人教版数学必修五：3.2《一元二次不等式及其解法》ppt课件
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第三章
3.2
第1课时
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第三章
不等式
第三章
不等式
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第三章
3．2 第1课时 一元二次不等式及其解法 一元二次不等式及其解法
第三章
不等式
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有一个未知数．如： x2 － 5x<0,2x2 ＋ 6x － 10>0 ，－ 3x2 ＋ 5x ＋
7<0,5x2>3等都是一元二次不等式． 注意： (1) 在一元二次不等式的表达式中 ，一定有条件 a≠0，即二次项的系数不为零． (2) 对于 ax2＋ bx ＋ c>0(或<0) 的形式，如果不指明是二次不
程无实数根，y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴上方，所以ax2＋bx
＋c>0的解集是R，而ax2＋bx＋c<0的解集是∅.
第三章
3.2
第1课时
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注意：(1)上述给出的解集形式是在 a>0 的情况下的解集形 式．若 a<0，应将不等式两边同时乘－1，化为二次项系数大于 0 的一元二次不等式再解． (2)若 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的判别式 Δ＝0，则方程有两个相 等的实根，此时不等式 ax2 ＋ bx ＋ c>0(a>0) 的解集为 {x|x≠－ b 2 } ， ax ＋bx＋c<0(a>0)的解集为∅. 2a
最快为110千米/小时．
那么他能实现自己的目标吗？
第三章
3.2
第1课时
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1. 初 中 我 们 学 过 的 一 元 一 次 不 等 式 为 ____________ 或 ____________．
[答案] ax＋b>0(a≠0) ax＋b<0(a≠0)
1
课前自主预习
2
课堂典例探究
3
课 时 作 业
第三章
3.2
第1课时
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课前自主预习
第三章
3.2
第1课时
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在2010年温哥华冬奥会跳台滑雪比赛中，一位跳台滑雪运
动员在90米级跳台滑雪时，想使自己的飞行距离超过68米．他 若以自身体重从起滑台起滑，经助滑道于台端飞起时的初速度
设一元二次方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a>0) 的两个不等实根分别 为x1，x2(x1<x2)，则不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为{x|x<x1或 x>x2}，不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}． 当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的判别式Δ<0时，此方
第三章
3.2
第1课时
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解下列不等式． (1)2x2－3x－2>0； (2)－3x2＋6x>2.
[ 解析]
(1)∵Δ＝25>0，方程 2x2－3x－2＝0 的两根分别为
1 x1＝－2，x2＝2， 1 ∴不等式 2x －3x－2>0 的解集为{x|x<－2或 x>2}．
第三章
3.2
第1课时
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Δ＝b2－4ac y＝ax2＋bx＋ c(a>0)的图象
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
ax ＋bx＋c＝ 0(a>0)的根 ax2＋bx＋ c>0(a>0)的解集 ax2＋bx＋ c<0(a>0)的解集
2
x1,2＝ －b± Δ 2a {x|x<x1 或 x>x2 } {x|x1<x<x2}
等式，那么它也可能是一次不等式，应特别注意分类讨论．
第三章 3.2 第1课时
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判断下列不等式中哪些是一元二次不等式． ① x2>0 ；②－ x2 － x≤5 ；③ x3 ＋ 5x － 6>0 ；④ mx2 － 5y<0(m 为常数)；⑤ax2＋bx＋c>0.
2
第三章
3.2
第1课时
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(2)原不等式可化为 3x2－6x＋2<0， 3 ∵Δ＝12>0， 方程 3x －6x＋2＝0 的两根分别为 x1＝1－ 3 ，
2
3 x 2 ＝1 ＋ 3 ， 3 3 ∴原不等式的解集为{x|1－ 3 <x<1＋ 3 }．
第三章
2 ．不 等 式 2x2 － x ＋ 1同 点是 ________和________． [答案] 含有一个未知数x 未知数x的最高次数为2
第三章
3.2
第1课时
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1.一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等 式，称为一元二次不等式．“元”是未知数，“一元”就是含
3.2
第1课时
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3．一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 求一般的一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 或 ax2＋bx＋c<0 的 解集，可由二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系，先 求出一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，再根据函数图象 与 x 轴的相关位置确定一元二次不等式的解集． 一元二次不等式的解集、二次方程的根与二次函数的图象 之间的关系见下表：
x1 ＝x2 b ＝－2a {x|x≠ b －2a} ∅
没有实数根
R ∅
第三章 3.2 第1课时
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画出函数 y＝x2－2x－3 的图象，观察图象．回答问题： (1)x ∈ ________ 时， y ＝ 0 ，方程 x2 － 2x － 3 ＝ 0 的根为 ________． (2)x∈________时，y>0，∴不等式 x2－2x－3>0 的解集为 ________； (3)x∈________时，y<0，∴不等式 x2－2x－3<0 的解集为 ________．
[解析] ①②是．③不是，因为x3的最高次数是3，不符合
定义．④不是．当m＝0时，它是一元一次不等式，当m≠0，它
含有两个未知数x，y.⑤不一定是．当a＝0时，它不符合一元二
次不等式的定义；当a≠0时，是．
第三章
3.2
第1课时
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2．一元二次不等式的解法
第三章
3.2
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不等式
第三章
不等式
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3．2 第1课时 一元二次不等式及其解法 一元二次不等式及其解法
第三章
不等式
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有一个未知数．如： x2 － 5x<0,2x2 ＋ 6x － 10>0 ，－ 3x2 ＋ 5x ＋
7<0,5x2>3等都是一元二次不等式． 注意： (1) 在一元二次不等式的表达式中 ，一定有条件 a≠0，即二次项的系数不为零． (2) 对于 ax2＋ bx ＋ c>0(或<0) 的形式，如果不指明是二次不
程无实数根，y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴上方，所以ax2＋bx
＋c>0的解集是R，而ax2＋bx＋c<0的解集是∅.
第三章
3.2
第1课时
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注意：(1)上述给出的解集形式是在 a>0 的情况下的解集形 式．若 a<0，应将不等式两边同时乘－1，化为二次项系数大于 0 的一元二次不等式再解． (2)若 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的判别式 Δ＝0，则方程有两个相 等的实根，此时不等式 ax2 ＋ bx ＋ c>0(a>0) 的解集为 {x|x≠－ b 2 } ， ax ＋bx＋c<0(a>0)的解集为∅. 2a
最快为110千米/小时．
那么他能实现自己的目标吗？
第三章
3.2
第1课时
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1. 初 中 我 们 学 过 的 一 元 一 次 不 等 式 为 ____________ 或 ____________．
[答案] ax＋b>0(a≠0) ax＋b<0(a≠0)
1
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2
课堂典例探究
3
课 时 作 业
第三章
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在2010年温哥华冬奥会跳台滑雪比赛中，一位跳台滑雪运
动员在90米级跳台滑雪时，想使自己的飞行距离超过68米．他 若以自身体重从起滑台起滑，经助滑道于台端飞起时的初速度
设一元二次方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a>0) 的两个不等实根分别 为x1，x2(x1<x2)，则不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为{x|x<x1或 x>x2}，不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}． 当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的判别式Δ<0时，此方
第三章
3.2
第1课时
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解下列不等式． (1)2x2－3x－2>0； (2)－3x2＋6x>2.
[ 解析]
(1)∵Δ＝25>0，方程 2x2－3x－2＝0 的两根分别为
1 x1＝－2，x2＝2， 1 ∴不等式 2x －3x－2>0 的解集为{x|x<－2或 x>2}．
第三章
3.2
第1课时
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Δ＝b2－4ac y＝ax2＋bx＋ c(a>0)的图象
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
ax ＋bx＋c＝ 0(a>0)的根 ax2＋bx＋ c>0(a>0)的解集 ax2＋bx＋ c<0(a>0)的解集
2
x1,2＝ －b± Δ 2a {x|x<x1 或 x>x2 } {x|x1<x<x2}
等式，那么它也可能是一次不等式，应特别注意分类讨论．
第三章 3.2 第1课时
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判断下列不等式中哪些是一元二次不等式． ① x2>0 ；②－ x2 － x≤5 ；③ x3 ＋ 5x － 6>0 ；④ mx2 － 5y<0(m 为常数)；⑤ax2＋bx＋c>0.
2
第三章
3.2
第1课时
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(2)原不等式可化为 3x2－6x＋2<0， 3 ∵Δ＝12>0， 方程 3x －6x＋2＝0 的两根分别为 x1＝1－ 3 ，
2
3 x 2 ＝1 ＋ 3 ， 3 3 ∴原不等式的解集为{x|1－ 3 <x<1＋ 3 }．
第三章
2 ．不 等 式 2x2 － x ＋ 1同 点是 ________和________． [答案] 含有一个未知数x 未知数x的最高次数为2
第三章
3.2
第1课时
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1.一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等 式，称为一元二次不等式．“元”是未知数，“一元”就是含
3.2
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3．一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 求一般的一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 或 ax2＋bx＋c<0 的 解集，可由二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系，先 求出一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，再根据函数图象 与 x 轴的相关位置确定一元二次不等式的解集． 一元二次不等式的解集、二次方程的根与二次函数的图象 之间的关系见下表：
x1 ＝x2 b ＝－2a {x|x≠ b －2a} ∅
没有实数根
R ∅
第三章 3.2 第1课时
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画出函数 y＝x2－2x－3 的图象，观察图象．回答问题： (1)x ∈ ________ 时， y ＝ 0 ，方程 x2 － 2x － 3 ＝ 0 的根为 ________． (2)x∈________时，y>0，∴不等式 x2－2x－3>0 的解集为 ________； (3)x∈________时，y<0，∴不等式 x2－2x－3<0 的解集为 ________．
[解析] ①②是．③不是，因为x3的最高次数是3，不符合
定义．④不是．当m＝0时，它是一元一次不等式，当m≠0，它
含有两个未知数x，y.⑤不一定是．当a＝0时，它不符合一元二
次不等式的定义；当a≠0时，是．
第三章
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2．一元二次不等式的解法
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高中数学 一元二次不等式及解法 PPT课件 图文
y<0
O x1
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根 b
x1=x2= 2 a
{x|x<x1,或 x>x2}
b {x|x≠ 2 a }
{x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
y>0
x O 没有实根
R Φ
函数 、方程、不等式的关系
a<0时如何求解呢？
自主练习
1．下列是关于x的一元二次不等式化为(x＋2a)(x－a)＜0 对应的一元二次方程的根为x1＝a，x2＝－2a， (1)当a＞－2a，即a＞0时，－2a＜x＜a， (2)当a＝－2a，即a = 0时，原不等式化为x^2＜0，无解, (3)当a＜－2a, 即a＜0时, a＜x＜－2a. 综上所述，原不等式的解集为： 当a＞0时，{x|－2a＜x＜a} 当a＝0时， ∅ 当a＜0时，{x|a＜x＜－2a}
A．(－3,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 解析：不等式的解集是(－∞，－3)∪(2，＋∞)，故
选C. 答案： C
课堂 讲 义
求解一元二次不等式
例一 求下列一元二次不等式的解集:
(1)－x2＋5x＜－6
解：原不等式可化为 x2－5x－6>0
集。
变式训练
求下列不等式的解集:
(1)－2x2＋3x＋2 ≤ 0；
{ x|x2或 x 2 }
y x1 O x2 x
变式训练
(2)4x2＋4x＋1>0
{x
|x
1} 2
y
O x1
x
变式训练
3.2一元二次不等式及其解法课件人教新课标
(a>0)的根 x1, x2 (x1<x2)
x1=x2=
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} {x|x≠
}
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
这张表是我们今后求解一元 二次不等式的主要工具，必须熟练 掌握，其关键是抓住相应的二次函 数的图像。
且函数y＝x2＋x－2的图象开口向上， 所以不等式x2＋x－2＜0的解集为(－2,1)．
全优50页基础夯实
3．设集合M＝{x|0≤x<2}，集合N＝{x|x2－2x－3<0}，
集合M∩N等于( B )
全优50页基础夯实
A．{x|0≤x<1}
B．{x|0≤x<2}
C．{x|0≤x≤1}
D．{x|0≤x≤2}
即0<x<1.
1．解下列不等式： (1)x(3－x)≤x(x＋2)－1；(2)x2－2x＋3>0.
【解析】(1)原不等式可化为2x2－x－1≥0， ∴(2x＋1)(x－1)≥0.
| 故原不等式的解集为 x x≤－12或 x≥1 .
(2)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0， 故原不等式的解集是R.
想一想，当x取何值时，y 的值大于零？ （或小于零？）
y
y
Om x
nO
x
当x m时y 0
当x m时y 0
当x n时y 0
当x n时y 0
一元一次方程、一元一次不等式与一次 函数的关系:
3.2《一元二次不等式及其解法》PPT课件
2
二次函数、二次方程、与二次不等式的关系
函数
f ( x) x 5 x
方程
x 5x 0
2
不等式
x 5x 0
2
y
方程的解
不等式的解集
y>0 y>0
O
x1 0, x2 5
x x 0或x 5
x2 5 x 0
不等式的解集
x 0 x 5
5
y<0
总结
【典型例题】
例4. 解不等式：
2 x 2 5 x 6 x2 x6
1 2
1 2
二、简单的一元二次含参不等式
常见含参不等式题型： 1).讨论参数，解含参不等式； 2).已知含参不等式解集，求参数的范围。
• 常见可利用的入手知识点： 1、一元二次不等式的解集端点与相应方程根的关系 （结合韦达定理）。 2、一元二次不等式与对应函数的图象关系。
【解析】 2)≤0，
(1)原不等式等价于(x－1)(x＋1)(x－2)(x＋
如下图所示的阴影区域：
∴原不等式的解集是 x|－2≤x≤－1或1≤x≤2 .
(2)原不等式等价于(x＋1)2(x＋2)(x－3)≥0，如图所示的 阴影区域：
∴不等式的解集是 x|x≤－2或x≥3或x＝－1 .
-2<a<2
a 2, 2
对一切
x R恒成立
不等式的恒成立问题 含参数的不等式恒成立问题的一般处理思路是： • 1、带参函数分析：将不等式化为f(x)>0（或<0） 的形式，然后构造函数f(x)，求函数的最小值 （或最大值），再令fmin(x)>0（或fmax(x)<0）
二次函数、二次方程、与二次不等式的关系
函数
f ( x) x 5 x
方程
x 5x 0
2
不等式
x 5x 0
2
y
方程的解
不等式的解集
y>0 y>0
O
x1 0, x2 5
x x 0或x 5
x2 5 x 0
不等式的解集
x 0 x 5
5
y<0
总结
【典型例题】
例4. 解不等式：
2 x 2 5 x 6 x2 x6
1 2
1 2
二、简单的一元二次含参不等式
常见含参不等式题型： 1).讨论参数，解含参不等式； 2).已知含参不等式解集，求参数的范围。
• 常见可利用的入手知识点： 1、一元二次不等式的解集端点与相应方程根的关系 （结合韦达定理）。 2、一元二次不等式与对应函数的图象关系。
【解析】 2)≤0，
(1)原不等式等价于(x－1)(x＋1)(x－2)(x＋
如下图所示的阴影区域：
∴原不等式的解集是 x|－2≤x≤－1或1≤x≤2 .
(2)原不等式等价于(x＋1)2(x＋2)(x－3)≥0，如图所示的 阴影区域：
∴不等式的解集是 x|x≤－2或x≥3或x＝－1 .
-2<a<2
a 2, 2
对一切
x R恒成立
不等式的恒成立问题 含参数的不等式恒成立问题的一般处理思路是： • 1、带参函数分析：将不等式化为f(x)>0（或<0） 的形式，然后构造函数f(x)，求函数的最小值 （或最大值），再令fmin(x)>0（或fmax(x)<0）
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法课件新人教A版必修5
＝1，b＝－2
B．a＝2，b＝－1
C．a＝－2，b＝2
D．a＝－2，b＝1
解析：因为不等式 ax2＋3x－2>0 的解集为{x|1<x<b}，所以 a<0，且
方程 ax2＋3x－2＝0 的两个根分别为 1 和 b.根据根与系数的关系，得
1＋b＝－3a，b＝－2a，所以 a＝－1，b＝2.
答案：C
[随堂训练]
1．已知不等式
ax2－5x＋b>0
的解集为x
x<－13或x>12，则不等式
bx2－5x＋a>0 的解集为( )
A.x
－13<x<12
C．{x|－3<x<2}
B.x
x<－13或x>12
D．{x|x<－3 或 x>2}
综上所述： 当 a<0 或 a>1 时，原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}； 当 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}； 当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当 a＝1 时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
解含参数的一元二次不等式应注意事项 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行 讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论； (4)若 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)可分解为 a(x－x1)(x－x2)＞0.讨论时只需比 较 x1，x2 大小即可．
3．若不等式 ax2＋5x－2>0 的解集是x
1
B．a＝2，b＝－1
C．a＝－2，b＝2
D．a＝－2，b＝1
解析：因为不等式 ax2＋3x－2>0 的解集为{x|1<x<b}，所以 a<0，且
方程 ax2＋3x－2＝0 的两个根分别为 1 和 b.根据根与系数的关系，得
1＋b＝－3a，b＝－2a，所以 a＝－1，b＝2.
答案：C
[随堂训练]
1．已知不等式
ax2－5x＋b>0
的解集为x
x<－13或x>12，则不等式
bx2－5x＋a>0 的解集为( )
A.x
－13<x<12
C．{x|－3<x<2}
B.x
x<－13或x>12
D．{x|x<－3 或 x>2}
综上所述： 当 a<0 或 a>1 时，原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}； 当 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}； 当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当 a＝1 时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
解含参数的一元二次不等式应注意事项 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行 讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论； (4)若 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)可分解为 a(x－x1)(x－x2)＞0.讨论时只需比 较 x1，x2 大小即可．
3．若不等式 ax2＋5x－2>0 的解集是x
1
高中数学必修5精品课件3.2一元二次不等式及其解法 PPT
①{－2,3}；②{x|x<－2 或 x>3}；③{x|－2<x<3}．
问题 2 作出函数 y＝－x2＋4x－3 的图象，根据图象完成下 列问题： ①方程－x2＋4x－3＝0 的解集是________； ②不等式－x2＋4x－3>0 的解集是________； ③不等式－x2＋4x－3<0 的解集是________． 答案 y＝－x2＋4x－3 的图象．
Δ＝(－6)2－1＋
3 3.
∴不等式－3x2＋6x>2 的解集是{x|1－ 33<x<1＋ 33}．
小结 一元二次不等式的解法一般按照“三步曲”：第一步， 化二次项的系数为正数；第二步，求解相应的一元二次方程 的根；第三步，根据根的情况结合图象写出一元二次不等式 的解集．
探究点一 一元二次不等式的解集 问题 1 作出函数 y＝x2－x－6 的图象，根据图象完成下列
问题： ①方程 x2－x－6＝0 的解集是________； ②不等式 x2－x－6>0 的解集是________； ③不等式 x2－x－6<0 的解集是________．
答案 函数 y＝x2－x－6 的图象．
(1)ax2＋bx＋c>0 (a>0)；(2)ax2＋bx＋c<0 (a>0)．
当 Δ＝b2－4ac>0 时，ax2＋bx＋c＝0 有两个不等的实数根
x1、x2，且 x1<x2，则 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为{x|x<x1 _或__x_>_x_2_}；则 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为 {x|x1<x<x2} ．
高中数学必修5精品课件3.2一元二次不等式 及其解法
问题 2 作出函数 y＝－x2＋4x－3 的图象，根据图象完成下 列问题： ①方程－x2＋4x－3＝0 的解集是________； ②不等式－x2＋4x－3>0 的解集是________； ③不等式－x2＋4x－3<0 的解集是________． 答案 y＝－x2＋4x－3 的图象．
Δ＝(－6)2－1＋
3 3.
∴不等式－3x2＋6x>2 的解集是{x|1－ 33<x<1＋ 33}．
小结 一元二次不等式的解法一般按照“三步曲”：第一步， 化二次项的系数为正数；第二步，求解相应的一元二次方程 的根；第三步，根据根的情况结合图象写出一元二次不等式 的解集．
探究点一 一元二次不等式的解集 问题 1 作出函数 y＝x2－x－6 的图象，根据图象完成下列
问题： ①方程 x2－x－6＝0 的解集是________； ②不等式 x2－x－6>0 的解集是________； ③不等式 x2－x－6<0 的解集是________．
答案 函数 y＝x2－x－6 的图象．
(1)ax2＋bx＋c>0 (a>0)；(2)ax2＋bx＋c<0 (a>0)．
当 Δ＝b2－4ac>0 时，ax2＋bx＋c＝0 有两个不等的实数根
x1、x2，且 x1<x2，则 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为{x|x<x1 _或__x_>_x_2_}；则 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为 {x|x1<x<x2} ．
高中数学必修5精品课件3.2一元二次不等式 及其解法
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法课件
2．高考对一元二次不等式解法的考查常有以下几个 命题角度：
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
高中数学课件：3.2-2《一元二次不等式及其解法》
(2)若 a2－1≠0，即 a≠±1 时，原不等式解集为 R 的条件 是 a2－1<0 Δ＝a－12＋4a2－1<0 解得－35<a<1. 综上所述，当－35<a≤1 时，原不等式解集为全体实数．
[点评] (1)不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是全体实数(或恒成 立)的条件是当 a＝0 时，b＝0，c>0；
②logaf(x)>logaφ(x)⇔f(x)>φ(x)>0(a>1)； 或0<f(x)<φ(x)(0<a<1)．
2．不等式(x2－7x＋12)(x2＋x＋1)>0的解
集为
()
A．(－∞，－4)∪(－3，＋∞)
B．(－∞，3)∪(4，＋∞)
C．(－4，－3)
D．(3,4)
解析：∵x2＋x＋1>0恒成立，∴原不等式等 价于x2－7x＋12>0，∴x<3或x>4.故选B.
答案：B
3．若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－ 4<0的 解 为 一 切 实 数 ， 则 a 的 取 值 范 围 为 ()
即 k>23或k<－4， k>2或k<－4，
解得 k<－4 或 k>2. 故所求的实数 k 的取值范围是 k<－4 或 k>2.
[点评] 解决这类一元二次方程两实根正负 性的讨论问题，只需抓住判别式和韦达定 理，由它们构建关于参数的一元二次不等 式组，解之即可．
迁移变式3 m为何值时，关于x的方程(m ＋1)x2＋2(2m＋1)x＋(1－3m)＝0有两个异 号的实根．
[分析] 由A∩B＝A⇒A⊆B，又因为B是可解 集合，因此可以求出B集合．对于A集合， 要明确不等式的解集，需判断对应方程两 根的大小，故要就两根的大小对参数a加以 讨论，再借助数轴由A，B两集合的关系， 求出a的具体取值范围．
高中数学必修5《一元二次不等式及其解法》PPT
§3.2 一元二次不等式 及其解法
创设情景 引入新课
学校要在长为8,宽为6 的 一块长方形地面上进行绿化, 计划四周种花卉,花卉带的宽
x x
x x
度相同,中间种植草坪(图中
阴影部分)为了美观,现要求
草坪的种植面积超过总面积 的一半,此时花卉带的宽度的
x x
x x
取值范围是什么?
设:花卉带的宽为x(0 x 3) ,则依题意有
(8
2x)(6
整2理x)得
1 2
86
整理得
x2 7x60
一元二次不等式的定义：
只含有一个未知数，并且未知数最高次 数是2 的不等式叫做一元二次不等式.
一元二次不等式的一般形式： ax2 bx c 0 或 ax2 bx c （0 a 0)
互动探究 发现规律
探究一元二次不等式 x2 7x6 0的解集
y>0
oo
01 y<0
y>0 x
o
当x取 x<1 或 x>6 时，y>0？ 当x取 1 < x <6 时，y<0?
(3)由图象得：
不等式x2 -7x+6>0 的解集﹛为x|x<1或x>6﹜
。
不等式x2 -7x+6<0 的解集为﹛x| 1 <x <6﹜
。
大于0取两边，小于0取中间.
启发引导 形成结论
典例剖析 规范步骤
例3 解不等式 4x2 4x 1 0 .
解： 0，方程 4x2 4x 1 0
的解是
x1
x2
1 2
.
原不等式的解集是 x
x
1 2
.
创设情景 引入新课
学校要在长为8,宽为6 的 一块长方形地面上进行绿化, 计划四周种花卉,花卉带的宽
x x
x x
度相同,中间种植草坪(图中
阴影部分)为了美观,现要求
草坪的种植面积超过总面积 的一半,此时花卉带的宽度的
x x
x x
取值范围是什么?
设:花卉带的宽为x(0 x 3) ,则依题意有
(8
2x)(6
整2理x)得
1 2
86
整理得
x2 7x60
一元二次不等式的定义：
只含有一个未知数，并且未知数最高次 数是2 的不等式叫做一元二次不等式.
一元二次不等式的一般形式： ax2 bx c 0 或 ax2 bx c （0 a 0)
互动探究 发现规律
探究一元二次不等式 x2 7x6 0的解集
y>0
oo
01 y<0
y>0 x
o
当x取 x<1 或 x>6 时，y>0？ 当x取 1 < x <6 时，y<0?
(3)由图象得：
不等式x2 -7x+6>0 的解集﹛为x|x<1或x>6﹜
。
不等式x2 -7x+6<0 的解集为﹛x| 1 <x <6﹜
。
大于0取两边，小于0取中间.
启发引导 形成结论
典例剖析 规范步骤
例3 解不等式 4x2 4x 1 0 .
解： 0，方程 4x2 4x 1 0
的解是
x1
x2
1 2
.
原不等式的解集是 x
x
1 2
.
人教高中数学必修五3.2一元二次不等式及其解法课件
巩固练习
1、解下列一元二次不等式： （1） 3x2 7x + 2 0 ； （2） 6x2 x + 2 0 ；
答案:
1一.二元二次次函不数等，式一的元解法二次方程，一元二次不等式的关系
判别式 △=b2- 4ac
△>0
y y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O x2 x
△=0 y
O x1
x
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有两相异实根 有两相等实根
x1, x2 (x1<x2)
x1=x2=
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} {x|x≠
}
△<0 y
x O 没有实根
R
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
Φ
2.解一元二次不等式
1 x1 2 , x2 2.
所以,原不等式的解集是
-1
2
2
x
|
x
1 2
,或x
2.
注:开口向上,大于0
解集是大于大根,小 于小根(两边飞)
8
若改为:不等式 2x2－3x－2 < 0 .
解：不等式
的解集为： :x
1 x 2 注:开口向上,小于0
2
解集是大于小根且 小于大根(两边夹)
-1
△=0 y
O x1
x
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有两相异实根 有两相等实根
高中数学人教A版必修5《3.2.1一元二次不等式及其解法1》课件
3）函数值是负数，即x2-4x+1<0，解得：
{x | 2 3 x 2 3} ，即，当
2 3 x 2 3 时，原函数的值是负数。
课堂练习3. 是什么实数时, x2 x 12 有意义?
解：要想原式有意义，即要使 x2 x 12 0 ，
解这个不等式得：{x|x<-4或x>3} 所以，原式当x<-4或x>3时有意义。
(3) 解不等式 4x2 - 4x+1>0
解： 因为△=16-16=0 方程4x2-4x+1=0的解是 x1=x2=1/2 所以原不等式的解集为{x|x≠1/2}
(4) 解不等式 -x2+2x-3>0
解：整理，得 x2-2x+3<0 因为△=4-12= -8<0 方程2x2-3x-2=0无实数根
所以原不等式的解集为ф
y y=2x-7
o
3.5
x
-7
2、通过以上分析，得出以下结论
a>0
a<0
一次函数y=ax+b 的图像
方程ax+b=0的根 不等式ax+b>0的解集 不等式ax+b<0的解集
-b/a
x=-b/a x>-b/a x<-b/a
-b/a
x=-b/a X<-b/a X>-b/a
二、一元二次方程、一元二次不等式与二次函 数的关系
1、作二次函数y=x2-x-6的图象。它的对应值表与图像如下：
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
(1).图象与x轴交点的坐标为_(_-2_,_0_)__(3_,_0_)_, 该坐标与方程 x2-x-6=0的解有什么关系： 交__点__的__横__坐__标__即__为__方__程__的__根___
{x | 2 3 x 2 3} ，即，当
2 3 x 2 3 时，原函数的值是负数。
课堂练习3. 是什么实数时, x2 x 12 有意义?
解：要想原式有意义，即要使 x2 x 12 0 ，
解这个不等式得：{x|x<-4或x>3} 所以，原式当x<-4或x>3时有意义。
(3) 解不等式 4x2 - 4x+1>0
解： 因为△=16-16=0 方程4x2-4x+1=0的解是 x1=x2=1/2 所以原不等式的解集为{x|x≠1/2}
(4) 解不等式 -x2+2x-3>0
解：整理，得 x2-2x+3<0 因为△=4-12= -8<0 方程2x2-3x-2=0无实数根
所以原不等式的解集为ф
y y=2x-7
o
3.5
x
-7
2、通过以上分析，得出以下结论
a>0
a<0
一次函数y=ax+b 的图像
方程ax+b=0的根 不等式ax+b>0的解集 不等式ax+b<0的解集
-b/a
x=-b/a x>-b/a x<-b/a
-b/a
x=-b/a X<-b/a X>-b/a
二、一元二次方程、一元二次不等式与二次函 数的关系
1、作二次函数y=x2-x-6的图象。它的对应值表与图像如下：
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
(1).图象与x轴交点的坐标为_(_-2_,_0_)__(3_,_0_)_, 该坐标与方程 x2-x-6=0的解有什么关系： 交__点__的__横__坐__标__即__为__方__程__的__根___