卢瑟福公式在小角度区域的误差

卢瑟福公式在小角度区域的误差
12 物理学 张祥栋 11309051 众所周知，卢瑟福散射公式在小角度下的表现非常糟糕。卢瑟福散射公式可以写成如下 形式：
������(������)
=
������������′ ������d������
=
������������
1 (4������������0
������14���������2���������2)2
下面我们来估计一下这里引入的误差有多大。根据库仑散射公式������ = ������ cot ������可算得当
22
������ = 45°时，������ = 1.5 × 10−4 Å。在这么小的瞄准距离内，电子的屏蔽作用应该是非常弱的， 因此静电屏蔽应该不能很好地解释褚圣麟在其书中[1]提到的数据。
二、 微分截面互相重叠
当散射角很小时，其对应的瞄准距������将变得很大，若������大于原子核间距的一半时，两个原 子核的微分截面就会互相重叠。我们在推导卢瑟福散射公式时直接将所有原子核的微分截面 相加得到总的入射微分截面，并没有考虑到各原子核微分截面互相重叠这一点。这就是式(1) 中������(������)不满足归一化条件，甚至发散的根本原因。
1 sin4
������ 2
(1)
������(������)实际上是一个概率密度函数，它表示的是一个粒子被散射后，在������角附近的单位立
体角范围内出射的概率。按照定义，概率密度函数应该满足归一化条件，但������(������)在������ = 0处
却是发散的，且对于任意������ > 0下列积分也是发散的：
������
∫ ������(������)(2������
0
sin
������
d������)
=
4������
∙
������������
1 (4������������0
������1������2������ 4������
22
)
������
∫
0
cos
������ 2
sin3
������ 2
d������
而平均散射次数为：
������ = C5100 ∙ ������1(1 − ������1)499 ≈ 10−1878
������ = 500������1 = 499.9 相比而言，大角度的散射发生的概率很低，所以穿过 500 层原子后发生的次数几乎只可 能有一次。这里可以再算一下发生一次以上大于1°散射的概率。
穿过一层发生一次散射的概率：
发生一次以上散射的概率：
������1′ = 1 − ������1 = 1.7 × 10−4
������′ = 1 − C5100 ∙ ������1′(1 − ������1′)499 − C5000 ∙ (1 − ������1′)500 = 0.34% 可见，绝大多数的������粒子在穿过金箔时，都会发生 0～1 次较大角度的散射外加很多次
小角度的散射。由于每一次小角度散射都可以朝任意方向散射，多次小角度散射会互相抵消，
所以这些小角度散射的总效果会远小于一次大角度散射的效果。可以用随机游走模型来估计
这些小角度散射的总效果。由于是小角度散射，不妨假设角度具有矢量性，这时可以用一个
平面矢量来表示������粒子的偏转状态：矢量的方向表示������粒子偏转的方向，大小表示偏转的角
������1������2������ 4������
22
)பைடு நூலகம்
[sin2
������ 2
1 +
(������������)2]2
式(1)中的������(������)则相应地变为：
������2(������)
=
������������
1 (4������������0
������1������2������ 4������
三、 入射粒子束具有宽度
实际实验时，入射的������粒子束是有一定的宽度（横截面积）的，在这个横截面的不同位 置入射的������粒子，打到荧光屏上时散射角并不相同（如图 1）。关于这一因素引入的误差，可 以参考马晓栋等人的文章[3]。
图1
四、 多次散射
在推导卢瑟福公式的时候，我们假设������粒子只被一个金原子核散射一次，实际上这几乎 是不可能的。为了有一个感性的认识，这里粗略计算一下������粒子只发生一次小角度散射的概 率。实验中常用的金箔厚度约为1μm，大概是 500 层金原子的厚度。这里考虑单次偏转角度 小于1°的散射。根据卢瑟福公式，一个������粒子穿过一层金原子层后发生这种散射的概率为：
当然，上面只是简单的半定量分析，至于定量的计算，这里引用杨福家书中的结果[2]。
若使用玻尔的屏蔽库仑势������(������) = ������1������2������2 exp (− ������)，则散射截面将变为：
4������������0
������
������(������)
=
1 (4������������0
箔的厚度除以单原子层的厚度来估计。此模型很难求出解析解，但是可以用蒙特卡罗算法快
速地找出数值解。
图2
五、 参考文献
[1]. 褚圣麟. 原子物理学(M). 人民教育出版社. 1979:14-16 [2]. 杨福家. 原子物理学(M). 第四版. 高等教育出版社. 2008:94-96 [3]. 马晓栋,韩锋. 关于卢瑟福散射公式中小角散射问题(J). 新疆师范大学学报(自然科学版). 1998, 17(1):20-25
������1
=
1
−
180°
∫
1°
������������
1 (4������������0
������1������2������ 4������
22
)
2������ sin ������ d������
sin4
������ 2
=
1
−
1.7
×
10−4
穿过 500 层金原子而只发生一次散射的概率为：
22
)
[sin2
������ 2
1 +
(������������)2]2
(2)
式中������ = 0.8853������1(������12⁄3 + ������22⁄3)−1/2，������1为玻尔第一半径，������为相对运动折合波长。式(2) 虽然避免了发散的问题，但依然不满足归一化条件（因为式中的箔厚度������是可以任意变化的， 所以总是能构造出大量������2(������)不满足归一化条件的情况）。而且由于(������⁄������)2是10−9数量级的， 因此只有当������非常小时，������2(������)与������(������)才有显著区别，这说明(2)式同样无法很好地解释褚圣麟 在他的书中[1]提到的实验数据。
度。如图 2，假设������粒子当前的偏转状态可以用矢量���⃗���0表示，那么下一次散射对偏转状态的影 响可以表示成矢量∆���⃗���，下一次散射后������粒子的偏转状态变为���⃗���1。每一次散射，∆���⃗���都等概率地 取任意一个方向。至于∆���⃗���的大小，可用库仑散射公式导出其概率分布。散射的次数可以用金
假设金原子核间距为������，考虑一个厚度为������的金箔，如果把所有原子核投影到一个平面内， 则在该平面内原子核间距为������′ = ������√������⁄√������。考虑厚度为0.1μm的金箔，取������ = 2.6Å，则
������′ = 0.13Å 若要求微分截面不互相重叠，则应满足������ < ������′。可以算得，������ = ������′时，������ = 0.13°。也就 是说，在散射角小到只有零点几度的时候，由微分截面互相重叠引入的误差才是可观的，因 此这同样不能很好地解释褚圣麟在其书中[1]提到的数据。
→
∞
褚圣麟在他的书中[1]还提到，卢瑟福公式无法很好地解释 45°以下的小角度散射实验数
据。那么，究竟是什么原因导致了卢瑟福公式在小角度区域有如此大的误差呢？下面将逐一
介绍四种可能的误差来源，文中提及的计算结果都是针对 7.68 MeV 的α粒子轰击金箔而言
的，金箔的厚度取0.1μm。
一、 电子的静电屏蔽
卢瑟福公式的推导过程中认为电子对α粒子的影响可忽略不计，故直接忽略了电子的影 响。也就是说卢瑟福公式中考虑的是两个带正电的粒子之间的相互作用问题。由于库仑力是 长程的，当散射角趋于零时，相应的入射截面将趋于一个半径为无穷大的圆环，这是非常不 合理的，因为当瞄准距离������达到原子半径的数量级时，电子的屏蔽作用会造成类似于原子核 电荷数减少的效果。在������远大于原子半径的地方，对于入射的α粒子而言，整个原子几乎是呈 电中性的。