离散数学考试试题(A卷及答案)
离散数学期末试题
离散数学考试试题（A 卷及答案）一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))的主析取范式解：(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))⇔⌝(⌝( P ∨Q ))∨(P ∧⌝Q ∧R ))⇔(P ∨Q )∨(P ∧⌝Q ∧R ))⇔(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨⌝Q )∧(P ∨Q ∨R )⇔(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R )⇔(P ∨Q ∨(R ∧⌝R ))∧(P ∨Q ∨R )⇔(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨⌝R )∧(P ∨Q ∨R )⇔0M ∧1M⇔2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。
乙说：王教授不是上海人，是苏州人。
丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。
王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。
试判断王教授是哪里人？解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。
则根据题意应有： 甲：⌝P ∧Q乙：⌝Q ∧P丙：⌝Q ∧⌝R王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。
所以，丙至少说对了一半。
因此，可得甲或乙必有一人全错了。
又因为，若甲全错了，则有⌝Q ∧P ，因此，乙全对。
同理，乙全错则甲全对。
所以丙必是一对一错。
故王教授的话符号化为：((⌝P ∧Q )∧((Q ∧⌝R )∨(⌝Q ∧R )))∨((⌝Q ∧P )∧(⌝Q ∧R ))⇔(⌝P ∧Q ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝Q ∧R )∨(⌝Q ∧P ∧⌝Q ∧R )⇔(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧⌝Q ∧R )⇔⌝P ∧Q ∧⌝R⇔T因此，王教授是上海人。
三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。
证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。
离散数学考试试题A
7. (15 points) Use the labeling algorithm (Ford-Fulkerson’s) to find a maximum flow for the following transport network in Fig. 1. Use of figures is required to show the variety of
(2). if A × B = A × C, A ≠ ∅, then 问题的任何反例都可以)
例如, A={1,2}, B={1}, C={1,3}.
《离散数学》(上)试卷(A卷)及参考答案
安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《 离散数学 》考试试卷（A 卷）（时间120分钟）院/系 专业 姓名 学号一、单项选择题（每小题2分，共20分）1. 设:P 天没下雪，:Q 我去镇上，则命题“天正在下雪，我没去镇上”可符号化为（ D ）A.Q P ⌝→⌝；B. P Q ⌝→⌝；C.Q P ⌝∧；D. Q P ⌝∧⌝。
2.下列命题是重言式的是（ C ）A.)()(P Q Q P →∧→；B. )()(Q P P Q P ↔↔↔∧；C. )(Q P Q P →→∧；D. Q P R Q P ∧⌝∧⌝∨→))((。
3. 设解释R 如下：论域D 为实数集，a=0, f(x,y)=x-y, A(x,y):x<y.下列公式在R 下为真的是( )A.(∀x)(∀y)(∀z)(A(x,y)→A(f(x,z),f(y,z)))B.(∀x)A(f(a,x),a)C.(∀x)(∀y)（A(f(x,y),x))D.(∀x)(∀y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))4. 对任意集合,,A B C ，下列结论正确的是（ B ）A. C A C B B A ∉⇒∉∧∉][；B. C A C B B A ∈⇒⊆∧∈][；C. C A C B B A ∉⇒∉∧∈][；D. C A C B B A ∈⇒∈∧⊆][。
5. 9．关于{,,}X a b c =到{1,2,3}Y =的函数{,1,,1,,3}f a b c =<><><>，下列结论不正确的是（ ）A 、1({3}){}f c -=； B 、1(3)f c -=； C 、({}){3}f c =； D 、()3f c =。
6. 设I 为整数集合，则I 上的二元关系}4|||,{=-><=y x y x R 具有（ B ）A.自反性和对称性；B.反自反性和对称性；C.反自反性和传递性；D.反对称性和传递性。
安徽大学大二计算机专业离散数学试卷及答案13
安徽大学20 xx —20 xx 学年第 2 学期《 离散数学（下） 》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）一、单项选择题（每小题2分，共20分） 1．设R 为实数集合，则下列集合关于加法运算不是,R <+>的子代数的是（ ） A.偶数集合； B.奇数集合； C.自然数集合； D.整数集合。
2．下列关于群的说法正确的是（ ）A.质数阶的群必为循环群；B.有限群必为循环群；C.循环群必为质数阶群；D.循环群必为有限群。
3．设R 为实数集合，则20(),0a M R a b R b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭关于矩阵的加法和乘法构成（ ） A.有幺元的交换环； B.无幺元的非交换环； C.无幺元的交换环； D.有幺元的非交换环。
4．设I 为整数集合，则下列关系是代数,I <+>上的同余关系的是（ ）A.||0x y x y ⇔-≤；B.(00)(00)x y x y x y ⇔<∧<∨≥∧≥；C.xy x y ⇔≤； D.(0)(00)xy x y x y ⇔==∨≠∧≠。
5．下列集合关于整除关系构成格的是（ ）A.{1,2,3,4,6}；B.{1,2,3,6}；C.{2,3,6}；D.{1,2,3}。
6．在布尔代数,,,,0,1B '<*⊕>中任取两元素,a b ，下列命题与a b ≤不一定等价的是（） A.a b a *=； B.a b b ⊕=； C.0a b '*=； D.1a b '⊕=。
7．在布尔代数>'⊕*<1,0,,,,B 上定义的n 元布尔表达式所对应的不同主析取范式总个数为（ ） A.n2； B.nBB； C.nB2； D.nB 。
8．设无向图,G V E =<>中{1,2,3,4,5}V =，{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,1),(2,5)}E =， 则{2,4}V '=不是图G 的（ ）A.点割；B.支配集；C.点覆盖；D.独立集。
离散数学考试试题（A卷及答案）
离散数学考试试题（A卷及答案）离散数学考试试题（A卷及答案）⼀、（10分）判断下列公式的类型（永真式、永假式、可满⾜式）？1)((P→Q)∧Q)?((Q∨R)∧Q) 2)?((Q→P)∨?P)∧(P∨R)3)((?P∨Q)→R)→((P∧Q)∨R)解：1)永真式；2）永假式；3)可满⾜式。
⼆、（8分）个体域为{1，2}，求?x?y（x+y=4）的真值。
解：?x?y（x+y=4）??x（（x+1=4）∨（x+2=4））（（1+1=4）∨（1+2=4））∧（（2+1=4）∨（2+1=4））（0∨0）∧（0∨1）1∧1?0三、（8分）已知集合A和B且|A|=n，|B|=m，求A到B的⼆元关系数是多少？A到B的函数数是多少？解：因为|P(A×B)|=2|A×B|=2|A||B|=2mn，所以A到B的⼆元关系有2mn个。
因为|BA|=|B||A|=mn，所以A到B的函数mn个。
四、（10分）已知A={1,2,3,4,5}和R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>}，求r(R)、s(R)和t(R)。
解：r(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}s(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<3,2>,<4,3>,<4,5>}t(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<1,4>}五、(10分) 75个⼉童到公园游乐场，他们在那⾥可以骑旋转⽊马，坐滑⾏铁道，乘宇宙飞船，已知其中20⼈这三种东西都乘过，其中55⼈⾄少乘坐过其中的两种。
离散数学期末试题A答案及评分标准
--北京工商大学离散数学试卷(A)答案及评分标准题号 一 二三 四 五 六 七总分得分一、（30分）设A ={1,2,3,4}，给定A 上二元关系R 如下：R ={<1,1>, <1,2>, <2,3>, <3,3>, <4,4>}请回答以下各问题：1.写出R 的关系矩阵. （3分）2.画出R 的关系图. （3分）3.求包含R 的最小的等价关系，并写出由其确定的划分. （6分）4.分别用关系矩阵表示出R 的自反闭包r (R )、对称闭包s (R ). （6分）5.求传递闭包t (R ).（写出计算步骤）（6分）6.求R 2的关系矩阵. （3分）7.集合A 上最多可以确定多少个不同的二元关系？说明理由。
（3分）[解] (1)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000010001000011R M 。
……（3分）（2） ……（3分）(3)法一：直接由等价关系与划分之间的一一对应可知，包含R 的最小等价关系为: {<1, 2>, <1, 3>, <2, 1>,<2, 3>, <3, 1> <3, 2>}∪I A , ……（3分） 对应的划分为{{1, 2, 3},{4}}. ……（6分） 法二：包含R 的最小的等价关系就是tsr (R ), 计算过程如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=100001000110001110000100001000011000010001000011)(E M M R R r,100001100111001110000110001100011000010001100011][)()()(⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=T R r R r R sr M M M ,3,10001110111011110000110011100111000011001110011)]([)()()]([2≥=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯=k M M M M k R sr R sr R sr R sr 从而,10000111011101111000011101110111100001110111011110000111011101111000011001110011432)]([)]([)]([)()(⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=R sr R sr R sr R sr R tsr M M M M M即}2,3,1,3,3,2,1,2,3,1,2,1{)(><><><><><><⋃=A I R tsr =包含R 的最小的等价关系， ……（3分） 故其对应的划分为{{1, 2, 3},{4}}. ……（6分） 法三：由于4=A ，包含R 的最小的等价关系就是4131211)()()()()()(----⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃==R R R R R R R R I R rts R tsr A ,计算过程如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=-⋃100001100101001110000110000100011000010001000011][1TR R R R M M M ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=-⋃10000111011101111000011001010011)][(22)(21T R R R R M M M412131)()(33)(10000111011101111000011001010011)][(---⋃⋃⋃==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=R R R R T R R R R M M M M M 考试纪律承诺本人自愿遵守学校考试纪律，保证以诚信认真的态度作答试卷。
11级离散数学试题(A)参考答案
2011级离散数学(A)参考答案一、填空题（每小题2分，共30分）1. 设():M x x 为人， ():F x x 不吃饭。
将命题“没有不吃饭的人”符号化为：))()((x F x M x ⌝→∀ 或 ))()(((x F x m x ∧∃⌝ 。
2. 设A={1, 2, 3, 4} ，则 A 的全部2元子集共有 6 个。
3. 设p ：明天是周一，q ：明天是周三，r ：我有课。
则命题“如果明天是周一或周三，我就有课”的符号化形式为 r q p →∨)( 。
4. 已知命题公式A 含有2个命题变项，其成真赋值为00、10、11，则其主析取范式为 320m m m ∨∨ 。
5. 设p ：北京比大连人口多，q ：2+2=4，r ：乌鸦是白色的。
则命题公式)()(r p r q ⌝→→∨的真值为 1 。
6. 集合}3,2,1{=A 上的关系}3,2,3,1,2,1{><><><=R ，则=-1R { <2,1>,<3,1>,<3,2> }。
7. 画出下图的补图 。
8.设A={1,2,3}，B={a,b,c}，A 1={1}，f={<1,a>,<2,a>,<3,b>}，则=-))((11A f f { 1,2 }。
9. 设无向图的度数序列为：1，2，2，3，4。
则该无向图的边数m= 6 。
10. 3阶有向完全图的2条边的非同构的生成子图有 4 个。
11. 设〈≤,A 〉为偏序集，A B ⊆。
若y x B y x 与,,∈∀都是可比的，则称B是A 中的一条链，B 中的元素个数称为链的长度。
在偏序集〈{1,2,…,9}，整除〉中，{1,2,4,8}是长为 4 的链。
12. 下面运算表中的单位元是 b 。
13. 写出模4加法群G=<Z 4,⊕ >的运算表14. 模4加法群中， 2-3= 2 。
离散数学试卷及答案
离散数学试题与答案试卷一一、填空 20% （每小题2分）1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =⋃B A 。
2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。
3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 。
4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为 。
5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为 。
6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。
7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。
8．图的补图为 。
9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：A BC* a b c d a b c da b c d b c d a c d a b d a b c那么代数系统<A ，*>的幺元是 ，有逆元的元素为 ，它们的逆元分别为 。
10．下图所示的偏序集中，是格的为 。
二、选择 20% （每小题 2分）1、下列是真命题的有（ ） A ． }}{{}{a a ⊆；B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C ． }},{{ΦΦ∈Φ；D ． }}{{}{Φ∈Φ。
2、下列集合中相等的有（ ）A ．{4，3}Φ⋃；B ．{Φ，3，4}；C ．{4，Φ，3，3}；D ． {3，4}。
3、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ ）个。
A ． 23 ； B ． 32 ； C ． 332⨯； D ． 223⨯。
4、设R ，S 是集合A 上的关系，则下列说法正确的是（ ） A ．若R ，S 是自反的， 则S R 是自反的； B ．若R ，S 是反自反的， 则S R 是反自反的； C ．若R ，S 是对称的， 则S R 是对称的； D ．若R ，S 是传递的， 则S R 是传递的。
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离散数学考试试题（A卷及答案）
一、（10分）证明⌝(A∨B)→⌝(P∨Q)，P，(B→A)∨⌝P A。
证明：(1)⌝(A∨B)→⌝(P∨Q) P
(2)(P∨Q)→(A∨B) T(1)，E
(3)P P
(4)A∨B T(2)(3)，I
(5)(B→A)∨⌝P P
(6)B→A T(3)(5)，I
(7)A∨⌝B T(6)，E
(8)(A∨B)∧(A∨⌝B) T(4)(7)，I
(9)A∧(B∨⌝B) T(8)，E
(10)A T(9)，E
二、（10分）甲、乙、丙、丁4个人有且仅有2个人参加围棋优胜比赛。
关于谁参加竞赛，下列4种判断都是正确的：
(1)甲和乙只有一人参加；
(2)丙参加，丁必参加；
(3)乙或丁至多参加一人；
(4)丁不参加，甲也不会参加。
请推出哪两个人参加了围棋比赛。
解符号化命题，设A：甲参加了比赛；B：乙参加了比赛；C：丙参加了比赛；D：丁参加了比赛。
依题意有，
(1)甲和乙只有一人参加，符号化为A⊕B⇔(⌝A∧B)∨(A∧⌝B)；
(2)丙参加，丁必参加，符号化为C→D；
(3)乙或丁至多参加一人，符号化为⌝(B∧D)；
(4)丁不参加，甲也不会参加，符号化为⌝D→⌝A。
所以原命题为：(A⊕B)∧(C→D)∧(⌝(B∧D))∧(⌝D→⌝A)
⇔((⌝A∧B)∨(A∧⌝B))∧(⌝C∨D)∧(⌝B∨⌝D)∧(D∨⌝A)
⇔((⌝A∧B∧⌝C)∨(A∧⌝B∧⌝C)∨(⌝A∧B∧D)∨(A∧⌝B∧D))∧((⌝B∧D)∨(⌝B∧⌝A)∨(⌝D∧⌝A))
⇔(A∧⌝B∧⌝C∧D)∨(A∧⌝B∧D)∨(⌝A∧B∧⌝C∧⌝D)⇔T
但依据题意条件，有且仅有两人参加竞赛，故⌝A∧B∧⌝C∧⌝D为F。
所以只有：(A∧⌝B∧⌝C∧D)∨(A∧⌝B∧D)⇔T，即甲、丁参加了围棋比赛。
三、（10分）指出下列推理中，在哪些步骤上有错误？为什么？给出正确的推理形式。
(1)∀x(P(x)→Q(x)) P
(2)P(y)→Q(y) T(1)，US
(3)∃xP(x) P
(4)P(y) T(3)，ES
(5)Q(y) T(2)(4)，I
(6)∃xQ(x) T(5)，EG
解 (4)中ES错，因为对存在量词限制的变元x引用ES规则，只能将x换成某个个体常元c，而不能将其改为自由变元。
所以应将(4)中P(y)改为P(c)，c为个体常元。
正确的推理过程为：
(1)∃xP(x) P
(2)P(c) T(1)，ES
(3)∀x(P(x)→Q(x)) P
(4)P(c)→Q(c) T(3)，US
(5)Q(c) T(2)(4)，I
(6)∃xQ(x) T(5)，EG
四、（10分）设A＝{a，b，c}，试给出A上的一个二元关系R，使其同时不满足自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。
解设R＝{<a，a>，<a，b>，<b，a>，<b，c>}，则
因为<b ，b >∉R ，R 不自反；
因为<a ，a >∈R ，R 不反自反；
因为<b ，c >∈R ，<c ，b >∉R ，R 不对称；
因为<a ，b >∈R ，<b ，a >∈R ，R 不反对称；
因为<b ，a >∈R ，<a ，b >∈R ，但<b ，b >∉R ，R 不传递。
五、（15分）设函数g ：A →B ，f ：B →C ，
(1)若f g 是满射，则f 是满射。
(2)若f g 是单射，则g 是单射。
证明 因为g ：A →B ，f ：B →C ，由定理5.5知，f g 为A 到C 的函数。
(1)对任意的z ∈C ，因f g 是满射，则存在x ∈A 使f g (x )＝z ，即f (g (x ))＝z 。
由g ：A →B 可知g (x )∈B ，于是有y ＝g (x )∈B ，使得f (y )＝z 。
因此，f 是满射。
(2)对任意的x 1、x 2∈A ，若x 1≠x 2，则由f g 是单射得f g (x 1)≠f g (x 2)，于是f (g (x 1))≠f (g (x 2))，必有g (x 1)≠g (x 2)。
所以，g 是单射。
六、（15分）设R 是集合A 上的一个具有传递和自反性质的关系，T 是A 上的关系，使得<a ，b >∈T ⇔<a ，b >∈R 且<b ，a >∈R ，证明T 是一个等价关系。
证明 因R 自反，任意a ∈A ，有<a ，a >∈R ，由T 的定义，有<a ，a >∈T ，故T 自反。
若<a ，b >∈T ，即<a ，b >∈R 且<b ，a >∈R ，也就是<b ，a >∈R 且<a ，b >∈R ，从而<b ，a >∈T ，故T 对称。
若<a ，b >∈T ，<b ，c >∈T ，即<a ，b >∈R 且<b ，a >∈R ，<b ，c >∈R 且<c ，b >∈R ，因R 传递，由<a ，b >∈R 和<b ，c >∈R 可得<a ，c >∈R ，由<b ，a >∈R 和<c ，b >∈R 可得<c ，a >∈R ，由<a ，c >∈R 和<c ，a >∈R 可得<a ，c >∈T ，故T 传递。
所以，T 是A 上的等价关系。
七、（15分）若<G ，*>是群，H 是G 的非空子集，则<H ，*>是<G ，*>的子群⇔对任意的a 、b ∈H 有a *b －1∈H 。
证明 必要性：对任意的a 、b ∈H ，由<H ，*>是<G ，*>的子群，必有b －1∈H ，从而a *b －1∈H 。
充分性：由H 非空，必存在a ∈H 。
于是e ＝a *a －1∈H 。
任取a ∈H ，由e 、a ∈H 得a －1＝e *a －1∈H 。
对于任意的a 、b ∈H ，有a *b ＝a *(b －1)－1∈H ，即a *b ∈H 。
又因为H 是G 非空子集，所以*在H 上满足结合律。
综上可知，<H ，*>是<G ，*>的子群。
八、（15分）(1)若无向图G 中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的。
(2)若有向图G 中只有两个奇数度结点，它们一个可达另一个结点或互相可达吗？
证明 (1)设无向图G 中只有两个奇数度结点u 和v 。
从u 开始构造一条回路，即从u 出发经关联结点u 的边1e 到达结点1u ，若)(1u d 为偶数，则必可由1u 再经关联1u 的边2e 到达结点2u ，如此继续下去，每条边只取一次，直到另一个奇数度结点为止，由于图G 中只有两个奇数度结点，故该结点或是u 或是v 。
如果是v ，那么从u 到v 的一条路就构造好了。
如果仍是u ，该回路上每个结点都关联偶数条边，而)(u d 是奇数，所以至少还有一条边关联结点u 的边不在该回路上。
继续从u 出发，沿着该边到达另一个结点'1u ，依次下去直到另一个奇数度结点停下。
这样经过有限次后必可到达结点v ，这就是一条从u 到v 的路。
(2)若有向图G 中只有两个奇数度结点，它们一个可达另一个结点或互相可达不一定成立。
下面有向图中，只有两个奇数度结点u 和v ，u 和v 之间都不可达。
u v w。