矩形截面梁的切应力假设
工程力学梁横截面上的切应力及梁的切应力强度条件
三、T字型截面梁的切应力
T字型截面可以看成是由两个矩形组成，下面的 狭长矩形与工字形截面的腹板相似，该部分上的切 应力仍用下式计算：
τ
FS
S
* z
I zb1
最大切应力仍然发生在截面的中性轴上。
四、圆形及环形截面梁的切应力 圆形及薄壁环形截面其最大竖向切应力也都发生在
中性轴上，并沿中性轴均匀分布，计算公式分别为
M+dM
FS dx
σ
现假设用一水平截面将微段梁截 开，并保留下部脱离体，由于脱离 体侧面上存在竖向切应力τ ，根据 切应力互等定理可知，在脱离体的
顶面上一定存在切应力τ '，且 τ '=τ ,如图所示。
dx τ
z y τ' τ
y dx
以FN1、FN2分别代表作用在脱离体左侧面、右侧 面上法向内力的总和，dFS代表水平截面上切应力的 总和，如图所示。
翼缘上的水平切应力可认为沿翼缘厚度是均匀 分布的，其计算公式仍与矩形截面的切应力的形式 相同，即
τ
FS
S
* z
Izδ
式中FS为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到翼 缘边缘间的面积对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的 惯性矩；δ为翼缘的厚度。
水平切应力的大小沿水平方向的分布如图所示。实 践和理论推导已经证明，在整个工字型截面上切应力 的方向可用图c表示。从图中表示切应力方向的许多小 箭头来看，它们好象是两股沿截面流动的水流，从上 （或下）翼缘的两端开始，共同朝向中间流动，到腹 板处汇合成一股，沿着腹板向下（或上）到下（或上） 翼缘处再分为两股向两侧流动。对所有的薄壁杆，其 横截面上切应力的方向，都有这个特点。这种现象称 为切应力流。掌握了切应力流的特性，则不难由剪力 的方向确定薄壁杆横截面上切应力的方向。
工程力学第6节 弯曲切应力
* z
上式表明腹板上的切应力按抛物线规律变化。
最大弯曲切应力 max 发生在中性轴 y 0 处，故
相差不大，当 d b 时，腹板上的切应力可认为均匀 分布。由于工字钢腹板上切应力的合力与截面剪力十 分接近，故工程中常将剪 翼缘 力除以腹板面积来计算工 min 腹板 字形截面梁的 max 。即
一、矩形截面梁 的切应力 假设
截面上任一点 切应力 的方 向均平行于剪 力 FS ； 切应力沿矩形 截面的宽度 b 均匀分布，即 切应力的大小 只与 y 有关
C
在横截面上距中性轴为
y 处的切应力 * FS S z Izb
距中性轴为 y 处横线以下面积对中性轴的面积矩为
hy 2 h b h * 2 2 S z b( y ) （y ) ( y ) 2 2 2 4 bh 3 Iz 12
二、圆形截面梁的切应力
AB 弦上的最大切应力在端点 A 或 B ，切应力为
FS R R y 3Iz
2
2
其中
Iz
d
4
64
R
4
4
max
FS R R y 3Iz
2
2
其中
Iz
d
4
64
R
4
4
在中性轴上，y 0 得到切应力最大值
max
4 FS 2 3R
绘制梁的剪力图 绘制梁的弯矩图
2
8
1 FS max ql 2
最大剪力和最大弯矩
1 2 M max ql 8
矩形梁截面上的切应力分布
矩形梁截面上的切应力分布在研究矩形梁截面上的切应力分布之前，我们首先需要理解一些基本概念。
切应力是物体受到剪切力作用时，在剪切面上的应力。
在材料力学中，我们通常使用剪切应力公式来计算切应力。
这个公式可以表达为：τ = F/A其中，τ是切应力（剪切应力），F是剪切力的大小，A是剪切面的面积。
这个公式告诉我们，切应力与作用在剪切面上的力成正比，与剪切面积成反比。
接下来，我们讨论矩形梁截面上的切应力分布。
为了简化问题，我们假设矩形梁的长度和宽度分别为a和b，且梁的材料是匀质的。
在梁的长度方向（即沿着x 轴方向），由于受到均匀分布的剪切力作用，所以在这个方向上，切应力的大小是线性的，从左到右逐渐增大。
在梁的宽度方向（即沿着y轴方向），由于剪切力在每个宽度上均匀分布，所以在这个方向上，切应力的分布是均匀的。
在实际情况中，由于材料的非均质性、截面形状的复杂性等因素，切应力的分布可能会有所不同。
例如，对于具有中心对称的截面形状（如圆形、正方形等），切应力在截面的中心处可能达到最大值；而在截面的边缘处，由于边缘应力的影响，切应力可能会降低。
此外，对于承受弯曲的梁来说，由于弯矩的存在，会在截面上产生扭矩。
在这种情况下，除了剪切力之外，还需要考虑扭矩对切应力的影响。
根据材料力学中的相关公式，我们可以计算出在给定的弯矩作用下，截面上各点的切应力大小。
总的来说，矩形梁截面上的切应力分布取决于多种因素，包括剪切力的分布、截面的形状、材料特性以及是否受到弯曲作用等。
在实际工程中，我们需要结合实际情况和相关计算公式来确定截面上各点的切应力分布情况，以便对结构进行安全性和稳定性分析。
为了进一步准确地模拟和预测矩形梁截面上的切应力分布，现代计算机技术和数值分析方法被广泛应用。
例如，有限元方法（FEM）可以通过对物理模型的离散化处理和数学求解，得出高精度的应力分布结果。
有限元方法可以处理各种复杂的边界条件和材料性质的非线性变化，因此在研究和实践中得到广泛应用。
梁的切应力及其强度条件
I z
t 1
FS
S
* z
I z
t1
FS
I z
h 2
2
FS 2Iz
h
t1max
tmax
t
max
FS 2Izd
b
h
d
h 2
2
y2
tmax O
t1
FS 2I z
h
y tmin 切应力流
最大剪应力一般发生在中性轴上
z
三、薄壁环形截面梁
tmax
r0
tmax
O
t
y
最大切应力tmax 仍
发生在中性轴z上。
FA 66kN D截面的剪力
FB 44kN FS 66kN
t max
FSS z,max dIz
140 10 103 47
220
2）求最大切应力
a
C
10 y 10
S
* z,max
10310
103 2
2
1061102 mm3
t max
FSS z,max dIz
66103 1061102 10 2 1152104
tmax
h
y
O
t' t A* s
y dA
d
Ot
y b
t
FS
S
* z
Izd
tmin
S
* z
b
h 2
2
d
h 2
y
h/
2
2
y
b
h
d
h
2
y2
2
2 2
2、翼缘上的切应力
FN*2
h
材料力学切应力计算
第四章 弹性杆横截面上的切应力分析§4-3梁横力弯曲时横截面上的切应力梁受横弯曲时,虽然横截面上既有正应力 σ,又有切应力 τ。
但一般情况下,切应力对梁的强度与变形的影响属于次要因素,因此对由剪力引起的切应力,不再用变形、物理与静力关系进行推导,而就是在承认正应力公式(6-2)仍然适用的基础上,假定剪应力在横截面上的分布规律,然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。
1.矩形截面梁对于图4-15所示的矩形截面梁,横截面上作用剪力F Q 。
现分析距中性轴z 为y 的横线1aa 上的剪应力分布情况。
根据剪应力成对定理,横线1aa 两端的剪应力必与截面两侧边相切,即与剪力F Q 的方向一致。
由于对称的关系,横线1aa 中点处的剪应力也必与F Q 的方向相同。
根据这三点剪应力的方向,可以设想1aa 线上各点切应力的方向皆平行于剪力F Q 。
又因截面高度h 大于宽度b,切应力的数值沿横线1aa 不可能有太大变化,可以认为就是均匀分布的。
基于上述分析,可作如下假设:1)横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪hj 力F Q 。
2)切应力沿截面宽度均匀分布。
基于上述假定得到的解,与精确解相比有足够的精确度。
从图4-16a 的横弯梁中截出dx 微段,其左右截面上的内力如图4-16b 所示。
梁的横截面尺寸如图4-16c 所示,现欲求距中性轴z 为y 的横线1aa 处的切应力 τ。
过1aa 用平行于中性层的纵截面11cc aa 自dx 微段中截出一微块(图4-16d)。
根据切应力成对定理,微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力 τ'。
微块左右侧面上正应力的合力分别为1N 与2N ,其中图4-16图4-15*1I 1**z z A z A S I M dA I My dA N ===⎰⎰σ (4-29) *1II 2)()(**z z Az A S I dM M dA I y dM M dA N +=+==⎰⎰σ (4-30) 式中,*A 为微块的侧面面积,)(II I σσ为面积*A 中距中性轴为 1y 处的正应力,⎰=*1*A z dA y S 。
梁的切应力及强度条件
2.2mm的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示.已知许用弯曲
正应力[]=152MPa，许用切应力 []=95MPa.试校核此梁的强度. 解：加强后的梁是阶梯状
10
变截面梁. 所以要校核
2.2m
上的弯曲正应力； （2）F靠近支座时支座截面上的切应力； （3）F移至未加强的梁段在截面变化处的正应力.
F A C 5m FSmax B
FS max FRA F 30kN
查型钢表中，20a号工字钢，有
Iz S
* z max
17.2cm
d=7mm
据此校核梁的切应力强度
F S max S max Izd
* z max
+
24.9MPa [ ]
以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的.
5m 37.5 kN· m
M max 37.5kN m
所以梁的最大正应力为
（a）正应力强度校核 由型钢表查得20a工字钢的 W z 237cm
σ max
M max 158MPa [σ ] Wz
+
3
(Stresses in Beams)
（b）切应力强度校核 在计算最大切应力时，应取荷载F在紧靠任一支座例如支 座A处所示，因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应 力也就最大.
两截面上距中性轴 y1 处的正应力为1 和2.
FN1 σ1dA
A1
y
x
My1 M dA y1dA FN1 A1 I I z A1 z M 1dA Sz Iz M dM FN 2 σ 2dA Sz A1 Iz
A1
dFS’
A
B1
m’
矩形截面横力弯曲梁横截面切应力最大值
矩形截面横力弯曲梁横截面切应力最大值矩形截面横力弯曲梁横截面切应力最大值一、概述矩形截面横力弯曲梁是工程结构中常见的构件，其在受力状态下会产生横截面切应力。
在设计和分析中，了解横截面切应力的最大值是十分重要的，因为它直接影响到构件的承载能力和安全性。
二、横力弯曲梁的受力分析在了解横截面切应力最大值之前，我们需要先了解横力弯曲梁的受力分析。
横力弯曲梁在受载时会产生弯矩和剪力，这些内力会导致构件内部产生应力。
由于横力弯曲梁的横截面普遍是矩形形状，因此横截面切应力也就成为了一个重要的分析对象。
三、横截面切应力的求解1. 受力分析在求解横截面切应力之前，首先需要进行横力弯曲梁的受力分析。
根据横力弯曲梁的几何形状和受载情况，可以求解出横截面上点的弯矩和剪力。
这些内力将会成为求解横截面切应力的基础。
2. 横截面切应力公式横截面切应力是沿着梁的截面产生的应力。
对于矩形截面横力弯曲梁，其横截面切应力最大值出现在截面的边缘处。
根据弹性力学理论和材料力学原理，可以得到横力弯曲梁横截面切应力的计算公式，即：\[ \tau = \dfrac{V}{A} \]其中，\[ \tau \] 为横截面切应力，\[ V \] 为横力弯曲梁截面上的剪力，\[ A \] 为横截面的截面积。
根据该公式，可以求解出横截面切应力的数值。
3. 最大值位置根据横截面切应力的计算公式，可以发现其最大值出现在横力弯曲梁截面的边缘处。
这是由于梁在受力状态下，边缘处受到的剪力较大，从而导致了横截面切应力的最大值。
四、横截面切应力最大值的影响因素1. 梁的几何形状横力弯曲梁的横截面形状直接影响着截面切应力最大值的大小和位置。
通常情况下，矩形截面横力弯曲梁的横截面切应力最大值出现在边缘处，而非矩形截面则可能会有不同的应力分布规律。
2. 受载情况横力弯曲梁的受载情况也会对横截面切应力最大值产生影响。
不同的荷载大小和分布形式将导致横截面上的剪力不同，进而影响横截面切应力的大小。
材料力学(土木类)第四章 弯曲应力(4)
* N1
′ d FS = F
* FS S z τ 1′ = I zδ
FS h δ FS τ 1 = τ 1′ = × δη − = × η (h − δ ) I z δ 2 2 2 I z
δ
τ1max τmax O
τmax
FS τ1 = × η (h − δ ) 2I z
* FS S z FS τ= = I zb 2I z
h2 2 −y 4
τmax
O
(1) τ沿截面高度按二次抛物 线规律变化； 线规律变化； (2) 同一横截面上的最大切应 在中性轴处( 力τmax在中性轴处 y=0 )； ； (3)上下边缘处（y=±h/2)， 上下边缘处（ ± 上下边缘处 ， 切应力为零。 切应力为零。
σ max ≤ [σ ]
G
τ τ
σ σ
H
梁上任意点G 平面应力状态， 梁上任意点 和H →平面应力状态， 平面应力状态 若这种应力状态的点需校核强度时不 能分别按正应力和切应力进行， 能分别按正应力和切应力进行，而必 须考虑两者的共同作用（强度理论）。 须考虑两者的共同作用（强度理论）。
ql2/8
横力弯曲梁的强度条件： 横力弯曲梁的强度条件：
Ⅱ、梁的切应力强度条件 发生在F 所在截面的中性轴处， 一般τmax发生在 S ,max所在截面的中性轴处，该位置 σ=0。不计挤压，则τmax所在点处于纯剪切应力状态。 所在点处于纯剪切应力 纯剪切应力状态 。不计挤压，
q E m G mH l/2 C D l F E
τmax
F
τmax
梁的切应力强度条件为
τ
y b
FS1 = ∫ τ d A ≥ 0.9 FS
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dWZ 0 db
1 2 (h 2b 2 ) 0 6 h 2 b
bh 2 1 WZ [( 2b) 2 b] 75 104 mm3 b 131mm。 6 6
d 2 h 2 b 2 3b 2 515 102 mm2
例题 9.10
F
矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。 求σmax , τmax 。
h
M max
FL 4
bh 2 WZ 6
l 2
l 2
Fs max
max
F 3 2 3 Fs 3 F 2 bh 2 A 4 bh
F 2
FL b M 3FL max max 4 2 1 2 WZ 2 bh bh 6 3 FL 2 2L max 2 bh 3 F h max 4 bh
* z
* Fs S z IZb
Fs – 横截面上的剪力；
b – 截面的宽度；
IZ – 截面对中性轴的惯性矩； SZ＊ – 宽度线一侧的面积对中性轴的静矩.
b
Fs h 2 y ( y2 ) 2I Z 4
h2
z
y
max
h2
y0
A
y
max
3F s F sh 2 F sh 2 3 2A bh 8I Z 8 12
2.根据材料特性选择截面 对于抗拉和抗压不相同的脆性材料最好选用关于中性轴不对称的截面
二、合理布置梁的形式和荷载，以降低最大弯矩值
1. 合理布置梁的支座
q
A B
q
A B
l
0.2l
0.025ql 2
0.6l
0.2l
0.025ql 2
0.125ql 2
0.025ql 2
2. 适当增加梁的支座
q
A B A
* Z
最大切应力通常发生在最大剪力截面的中性轴处，该处 的正应力为零，即切应力危险点处于纯剪切应力状态；
§6 梁的合理设计
一、合理选择截面形状，尽量增大Wz值
1.梁的合理截面
bh2 6
hb2 6
9.72cm3 49cm
3
NO10
0.167a 3
0.118a 3
工字形、槽形截面比矩形截面合理，矩形截面比圆形 截面合理
F F
D
A
C
B
a
a
a
d b
h
2、确定圆木直径d
max
M max [ ] WZ
解： 1、确定WZ最大时的h/b
bh 2 b(d 2 b 2 ) WZ 6 6
M max Fa 7.5kNm
3 M max 7.5 10 m 4 N 3 WZ 75 10 mm [ ] 10 106 Pa
a
2
Iz
A*
y1dA y bdx
1
S z
My1 M dA F * 1dA * A A Iz Iz
* N1
b
A*
y1dA
dx
* Sz dM y I z b dx
F
* N2
* 2 dA *
A
A
M dM y1 dA
Iz
Fs S I zb
细长等值梁
L 5 h
max 10 max
三、圆形和圆环形截面梁的最大切应力
d
D d
z
y
max
4 FS 3 A
d 2
4
max
FS 2 A
A
A为圆环形截面面积
梁的切应力强度条件
FS S IZb
最大正应力发生在最大弯矩截面的上、下边缘处，该 处的切应力为零，即正应力危险点处于单轴应力状态；
l 2 l
q
B
l
l
0.03125ql 2
2
0.125ql
2
0.0175ql 2
3. 改善荷载的布置情况
F
l 2 l 2
q
F l
l
+
1 Fl 4
0.125qΒιβλιοθήκη 2三、采用变截面梁四、合理利用材料
混凝土
x
x
x
钢筋
钢筋混凝土材料在合理使用材料方面是最优越的
(a)
(b )
例题 9.11
矩形截面简支梁由圆形木材刨成，已知F=5kN a=1.5m，[σ]=10MPa，试确定此矩形截面h/b的最 优比值，使其截面的抗弯截面系数具有最大值，并 计算所需圆木的最小直径d。
§5梁横截面上的切应力.梁的切应力强度条件
q
FR
FR
kN
kNm
一、矩形截面梁的切应力
假设：
1、横截面上的τ方向与FS平行
y
Fs
z
2、τ沿截面宽度是均匀分布的
h 2
1 2
F
z
y
a a x
1 2
dx
a
1
a
2
h 2
y
y
y1
dA
A
y
y
b
M
M dM
FN 1
dM FN 2
a
* * FN F 2 N 1 y bdx 0