矩阵合同变换
矩阵的合同变换
矩阵的合同变换矩阵的合同变换摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。
在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。
关键词：矩阵 秩 合同 对角化定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ≅定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap-=，则称A 和B 相似A B :定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得T P AP B=那么就说，在数域F 上B 与A 合同。
以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、 性。
定理1：合同变换与相似变换都是等价变换 证明：仅证合同变换，相似变换完全相似 因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即12mP Q Q Q =L 。
此时711T T Tm n PQ Q Q -=L 边为一系列初等矩阵的乘积若111TTT T mn mB P AP Q QQ AQ Q -==L L 则B 由A 经过一系列初等变换得到。
所以A B ≅，从而知合同变换是等价变换。
定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵从而111()PQQP ---=又由于1111()()()QP QP T QP P TQT ----= 1()T T QP P TQ -=T QQ =1QQ -=E = 1QP -∴为正交矩阵 所以A B :且A B ≅定时5：两合同矩阵，若即PTAP B =，若A 为对称矩阵，则B 为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质证明：A B ≅即TP AP B =，若对称阵，则TAA=()T T TB P AP =T T P A P=TP AP = B =所以B 边为对称阵[注]：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢？引理6：对称矩阵相似于对角阵⇔A 的每一个特征根λ有秩||I A n s λ-=-，S 为λ的重数.证明：任给对称的n 阶矩阵A 一个特征根λ，以其重数以秩||I A r λ-=，则||r n s n r s I A λ=-⇔-=⇔-12000n x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M M ，线性无关的解向量个数为n r -个，即5个又因属不同特征根的特征向量线性无关⇔n 阶对称阵A 有n 个线性无关的特征向量 ⇔n 阶对称阵可对角化从定理5，引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点，如对二次型应用例 求一非线性替换，把二次型123122313(,,)262f x x x x x x x x x =-+二次型`23(,,)f x x x 矩阵为011103130A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦对A 相同列与行初等变换，对矩阵E ，施行列初等变换212103230A -⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦→200020006⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦100111110111001101E ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦112233113111001x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦可把二次型化为标准型222123123(,,)226f x x x y y y =-+解法（2）212103230A -⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦210102022⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦2001022022⎡⎤⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦2001002006⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦此时2221231231(,,)262f x x x zz z =-+此时非线性退化替换为11223311321112001x z x z x z ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦发现在注[1]：任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的特性1：在合同变换中具有变换和结果的多样性[注]：在对角阵上元素相等及其它元素元素边相等情况下又有哪些性质呢？例3．用可逆性变换化二次型222123123123123(,,)(2)(2)(2)f x x x x x x x x x x x x =-+++-+++-解：222112132233:666666f xx x x x x x x x --+-+对二次型矩阵为633363336A --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦10060060001099963300000022236399000336012216118100111121010102211801010102100100118A E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦E B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎥⎥⎥标准形2212f yy =+，则1122331618011801x y x y x y ⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦PTA B=[注]当P 改变两行的位置交换后，发现00016186 3 3100036310101818618336000001111⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎡⎤⎥⎥⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦定理2：在A 为对角线上元素相等，其余元素也相等，则若有TP AP B =，则调整P 的任意两行，对角阵形式不变。
矩阵的合同变换
矩阵的合同变换矩阵的合同变换是一种矩阵变换，它保持矩阵的本征值和本征向量不变。
在讨论矩阵的合同变换之前，我们先来了解一下矩阵的本征值和本征向量。
矩阵的本征值和本征向量是线性代数中非常重要的概念。
给定一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax = λx，其中λ为一个常数，那么λ就是矩阵A的一个本征值，相应的x就是对应于λ的一个本征向量。
矩阵的本征值和本征向量可以用于解决线性方程组、矩阵对角化等问题。
现在我们来讨论矩阵的合同变换。
设A和B是两个n阶矩阵，如果存在一个非奇异矩阵P，使得B = P^(-1)AP，那么称矩阵B是矩阵A的合同变换。
合同变换保持矩阵的本征值和本征向量不变。
接下来我们来证明这一结论。
假设x是矩阵A的一个本征向量，对应的本征值为λ，即Ax = λx。
那么根据矩阵的合同变换定义，我们有Bx = P^(-1)APx = P^(-1)λx = λP^(-1)x。
由于P是非奇异矩阵，所以P^(-1)也是非奇异矩阵，因此λP^(-1)x也是矩阵B的一个本征向量，对应的本征值也是λ。
所以合同变换保持矩阵的本征值和本征向量不变。
矩阵的合同变换可以通过矩阵的相似变换来理解。
如果矩阵A 和B相似，即存在一个非奇异矩阵P，使得B = P^(-1)AP，那么矩阵B是矩阵A的合同变换。
相似变换也保持矩阵的本征值和本征向量不变。
矩阵的合同变换有一些重要的特性。
首先，合同变换保持矩阵的对称性。
如果矩阵A是对称矩阵，即A = A^T，那么矩阵A 的任意合同变换B也是对称矩阵。
其次，合同变换保持矩阵的正定性。
如果矩阵A是正定矩阵，即对于任意非零向量x，都有x^TAx > 0，那么矩阵A的任意合同变换B也是正定矩阵。
最后，合同变换可以用于化简矩阵的计算。
通过矩阵的合同变换，我们可以将矩阵化为更简单的形式，从而方便进行计算。
总结起来，矩阵的合同变换是一种保持矩阵的本征值和本征向量不变的矩阵变换。
合同变换可以通过矩阵的相似变换来理解，并且保持矩阵的对称性和正定性。
矩阵的合同变换.doc
矩阵的合同变换.doc
在线性代数中，矩阵的合同变换是一种特殊的变换，它主要是指对于一个矩阵A进行相似变换，通过左乘或右乘一个可逆矩阵，得到一个新的矩阵B，B= PAP^-1 或 B= P^-1 AP，其中P是可逆矩阵。
矩阵的合同变换也是线性代数中研究的重要内容之一，对于理解其它线性代数概念和理论，有着重要的启示和作用。
1. 矩阵合同的定义
根据矩阵的合同定义，可以得出矩阵合同的性质：
（1）合同变换是矩阵的等价关系，即同一矩阵和相似矩阵彼此合同。
（2）矩阵的合同不改变矩阵的秩、特征值和行列式。
（4）矩阵的合同等价于斯密特标准形的转换。
矩阵合同变换和线性变换密切相关，它们都能用矩阵来表达。
通过矩阵乘法，可以将线性变换转化为矩阵运算，从而得到新的矩阵表示。
相应地，矩阵的合同变换可以看作是对矩阵所表示的线性变换进行变换。
矩阵的合同变换在实际应用中也有着非常广泛的应用，比如在计算机视觉领域，对图像进行合同变换可以实现图像处理和增强等一系列操作。
另外，在信号处理、通信系统设计等方面也是一个重要的概念。
总之，矩阵合同变换是矩阵相似变换的一种特殊情况，具有很多重要的性质，并且在实际应用中也有着广泛的应用。
通过深入了解矩阵的合同，可以帮助我们更好地理解线性代数中的许多重要概念及其应用，提高我们的数学素养和解决实际问题的能力。
矩阵的合同变换
矩阵的合同变换介绍矩阵的合同变换是线性代数中的一个重要概念，在实际应用中有着广泛的应用。
本文将从理论基础、矩阵相似性和合同变换的性质等方面进行全面、详细、完整且深入地探讨矩阵的合同变换。
理论基础1. 矩阵的定义在线性代数中，矩阵是由数按照矩形排列的矩形阵列。
一个m×n 矩阵是由 m 行n 列的矩形排列数字所组成的矩阵，其中每一个数字叫作矩阵的元素。
2. 矩阵的相似性矩阵的相似性是矩阵理论中的重要概念。
对于两个n×n 矩阵 A 和 B，如果存在一个n×n 矩阵 P 使得 PAP^-1 = B，那么称 A 和 B 是相似的，P 是相似变换矩阵。
•相似变换矩阵 P 是可逆矩阵，即存在矩阵 P^-1，使得 P^-1 P = PP^-1 = I，其中 I 是单位矩阵。
•相似的矩阵具有相同的特征值和特征向量。
3. 矩阵的合同变换矩阵的合同变换是另一个重要的矩阵变换。
对于两个n×n 矩阵 A 和 B，如果存在一个可逆矩阵 P 使得 P^TAP = B，那么称 A 和 B 是合同的，P 是合同变换矩阵。
合同变换和相似变换的不同之处在于，合同变换是在矩阵 A 的转置上进行的。
矩阵的合同变换的性质矩阵的合同变换具有一些重要的性质，下面将对这些性质进行详细介绍：1. 合同变换的保持特征值的性质如果 A 和 B 是合同矩阵，即存在一个可逆矩阵 P 使得 P^TAP = B，则 A 和 B具有相同的特征值。
这个性质与矩阵的相似性保持特征值的性质是相似的。
2. 合同变换的保持矩阵的秩的性质如果 A 和 B 是合同矩阵，即存在一个可逆矩阵 P 使得 P^TAP = B，则 A 和 B的秩相等。
这一性质保证了合同变换不改变矩阵的秩。
3. 合同变换的保持正定性和半正定性的性质如果 A 和 B 是合同矩阵，即存在一个可逆矩阵 P 使得 P^TAP = B，则 A 和 B的正定性和半正定性保持不变。
合同变换矩阵
合同变换矩阵合同变换矩阵是在线性代数中使用的一种数学工具，用于将一个坐标系中的向量转换到另一个坐标系中。
它在计算机图形学、机器人学和计算物理等领域具有重要的应用。
本文将介绍合同变换矩阵的定义、性质和常见应用。
合同变换矩阵是一个4x4的矩阵，用于描述从一个坐标系到另一个坐标系的变换。
它的一般形式如下：\[M = \begin{bmatrix}R & T \\0 & 1\end{bmatrix}\]其中，R是一个3x3的旋转矩阵，T是一个3维向量，表示平移向量。
通过合同变换矩阵，可以对一个向量进行平移、旋转和缩放等变换操作。
合同变换矩阵的性质有很多，下面列举几个常见的性质：1. 合同变换矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵。
即，如果M是一个合同变换矩阵，那么M的逆矩阵为M的转置矩阵。
2. 合同变换矩阵的第一列是坐标系的x轴方向，第二列是y轴方向，第三列是z轴方向，第四列是平移向量。
换句话说，合同变换矩阵的前三列是旋转的部分，第四列是平移的部分。
3. 合同变换矩阵的乘法满足结合律。
即，对于合同变换矩阵A、B和C，(AB)C = A(BC)，其中，AB表示A和B的矩阵乘法。
合同变换矩阵在计算机图形学中有广泛的应用。
例如，当我们需要将一个三维模型渲染到屏幕上时，需要对模型进行平移和旋转操作，这就可以通过合同变换矩阵来实现。
另外，合同变换矩阵也可以用于动画和物理模拟中，用于描述物体的运动和变形。
除了计算机图形学，合同变换矩阵还有其他的应用。
在机器人学中，合同变换矩阵用于描述机器人的位置和朝向，从而帮助机器人进行定位和导航。
在计算物理中，合同变换矩阵可以用于描述粒子的运动和变形，从而对物理现象进行模拟和计算。
总而言之，合同变换矩阵是在线性代数中使用的一种重要工具，用于描述从一个坐标系到另一个坐标系的变换。
它具有一些重要的性质，可以在计算机图形学、机器人学和计算物理等领域中得到广泛的应用。
通过合同变换矩阵，我们可以实现对向量的平移、旋转和缩放等操作，从而实现各种复杂的图形和动画效果。
矩阵的合同变换的定义与性质
矩阵的合同变换的定义与性质英文回答：Definition of Congruence Transformation:A congruence transformation, also known as a congruence or similarity transformation, is a type of transformation that preserves the shape and size of a matrix. In other words, it is a transformation that does not change the angles or lengths of the vectors in the matrix.Properties of Congruence Transformations:1. Preservation of Shape: A congruence transformation preserves the shape of the matrix. This means that the transformed matrix has the same number of rows and columns as the original matrix.For example, let's consider a 2x2 matrix:Original matrix: A = [1 2][3 4]If we apply a congruence transformation to this matrix by multiplying it by a 2x2 matrix B, the resulting matrix C will also have 2 rows and 2 columns:Transformed matrix: C = B A = [a b][c d]2. Preservation of Size: A congruence transformation also preserves the size of the matrix. This means that the transformed matrix has the same determinant as the original matrix.For example, let's consider the same 2x2 matrix A as before. If we apply a congruence transformation to this matrix, the determinant of the transformed matrix C will be the same as the determinant of the original matrix A:det(C) = det(B A) = det(B) det(A) = det(A)。
矩阵的合同变换
矩阵的合同变换合同变换是指通过某种矩阵运算将一个矩阵转换成另一个矩阵的过程。
在数学和物理学中，合同变换在矩阵分析、线性代数和量子力学等领域中具有重要的应用。
在矩阵的合同变换中，我们关注的是通过左乘和右乘一个非奇异矩阵来转换矩阵。
如果一个矩阵A可以通过这种方式转换成矩阵B，我们就说A和B是合同的，记作A ≈ B。
这里非奇异矩阵是指矩阵的行列式不为零。
具体来说，设A和B分别是n阶方阵，如果存在一个非奇异矩阵P使得A = PBP^T，其中P^T表示P的转置矩阵，那么我们就说A和B是合同的。
这个过程被称为合同变换，其中P被称为合同矩阵。
合同变换具有以下几个性质：1. 反身性：对于任意的矩阵A，A ≈ A，即任意矩阵都是与自身合同的；2. 对称性：如果A ≈ B，那么B ≈ A，即合同变换是可逆的；3. 传递性：如果A ≈ B，B ≈ C，那么A ≈ C，即合同变换是具有传递性的。
合同变换在矩阵分析中具有重要的性质和应用。
首先，合同变换保持矩阵的秩不变。
也就是说，如果A ≈ B，那么矩阵A和B的秩是相等的。
这个性质对于矩阵的秩分解、矩阵的相似变换等问题有重要的应用。
其次，合同变换保持矩阵的本征值不变。
也就是说，如果A ≈ B，那么矩阵A和B具有相同的本征值。
这个性质对于矩阵的特征值计算、矩阵的对角化等问题有重要的应用。
此外，合同变换在物理学中也有重要的应用。
在量子力学中，态矢量可以通过合同变换进行变换。
合同变换保持态矢量的内积不变，这个性质在量子测量、态的变换等问题中具有重要的应用。
综上所述，矩阵的合同变换是通过左乘和右乘一个非奇异矩阵来转换矩阵的过程。
合同变换具有反身性、对称性和传递性等性质，在矩阵分析、线性代数和量子力学等领域中具有重要的应用。
通过合同变换，我们可以保持矩阵的秩不变，保持矩阵的本征值不变，以及保持态矢量的内积不变。
矩阵的合同变换
矩阵的合同变换矩阵的合同变换是一种特殊的线性变换，它可以用来研究矩阵的性质和结构。
在矩阵的合同变换中，矩阵的行和列分别被乘以同一个非零实数。
这样就可以保持矩阵的迹和行列式不变，同时改变矩阵的特征值和特征向量。
下面就让我们来详细了解一下矩阵的合同变换吧。
一、什么是矩阵的合同变换？矩阵的合同变换是将一个矩阵左乘和右乘同一个非零实数的变换。
如果把矩阵的行看作列向量，矩阵的列看作行向量，那么矩阵的合同变换就是对矩阵的所有行和列进行相同的缩放，从而保持行列式和迹不变。
因此，合同变换可以看作是对矩阵进行一种拉伸或压缩，并不改变矩阵的性质。
二、例如例如，对于如下矩阵：A = [1 23 4]我们可以进行一次合同变换，将其左乘和右乘相同的因子 2，得到一个新的矩阵：B = [2 46 8]可以看到，矩阵 B 是矩阵 A 的合同变换，它的行和列分别是矩阵 A 行和列的两倍。
虽然行列式和迹保持不变，但特征值和特征向量发生了改变。
三、矩阵的合同变换有哪些性质？1、行列式不变：矩阵的合同变换不改变矩阵的行列式。
2、迹不变：矩阵的合同变换不改变矩阵的迹。
3、特征值和特征向量会发生改变：矩阵的合同变换会改变矩阵的特征值和特征向量。
4、对称矩阵不变：对称矩阵的合同变换仍是对称矩阵。
5、正定矩阵不变：正定矩阵的合同变换仍是正定矩阵。
6、合同矩阵等价：两个矩阵 A 和 B 是合同矩阵等价的，当且仅当存在一个可逆矩阵 P，使得 A = P^T B P。
四、如何使用矩阵的合同变换？矩阵的合同变换可以用来研究矩阵的性质和结构，同时可以用来简化矩阵运算。
例如，可以利用合同变换将一个矩阵对角化，从而求解特征值和特征向量。
此外，合同变换还可以用来确定两个矩阵是否相似，以及计算两个矩阵的相似矩阵。
总之，矩阵的合同变换是一种重要的线性变换，它可以用来研究矩阵的性质和结构，同时可以简化矩阵运算。
希望本文能够帮助读者更好地了解和应用矩阵的合同变换。
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矩阵的合同变换摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。
在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。
关键词：矩阵 秩 合同 对角化定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ≅定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=，则称A 和B 相似A B定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得T P AP B =那么就说，在数域F 上B 与A 合同。
以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、 性。
定理1：合同变换与相似变换都是等价变换 证明：仅证合同变换，相似变换完全相似因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即12m P Q Q Q = 。
此时711T T Tm n P Q Q Q -= 边为一系列初等矩阵的乘积若111T T T T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变换得到。
所以A B ≅，从而知合同变换是等价变换。
定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩证明：由 知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩 定理3：相似矩阵有相同特征多项式 证明：共1A B B P AP -=1||det ||del I B I P AP λλ--=-又因为I λ为对称矩阵所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=- 1||||||P I A P λ-=-||I A λ=-注①合同不一定有相同特征多项式定理4：如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同特征根，则A 与B 相似且合同 论：设A ，B 为特征根均为12,n λλλ ，因为A 与B 实对称矩阵，所以则在n 阶正 矩阵，,Q P 使得112[]Q AQ λλ-= 11[]n P BP λλ-=从而有11Q AQ P BP --=11PQ AQP B -=由11Q Q E PP E --==从而有1111PQ QP PEP PP E ----=== 从而111()PQ QP ---=又由于1111()()()QP QP T QP P TQT ----= 1()T T QP P TQ -=T QQ = 1QQ -=E =1QP -∴为正交矩阵所以A B 且A B ≅定时5：两合同矩阵，若即PTAP B =，若A 为对称矩阵，则B 为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质证明：A B ≅即T P AP B =，若对称阵，则T A A =()T T T B P AP =T T P A P = T P A P = B =所以B 边为对称阵[注]：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢？引理6：对称矩阵相似于对角阵⇔A 的每一个特征根λ有秩||I A n s λ-=-，S 为λ的重数.证明：任给对称的n 阶矩阵A 一个特征根λ，以其重数以秩||I A r λ-=，则||r n s n r s I A λ=-⇔-=⇔-12000n x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，线性无关的解向量个数为n r -个，即5个又因属不同特征根的特征向量线性无关⇔n 阶对称阵A 有n 个线性无关的特征向量 ⇔n 阶对称阵可对角化从定理5，引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点， 如对二次型应用例 求一非线性替换，把二次型123122313(,,)262f x x x x x x x x x =-+二次型`23(,,)f x x x 矩阵为011103130A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦对A 相同列与行初等变换，对矩阵E ，施行列初等变换212103230A -⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦→200020006⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦100111110111001101E ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦112233113111001x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦可把二次型化为标准型222123123(,,)226f x x x y y y =-+ 解法（2）212103230A -⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦210102022⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦2001022022⎡⎤⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦2001002006⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦此时2221231231(,,)262f x x x z z z =-+ 此时非线性退化替换为11223311321112001x z x z x z ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦发现在注[1]：任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的 特性1：在合同变换中具有变换和结果的多样性[注]：在对角阵上元素相等及其它元素元素边相等情况下又有哪些性质呢？ 例3．用可逆性变换化二次型222123123123123(,,)(2)(2)(2)f x x x x x x x x x x x x =-+++-+++-解：222112132233:666666f x x x x x x x x x --+-+ 对二次型矩阵为633363336A --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦1006006000109996330000002223639900033601221100111121010102210101010201001001A E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=→→→⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦E B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎥⎥⎥标准形2212f y y =+，则112233101001x y x y x y ⎤⎥⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦PTA B =[注]当P 改变两行的位置交换后，发现00016 3 310003631010336000001111⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎡⎤⎥⎥⎢⎥⎢⎥--=⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦定理2：在A 为对角线上元素相等，其余元素也相等，则若有T P AP B =，则调整P 的任意两行，对角阵形式不变。
证明：设初等变换的对调变换矩阵为J ，显然T T T J J E J AJ JAJ A ===于是有()()()()()()t T T T T T T T B P AP P EAEP P J J A J J P JP JA JP JP A JP =====而P 与JP 相比仅是行的排列顺序不同， 因此任意调整P 的行，所得对角阵相同。
[注]以上为特殊条件下成立，如果在一般情况下呢？例4．求实对称矩阵220212020A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求可逆阵P 使得T P AP 为对角阵3221213222220200200212012010020020004100110112010010012010101c c c c r r r r A E -++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎡⎤=−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1112400112010001002T P P AP BB -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦121121100P -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦我们得到11TP AP B = 定理7：设,T P A P B A =对称矩阵，B 为对角矩阵，若要调换B 对角线上任意两个元素的位置得到1B ，则只要调控B 中对左的两列，可得到P ，使得11TP AP B =，即P 的列与B中元素的对应性。
证明：初等调换矩阵为J ，显然T J J =1111()()T T T T B J BJ J P APJ PJ A PJ P AP ====P ∴与1P 相比，只是列的排列顺序发生了改变 P ∴的列与B 的对角线上元素具有对应性自己写例定理8：如果对角线上的元素分别扩大22212,,nC C C -得2B ，则不要将P 中对应的对应角线元素扩大11C ，即可得到2P 使得222T P AP B =证明：设初等变换的倍乘变换矩阵为2J （2J 对角线上第J 个元素1C ）形1221C J C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则有22222()T T B J BJ J J ==2222211()T T T TB J P PJ PJ J APJ P AP ===2B ∴中第J 个元素为B 的21C 倍而22P PJ =，且其2P 中对角线J 个元素是P 中对角线元素CJ 倍。
例：已知对称矩阵1211211311311310A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦求可逆矩阵P ，使T P AP 且对角形式 解10111001031103111131012211101120A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦1000100010000301030003117770001220003330121700030113⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦---⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦对单位阵E 进行相应列初等变换得11223101030011001E P ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦则有1313733T P AP ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 141111B E ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦则此时有111223100300100P ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎢⎢⎣得111T P AP B = 综上所述合同变换不仅与相似变换有着某千丝万缕的联系，而且其本身也有着变换矩阵多样多样，和结果的不确性，在对其特 性与性质的联系中带来许多解题更多思路与方法。
主要参考文献[1]北大数学系，高等代数第二版[2]上海交大线性代数编写。
线性代数（第三版）[M] [3]张禾瑞 高等代数[M][4]付立志《对称矩阵对角化相似变换模型》 [5]王晓玲《矩阵三种关系问联系》[6] Brickell EF A Few Results in message Autheutication congress Numerantium 1984 43 141－154矩阵的合同变换及性质定义：设A ，B 是数域F 上两个阶矩阵，如果存在一个阶可逆矩阵P 使得T B P AP =成立，那么 B 与A 合同特性：合同变换具有模型化，程序化的简便性。