黄金分割同步练习及答案 (11)
黄金分割同步练习
（典型题汇总）
所谓黄金分割，就是把一条线段（AB）分成两条线段，使其中较长的线段（AC）是较短线段（BC）和整个线段（AB）的比例中项（如图1所示）。
图1
下面介绍它的若干求法，供同学们学习时参考。
1. 黄金分割点的代数求法
已知：线段AB
求作：线段AB的黄金分割点C。
分析：设C点为所求作的黄金分割点，则
即
解这个方程，得
所以C点可作。
注意：方程的解法是初三的数学内容。
2. 黄金分割点的几何求法
已知：线段AB
求作：线段AB的黄金分割点C。
作法：如图2所示，
（1）过B点作BD⊥AB，使；
（2）连结AD，在AD上截取DE=BD；
（3）在AB上截取AC=AE。
图2
则点C就是所求的黄金分割点。
证明：
∴C点是线段AB的黄金分割点。
3. 黄金分割点的近似求法
已知：线段AB
求作：线段AB的黄金分割点。
分析：若不限于尺规作图，用量角器可以作以线段AB为一腰，顶角A=36°的等腰三角形ABC，如图3所示，然后作ACB的平分线CD交AB于点D。
图3
则点D 就是线段AB 的黄金分割点。
证明：在△ABC 中 ∵AB=AC ，
A=36°
由于作顶角为36°的等腰三角形的底角平分线后，仍可得到另一个顶角为36°的等腰三角形，周而复始，永无止境，所以这类等腰三角形也被称为“黄金三角形”。
类似地，如果在宽与长之比为0.618：1的长方形内，作以长方形的宽为边长的正方形，仍可得到另一个宽与长之比为0.618：1的长方形，所以这类长方形也称为“黄金矩形”。
黄金分割同步练习
（典型题汇总）
一、选择题:
1.如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果
AC BC
AB AC
=
,那么下列说法错误的是( ) A.线段AB 被点C 黄金分割; B.点C 叫做线段AB 的黄金分割点
C.AB 与AC 的比叫做黄金比;
D.AC 与AB 的比叫做黄金比
2.如图的五角星中,
AC AB 与BC
AC 的关系是( ) A.相等; B.AC AB >BC AC ; C.AC AB <BC
AC
; D.不能确定
3.一条线段的黄金分割点有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个
4.黄金分割比是( )
D.0.618 C
B
A
C B
A C B
A
5.如图,点C 是AB 的黄金分割点,那么
AC AB 与AC
BC
的值分别是( ) A.
,
B.
,
; C.
,
; D.
6.如图,若点C 是AB 的黄金分割点
,AB=2,则AC= ( )
11 二、填空题:
1.点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果_________,那么称线段AB 被点C•黄金分割,点C 叫做线段AB 的________,AC 与AB 的比叫做_________.
2.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=1,则AC=_______,BC=______.
3.已知点C 是AB 的黄金分割点,
即AC AB =12,那么AC
CB
=________.
4.如图,点C 是AB 的黄金分割点,AB=4,则AC 2
=________.
5.宽与长的比等于________的矩形叫做黄金矩形.
6.已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________. 三、计算题:
1.已知线段AB 长6厘米,点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,求AP 和BP 的长.
2.仿照课本上“做一做”的方法,画出线段AB 的黄金分割点.
B
A
3.请你在实际生活中搜集一个与黄金分割有关的资料,并与同伴相互交流. 四、已知一个等腰三角形如果腰与底边的比是黄金比,•那么这样的等腰三角形称为黄金三角形.请你设法作出一个黄金三角形.
五、已知线段AB=1,C 为AB 的黄金分割点,且AC>BC,求AC-BC 的值.
六、如图的五角星中,AD=BC,且C 、D 两点都是AB 的黄金分割点,AB=1,求CD 的长.
D C
B
A
七、已知C 、D 是线段AB 上的两点,且不难证明当AB=1时,C 、D 是线段AB 的黄金分割点,试探究当AB 任意长时,C 、D 是否是线段AB 的黄金分割点?为什么?
答案:
一、1.C 2.A 3.B 4.B 5.B 6.C
二、1.
AC BC
AB AC
=
;黄金分割点;黄金比
黄金比三、1.因为点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,
所以
AP PB AB AP
=
,
××
2.(1)过点B 作BD ⊥AB 且BD=
1
2
AB,连接AD (2)以D 为圆心BD 为半径作圆弧交AD 于E
(3)以A 为圆心AE 为半径作圆弧交AB 于C,则C 为AB 的黄金分割点 3.查阅资料
四、先做出线段AB,及其黄金分割点C(AC>BC)分别以A 、B 为圆心,AC 为半径作圆弧,交点为
P,则△PAB 就是黄金三角形
五、根据C 为AB 的黄金分割点,AC>BC 得
AC AB
=12,
因为AB=1,所以
所以
六、根据C 、D 都是AB 的黄金分割点得
AC
AB ,BD AB
因为AB=1,所以AC=
12,BD=1
2,
所以AD=AB-BD=1-
12=32
,
因此七、C 、D 是线段AB 的黄金分割点.。
人教版九年级下册数黄金分割同步练习
27.1.2 黄金分割基础训练知识点1 比例中项1.若x是2,18的比例中项,则x=___________.2.若线段a=6 cm,b=3 cm,且c是a,b的比例中项,则线段c的长度为( )A.3错误!未找到引用源。
cmB.±3错误!未找到引用源。
cmC.±18 cmD.18 cm3.如果a∶b=3∶2,且b是a,c的比例中项,那么b∶c等于( )A.4∶3B.3∶2C.2∶3D.3∶44.如图,有三个直角三角形,其中OA=AB=BC=CD=1,则线段OA,OD的比例中项线段的长度为( )A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.±错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
知识点2 黄金分割5.如果点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),则下列比例式正确的是( )A.AB∶AC=AC∶BCB.AB∶BC=BC∶ACC.AC∶BC=BC∶ABD.AC∶AB=AB∶BC6.若点C为线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则①AB=错误!未找到引用源。
AC;②AC=错误!未找到引用源。
AB;③AB∶AC=AC∶CB;④AC≈0.618AB.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.从美学角度来说,人的上身长与下身长之比为黄金比例,可以给人一种协调的美感.某女老师上身长约61.80 cm,下身长约93.00 cm,她要穿约___________cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果(精确到1 cm).提升训练考查角度1 利用比例性质求解比例中项问题8.已知线段a,b,c满足错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
,且a+2b+c=26.(1)求a,b,c的值;(2)若线段x是线段a,b的比例中项,求x.考查角度2 利用黄金分割的定义找黄金分割点(计算法、定义法)9.以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.(1)求MA,DM的长;(2)求证:AM2=AD·DM.(3)根据(2)的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗?考查角度3 利用黄金分割的定义证明黄金矩形(计算法、定义法)10.宽与长的比是错误!未找到引用源。
(含答案)九年级数学苏科版下册课时练第6单元《6.2黄金分割》(1)
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
二、填空题
7. 如图，已知舞台 AB 长 10 米，如果报幕员从点 A 出发站到舞台的黄金分割点 P 处， 且 < ，那么报幕员应走______米报幕．
8. 点 C 是线段 AB 的黄金分割点( 且 > 且)，若 = 2 㤶，则 且 =______ cm． 9. 点 P 是线段 AB 的黄金分割点， > ， = 8，那么 =______． 10. C 是靠近点 B 的黄金分割点，若 = 10 㤶，则 且 =____ 㤶. (结果保留根号) 11. 已知线段 = 2 㤶，点 C 在线段 AB 上，且 且2 = 且 ⋅ ，则 AC 的长为______cm． 12. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体.如图，若舞
∴ = 2 + 2 = 5，
∴ 截 = − 截 = 5 − 1，
∴ 且 = 截 = 5 − 1，
∴
且=
5−1 2
，
∴点 C 是线段 AB 的黄金分割点．
15.解：如图，设 = 1，
∵点 E 是正方形 ABCD 的边 AB 边上的黄金分割点，且 截 > 截 ，
∴ 截 = 使 = 5−1，
2
∴ 截=使 =
(2)证明：∵ 2 = ( 5 − 1)2 = 6 − 2 5，
⋅ = 2(3 − 5) = 6 − 2 5， ∴ 2= ⋅ ;
(3)点 M 是 AD 的黄金分割点.理由如下：
∵ 2= ⋅ ，
∴
=
=
5−1，
2
∴点 M 是 AD 的黄金分割点．
14.证明：∵
= 2，
=
1 2
九年级数学比例线段与黄金分割同步练习
“比例线段与黄金分割”同步练习A 组1．正方形的对角线与它的边长之比是（ ）A ．2∶1B ．1∶2C ．1∶2D ．2∶1 2．已知32=b a ，那么=+bb a （ ） A ．23 B ．34 C ．53 D ．35 3．已知23y x =，那么下列式子中一定成立的是（ ） A ．y x 32= B ．y x 23= C ．y x 2= D ．xy=64．已知432∶∶=x ，那么x = ． 5．把长为10cm 的线段黄金分割后，较长线段的长等于 cm ．6．若)0(32≠+==q n q p n m ，则=++qn p m ． 7．在一张比例尺为1∶10000的地图上，量得张老师家到学校的距离是8cm ，求张老师家到学校的实际距离．8．如果某古塔在地面上的影长为50米，同一时刻，高为1.5米的测杆影长为1米，你能求出古塔的高度吗？如果能，请求出古塔的高度；如果不能，请说明理由．B 组1． 已知bc ad =（a 、b 、c 、d 不等于零），那么下列各式中不正确的是（ ） A ．d d c b b a +=+ B ．d d b c c a +=+ C ．d d b c c a -=- D ．dd b a c a -=- 2． 在⊿ABC 中，∠A =900，BC =10，AC =8，那么⊿ABC 中的最短的边与最长的边之比是 ．3．已知532z y x ==，且15=++z y x ，则x= ，y= ，z= ． 4．如图13-4，用直尺和圆规作出线段AB 的黄金分割点C ，使AC ＞BC ．5．已知ba c c abc b a x +=+=+=，求x 的 值．C 组1． 已知C 是线段AB 上的黄金分割点，且215-=AB AC ，求ACCB 的值．2． 如图13-5，在Rt ⊿ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，试猜想线段AC 、AB 、CD 、BC 是否对应成比例？如果对应成比例，请写出这个比例式，并进行验证；如果不能，请说明理由．3． 已知⊿ABC 和⊿A /B /C /中，32//////===C A AC C B BC B A AB ，且⊿A /B /C /的周长为80cm ，求⊿ABC 的周长．参考答案：A 组1．D 2．D 3．A 4．23 5．)15(5-或6.18 6．32 7．设张老师家到学校的距离为xcm ，则有1000018=x ，解得80000=x ，即张老师家到学校的距离为800米 8．能．根据物高与影长对应成比例可得，1505.1=古塔高度，∴古塔高度=75米． B 组1．D 2．3∶5 3．3 ，4.5，7.5 4．略 5．当0≠++c b a 时，21)(2=++++=c b a c b a x ，当0=++c b a 时，c b a -=+，则1-=-=+=c c c b a x ，即121-=或x ． C 组1．∵215-=AB AC ∴BC= AB-BC =253-，∴25-=ACBC 2．线段AC 、AB 、CD 、BC 对应成比例．即AB BC AC CD =（提示：根据三角形的面积公式，得BC AC CD AB ⨯=⨯2121，然后化成比例式即可） 3．由于0≠''+''+''C A C B B A ，根据等比性质，得C A C B B A AC BC AB ''+''+''++=32，即3280=ABC C ▲，∴C ⊿ABC =cm 3160．。
黄金分割同步练习及答案(9)
黄金分割同步练习（典型题汇总）【学习目标】1．知道黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点；会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点．2．通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力．3．理解黄金分割的现实意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系．【学习重点】了解黄金分割的意义并能运用．【学习难点】找出黄金分割点和作黄金矩形．情景导入生成问题形是( B )A．△ EFB B．△ DEFC．△ CFB D．△ EFB 和△ DEF2．如图，在边长为 1 的正方形网格中有点P，A，B， C ，则图中所形成的三角形中，相似三角形是△APB∽△ CPA．自学互研生成能力知识模块黄金分割的有关概念先阅读教材P95－96 页的内容，然后解答下列问题：1. 黄金分割的意义：如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC＝BC，那么称线段AB被点C黄AB AC金分割，其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，近似数为0.618．2．黄金分割点的作法：如图所示，已知线段AB.1．如图，在矩形ABCD 中， E 在AD 上，E F⊥BE，交CD 于F，连接BF，则图中与△ ABE 一定相似的三角1(1) 过 B 作 BD ⊥AB 使 BD ＝2AB ； (2) 连接 AD ，在 DA 上截取 DE ＝DB ；(3) 在 AB 上截取 AC ＝AE ，则点 C 即为线段 AB 的黄金分割点．1．动手量一量，五角星图案中，线段 AC 、 BC 的长度，然后计算 A AB C 与B AC C ，它们的值相等吗？教学说明： 学生亲自动手操作，得到黄金比并加深对黄金分割的理解．2．计算黄金比：见教材 P 96 页例 4. 3．探究教材 P 96 页 “想一想 ”．归纳结论： 在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，如果A AB C ＝ BC， AC，那么称线段 AB 被点 C 黄 金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点， AC 与 AB 的比叫做黄金比．内容：古希腊时的巴台农神庙，将图中的虚线表示的矩形画成如图中的矩形 ABCD ，以矩形 ABCD 的宽为边在其内部作正方形 AEFD ，那么，我们可以惊奇的发现BC ＝AB. BE ＝BC .提出问题：点 E 是 AB 的黄金分割点吗？矩形 ABCD 宽与长的比是黄金比吗？观看多媒体演示的内容，观察 与思考、交流、讨论、解决问题．问题解决：由 B B E C ＝A B B C ，可以得到 A B B C ＝B B E C 即A AB E ＝A BE E .所以点 E 是 AB 的黄金分割点． 对应练习：1．已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC >BC ，则下列等式成立的是 ( C ) A ．AB 2＝AC ·CB B ． CB 2＝AC ·ABC ．AC 2＝ CB ·ABD ．AC 2＝2AB ·BC2．如图，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC ，如果AC ＝BC ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割， AC 与AB ACAB 的比叫做黄金比，其比值是 ( AA. 52－1B.3－2 5)C. 5＋ 12D.3＋2 53．已知 C 是线段 AB 的一个黄金分割点，则 AC ∶AB 为( D ) A. 52－1 B.3－2 5 C. 52＋ 1D. 52－1或3－2 5交流展示 生成新知1．将阅读教材时 “生成的问题 ”和通过 “自主探究、合作探究 ”得出的 “结论 ”展示在各小组的小黑板上．并将疑 难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将 “问题和结论 ”展示在黑板上，通过交流 “生成新知 ”．知识模块 黄金分割的有关概念检测反馈 达成目标1．下列说法正确的是 ( B ) A ．每条线段有且仅有一个黄金分割点 B ．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618 倍C ．若点 C 把线段 AB 黄金分割，则 AC 2＝AB ·BCD ．以上说法都不对 2．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为 ( A )3．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上的黄金分割点，且 BE > CE ，AE 与 BD 相交于点 F.那么 BF ∶ FD 的值为 52－ 1．4．五角星是我们常见的图形，如图是AB ＝20cm ，求 EC ＋CD 的长．解：∵点 D 为线段 AB 的黄金分割点 (AD >BD)，∴ AD ＝ 52－1，AB ＝(10 5－10)cm.∵EC ＋CD ＝AC ＋CD ＝AD ，∴ EC ＋CD ＝（10 5－10）cm.课后反思 查漏补缺1．收获： 2．存在困惑：黄金分割同步练习(典型题汇总)、选择题 :A ． 12.36cmB ．13.6cmC ． 32.36cmD ．C ，D 分别是线段 AB 的黄金分割点，AC BC1.如图,点C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果,那么下列说法错误的是 ( )AB AC4. 黄金分割比是 (AC 5.如图,点C 是AB 的黄金分割点 ,那么 AC 与AB BC二、填空题 :1. 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果 _____ , 那么称线段 AB 被点 C?黄金分割 , 点 C 叫做线段 AB 的 _______ ,AC 与AB 的比叫做 _______ .2. _______________________________________________如图,若点 C 是AB 的黄金分割点 ,AB=1,则AC= ________________________________________________,BC= _____ .A C BAC5 1 AC3. _________________________________________________________ 已知点 C 是AB 的黄金分割点 ,即 AC = 5 1,那么 AC = _________________________________________________ .AB 2 CB4. 如图,点C 是AB 的黄金分割点 ,AB=4,则AC 2=5. 宽与长的比等于 _______ 的矩形叫做黄金矩形6. 已知黄金矩形的长等于 6, 则这个黄金矩形的宽等于 ________ 三、计算题 : 1.已知线段 AB 长 6厘米,点P 是 AB 的黄金分割点 ,且AP>BP,求AP 和BP 的长.A. 线段 AB 被点 C 黄金分割 ; C.AB 与 AC 的比叫做黄金比 ;B. 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 AD.AC 与 AB 的比叫做黄金 2. 如图的五角星中 , AC 与 BC AB 的关系是 ( )ACA. 相等;B. AC >BC ABACC.AC <BC; D.AC AB不能确定3. 一条线段的黄金分割点有 A.1 个 B.2个 C.3D.无数个A. 5 1B.2512C.51 2D.0.618ACAC的值分别是A. 5 1, 5 1A. 2 , 2B. 5 1, 5 1; C. B. , 2; C.21; D.5126.如图,若点 C 是 AB 的黄金分割点 ,AB=2, 则 AC= CBA. 5 1B. 5 122C. 5 1D.51BCB2. 仿照课本上“做一做”的方法,画出线段AB的黄金分割点.12 23. 请你在实际生活中搜集一个与黄金分割有关的资料五、已知线段 AB=1,C 为 AB 的黄金分割点 ,且 AC>BC 求, AC-BC 的值.六、如图的五角星中 ,AD=BC,且 C 、D 两点都是 AB 的黄金分割点 ,AB=1,求 CD 的长.七、已知 C 、D 是线段 AB上的两点 , 且 CD=( 5 -2)AB,AC=BD,不难证明当 AB=1时,C 、 D 是线段 AB 的黄金分割 点,试探究当 AB 任意长时 ,C 、D 是否是线段 AB 的黄金分割点 ?为什么 ?四、已知一个等腰三角形如果腰与底边的比是黄金比 出一个黄金三角形 .,? 那么这样的等腰三角形称为黄金三角形 . 请你设法作, 并与同伴相互交流B答案:1.C2.A3.B4.B5.B6.C、 1. AC BC ; 黄金分割点 ; 黄金比 2. AB AC3. 5 14.24-8 55. 黄金比6.3 5 -32三、 1.因为点 P 是 AB 的黄金分割点 ,且 AP>BP,AP= 52 1×AB= 52 1×6=3 5-3, BP=AB-AP=9-3 512. (1) 过点 B 作 BD ⊥AB 且 BD= AB,连接 AD2(2) 以 D 为圆心 BD 为半径作圆弧交 AD 于 E(3) 以 A 为圆心 AE 为半径作圆弧交 AB 于 C,则 C 为 AB 的黄金分割点 3. 查阅资料四、先做出线段 AB,及其黄金分割点 C(AC>BC 分) 别以 A 、B 为圆心 ,AC 为半径作圆弧 ,交点为 P,则△ PAB 就是 黄金三角形 五、根据 C 为 AB 的黄金分割点 ,AC>BC 得 AC = 5 1,AB 2 因为 AB=1,所以 AC= 5 1 BC=AB-AC=1- 5 1= 3 5 ,?2 所以 AC-BC= 5 1-3 5= 5-2.22六、根据 C 、 D 都是 AB 的黄金分割点得因为 AB=1,所以 AC= 5 1,BD= 5 所以 AD=AB-BD=1- 5 1=3 5 ,225 1; 3 52 ; 2所以AP ABPB= 5 1AP = 222 AC= 5 1, BD = 5 1AB 2 AB 2因此CD=AC-AD= 5 1- 3 5 = 5-2 22七、C、D 是线段AB的黄金分割点.122。
北京课改版数学九年级上册同步课时练习：18.2 黄金分割(word版含答案)
18.2 黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ,如果AC AB =BCAC ,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比.注意:(1)一条线段有两个黄金分割点; (2)黄金比k=√5-12≈0.618. 1.[2020·泰安泰山区期末] 已知点P 是线段AB 的黄金分割点(AP>PB ),AB=10,那么AP 的长是 ( ) A .5√5-5 B .5-√5C .5√5-1D .√5-122.[2020·金昌] 生活中到处可见黄金分割的美.如在设计人体雕像时,使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0.618,可以增加视觉美感.若中b 为2米,则a 约为 ( )A .1.24米B .1.38米C .1.42米D .1.62米3.若点C 是线段AB 的黄金分割点,且AC>BC ,则下列说法正确的有 ( )①AB=√5+12AC ;②AC=3-√52AB ; ③AB∶AC=AC∶BC ; ④AC ≈0.618AB. A .1个 B .2个C .3个D .4个4.如若点C 是线段AB 的黄金分割点(AC>BC ),AB=1,则AC= ,BC= .5.一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体,若舞台AB 的长为20米,主持人现在站在A 处,则他应至少再走 米才最自然得体.(结果精确到0.1米)6.如求作线段AB 的黄金分割点.(作出一个即可)7.“黄金分割”是一条举世公认的美学定律.例如在摄影中,人们常依据黄金分割进行构,使画面整体和谐.目前,照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版.要拍摄草坪上的小狗,按照黄金分割的原则,应该使小狗置于画面(如中的位置()A.①B.②C.③D.④8.已知点C是线段AB的黄金分割点,且AB=2,则AC等于()A.√5-1B.3-√5D.√5-1或3-√5C.√5-129.如已知线段AB,点P是它的黄金分割点,AP>BP,设以AP为边的正方形的面积为S1,以BP,AB 长为边的矩形的面积为S2,则S1与S2的关系是()A.S1>S2B.S1<S2C.S1=S2D.S1≥S210.五角星是我们常见的形,如五角形外围的各个边都相等.其中,点C,D是线段AB的黄金分割点,AB=20 cm.求EC+CD的长.答案1.A2.A3.C解：∵ABAC =√5-1=2×(√5+1)4=√5+12,∴AB=√5+12AC,①正确;AC=√5-12AB,②错误;AB∶AC=AC∶BC,③正确;AC=√5-12AB≈0.618AB,④正确.4.√5-123-√525.7.66.略7.B8.D9.C10.解:∵EC=AC,∴EC+CD=AC+CD=AD.∵点D是线段AB的黄金分割点(AD>BD),∴AD=√5-12·AB=(10 √5-10)cm.即EC+CD=(10√5-10)cm.。
苏教科版初中数学九年级下册6.2 黄金分割同步练习(新版)
8、科学研究表明：当人的下肢长度与身高的比约为 0.618 时，看起来最美。若某成年女士 身高为 153cm，下肢长为 92cm，则该女 士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为多少 cm？（精确 到 0.1cm）
TB:小初高题库
苏科版初中数学
相信自己，就能走向成功的第一步 教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。数学思维
可以让他们更理性地看待人生
TB:小初高题库
苏科版初中数学
苏教科版初中数学
重点知识精选
掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！ 苏科版初中数学 和你一起共同进步学业有成！
TB:小初高题库
6.2 黄金分割
苏科版初中数学
A 组题
1、 点 C 是 线 段 AB 的 黄 金 分 割 点 ， 且 AC＞ BC， 若 AB=2cm， 则 BC≈ 0.1cm）
5、已知点 C 是线段的黄金分割点，且 AC＞BC，则下列等式中成立的是（ ）
A、 AB2 AC BC
B、 CB2 AC AB
C、 AC2 BC AB
D、 AC2 2AB BC
6、如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点，矩形 ABFD 的宽与长的比等于黄金比，CED 是正方形
cm。（ 精 确 到
2、顶角为
BC
的等腰三角形称为黄金三角形，等腰△ABC 中，若∠A=360，则 ≈
AB
3、研究表明：标准人体的黄金分割点是人的肚脐，请你计算身高 180cm 的人，如果肚脐是 黄金分割点，那头顶到肚脐的长度约为 cm。（精确到 1c m）
4、已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点(AC＞BC)，那么 AC 是线段 与 的比例中项， 若 AC=10cm，则 BC 约为 cm。（精确到 0.1cm）
4.4.4 黄金分割导学案(含答案)
4.4.4黄金分割 导学案1、预习目标1．如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC(AC ＞BC)，如果AC AB ＝BC AC，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，而AC AB的值叫做黄金比．2．若点C 是线段AB 的黄金分割点，则黄金比AC AB ＝BC AC． 2、课堂精讲精练【例1】(1)已知点C 是线段AB 的黄金分割点，AC ＞BC.若AB ＝4 cm ，则BC 的长为(2)已知线段AB ＝10，C 为黄金分割点，则AC 的长为【跟踪训练1】已知线段AB ，点P 是它的黄金分割点，AP ＞BP ，设以AP 为边的正方形的面积为S 1，以PB ，AB 为边的矩形的面积为S 1与S 2的关系是S 1＝S 2．【例2】如图，以长为2 cm 的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AFEM ，点M 落在AD 上．(1)试求AM ，DM 的长；(2)点M 是线段AD 的黄金分割点吗？请说明理由．解：(1)在Rt △APD 中，AP ＝1 cm ，AD ＝2 cm ，由勾股定理，得PD ＝AD 2＋AP 2＝ 5 cm.∴AM ＝AF ＝PF －AP ＝PD －AP ＝(5－1)cm.∴DM ＝AD －AM ＝(3－5)cm.(2)点M 是线段AD 的黄金分割点，理由如下： ∵AM 2＝(5－1)2＝6－25，AD ·DM ＝2×(3－5)＝6－25，∴AM 2＝AD ·DM.∴点M 是线段AD 的黄金分割点．【跟踪训练2】我们把宽与长的比值等于黄金比5－12的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD(AB ＞BC)的边AB 上取一点E ，使得BE ＝BC ，连接DE ，则AE AD等于(B)A.22B.5－12C.3－52D.5＋123、课堂巩固训练1．已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则下列各式中正确的是(C)A ．AB 2＝AC ·BCB ．BC 2＝AC ·AB C ．AC 2＝BC ·AB D ．AC 2＝2AB ·BC 2．已知AB ＝2 cm ，C 为AB 上的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC 的值为(A)A ．(5－1)cmB ．0.618 cmC ．(3－5)cm D.3－52cm 3．乐器上一根弦AB 长80 cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，则CD 4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E.若AE ＝BC ，则点E 是线段AB 的黄金分割点吗？说明你的理由．解：点E 是线段AB 的黄金分割点．理由如下：连接EC.∵DE 是AC 的垂直平分线，∴EA ＝EC.又∵AE ＝BC ，∴EC ＝BC.∴∠BEC ＝∠B. ∵AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠B.∴∠BEC ＝∠ACB.又∵∠B ＝∠B ，∴△CEB ∽△ACB.∴BE BC ＝BC AB，即BC 2＝BE ·AB ， 又∵AE ＝BC ，∴AE 2＝BE ·AB.∴点E 是线段AB 的黄金分割点．4、课堂总结1．黄金分割定义中的比例式用文字可表述为长部分整体＝短部分长部分＝5－12，于是短部分整体＝3－52. 2．已知点C 在线段AB 上(AC ＞BC)，判断点C 是AB 的黄金分割点的四种方法：(1)AC ∶AB ＝BC ∶AC ；(2)AC 2＝AB ·BC ；(3)AC AB ＝5－12；(4)BC AB ＝3－52. 3．如果矩形的长为a ，宽为b ，且b a ＝5－12，那么这个矩形称为黄金矩形．。
2021北京课改新版18.2黄金分割课时作业同步练习含答案解析
课时2 黄金分割一．选择题（共4小题）1．如图，主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台AB的长为10米，一名主持人现在站在A处，则她至少走多少米才最理想()A．5B．15-C．5D．15-52．某品牌汽车为了打造更加精美的外观．特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为()米．A．4.14B．2.56C．6.70D．3.823．已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且10AB=，那么PQ的长为()A．5(3B．2)C．1)D．1)4．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP BP>，则下列各式不正确的是()A．::AP BP AB AP=B．AP AB=C．BP=D．0.618AP AB≈二．填空题（共6小题）5．点P是线段AB上的一点，如果2AP BP AB=⋅，那么APAB的值是．6．已知点P是线段AB的一个黄金分割点，且AP BP>，那么:AP AB的比值为．7．已知线段AB的长为4厘米，点P是线段AB的黄金分割点()AP BP<，那么线段AP的长是厘米．8．如果线段AB的长为2，点P是线段AB的黄金分割点，那么较短的线段AP=．9．已知点D是线段AB的黄金分割点，且线段AD的长为12厘米，则最短线段BD的长是．10．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，设雕像下部高为xm，则可得到方程．三．解答题（共2小题）11．我们知道，含有36︒角的等腰三角形是特殊的三角形，通常把一个顶角等于36︒的等腰三角形称为“黄金三角形”．在ABCB∠=︒，请用两种不同的=，且36∆中，已知：AB AC尺规作图在BC上找点D，使得ABD∆是黄金三角形，并说明其中一种做法的理由．12．在人体躯和身高的比例上，肚脐是理想的黄分割点，即（下半身长m与身高)l比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约多少厘米的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）课时2 黄金分割参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．如图，主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台AB 的长为10米，一名主持人现在站在A 处，则她至少走多少米才最理想( )A ．5B ．15-C ．5D ．15-5 解：设C 点为AB 的黄金分割点，当AC BC >时，105AC AB ==；当AC BC <时，105BC AB ===，则105)15AC =-=-，所以她至少走(15-米才最理想．故选：B ．2．某品牌汽车为了打造更加精美的外观．特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为( )米．A ．4.14B ．2.56C ．6.70D ．3.82解：设该车车身总长为x m ，汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置，∴汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x ，0.618 1.58x x ∴-=，解得 4.14x ≈，即该车车身总长约为4.14米．故选：A ．3．已知点P 、点Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且10AB =，那么PQ 的长为( )A ．5(3B ．2)C ．1)D ．1)解：如图，点P 、Q 是线段AB 的黄金分割点，10AB =，1)BP AQ AB ∴===，1)102)PQ AQ BP AB ∴=+-=-=，故选：B ．4．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP BP >，则下列各式不正确的是( )A ．::AP BP AB AP = B ．AP AB =C ．BP =D ．0.618AP AB ≈ 解：点P 是线段AB 的黄金分割点，AP BP >，::AP BP AB AP ∴=，0.618AP AB AB ≈，BP AB AP AB AB AB ∴=-=， 故选项A 、B 、D 不符合题意，选项C 符合题意，故选：C ．二．填空题（共6小题）5．点P 是线段AB 上的一点，如果2AP BP AB =⋅，那么AP AB 的值是 ． 解：点P 是线段AB 上的一点，2AP BP AB =⋅， ∴AP AB BP AP=， ∴点P 是线段AB 的黄金分割点，AP ∴=，∴AP AB =，6．已知点P 是线段AB 的一个黄金分割点，且AP BP >，那么:AP AB 的比值为． 解：点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP BP >，AD AB ∴=，∴AP AB =，7．已知线段AB的长为4厘米，点P是线段AB的黄金分割点()AP BP<，那么线段AP的长是(6-厘米．解：点P是线段AB的黄金分割点，AP BP<，4AB=厘米，2)BP AB∴==厘米，42)(6AP AB BP∴=-=-=-厘米，故答案为：(6-．8．如果线段AB的长为2，点P是线段AB的黄金分割点，那么较短的线段AP=3解：点P是线段AB的黄金分割点，2AB=，AP BP<，1BP AB∴==，21)3AP AB BP∴=-=-=-故答案为：39．已知点D是线段AB的黄金分割点，且线段AD的长为12厘米，则最短线段BD的长是6)厘米．解：点D是线段AB的黄金分割点，且线段AD的长为12厘米，AD BD>，12AD AB∴==厘米，6AB∴=，6126)BD AB AD∴=-=-=厘米，故答案为：6)厘米．10．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，设雕像下部高为xm，则可得到方程2240x x+-=．解：根据题意得：22x xx-=，整理得：2240x x+-=，故答案为：2240+-=．x x三．解答题（共2小题）11．我们知道，含有36︒角的等腰三角形是特殊的三角形，通常把一个顶角等于36︒的等腰三角形称为“黄金三角形”．在ABC∠=︒，请用两种不同的∆中，已知：AB ACB=，且36尺规作图在BC上找点D，使得ABD∆是黄金三角形，并说明其中一种做法的理由．解：①在线段BC上截取BD BA=，连接AD，如图1所示：则ABD∆即为所求，理由如下：=，36BD BA∠=︒，B∴∆为黄金三角形；ABD②在BAC∠=∠，交BC于点D，如图2所示：∠的内部作CAD C则ABD∆即为所求，理由如下：=，AB AC∴∠=∠=︒，C B36BAC∴∠=∠=︒，1803636108∠=︒-︒-︒=︒，CAD C36BAD BAC CAD∴∠=∠+∠=︒，72∠=∠-∠=︒，ADB C CAD72∴∠=∠，ADB BAD∴=，BA BD又36∠=︒，BABD ∴∆是黄金三角形．12．在人体躯和身高的比例上，肚脐是理想的黄分割点，即（下半身长m 与身高)l 比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm ，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约多少厘米的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）解：根据已知条件可知：下半身长是1650.699⨯=（厘米），设需要穿的高跟鞋为y 厘米，则根据黄金分割定义，得990.618165y y+=+， 解得：7.88y ≈≈，经检验7.8y ≈是原方程的根，答：她应该选择大约8厘米的高跟鞋．。
黄金分割同步练习及答案 (6)
黄金分割同步练习（典型题汇总）知识点 1 对黄金分割的理解1．已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，下列说法错误的是( )A．如果ACAB＝BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B．如果AC2＝AB·BC，那么线段AB被点C黄金分割C．如果线段AB被点C黄金分割，那么AC与AB的比叫做黄金比D．一条线段有两个黄金分割点2．如图4－4－28，点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，下列结论错误的是( )图4－4－28A.ACAB＝BCAC B．BC2＝AB·ACC.ACAB＝5)－12D.BCAC≈0.6183．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝2，则AC的长为( )A.5－1 B．3－5 C.5)－12 D．0.6184．已知点P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP)，若AB＝2，则AP－BP＝________．5．教材习题4.8第1题变式题如图4－4－29，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求C，D之间的距离．图4－4－29知识点 2 黄金分割的应用6．如图4－4－30所示，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，α与β的比通常按黄金比来设计，这样的扇子较美观．若取黄金比为0.6，则α为( )A．216° B．135° C．120° D．108°4－4－304－4－317．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图4－4－31，某女士的身高为160 cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( )A．6 cm B．10 cm C．4 cm D．8 cm8．人体的正常体温是37 ℃左右，根据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感觉最舒适，这个气温的度数约为________(精确到1 ℃)．9．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图4－4－32，若舞台AB的长为20 m，主持人应走到离A点至少多远处才最自然得体？(结果精确到0.1 m，黄金比≈0.618)图4－4－3210．点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝6 cm，则BC的长为( )A．(3 5－3)cmB．(9－3 5)cmC．(3 5－3)cm或(9－3 5)cmD．(9－3 5)cm或(6 5－6)cm11．宽与长之比为5)－12∶1的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调匀称的美感．如图4－4－33，如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形CDFE还是黄金矩形吗？请证明你的结论．图4－4－3312．如图4－4－34，已知点C和点D均为线段AB的黄金分割点，CD＝6 cm，求AB的长．图4－4－3413．定义：如图4－4－35①，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图②，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求线段AD的长．图4－4－3514．如图4－4－36①，点C将线段AB分成两部分，如果ACAB＝BCAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果S1S＝S2S1(S1>S2)，那么称直线l为该图形的黄金分割线．(1)如图②，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于点D，请问点D 是不是AB边上的黄金分割点(直接写出结论，不必证明)?(2)若△ABC在(1)的条件下，如图③，请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线？并证明你的结论；(3)如图④，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点F，延长AB，DC交于点E，连接EF并延长分别交梯形上、下底于G，H两点，请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线？并证明你的结论．图4－4－361．C 2.B3．A [解析] ∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC＝5)－12AB，而AB＝2，∴AC＝5－1.4．2 5－4 [解析] ∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝5)－12AB＝5－1，则BP＝2－AP＝3－5，∴AP－BP＝(5－1)－(3－5)＝2 5－4.5．解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，∴AC＝BD＝80×5)－12＝(40 5－40)cm，∴CD＝BD－(AB－BD)＝2BD－AB＝(80 5－160)cm.6．B 7.D8．23 ℃[解析] 37×5)－12≈23(℃)．9．解：根据黄金比，得20×(1－0.618)≈7.6(m)，故主持人应走到离A点至少7.6 m处才最自然得体．10．C [解析] ∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝6 cm，∴BC＝5)－12AB＝(3 5－3)cm，或BC＝5)2AB＝(9－3 5)cm.11．解：留下的矩形CDFE还是黄金矩形．证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB＝DC＝AF.又∵ABAD＝5)－12，∴AFAD＝5)－12，即点F是线段AD的黄金分割点，∴FDAF＝AFAD＝5)－12，∴FDDC＝5)－12，∴矩形CDFE是黄金矩形．12．[解析] 因为C，D均为线段AB的黄金分割点，所以ADAB与BCAB相等，都等于黄金比．因此AD＝BC，所以AC＝BD.解：∵C，D均为线段AB的黄金分割点，∴ADAB＝BCAB，∴AD＝BC，∴AB－AD＝AB－BC，即BD＝AC.设AC＝BD＝x cm，则AD＝(x＋6)cm，AB＝(2x＋6)cm. ∵ADAB＝5)－12，∴x＋62x＋6＝5)－12，∴x＋62（x＋3）＝5)－12，解得x＝3 5＋3，∴AB＝(6 5＋12)cm.13．解：(1)证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠A＝36°，∴∠BDC＝72°，∴BC＝BD＝AD.∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB，∴BCAC＝CDCB，即BC2＝AC·CD，∴AD2＝AC·CD，∴点D是线段AC的黄金分割点．(2)设AD＝x，则CD＝1－x.由(1)得x2＝1－x.解得x1＝5)2(舍去)，x2＝5)2，∴AD＝5)2.14．解：(1)点D是AB边上的黄金分割点．(2)直线CD是△ABC的黄金分割线．证明：设△ABC的边AB上的高为h，则S△ADC＝12AD·h，S△DBC＝12BD·h，S△ABC＝12AB·h，∴S△ADC∶S△ABC＝AD∶AB，S△DBC∶S△ADC＝BD∶AD.由(1)知点D是AB的黄金分割点，∴ADAB＝BDAD，∴S△ADC∶S△ABC＝S△DBC∶S△ADC，∴直线CD是△ABC的黄金分割线．(3)直线GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线．证明：∵BC∥AD，∴△EBG∽△EAH，△EGC∽△EHD，∴BGAH＝EGEH，①GCHD＝EGEH.②由①②得BGAH＝GCHD，即BGGC＝AHHD.③同理，由△BGF∽△DHF，△CGF∽△AHF，得BGHD＝GCAH，即BGGC＝HDAH.④由③④得AHHD＝HDAH，∴AH＝HD，∴BG＝GC，∴梯形ABGH与梯形GCDH的上、下底分别相等，高也相等，∴S梯形ABGH＝S梯形GCDH＝12S梯形ABCD，CBAC BA ∴直线GH 不是直角梯形ABCD 的黄金分割线．黄金分割同步练习（典型题汇总）一、选择题:1.如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BCAB AC=,那么下列说法错误的是( ) A.线段AB 被点C 黄金分割; B.点C 叫做线段AB 的黄金分割点 C.AB 与AC 的比叫做黄金比; D.AC 与AB 的比叫做黄金比 2.如图的五角星中,AC AB 与BCAC的关系是( ) A.相等; B.AC AB >BC AC ; C.AC AB <BC AC; D.不能确定 3.一条线段的黄金分割点有( )A.1个B.2个C.3个D.无数个4.黄金分割比是( )A.12 B.12 C.12D.0.618 5.如图,点C 是AB 的黄金分割点,那么AC AB 与ACBC的值分别是( ) A.,B.,; C.,; D.6.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=2,则AC= ( )11 二、填空题:CBAC BAC BA1.点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果_________,那么称线段AB 被点C•黄金分割,点C 叫做线段AB 的________,AC 与AB 的比叫做_________.2.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=1,则AC=_______,BC=______.3.已知点C 是AB 的黄金分割点,即AC AB那么AC CB=________.4.如图,点C 是AB 的黄金分割点,AB=4,则AC 2=________.5.宽与长的比等于________的矩形叫做黄金矩形.6.已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________. 三、计算题:1.已知线段AB 长6厘米,点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,求AP 和BP 的长.2.仿照课本上“做一做”的方法,画出线段AB 的黄金分割点.3.请你在实际生活中搜集一个与黄金分割有关的资料,并与同伴相互交流.四、已知一个等腰三角形如果腰与底边的比是黄金比,•那么这样的等腰三角形称为黄金三角形.请你设法作出一个黄金三角形.五、已知线段AB=1,C 为AB 的黄金分割点,且AC>BC,求AC-BC 的值.六、如图的五角星中,AD=BC,且C 、D 两点都是AB 的黄金分割点,AB=1,求CD 的长.D C BA七、已知C 、D 是线段AB 上的两点,且不难证明当AB=1时,C 、D 是线段AB 的黄金分割点,试探究当AB 任意长时,C 、D 是否是线段AB 的黄金分割点?为什么?答案:一、1.C 2.A 3.B 4.B 5.B 6.C二、1. AC BC AB AC=;黄金分割点;黄金比 2. 12;32-3. 12黄金比三、1.因为点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,所以AP PB AB AP=,××2.(1)过点B 作BD ⊥AB 且BD=12AB,连接AD (2)以D 为圆心BD 为半径作圆弧交AD 于E(3)以A 为圆心AE 为半径作圆弧交AB 于C,则C 为AB 的黄金分割点3.查阅资料四、先做出线段AB,及其黄金分割点C(AC>BC)分别以A 、B 为圆心,AC 为半径作圆弧,交点为P,则△PAB 就是黄金三角形五、根据C 为AB 的黄金分割点,AC>BC 得AC AB =12,因为AB=1,所以AC= 12BC=AB-AC=1-12= 32-,•所以六、根据C 、D 都是AB 的黄金分割点得AC AB ,BD AB因为AB=1,所以AC=12,BD=12,所以AD=AB-BD=1-12=32-,因此七、C、D是线段AB的黄金分割点.。
黄金分割同步练习及答案 (8)
黄金分割同步练习（典型题汇总）教学目标（一）教学知识点 1.知道黄金分割的定义.2.会找一条线段的黄金分割点.3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点. （二）能力训练要求通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力. （三）情感与价值观要求理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用.教学重点了解黄金分割的意义，并能运用. 教学难点找黄金分割点和画黄金矩形. 教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，右图是一个五角星图案，如何找点C 把AB 分成两段AC 和BC ，使得画出的图形匀称美观呢？本节课就研究这个问题.Ⅱ.讲授新课［师］在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC 、BC 的长度，然后计算AB AC 、ACBC,它们的值相等吗？［生］相等.［师］所以ACBCAB AC =. 1.黄金分割的定义一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBCAB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中ABAC≈0.618.2. 计算黄金比.解：由AC AB =BCAC ，得∴AC 2=AB ·BC.设AB =1,AC =x ,则BC =1- x. ∴x 2=1×（1－x ） ∴x 2+ x －1=0 解这个方程，得x 1=-1+√52或x 2=-1-√52（不合题意，舍去），所以，黄金比AC AB =√5-12≈0.618。
3.作一条线段的黄金分割点.如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接DA ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. ［师］你知道为什么吗？若点C 为线段AB 的黄金分割点，则点C 分线段AB 所成的两条线段AC 、BC 间须满足ACBCAB AC =.下面请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设AB =1.证明：∵AB =1,AC =x ,BD =21AB =21 ∴AD =x +21在Rt △ABD 中，由勾股定理，得（x +21）2=12+（21）2∴x 2+x +41=1+41∴x 2=1－x ∴x 2=1·（1－x ） ∴AC 2=AB ·BC即：ACBC AB AC =即点C 是线段AB 的一个黄金分割点， 在x 2=1－x 中整理，得x 2+x －1=0∴x =2512411±-=+±- ∵AC 为线段长，只能取正∴AC =215-≈0.618 ∴ABAC≈0.618 ∴黄金比约为0.618. 3.想一想古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple ）.把它的正面放在一个矩形ABCD 中，以矩形ABCD 的宽AD 为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇地发现，BCABBE BC =,点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？［师］请大家互相交流.［生］因为四边形AEFD 是正方形，所以AD =BC =AE ,又因为BC AB BE BC =,所以AE AB BE AE =,即AEBEAB AE =,因此点E 是AB 的黄金分割点，矩形ABCD 宽与长的比是黄金比.［师］在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形.你学会作了吗？ Ⅲ.课时小结本节课学习了：1.黄金分割点的定义及黄金比.2.如何找一条线段的黄金分割点，以及会画黄金矩形.3.能根据定义判断某一点是否为一条线段的黄金分割点. Ⅳ.课后作业 习题4.8Ⅴ.活动与探究要配制一种新农药，需要兑水稀释，兑多少才好呢？太浓太稀都不行.什么比例最合适，要通过试验来确定.如果知道稀释的倍数在1000和2000之间，那么，可以把1000和2000看作线段的两个端点，选择AB 的黄金分割点C 作为第一个试验点，C 点的数值可以算是1000+（2000－1000）×0.618=1618.试验的结果，如果按1618倍，水兑得过多，稀释效果不理想，可以进行第二次试验.这次的试验点应该选AC 的黄金分割点D ，D 的位置是1000+（1618－1000）×0.618，约等于1382，如果D 点还不理想，可以按黄金分割的方法继续试验下去.如果太浓，可以选DC 之间的黄金分割点；如果太稀，可以选AD 之间的黄金分割点，用这样的方法，可以较快地找到合适的浓度数据.这种方法叫做“黄金分割法”.用这样的方法进行科学试验，可以用最少的试验次数找到最佳的数据，既节省了时间，也节约了原材料.●板书设计黄金分割同步练习（典型题汇总）C BA C BA一、选择题:1.如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BCAB AC=,那么下列说法错误的是( ) A.线段AB 被点C 黄金分割; B.点C 叫做线段AB 的黄金分割点C.AB 与AC 的比叫做黄金比;D.AC 与AB 的比叫做黄金比2.如图的五角星中,AC AB 与BCAC 的关系是( ) A.相等; B.AC AB >BC AC ; C.AC AB <BCAC; D.不能确定3.一条线段的黄金分割点有( )A.1个B.2个C.3个D.无数个4.黄金分割比是( )D.0.618 5.如图,点C 是AB 的黄金分割点,那么AC AB 与ACBC的值分别是( )6.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=2,则AC= ( ) A.12 B.1211 二、填空题:1.点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果_________,那么称线段AB 被点C•黄金分割,点C 叫做线段AB 的________,AC 与AB 的比叫做_________.2.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=1,则AC=_______,BC=______.3.已知点C 是AB 的黄金分割点,即AC AB =12,那么ACCB=________.4.如图,点C 是AB 的黄金分割点,AB=4,则AC 2=________.5.宽与长的比等于________的矩形叫做黄金矩形.6.已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________. 三、计算题:1.已知线段AB 长6厘米,点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,求AP 和BP 的长.2.仿照课本上“做一做”的方法,画出线段AB 的黄金分割点.BA3.请你在实际生活中搜集一个与黄金分割有关的资料,并与同伴相互交流.四、已知一个等腰三角形如果腰与底边的比是黄金比,•那么这样的等腰三角形称为黄金三角形.请你设法CBA作出一个黄金三角形.五、已知线段AB=1,C 为AB 的黄金分割点,且AC>BC,求AC-BC 的值.六、如图的五角星中,AD=BC,且C 、D 两点都是AB 的黄金分割点,AB=1,求CD 的长.D CBA七、已知C 、D 是线段AB 上的两点,且不难证明当AB=1时,C 、D 是线段AB 的黄金分割点,试探究当AB 任意长时,C 、D 是否是线段AB 的黄金分割点?为什么?答案:一、1.C 2.A 3.B 4.B 5.B 6.C二、1.AC BCAB AC=;黄金分割点;黄金比 2. 12;32-黄金比三、1.因为点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,所以AP PBAB AP==12,AP=12×AB=12×2.(1)过点B 作BD ⊥AB 且BD=12AB,连接AD (2)以D 为圆心BD 为半径作圆弧交AD 于E(3)以A 为圆心AE 为半径作圆弧交AB 于C,则C 为AB 的黄金分割点 3.查阅资料四、先做出线段AB,及其黄金分割点C(AC>BC)分别以A 、B 为圆心,AC 为半径作圆弧,交点为P,则△PAB 就是黄金三角形五、根据C 为AB 的黄金分割点,AC>BC 得AC AB,因为AB=1,所以AC=12BC=AB-AC=1-12= 32-,•所以AC-BC=12-32-六、根据C 、D 都是AB 的黄金分割点得ACAB =12,BD AB=12因为AB=1,所以,所以因此CD=AC-AD=12-32-七、C 、D 是线段AB 的黄金分割点.。