2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第5章 第1节 数列的概念与简单表示法

由an与Sn的关系求通项an [典题导入] 已知数列{an}的前n项和Sn，根据下列条件分别求它们
的通项an.
(1)Sn＝2n2＋3n；(2)Sn＝3n＋1. [听课记录] (1)由题可知， 当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋3×1＝5， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝ 4n＋1. 当n＝1时，4×1＋1＝5＝a1， 故an＝4n＋1.
nπ C．an＝2－sin 2
)
（－1）n＋1 B．an＝ 2 （－1）n－1＋3 D．an＝ 2
[听课记录]
由
nπ an＝2－sin 2 可得
a1＝1，
a2＝2为：0，1，0，1，„，则{an}的一个通项公式为 ________． 答案
出现，这也是数列与数集的区别．
2．数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2， 3，„，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的
函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)．
由数列的前几项求数列的通项公式
[典题导入]
(2014· 西安五校联考)下列公式可作为数列{an}： 1， 2， 1， 2， 1，2，„的通项公式的是 ( A．an＝1
[体验高考] 1．(2013· 新课标全国Ⅰ高考)设△AnBnCn 的三边长分别为 an，bn， cn，△AnBnCn 的面积为 Sn，n＝1，2，3，„.若 b1＞c1，b1＋c1 cn＋an bn＋an ＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝ ，cn＋1＝ ，则 2 2 ( A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列 C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 )
[跟踪训练]
2．(1)(2014·长沙模拟)已知a1＝2，an＋1－an＝2n＋1(n∈N*)，
则an＝__________． 解析 由an＋1－an＝2n＋1(n∈N*)， 得an－an－1＝2n－1， an－1－an－2＝2n－3，„，a3－a2＝5，a2－a1＝3，
将以上各式相加，
得 an－a1＝3＋5＋„＋(2n－3)＋(2n－1)， （1＋2n－1）n 即 an＝1＋1＋3＋5＋„＋(2n－1)＝1＋ 2 ＝n2＋1.
[关键要点点拨]
1．对数列概念的理解 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅 与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺 序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成 两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同 的两个数列．
(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复
[听课记录]
(1)因为 an＝n
2
21 2 361 －21n＋20＝n－ 2 － ，可知对称 4
21 轴方程为 n＝ ＝10.5.又因 n∈N*，故 n＝10 或 n＝11 时，an 有最 2 小值，其最小值为 112－21× 11＋20＝－90. (2)设数列的前 n 项和最小，则有 an≤0，由 n2－21n＋20≤0，解 得 1≤n≤20，故数列{an}从第 21 项开始为正数，所以该数列的前 19 或 20 项和最小．
1 1 1 C [an＝ ，由基本不等式得， ≤ ， 90 90 2 90 n＋ n＋ n n 1 由于 n∈N ，易知当 n＝9 或 10 时，an＝ 最大．] 19
*
【创新探究】 函数思想在数列中的应用 (2014· 安阳模拟)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若不等
2 S n 2 式 an＋ 2≥ma2 1对任意等差数列{an}及任意正整数 n 都成立， n
步： (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2) 便可求出当n≥2时an的表达式；
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果
符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1 与n≥2两段来写．
整． 2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归 纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．
[跟踪训练] 1．写出下面数列的一个通项公式． (1)3，5，7，9，„； 1 3 7 15 31 (2) ， ， ， ， ，„； 2 4 8 16 32 (3)3，33，333，3 333，„； 3 1 3 1 3 (4)－1， ，－ ， ，－ ， ，„. 2 3 4 5 6
若 a1＝0，则原不等式恒成立；
5 an2 1an 1 若 a1≠0，则有 m≤ a ＋ a ＋ ， 4 1 2 1 4
5 an2 1an 1 5an 12 1 1 而 a ＋ a ＋ ＝ a ＋5 ＋ ≥ ， 4 1 2 1 4 4 1 5 5
则实数 m 的最大值为 ( 1 A. 4 C．1 1 B. 5 D．无法确定 )
【思路导析】 将已知不等式用 an 与 a1 表示后分离参数 m 转化为 函数的最值问题求解． 1 【解析】 因为 Sn＝ n(a1＋an)， 2 所以原不等式可化为 1 2 an＋ (a1＋an)2≥ma2 1. 4
而 4<2 5<5，故当 n≤4 时，数列{bn}单调递减； 当 n≥5 时，数列{bn}单调递增． 20 20 而 b4＝4＋ －21＝－12，b5＝5＋ －21＝－12， 4 5 所以当 n＝4 或 n＝5 时，bn 取得最小值，最小值为－12.
[规律方法]
1．数列中项的最值的求法 根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数an＝ f(n)，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的 取值．
第一节
数列的概念与简单表示
法
[主干知识梳理] 一、数列的定义、分类与通项公式
1．数列的定义：
(1)数列：按照 一定顺序 排列的一列数． (2)数列的项：数列中的 每一个数 ．
2．数列的分类： 分类标准 类型 有穷数列 满足条件 项数 有限 项数 无限 an＋1 > an
项数
无穷数列 项与项间 的大小关 系 递增数列
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝3＋1＝4， 当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2× 3n－1. 当 n＝1 时，2× 31－1＝2≠a1， 故
4， an＝ n－1 2× 3 ，
n＝1， n≥2.
[规律方法]
已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三
[互动探究] an 在本例条件下，设 bn＝ ，则 n 为何值时，bn 取得最小值？并求 n 出最小值．
2 an n －21n＋20 20 解析 bn＝ ＝ ＝n＋ －21， n n n
20 20 令 f(x)＝x＋ －21(x>0)，则 f′(x)＝1－ 2 ， x x 由 f′(x)＝0 解得 x＝2 5或 x＝－2 5(舍)．
(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n；各项绝 对值的分母组成数列 1，2，3，4，„；而各项绝对值的分子组成 的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 2－1，偶数项 为 2＋1，
n 2 ＋（－ 1 ） 所以 an＝(－1)n· ，也可写为 n
1 －n，n为正奇数， an＝ 3，n为正偶数. n
4．(教材习题改编)已知数列{an}的通项公式是 an＝
n－1 2 · 3 （n为偶数）， 则 a4·a3＝________． 2n－5（n为奇数），
解析 a4·a3＝2×33·(2×3－5)＝54. 答案 54
q 3 3 5．已知数列{an}的通项公式为 an＝pn＋ ，且 a2＝ ，a4＝ ，则 n 2 2 a8＝________． q 3 1 2p＋2＝2， p＝ ， 解析 由已知得 解得 4 4p＋q＝3， q＝2. 4 2 1 2 9 则 an＝ n＋ ，故 a8＝ . 4 n 4 9 答案 4
1 则 m≤ . 5 1 故实数 m 的最大值为 ， 5 故选 B.
【答案】 B
【高手支招】 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义
在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大
取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数 问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特 殊性．
0（n为奇数）， 1＋（－1）n 1＋cos an＝ 或 an＝ 或 an＝ 2 2 1（n为偶数）.
nπ
[规律方法] 1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每 一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添 项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公
式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调
B [已知 b1＞c1，b1＋c1＝2a1，a2＝a1， c1＋a1 3 1 故 b2＝ ＝ c1＋ b1＜b1， 2 4 4 b1＋a1 3 1 c2＝ ＝ b1＋ c1＞c1， 2 4 4 b1＋c1 b2＋c2＝a1＋ ＝2a1， 2 c1－b1 b2－c2＝ ＜0， 2 3 1 3 1 即 b2＜c2，b2c2＝( c1＋ b1)· ( b1＋ c1) 4 4 4 4 3 1 2 ＝ (b1＋c1) ＋ b1c1＞b1c1. 16 4
解析
(1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an＝2n＋1.
(2)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21，22，23，24，„， 2n－1 所以 an＝ n . 2 9 99 999 9 999 (3)将数列各项改写为 ， ， ， ，„，分母都是 3，而分 3 3 3 3 子分别是 10－1，102－1，103－1，104－1，„. 1 n 所以 an＝ (10 －1)． 3
来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．
[基础自测自评] 2 3 4 5 1．(教材习题改编)数列 1， ， ， ， „的一个通项公式是 3 5 7 9 ( n A．an＝ 2n＋1 n C．an＝ 2n－3