坐标为，作CH⊥y轴于H，再利用AAS证明△AOB≌△BHC，得BH＝OA＝4，OB＝CH＝，从而得出点C的坐标，即可得出答案．【解答】解：设C（m，），∵四边形ABCD是正方形，∴点E为AC的中点，∴E（，），∵点E在反比例函数y＝上，∴•＝k，∴m＝，作CH⊥y轴于H，∴CH＝，∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠OBA＝∠HCB，∵∠AOB＝∠BHC，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴BH＝OA＝4，OB＝CH＝，∴C（，），∴k＝＝，故答案为：．22．（2023春•钱塘区期末）已知点P（a，1﹣a）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，将点P 先向右平移9个单位，再向下平移6个单位后得到的点仍在该函数图象上，则k的值是．【分析】根据平移的特性写出点Q的坐标，由点P、Q均在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，即可得出k＝2n＝3（n﹣1），解得即可．【解答】解：∵点P的坐标为（a，1﹣a），∴将点P先向右平移9个单位，再向下平移6个单位得到点为（a+9，1﹣a﹣6），即（a+9，﹣5﹣a）依题意得：k＝a（1﹣a）＝（a+9）（﹣5﹣a），解得：a＝﹣3，∴k＝﹣3（1+3）＝﹣12，故答案为：﹣12．一十二．反比例函数与一次函数的交点问题（共4小题）23．（2023春•上虞区期末）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB，过点A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F，设点A的横坐标为m，若S△OAF+S四边形EFBC＝4，则m的值为（）A．1B．C．2D．4【分析】作AM⊥OD于M，BN⊥OC于N．记△AOF面积为S，则△OEF面积为2﹣S，四边形EFBC面积为4﹣S，△OBC和△OAD面积都是6﹣2S，△ADM面积为4﹣2S＝2（2﹣S），所以S△ADM＝2S△OEF，推出EF＝AM＝NB，得点B坐标（2m，）代入直线解析式即可解决问题．【解答】解：作AM⊥OD于M，BN⊥OC于N．∵一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象都是关于直线y＝x对称，∴AD＝BC，OD＝OC，DM＝AM＝BN＝CN，记△AOF面积为S，则△OEF面积为2﹣S，四边形EFBC面积为4﹣S，△OBC和△OAD面积都是6﹣2S，△ADM面积为4﹣2S＝2（2﹣S），∴S△ADM＝2S△OEF，由对称性可知AD＝BC，OD＝OC，∠ODC＝∠OCD＝45°，△AOM≌△BON，AM＝NB＝DM ＝NC，∴EF＝AM＝NB，∴EF是△OBN的中位线，∴N（2m，0），∴点B坐标（2m，）代入直线y＝﹣x+m+，∴＝﹣2m+m+，整理得到m2＝2，∵m＞0，∴m＝．故选：B．24．（2023春•嘉兴期末）如图，▱ABCD在第一象限内，点A是一次函数y＝x图象上一动点，点B，C的坐标分别是（b，1），（b+1，2），若反比例函数和的图象分别经过点A，D，则下列代数式的值为定值的是（）A．B．k2﹣k1C．k2+k1D．【分析】设点A的坐标为（a，a），根据平行四边形边的性质可表示出点D的坐标为（a+1，a+1），从而表示出k1，k2，因此可判断各选项．【解答】解：∵点A是一次函数y＝x图象上一动点，∴设点A的坐标为（a，a），∵在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，即DC可以看作由AB平移得到，∵B（b，1），C（b+1，2），∴点D的坐标为（a+1，a+1），∵反比例函数和的图象分别经过点A（a，a），D（a+1，a+1），∴，，∴A选项：，不是定值；B选项：，不是定值；C选项：，不是定值；D选项：由于k 1＞0，k2＞0，﹣是定值．故选：D．25．（2023春•滨江区期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，及函数，y2＝cx+b（a，b，c为常数，且ac≠0），则（）A．若方程ax2+bx+c＝0有解，则函数y1，y2的图象一定有交点．B．若方程ax2+bx+c＝0有解，则函数y1，y2的图象一定没有交点．C．若方程ax2+bx+c＝0无解，则函数y1，y2的图象一定有交点．D．若方程ax2+bx+c＝0无解，则函数y1，y2的图象一定没有交点．【分析】令＝cx+b，整理得cx2+bx﹣a＝0，若Δ＝b2﹣4c•（﹣a）＝b2+4ac≥0，函数y1，y2的图象有交点，若Δ＝b2﹣4c•（﹣a）＝b2+4ac＜0，没有交点．【解答】解：令＝cx+b，整理得cx2+bx﹣a＝0，若Δ＝b2﹣4c•（﹣a）＝b2+4ac≥0，函数y1，y2的图象有交点，若Δ＝b2﹣4c•（﹣a）＝b2+4ac ＜0，没有交点，若方程ax2+bx+c＝0有解，则b2﹣4ac≥0，无法判定b2+4ac的符号，故A、B不合题意；若方程ax2+bx+c＝0无解，则b2﹣4ac＜0，∴0≤b2＜4ac，∴b2+4ac＞0，∴函数y1，y2的图象一定有交点，故C符合题意，D不合题意．故选：C．26．（2023春•德清县期末）如图，一次函数y＝k1x+b（k1和b均为常数且k1＞0）与反比例函数（k2为常数且k2＜0）的图象交于A，B两点，其横坐标为1和 2.5，则关于x的不等式的解集是．【分析】根据一次函数与反比例函数交点，结合图形即可求解．【解答】解：关于x的不等式变形得，，∴当x＜0时，反比例函数图象左边一支在x轴上方，一次函数图象在x轴下方，则；∵一次函数y＝k1x+b与反比例函数的图象交于A，B两点，其横坐标为1和2.5，∴当1＜x＜2.5时，反比例函数图象右边一支在一次函数图象上方，；综上所示，关于x的不等式的解集是x＜0或1＜x＜2.5，故答案为：x＜0或1＜x＜2.5．十三．全等三角形的判定与性质（共1小题）27．（2023春•杭州期末）如图，△ABC是锐角三角形，E是BC的中点，分别以AB，AC为边向外侧作等腰三角形ABM和等腰三角形ACN．点D，F分别是底边BM，CN的中点，连接DE，EF，若∠BAM＝∠CAN＝θ（θ是锐角），则∠DEF的度数是（）A．180﹣2θB．180﹣θC．90+2θD．90+θ【分析】连接MC交AB于点L，交EF于点I，连接BN交DE于点H，交MC于点G，可证明△AMC和△ABN，得∠AMC＝∠ABN，可推导出∠BGM＝∠BAM＝θ，由三角形的中位线定理得DE∥MC，EF∥BN，则四边形EHGI是平行四边形，所以∠DEF＝∠BGC＝180°﹣θ，于是得到问题的答案．【解答】解：连接MC交AB于点L，交EF于点I，连接BN交DE于点H，交MC于点G，∵∠BAM＝∠CAN＝θ，∴∠MAC＝∠BAN＝∠BAC+θ，∴△ABM和△ACN是分别以BM、CN为底边的等腰三角形，∴AM＝AB，AC＝AN，在△AMC和△ABN中，，∴△AMC≌△ABN（SAS），∴∠AMC＝∠ABN，∴∠BGM＝∠BLM﹣∠ABN＝∠BLM﹣∠AMC＝∠BAM＝θ，∵E、D、F分别是BC、BM、CN的中点，∴DE∥MC，EF∥BN，∴HE∥GI，EI∥HG，∴四边形EHGI是平行四边形，∴∠DEF＝∠BGC＝180°﹣∠BGM＝180°﹣θ，故选：B．十四．勾股定理的证明（共1小题）28．（2023春•南浔区期末）将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFGH．现将四个直角三角形的较长直角边分别向外延长，且A′E＝ME．B′F＝NF，C′G＝PG，D′H＝HQ，得到图2所示的“新型数学风车”的四个叶片，即△A′EF，△B′FG，△C′CH．△D′HE．若FM平分∠BFE，正方形ABCD和正方形EFGH的边长比为1：5．若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，则正方形EFCH的面积是（）A．B．C．3m D．【分析】设正方形ABCD的边长为a，则正方形EFGH的边长为5a，设AE＝BF＝CG＝DH＝x，根据勾股定理得出x＝﹣4a（舍去）或x＝3a，得出BE＝4a，BF＝3a，EF＝5a，由FM平分∠BFE，得△EMF边EF上的高为BM，根据S△BMF+S△MBF＝S△BEF，得出BM＝，由A'E＝ME＝BE﹣BM＝4a﹣a，若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，得出S△EMF＝S△EF A'＝m，求出EF＝5a＝，从而得出结果．【解答】解：∵将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD 和正方形EFCH．正方形ABCD和正方形EFGH的边长比为1：5．∴设正方形ABCD的边长为a，则正方形EFGH的边长为5a，设AE＝BF＝CG＝DH＝x，在△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（x+a）2+x2＝（5a）2，x2+ax﹣12a2＝0，（x+4a）（x﹣3a）＝0，x＝﹣4a（舍去）或x＝3a，∴BE＝4a，BF＝3a，EF＝5a，∵FM平分∠BFE，∴△EMF边EF上的高为BM，则S△BMF+S△MBF＝S△BEF，即，∴，∴BM＝，∵A'E＝ME＝BE﹣BM＝4a﹣a，若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，∴S△EMF＝S△EF A'＝m，∴，∴m，∴a＝∴EF＝5a＝，∴S正方形EFCH＝＝，故选：B．十五．平行四边形的性质（共3小题）29．（2023春•滨江区期末）如图，在▱ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，连结BF；再分别以B，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，连结AG并延长交BC 于E．则以下结论：①AE平分∠BAD；②BF平分∠ABC；③BF垂直平分线段AE；④BE＝BF．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【分析】连结EF，由作图得AF＝AB，EF＝EB，可证明AE垂直平分BF，则∠BAE＝∠F AE，可判断①正确；由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠DAE＝∠BEA＝∠BAE，所以AB＝EB，则∠ABF＝∠EBF，可判断②正确；由AB＝EB，BF平分∠ABE，根据等腰三角形的“三线合一”得BF垂直平分线段AE，可判断③正确；由AF＝AB，EF＝EB，且AB＝EB，得AF＝AB＝EF＝EB，则四边形ABEF是菱形，若BE＝BF，则BE＝EF＝BF，所以∠BAD＝∠BEF＝60°，与已知条件不符，可判断④不正确，于是得到问题的答案．【解答】解：连结EF，由作图得AF＝AB，EF＝EB，∴点A、点E都在BF的垂直平分线上，∴AE垂直平分BF，∴∠BAE＝∠F AE，∴AE平分∠BAD，故①正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∵∠DAE＝∠BAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，∵BF⊥AE，∴∠ABF＝∠EBF，∴BF平分∠ABC，故②正确；∵AB＝EB，BF平分∠ABE，∴BF垂直平分线段AE，故③正确；∵AF＝AB，EF＝EB，且AB＝EB，∴AF＝AB＝EF＝EB，∴四边形ABEF是菱形，∴∠BAD＝∠BEF，若BE＝BF，则BE＝EF＝BF，∴∠BAD＝∠BEF＝60°，显然与已知条件不符，故④不正确，故选：A．30．（2023春•德清县期末）如图，E是平行四边形ABCD内一点，△BCE是正三角形，连结AE，DE，若AE⊥AD，DE⊥EC，且AE＝1，∠ADE＝30°，则AB的长是．【分析】先根据30度直角三角形的性质求得DE＝2AE＝2，，△EBC为等边三角形，得，在Rt△DEC中利用勾股定理，再结合平行四边形的性质就可得到答案．【解答】解：∵AE⊥AD，DE⊥EC，∴∠EAD＝90°，∠DEC＝90°，∵∠ADE＝30°，AE＝1，∴DE＝2AE＝2，，∵四边形ABCD为平行四边形，∴，AB＝CD，∵△EBC为等边三角形，∴，在Rt△DEC中，∵DE＝2，，∴，∴．故答案为：．31．（2023春•舟山期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD和AB上，依次连接EB，EC，FC，FD，阴影部分面积分别为S1，S2，S3，S4，已知S1＝2，S2＝17，S3＝5，则S4＝．【分析】阴影部分S2是△CDF与△CBE的公共部分，而S1，S4，S3这三块是平行四边形中没有被△CDF与△CBE盖住的部分，故△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）﹣S2＝平行四边形ABCD 的面积，而△CDF与△CBE的面积都是平行四边形ABCD面积的一半，据此求得S4的值．【解答】解：设平行四边形的面积为S，则，由图形可知，△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）﹣S2＝平行四边形ABCD的面积，∴S＝S△CBE+S△CDF+2+S4+5﹣17，即，解得S4＝10，故答案为：10．十六．平行四边形的判定与性质（共1小题）32．（2023春•嵊州市期末）如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H，其中D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，下列三个结论：①四边形BDEF是平行四边形；②△DEF≌△HFE；③S△DFH+S△HEC＝S△BDF．其中正确的结论是．（填上相应的序号即可）【分析】根据平行四边形的判定与性质，中位线定理，平行线的性质对每一项判断即可解答．【解答】解：∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，∴EF∥BC，DE∥AB，即EF∥BD，DE∥BF，∴四边形BDEF是平行四边形，故①正确；②∵AH⊥BC，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∵点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，∴，，∴DF＝HE，同理得：DE＝FH，∵FE＝EF，∴△DEF≌△HFE（SSS），故②正确；过点E作FM⊥BC，过E作EN⊥BC，∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，∴FM＝EN，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∴S△BDF＝BD•FM，S△DFH＝DH•FM，S△HEC＝HC•EN，∴S△DFH+S△HEC＝DH•FM+HC•EN＝FM•（DH+HC）＝FM•CD＝BD•FM，∴S△DFH+S△HEC＝S△BDF，故③正确；∴正确的序号是①②③；故答案为：①②③．十七．菱形的性质（共1小题）33．（2023春•钱塘区期末）如图，在菱形ABCD中，点E是边AD的中点，点F在边AB上，若AF＝2，∠A＝60°，∠BFC＝2∠DCE，则菱形的边长为．【分析】先证∠EFC＝∠DCE，再延长CE与BA的延长线于G，过点C作CH⊥AB交AB的延长线于H，在Rt△BCH中，设BH＝x，则BC＝CD＝AB＝2x，，再证△DEC和△AEG 全等，得AG＝CD＝2x GF＝CF＝AG+2＝2x+2，FH＝3x﹣2，然后在Rt△FCH中由勾股定理列出关于x的方程，解方程求出x即可得出菱形的边长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，CD∥AB，BC∥AD，∴∠FCD＝∠BFC，∵∠BFC＝2∠DCE，∴∠FCD＝2∠DCE，即：∠DCE+∠EFC＝2∠DCE，∴∠EFC＝∠DCE，延长CE与BA的延长线于G，过点C作CH⊥AB交AB的延长线于H，如图所示：∵BC∥AD，∠A＝60°，∴∠CBH＝60°，∴∠BCH＝30°，设BH＝x，则BC＝CD＝AB＝2x，由勾股定理得：，∵CD∥AB，∴∠G＝∠DCE＝∠EFC，∴CF＝GF，∵点E为AD的中点，∴AE＝DE，在△DEC和△AEG中，，∴△DEC≌△AEG（AAS），∴AG＝CD＝2x，∵AF＝2，∴GF＝CF＝AG+2＝2x+2，∴FH＝AB+BH﹣AF＝3x﹣2，在Rt△FCH中，FH＝3x﹣2，，CF＝2x+2，由勾股定理得：CF2＝FH2+CH2，即（2x+2）2＝（3x﹣2）2+（√3x）2，解得：x＝2.5，∴BC＝2x＝5．即菱形的边长为5．故答案为：5．十八．矩形的性质（共1小题）34．（2023春•西湖区期末）如图，在矩形ABCD中，AE＝CF＝1，连接EF，BF，EF与对角线AC 交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，有下列三个结论：①OE＝OF；②BF⊥AC；③AB＝3．其中，正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等得出∠BAC＝∠FCO，然后利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，即可证明OE＝OF；连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质得到直角三角形，利用直角三角形斜边中线的性质即可证明OA＝OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC＝∠ABO；在Rt△BEO中利用三角形的内角和定理，结合已知即可得到∠BAC＝30°，根据线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定和性质定理即可求出AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠FCO．在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，故①正确；如图，连接OB．∵BE＝BF，OE＝OF，∴BO⊥EF，在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO＝90°．∵△AOE≌△COF，∴OA＝OC．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴OA＝OB＝OC，∴∠BAC＝∠ABO．∵∠BEF＝2∠BAC，即2∠BAC+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠AOE＝30°，∴AE＝OE＝OF＝CF＝1，∵OF＝CF，OB＝BC，∴BF⊥OC，故②正确；∵∠BEF＝2∠BAC＝60°，BE＝BF，∴△BEF是等边三角形，∴BE＝EF＝2，∴AB＝AE+BE＝3，故③正确，故选：D．十九．矩形的判定与性质（共1小题）35．（2023春•嵊州市期末）将一张矩形纸片（不是正方形），先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形，剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝∠C＝90°，∠B＝45°，BC＝6，AD＝4，则这张矩形纸片的较长边不可能是（）A．6B．C．D．8【分析】分三种情况画出图形，求出最长的直角边即可．【解答】解：分三种情况讨论：①延长AD，DC，过点B作FB⊥AB，交DC的延长线于点F，过点F作EF⊥BF交AD的延长线于点E，如图所示：∵∠A＝90°，∴AB⊥AD，∴AB∥EF，AE∥BF，∴四边形ABFE为平行四边形，∵∠A＝90°，∴四边形ABFE为矩形，∵∠ABF＝90°，∠ABC＝45°，∠E＝90°，．∴∠CBF＝90°﹣45°＝45°，∴∠BCF＝90°﹣45°＝45°，∵∠BFC＝90°，∴△BCF为等腰直角三角形，∴BF＝，∴AE＝BF＝，∴DE＝，∵∠A＝∠C＝90°，∠B＝45°，∴∠EDF＝45°，∴∠EDF＝∠EFD，∴FE＝DE＝6﹣4，∵6﹣4＜，此时较长的边为6；②延长CD，过点B作FB⊥BC，过点A作EF∥BC交CD延长线于点E，交BC的垂线于点F，如图所示：∵∠BCD＝90°，∴EC⊥BC，∴CE∥BF，∴四边形BCEF为平行四边形，∵∠BCD＝90°，∴四边形BCEF为矩形，∴EF＝BC＝6，∵∠ADE＝45°，∴△ADE为等腰直角三角形，∴AE＝，∴AF＝EF﹣AE＝6﹣2，∵∠ABF＝90°﹣45°＝45∴△ABF为等腰直角三角形，∴AF＝BF＝6﹣2，∵6＞6﹣2，∴此时较长的边为6；③延长DA，CD，过点B作BE⊥BC，交DA的延长线于点E，过点E作EF∥BC，交CD的延长线于点F，如图所示：∵FC⊥BC，BE⊥BC，∴CF∥EB，∵EF∥BC，∴四边形BCFE为平行四边形，∵∠C＝90°，∴四边形BCFE为矩形，∴∠F＝90°，EF＝BC＝6，∵∠ADF＝180°﹣135°＝45°．∴△DEF为等腰三角形，∴DE＝EF＝6，∴AE＝DE﹣AD＝6﹣4，∵∠BAE＝180°﹣90°＝90°，∠ABE＝90°﹣45°＝45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE＝AE＝（6﹣4）＝12﹣4，∵12﹣4＞6，此时较长的边为12﹣4，综上分析可知，矩形纸片（不是正方形）时，较长的边为6或6或12﹣4，不可能为8，∴D正确，故选：D．二十．正方形的性质（共10小题）36．（2023春•德清县期末）如图，将两个等腰直角三角形（△AEF和△CEF）拼接在正方形ABCD内部，其中∠AEF＝∠EFC＝90°，下列结论：①四边形AECF是平行四边形；②△ABF是直角三角形；③若AB＝，则AF＝2．其中正确结论的编号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】根据等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定方法可判定结论①；如图所示，将△ABF 绕点A逆时针旋转90°得△ADF′，连接EF′，ED，可证△ABF≌△CDE（SAS），可得△DEF′是等腰直角三角形，再证△AFF′是等腰直角三角形，由此可得∠AFF′+∠DF′E＝45°+45°＝90°，由此可判定结论②；根据结论②正确，可得△AEF，△AEF′都是等腰直角三角形，设BF＝DE＝DF′＝x（x＞0），则，在等腰直角△AEF中，，在Rt△ABF 中，根据勾股定理可解出x的值，由此即可判定结论③；由此即可求解．【解答】解：结论①：四边形AECF是平行四边形，∵△AEF，△CEF都是等腰直角三角形，∠AEF＝∠EFC＝90°，∴AE＝EF，EF＝FC，AE∥CF，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，故结论①正确；结论②：△ABF是直角三角形，如图所示，将△ABF绕点A逆时针旋转90°得△ADF′，连接EF′，ED，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∵△AEF是等腰直角三角形，∴∠EAF＝∠EF A＝45°，∴∠BAF+∠EAD＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，∵将△ABF绕点A逆时针旋转90°得△ADF′，∴点B与点D重合，∴∠F′AD＝∠F AB，∴∠F′AD+∠DAE＝∠F AB+∠EAD＝45°，即∠F′AE＝∠F AE＝45°，在△AEF，△AEF′中，，△AEF≌△AEF′（SAS），∴∠AF′E＝∠AFE＝45°，∵∠EAF+∠EAF′＝45°+45°＝90°，且AF＝AF′，∴△AFF′是等腰直角三角形，即点F，E，F′在△AFF′的斜边上，即点F，E，F′三点共线，∵△AEF，△CEF都是等腰直角三角形，∠AEF＝∠EFC＝90°，∴∠EAF＝∠EF A＝∠FEC＝∠FCE＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∴∠AEC＝∠ACF+∠FEC＝45°+90°＝135°，在四边形AECB中，∠ABC+∠BCE+∠AEC+∠BAE＝360°，∴90°+∠BCF+45°+135°+∠BAF+45°＝360°，∴∠BCF+∠BAF＝45°，∵∠BCF+∠FCE+∠DCE＝90°，∠FCE＝45°，∴∠BCF+∠DCE＝45°，∴∠BAF＝∠DCE，由结论①正确可知，四边形AECF是平行四边形，∴AF＝CE，在△ABF，△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴BF＝DE，∵将△ABF绕点A逆时针旋转90°得△ADF′，∴△ABF≌△ADF′，∴BF＝DF′，∠ABF＝∠ADF′，∴DE＝DF′，∠ADF′＝∠CDE，∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠ADE+∠ADF′＝90°，且DE＝DF′，∴△DEF′是等腰直角三角形，∴∠DEF′＝∠DF′E＝45°，∵∠EAF＝45°，∴∠BAF+∠EAD＝45°，∴∠F AF′＝∠F AE+（∠F AD+∠DAF′）＝45°+45°＝90°，且AF＝AF′，∴△AFF′是等腰直角三角形，∴∠AFF′＝∠AF′F＝45°，∴∠AFF′+∠DF′E＝45°+45°＝90°，∴∠AF′D＝90°，∴∠AFB＝∠AF′D＝90°，∴△ABF是直角三角形，故结论②正确；结论③：若，则，。
专题13 压轴题训练四-2020-2021学年八年级数学下学期期末考试压轴题专练(浙教版)(解析版)
2021年八下期末考试金牌压轴题训练（四）一、单选题1．已知226a b ab +=，且a>b>0，则a b a b+-的值为( )A ．B ．C ．2D ．±2 【答案】A【解析】 【分析】已知a 2+b 2=6ab ，变形可得（a+b ）2=8ab ，（a -b ）2=4ab ，可以得出（a+b ）和（a -b ）的值，即可得出答案．【详解】∵a 2+b 2=6ab ，∵（a+b ）2=8ab ，（a -b ）2=4ab ，∵a ＞b ＞0，a -∵a ba b +-= 故选A.【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意a 、b 的大小关系以及本身的正负关系．2．若实数a ，b 满足21202a ab b -++=，则a 的取值范围是 （ ）． A ．a ≤2-B ．a ≥4C ．a ≤2-或 a ≥4D ．2-≤a ≤4【分析】把12a−ab+b2+2＝0看作是关于b的一元二次方程，由∵≥0，得关于a的不等式，解不等式即可．【详解】把12a−ab+b2+2＝0看作是关于b的一元二次方程，因为b是实数，所以关于b的一元二次方程b2−ab+12a+2＝0的判别式∵≥0，即a2-4（12a+2）≥0，a2-2a-8≥0，（a-4）（a+2）≥0，解得a≤-2或a≥4．故选C．3．如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC=45°，DE∠BC于E，BF∠CD于F，DE，BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论:∠BD ；∠∠A=∠BHE；∠AB=BH；∠∠BCF∠∠DCE，其中正确的结论是()A．∠∠∠B．∠∠∠C．∠∠∠D．∠∠∠∠【答案】A【分析】先判断∵DBE是等腰直角三角形，根据勾股定理可推导得出，故∵正确；根∵BEH∵∵DEC ，从而可得BH=CD ，再由AB=CD ，可得∵正确；利用已知条件不能得到∵，据此即可得到选项.【详解】解：∵∵DBC=45°，DE∵BC 于E ，∵在Rt∵DBE 中，BE 2+DE 2=BD 2，BE=DE ，，故∵正确；∵DE∵BC ，BF∵DC ，∵∵BHE 和∵C 都是∵HBE 的余角，∵∵BHE=∵C ，又∵在∵ABCD 中，∵A=∵C ，∵∵A=∵BHE ，故∵正确；在∵BEH 和∵DEC 中，BHE C HEB CED BE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵BEH∵∵DEC ，∵BH=CD ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∵AB=CD ，∵AB=BH ，故∵正确；利用已知条件不能得到∵BCF∵∵DCE ，故∵错误，【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.4．如图，∠ABC 的周长为19，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC=7，则MN 的长度为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】C【分析】证明∵BNA∵∵BNE ，得到BA=BE ，即∵BAE 是等腰三角形，同理∵CAD 是等腰三角形，根据题意求出DE ，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵BN 平分∵ABC ，BN∵AE ，∵∵NBA=∵NBE ，∵BNA=∵BNE ，在∵BNA 和∵BNE 中，ABN EBN BN BNANB ENB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∵∵BNA∵∵BNE ，∵BA=BE，∵∵BAE是等腰三角形，同理∵CAD是等腰三角形，∵点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），∵MN是∵ADE的中位线，∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12，∵DE=BE+CD-BC=5，∵MN=12DE=52．故选C．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．5．如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（）A．B．C．9D．【答案】A解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P′，∵四边形ABCD是正方形，∵点B与D关于AC对称，∵P′D=P′B，∵P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．∵直角∵CBE中，∵BCE=90°，BC=9，CE=13CD=3，∵BE=A．点睛：此题考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，正方形的性质，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键．6．如图，已知∠ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF＝4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．3B．4C．6D．8【答案】D【分析】连接EC，过A作AM∵BC交FE的延长线于M，求出平行四边形ACFM，根据等底等高的三角形面积相等得出∵BDE的面积和∵CDE的面积相等，∵ADE的面积和∵AME 的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，求出CF×h CF【详解】连接DE、EC，过A作AM∵BC交FE的延长线于M，∵四边形CDEF是平行四边形，∵DE∵CF，EF∵CD，∵AM∵DE∵CF，AC∵FM，∵四边形ACFM是平行四边形，∵∵BDE边DE上的高和∵CDE的边DE上的高相同，∵∵BDE的面积和∵CDE的面积相等，同理∵ADE的面积和∵AME的面积相等，即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是12×CF×h CF，∵∵ABC的面积是24，BC＝3CF∵12BC×h BC＝12×3CF×h CF＝24，∵CF×h CF＝16，∵阴影部分的面积是12×16＝8，故选：D．此题考查平行四边形的判定及性质，同底等高三角形面积的关系，解题中注意阴影部分面积的求法，根据图形的特点选择正确的求法是解题的关键.7．如图，A B 、是函数12y x=上两点，P 为一动点，作//PB y 轴，//PA x 轴，下列说法正确的是( )∠AOP BOP ∆≅∆；∠AOP BOP S S ∆∆=；∠若OA OB =，则OP 平分AOB ∠；∠若4BOP S ∆=，则16ABP S ∆=A ．∠∠B ．∠∠C ．∠∠D ．∠∠ 【答案】B【详解】【分析】∵显然AO 与BO 不一定相等，由此可判断∵错误；∵延长BP ，交x 轴于点E ，延长AP ，交y 轴于点F ，根据矩形的性质以及反比例函数的性质判断∵正确；∵过P 作PM∵BO ，垂足为M ，过P 作PN∵AO ，垂足为N ，由已知可推导得出PM=PN ，继而可判断∵正确；∵设P （a ，b ），则B （a ，12a）、A （12b ，b ），根据S ∵BOP =4，可得ab=4，继而可判断∵错误.【详解】∵显然AO 与BO 不一定相等，故∵AOP 与∵BOP 不一定全等，故∵错误；∵延长BP ，交x 轴于点E ，延长AP ，交y 轴于点F ，∵AP//x 轴，BP//y 轴，∵四边形OEPF 是矩形，S ∵EOP =S ∵FOP ，∵S∵BOE=S∵AOF=12k=6，∵S∵AOP=S∵BOP，故∵正确；∵过P作PM∵BO，垂足为M，过P作PN∵AO，垂足为N，∵S∵AOP=12OA•PN，S∵BOP=12BO•PM，S∵AOP=S∵BOP，AO=BO，∵PM=PN，∵PO平分∵AOB，即OP为∵AOB的平分线，故∵正确；∵设P（a，b），则B（a，12a）、A（12b，b），S∵BOP=12BP•EO=112·2b aa⎛⎫⨯-⎪⎝⎭=4，∵ab=4，S∵ABP=12AP•BP=11212·2b aa b⎛⎫⎛⎫⨯--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=8，故∵错误，综上，正确的为∵∵，故选B.【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正确添加辅助线、熟知反比例函数k的几何意义是解题的关键.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题8．方程22(2)(3)20mm x m x --+--=是一元二次方程，则m=_____． 【答案】-2【解析】试题分析：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，未知数的次数为2，可得22022m m -≠⎧⎨-=⎩，可求得m=-2. 故答案为-2点睛：本题考查了一元二次方程的定义，属于基础题，注意掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键．9．若关于 x 的方程 ()()2240x x x m --+= 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是________.【答案】3＜m ≤4【分析】 根据原方程可知x -2=0，和x 2-4x+m=0，因为关于x 的方程（x -2）（x 2-4x+m ）=0有三个根，所以x 2-4x+m=0的根的判别式∵＞0，然后再由三角形的三边关系来确定m 的取值范围【详解】解：∵关于x 的方程（x -2）（x 2-4x+m ）=0有三个根，∵∵x-2=0，解得x1=2；∵x2-4x+m=0，∵∵=16-4m≥0，即m≤4，∵x2x3=2又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，且最长边为x2，∵x1+x3＞x2；解得3＜m≤4，∵m的取值范围是3＜m≤4．故答案为3＜m≤410．如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE∠BC于点E,PF∠CD于点F,连接EF，给出下列五个结论:∠AP=EF；∠AP∠EF；∠∠APD一定是等腰三角形；∠∠PFE=∠BAP；，其中正确结论的序号是______.【答案】∵∵∵∵．【分析】过P作PG∵AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明∵AGP∵∵FPE后即可证明∵AP=EF；∵∵PFE=∵BAP；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt∵DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得．【详解】证明：过P作PG∵AB于点G，∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，∵GP=EP，在∵GPB中，∵GBP=45°，∵∵GPB=45°，∵GB=GP，同理，得PE=BE，∵AB=BC=GF，∵AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，∵AG=PF，∵∵AGP∵∵FPE，∵AP=EF，故∵正确；延长AP到EF上于一点H，∵∵PAG=∵PFH ，∵∵APG=∵FPH ，∵∵PHF=∵PGA=90°，即AP∵EF ，故∵正确；∵∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上任意一点，∵ADP=45度，∵当∵PAD=45度或67.5度或90度时，∵APD 是等腰三角形，除此之外，∵APD 不是等腰三角形，故∵错误．∵∵PFE=∵BAP ，故∵正确；∵GF∵BC ，∵∵DPF=∵DBC ，又∵∵DPF=∵DBC=45°，∵∵PDF=∵DPF=45°，∵PF=DF=EC ，∵在Rt∵DPF 中，DP 2=DF 2+PF 2=EC 2+EC 2=2EC 2，，故∵正确．∵其中正确结论的序号是∵∵∵∵．【点睛】本题考查了正方形的性质，即在正方形中，对角线平分对角；正方形四条边都相等，四个角都是直角．11．如图，正方形ABCD 中，AB 6=，点E 在边CD 上，且CD 3DE =，将ADE 沿AE 对折至AFE.延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF.下列结论：ABG ①∠AFG ；BG GC ②=；AG //CF ③；GCF ④是等边三角形，其中正确结论有______．【答案】①②③【解析】【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证ABG ∵AFG ；在直角ECG 中，根据勾股定理可证BG GC =；通过证明AGB AGF GFC GCF ∠∠∠∠===，由平行线的判定可得AG //CF ；由于BG CG =，得到tan AGB 2∠=，求得AGB 60∠≠，根据平行线的性质得到FCG AGB 60∠∠=≠，求得GCF 不是等边三角形；【详解】四边形ABCD 是正方形，将ADE 沿AE 对折至AFE ，AB AD AF ∴==，在ABG 与AFG 中，90AB AF B AFG AG AG =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩， ABG ∵AFG ；故①正确，1EF DE CD 23===， 设BG FG x ==，则CG 6x =-，在直角ECG 中，根据勾股定理，得222(6x)4(x 2)-+=+，解得x 3=，BG 363GC ∴==-=；故②正确，CG BG GF ==， FGC ∴是等腰三角形，GFC GCF ∠∠=，又AGB AGF ∠∠=，AGB AGF 180FGC GFC GCF ∠∠∠∠∠+=-=+， AGB AGF GFC GCF ∠∠∠∠∴===，AG //CF ∴；故③正确，BG CG =，1BG AB 2∴=， tan AGB 2∠∴=，AGB 60∠∴≠，AG //CF ，FCG AGB 60∠∠∴=≠，GCF ∴不是等边三角形；故④错误．综上所述：正确结论有①②③，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想应用．12．如图，已知点A 是双曲线3y x=在第一象限上的一动点，连接AO ，以OA 为一边作等腰直角三角形AOB （90AOB ∠=︒），点B 在第四象限，随着点A 的运动，点B 的位置也不断的变化，但始终在某个函数图像上运动，则这个函数表达式为______．【答案】3y x=-． 【分析】 设点B 所在的反比例函数解析式为()0k y k x=≠，分别过点A 、B 作AD∵x 轴于 D ，BE∵x 轴于点E ，由全等三角形的判定定理可知∵AOD ≌∵OBE （ASA ），故可得出OE BE AD OD ⋅=-⋅，即可求得k 的值．【详解】解：设点B 所在的反比例函数解析式为()0k y k x=≠，分别过点A 、B 作AD∵x 轴于 D ，BE∵x 轴于点E ，如图：∵∵AOE+∵DOB=90°，∵AOE+∵OAD=90°，∵∵OAD=∵BOE ，同理可得∵AOD=∵OBE ，在∵AOD 和∵OBE 中，OAD BOE OA OBAOD OBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∵∵AOD ≌∵OBE （ASA ），∵点B 在第四象限，∵OE BE AD OD ⋅=-⋅，即3k x x x x ⋅=-⋅， 解得3k =-，∵反比例函数的解析式为：3y x=-． 故答案为3y x=-． 【点睛】 本题考查动点问题，难度较大，是中考的常考知识点，正确作出辅助线，证明两个三角形全等是解题的关键．13．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OBCD 的边OB 在x 轴正半轴上，反比例函数y=k x(x>0)的图象经过该平行四边形对角线的交点A ，且与边BC 交于点F.若点D 的坐标为(6，8)且OD=DC ，则点F 的坐标是________.【答案】(12, 8 3 )【分析】过点D作DM∵x轴于点M,过点F作FE∵x于点E，先用勾股定理求出OD，再根据条件判定四边形OBCD是菱形，求出对角线交点A的坐标，即可得到反比例函数解析式，再求出直线BC解析式，设出F点坐标，根据F点在反比例函数图像上，可建立方程求解.【详解】如图，过点D作DM∵x轴于点M,过点F作FE∵x于点E,∵点D的坐标为(6,8)，，∵平行四边形OBCD中OD=DC，∵四边形OBCD是菱形，∵OB=OD=10，∵点B的坐标为(10,0)，∵点A为菱形OBCD对角线的交点，∵点A是BD的中点，坐标为(8,4)，∵点A在反比例函数y=kx上，∵k=xy=8×4=32，∵反比例函数解析式为y=32x∵OD∵BC ，OD 直线的斜率43k =∵设BC 直线解析式为43=+y x b ，将B (10,0)代入解析式得 410=03⨯+b ，解得40=3-b ， ∵BC 直线解析式为44033y x =- 点F 在BC 上，设F 点坐标为（440,33-a a ） ∵点F 在反比例函数32y x=上， ∵440=3233⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭a a ， 即210240--=a a ，解得：1=12a ，2=2a - (舍去)，当=12a 时，4408=333-a ∵点F 的坐标为：(12,83). 故答案为：(12,83) 【点睛】本题考查反比例函数、一次函数与几何综合问题，以及解一元二次方程，熟练掌握菱形的判定与性质，求出反比例函数解析式，利用F点的坐标建立方程求解是解题的关键.三、解答题14．第五届中国机器人峰会将于5月9日在余姚开幕，某公司购买一种T恤衫参加此次峰会．了解到某商店正好有这种T恤衫的促销，当购买10件时每件140元，购买数量每增加1件单价减少1元；当购买数量为60件(含60件)以上时，一律每件80元．(1)如果购买x件(10＜x＜60)，每件的单价为y元，请写出y关于x的函数关系式；(2)如果该公司共购买了100件T恤衫，由于某种原因需分两批购买，且第一批购买量多于30件且少于60件．已知购买两批T恤衫一共花了9200元，求第一批T恤衫的购买数量．【答案】（1）y＝150－x；（2）40件【分析】（1）若购买x件（10＜x＜60），每件的单价=140-（购买数量-10），依此可得y关于x 的函数关系式；（2）设第一批购买x件，则第二批购买（100-x）件，分两种情况：∵当30＜x≤40时，则60≤100-x＜100；∵当40＜x＜60时，则40＜100-x＜60；根据购买两批T恤衫一共花了9200元列出方程求解即可．【详解】(1)购买x件(10＜x＜60)时，y＝140－(x－10)＝150－x．故y关于x的函数关系式是y＝150－x；(2)设第一批购买x件，则第二批购买(100－x)件.∵当30＜x≤40时，则60≤100－x＜100，则x(150－x)＋80(100－x)＝9200，解得1x ＝30(舍去)，2x ＝40；∵当40＜x ＜60时，则40＜100－x ＜60，则x (150－x )+(100-x ) [150-(100-x )]＝9200，解得x ＝30或x =70,但40＜x ＜60，所以无解；答：第一批购买数量为40件．点睛：此题主要考查了一元二次方程的应用，根据实际问题列一次函数关系式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．15．如图，在∠ABC 中，点O 是边AC 上一个动点（不与点A 、C 重合），过点O 作直线MN∠BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． （1）探究OE 与OF 的数量关系并加以证明；（2）当点O 在边AC 上运动到什么位置，四边形AECF 是矩形，请说明理由；（3）在第（2）问的基础上，∠ABC 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？（不需说明理由）（4）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 能成为菱形吗？若能，请加以证明；若不能，则说明理由．【答案】（1）OE=OF ，见解析；（2）O 运动到AC 中点，见解析；（3）∵ACB=90°，见解析；（4）不能；【解析】（1）OE=OFO运动到AC中点∵ACB=90°不能【点睛】（1）由角平分线和平行线的性质可得∵COF和∵COE都是等腰三角形，从而得EO=CO=FO；（2）根据对角线相等的平分的四边形是矩形进行证明；（3）可用倒推法，四边形AECF是正方形则AC∵EF,再由两直线平行内错角相等可得∵ACB=90°;（4）利用反证法证明即可；16．图，反比例函数kyx=的图象经过点A(1，4)，直线y=2x+b（b≠0）与双曲线kyx=在第一、三象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点．（1）求k的值；（2）当b=-3时，求∠OCD的面积；（3）连接OQ，是否存在实数b，使得S∠ODQ=S∠OCD？若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）k=4；（2）S△OCD=94；（3）存在，b的值为﹣2．【分析】（1）根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得4k=；（2）当3b =-时，直线解析式为23y x =-，则利用坐标轴上点的坐标特征可求出3,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0.3D -，然后根据三角形面积公式求解； （3）先表示出,02b C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据三角形面积公式，由于ODQ OCD S S =，所以点Q 和点C 到OD 的距离相等，则Q 的横坐标为2b ，利用直线解析式可得到,22b Q b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据反比例函数的图象上点的坐标特征得到242b b ⋅=，然后解方程即可得到满足条件的b 的值.【详解】（1）∵反比例函数y =k x 的图象经过点A （1，4）， ∵k =1×4=4；（2）当b =﹣3时，直线解析式为y =2x ﹣3，∵C （32，0），D （0，﹣3）， ∵S △OCD =1393224⨯⨯=； （3）存在．在直线y =2x +b 上，当y =0时，2x +b =0，解得x =2b -，则C （2b -，0）. ∵S △ODQ =S △OCD ，∵点Q 和点C 到OD 的距离相等.∵点Q 在第三象限，∵点Q 的横坐标为2b . 当x =2b 时，y =2x +b =2b ，则Q （2b ，2b ）. ∵点Q 在反比例函数y =4x 的图象上， ∵2b •2b =4，解得b =﹣2或b =2（舍去）， ∵b 的值为﹣2．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点，也考查了反比例函数图像上点的坐标特征和三角形面积公式.。
专题06 一元二次方程解答题压轴训练-2020-2021学年八年级数学下学期期末考试压轴题专练(浙教
专题06 一元二次方程解答题压轴训练一、解答题1．（2019·浙江八年级期末）某商场销售一批名牌运动衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，并且尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件运动衫售价每降价1元，商场平均每天可多售出2件，设每件运动衫降价x 元．（1）填空：降价后的每件运动衫盈利为________元，平均每天可售出________件（请用含x 的代数式表示）；（2）若商场每天要盈利1200元，则每件运动衫应降价多少元？2．（2021·浙江八年级月考）已知：方程22210x kx k -+-=是关于x 的一元二次方程． （1）判断此方程根的情况，并说明理由；（2）若a ，b ，c ，ABC 的三边，5c =，且a ，b 是一元二次方程22210x kx k -+-=的两根．k 何值时，ABC 是等腰三角形，并写出等腰三角形的底边．3．（2021·杭州市建兰中学八年级期中）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的橱栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设选栏BC长为x米．（1）AB＝米（用含x的代数式表示）；（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求橱栏BC的长；（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由．4．（2020·宁波外国语学校八年级期末）象山红美人柑橘是我省农科院研制的优质品种，宁波市某种植基地2017年种植“象山红美人”100亩，到2019年“象山红美人”的种植面积达到196亩．（1）求该基地这两年“象山红美人”种植面积的平均增长率；（2）市场调查发现，当“象山红美人”的售价为45元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已知该基地“象山红美人”的平均成本价为33元/千克，若使销售“象山红美人”每天获利3150元，则售价应降低多少元？5．（2020·义乌市荷叶塘初级中学八年级月考）等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P 沿射线AB 运动，Q 沿边BC 的延长线运动，PQ 与直线AC 相交于点D ．设P 点运动时间为t ，△PCQ 的面积为S ．（1）求出S 关于t 的函数关系式；（2）当点P 运动几秒时，S △PCQ =S △ABC ？（3）作PE△AC 于点E ，当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度是否改变？证明你的结论．6．（2020·浙江杭州市·）设m 是不小于1-的实数，关于x 的方程()2222330x m x m m +-+-+=有两个不相等的实数根后12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 值；（2）令121211mx mx T x x =+--，求T 的取值范围．7．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）新定义：如果一个角形的三条边长为a ，b ，c ，假设其大小关系为a b c ≤≤，同时满足2222a c b +=，我们就称这样的三角形为奇异三角形，例如等边三角形就是一个奇异三角形．（1）判断边长分别为2，4的三角形是否为奇异三角形，并说明用理由；（2）如图1，Rt ABC 为奇异三角形，90C ∠=︒，3AB =，且BC AC <，求AC 的长；（3）如图2，在奇异三角形ABC 中，BC AC AB <<，2AC =，点D 是AC 边上的中点，连结BD ，BD 将ABC 分割成2个三角形，其中ADB △是奇异三角形，BCD △是以CD 为底的等腰三角形，求AB 的长．8．（2019·浙江八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，点A 在第一象限，点C 在第四象限，点B 在x 轴的正半轴上.90OAB ∠=︒且OA AB =，OB ，OC 的长分别是一元二次方程211300x x -+=的两个根（OB OC >）.（1）求点A 和点B 的坐标.（2）点P 是线段OB 上的一个动点（点P 不与点O ，B 重合），过点P 的直线l 与y 轴平行，直线l 交边OA 或边AB 于点Q ，交边OC 或边BC 于点R ，设点P 的横坐标为t ，线段QR 的长度为m .已知4t =时，直线l 恰好过点C ，当03t <<时，求m 关于t 的函数关系式.（3）当 3.5m =时，请直接写出点P 的坐标.9．（2019·浙江金华市·八年级期中）如图1，已知平行四边形ABCD ，BC △x 轴，BC ＝6，点A 的坐标为（1，4），点B 的坐标为（﹣3，﹣4），点C 在第四象限，点P 是平行四边形ABCD 边上的一个动点．（1）若点P 在边CD 上，BC ＝CP ，求点P 的坐标；（2）如图2，若点P 在边AB ，AD 上，点P 关于坐标轴对称的点Q 落在直线y ＝﹣x +1上，求点P 的坐标；（3）若点P 在边AB ，AD ，BC 上，点E 是AB 与y 轴的交点，如图3，过点P 作y 轴的平行线PF ，过点E 作x 轴的平行线E ，它们相交于点F ，将△PEF 沿直线PE 翻折，当点F 的对应点落在坐标轴上时，求点P 的坐标．（直接写出答案）10．（2019·浙江八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，点A 在第一象限，点C 在第四象限，点B 在x 轴的正半轴上．△OAB =90°且OA =AB ，OB ，OC 的长分别是一元二次方程211300x x -+=的两个根（OB ＞OC ）．（1）求点A 和点B 的坐标．（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=4时，直线l恰好过点C．当0＜t＜3时，求m关于t的函数关系式．（3）当m=3.5时，请直接写出点P的坐标．。