合肥市高二上学期期末数学试卷(理科)(II)卷(考试)
合肥市高二上学期期末数学试卷（理科）（II）卷
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)
1. （2 分） 已知直线
， 则直线 l 的倾斜角为（ ）
A.
B.
C.
D.
2. （2 分） (2019 高二上·吴起期中) 命题“若
，则
”的否命题为（ ）
A.若
，则
且
B.若
，则
或
C.若
，则
且
D.若
，则
或
3. （2 分） 在三棱柱
面
所成角的大小是 （
中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点 D 是侧面 ）
的中心，则 AD 与平
A.
B.
C.
D.
4. （2 分） 过圆
外一点
作圆的两条切线，切点分别为 ， 则
的外接圆方程是（ ）
A.
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B.
C.
D. 5. （2 分） (2016 高二上·青海期中) 如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E、F、G 分别是棱 A1B1、BB1、 B1C1 的中点，则下列结论中： ①FG⊥BD ②B1D⊥面 EFG ③面 EFG∥面 ACC1A1 ④EF∥面 CDD1C1 正确结论的序号是（ ）
A . ①和② B . ②和④ C . ①和③ D . ③和④ 6. （2 分） 直线 A. B.
与直线
垂直，垂足为
，则 的值为（ ）
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C.0 D . 10 7. （2 分） (2020 高一上·黄陵期末) 有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位 cm），则该几何体的体积为： （）
A . 6πcm3 B . 12πcm3 C . 24πcm3 D . 36πcm3 8. （2 分） 已知 A（2，0，1），B（1，﹣3，1），点 M 在 x 轴上，且到 A、B 两点的距离相等，则 M 的坐标为 （） A . （﹣3，0，0） B . （0，﹣3，0） C . （0，0，﹣3） D . （0，0，3） 9. （2 分） 已知平面 α 的法向量为（2，﹣4，﹣2），平面 β 的法向量为（﹣1，2，k），若 α∥β，则 k= ﹙） A . -2
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B . -1 C.1 D.2 10. （2 分） (2017·辽宁模拟) 若三棱锥 S﹣ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2， 则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A.
B. C. D.
11. （2 分） 设变量 x,y 满足约束条件 A.2 B.3 C.5 D.7
， 则目标函数 z=2x+y 的最小值为（ ）
12. （2 分） 已知圆心在原点，半径为 R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中 A（2，﹣2），B（2，1），C（ ， 1），则 R 的最小值为（ ）
A.
B. C.
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D.8
二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)
13. （1 分） (2016 高一下·南京期末) 在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l：y﹣1=k（x﹣ 四象限，则实数 k 的取值范围是________．
）不经过第
14. （1 分） 若存在实数 x∈[1，2]满足 2x2﹣ax+2＞0，则实数 a 的取值范围是________ ．
15. （1 分） 如图，已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 ， AA1=2，E 为棱 CC1 的中点，则 AE 与平面 B1BCC1 所成的
角为________ (arcsin ,arccos )（结果用反三角表示）
16. （1 分） (2017 高三上·赣州期末) 如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图，则该几何体的 体积为________．
三、 解答题 (共 6 题；共 40 分)
17. （5 分） 已知直线 l1：mx+8y+n=0 与 l2：2x+my﹣1=0 互相平行，且 l1 ， l2 之间的距离为 线 l1 的方程．
，求直
18. （10 分） 已知命题 p：∃ x0∈[0，2]，log2（x0+2）＜2m；命题 q：关于 x 的方程 3x2﹣2x+m2=0 有两个
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相异实数根． （1） 若（￢p）∧q 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2） 若 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，求实数 m 的取值范围．
19. （5 分） (2017·安庆模拟) 在如图所示的五面体中，面 ABCD 为直角梯形，∠BAD=∠ADC= 平面 ABCD，EF=2DC=4AB=4，△ADE 是边长为 2 的正三角形．
，平面 ADE⊥
（Ⅰ）证明：BE⊥平面 ACF；
（Ⅱ）求二面角 A﹣BC﹣F 的余弦值．
20. （5 分） (2015 高一上·扶余期末) 设圆上的点 A（2，3）关于直线 x+2y=0 的对称点仍在圆上，且与直线 x﹣y+1=0 相交的弦长为 2 ，求圆的方程．
21. （5 分） 如图，ABCD 与 ADEF 均为平行四边形，M，N，G 分别是 AB，AD，EF 的中点． （1）求证：BE∥平面 DMF； （2）求证：平面 BDE∥平面 MNG．
22. （10 分） (2016 高二上·成都期中) 某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭
载若干件新产品 A、B，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载
安排，有关数据如下表：
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每件产品 A
研制成本、搭载
20
费用之和（万元）
产品重量（千克）
10
预计收益（万元）
80
每件产品 B
30
计划最大资金额
300 万元
5
最大搭载重量 110 千克
60
分别用 x，y 表示搭载新产品 A，B 的件数．总收益用 Z 表示
（1） 用 x，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（2） 问分别搭载新产品 A、B 各多少件，才能使总预计收益达到最大？并求出此最大收益．
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一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)
1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、
二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)
13-1、 14-1、
参考答案
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15-1、 16-1、
三、 解答题 (共 6 题；共 40 分)
17-1、 18-1、
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18-2、
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19-1、
20-1、21-1、
22-1、22-2、。
2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试卷及答案
2015-2016学年度 第一学期期末质量监测高二数学（理科）试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A.6π B.3π C.23π D.56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为 A. 220x y +-= B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12, 则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π 4. 在空间中，下列命题正确的是 A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B.31 C. 3 D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[-D. ]22,22[-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a，)2,,5(--=y b 且a b ⊥ ，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =-且AB ∥a .则点A 的坐标为________.12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点. 求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合).（I ） 求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点. （I ） 求证：AC ⊥PB ； （II ） 求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分）已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ） 求p 的值；（II ） 设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：DO A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6. （I ） 求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末质量检测高二数学（理科）试卷参考答案2016.1一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =±10. -411. (1,-2,0)12. 313. (-4,24±)14. （13133，13132） 说明：1.第9题，答对一个空给3分。
高二理科数学上学期期末原创卷02(人教必修2+选修2-1)
高二理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．对于命题:p x ∃∈R ，使得210x x ++<，则p ⌝是 A ．:p x ⌝∀∈R ，210x x ++> B ．:p x ⌝∃∈R ，210x x ++≠ C ．:p x ⌝∀∈R ，210x x ++≥D ．:p x ⌝∃∈R ，210x x ++<2．已知点(1,2,1)A -，点C 与点A 关于平面xOy 对称，点B 与点A 关于x 轴对称，则||BC =A ．B ．C ．D ．43．过点(2,0)且与直线230x y -+=垂直的直线方程是 A ．220x y --= B ．220x y +-= C ．240x y +-= D ．220x y +-=4．已知双曲线22116y x m-=的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为A ．y x =B ．y x =C ．y =D ．y =5．若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是A ．若,m αββ⊥⊥，则//m αB ．若//,m n m α⊥，则n α⊥C ．若//,//,,m n m n ααββ⊂⊂，则//αβD ．若m ∥β,m ⊂α,α⋂β=n ，则//m n 6．设x ∈R ，若“2)og (l 11x -<”是“221x m >-”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是A ．[B ．(1,1)-C ．(D ．[1,1]-7．若圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为 A ．22230x y x +--= B ．2240x y x ++= C ．2240x y x +-=D ．22230x y x ++-=8．已知F 是椭圆C ：22195x y +=的左焦点，P 为C 上一点，4(1,)3A ，则||||PA PF +的最小值为 A ．10B ．11C ．4 D ．139．某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A ．4π643-B ．64－4πC ．64－6πD ．64－8π10．已知直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于M N 、两点，若||MN ≥k 的取值范围是A ．3[,0]4-B ．3(,][0,)4-∞-+∞C ．[D ．2[,0]3-11．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，∠BAC =90°，AB =AC =2，AA 1，则AA 1与平面AB 1C 1所成的角为A ．π6B ．π4C ．π3D ．π212．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|||AK AF =，则AFK △的面积为A ．4B ．8C ．16D ．32第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．命题“若实数a 、b 满足5a b +≤，则2a ≤或3b ≤”是________命题（填“真”或“假”）.14．若1a >，则双曲线22213x y a -=的离心率的取值范围是___________． 15．已知四棱锥-P ABCD 的顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是边长为2的正方形，且PA ⊥平面ABCD ，四棱锥-P ABCD 的体积为163，则该球的体积为___________． 16．若直线:10l ax by ++=始终平分圆22:4210M x y x y ++++=的周长，则22(2)(2)a b -+-的最小值为___________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知命题p ：二次函数2()76f x x x =-+在区间[,)m +∞上是增函数；命题q ：双曲线22141x y m m -=--的离心率的取值范围是)+∞.（1）分别求命题p ，命题q 均为真命题时，m 的取值范围；（2）若“p 且q ” 是假命题，“p 或q ”是真命题，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知圆C 经过原点O （0，0）且与直线y =2x ﹣8相切于点P （4，0）． （1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 经过点（4, 5），且与圆C 相交于M ，N 两点，若|MN|=2，求出直线l 的方程． 19．（本小题满分12分）已知直线:2l y x b =+与抛物线21:2C y x =. （1）若直线与抛物线相切，求实数b 的值.（2）若直线与抛物线相交于A 、B 两点，且｜AB ｜=10，求实数b 的值.20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，∆ABC 顶点的坐标分别为A (−1,2)、B (1,4)、C(3,2)．（1）求∆ABC 外接圆E 的方程；（2）若直线l 经过点(0,4)，且与圆E 相交所得的弦长为l 的方程；（3）在圆E 上是否存在点P ，满足22||2||PB PA =12，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥S -ABCD ，底面梯形ABCD 中，BC ∥AD ，平面SAB ⊥平面ABCD ，SAB △是等边三角形，已知AC =2AB =4，BC =2AD =2DC =（1）求证:平面SAB ⊥平面SAC ； （2）求二面角B-SC-A 的余弦值.22．（本小题满分12分）设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，右顶点是A(2,0)，离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于两点,M N (,M N 不同于点A )，且AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∙AN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，求证：直线l 过定点，并求出定点坐标.。
数学期末考试试卷及答案(高二上学期)
数学期末考试试卷及答案（高二上学期）一、选择题（共40分，每小题2分）1. 一次函数y = 2x - 3的图象是直线，下列说法正确的是（）。
A. 过点(-3, 3)B. 过点(0, -3)C. 过点(3, 0)D. 过点(0, 3)答案：C2. 已知函数y = ax² + bx + c的图象经过点(1, 4)，则a + b + c的值为（）。
A. 4B. 6C. 8D. 10答案：B3. 在直角坐标系中，已知点A(2, 3)，点B在x轴上，且AB = 5，则点B的坐标为（）。
A. (2, 0)B. (0, -3)C. (7, 0)D. (-3, 0)答案：A4. 设函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x² - 4，则f(g(2))的值为（）。
A. 3B. 7C. 9D. 11答案：C5. 函数y = x² - 6x + 8的图象是一条抛物线，下列说法正确的是（）。
A. 开口向上B. 开口向下C. 与x轴平行D. 与y轴平行答案：A二、解答题（共60分）6. 解方程组：2x - y = 3x + y = 5解答：将第一式两边同时加上第二式得到：2x - y + x + y = 3 + 53x = 8x = 8/3将x的值代入第二式得到：8/3 + y = 5y = 5 - 8/3y = 15/3 - 8/3y = 7/3因此，方程组的解为x = 8/3，y = 7/3。
7. 某商品原价为120元，现在打8折出售，求出售价格。
解答：打8折即为原价乘以0.8，所以出售价格为120元 × 0.8 = 96元。
8. 某数的5倍减去6等于30，求这个数。
解答：设这个数为x，则根据题意可以列出方程：5x - 6 = 305x = 30 + 65x = 36x = 36/5因此，这个数为36/5。
9. 已知等差数列的首项为3，公差为4，求第10项。
解答：第10项可以通过首项加上9倍公差来计算：第10项 = 3 + 9 × 4= 3 + 36= 39因此，第10项为39。
2014-2015年安徽省合肥一中高二第一学期数学期末试卷(理科)及解析
【精品文档，百度专属】2014-2015学年安徽省合肥一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每题5分，请将正确答案的序号填涂在答题卷上．）1．（5分）点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0B．2x+y﹣3=0C．x﹣y﹣3=0D．2x﹣y﹣5=0 2．（5分）设l是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中，假命题是（）A．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于βB．如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于βC．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γD．如果α⊥β，l与α，β都相交，则l与α，β所成的角互余3．（5分）“若a≥，则?x≥0，都有f（x）≥0成立”的逆否命题是（）A．若?x≥0，有f（x）＜0成立，则a＜B．若?x＜0，f（x）≥0，则a＜C．若?x≥0，都有f（x）＜0成立，则a＜D．若?x＜0，有f（x）＜0成立，则a＜4．（5分）下列命题中正确的是（）A．平行于圆锥的一条母线的截面是等腰三角形B．平行于圆台的一条母线的截面是等腰梯形C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D．过圆台底面中心的一个截面是等腰梯形5．（5分）椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，恰好是含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．或D．或6．（5分）空间直角坐标系中，向量=（x1，y1，z1），向量=（x2，y2，z2），则“==”是“向量与共线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）函数图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是（）A．B．C．D．9．（5分）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条10．（5分）设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共5小题，每题5分，请将正确答案填写在答题卷上．）11．（5分）过两点A（m2+2，m2﹣3），B（3﹣m2﹣m，2m）的直线l的倾斜角为45°，则实数m的值为．12．（5分）如图所示，F为双曲线C：的左焦点，双曲线C上的点P i 与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|。
高二上学期期末考试数学(理科)试卷(含参考答案)
高二第一学期理科数学期末考试试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合2{14}A x x =<<，{lg(1)}B x y x ==-，则AB =（ ）A ．{12}x x <<B ．{12}x x ≤<C ．{12}x x -<<D ．{12}x x -≤< 2. 如果命题“p 且q ”是假命题，“q ⌝”也是假命题，则( ) A ．命题“⌝p 或q ”是假命题 B ．命题“p 或q ”是假命题 C ．命题“⌝p 且q ”是真命题 D ．命题“p 且q ⌝”是真命题3. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，7825a a -=，则11S 为( ） A. 110 B. 55 C. 50 D. 不能确定4. 以抛物线28y x =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ） A. 22(1)1x y ++= B. 22(1)1x y -+= C. 22(2)4x y ++= D. 22(2)4x y -+=5．“3a =”是 “函数()3xf x ax =-有零点”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6.已知n m ,是两条不同的直线, βα,是两个不同的平面,给出下列命题： ①若βα⊥,α//m ,则β⊥m ； ②若α⊥m,β⊥n ,且n m ⊥,则βα⊥；③若β⊥m ,α//m ,则β⊥α； ④若α//m ,β//n ,且n m //,则βα//． 其中正确命题的序号是（ ）A ．①④B ．②④C ．②③ D．①③7．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题： “今有蒲生一日，长三尺。
莞生一日，长一尺。
蒲生日自半。
莞生日自倍。
问几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍．为了解决这个新问题，设计右面的程序框图，输入3A =，1a =．那么在①处应填（ ）A ．2?T S >B ．2?S T >C ．2?S T <D ．2?T S < 8.过函数()3213f x x x =-图象上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角的范围为( )A. 3[0,]4π B.3π[0,)[,π) 24π⋃ C. 3π[,π) 4 D. 3(,]24ππ 9．已知定义在R 上的函数()f x 满足： ()1y f x =-的图象关于()1,0点对称，且当0x ≥时恒有()()2f x f x +=，当[)0,2x ∈时， ()1x f x e =-，则()()20162017f f +-= ( )(其中e为自然对数的底)A. 1e -B. 1e -C. 1e --D. 1e +10．已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，63AB =，6AC =，12AE ED =，则A E E B ⋅等于（ ） A. 14- B. 9- C. 9 D.1411.在平面直角坐标系中，不等式组22200x y x y x y r +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩（r 为常数）表示的平面区域的面积为π，若,x y 满足上述约束条件，则13x y z x ++=+的最小值为 （ ）A ．1- B．17- C. 13 D ．75-12. 设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，过2F 的直线与双曲线的右支交于B A ,两点，若AB F 1∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则=2e （ ）A.221+B. 224-C.225-D.223+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.14．已知α为锐角，向量(cos ,sin )a αα=、(1,1)b =-满足223a b ⋅=，则sin()4πα+= ．15．某三棱锥的三视图如图所示，则其外接球的表面积为______．16．若实数,,a b c 满足22(21)(ln )0a b a c c --+--=，则b c -的最小值是_________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17. （本小题满分10分）在数列{}n a 中，14a =，21(1)22n n na n a n n +-+=+.（1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 18. （本小题满分12分） 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c，且sin sin sin sin 3a Ab Bc C C a B +-= .（1）求角C ；（2）若ABC ∆的中线CD 的长为1，求ABC ∆的面积的最大值.19．（本小题满分12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01）．（若75.0||>r ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．附：相关系数公式∑∑∑===----=ni in i ini iiy y x x y y x x r 12121)()())((，参考数据55.03.0≈，95.09.0≈．20．（本小题满分12分）在五面体ABCDEF 中， ////,222AB CD EF CD EF CF AB AD =====,60DCF ︒∠=,AD ⊥平面CDEF .（1）证明:直线CE ⊥平面ADF ； （2）已知P 为棱BC 上的点，23CP CB =，求二面角P DF A --的大小.21. （本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(1,0)F ，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P ，Q 两点，当直线PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60︒． （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点(,0)T t (0)t ≠，使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，说明理由．22.（本小题满分12分）已知函数()ln a f x x x=+. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）证明：当2a e≥时， ()x f x e ->.高二数学期末考试试题参考答案ACBDA CBBAD DC 13. 56 14．315. 323π 16. 117.解：（1）21(1)22n n na n a n n +-+=+的两边同时除以(1)n n +，得*12()1n na a n n n+-=∈+N ， …………3分 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为2的等差数列. …………………4分（2）由（1），得22n an n=+，…………………5分所以222n a n n =+，故2111(1)111()222(1)21n n n a n n n n n n +-==⋅=⋅-+++，………………7分所以111111[(1)()()]22231n S n n =-+-++-+， 1111111[(1)()]223231n n =++++-++++ 11(1)212(1)n n n =-=++. ……………10分 18.解：(1)∵ sin sinsin sin a A b B c C Ca B +-=，222cos 2a b c C Cab +-∴==…………4分,即tan C =(0,)C π∈3C π∴=.………………6分(2) 由222211()(2)44CD CA CB CA CB CA CB =+=++⋅ 即2222111(2cos )()44b a ab C b a ab =++=++…………………8分从而22442,3ab a b ab ab -=+≥≤（当且仅当a b ==10分 即114sin 223ABC S ab C ∆=≤⨯=…………………12分19．解：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==．………1分因为51()()(3)(1)000316iii x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，…………………2分 ，52310)1()3()(22222512=+++-+-=-∑=i ix x …………………………3分=…………………………4分所以相关系数()()0.95ni ix x y yr--===≈∑．………………5分因为0.75r>，所以可用线性回归模型拟合y与的关系．……………6分（2）记商家周总利润为Y元，由条件可得在过去50周里：当70X>时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，周总利润Y=1×3000-2×1000=1000元．…………8分当5070X≤≤时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，周总利润Y=2×3000-1×1000=5000元．……………………………9分当50X<时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润Y=3×3000=9000元．…………………10分所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005460050Y⨯+⨯+⨯==元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元．………………………12分20．证明：（1）//,2,CD EF CD EF CF===∴四边形CDEF为菱形，CE DF∴⊥，………1分又∵AD⊥平面CDEF∴CE AD⊥………2分又,AD DF D⋂=∴直线CE⊥平面ADF.………4分(2) 60DCF∠=，DEF∴∆为正三角形，取EF的中点G，连接GD，则,GD EF GD CD⊥∴⊥，又AD⊥平面CDEF，∴,,DA DC DG两两垂直，以D为原点，,,DA DC DG所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系D xyz-，………5分2,1CD EF CF AB AD=====，((0,,E F∴-，(1,1,0),(0,2,0)B C………6分由（1）知(0,CE=-是平面ADF的法向量，………7分()()0,1,3,1,1,0DF CB==-，222(,,0)333CP CB==-，(0,2,0)DC=则24(,,0)33DP DC CP=+=，………8分设平面PDF的法向量为(),,n x y z=，∴n DFn DP⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2433yx y⎧=⎪⎨+=⎪⎩，令z=3,6y x==-，∴(6,3,n=-………10分∴1cos ,223n CE n CE n CE⋅===-………11分∴二面角P DF A --大小为60.………12分21. 解:（1）由题意知1c =，又tan 603bc ==，所以23b =，………2分2224a b c =+=，所以椭圆的方程为：22143x y += ；………4分 （2）当0k =时， 0t =，不合题意设直线PQ 的方程为：(1),(0)y k x k =-≠，代入22143x y+=，得：2222(34)84120k x k x k +-+-=，故0∆>，则,0k R k ∈≠ 设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点为00(,)R x y ，则2120002243,(1)23434x x k k x y k x k k +===-=-++ ，………7分由QP TP PQ TQ ⋅=⋅ 得：()(2)0PQ TQ TP PQ TR ⋅+=⋅= ， 所以直线TR 为直线PQ 的垂直平分线，………8分直线TR 的方程为：222314()3434k k y x k k k +=--++ ， ………10分 令0y =得：T 点的横坐标22213344k t k k ==++，………11分因为2(0,)k ∈+∞， 所以234(4,)k +∈+∞，所以1(0,)4t ∈. ………12分所以线段OF 上存在点(,0)T t 使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅，其中1(0,)4t ∈.22.解：（1）函数()ln af x x x=+的定义域为()0,+∞.由()ln a f x x x =+，得()221a x af x x x x ='-=-.………1分①当0a ≤时， ()0f x '>恒成立， ()f x 递增， ∴函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞ ………2分 ②当0a >时，则()0,x a ∈时，()0,f x '<()f x 递减，(),x a ∈+∞时， ()0f x '>，()f x 递增.∴函数()f x 的单调递减区间是(0,)a ，单调递增区间是(),a +∞.………4分 （2）要证明当2a e ≥时， ()x f x e ->，即证明当20,x a e >≥时， ln xa x e x-+>，………5分 即ln xx x a xe -+>，令()ln h x x x a =+，则()ln 1h x x ='+，当10x e <<时， ()0h x '<；当1x e>时， ()0h x '>. 所以函数()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.当1x e =时， ()min1h x a e ⎡⎤=-+⎣⎦.于是，当2a e ≥时， ()11h x a e e≥-+≥.①………8分 令()xx xe φ-=，则()()1xx x x exe e x φ---'=-=-.当01x <<时， ()0x ϕ'>；当1x >时， ()0x φ'<. 所以函数()x φ在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.当1x =时， ()max1x e φ⎡⎤=⎣⎦.于是，当0x >时， ()1x eφ≤.②………11分 显然，不等式①、②中的等号不能同时成立.故当2a e≥时， (f x )xe ->.………12分。
(某某市区中学)高二(上学期)数学(理)期末复习质量监测模拟考试试题卷(附答案解析)
（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）题号一二三四总分得分一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.直线y=kx+b经过第二、三、四象限，则斜率k和在y轴上的截距b满足的条件为（）A. k＞0，b＞0B. k＜0，b＜0C. k＞0，b＜0D. k＜0，b＞02.已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为（）A. 11B. 22C. 33D. 443.“a=2”是“l1：ax+4y-1=0与l2：x+ay+3=0平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知抛物线x2=2py和-y2=1的公切线PQ（P是PQ与抛物线的切点，未必是PQ与双曲线的切点）与抛物线的准线交于Q，F（0，），若|PQ|=|PF|，则抛物线的方程是（）A. x2=4yB. x2=2yC. x2=6yD. x2=2y5.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法正确的是（）A. 若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nB. 若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βC. 若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βD. 若m⊥α，n⊥α，则m∥n6.直线l：y=x与圆x2+y2-2x-6y=0相交于A，B两点，则|AB|=（）A. 2B. 4C. 4D. 87.椭圆5x2+ky2=5的一个焦点为（0，2），那么k的值为（）A. B. 2 C. D. 18.直线y=-2x-3与曲线的公共点的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将△ABD沿BD折起，使A到A′的位置，A′在平面BCD的射影E恰落在CD上，则（）A. 三棱锥A′-BCD的外接球直径为5B. 平面A′BD⊥平面A′BCC. 平面A′BD⊥平面A′CDD. A′D与BC所成角为60°10.设O为坐标原点，F1，F2是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点.在双曲线的右支上存在点P满足∠F1PF2=60°，且线段PF1的中点B在y轴上，则（）A. 双曲线的离心率为B. 双曲线的方程可以是-y2=1C. |OP|=aD. △PF1F2的面积为11.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，∠A1AB=∠A1AD，则有（）A. A1M∥B1QB. AA1⊥PQC. A1M∥面D1PQB1D. PQ⊥面A1ACC112.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P（x1，y1），Q（x2，y2），点P在l上的射影为P1，则（）A. |PQ|的最小值为4B. 已知曲线C上的两点S，T到点F的距离之和为10，则线段ST的中点横坐标是（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）4C. 设M（0，1），则|PM|+|PP1|≥D. 过M（0，1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知A（0，1），B（1，0），C（t，0），点D在直线AC上，若|AD|≤|BD|恒成立，则t的取值范围是______．14.直线2x+y-1=0的倾斜角是______．15.湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为12cm，深为2cm的空穴，则该球的半径为______ cm，表面积是______ ．16.已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点.过F的直线交双曲线右支于A，B两点，连结AO并延长交双曲线C于点P.若|AF|=2|BF|，且∠PFB=60°，则该双曲线的离心率为______ .四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知圆的圆心在直线上，且与轴交于两点,.（I）求圆的方程；（II）过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程．18.已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．（1）证明：不论m为何值时，直线l恒过定点；（2）求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程．19.如图，为圆的直径，点．在圆上，且，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.（1）设的中点为，求证：平面；（2）求四棱锥的体积．20.在平面直角坐标系中，直线l与抛物线y2=2x相交于A，B两点．求证：“如果直线l过（3，0），那么=3”是真命题．（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）21.如图，四棱锥中，底面是菱形，其对角线的交点为，且．（1）求证：平面；（2）设，，是侧棱上的一点，且∥平面，求三棱锥的体积．22.（本题满分16分）已知椭圆的两焦点分别为 , 是椭圆在第一象限内的一点，并满足，过作倾斜角互补的两条直线分别交椭圆于两点.（1）求点坐标；（2）当直线经过点时，求直线的方程；（3）求证直线的斜率为定值.（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）1.【答案】B【解析】解：要使直线y=kx+b经过第二、三、四象限，则斜率k和在y轴上的截距b 满足的条件，故选：B．由题意利用确定直线的位置的几何要素，得出结论．本题主要考查确定直线的位置的几何要素，属于基础题．2.【答案】D【解析】由双曲线C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点，且|PQ|＝|QA|＋|PA|＝4b＝16，由双曲线定义，|PF|－|PA|＝6，|QF|－|QA|＝6.∴|PF|＋|QF|＝12＋|PA|＋|QA|＝28，因此△PQF的周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44，选D.3.【答案】A【解析】解：若a=2．则两条直线的方程为2x+4y-1=0与x+2y+3=0满足两直线平行，即充分性成立．当a=0时，两直线等价为4y-1=0与x+3=0不满足两直线平行，故a≠0，若“l1：ax+4y-1=0与l2：x+ay+3=0平行”，则，解得a=2或a=-2，即必要性不成立．故“a=2”是“l1：ax+4y-1=0与l2：x+ay+3=0平行”的充分不必要条件，故选：A（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）根据直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线平行的等价条件是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】解：如图过P作PE⊥抛物线的准线于E，根据抛物线的定义可知，PE=PF∵|PQ|=|PF|，在Rt△PQE中，sin，∴，即直线PQ的斜率为，故设PQ的方程为：y=x+m（m＜0）由消去y得．则△1=8m2-24=0，解得m=-，即PQ：y=由得，△2=8p2-8p=0，得p=．则抛物线的方程是x2=2y．故选：B．如图过P作PE⊥抛物线的准线于E，根据抛物线的定义可知，PE=PF可得直线PQ的斜率为，故设PQ的方程为：y=x+m（m＜0）再依据直线PQ与抛物线、双曲线相切求得p．本题考查了抛物线、双曲线的切线，充分利用圆锥曲线的定义及平面几何的知识是关键，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：当m⊥α，n∥β，α⊥β时，直线m与n可能异面不垂直，故选项A错误；当m⊥n，m⊥α，n∥β时，比如n平行于α与β的交线，且满足m⊥n，m⊥α，但α与β可能不垂直，故选项B错误；当m∥n，m∥α，n∥β时，比如m与n都平行于α与β的交线，且满足m∥n，m∥α，但α与β不平行，故选项C错误；垂直于同一个平面的两条直线平行，故选项D正确．故选：D．直接利用空间中线、面之间的关系进行分析判断即可．本题考查了空间中线面位置关系的判断，此类问题一般都是从反例的角度进行考虑，属于基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，掌握直线和圆相交的弦长公式是解决本题的关键，属于基础题．根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x-1）2+（y-3）2=10，圆心坐标为（1，3），半径R=，则圆心到直线x-y=0的距离d=，则|AB|===4.故选C．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质，是基础题．把椭圆化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2，表示出c，并根据焦点坐标求出c的值，两者相等即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，因为焦点坐标为（0，2），所以长半轴在y轴上，（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）则c==2，解得k=1．故选D．8.【答案】B【解析】解：当x≥0时，曲线的方程为，一条渐近线方程为：y=-x，当x＜0时，曲线的方程为，∴曲线的图象为右图，在同一坐标系中作出直线y=-2x-3的图象，可得直线与曲线交点个数为2个．故选：B．分x大于等于0，和x小于0两种情况去绝对值符号，可得当x≥0时，曲线为焦点在y轴上的双曲线，当x＜0时，曲线为焦点在y轴上的椭圆，在同一坐标系中作出直线y=-2x-3与曲线的图象，就可找到交点个数．本题主要考查图象法求直线与曲线交点个数，关键是去绝对值符号，化简曲线方程．9.【答案】AB【解析】解：对于A，取BD中点E，连接A′E，CE，则A′E=BE=DE=CE==．∴三棱锥A′-BCD的外接球直径为5，故A正确；对于B，∵DA′⊥BA′，BC⊥CD，A′F⊥平面BCD，∴BC⊥A′F，又A′F∩CD=F，A′F、CD⊂平面A′CD，∴BC⊥平面A′CD，∵A′D⊂平面A′CD，∴DA′⊥BC，∵BC∩BA′=B，∴DA′⊥平面A′BC，∵DA′⊂平面A′BD，∴平面A′BD⊥平面A′BC，故B正确；对于C，BC⊥A′C，∴A′B与A′C不垂直，∴平面A′BD与平面A′CD不垂直，故C错误；对于D，∵DA∥BC，∴∠ADA′是A′D与BC所成角（或所成角的补角），∵A′C==，∴A′F=，DF==，AF==，AA′==3，∴cos∠ADA′==0，∴∠ADA′=90°，∴A′D与BC所成角为90°，故D错误．故选：AB．对于A，取BD中点E，连接A′E，CE，推导出A′E=BE=DE=CE=，从而三棱锥A′-BCD 的外接球直径为5；对于B，推导出DA′⊥BA′，BC⊥CD，A′F⊥平面BCD，BC⊥A′F，BC⊥平面A′CD，DA′⊥BC，DA′⊥平面A′BC，从而平面A′BD⊥平面A′BC；对于C，A′B与A′C不垂直，从而平面A′BD与平面A′CD不垂直；对于D，由DA∥BC，得∠ADA′是A′D与BC所成角（或所成角的补角），推导出A′D与BC所成角为90°．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等数学核心素养，是中档题．10.【答案】AC【解析】解：如图，F1（-c，0），F2（c，0），∵B为线段PF1的中点，O为F1F2的中点，∴OB∥PF2，∴∠PF2F1=90°，由双曲线定义可得，|PF1|-|PF2|=2a，设|PF1|=2m（m＞0），则|PF2|=m，，∴2m-m=2a，即a=，又，∴c=，则e=，故A正确；，则b=，双曲线的渐近线方程为y=，选项B的渐近线方程为y=，故B错误；对于C，∵O为F1F2的中点，∴，（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）则，即=，即，①而|PF1|-|PF2|=2a，两边平方并整理得，，②联立①②可得，，，即|PO|=，故C正确；=，故D错误．故选：AC．由已知可得∠PF2F1=90°，设|PF1|=2m（m＞0），再由已知结合双曲线定义可得a，b，c 与m的关系，即可求得双曲线的离心率及渐近线方程，从而判断A与B；由O为F1F2的中点，得，两边平方后结合双曲线定义联立求得|PO|判断C；进一步求出△PF1F2的面积判断D．本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】BCD【解析】解：连接MP，可得MP AD A1D1，可得四边形MPA1D1是平行四边形∴A1M∥D1P，又A1M⊄平面DCC1D1，D1P⊂平面DCC1D1，A1M∥平面DCC1D1，连接DB，由三角形中位线定理可得：PQ DB，DB D1B1，可得四边形PQB1D1为梯形，QB1与PD1不平行，因此A1M与B1Q不平行，又A1M∥D1P，A1M⊄平面D1PQB1，D1P⊂平面D1PQB1，∴A1M∥平面D1PQB1.故A不正确，C正确；连接AC，由题意四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵P，Q分别为棱CD，BC的中点，∴PQ∥BD，∴PQ⊥AC，∵平行六面体的所有棱长都相等，且∠A1AB=∠A1AD，∴直线AA1在平面ABCD内的射影是AC，且BD⊥AC，∴AA1⊥BD，∴AA1⊥PQ，故B正确；∵AA1∩AC=A，∴PQ⊥面A1ACC1，故D正确．故选：BCD．连接MP，推导出四边形MPA1D1是平行四边形，从而A1M∥D1P，连接DB，推导出四边形PQB1D1为梯形，A1M与B1Q不平行，推民出A1M∥平面D1PQB1；连接AC，推导出四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，从而PQ⊥AC，由平行六面体的所有棱长都相等，且∠A1AB=∠A1AD，推志出AA1⊥PQ，从而PQ⊥面A1ACC1．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】ABC【解析】解：对于A，设直线PQ的方程为x=ty+1,联立解方程组,可得y2-4ty-4=0，x1x2==1，|PQ|=x1+x2+p=x1+x2+2+2=4，故A正确；对于B,根据抛物线的定义可得，|SF|+|TF'|=x S+x T+p=10,则x S+x T=8,则线段ST的中点横坐标是=4,故B成立；对于C，M（0，1），|PM|+|PP1|=|MP|+|PF|≥|MF|=，所以C正确；对于D,过M（0，1）相切的直线有2条，与x轴平行且与抛物线相交且有一个交点的直线有一条，所以最多有三条．所以D不正确；故选：ABC．设出直线方程与抛物线联立，利用弦长公式判断A，结合抛物线的定义，判断B；利用抛物线的性质判断C；直线与抛物线的切线情况判断D．考查抛物线的性质，抛物线与直线的位置关系的应用，是中档题．13.【答案】（-∞，0]【解析】解：设D（x，y），由D在AC上，得+y=1，即x+ty-t=0，由|AD|≤|BD|得≤•，化为（x-2）2+（y+1）2≥4，依题意，线段AD与圆（x-2）2+（y+1）2=4至多有一个公共点，（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）∴≥2，解得：t≤0，则t的取值范围为（-∞，0]，故答案为：（-∞，0]．先设出D（x，y），得到AD的方程为：x+ty-t=0，由|AD|≤|BD|得到圆的方程，结合点到直线的距离公式，解不等式即可得到所求范围．本题考查直线与圆的方程，考查点到直线距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14.【答案】π-arctan【解析】解：直线2x+y-1=0的斜率为，设直线2x+y-1=0的倾斜角为θ（0≤θ＜π），则tan，∴θ=．故答案为：π-arctan．由直线方程求直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解．本题考查由直线方程求直线的斜率，考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础题．15.【答案】10；400π【解析】解：设球的半径为r，依题意可知36+（r-2）2=r2，解得r=10，∴球的表面积为4πr2=400π故答案为10，400π先设出球的半径，进而根据球的半径，球面上的弦构成的直角三角形，根据勾股定理建立等式，求得r，最后根据球的表面积公式求得球的表面积．本题主要考查了球面上的勾股定理和球的面积公式．属基础题．16.【答案】【解析】【分析】本题考查双曲线的定义以及几何性质的应用，余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．属于中档题.设双曲线C的左焦点为F'，连结AF'，BF'，设|BF|=t，则|AF|=2t，推出∠F'AB=60°．在△F'AB 中，由余弦定理求解．结合双曲线的定义，求出，．在△F'AF中，由余弦定理推出a，c关系，得到离心率即可．【解答】解：设双曲线C的左焦点为F'，连结AF'，BF'，设|BF|=t，则|AF|=2t，所以|AF'|=2a+2t，|BF'|=2a+t．由对称性可知，四边形AF'PF为平行四边形，故∠F'AB=60°．在△F'AB中，由余弦定理得（2a+t）2=（2a+2t）2+（3t）2-2×（2a+2t）×3t×cos60°，解得．故，．在△F'AF中，由余弦定理得，，解得：．故答案为：．17.【答案】解：（I）因为圆与轴交于两点,，所以圆心在直线上，由，得，即圆心的坐标为．半径，所以圆的方程为；（II）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时可得，不符合题意；（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即，过点作于点，则D为线段MN中点，∴，∴，即点C到直线l的距离，解得或k=-3；综上，直线的方程为x-3y+3=0或3x+y-11=0．【解析】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，属于中档题．（I）根据题意，即可得解；（II）分类讨论，进行求解即可.18.【答案】（1）证明：将直线化为直线束方程：x+y-4+（2x+y-7）=0．联立方程x+y-4=0与2x+y-7=0，得点（3，1）；将点（3，1）代入直线方程，不论m为何值时都满足方程，所以直线l恒过定点（3，1）；（2）解：当直线l过圆心与定点（3，1）时，弦长最大，代入圆心坐标得m=．当直线l垂直于圆心与定点（3，1）所在直线时弦长最短，斜率为2，代入方程得m=此时直线l方程为2x-y-5=0，圆心到直线的距离为，所以最短弦长为．【解析】（1）通过直线l转化为直线系，求出直线恒过的定点；（2）说明直线l被圆C截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线l垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦长．本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查平面几何知识的运用，考查计算能力，属于中档题．19.【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）要证平面，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行即可，设的中点为，则为平行四边形，则，又平面，不在平面内，满足定理所需条件；（2）过点作于，根据面面垂直的性质可知平面，即正的高，然后根据三棱锥的体积公式进行求解即可.试题解析：（1）设的中点为，则又，∴∴为平行四边形∴又平面，平面∴平面(2)过点作于平面平面，∴平面，即正的高∴∴∴.考点：1.空间中的平行关系；2.空间中的垂直关系；3.棱锥的体积计算.20.【答案】证明：设过点T（3，0）的直线l交抛物线y2=2x于点A（x1，y1）、B（x2，y2）．当直线l的钭率不存在时，直线l的方程为x=3，（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）此时，直线l与抛物线相交于点A（3，）、B（3，-）．∴=3当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k（x-3），其中k≠0，由得ky2-2y-6k=0⇒y1y2=-6，又∵x1=y12，x2=y22，∴x1x2=9，∴=x1x2+y1y2=3，综上所述，命题“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；综上，命题成立．【解析】设出A，B两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可得到：“如果直线l过（3，0），那么=3”是真命题．本题考查了真假命题的证明，抛物线的简单性质，向量数量积，是抛物线与平面向量的综合应用，难度中档．21.【答案】（1）证明：∵底面是菱形，∴．又平面．又又平面．（2）连接，∵SB平面，平面，平面平面，SB∥平面APC，∴SB∥OP．又∵是的中点，∴是的中点．由题意知△ABD为正三角形．．由（1）知平面，∴．又，∴在Rt△SOD中，．∴到面的距离为.【解析】主要考查了线面垂直的判定和三棱锥的体积.(1)要证明线面垂直，证明SO与平面ABCD中两条相交直线垂直即可，应用已知条件与等腰三角形的三线合一即可得到证明；(2)由SB∥平面APC的性质定理证明得SB∥OP，由(1)得高为PO，利用三棱锥的体积公式即可求出结果.22.【答案】（1）（2）（3），证明略.【解析】解：（1）设P((x，y)，由题意可得，解得，∴P．（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）（2）∵，两条直线PA，PB倾斜角互补，∴k PA+k PB=0，解得k PB=1．因此直线PA，PB，的方程分别为，，化为，．联立，解得(舍去)，，即A．同理解得B．∴k AB= = ，∴直线AB的方程为，化为．（3）S设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，设直线PA的方程为：，则直线PB 的方程为．联立，解得A．同理B，∴k AB= = ．即直线AB的斜率为定值．。
高二上学期期末考试数学试卷含答案(word版)
新高考地区高二上学期期末考试试题数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在等比数列{}n a 中，23341,2a a a a +=+=，则45a a +=（ ） A ．4B ．8C ．16D ．322．已知直线 l ：360x y +-=和圆C ：22240x y y +--=交于A ，B 两点，则弦 AB 所对的圆心角的大小为（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π33．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为 ）A 0y ±=B ．0x =C ．30x y ±=D ．30x y ±=4．已知直线10x ay +-=是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点()3,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB 等于（ ）A ．2B ．5C ．D ．5．已知过抛物线2:8C y x =的焦点F 且倾斜角为45︒的直线交C 于A ，B 两点，Q 为弦AB 的中点，P 为C 上一点，则||||PF PQ +的最小值为（ ） A ．53B ．8C ．112D ．56．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，且该四棱柱的外接球表面积为17π，M 为BC 的中点，则点1D 到平面1AB M 的距离为（ ）A ．97B C D ．1877．已知等比数列{}n a 满足516a =，434a a -=，若n n b na =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，对任意*n ∈N ，不等式1n n S mb -≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[)4,+∞B ．[)3,+∞C ．[)2,∞+D ．[)1,+∞8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π3F PF ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（ ）A B C ．1D ．12二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若677889,,S S S S S S =<>.则下列结论正确的有（ ） A ．790a a += B ．610S S >C ．数列{}n a 是递减数列D ．使0n S >的n 的最大值为1510．已知圆22:4C x y +=，直线:(3)4330(R)l m x y m m ++-+=∈，则下列结论正确的是（ ） A ．直线l 恒过定点(3,3)B ．当0m =时，圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离都等于1 C ．圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m =D ．当13m =时，直线l 上动点P 向圆C 引两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭11．在长方体1111ABCD A B C D -中，1222AA AB BC ===，点,E F 满足1(01)AF AA λλ=<<，1CE EC =.下列结论正确的有（）A ．若直线BE 与1D F 异面，则12λ≠ B ．若AE BF ⊥，则13λ=C ．直线AE 与平面11ABCD D ．若直线AE平面1BFD ，则14λ=12．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线=1x -与x 轴相交于点K ，过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于P Q ､两点，且P Q ､两点在准线上的投影点分别为M N ､，则下列结论正确的是（ ）A ．2p =B ．PQ 的最小值为4C ．2||MN PF QF为定值12D ．PKF QKF ∠∠=第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩135a =，则数列的第2022项为___________. 14．已知1F ，2F 为椭圆C ：22142x y+=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为__________．15．在直三棱柱111ABC A B C中，CA =CB =16CC =，90BCA ∠=，112AM MB =，则异面直线CM 与1A B 夹角的余弦值为______．16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与C 的右支交于A ，B两点，若1221F AF AF F ∠=∠，222F B F A =，则C 的离心率为______.四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且1S ，2S ，4S 成等比数列，24S =. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．如图，直三棱柱111ABC A B C 中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，E 是BC 中点.(1)若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； (2)求直线BC 与平面1AEC 所成角的余弦值.19．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，()02,A y 是抛物线C 上的点，且5AF =．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，且MN 的中点为5,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，求MNF 的面积．20．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，底面是边长为2的等边三角形，112,60.,CC ACC D E ∠==分别是线段1,AC CC 的中点，二面角1C AC B --为直二面角.(1)求证：1A C ⊥平面BDE ；(2)若点P 为线段11B C 上的动点（不包括端点），求锐二面角P BD E --的余弦值的取值范围.21．已知数列{}n a 满足11a =，()121n n a a n *+=+∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n b 满足()()312111144441n n bb b b b n a n ----*=+∈N ，证明{}n b 是等差数列；(3)证明：()122311232n n n a a a nn a a a *+-<+++<∈N .22．双曲线2221(0)3x y C a a -=>：的左、右顶点分别为A ，B ，过点()2,0D 且垂直于x 轴的直线l 与该双曲线C交于点E ，F ，设直线EA 的斜率为1k ，直线FB 的斜率为212,1k k k ⋅=-． (1)求曲线C 的方程；(2)动点M ，N 在曲线C 上，已知点()2,1P -，直线PM ，PN 分别与y 轴相交的两点关于原点对称，点Q 在直线MN 上，PQ MN ⊥，证明：存在定点T ，使得QT 为定值.新高考地区高二期末考试参考答案第I 卷（选择题）一、单选题1．在等比数列{}n a 中，23341,2a a a a +=+=，则45a a +=（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】A【分析】根据3423()a a q a a +=+求出q ，再根据4534()a a q a a +=+可得答案. 【详解】设等比数列的公比为q ，由3423()a a q a a +=+，可得q ＝2，所以4534()4a a q a a +=+=. 故选：A.2．已知直线 l ：360x y +-=和圆C ：22240x y y +--=交于A ，B 两点，则弦 AB 所对的圆心角的大小为（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π3【分析】根据弦长公式可得弦长，根据ABC 的边长关系，确定圆心角的大小，可得2(x +CA CB ==π3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为 ）A 0y ±=B ．0x =C ．30x y ±=D ．30x y ±=【详解】由双曲线的离心率为22，得22222122c a b b e a a a +⎛⎫⎛⎫===+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7b a =，又双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，所以渐近线方程为7y x =±，即70x y ±=．故选:A ．4．已知直线10x ay +-=是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点()3,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB 等于（ ） A ．2 B ．5C ．42D ．210【答案】B【分析】求出圆的圆心与半径，然后求解a ，求出A 的坐标，画出示意图，利用勾股定理求解AB 即可． 【详解】解：圆224210x y x y +--+=即22(2)(1)4x y -+-=，圆心为()2,1C ，半径为2r =， 由题意可知:10l x ay +-=过圆的圆心()2,1C ， 则210a +-=，解得1a =-，点A 的坐标为()3,1--， 作示意图如图所示：225229,2AC BC r =+===，切点为B ，则AB BC ⊥， 所以225AB AC BC =-=．故选：B ．5．已知过抛物线2:8C y x =的焦点F 且倾斜角为45︒的直线交C 于A ，B 两点，Q 为弦AB 的中点，P 为C 上一点，则||||PF PQ +的最小值为（ ） A ．53B ．8C ．112D ．5【答案】B【分析】根据给定条件，求出直线AB 的方程，再与抛物线方程联立，结合抛物线定义，借助几何意义求解作答.D ，连接P PD PQ +6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，且该四棱柱的外接球表面积为17π，M 为BC 的中点，则点1D 到平面1AB M 的距离为（ ）A ．97B C D ．187为坐标原点，1,,DA DC DD 的方向分别为(2,2,3)，(1,2,0),M D ，所以11(0,2,3),(1,2,0),(2,0,3)AB AM AD ==-=-的法向量为(,,)n x y z =00=，可取(6,3,2)n =-，的距离为112187||364AD n n ⋅-==+．故选：D7．已知等比数列{}n a 满足516a =，434a a -=，若n n b na =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，对任意*n ∈N ，不等式1n n S mb -≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[)4,+∞ B ．[)3,+∞ C ．[)2,∞+ D ．[)1,+∞【答案】C【分析】本题首先可根据516a =、434a a -=得出12n n a -=，然后根据n n b na =得出12n n b n -=⋅，再然后根据错位相减法求出()121nn S n =-⨯+，最后根据题意得出对任意*n ∈N 不等式1n nS m b -≥恒成立，根据()*1222n n n N S b n-=-∈<即可得出结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为516a =，434a a -=，所以413211164a q a q a q ⎧=⎨-=⎩，解得2q ，11a =，12n n a -=，因为n n b na =，所以12n n b n -=⋅，0n b >，则01211222322n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，12321222322nn S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，12112222222212112n nn n nn n n nS S S n n n ， 对任意*n ∈N 不等式1n n S mb -≤恒成立，即对任意*n ∈N 不等式1n nS m b -≥恒成立， 因为()*11(1)22222n n n n S n b n n N n ---⋅==-<⋅∈，所以2m ≥，m 的取值范围为[)2,∞+. 故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查根据数列不等式恒成立求参数的取值范围，考查数列求和，常见的数列求和方法有等差等比公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法，考查计算能力，是难题. 8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π3F PF ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（ ）ABC ．1D ．12二、多选题9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若677889,,S S S S S S =<>.则下列结论正确的有（ ）A ．790a a +=B ．610S S >C ．数列{}n a 是递减数列D ．使0n S >的n 的最大值为1510．已知圆22:4C x y +=，直线:(3)4330(R)l m x y m m ++-+=∈，则下列结论正确的是（ ） A ．直线l 恒过定点(3,3)B ．当0m =时，圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离都等于1C ．圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m =D ．当13m =时，直线l 上动点P 向圆C 引两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【答案】CD【分析】对A 将直线化成(3)(343)0m x x y +++-=，则303430x x y +=⎧⎨+-=⎩，解出即为定点；对B 直接计算圆心到直线的距离与1的大小关系，即可判断B ，对C ，直接将m 代入，通过几何法判断两圆位置关系即可，对D ，设点(,94)P t t --，利用两点直径式方程写出以PC 为直径的圆的方程，两圆方程作差，得到公共弦所在直线方程，化成关于参数t 的方程，即可求出定点坐标.【详解】由直线l :(3)4330m x y m ++-+=,(R)m ∈,整理得:(3)(343)0m x x y +++-=,故303430x x y +=⎧⎨+-=⎩,解得33x y =-⎧⎨=⎩,即经过定点()3,3-,故A 错误; 当0m =时,直线l 为3430x y +-=,∴圆心(0,0)到直线3430x y +-=的距离11．在长方体1111ABCD A B C D -中，1222AA AB BC ===，点,E F 满足1(01)AF AA λλ=<<，1CE EC =.下列结论正确的有（）A ．若直线BE 与1D F 异面，则12λ≠B ．若AE BF ⊥，则13λ=C ．直线AE 与平面11ABC DD ．若直线AE平面1BFD ，则14λ= 【答案】ACD 【分析】建立空间坐标系，用空间向量逐项计算.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：1(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,2)A B E D 1(1,0,2),(1,0,1),(1,0,22)F BE D F λλ=-=-1(1,1,1),(0,1,2),(1,1,2)AE BF BD λ=-=-=--对于A ：若直线BE 与1D F 异面，则12211λ-≠-，则12λ≠，故A 正确； 对于B ：若,0AE A BF E BF ∴⊥⋅=，(1,1,1)(0,1,2)0λ∴-⋅-=，12λ∴=，故B 错误； 对于C ：1(0,1,0),(1,0,2)AB D A ==-，设平面11ABC D 的法向量为()111,,n x y z =则100AB n D A n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111020y x z =⎧⎨-=⎩，取(2,0,1)n = 直线AE 与平面11ABC D 所成角θ满足(1,1,1)(2,0,1)15sin |cos ,|1535AE nAE n AE n θ⋅-⋅=〈〉===⨯⋅，故C 正确； 对于D ：设平面1BFD 的法向量()222,,m x y z =1100BD m D F m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222220(22)0x y z x z λ--+=⎧⎨+-=⎩，取(22,2,1)m λλ=- 若直线AE平面1BFD ，则22210AE m λλ⋅=-++=12．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线=1x -与x 轴相交于点K ，过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于P Q ､两点，且P Q ､两点在准线上的投影点分别为M N ､，则下列结论正确的是（ ） A ．2p =B ．PQ 的最小值为4C ．2||MN PF QF 为定值12D ．PKF QKF ∠∠=所以()()222161||441m MN PF QF m +==+，所以C 不正确； 对于D ，()()()1122,,,,1,0P x y Q x y K -，111PK y k x =+，221PQ y k x =+， ()()()()()()222112122112121212+1+1+1+144++==1+11+11+1PK KQ y y y y y x y x y y k k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=+++ ()()()()()2221121212121212121+++4441+11+1y y y y y y y y y y y y x x x x +++==++()214444044m m m -⋅+==+ 所以PKF QKF ∠∠=，故D 正确.故选：ABD.第II 卷（非选择题）三、填空题13．数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩135a =，则数列的第2022项为___________. 【答案】15##0.2 【分析】根据递推关系可通过计算前面2345n ,,,，发现数列{}n a 是周期为4的周期数列，进而由周期性即可求解.【详解】由112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =得2131212155a a =-=⨯-=，23222155a a ==⨯=，32242255a a ，4243212155a a ，543122155a a ，，故数列{}n a 是周期为4的周期数列，故2022215a a ， 故答案为：1514．已知1F ，2F 为椭圆C ：22142x y +=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为__________．【答案】4【分析】根据题意分析可得12π2F PF ∠=，利用勾股定理结合椭圆定义求12PF PF ，进而可求四边形12PFQF 的面积.【详解】由椭圆22142x y +=可得：2212122,2,2,24,222a b c a b PF PF a F F c ===-=+====， 由题意可得：12||,||OP OQ OF OF ==，则12PFQF 为平行四边形， ∵12||PQ F F =，则121||2OP F F =， ∴12π2F PF ∠=，则22212128PF PF F F +==， 又 ()222121212216PF PF PF PF PF PF +=++=，∴124PF PF =， 则四边形12PFQF 的面积121212242PF F S S PF PF △==⨯=. 故答案为：4.15．在直三棱柱111ABC A B C 中，33CA =32CB =16CC =，90BCA ∠=，112AM MB =，则异面直线CM 与1A B 夹角的余弦值为______．【答案】8215【分析】根据条件，可建立空间直角坐标系，得出CM 与1A B 的坐标，利用向量法解决.【详解】由已知可得，1,,CA CB CC 两两垂直，可如图建立空间直角坐标系. 则，()133,0,6A ，()10,32,6B ，()0,0,0C ，()0,32,0B ， 由112AM MB =可得，1122CM CA CB CM -=-， 则()()()11212133,0,60,32,623263333CM CA CB =+=+=，，， ()133326A B =--，，，()()222232652CM ==++，()()()2221333269A B =--=++，11863648CM A B ⋅=-+-=-，所以，111cos ,CM A BCM A B CM A B ⋅=488215952-==-⨯. 所以，异面直线CM 与1A B 夹角的余弦值为8215. 故答案为：8215. 16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与C 的右支交于A ，B 两点，若1221F AF AF F ∠=∠，222F B F A =，则C 的离心率为______.【答案】53##213【分析】设2AF 的中点为M ，连接1F M ，1BF ，由题意可得1122AF F F c ==，12F M AF ⊥，由双曲线的定义可得222F A c a =-，2MF c a =-，244BF c a =-，142BF c a =-，2121BF F MF F π∠+∠=，2121cos cos 0BF F MF F ∠+∠=，在12MF F △和12BF F △中利用余弦定理表示出两个角的余弦值，即可求出,a c 的关系，从而可得双曲线C 的离心率.【详解】解：如图：设2AF 的中点为M ，连接1F M ，1BF ，因为1221F AF AF F ∠=∠，所以1122AF F F c ==，因为M 为2AF 的中点，所以12F M AF ⊥，由122AF F A a =-，得222F A c a =-，所以2212F A M F c a ==-， 在12MF F △中，22112cos 2MF c a MF F F F c-∠==， 因为22244BF AF c a ==-，所以12242BF a BF c a =+=-， 在12BF F △中，()()()22222212212112241642cos 2224F F BF BF c c a c a BF F F F BF c c a +-+---∠==⨯⨯⨯-()224121616c a ac c c a +-=-， 因为2121BF F MF F π∠+∠=，所以2121cos cos 0BF F MF F ∠+∠=，即()22412160216c a c a ac c c c a -+-+=-， 整理可得221616120a ac c -+=，即225830a ac c -+=， 所以()()530a c a c --=，所以53a c =或a c =（舍），所以离心率53c e a ==， 故答案为：53. 四、解答题17．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且1S ，2S ，4S 成等比数列，24S =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)()21N n a n n +=-∈(2)321n n + 【分析】（1）等差数列通项公式和求和公式列方程求解；（2）利用裂项相消法11221231n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，可求和. 【详解】（1）根据题意，设等差数列{}n a 公差为()0d d ≠， 因为1S ，2S ，4S 成等比数列，24S =，所以221424S S S S ⎧=⋅⎨=⎩， 整理得：()()2111146224a a d a d a d ⎧⋅+=+⎪⎨+=⎪⎩， 解得112a d =⎧⎨=⎩. 故()21N n a n n +=-∈.（2）由（1）得：()()3311212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 311111313112335212122121n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 18．如图，直三棱柱111ABC A B C 中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，E 是BC 中点.(1)若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； (2)求直线BC 与平面1AEC 所成角的余弦值. ）建立空间直角坐标系，利用110B M C E ⋅=求得1AEC 所成角的余弦值）依题意，建立如图所示空间直角坐标系，),02t t ≤≤， ()(112,0,2,1,1B M t C E =--=-若11B M C E ⊥，则112B M C E ⋅=--则棱1AA 上存在一点M ，满足1B M （2）()()(2,0,0,0,2,0,2,2,0B C BC =-的法向量为(),,n x y z =12n AC y n AE x y ⎧⋅=+⎪⎨⋅=+⎪⎩，故可取()1,1,1n =-设直线BC 与平面所成角为,0θθ≤≤22n BC n BCθ⋅==⋅，所以cos BC 与平面AEC19．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，()02,A y 是抛物线C 上的点，且5AF =．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，且MN 的中点为5,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，求MNF 的面积．【答案】(1)212y x = (2)8【分析】（1）直接由抛物线中焦半径公式求出p 即可.（2）用横截式设出直线MN 的方程以及M N ，的坐标，联立直线与抛物线方程，得到0∆>及韦达定理，再利用线段MN 的中点坐标求出直线中的参数，再利用弦长公式求出线段MN 的长度，用点到直线的距离公式求出点F 到直线MN 的距离，进而可求出MNF 的面积. 【详解】（1）由抛物线的定义知02522p pAF x =+=+=，解得6p ，则抛物线的方程为212y x =故：答案为212y x =.（2）由线段MN 的中点为5,23⎛⎫- ⎪⎝⎭知直线MN 的斜率存在且不为0，设直线MN x my b =+：，()()1122,,,M x y N x y ，联立直线与抛物线方程，有212x my b y x=+⎧⎨=⎩，即212120y my b --=，所以有()()2212484830m b m b ∆=+=+>， 且12121212y y m y y b +=⎧⎨=-⎩，则()212122122x x m y y b m b +=++=+ 所以2124101223m m b =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，即131m b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以直线:33MN y x =-+，21281013MN m y y =+-=，点F 到直线MN 的距离233361013d -⨯+==+. 所以182MNFSMN d ==. 故：答案为8.20．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，底面是边长为2的等边三角形，112,60.,CC ACC D E ∠==分别是线段1,AC CC 的中点，二面角1C AC B --为直二面角.(1)求证：1A C ⊥平面BDE ；(2)若点P 为线段11B C 上的动点（不包括端点），求锐二面角P BD E --的余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(2)13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）首先证明1A C DE ⊥，然后证明BD ⊥平面11AAC C ，可得1BD A C ⊥，即可证明；（2）首先证明1C D ⊥平面ABC ，然后以D 为坐标原点，1,,DB DA DC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设()111,,,(01)P x y z C P C B λλ=<<，算出两个平面的法向量，然后求出二面角的余弦值，然后可得答案.【详解】（1）连接1AC ，由题设知四边形11AAC C 为菱形，11AC AC ∴⊥， ,D E 分别为1,AC CC 中点，11,DE AC AC DE ∴∴⊥∥； 又D 为AC 中点，BD AC ∴⊥，因为二面角1C AC B --为直二面角， 即平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C平面,ABC AC BD =⊂平面,ABCBD ∴⊥平面11AAC C ，又1AC ⊂平面111,AAC C BD AC ∴⊥；又,,BD DE D BD DE =⊂平面1,BDE AC ∴⊥平面BDE . （2）112,60CA CC ACC ∠===，1ACC ∴△为等边三角形，1C A D C ∴⊥，平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C 平面ABC AC =，1C D ⊂平面11,ACC A1C D ∴⊥平面ABC ，则以D 为坐标原点，1,,DB DA DC 所在直线为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()11130,0,0,3,0,0,0,,,0,0,3,3,1,3,0,1,022D BE C B C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，()10,2,3A ，()()()111133,0,0,0,,,3,1,0,0,3,322DB DE C B CA ⎛⎫∴==-== ⎪ ⎪⎝⎭111,(0C P C B λλ=<(3DP λ∴=的一个法向量(10,3,m CA ==的法向量(),,n a b c =30330DB n a DP n a b c λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩3，则(,0,3,a n λ==-∴=-33cos ,233m nm n m n -⋅==⋅⨯， ()2,3t λ-=∈，则113,126212m n λ==-+211112613,,1,,3222m n t t t ⎛⎛⎫⎛∈∴-+∈∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎝即锐二面角的余弦值的取值范围为1,2⎛ ⎝21．已知数列{}n a 满足11a =，()121n n a a n *+=+∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足()()312111144441n n bb b b b n a n ----*=+∈N ，证明{}n b 是等差数列；(3)证明：()122311232n n n a a a nn a a a *+-<+++<∈N . 【答案】(1)21nn a =-(2)证明见解析 (3)证明见解析【分析】（1）推导出数列{}1n a +为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式； （2）由已知条件变形可得出()12322n n b b b b n nb ++++-=，令1n =可求得1b 的值，令2n ≥，由()12322n n b b b b n nb ++++-=可得()()()123112211n n b b b b n n b --++++--=-，两式作差结合等差中项法可证得结论成立；(114n b a --=)2n b ++-1b ，解得b )232n n b b b nb +++-=可得)1n b -++-上述两个等式作差可得(22n n b nb -=-)11n b --=-，故())11n n b b --， ，因此，数列{）解：122n n n a a +=1n n a a +++<(111211122122232nn n n a a ++-==≥--⋅所以，12221111116212322221n n n a a a n n a a a +- ⎛⎫⎝+++≥-+++=- ⎪⎝⎭-因此，对任意的N n *∈，122311232n n a a a n n a a a +-<+++<. 【点睛】关键点点睛：解本题的第（3）问的关键在于利用放缩法推导出和结合不等式进行推导，从而证得结论成立.22．双曲线2221(0)3x y C a a -=>：的左、右顶点分别为A ，B ，过点()2,0D 且垂直于x 轴的直线l 与该双曲线C交于点E ，F ，设直线EA 的斜率为1k ，直线FB 的斜率为212,1k k k ⋅=-． (1)求曲线C 的方程；(2)动点M ，N 在曲线C 上，已知点()2,1P -，直线PM ，PN 分别与y 轴相交的两点关于原点对称，点Q 在⊥，证明：存在定点T，使得QT为定值．直线MN上，PQ MN。
安徽省合肥市肥东县第一中学2024-2025学年高二上学期7月份自学质量检测 数学试题
2024-2025学年安徽省合肥市肥东一中高二（上）质检数学试卷（7月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则( )A. B. C. D.2.下列函数中，在区间上单调递减的是( )A. B. C. D.3.已知向量与共线，则( )A. B. 0 C. 2 D. 64.如图，在中，，，，BC，AB边上的两条中线AD，CE交于点P，则( )A.B.C.D.5.若，，则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件6.如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，BC，的中点，则异面直线AD与EF所成角的余弦值为( )A.B.C.D.7.一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，设，，，则( )A. 与互斥B. 与相互对立C. 与相互独立D.8.已知两异面直线a，b所成的角为，过空间一点P作直线，使得l与a，b的夹角均为，那么这样的直线有条A. 1B. 2C. 4D. 3二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法中，错误的有( )A. 单位向量都相等B. 模相等的两个平行向量相等C. 若且，同向，则D. ，若，，则10.已知函数的部分图象如图所示.则( )A. B. C. D.11.如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则下列说法中正确的是( )A. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面B. 存在点Q，使平面MBNC. 三棱锥的体积为D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则面积的取值范围是______.13.在空间直角坐标系Oxyz中，已知，，点C满足，则点C的坐标为______.14.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m表示前两个球号码的平均数，记n表示前三个球号码的平均数，则m与n差的绝对值不超过的概率是______.四、解答题：本题共5小题，共77分。
高二上学期期末数学试卷（理科）含答案
高二（上）期末测试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.函数：的单调递增区间是 f(x)=3+xlnx ()A. B. C. D. (0,1e ).(e,+∞)(1e ,+∞)(1e ,e)【答案】C【解析】解：由函数得：，f(x)=3+xlnx f(x)=lnx +1令即，根据得到此对数函数为增函数，f'(x)=lnx +1>0lnx >‒1=ln 1e e >1所以得到，即为函数的单调递增区间．x >1e 故选：C ．求出的导函数，令导函数大于0列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到x 的范围即为函数的单f(x)调递增区间．本题主要考查学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，同时考查了导数的计算，是一道基础题．2.函数的图象在点处的切线方程为 f(x)=lnx ‒2x x (1,‒2)()A. B. C. D. 2x ‒y ‒4=02x +y =0x ‒y ‒3=0x +y +1=0【答案】C【解析】解：由函数知，f(x)=lnx ‒2x x f'(x)=1‒lnxx 2把代入得到切线的斜率，x =1k =1则切线方程为：，y +2=x ‒1即．x ‒y ‒3=0故选：C ．求出曲线的导函数，把代入即可得到切线的斜率，然后根据和斜率写出切线的方程即可．x =1(1,2)本题考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导．3.已知，，，则向量与的夹角为 A(2,‒5,1)B(2,‒2,4)C(1,‒4,1)⃗AB ⃗AC ()A. B. C. D. 30∘45∘60∘90∘【答案】C 【解析】解：因为，，，A(2,‒5,1)B(2,‒2,4)C(1,‒4,1)所以，⃗AB =(0,3,3),⃗AC = (‒1,1,0)所以，并且，，⃗AB ⋅⃗AC═0×(‒1)+3×1+3×0=3|⃗AB |=32|⃗AC |=2所以，，cos <⃗AB ⃗AC >=⃗AB ⋅⃗AC |⃗AB ||⃗AC |=332×2=12的夹角为∴⃗AB 与⃗AC 60∘故选：C ．由题意可得：，进而得到与，，再由，可得答⃗AB=(0,3,3),⃗AC = (‒1,1,0)⃗AB ⋅⃗AC |⃗AB ||⃗AC |cos <⃗AB ⃗AC >=⃗AB ⋅⃗AC |⃗AB ||⃗AC |案．解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题4.已知椭圆的左焦点为，则 x 225+y 2m 2=1(m >0)F 1(‒4,0)m =()A. 2B. 3C. 4D. 9【答案】B【解析】解：椭圆的左焦点为，∵x 225+y 2m 2=1(m >0)F 1(‒4,0)，∴25‒m 2=16，∵m >0，∴m =3故选：B ．利用椭圆的左焦点为，可得，即可求出m ．x 225+y 2m 2=1(m >0)F 1(‒4,0)25‒m 2=16本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．5.等于 ∫10(e x +2x)dx ()A. 1B. C. e D. e ‒1e +1【答案】C 【解析】解：，∵(e x +x 2)'=e x +2x ，∴∫10(e x +2x)dx ═(e x +x 2)|10=(e +1)‒(1+0)=e故选：C ．由，可得，即可得出．(e x +x 2)'=e x +2x ∫10(e x +2x)dx =(e x +2x)|10本题考查了微积分基本定理，属于基础题．6.若函数在处有极大值，则 f(x)=x(x ‒c )2x =3c =()A. 9B. 3C. 3或9D. 以上都不对【答案】A 【解析】解：函数的导数为f(x)=x(x ‒c )2f'(x)=(x ‒c )2+2x(x ‒c)，=(x ‒c)(3x ‒c)由在处有极大值，即有，f(x)x =3f'(3)=0解得或3，c =9若时，，解得或，c =9f'(x)=0x =9x =3由在处导数左正右负，取得极大值，f(x)x =3若，，可得或1c =3f'(x)=0x =3由在处导数左负右正，取得极小值．f(x)x =3综上可得．c =9故选：A ．由题意可得，解出c 的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件．f'(3)=0本题考查导数的运用：求极值，主要考查求极值的方法，注意检验，属于中档题和易错题．7.函数的示意图是 y =e x (2x ‒1)()A. B.C. D.【答案】C【解析】解：由函数，y =e x (2x ‒1)当时，可得，排除A ；D x =0y =‒1当时，可得，时，．x =‒12y =0∴x <12y <0当x 从时，越来越大，递增，可得函数的值变大，排除B ；12→+∞y =e x y =2x ‒1y =e x (2x ‒1)故选：C ．带入特殊点即可选出答案本题考查了函数图象变换，是基础题．8.若AB 过椭圆 中心的弦，为椭圆的焦点，则面积的最大值为 x 225+y 216=1F 1△F 1AB ()A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】B【解析】解：设A 的坐标则根据对称性得：，(x,y)B(‒x,‒y)则面积．△F 1AB S =12OF ×|2y|=c|y|当最大时，面积最大，∴|y|△F 1AB 由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其面积最大，△F 1AB 则面积的最大值为：．△F 1AB cb =25‒16×4=12故选：B ．先设A 的坐标则根据对称性得：，再表示出面(x,y)B(‒x,‒y)△F 1AB积，由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其面积最大，最后结合椭圆的标准方程即可求出面积△F 1AB △F 1AB 的最大值．本小题主要考查函数椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题．.9.设函数的极大值为1，则函数的极小值为 f(x)=13x 3‒x +m f(x)()A. B. C. D. 1‒13‒113【答案】A【解析】解：，∵f(x)=13x 3‒x +m ，∴f'(x)=x 2‒1令，解得，f'(x)=x 2‒1=0x =±1当或时，，x >1x <‒1f'(x)>0当时，；‒1<x <1f'(x)<0故在，上是增函数，在上是减函数；f(x)(‒∞,‒1)(1,+∞)(‒1,1)故在处有极大值，解得f(x)x =‒1f(‒1)=‒13+1+m =1m =13在处有极小值，f(x)x =1f(1)=13‒1+13=‒13故选：A ．求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查熟练掌握导数法求极值的方法步骤是解答的关键．.10.设抛物线的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值y 2=4x 范围是 ()A. B. C. D. [‒12,12][‒2,2][‒1,1][‒4,4]【答案】C【解析】解：，∵y 2=4x 为准线与x 轴的交点，设过Q 点的直线l 方程为．∴Q(‒1,0)(Q )y =k(x +1)与抛物线有公共点，∵l 方程组有解，可得有解．∴{y =k(x +1)y 2=4x k 2x 2+(2k 2‒4)x +k 2=0，即．∴△=(2k 2‒4)2‒4k 4≥0k 2≤1，∴‒1≤k ≤1故选：C ．根据抛物线方程求得Q 点坐标，设过Q 点的直线l 方程与抛物线方程联立消去y ，根据判别式大于等于0求得k 的范围．本题主要考查了抛物线的应用涉及直线与抛物线的关系，常需要把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定.理或判别式解决问题．11.已知函数 x ，若在区间内恒成立，则实数a 的取值范围是 f(x)=ax ‒ln f(x)>1(1,+∞)()A. B. C. D. (‒∞,1)(‒∞,1](1,+∞)[1,+∞)【答案】D 【解析】解： x ，在内恒成立，∵f(x)=ax ‒ln f(x)>1(1,+∞)在内恒成立．∴a >1+lnx x (1,+∞)设，g(x)=1+lnx x 时，，∴x ∈(1,+∞)g'(x)=‒lnxx 2<0即在上是减少的，，g(x)(1,+∞)∴g(x)<g(1)=1，即a 的取值范围是．∴a ≥1[1,+∞)故选：D ．化简不等式，得到在内恒成立设，求出函数的导数，利用函数的单调性化简求a >1+lnx x (1,+∞).g(x)=1+lnx x 解即可．本题考查函数的导数的综合应用，考查转化思想以及计算能力．12.设双曲线的两条渐近线与直线分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点若x 2a 2‒y 2b 2=1x =a 2c .，则该双曲线的离心率的取值范围是 60∘<∠AFB <90∘()A. B. C. D. (1,2)(2,2)(1,2)(2,+∞)【答案】B【解析】解：双曲线的两条渐近线方程为，时，，x 2a 2‒y 2b 2=1y =±b a x x =a 2c y =±ab c ，，∴A(a 2c ,ab c )B(a 2c ,‒ab c )，∵60∘<∠AFB <90∘，∴33<k FB <1，∴33<ab c c ‒a 2c <1，∴33<a b <1，∴13<a 2c 2‒a 2<1，∴1<e 2‒1<3．∴2<e <2故选：B ．确定双曲线的两条渐近线方程，求得A ，B 的坐标，利用，可得，由x 2a 2‒y 2b 2=160∘<∠AFB <90∘33<k FB <1此可求双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确寻找几何量之间的关系是关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于______．x 2‒y 2=1【答案】22【解析】解：双曲线的，x 2‒y 2=1a =b =1可得顶点为，(±1,0)渐近线方程为，y =±x 即有顶点到渐近线的距离为d =11+1=22故答案为：．22求得双曲线的，求得顶点坐标，渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求值．a =b =1本题考查双曲线的顶点到渐近线的距离，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．14.已知函数的导函数为，且满足，则______．f(x)f'(x)f(x)=3x 2+2xf'(2)f'(5)=【答案】6【解析】解：f'(x)=6x +2f'(2)令得x =2f'(2)=‒12∴f'(x)=6x ‒24∴f'(5)=30‒24=6故答案为：6将看出常数利用导数的运算法则求出，令求出代入，令求出．f'(2)f'(x)x =2f'(2)f'(x)x =5f'(5)本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值．15.已知向量5，，1，，若平面ABC ，则x 的值是______．⃗AB=(1,‒2)⃗BC =(3,2)⃗DE =(x,‒3,6).DE//【答案】‒23【解析】解：平面ABC ，∵DE//存在事实m ，n ，使得，∴⃗DE =m ⃗AB +n ⃗BC ，解得．∴{x =m +3n ‒3=5m +n 6=‒2m +2n x =‒23故答案为：．‒23由平面ABC ，可得存在事实m ，n ，使得，利用平面向量基本定理即可得出．DE//⃗DE =m ⃗AB +n ⃗BC 本题考查了平面向量基本定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.已知抛物线C ：的焦点F ，，则曲线C 上的动点P 到点F 与点A 的距离之和的最小值为y 2=‒4x A(‒1,1)______．【答案】2【解析】解：抛物线方程为，∵y 2=‒4x ，可得焦点为，准线为∴2p =4F(‒1,0)x =1设P 在抛物线准线l 上的射影点为Q 点，A(‒1,1)则由抛物线的定义，可知当P 、Q 、A 点三点共线时，点P 到点的距离与P 到该抛物线焦点的距离之和(‒1,1)最小，最小值为．∴1+1=2故答案为：2．根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由抛物线的定义知：当P 、A 和P 在准线上的射影点Q 三点共线时，这个距离之和最小，即可得出结论．本题给出抛物线上的动点，求该点到定点Q 和焦点F 距离之和的最小值，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数．f(x)=x 3+x ‒16求曲线在点处的切线的方程；(I)y =f(x)(2,‒6)Ⅱ直线L 为曲线的切线，且经过原点，求直线L 的方程及切点坐标．()y =f(x)【答案】解：函数的导数为，(I)f(x)=x 3+x ‒16f'(x)=3x 2+1可得曲线在点处的切线的斜率为，y =f(x)(2,‒6)3×4+1=13即有曲线在点处的切线的方程为，y =f(x)(2,‒6)y ‒(‒6)=13(x ‒2)即为；13x ‒y ‒32=0Ⅱ的导数为，()f(x)f'(x)=3x 2+1设切点为，可得切线的斜率为，(m,n)3m 2+1即有，3m 2+1=n m =m 3+m ‒16m 即为，2m 3+16=0解得，m =‒2，n =‒8‒2‒16=‒26可得直线L 的方程为及切点坐标为．y =13x (‒2,‒26)【解析】求出的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线的方程；(I)f(x)Ⅱ的导数为，设切点为，可得切线的斜率，运用两点的斜率公式，可得m 的方程，()f(x)f'(x)=3x 2+1(m,n)解方程可得m 的值，即可得到所求切线的方程和切点坐标．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及运算能力，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．S‒ABCD SD⊥18.如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SD=AD=2AB，E是SA的中点．(1)BED⊥求证：平面平面SAB；(2)()求平面BED与平面SBC所成二面角锐角的大小．(1)∵SD⊥SD⊂【答案】证明：底面ABCD，平面SAD，∴SAD⊥ABCD (2)平面平面分∵AB⊥AD SAD∩，平面平面ABCDAD，∴AB⊥平面SAD，DE⊂又平面SAD，∴DE⊥AB (4)，分∵SD=AD∴DE⊥SA，E是SA的中点，，∵AB∩SA=A DE⊥AB DE⊥SA，，，∴DE⊥平面SAB，∵DE⊂平面BED，∴BED⊥SAB (6)平面平面分(2)D‒xyz AD=2解：由题意知SD，AD，DC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设．则0，，0，，，，0，，0，，D(0,0)A(2,0)B(2,2,0)C(0,2,0)S(0,2)E(1,1)，，，分∴⃗DB=(2,2,0)⃗DE=(1,0,1)⃗CB=(2,0,0)⃗CS=(0,‒2,2)…(8)设是平面BED 的法向量，则，即，⃗m =(x 1,y 1,z 1){⃗m ⋅⃗DB =0⃗m ⋅⃗DE=0{2x 1+2y 1=0x 1+z 1=0令，则，x 1=‒1y 1=2,z 1=1是平面BED 的一个法向量．∴⃗m=(‒1,2,1)设是平面SBC 的法向量，则，即，⃗n=(x 2,y 2,z 2){⃗n ⋅⃗CB =0⃗n ⋅⃗CS=0{2x 2=0‒2y 2+2z 2=0解得，令，则，x 2=0y 2=2z 2=1是平面SBC 的一个法向量分∴⃗n=(0,2,1) (10)，∵cos〈⃗m ,⃗n>=⃗m ⋅⃗n|⃗m|⋅|⃗n|=323=32平面BED 与平面SBC所成锐二面角的大小为分∴π6 (12)【解析】证明平面平面SAB ，利用面面垂直的判定定理，证明平面SAB 即可；(1)BED ⊥DE ⊥建立空间直角坐标系，求出平面BED 与平面SBC 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BED 与平(2)面SBC 所成二面角锐角的大小．()本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确利用向量法，属于中档题．19.如图所示，斜率为1的直线过抛物线的焦点F ，与抛物线交y 2=2px(p >0)于A ，B 两点且，M 为抛物线弧AB 上的动点．|AB|=8求抛物线的方程；(1)求的最大值．(2)S △ABM 【答案】解 由条件知：，(1)l AB y =x ‒p2与联立，消去y ，得，y 2=2px x 2‒3px +14p 2=0则由抛物线定义得．x 1+x 2=3p.|AB|=x 1+x 2+p =4p 又因为，即，|AB|=8p =2则抛物线的方程为；y 2=4x 由知，且：，(2)(1)|AB|=4p l AB y =x ‒p2设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为，y =x +m 代入抛物线方程，得．x 2+2(m ‒p)x +m 2=0由，得．△=4(m ‒p )2‒4m 2=0m =p 2与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为y =x +p2两直线间的距离为，d =22p故的最大值为．S △ABM 12×4p ×22p =2p 2=42【解析】根据题意，分析易得直线AB 的方程，将其与联立，得，由根与系数的(1)y 2=2px x 2‒3px +14p 2=0关系可得，结合抛物线的定义可得，解可得p 的值，即可得抛物线的x 1+x 2=3p |AB|=x 1+x 2+p =4p =8方程；设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为，代入抛物线方程，得，(2)y =x +m x 2+2(m ‒p)x +m 2=0进而可得与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程，计算可得两直线间的距离，由三角形面积公式计算即可得答案．本题考查直线与抛物线的位置关系，注意抛物线的焦点弦的性质，属于中档题20.函数在处取得极值．f(x)=ax +xlnx x =1Ⅰ求的单调区间；()f(x)Ⅱ若在定义域内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．()y =f(x)‒m ‒1【答案】解：Ⅰ，分( (1)，解得，当时，，分a =‒1a =‒1f(x)=‒x +xlnx (2)即，令0'/>，解得；分x >1 (3)令，解得；分0<x <1 (4)在处取得极小值，的增区间为，减区间为分∴f(x)x =1f(x)(1,+∞)(0,1)…(6)Ⅱ在内有两个不同的零点，()y =f(x)‒m ‒1(0,+∞)可转化为在内有两个不同的根，f(x)=m +1(0,+∞)也可转化为与图象上有两个不同的交点，分y =f(x)y =m +1...(7)由Ⅰ知，在上单调递减，在上单调递增，()f(x)(0,1)(1,+∞)，分f(x )min =f(1)=‒1 (8)由题意得，即分m +1>‒1m >‒2①…(10)当时，；0<x <1f(x)=x(‒1+lnx)<0当且时，；x >0x→0f(x)→0当时，显然或者举例：当，；x→+∞f(x)→+∞(x =e 2f(e 2)=e 2>0)由图象可知，，即分m +1<0m <‒1②...(11)由可得分①②‒2<m <‒1 (12)【解析】Ⅰ求出函数的导数，计算，求出a 的值，从而求出函数的单调区间即可；()f'(1)Ⅱ问题转化为在内有两个不同的根，结合函数的图象求出m 的范围即可．()f(x)=m +1(0,+∞)本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及数形结合思想、转化思想，是一道中档题．21.已知椭圆，已知定点，若直线与椭圆交于C 、D 两点问：是否存在x 23+y 2=1E(‒1,0)y =kx +2(k ≠0).k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由．【答案】解：假若存在这样的k 值，由得．{y =kx +2x 2+3y 2‒3=0(1+3k 2)x 2+12kx +9=0 ∴△=(12k )2‒36(1+3k 2)>0.①设、，则C(x 1,y 1)D(x 2,y 2){x 1+x 2=‒12k1+3k 2x 1⋅x 2=91+3k 2②而．y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4要使以CD 为直径的圆过点，当且仅当时，则，即E(‒1,0)CE ⊥DE y 1x 1+1⋅y 2x2+1=‒1．y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0 ∴(k 2+1)x 1x 2+2(k +1)(x 1+x 2)+5=0.③将式代入整理解得经验证，，使成立．②③k =76.k =76①综上可知，存在，使得以CD 为直径的圆过点E ．k =76【解析】把直线的方程与椭圆的方程联立，转化为关于x 的一元二次方程，得到根与系数的关系，假设以CD为直径的圆过E 点，则，将它们联立消去，即可得出k 的值．CE ⊥DE x 1x 2本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．22.设函数．f(x)=x ‒ae x ‒1求函数的单调区间；(1)f(x)若对恒成立，求实数a 的取值范围．(2)f(x)≤0x ∈R 【答案】解：(1)f'(x)=1‒ae x ‒1当时，，在R 上是增函数；a ≤0f'(x)>0f(x)当时，令得a >0f'(x)=0x =1‒lna 若，则，从而在区间上是增函数；x <1‒lna f'(x)>0f(x)(‒∞,1‒lna)若，则，从而在区间上是减函数．x >1‒lna f'(x)<0f(x)(1‒lna,+∞由可知：当时，不恒成立，(2)(1)a ≤0f(x)≤0又当时，在点处取最大值，a >0f(x)x =1‒lna 且，f(1‒lna)=1‒lna ‒ae‒lna=‒lna 令得，‒lna <0a ≥1故若对恒成立，则a 的取值范围是．f(x)≤0x ∈R [1,+∞)【解析】对函数求导，使得导函数大于0，求出自变量的取值范围，针对于a 的值小于进行讨论，得到函(1)数的单调区间．这是一个恒成立问题，根据上一问做出的结果，知道当时，不恒成立，又当时，在(2)a ≤0f(x)≤0a >0f(x)点处取最大值，求出a 的范围．x =1‒lna 本题考查求函数的单调区间和解决函数恒成立的问题，解题时注意函数的单调性是解决最值的必经途径，注意数字的运算．。
2013-2014学年上学期期末考试高二数学试卷(理)
2013-2014学年上学期期末考试高二数学试卷（理）注意事项：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知点(3,1,4)A -，则点A 关于原点的对称点的坐标为（ ）A ．(1,3,4)--B ．(4,1,3)--C ．(3,1,4)--D ．(4,1,3)-2．已知命题：“若x ≥0，y ≥0，则xy ≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3. “0ab >”是“方程221ax by +=表示椭圆”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．与命题“若a M ∈，则b M ∉”等价的命题是( )A ．若a M ∉，则b M ∉B ．若b M ∉，则a M ∈C ．若a M ∉，则b M ∈D ．若b M ∈，则a M ∉5. 已知空间四边形ABCD 中，,,OA a OB b OC c === ，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN = （ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．111222a b c +- D ．221332a b c +- 6．设α、β、γ为两两不重合的平面，c 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①如果α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ②如果m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③如果α∥β，c ⊂α，则c ∥β； ④如果α∩β＝c ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，c ∥γ，则m ∥n .其中真命题个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7.将两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一顶点是此抛物线焦点的正三角形数记为则()A ．n=0B ．n=1C ． n=2D ．n 38．设F 1，F 2是双曲线22221x y a b-= (a >0，b >0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF F P +∙= (O 为坐标原点)，且|PF 1|PF 2|，则双曲线的离心率为( )A. B.1 D. 1+9.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰十角三角形。