初中数学二次函数应用方法
初中数学知识点二次函数的运算与复合函数
初中数学知识点二次函数的运算与复合函数初中数学知识点：二次函数的运算与复合函数二次函数是数学中的重要概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
了解二次函数的运算以及与其他函数的组合关系对于提高数学水平和解决实际问题非常重要。
本文将详细介绍二次函数的运算以及复合函数的概念和应用。
一、二次函数的运算1. 二次函数的定义二次函数是指具有形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为实数，a≠0。
它的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
2. 二次函数的基本性质二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。
通过抛物线的顶点，可以确定对称轴的方程。
对称轴的方程为x=-b/2a。
3. 二次函数的平移二次函数关于x轴、y轴的平移分别是改变函数中的常数项c和一次项b的值。
平移时对称轴不改变。
4. 二次函数的求零点求二次函数的零点即为解二次方程ax²+bx+c=0的根。
利用求根公式或配方法可以求出零点。
5. 二次函数的最值当a>0时，二次函数的最值为最小值，即抛物线的顶点。
当a<0时，二次函数的最值为最大值，即抛物线的开口方向朝下。
二、复合函数的概念和应用1. 复合函数的定义复合函数是由两个或多个函数组合在一起形成的新函数。
设有函数f(x)和g(x)，则复合函数为f(g(x))。
2. 复合函数的运算法则复合函数的运算法则与基本函数的运算法则相同，按照从内到外的顺序进行运算。
3. 复合函数的应用复合函数的应用广泛，尤其在实际问题的建模和解决过程中。
通过将已知条件中的各个函数进行组合和转化，可以得到更加精确和实用的函数关系，帮助解决问题。
三、二次函数与复合函数的关系1. 二次函数的复合函数当二次函数作为底函数时，可以与其他函数进行复合，形成新的函数关系。
例如，把二次函数f(x)=x²和线性函数g(x)=2x+1进行复合得到新的函数h(x)=f(g(x))= (2x+1)²。
2. 复合函数的图像变换将一个函数的图像代入到另一个函数的公式中进行复合，可以得到复合函数的图像。
初中数学二次函数的解法与应用知识点总结
初中数学二次函数的解法与应用知识点总结二次函数是初中数学中重要的内容之一，它在代数与几何中都有广泛的应用。
本文将总结二次函数的解法与应用知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、二次函数的标准形式与一般形式二次函数的标准形式为：y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 为常数，且a ≠ 0。
二次函数的一般形式为：y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 可以是任意实数。
二、二次函数图像的性质1. 开口方向：- 当 a > 0 时，二次函数开口朝上；- 当 a < 0 时，二次函数开口朝下。
2. 对称轴：对于二次函数 y = ax² + bx + c，其对称轴为 x = -b / (2a)。
对称轴平分了抛物线，并且抛物线上任意两点关于对称轴对称。
3. 最值点：- 当 a > 0 时，二次函数的最小值为 c - (b² / (4a))，对应的 x 坐标为-b / (2a)；- 当 a < 0 时，二次函数的最大值为 c - (b² / (4a))，对应的 x 坐标为-b / (2a)。
三、二次函数的解法1. 求零点：通过解二次方程 ax² + bx + c = 0 来求二次函数的零点。
- 当Δ = b² - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ = b² - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根；- 当Δ = b² - 4ac < 0 时，方程无实数根。
2. 求顶点：二次函数的顶点为最值点，可通过顶点公式 x = -b / (2a) 来求得。
四、二次函数的应用知识点1. 面积与最值：在给定条件下，一个矩形的面积最大或最小值可以由一个二次函数的最值点确定。
2. 抛物线的运动轨迹：- 在自由落体的问题中，我们可以利用二次函数来建立小球的运动模型；- 在抛体运动的问题中，我们也可以通过二次函数来描述物体的轨迹。
中考数学压轴题，二次函数解题方法
二次函数是初中数学学习的重点也是难点，作为压轴题也是拉开中考分数差距的一个重要部分。
但是很多同学并不能准确快速的理解和掌握。
中考要拿高分，同学们要有这样的心态，会的题的不丢分，不会的题争取多拿分。
所以，我们在解压轴题时，首先就要有必胜的信心；其次要有扎实的基础知识和熟练的解题技能；此外我们要掌握常用的解题方法。
今天给大家分享几种常用的关于二次函数综合题的解题方法：1. 利用坐标系，建立数形结合意识从近几年各地中考二次函数综合题来看，大部分都是与坐标系有关的，它的特点是建立点与坐标之间的对应关系。
我们可以用代数方法研究几何图形的性质；还可以借助几何图形直观得到某些代数问题的答案。
比如：在函数图像中构造三角形（特殊的四边形）这样一来增加了题目的难度，既考查大家对函数知识的掌握程度，又能够通过增加几何的内容，让同学们把代数和几何结合起来，考查同学们利用所学知识解决问题的能力。
2. 利用直线或抛物线，掌握函数与方程直线与抛物线是一次函数与二次函数所表示的图像，是初中数学两类重要函数。
因此，无论是求它的解析式还是研究它的性质，都离不开函数与方程。
例如，利用待定系数法来确定函数解析式，我们需要根据已知条件列方程或方程组解之而得。
特别提醒大家，解题时要仔细计算，千万别马虎，方程计算的每一步都要认真检查，这对最后解答的正确非常重要。
所以，同学们在平时要重视对方程解答的练习。
3. 条件或结论的多变，注意分类讨论分类讨论，是检测同学们思维的准确性和严密性，涉及这种类型的试题，一般是通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考查。
有些问题，如果不注意对各种情况进行分类讨论，就有可能造成错解或漏解，近几年，用分类讨论解题已成为新的热点。
例如：二次函数中关于函数图象开口方向的问题需要考虑两种情况；二次函数中有关三角形相似的情况要考虑到三种情况并根据条件进行取舍等，这些基本情形，大家在做题时要考虑到，避免留下疏漏。
4. 综合多个知识点，灵活运用等价转换初中数学中的转换思想大体包括由已知向未知的转换，由复杂向简单的转换，而解答二次函数综合题，要注意的是不同知识点之间的联系与转换。
浅析数形结合在初中数学二次函数教学中的应用
浅析数形结合在初中数学二次函数教学中的应用对于九年级的孩子来说，数学学习的难度加大，二次函数作为一个需要动用学生综合思考能力的难题，一直是数学教学的重点。
实际上，进行函数学习，不仅是日后更深层次的数学学习基础，也对于学生数学思维的培养，具有程度的影响。
数与形是数学中的两个基本概念，不同的图形蕴含着不同的数值，而不同的数量关系，又能够通过数学图形展现出来，通过数形结合图像与竖直进行对照，能够更加简单的进行数学问题的解决，这也是二次函数教学过程当中的主要思想。
本文也是基于数形结合的思想，对初中数学二次函数教学的具体应用进行举例说明，希望能够提高函数教学的质量和学生学习的效率。
关键词：数形结合二次函数初中数学在数学学习的过程当中，数形结合的思想是教师教学的重点，它直接影响着学生思维能力的养成，也影响着学生的数学实际能力。
数形结合的题目大多是以二次函数相关知识来呈现的。
因此，在进行二次函数教学的过程当中，我们应该以数形结合思想为核心，将图像与数据有机结合起来，化抽象为具象，化繁为简，提高学生的解题能力。
数形结合的具体体现就是，在教学过程当中，由数据绘制图形，完成对数据的解题，由图形推断，数据完成对数据的具体计算，而在中考时，我们也要通过数形结合的思想，用数形相互对照完成高难度的函数题目解答。
1.由数定形，确定坐标由数定形的教学思想是通过数据的明确来对二次函数图像进行推断性落实，用代数的方法来解决关于二次函数图形的问题。
它是通过对未知二次函数的推断性数据代入，来完成对二次函数图像性质的描述。
在进行教学时，我们需要让学生意识到由数定形的思想可以运用在哪些方面。
在解决二次函数相关习题时，碰到系数未定的二次函数，我们首先需要抓住题目中给出的数据，将其对应图像在坐标系中进行展示，之后完成对整个函数图像的大致推断。
对于这类问题，我们首先需要确定的是题目中所给出的具体条件，并与坐标系上展示出来，观察分析他是否与已经学过的一些二次函数图像相似，作出二次函数系数正负值的推断，再去完成题目的解答。
初中数学_《二次函数的应用》(复习)教学设计学情分析教材分析课后反思
《二次函数的应用》教学设计35321212++-=x x y 3532121-2++=x x y 教学环节教学内容 学生活动环节目标 创设情境问题引入 1.已知二次函数 ，求出抛物线的顶点坐标与对称轴。
2.已知二次函数图象的顶点坐标是（6,2.6），且经过点（0,2），求这个二次函数的表达式 。
3.抛物线 c bx x y ++=261-经过点（0,4）经过点（3,217），求抛物线的关系式。
问题：（1）求二次函数顶点坐标的方法 （2）设表达式的思路（3）如何求二次函数与x 轴及y 轴的交点坐标课前布置，独立完成，上课时没完成的继续完成，之后组内批阅，找学生上台板演，并回答老师提出的问题。
这三个小题是后面实际应用问题的答案，学生在复习二次函数基础知识的同时，把后面的计算提到前面来，便于后面把教学重点放在解题思路的分析与掌握上，减少学生的计算量。
探索交流获得新知1例题解析例 1 ：这是王强在训练掷铅球时的高度y （m)与水平距离x(m)之间的函数图像，其关系式为 ，则铅球达到的最大高度是_____米，此时离投掷点的水平距离是____米。
铅球出手时的高度是_____米，此次掷铅球的成绩是____米。
2、跟踪练习：如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从1、学生独立思考后回答问题答案。
2、根据图像回答解题思路。
（前面已经求过前两个空，只计算后面两个即可）引导学生得到解决问题的方法：这四个问题都是求线段的长度，共同点为已知点的一个坐标，可将其代入表达式求另一个坐标，再把坐标转化成线段的长。
O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，出手后水平运行6米达到最大高度2.6米，(1) 运行的高度记为y(m)，运行的水平距离记为x(m)，建立平面平面直角坐标系如图，求y 与x的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2) 若球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m。
初中数学中的二次函数
二次函数：了解它的定义、性质和应用在初中数学中，我们学习了很多关于函数的知识。
其中，二次函数是一种非常常见的函数形式，被广泛应用于各个领域，例如经济学、物理学等。
本文将为您详细介绍二次函数的定义、性质和应用。
1. 什么是二次函数？二次函数是指形如$y=ax^2+bx+c$ 的函数，其中$a,b,c$ 都是实数且$a\neq0$。
其中，$a$ 控制着二次函数的开口方向和大小，$b$ 控制着二次函数的平移位置，$c$ 则是二次函数的纵截距。
2. 二次函数的性质（1）对称性二次函数的图像关于其顶点对称。
当$a>0$ 时，二次函数开口朝上，顶点为最小值点；当$a<0$ 时，二次函数开口朝下，顶点为最大值点。
（2）零点二次函数的零点是指函数图像与 $x$ 轴相交的点。
当 $b^2-4ac>0$ 时，二次函数有两个不同的实根；当$b^2-4ac=0$ 时，二次函数有一个重根；当$b^2-4ac<0$ 时，二次函数没有实根。
（3）最值当 $a>0$ 时，二次函数的最小值等于其顶点的纵坐标；当 $a<0$ 时，二次函数的最大值等于其顶点的纵坐标。
3. 二次函数的应用（1）物理学在物理学中，二次函数常被用于描述抛物线运动。
例如，一个运动物体在重力作用下的运动轨迹就可以用二次函数来表示。
（2）经济学在经济学中，二次函数常被用于分析成本和收益之间的关系。
例如，一家企业的生产成本可以用二次函数来表示，通过求导可以得到该企业的最优生产量。
（3）统计学在统计学中，二次函数常被用于拟合散点图。
例如，通过将散点图拟合成二次函数，可以预测出未来的趋势和表现。
总结在本文中，我们详细介绍了二次函数的定义、性质和应用。
二次函数在数学和其他学科中都有着广泛的应用，是我们必须掌握的一种函数形式。
希望本文对您学习二次函数有所帮助。
初三数学二次函数教案及教学方法
初三数学二次函数教案及教学方法二次函数的基本表示形式为y=ax+bx+c(a0)。
二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
二次函数表达式为y=ax+bx+c(且a0)，它的定义是一个二次多项式(或单项式)。
下面就是给大家带来的初三数学二次函数教案及教学方法，希望能帮助到大家!数学《二次函数》教案一教学目标(一)教学知识点1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.2.进一步发展估算能力.(二)能力训练要求1.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验.2.利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想.(三)情感与价值观要求通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力.教学重点1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.教学难点利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.教学方法学生合作交流学习法.教具准备投影片三张第一张：(记作2.8.2A)第二张：(记作2.8.2B)第三张：(记作2.8.2C)教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y=0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可.但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算.本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根.数学《二次函数》教案二教学目标(一)教学知识点1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.(二)能力训练要求1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神.2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想.3.通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识.(三)情感与价值观要求1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2.具有初步的创新精神和实践能力.教学重点1.体会方程与函数之间的联系.2.理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.教学难点1.探索方程与函数之间的联系的过程.2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.教学方法讨论探索法.教具准备投影片二张第一张：(记作2.8.1A)第二张：(记作2.8.1B)教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[师]我们学习了一元一次方程kx+b=0(k0)和一次函数y=kx+b(k0)后，讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数y=kx+b(k0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.初三数学二次函数教案教学方法在整个中学数学知识体系中，二次函数占据极其关键且重要的地位，二次函数不仅是中高考数学的重要考点，也是线性数学知识的基础。
中考初中数学一轮复习专题导引40讲-15二次函数的应用
中考初中数学一轮复习专题导引40讲第15讲二次函数的应用☞考点解读：知识点名师点晴二次函数的应用1.实际背景下二次函数的关系会运用二次函数的性质求函数的最大值或最小值来解决最优化问题。
2.将实际问题转化为数学中二次函数问题会根据具体情景，建立适当的平面直角坐标系。
3.利用二次函数来解决实际问题的基本思路（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展。
☞考点解析：考点1：二次函数与几何的综合运用。
基础知识归纳：求点的坐标，求抛物线解析式，求线段长或图形面积的最值，点的存在性。
基本方法归纳：待定系数法、数形结合思想、分类讨论思想。
注意问题归纳：合理使用割补法表达面积，分类讨论要全面。
【例1】（湖北十堰·12分）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标，作△POB和△PBC的高线，根据面积相等可得OE=CF，证明△OEG≌△CFG，则OG=CG=2，根据三角函数列式可得P的坐标，利用待定系数法求一次函数AP 和BC的解析式，k相等则两直线平行；（3）先利用概率的知识分析A，B，C，E中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与△AB E有可能相似，即△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，根据存在公共角∠BAE=∠BAC，可得△ABE∽△ACB，列比例式可得E的坐标，利用待定系数法求直线BE的解析式，与抛物线列方程组可得交点D的坐标；C.EABEC.E，C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，同理可得结论．解：（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y=x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；（2）当y=0时，x2﹣x﹣4=0，解得：x=﹣2或4，∴C（4，0），如图1，过O作OE⊥BP于E，过C作CF⊥BP于F，设PB交x轴于G，∵S△PBO=S△PBC，∴，∴OE=CF，易得△OEG≌△CFG，∴OG=CG=2，设P（x，x2﹣x﹣4），过P作PM⊥y轴于M，tan∠PBM===，∴BM=2PM，∴4+x2﹣x﹣4=2x，x2﹣6x=0，x1=0（舍），x2=6，∴P（6，8），易得AP的解析式为：y=x+2，BC的解析式为：y=x﹣4，∴AP∥BC；（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC.△ABE.△ACE.△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC，∴∠ABE=∠ACB=45°，∴△ABE∽△ACB，∴，∴，∴AE=，∴E（，0），∵B（0，﹣4），易得BE：y=，则x2﹣x﹣4=x﹣4，x1=0（舍），x2=，∴D；C.EABEC.E，C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，∵∠BEA=∠BEC，∴当∠ABE=∠BCE时，△ABE∽△BCE，∴==，设BE=2m，CE=4m，Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2，∴，3m2﹣8m+8=0，（m﹣2）（3m﹣2）=0，m1=2，m2=，∴OE=4m﹣4=12或，OE=C.EOE= C.E∠AEB是钝角，此时△ABE与以B，C.E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，∴E（﹣12，0）；同理得BE的解析式为：y=﹣x﹣4，﹣x﹣4=x2﹣x﹣4，x=或0（舍）∴D（，﹣）；综上，点D的坐标为或（，﹣）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、一元二次方程、三角形面积以及勾股定理，第3问有难度，确定三角形与△ABE相似并画出图形是关键．【变式1】（四川省攀枝花）如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于C点，且+=﹣．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线顶点为D，直线BD交y轴于E点；B.DP为线段BD上一点（点P不与B.D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF 面积的最大值；②在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线对称轴为直线x=1∴﹣∴b=2由一元二次方程根与系数关系：x1+x2=﹣，x1x2=∴+==﹣∴﹣则c=﹣3∴抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3（2）由（1）点D坐标为（1，﹣4）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0解得x1=﹣1，x2=3∴点B坐标为（3，0）①设点F坐标为（a，b）∴△BDF的面积S=×（4﹣b）（a﹣1）+（﹣b）（3﹣a）﹣×2×4整理的S=2a﹣b﹣6∵b=a2﹣2a﹣3∴S=2a﹣（a2﹣2a﹣3）﹣6=﹣a2+4a﹣3∵a=﹣1＜0∴当a=2时，S最大=﹣4+8﹣3=1②存在由已知点D坐标为（1，﹣4），点B坐标为（3，0）∴直线BD解析式为：y=2x﹣6则点E坐标为（0，﹣6）BC.CDBC.CD，则由勾股定理CB2=（3﹣0）2+（﹣3﹣0）2=18CD2=12+（﹣4+3）2=2BD2=（﹣4）2+（3﹣1）2=20∴CB2+CD2=BD2∴∠BDC=90°∵∠BDC=∠QCE∴∠QCE=90°∴点Q纵坐标为﹣3代入﹣3=2x﹣6∴x=∴存在点Q坐标为（，﹣3）【例2】（云南省曲靖）如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A 的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．解：（1）当y=0时，x﹣=0，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，得，解得，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴=，=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．∵CF=3BE=3a﹣18，∴OF=3a﹣20．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴=，=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q（2，﹣6）．综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【变式2】【例3】（湖北江汉·12分）抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y=t（t＜）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点A，B，D的坐标分别为，，；（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；（3）如图②，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A.B的坐标，再利用配方法即可找出抛物线的顶点D的坐标；（2）由点D的坐标结合对称找出点E的坐标，根据点B.C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出t的取值范围；（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m，分m＜或m＞3及≤m≤3两种情况，利用勾股定理找出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，进而可找出点P的坐标，此题得解．解：（1）当y=0时，有﹣x2+x﹣1=0，解得：x1=，x2=3，∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（3，0）．∵y=﹣x2+x﹣1=﹣（x2﹣x）﹣1=﹣（x﹣）2+，∴点D的坐标为．故（，0）；（3，0）；．（2）∵点E.点D关于直线y=t对称，∴点E的坐标为（，2t﹣）．当x=0时，y=﹣x2+x﹣1=﹣1，∴点C的坐标为（0，﹣1）．设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b，将B（3，0）、C（0，﹣1）代入y=kx+b，，解得：，∴线段BC所在直线的解析式为y=x﹣1．∵点E在△ABC内（含边界），∴，解得：≤t≤．（3）当x＜或x＞3时，y=﹣x2+x﹣1；当≤x≤3时，y=x2﹣x+1．假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m．①当m＜或m＞3时，点Q的坐标为（m，﹣x2+x﹣1）（如图1），∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴CP⊥PQ，∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（﹣m2+m）2=m2+1+m2+（﹣m2+m﹣1）2，整理，得：m1=，m2=，∴点P的坐标为（，0）或（，0）；②当≤m≤3时，点Q的坐标为（m，x2﹣x+1）（如图2），∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴CP⊥PQ，∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（m2﹣m+2）2=m2+1+m2+（m2﹣m+1）2，整理，得：11m2﹣28m+12=0，解得：m3=，m4=2，∴点P的坐标为（，0）或（1，0）．综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，点P的坐标为（，0）、（，0）、（1，0）或（，0）．【变式3】（辽宁省沈阳市）（12.00分）如图，在平面角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y 轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q 的坐标．【分析】（1）应用待定系数法；（2）把x=t带入函数关系式相减；（3）根据图形分别讨论∠ANM=90°、∠AMN=90°时的情况．（4）根据题意画出满足条件图形，可以找到AN为△KNP对称轴，由对称性找到第一个满足条件Q，再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点．利用勾股定理进行计算．解：（1）∵抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1）∴解得：∴抛物线C1：解析式为y=x2+x﹣1（2）∵动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M∴点N的纵坐标为t2+t﹣1，点M的纵坐标为2t2+t+1∴MN=（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）=t2+2（3）共分两种情况①当∠ANM=90°，AN=MN时，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1）∴AN=t﹣（﹣2）=t+2∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0（舍去），t2=1∴t=1②当∠AMN=90°，AN=MN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1）∴AM=t﹣（﹣2）=t+2，∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0，t2=1（舍去）∴t=0故t的值为1或0（4）由（3）可知t=1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图：易得K（0，3），B.O、N三点共线∵A（﹣2，1）N（1，1）P（0，﹣1）∴点K、P关于直线AN对称设⊙K与y轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2）∴Q2与点P关于直线AN对称∴Q2是满足条件∠KNQ=∠BNP．则NQ2延长线与⊙K交点Q1，Q1.Q2关于KN的对称点Q3.Q4也满足∠KNQ=∠BNP．由图形易得Q1（﹣3，3）设点Q3坐标为（a，b），由对称性可知Q3N=NQ1=BN=2由∵⊙K半径为1∴解得，1同理，设点Q4坐标为（a，b），由对称性可知Q4N=NQ2=NO=∴解得，∴满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（﹣3，3）、、【点评】本题为代数几何综合题，考查了二次函数基本性质．解答过程中应用了分类讨论、数形结合以及构造数学模型等数学思想．考点2：二次函数与实际应用题的综合运用基础知识归纳：待定系数法求抛物线解析式，配方法求二次函数最值。
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初中数学二次函数应用方法
初中数学二次函数应用学习方法
学生是学习的主体，老师是学习的主导。
教师要因人而异，因材施教，方能取得较好的课堂效果。
二次函数应用
在期末复习期间，我们在区教研室和学校领导的指导下，通过“初备一一交流一一复备一一再交流”，完成了《二次函数应用》的复习。
通过本次活动，使我受益匪浅。
一、集体智慧胜于个人智慧。
备课期间大家各显神通，献计献
尺0
束。
二、备学生要胜于备教材。
三、化难为易，化繁为简。
教师在课堂上应该起到把握重点，分解难点的作用。
四、勤于思考，善于总结。
在大量的习题中，在众多的方法下, 指导学生梳理知识，归纳题型，提炼方法，总结规律。
以提高学生的分析问题解决问题的能力。
温馨建议：备课时将问题设置成问题串，为学生搭建解决问题的台阶。
初中数学解题方法之常用的公式
下面是对数学常用的公式的讲解，同学们认真学习哦。
对于常用的公式
如数学中的乘法公式、三角函数公式，常用的数字，女口11〜25 的平
方，特殊角的三角函数值，化学中常用元素的化学性质、化合价以及化学反
应方程式等等，都要熟记在心，需用时信手拈来，则对提高演算速度极为有利。
总之，学习是一个不断深化的认识过程，解题只是学习的一个重要环节。
你对学习的内容越熟悉，对基本解题思路和方法越熟悉，背熟的数字、公式越多，并能把局部与整体有机地结合为一体，形成了跳跃性思维，就可以大大加快解题速度。
初中数学解题方法之学会画图数学的解题中对于学会画图是有必要的，希望同学们很好的学会画图。
学会画图
画图是一个翻译的过程。
读题时，若能根据题义，把对数学（或其他学科）语言的理解，画成分析图，就使题目变得形象、直观。
这样就把解题时的抽象思维，变成了形象思维，从而降低了解题难度。
有些题目，只要分析图一画出来，其中的关系就变得一目了然。
尤其是对于几何题，包括解析几何题，若不会画图，有时简直是无从下手。
所以，牢记各种题型的基本作图方法，牢记各种函数的图像和意义及演变过程和条件，对于提高解题速度非常重要。
画图时应注意尽量画得准确。
画图准确，有时能使你一眼就看出答案，再进一步去演算证实就可以了；反之，作图不准确，有时会将你引入歧
途。
初中数学解题方法之审题对于一道具体的习题，解题时最重要的环节
是审题。
审题
认真、仔细地审题。
审题的第一步是读题，这是获取信息量和思考的过程。
读题要慢，一边读，一边想，应特别注意每一句话的内在涵义，并从中找出隐含条件。
读题一旦结束，哪些是已知条件？求解的结论是什么？还缺少哪些条件，可否从已知条件中推出？在你的脑海里，这些信息就应该已经结成了一张网，并有了初步的思路和解题方案，然后就是根据自己的思路，演算一遍，加以验证。
有些学生没有养成读题、思考的习惯，心里着急，匆匆一看，就开始解题，结果常常是漏掉了一些信息，花了很长时间解不出来，还找不到原因，想快却慢了。
很多时候学生来问问题，我和他一起读题，读到一半时，他说：“老师，我会了。
”
所以，在实际解题时，应特别注意，审题要认真、仔细。
初中数学解题方法之增加习题的难度
人们认识事物的过程都是从简单到复杂，一步一步由表及里地深入下去。
增加习题的难度
应先易后难，逐步增加习题的难度。
一个人的能力也是通过锻炼逐步增长起来的。
若简单的问题解多了，从而使概念清晰了，对公式、定理以及解题步骤熟悉了，解题时就会形成跳跃性思维，解题的速度就会大大提高。
养成了习惯，遇到一般的难题，同样可以保持较高的解题速度。
而我们有些学生不太重视这些基本的、简单的习题，认为没有必要花费时间去解这些简单的习题，结果是概念不清，公式、定理及解题步骤不熟，遇到稍难一些的题，就束手无策，解题速度就更不用说了。
其实，解简单容易的习题，并不一定比解一道复杂难题的劳动强度和
效率低。
比如，与一个人扛一大袋大米上五层楼相比，一个人拎一个小提包也上到五层楼当然要轻松得多。
但是，如果扛米的人只上一次，而拎包的人要来回上下50 次、甚至100次，那么，拎包人比扛米人的劳动强度大。
所以在相同时间内，解50 道、100道简单题，可能要比解一道难题的劳动强度大。
再如，若这袋大米的重量为100 千克，由于太重，超出了扛米人的能力，以至于扛米人费了九牛二虎之力，却没能扛到五楼，虽然劳动强度很大，却是劳而无功。
而拎包人一次只拎10千克，15次就可以把150 千克的大米拎到五楼，劳动强度也许并不很大，而效率之高却是不言而喻的。
由此可见，去解一道难以解出的难题，不如去解30 道稍微简单一些的习题，其收获也许会更大。
因此，我们在学习时，应根据自己的能力，先去解那些看似简单，却很重要的习题，以不断提高解题速度和解题能力。
随着速度和能力的提高，再逐渐增加难度，就会达到事半功倍的效果。
初中数学解题方法之归纳总结下面是对数学解题归纳总结的讲解，希
望给同学们的学习很好
的帮助。
要学会归纳总结
在解过一定数量的习题之后，对所涉及到的知识、解题方法进行归纳总结，以便使解题思路更为清晰，就能达到举一反三的效果，对于类似的习题一目了然，可以节约大量的解题时间。
以上对数学归纳总结知识的内容讲解，希望同学们都能很好的掌握，相信同学们会学习的很好。