北师大版九年级上册数学 第二章 一元二次方程(解析版)
第二章 一元二次方程一、单选题1．下列各方程中，一定是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2x 2+3＝2x （5+x ）B ．ax 2+c ＝0C ．（a +1）x 2+6x +1＝0D ．（a 2+1）x 2﹣3x +1＝0【答案】D【解析】A. 2x 2+3＝2x (5+x )整理得，10x -3=0，故不是一元二次方程；B.当a=0时， ax 2+c ＝0不是一元二次方程；C. 当a=-1时，(a +1)x 2+6x +1＝0不是一元二次方程；D. ∵a 2≥0，∵a 2+1≠0，∵(a 2+1)x 2﹣3x +1＝0是一元二次方程；故选D ．2．关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 值为（ ） A ．1B ．1-C ．1或1-D ．12【答案】B【解析】 把0代入原方程，再根据原方程是一元二次方程，得到关于a 的方程及不等式，解之即可．解：根据题意得：210a -=且10a -≠，解得：1a =-．故选：B ．3．下列说法不正确的是（ ）A ．方程2x x =有一根为0B ．方程210x -=的两根互为相反数C ．方程2(1)10x --=的两根互为相反数D ．方程220x x -+=无实数根【答案】C【解析】解：A ．2x x =，移项得：20x x -=，因式分解得：x （x ﹣1）=0，解得x=0或x=1，所以有一根为0，此选项正确；B ．210x -=，移项得：21x =，直接开方得：x=1或x=﹣1，所以此方程的两根互为相反数，此选项正确；C ．2(1)10x --=，移项得：2(1)1x -=，直接开方得：x ﹣1=1或x ﹣1=﹣1，解得x=2或x=0，两根不互为相反数，此选项错误；D ．220x x -+=，找出a=1，b=﹣1，c=2，则∵=1﹣8=﹣7＜0，所以此方程无实数根，此选项正确． 所以说法错误的选项是C ．故选C ．4．用配方法解一元二次方程22310x x --=，配方正确的是（ ）．A ．2317416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B ．23142x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．231324x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D ．231124x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【答案】A【解析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案.解：22310x x --=移项得2231x x -=，二次项系数化1的23122x x -=， 配方得22233132424x x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即2317416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 故选：A本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．5．关于x 的一元二次方程()2m 1x 2mx m 10--++=，下列说法正确的是（ ）． A ．方程无实数根B ．方程有两个相等的实数根C ．方程有两个不相等的实数根D ．方程的根无法确定【答案】C【解析】 根据一元二次方程判别式的性质分析，即可得到答案．()2m 1x 2mx m 10--++=的判别式为：()()()()222=24114444m m m m m ∆---+=--=∵>0∆∵方程有两个不相等的实数根∵只有选项C 正确故选：C ．6．用公式法解一元二次方程2124x x -=，正确的应是（ ）A ．22x -±=B ．22x ±=C ．12x ±=D ．12x ±=【答案】B【解析】本题考查利用公式法解一元二次方程,先将方程化为一般式得: 2x －2x－14=0,解:因为,a =1,b =∵2,c =－14,所以()221424150,4b ac ⎛⎫-=--⨯-=> ⎪⎝⎭代入公式2b x a -=求解得: x7．已知关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．实数根的个数与实数b 的取值有关【解析】【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断∵＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．【详解】解：∵∵＝b 2﹣4×（﹣1）＝b 2+4＞0，∵方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与∵=b 2-4ac 有如下关系：当∵＞0时，方程有两个不相等的实数根；当∵=0时，方程有两个相等的实数根；当∵＜0时，方程无实数根．8．方程(1)(2)1x x x +-=+的解是（ ）A ．2x =B ．3x =C ．11x =-，22x = D ．11x =-，23x =【答案】D【解析】【分析】先移项，重新因式分解后，可以得到方程的解．【详解】解：原方程可变形为：(x+1)(x -3)=0∵所以方程的解为：x=-1或x=3故选D∵本题考查一元二次方程的解，熟练运用因式分解的方法解方程是解题关键．9．已知关于x 的一元二次方程2210x x a ++-=的两根为1x ，2x ，且21120x x x -=，则a 的值是（ ） A ．1a =B ．1a =或2a =-C ．2a =D ．1a =或2a = 【答案】D【解析】【分析】由x 12−x 1x 2＝0得到x 12=x 1x 2．然后分类讨论：当x 1=0和x 1≠0两种．当x 1=0时，a -1=0；当x 1≠0时，该方程由两个相等的实数根，则根的判别式等于零．【详解】解：由x 12−x 1x 2＝0得到：x 12=x 1x 2．∵当x 1=0时，a -1=0，解得a=1；∵当x 1≠0时，x 1=x 2，则∵=4-4（a -1）=0，解得，a=2．综上所述，a=1或a=2．故选D ．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系．解题时，要分类讨论，以防漏解．10．如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x 米．则可列方程为（ ）A．32×20∵32x∵20x∵540B．∵32∵x∵∵20∵x∵∵540C．32x+20x∵540D．∵32∵x∵∵20∵x∵+x2∵540【答案】B【解析】【分析】先将图形利用平移进行转化,可得剩余图形的长等于原来的长减去小路的宽,剩余图形的宽等于原来的宽减去路宽,然后再根据矩形面积公式计算.【详解】利用图形平移可将原图转化为下图，设道路的宽为x,根据题意得:∵32-x∵∵20-x∵=540∵故选B.二、填空题11．若(m -1)(2)1m m x +- +2mx -1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是______．【答案】-3【解析】【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【详解】解：由题意，得m （m+2）-1=2且m -1≠0，解得m=-3，故答案为-3．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．12．将一元二次方程1(2)53x x -=化为二次项系数为“1”的一般形式是______，其中二次项系数是__________，一次项系数是__________，常数项是__________．【答案】x 2-2x -15=0 1 -2； -15【解析】【分析】通过去括号，移项，合并同类项，然后两边同时除以二次项系数，把方程化成二次项系数为1的一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】 解：将一元二次方程1(2)53x x -=化为二次项系数为“1”的一般形式是：x 2-2x -15=0，各项的系数分别是：1，-2，-15．故答案是：x 2-2x -15=0；1；-2；-15．【点睛】本题考查一元二次方程化为一般形式，通过去括号，移项，合并同类项，然后同时除以二次项的系数，得到二次项系数是1的一元二次方程，注意移项时符号的变化．13．212x x -+____(x =-__2) 【答案】116 14 【解析】【分析】根据完全平方公式：()2222x xy y x y -+=-即可得出结论．【详解】 解：222211111()()242164x x x x x -+=-+=- 故答案为：116；14． 【点睛】此题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式是解决此题的关键．14．方程()219x +=的根是_______．【答案】122,4x x ==-【解析】【分析】利用直接开平方法解方程.【详解】解：()219x += 13x +=±13x =-±，∵122,4x x ==-，故答案为：122,4x x ==-.【点睛】此题考查一元二次方程的解法：直接开平方法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键. 15．方程22510x x -+=的根的判别式的值为__________，根的情况为__________．【答案】17 有两个不相等的实数根．【解析】【分析】先计算∵，然后根据当∵＞0，方程有两个不相等的实数根；当∵=0，方程有两个相等的实数根；当∵＜0，方程没有实数根进行判断．【详解】解：∵a=2，b=-5，c=1，∵∵=（-5）2-4×2×1=17＞0，∵原方程有两个不相等的实数根．故答案为：17；有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当∵＞0，方程有两个不相等的实数根；当∵=0，方程有两个相等的实数根；当∵＜0，方程没有实数根．16．若等腰三角形底边长为8∵ 腰长是方程x2-9x+20=0的一个根∵则这个三角形的周长__________．【答案】18【解析】【分析】根据根的判别式计算即可；【详解】∵等腰三角形的腰长是方程x2-9x+20=0的一个根∵∵()2942081801=--⨯=-=，∵912x±=，∵15 =x，24x=（舍去），∵三角形的周长55818=++=．故答案是18．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，结合等腰三角形的性质计算是关键．17．一元二次方程2342x x =-的解是______．【答案】1x =，2x = 【解析】【分析】直接利用公式法解方程得出答案．【详解】2342x x =-，23240x x +-=，则()244434520b ac -=-⨯⨯-=>，故x =，解得：113x -+=，213x -=．故答案为1x =，2x =． 【点睛】此题主要考查了公式法解方程，正确掌握公式法是解题关键．18．一元二次方程x ＋2＝x 2＋2x 的解为________．【答案】x 1＝1，x 2＝－2【解析】【分析】利用因式分解法求解可得．【详解】解：∵x＋2＝x2＋2x，(x+2)-x(x+2)=0（x+2）（1-x）=0，∵x+2=0或1-x=0，解得：x1＝1，x2＝－2，故答案为：x1＝1，x2＝－2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．19．已知实数x，y，z满足x=6-y，z2=xy-9，则x2+y2+z2的值是_________．【答案】18【解析】【分析】利用根与系数的关系建立一元二次方程，把x和y看作方程的两根，得出z值，从而算出x和y值，即可得到结果．【详解】解：∵实数x，y，z满足x=6-y，z2=xy-9，x+y=6，xy=z2+9，可以设两根为x、y的一元二次方程为a2-6a+z2+9=0，∵=62-4（z2+9）=36-4z2-36=-4z2，因为方程有两个根，则可得-4z2≥0，故可得z只有取零，即z2=0，∵=0，∵x=y，0=xy-9，∵x=3，y=3或x=-3，y=-3，∵x=6-y，∵x+y=6，∵x=3，y=3，∵x2+y2+z2=18，故答案为：18．【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，x1+x2=ba，x1•x2=ca，然后根据判别式确定x和y的关系．20．近年来，网红北京迎来了无数中外游客．除了游故宫、登长城、吃烤鸭以外，稻香村的传统糕点成为了炙手可热的伴手礼．根据消费者的喜好，现推出A、B两种伴手礼礼盒，A礼盒装有2个福字饼，2个禄字饼：B礼盒装有1个福字饼，2个禄字饼，3个寿字饼，A、B两种礼盒每盒成本价分别为盒中福禄寿三种糕点的成本价之和．已知A种礼盒每盒的售价为96元，利润率为20%，每个禄字饼的成本价是寿字饼的成本价的3倍．国庆期间，由于客流量大，一天就卖出A、B两种礼盒共计78盒，工作人员在核算当日卖出礼盒总成本的时候把福字饼和禄字饼的成本看反了，后面发现如果不看反，那么当日卖出礼盒的实际总成本比核算时的总成本少500元，则当日卖出礼盒的实际总成本为_____元．【答案】5820【解析】根据题意可得A礼盒的成本价格，进而可求出1个福字饼和1个禄字饼的成本和为40元，再设一个福字饼成本x元，一个禄字饼成本（40﹣x）元，A种礼盒m袋，B种礼盒n袋，列出方程得到xn＝20n+250，最后求出每日卖出礼盒的实际总成本即可．解：设A礼盒成本价格a元，根据题意，得96﹣a＝20%a，解得a＝80，∵A礼盒装有2个福字饼，2个禄字饼，∵2个福字饼和2个禄字饼的成本价格为80元，∵1个福字饼和1个禄字饼的成本价格为40元，设个福字饼成本价x元，1个禄字饼成本价（40﹣x）元，则1个寿字饼成本价为13（40﹣x）元，A种礼盒m袋，B种礼盒n袋，根据题意，得m+n＝7880m+n[x+2（40﹣x）+3×13（40﹣x）]+500＝80m+n[（40﹣x+2x+3×13（40﹣x）]∵xn＝20n+250设A、B两种礼盒实际成本为w元，则有w＝80m+xn+2n（40﹣x）+n×133（40﹣x）＝80（m+n）﹣420＝80×78﹣420＝5820．故答案为：5820．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是求出A礼盒的成本．三、解答题21．用适当的方法解下列一元二次方程(1) (2x -1)2=25(2) 3x 2-6x -1=0(3) x 2-4x -396=0(4) (2-3x )+(3x -2)2=0【答案】（1）13x =，22x =-；（2）1x =，2x =；（3）122x =，218x =-；（4）123x =，21x =．【解析】【分析】（1）用直接开平方法求解即可；（2）用公式法求解即可；（3）用因式分解法求解即可；（4）用因式分解法求解即可.【详解】(1) ∵(2x -1)2=25，∵2x -1=±5,∵2x -1=5或2x -1=-5，∵13x =，22x =-；(2) ∵ 3x 2-6x -1=0，∵a=3,b=-6,c=-1,∵∆=36+12=48,，∵ 133x -=，233x +=； (3) ∵ x 2-4x -396=0 ，∵(x -22)(x+18)=0,∵122x =，218x =；(4) ∵(2-3x )+(3x -2)2=0，∵ (3x -2)2-(3x -2)=0，∵(3x -2) (3x -2-1)=0，∵3x -2=0或3x -2-1=0， ∵123x =，21x =． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.22．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】解：（1）设每轮传染中平均每人传染了x 人，根据题意，得1+x+x （x+1）=64解得，x=7或x=﹣9（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．（2）64×7=448（人）．答：第三轮将又有448人被传染．【解析】试题分析：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出x．（2）由（1）即可求出第三轮过后，又被感染的人数．23．关于x的一元二次方程x2﹣x﹣（m+2）＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为符合条件的最小整数，求此方程的根．【答案】（1）m＞94-；（2）x1=0，x2=1．【解析】【分析】解答本题的关键是是掌握好一元二次方程的根的判别式．（1）求出∵＝5+4m＞0即可求出m的取值范围；（2）因为m=﹣1为符合条件的最小整数，把m=﹣1代入原方程求解即可．【详解】解：（1）∵＝1+4（m＋2）＝9+4m＞0∵94 m>-．（2）∵m 为符合条件的最小整数，∵m=﹣2．∵原方程变为2=0x x -∵x 1＝0，x 2＝1．考点：1．解一元二次方程；2．根的判别式．24．在等腰∵ABC 中，三边分别为a∵b∵c ，其中a∵5∵若关于x 的方程x 2+∵b+2∵x+6∵b∵0有两个相等的实数根，求∵ABC 的周长．【答案】∵ABC 的周长是12．【解析】试题分析：若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式∵=0，据此可求出b 的值；进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．试题解析：∵关于x 的方程2(2)60x b x b +++-=有两个相等的实数根，∵∵=2(2)4(6)0b b +--=，即28200b b +-=；解得2b =，10b =-（舍去）；∵当a 为底，b 为腰时，则2+2＜5，构不成三角形，此种情况不成立；∵当b 为底，a 为腰时，则5﹣2＜5＜5+2，能够构成三角形；此时∵ABC 的周长为：5+5+2=12；故∵ABC 的周长是12．考点：1．根与系数的关系；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质．25．某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克．()1若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，则单价应定为多少？()2在利润不变的情况下，为了让利于顾客，单价应定为多少？【答案】（1）若该水果店每天销售这种水果所得利润是420元，则单价应为8元或12元．()2因为让利于顾客，所以定价定为8元．【解析】【分析】∵1）根据等量关系：每千克水果的利润×每天的销售量=每天的总利润420元，可列出方程，解方程即可；∵2）让定价尽量小即可让利于顾客．【详解】解：（1）若该水果店每天销售这种水果所得利润是420元，设单价应为x元，由题意得：（x-5∵[160-20∵x-7∵]=420∵化简得，x2-20x+96=0∵解得x1=8∵x2=12∵答：若该水果店每天销售这种水果所得利润是420元，则单价应为8元或12元．∵2）因为让利于顾客，所以定价定为8元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.26．在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动．如果P、Q两点在分别到达B∵C两点后就停止移动，回答下列问题：(1)运动开始后第几秒时, ∵PBQ的面积等于82cm?(2)当t=32时，试判断∵DPQ的形状．(3)计算四边形DPBQ的面积，并探索一个与计算结果有关的结论．【答案】（1）经过2秒或4秒，∵PBQ的面积等于8cm2；（2）直角三角形；（3）36, 四边形DPBQ的面积是固定值36．【解析】【分析】（1）设出运动所求的时间，可将BP和BQ的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出；（2）表示出DP 2=146.25，PQ 2=29.25，DQ 2=117，进而得到PQ 2+DQ 2=DP 2，得出答案；（3）根据表示出四边形面积，求出即可．【详解】解：（1）设经过t秒，∵PBQ的面积等于8cm2则：BP=6-t，BQ=2t，所以S∵PBQ=12×（6-t）×2t=8，即t2-6t+8=0，可得：t=2或4，即经过2秒或4秒，∵PBQ的面积等于8cm2．（2）当t=1.5s时，AP=1.5，BP=4.5，CQ=9，∵DP 2=146.25，PQ 2=29.25，DQ 2=117，∵PQ 2+DQ 2=DP 2，∵∵DPQ为直角三角形；（3）S DPBQ=6×12-12t×12-12×6（12-2t），=72-36，=36，∵四边形DPBQ的面积是固定值36．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，是典型的动点问题，涉及到矩形及三角形的面积公式，比较简单．。
北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程(解析版)
第二章一元二次方程一、单选题1.下列各方程中，一定是关于X的一元二次方程的是（）A. 2x2+3=2x （5+x）B, ax2+c=0C.（a+1）炉+6升1=0D. （^2+l） x2- 3x+l=0【答案】D【解析】4.*+3=M5+、）整理得，10x-3=0,故不是一元二次方程；B.当a=0时，。
炉+。
=0不是一元二次方程：C.当a=-l时，（什1濡+6升1=0不是一元二次方程：D. aa2>0,二届+1 翔,匚d+lM -3x+l = 0 是一元二次方程：故选D.2.关于工的一元二次方程（。
-1）/+»/_] = 0的一个根是0,则。
值为（）A. 1B. -1C. 1 或—1D. i【答案】B【解析】把0代入原方程，再根据原方程是一元二次方程，得到关于a的方程及不等式，解之即可.解：根据题意得：解得：a=-\.故选：B.3.下列说法不正确的是()A.方程工2=%有一根为0B.方程/一1=0的两根互为相反数C.方程(x-l)2-l = 0的两根互为相反数D.方程N—x + 2 = 0无实数根【答案】C【解析】解：A./=x，移项得：x2—x = 0,因式分解得：x(x-l)=0,解得x=0或x=l,所以有一根为0,此选项正确;B. ?-1 = 0,移项得：W=i,宜接开方得：x=l或x=-l,所以此方程的两根互为相反数，此选项正确:C. *-1)2-1 = 0,移项得：(X -1>=1,直接开方得：x-l=l或解得x=2或x=0,两根不互为相反数，此选项错误:D./ 7+2 = 0,找出a=l, b=-l, c=2,则二=l-8=-7V0,所以此方程无实数根，此选项正确.所以说法错误的选项是C.故选C.4.用配方法解一元二次方程2/—3x —1=0,配方正确的是().A. 3 工一一4)1716B.3丫X- -4J【答案】A【解析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案.解：2X 2-3X -1 = 0移项得2/—3x = l ，,3 1二次项系数化1的厂--A = 一，3 配方得Y-二X + 2 1716故选：A本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边：（2）把二次项的 系数化为1：（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.5 .关于x 的一元二次方程（m-l ）x?-2mx + m+l = 0,下列说法正确的是（）.【答案】C【解析】根据一元二次方程判别式的性质分析，即可得到答案.（m-l ）x 2 - 2mx+ m + l = O 的判别式为： X —— 13 7=-+ 3 4;A.方程无实数根B.方程有两个相等的实数根C.方程有两个不相等的实数根D.方程的根无法确定△二（一2〃。
北师大版九年级数学上册一元二次方程的解及其估算
知1－讲
例1 下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？ －3，－2，－1，0，1，2，3
导引：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未 知数的值分别代入方程中，能够使方程左右两边 相等的数就是方程的根．
解：－1，2.
总结
知1－讲
判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法： 将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两
边是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等， 就不是方程的根．
知1－讲
例2 如果2是一元二次方程x2＋bx＋2＝0的一个根， 那么字母b的值为( B ) A. 3 B. －3 C. 4 D．－4
知2－讲
(2)步骤： ①列表：根据实际情况确定方程解的大致范围，分别计算 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中ax2＋bx＋c的值； ②在表中找出当ax2＋bx＋c的值可能等于0的未知数的范 围； ③进一步在②的范围内列表、计算、估计范围，直到找出 符合要求的范围．
知2－讲
例3 在前一课的问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足 方程(x＋6)2＋72＝102，也就是x2＋12x－15＝0. (1)小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗？ 为什么？ (2)底端滑动的距离可能是2 m吗？可能是3 m吗？ 为什么？ (3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？ (4)x的整数部分是几？十分位是几？
解：小亮把他的求解过程整理如下：
x
0 0.5 1 1.5 2
x2＋12x－15 －15 －8.75 －2 5.25 13
所以1<x<1.5.
北师大版九年级数学上册第二章 一元二次方程2一元二次方程的解
A.2 021
B.2 022
C.2 023
D.2 024
1.教材习题：完成课本34页随堂练习.
2.作业本作业：
3.实践性作业：两人一组进行猜一元二次方程的解的游戏，
同学A写出一个一元二次方程（一般形式），同学B负责
九年级北师上册
1 认识一元二次方程
第2课时 一元二次方程的解
1、经历一元二次方程的解或近似解的探索过程，增进对方程解的
认识.
2、会用“夹逼法”估算方程的解，培养学生的估算意识和能力．
3、进一步提高学生分析问题的能力，培养学生大胆尝试的精神，
在尝试的过程中体验到学习数学的乐趣.
旧知回顾
1.一元二次方程有哪些特点？
说未知数x的值，A将x的值代入方程左边计算出对应值并
告诉B，最后由B说出方程的解的取值范围并猜解.
已知一元二次方程x²-2x-4=0,求它的近似解.(精确到个位)
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
教师讲评
知识点 1：一元二次方程的解
能使一元二次方程两边的值相等的未知数的值，叫做一元二次方
程的解，也叫一元二次方程的根.
例如：下面哪些数是方程x²-x-6=0的解?
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4
区别?
怎样求一元二次方程的近似解?
【互动总结】(学生总结，老师点评)(求一元
二次方程的近似解首先应确定解的大致范围，
再令 x的取值逐渐使ax²+bx+c的值接近0，从
而可求其解或近似解)
(2)求一元二次方程近似解的方法及步骤是什么?
北师大版九年级上册数学第二章 一元二次方程含答案
北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、用配方法解方程x2﹣8x+2＝0，则方程可变形为（）A.（x﹣4）2＝5B.（x+4）2＝21C.（x﹣4）2＝14D.（x ﹣4）2＝82、已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：x 2 4 5y0.38 0.38 6则（a+b+c）（+ ）值为（）A.24B.36C.6D.43、若x＋1与x－1互为倒数，则实数x为（）A.0B.C.D.4、下列关于一元二次方程的四种解法叙述不正确的是（）A.公式法B.配方法C.加减法D.因式分解法5、小丽同学想用公式法解方程-x2+3x=1，你认为a、b、c的值应分别为（）A. 、3、B. 、3、1C. 、、D.1、、6、用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣8＝0，下列变形正确的是（）A.（x﹣6）2＝﹣8+36B.（x﹣6）2＝8+36C.（x﹣3）2＝8+9D.（x﹣3）2＝﹣8+97、解一元二次方程x2-2x-5=0，结果正确的是（）A. x1=－1＋， x2=－1－ B. x1=1＋， x2=1－C. x1=7， x2= 5 D. x1= 1＋， x2=1－8、用配方法解一元二次方程：，下列变形正确的是（）A. B. C. D.9、用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后所得的方程为（）A.（x﹣1）2=2B.（x﹣1）2=0C.（x+1）2=2D.（x+1）2=010、用配方法法解方程，则方程可变形为（）A. B. C. D.11、若代数式x2-6x+5的值是12，则x的值为（）A.7或-1B.1或-5C.-1或-5D.不能确定12、用配方法解一元二次方程x2+6x﹣3＝0，原方程可变形为（）A.（x+3）2＝9B.（x+3）2＝12C.（x+3）2＝15D.（x+3）2＝3913、一元二次方程配方后化为（）A. B. C. D.14、把方程x2﹣3x=10左边配成一个完全平方式，方程两边应同加上（）A.9x 2B.C.9D.15、用配方法解一元二次方程，配方得到的方程是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、方程的解为________.17、古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为x尺，则可列方程为________．18、若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=________．19、某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是________．20、在实数范围内分解因式：2x2﹣x﹣2=________．21、若，其中，则________.22、若x1， x2是方程的两个实数根，则代数式的值等于________.23、把方程3x2＝5x+2化为一元二次方程的一般形式是________.24、对于任意实数、，定义：◆= .若方程的两根记为、，则m2+mn+n2=________.25、对于实数a，b，我们定义一种运算“※”为：a※b=a2﹣ab，例如1※3=12﹣1×3．若x※4=0，则x= ________．三、解答题(共5题，共计25分)26、解方程①x2﹣3x+2=0②4x2﹣12x+7=0．27、将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？28、如图，一幅长、宽的图案，其中有一横一竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：1．设竖彩条的宽度为，若图案中两条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．29、方程17+15x=245，， 2（x+1.5x）=24都只含有一个未知数，未知数的指数都是1，它们是一元一次方程，方程x2+3=4，x2+2x+1=0，x+y=5是一元一次方程吗？若不是，它们各是几元几次方程？30、根据下列问题列方程并将其化成一元二次方程的一般形式：（1）一个长方形的长比宽多1cm，面积是132cm2，长方形的长和宽各是多少？（2）参加一次聚会的每两个人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、B3、D4、C5、A6、C7、B8、D9、A11、A12、B13、B14、B15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、30、。
九年级数学上册 第二章 一元二次方程(解一元二次方程—公式法)说课稿 (新版)北师大版-(新版)北师
解一元二次方程—公式法一、说教材1、教材的地位与作用《一元二次方程》是北师版《义务教育新课程标准实验教科书，数学·九年级（上册）》第二章第1节的内容，共两课时。
本节是第一课时，是一元二次方程的导入课，主要内容是介绍一元二次方程的概念和一般形式，它为进一步学习一元二次方程解法及应用起到了铺垫作用。
一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。
通过一元二次方程的学习，可以对已学过的实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，同时又是今后学习二次函数等知识的基础。
此外，学习一元二次方程对其它学科也有十分重要的作用。
2、教学目标根据本节课的地位、作用及其内容，结合学生实际和学生认知发展水平，确定如下教学目标：[知识目标] 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。
[能力目标]经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界的有效数学模型，增强学生分折问题和解决问题的能力及应用数学的意识；通过概念教学，培养学生的观察类比、归纳能力。
[情感目标]在探索活动中，培养学生合作交流的意识，体验成功喜悦，增强自信心。
3、教学重点与难点从以上分析可以看出：重点：一元二次方程的概念及一般形式难点：从实际问题中抽象出一元二次方程；正确识别一般式中的“项”及“系数”二、说教法与学法1、学情分析在此之前，学生已经了解和学习过一元一次方程的概念及一般形式，掌握了一些根据实际问题列方程的能力，再者，九年级学生的数学思维已有一定程度的发展，具有一定分析推理能力，同时，在讨论、探索、交流学习等方面有较为丰富的知识和经验，因此，除利用与生活实际有关的问题导出新知识外，应更多地应用探讨、合作交流等方法让学生去求得新知识，加深和扩展学生对数学的理解。
根据教材的特点和学情分析，为了突出重点、突破难点的目的，我采用以下教法与学法：2、教法本节课主要采用引探式教学方法，在活动中教师着眼于“引”尽力激发学生求知的欲望，引导他们解决问题并掌握解决问题的规律和方法，学生着眼于“探”通过探索活动发现规律，解决问题，发展探索能力和创造能力。
北师大版 九年级上册 第二章 《一元二次方程》(解法)
一元二次方程教学目标1.一元二次方程的概念2.直接开平方法、配方法解一元二次方程3.推导一元二次方程的求根公式，并运用公式法解一元二次方程4.用因式分解法解一元二次方程重点难点灵活选择直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程知识解析1.一元二次方程的概念方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0（a、b、c为常数，a≠0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中______是二次项，_____是二次项的系数；______是一次项，______是一次项系数；______是常数项．2.直接开平方法与配方法①直接开平方：注意：用直接开平方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a(a≥0)；ax2＝b(a，b 同号，且a≠0)；(x＋a)2＝b(b≥0)；a(x＋b)2＝c(a，c 同号，且a≠0)。
②通过配成完全平方式的方法，将一元二次方程转化成（x＋m）2＝n（n≥0）的形式，进而得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．③配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边②二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方。
3.公式法、根的判别式以及根与系数的关系①求根公式的推导用配方法解方程：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．解：移项，得____________________________________二次项系数化为1，得___________________________配方，得___________________________即⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac4a 2.提示：这时能不能开方解方程？为什么？当b 2－4ac ＞0时，直接开平方，得____________________________________即x ＝____________________________________∴x 1＝_____________________， x 2＝_______________________.当b 2－4ac ＝0时，方程_________________________________当b 2－4ac ＜0时，方程_________________________________．由上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根由_______________而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当____________________时，将a ，b ，c 的值代入x ＝－b±b 2－4ac2a就可得到方程的根． （2）_________________________________叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用_______________________解一元二次方程的方法叫公式法．②公式法注意事项及根的判别式（1）在运用求根公式求解时，应先计算b 2－4ac 的值． 当b 2－4ac ≥0时，可以用公式求出两个实数解；当b 2－4ac<0时，方程没有实数解，就不必再代入公式计算了． （2）把方程化为一般形式后，在确定a ，b ，c 时，需注意符号．总结:一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根的情况可___________来确定．我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示． 当b 2－4ac ＞0时，方程有_________________________________； 当b 2－4ac ＝0时，方程有_________________________________； 当b 2－4ac ＜0时，方程_________________________________．③一元二次方程根与系数的关系一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0），用求根公式求出它的两个根x 1、x 2，由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式知x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a，能得出以下结果： x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ .4.因式分解法当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解为两个 的乘积时，我们就可以采用分解因式法解一元二次方程．典例解析考点一：一元二次方程的概念例1、（一元二次方程的判断）下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．x-2=0B ．x 2-4x-1=0C ．x 2-2x-3D ．xy+1=0 【变式1】下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A 、5x+3=0B 、x 2-x （x+1）=0C 、4x 2=9D 、x 2-x 3+4=0 1-2、若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是 .例2、（一元二次方程一般形式的理解）把一元二次方程4)3()1(2+-=-x x x 化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（ ）A 、2，-3B 、-2，-3C 、2，-3xD 、-2，-3x【变式1】若关于x 的一元二次方程x 2+5x+m 2-1=0的常数项为0，则m 等于（ ） A 、1 B 、2 C 、1或-1 D 、0【变式2】关于x 的方程013)2(22=--+-x x a a是一元二次方程，则a 的值是（ ）A 、a=±2B 、a=-2C 、a=2D 、a 为任意实数【变式3】把方程2(x 2+1)=5x 化成一般形式ax 2+bx+c=0后，a+b+c 的值是（ ） A 、8 B 、9 C 、-2 D 、-1 【变式3】方程5)1)(13(=+-x x 的一次项系数是 。
北师大版初中九年级上册数学课件-《用因式分解法求解一元二次方程》一元二次方程PPT教学课件精选全文
(2x＋1)(2x－1)＝0. 于是得
2x＋1＝0，或2x－1＝0，
x1
1 2
,
x2
1 2
Hale Waihona Puke 知2－讲总结知2－讲
1. 采用因式分解法解一元二次方程的技巧为： 2. 右化零，左分解，两因式，各求解. 3. 2. 用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或” 4. 写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并 5. 没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了
知2－讲
原来的一元二次函 数转化成了两个一 元一次方程.
（来自教材）
例3解下列方程：
（1）x(x－2)＋x－2＝0；
（2）
5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
解：（1）因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0.
于是得
x－2＝0，或x＋1＝0，
x1＝2，x2＝－1.
知2－讲
（2）移项、合并同类项，得 4x2－1＝0. 因式分解，得
例2解下列方程：
(1)5x2＝4x； (2)x(x－2)＝x－2.
解：(1)原方程可变形为
5x2－4x＝0，
x(5x－4)＝0.
x＝0，或5x－4＝0.
∴x1＝0，x2＝
4.
5 (2)原方程可变形为
x(x－2)－(x－2)＝0，
(x－2)(x－1)＝0.
x－2＝0，或x－1＝0.
∴x1＝2，x2＝1.
将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程 3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2. 这种解法体现的数学思想是( ) A．转化思想B．函数思想 C．数形结合思想D．公理化思想
2 用因式分解法解方程，下列过程正确的是( )
北师大版数学九年级上册 第二章 一元二次方程 复习题(解析版)
第二章一元二次方程复习题一．选择题1．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两实数根，则的值是（）A．﹣7B．﹣1C．1D．72．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个实数根为b，若y＝4b2﹣4b+m2，则y的取值范围是（）A．y＞B．C．y＞﹣1D．y≥﹣13．若x＝2是关于x的方程ax2﹣bx＝2的解，则2019﹣2a+b的值为（）A．2016B．2017C．2018D．20194．若关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m﹣1和2m+4，则的值为（）A．4B．3C．2D．15．一元二次方程y2﹣y＝配方后可化为（）A．＝1B．＝1C．＝D．＝6．将y＝x2﹣6x+1化成y＝（x﹣h）2+k的形式，则h+k的值是（）A．﹣5B．﹣8C．﹣11D．57．代数式x2﹣4x﹣2019的最小值是（）A．﹣2017B．﹣2019C．﹣2021D．﹣20238．已知等腰三角形两边a，b，满足4a2﹣4ab+2b2﹣8b+16＝0，则此等腰三角形的周长为（）A．8B．10C．12D．8或109．设x1为一元二次方程x2﹣2x＝较小的根，则（）A．0＜x1＜1B．﹣1＜x1＜0C．﹣2＜x1＜﹣1D．﹣5＜x1＜﹣4 10．若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣211．若方程x2﹣7x+12＝0的两个实数根恰好是直角△ABC的两边的长，则△ABC的周长为（）A．12B．7+C．12或D．1112．方程3x（2x+1）＝2（2x+1）的两个根为（）A．B．C．D．13．方程2x2+5＝7x根的情况是（）A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根14．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯21次，则参加酒会的人数为（）A．5人B．6人C．7人D．8人15．一件产品原来每件的成本是1000元，在市场售价不变的情况下，由于连续两次降低成本，现在利润每件增加了190元，则平均每次降低成本的（）A．10%B．9.5%C．9%D．8.5%二．填空题16．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率．设每次降价的百分率为x，则可列方程为．17．某市从2017年开始大力发展旅游产业．据统计该市2017年旅游收入约为2亿元，预计2019旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年旅游收入的年平均增长率约为．18．自中国加入WTO以来，中美经贸往来日益密切，贸易总量不断攀升．据海关统计，2018年中国对美国进出口总值比2017年增长5.5%，其中进口值下降5%，出口值大幅增长，且增长率是进口值下降率的正整数倍，以致对美贸易顺差（贸易顺差＝出口值﹣进口值）进一步加大．经核算，2018年贸易顺差增长率是出口值增长率的倍，则2017年的出口值占进出口总值的百分比为．19．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣3＝0的两根，则+＝．20．若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是．三．解答题21．某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元（1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年村该村的人均收入是多少元？22．已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若a为正整数，求a的值；（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．24．为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？25．某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？26．关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．第二章一元二次方程复习题参考答案与试题解析一．选择题1．【分析】先根据一元二次方程解的定义得到x12﹣3x1+1＝0，x22﹣3x2+1＝0，则1﹣3x1＝﹣x12，1﹣3x2＝﹣x22，则可变形为﹣，再根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两实数根，∴x12﹣3x1+1＝0，x22﹣3x2+1＝0，∴1﹣3x1＝﹣x12，1﹣3x2＝﹣x22，∴＝﹣﹣＝﹣，∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两实数根，∴x1+x2＝3，x1x2＝1，∴原式＝﹣＝﹣7．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了根与系数的关系．2．【分析】先表示出判别式△，根据方程有两个实数根得出m的取值范围，根据b是方程的一个实数根，可得4b2﹣4b+2m＝0，整体代入，根据二次函数的性质可得y的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有实数根，∴△＝1﹣2m≥0，∴m≤，∵b是方程的一个实数根，∴b2﹣b+m＝0，∴4b2﹣4b+2m＝0，∴4b2﹣4b＝﹣2m，∴y＝4b2﹣4b+m2＝﹣2m+m2＝（m﹣1）2﹣，而m≤，∴y≥﹣1．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，二次函数的性质，解答本题的关键是掌握一元二次方程判别式与方程根的关系．3．【分析】把x＝2代入方程求出2a﹣b的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：把x＝2代入方程得：4a﹣2b＝2，即2a﹣b＝1，则原式＝2019﹣（2a﹣b）＝2019﹣1＝2018，故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．4．【分析】根据直接开方法即可求出答案．【解答】解：由题意可知：ax2＝b有两个根，由直接开方法可知：m﹣1与2m+4互为相反数，∴m﹣1+2m+4＝0，∴m＝﹣1，∴m﹣1＝﹣2，2m+4＝2，∴x2＝＝4，故选：A．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．5．【分析】先配方，再变形，即可得出选项．【解答】解：y2﹣y＝，y2﹣y+（）2＝+（）2，（y﹣）2＝1，故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．6．【分析】利用完全平方公式计算即可求出所求．【解答】解：∵y＝x2﹣6x+1化成y＝（x﹣h）2+k，∴h＝3，k＝﹣8，则h+k＝﹣5，故选：A．【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．【分析】利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答．【解答】解：x2﹣4x﹣2019＝x2﹣4x+4﹣4﹣2019＝（x﹣2）2﹣2023，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2﹣2023≥﹣2023，即代数式x2﹣4x﹣2019的最小值﹣2023，故选：D．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、非负数的性质是解题的关键．8．【分析】利用配方法和非负数的性质求出a、b的值，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵4a2﹣4ab+2b2﹣8b+16＝0，∴（4a2﹣4ab+b2）+（b2﹣8b+16）＝0，∴（2a﹣b）2+（b﹣4）2＝0，∴a＝2，b＝4，∴当腰为4时，等腰三角形的周长为4+4+2＝10，当腰为2时，2+2＝4，构不成三角形．故选：B．【点评】此题考查了配方法的应用，三角形三边关系及等腰三角形的性质，解题的关键熟练掌握完全平方公式．9．【分析】求出方程的解，求出方程的最小值，即可求出答案．【解答】解：x2﹣2x＝，8x2﹣16x﹣5＝0，x＝＝，∵x1为一元二次方程x2﹣2x＝较小的根，∴x1＝＝1﹣，∵5＜＜6，∴﹣1＜x1＜0．故选：B．【点评】本题考查了求一元二次方程的解和估算无理数的大小的应用，关键是求出方程的解和能估算无理数的大小．10．【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：△＝4﹣4k＞0，∴k＜1，∴k的最大整数为0，故选：B．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．11．【分析】先利用因式分解法解方程得到直角三角形的两边为3，4，然后进行讨论：当4为直角边时，利用勾股定理计算斜边长，从而得到此时三角形的周长；当4为斜边时，利用勾股定理计算出另一条直角边长，从而得到此时三角形的周长．【解答】解：（x﹣3）（x﹣4）＝0，x﹣3＝0或x﹣4＝0，所以x1＝3，x2＝4，所以直角三角形的两边为3，4，当4为直角边时，斜边长＝＝5，三角形的周长为3+4+5＝12；当4为斜边时，另一条直角边长＝＝，三角形的周长为3+4+＝7+．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．12．【分析】先变形得到3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，（2x+1）（3x﹣2）＝0，2x+1＝0或3x﹣2＝0，所以x1＝﹣，x2＝．故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．13．【分析】先把方程化为一般式，然后计算判别式的值后判断方程根的情况．【解答】解：方程化为2x2﹣7x+5＝0，因为△＝（﹣7）2﹣4×2×5＝9＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．14．【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯21次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设参加酒会的人数为x人，依题意，得：x（x﹣1）＝21，解得：x1＝7，x2＝﹣6（舍去）．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．【分析】设平均每次降低成本的x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设平均每次降低成本的x，根据题意得：1000﹣1000（1﹣x）2＝190，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去），则平均每次降低成本的10%，故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．二．填空题16．【分析】设每次降价的百分率为x，（1﹣x）2为两次降价的百分率，40降至32.4就是方程的平衡条件，列出方程即可．【解答】解：设每次降价的百分率为x，依题意得：40（1﹣x）2＝32.4．故答案是：40（1﹣x）2＝32.4．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．17．【分析】设该市2018年、2019年旅游收入的年平均增长率为x，根据该市2017年及2019年的旅游收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设该市2018年、2019年旅游收入的年平均增长率为x，依题意，得：2（1+x）2＝2.88，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．故答案为：20%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18．【分析】设2017年的进口值为x，出口值为y，总值为x+y，则2018年的出口值为（1﹣5%）x，出口值为（1+5n%）y，总值为（1+5.5%）x+y，其中n为正整数，即可得到结论．【解答】解：设2017年的进口值为x，出口值为y，总值为x+y，则2018年的出口值为（1﹣5%）x，出口值为（1+5n%）y，总值为（1+5.5%）x+y，其中n为正整数，由题意得，（1﹣5%）x+（1+5n%）y＝（1+5.5%）（x+y）解得：x＝y，∵2018年贸易顺差增长率是出口值增长率的倍，∴＝×，将x＝y代入，化简整理得，85n2﹣148n﹣44＝0，解得：n＝2，（负值舍去），∴＝，∴＝70%，答：2017年的出口值占进出口总值的百分比为70%．故答案为：70%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．19．【分析】利用根与系数的关系可得出x1+x2＝1，x1•x2＝﹣3，将其代入+＝中即可得出结论．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣3＝0的两根，∴x1+x2＝1，x1•x2＝﹣3，∴+＝＝＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．20．【分析】根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：△＝4﹣4k≥0，∴k≤1，∵k≠0，∴k≠0且k≤1，故答案为：k≠0且k≤1；【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．三．解答题21．【分析】（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，根据某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由2019年村该村的人均收入＝2018年该村的人均收入×（1+年平均增长率），即可得出结论．【解答】解：（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，根据题意得：20000（1+x）2＝24200，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%．（2）24200×（1+10%）＝26620（元）．答：预测2019年村该村的人均收入是26620元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．22．【分析】（1）分k＝0及k≠0两种情况考虑：当k＝0时，原方程为一元一次方程，通过解方程可求出方程的解，进而可得出k＝0符合题意；当k≠0时，由根的判别式△≥0可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．综上，此问得解；（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝，x1x2＝，结合x1+x2+x1x2＝4可得出关于k 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：（1）当k＝0时，原方程为﹣3x+1＝0，解得：x＝，∴k＝0符合题意；当k≠0时，原方程为一元二次方程，∵该一元二次方程有实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0，解得：k≤．综上所述，k的取值范围为k≤．（2）∵x1和x2是方程kx2﹣3x+1＝0的两个根，∴x1+x2＝，x1x2＝．∵x1+x2+x1x2＝4，∴+＝4，解得：k＝1，经检验，k＝1是分式方程的解，且符合题意．∴k的值为1．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的定义、解一元一次方程以及解分式方程，解题的关键是：（1）分k＝0及k≠0两种情况，找出k的取值范围；（2）利用根与系数的关系结合x1+x2+x1x2＝4，找出关于k的分式方程．23．【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，得到△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，于是得到结论；（2）根据x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，代入x12+x22﹣x1x2＝16，解方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，解得：a＜3，∵a为正整数，∴a＝1，2；（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，∵x12+x22﹣x1x2＝16，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，解得：a1＝﹣1，a2＝6，∵a＜3，∴a＝﹣1．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键．24．【分析】设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x）]个，根据总利润＝每个产品的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x）]个，依题意，得：（x﹣100）[300+5（200﹣x）]＝32000，整理，得：x2﹣360x+32400＝0，解得：x1＝x2＝180．180＜200，符合题意．答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25．【分析】设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，根据矩形的面积公式和总价＝单价×数量列出方程并解答．【解答】解：设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，依题意得：3x•2x•100+30（3x•2x﹣50×40）＝642000解得x1＝30，x2＝﹣30（舍去）．所以3x＝90，2x＝60，答：扩充后广场的长为90m，宽为60m．【点评】题考查了列二元一次方程解实际问题的运用，总价＝单价×数量的运用，解答时找准题目中的数量关系是关键．26．【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，解得：m≤1，∵m为正整数，∴m＝1，∴x2﹣2x+1＝0，则（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．。
北师大版九年级数学上册第二章 一元二次方程1一元二次方程
(2)方程ax²+bx+c=0是一元二次方程吗?
（不一定是，当a≠0时，是一元二次方
程；当a=0时，不是一元二次方程）
小组讨论
1.对于方程(2a-4)x²-2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程?
在什么条件下此方程为一元一次方程?
（解：当 a≠2时，此方程是一元二次方程；
(1)我们把ax²+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其
中ax²,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数
和一次项系数.
注：一次项系数b和常数项c 可取任意实数，二次项系数 a 是不等于0 的实
数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一
个新的方程.你能发现它们有什么样的共同特征？
数字中有许多有趣而奇妙的现象，很多秘密等待着我们去
探索发现！现在，我们先来做一个数字游戏：大家先计算出10、
11、12三个数字的平方和，再计算出13和14的平方和，看看两
个平方和相等吗？你还能找到五个连续整数，使前三个数的平
方和等于后两个数的平方和吗？试试看！
如果设中间的一个数为x，请根据这一问题列出方程.
2024年世界联赛要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间
都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天
安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
1.请同学们阅读课本31-32 页后观察下列方程，思考并回答问题.
①x²-75x+350=0;
(3)化成一般形式为(m+n)x²+(m-n)x+p-q=0.
北师大版九年级数学上册第2章第1节认识一元二次方程(共20张PPT)
2.1 认识一元二次方程
曾学过哪些方程？ 分式方程，一元一次方程，二元一次方程。 什么叫做一元一次方程？
幼儿园某教室矩形地面的墙长8m，宽5m 现准备在地面中心铺设一块面积为１８m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度 相同,你能求出这个宽度吗？
你怎么 解决这 个问题?
☞ 做一做
9x2 － 4 x2 ＋ 12x ＋ 24x ＋ 4 － 36＝0 5x2 ＋ 36 x － 32＝0
二次项系数为5，一次项系数为36 ，常数项为－ 32 .
独立 作业
知识的升华
2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项 系数、一次项系数和常数项：
方程
一般形式
二次项 一次项 常数 系 数系 数 项
下课了!
结束寄语
• 运用方程（方程组）解答相关 的实际问题是一种重要的数学 思想——方程的思想.
• 一元二次方程也是刻画现实世 界的有效数学模型.
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12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。10:19:5710:19:5710:19Wednesday, September 08, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.9.821.9.810:19:5710:19:57September 8, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。10:19:5710:19:5710:199/8/2021 10:19:57 AM
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11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.810:19:5710:19Sep-218-Sep-21