数学八年级下册《 公式法》省优质课一等奖教案
北师大版八年级数学下册4.3《公式法》优质教案
《公式法》教案教学目标一、知识与技能了解平方差公式、完全平方公式的特点，掌握平方差公式与完全平方公式的结构特征，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式将多项式因式分解.二、过程与方法培养学生的观察和联想能力，进一步了解换元的思想方法，通类比的方法，运用平方差公式与完全平方公式因式分解.三、情感态度和价值观积极参加探索活动，并在此过程中培养自己勇于挑战的勇气和战胜困难的自信心.教学重点：正确熟练地运用平方差公式与完全平方公式因式分解.教学难点：把多项式进行适当的变形，灵活运用平方差公式与完全平方公式因式分解. 教学过程：一、导入新课提出问题：1. 多项式的分解因式的概念：2. 公因式的含义、提公因式法分解因式；3. 分解因式与整式乘法关系：4.整式的乘法公式有哪些?学生回忆回答上述问题.前面我们学习了用提取公因式法因式分解，这节课我们学习另外一种方法---公式法因式分解.二、新课学习（一）探究用平方差公式因式分解1、想一想（1）观察多项式x2-25 和9x2-y2，它们有什么共同特征？（2）尝试将它们分别写成两个因式的乘积.师生共同分析：多项式x2-25和9x2-y2都可以写成两个式子的平方差的形式：x2-25=x2-52，9x2-y2 =(3x)2-y2把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来，就得到a2-b2=(a+b)(a-b)，于是有：x2-25=x2-52=(x+5)(x-5)；9x2-y2 =(3x)2-y2=(3x+y)(3x-y).2、归纳总结：(a+b)(a-b)=a²-b²a²-b² = (a+b)(a-b)（整式乘法）（因式分解）特点：(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（）２－（）２的形式.(2) 公式右边：（是分解因式的结果）★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式.3、学以致用例1、把下列各式分解因式：（1）25-16x2（2）9a2- b2分析：先确定a与b学生根据分析，自主完成解题过程解：（1）25-16x2=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x).（2）9a2- b2=(3a)2-(b)2=(3a+b)(3a-b)例2 把下列各式分解因式：（1）9(m+n)2-(m-n)2 （2）2x3-8x分析：（1）把括号看作一个整体；（2）先提出这个公因式学生根据分析，自主完成解题过程解：（1）9(m+n)2-(m-n)2=[3(m+n)]2-(m-n)2=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)=(4m+2n)(2m+4n)=4(2m+n)(m+2n)（2）2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x2-22)=2x(x+2)(x-2)归纳：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.（二）探究完全平方公式因式分解1、把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就得到：（整式乘法）a2+2ab+b2 = (a+b)2，a2-2ab+b2 = (a-b)2（因式分解）形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.2、归纳：（1）完全平方式的特点：“头”平方, “尾”平方, “头”“尾”两倍中间放.（2）公式法定义：由分解因式与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来,那么就可以把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.3、学以致用例3、把下列完全平方式分解因式：(1)x2+14x+49；(2) (m+n)2-6(m+n)+9.分析：找到完全平方式中的“头”和“尾”，确定中间项的符号。
数学八年级下册《 公式法》省优质课一等奖教案
《因式分解》教学设计4.3公式法（一）一、教材依据北师大版八年级数学下册第四章因式分解3.公式法（一）平方差公式二、设计思路1、从教材的地位与作用看：（1）本节课的主要内容是运用平方差公式进行因式分解。
（2）它是在学生学习了整式乘法和乘法公式以及实数的基础上，学习了提取公因式法分解因式的基础上，运用逆向思维把平方差公式逆过来，应用到特殊两项式的因式分解上。
（3）是对因式分解中出现的特殊两项式的归纳总结。
从一般到特殊的认识过程的范例。
（4）它在应用过程中的几种特殊形式是培养学生探索、合作、观察、分析和创新能力，以及深化逆向思维能力，数学应用意识和整体思想的很好载体。
2、从学生学习过程的角度看（1）学生七年级下半年学习了整式乘法和乘法公式，八年级上学期学习了实数。
具备了学习用平方差公式进行特殊两项式的因式分解的知识结构。
（2）由于学生初次学习用公式法因式分解，认清公式的结构和符号特征是难点，因此不宜延伸拔高太大（比如：公式中的字母a、b为复杂三项式、多次幂、以及无理数等），以防干扰学生的正常思维，造成对平方差公式因式分解的错误认识。
不能急于求成一步到位，指望把所有问题都在这一节课里解决。
要遵循循序渐进的原则，拔高内容可以作为有余力学生的研究题目。
（3）学生本课学习过程中出现的错误，迸发出的思维火花，情感等都是本节课较好的教学资源。
3、从学法和教法的角度看（1）本节课的教学方法涉及思路是要改变长期以来主宰课堂的“以教师讲为中心”的教法为“以学生的学为中心”的教学法，主要体现以学生自主、合作、探究为主的教学思想。
让学生真正成为课堂的主人。
（2）把竞争机制引入课堂，调动学生学习的积极性。
以小组为单位回答问题，做题都累计加分，开展竞赛活动，调动学生的积极性。
（3）让学生在亲自体验知识的发生发展过程中去学习知识。
掌握知识、从而达到不仅知其然还要知其所以然。
避免学生死记硬背套公式，一问“为什么这样做？”便不知所措。
初中数学 导学案：公式法 一等奖
2、将下列各式因式分解
（1）3ax2+6axy+3ay2（2）–x2–4y2+4xy
自我挑战
1、判断正误：
（1）x2+y2=（x+y）2（ ）
（2）x2–y2=（x–y）2（ ）
（3）x2–2xy–y2=（x–y）2（ ）
（4）–x2–2xy–y2=–（x+y）2（ ）
2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：
便得到用完全平方公式分解因式的公式
1、下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4； （2）x2+4x+4y2；
（3）4a2+2ab+ b2；（4）a2－ab+b2；
（5）x2－6x－9； （6）a2+a+
2、把下列完全平方式分解因式：
（1）x2+14x+49（2）（m+n）2－6（m+n）+9．
（1）x2–x+ （2）9a2b2–3ab+1（3）
（4） （5）4–m2（6）9m2–4n2（7）a2b2－m2
堂清试题
把下列各式因式分解：
（1）m2–12mn+36n2（2）16a4+24a2b2+9b4
（3）–2xy–x2–y2（4）4–12（x–y）+9（x–y）2
（5）（m－a）2－（n＋b）2（6）–16x4＋81y4
自我总结
预留作业
课本第103页知识技能第1、2题．
导学反思
3、观察下列哪些式子是完全平方式？如果是，请将它们进行因式分解．
（1）x2–4y2（2）x2+4xy–4y2
数学八年级下册《 公式法》省优质课一等奖教案
3公式法经历平方差公式,完全平方公式逆向运算的推导过程,使学生理解用公式法因式分解的意义,掌握每个公式的特点,使学生熟练地运用公式法将多项式进行因式分解.熟练掌握各个乘法公式的模式.观察多项式的项数,是二项的,有可能可用平方差公式;是三项的,则有可能可用完全平方公式,并且要正确确定公式中的项.培养学生分析问题的能力,这种能力实质上是一种特殊技巧,需要通过学生自己的实践来获得.【重点】掌握因式分解的三个公式的特点,牢固地记住这些公式.【难点】根据要分解的多项式的形式和特点,熟练地运用公式进行因式分解.第课时1.理解平方差公式的本质:结构的不变性,字母的可变性.2.会用平方差公式进行因式分解.3.使学生了解提公因式法是因式分解首先考虑的方法,再考虑用公式法分解.经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,发展学生的逆向思维,渗透数学的互逆、换元、整体的思想,感受数学知识的完整性.在探究的过程中培养学生独立思考的习惯,在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法,在解决问题的过程中让学生深刻感受到数学的价值.【重点】掌握运用平方差公式分解因式的方法.【难点】用平方差公式分解因式;培养学生多步骤分解因式的能力.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习有关提公因式法分解因式的知识.导入一:【问题】填空.(1)(x+5)(x-5)=;(2)(3x+y)(3x-y)=;(3)(3m+2n)(3m-2n)=.它们的结果有什么共同特征?尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积:(1)x2-25=;(2)9x2-y2=;(3)9m2-4n2=.[设计意图]学生通过观察、对比,把整式乘法中的平方差公式进行逆向应用,发展学生的观察能力与逆向思维能力.导入二:在前两节课中我们学习了因式分解的定义,即把一个多项式分解成几个整式的积的形式,还学习了提公因式法分解因式,即如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成几个因式乘积的形式.如果一个多项式的各项不都含有相同的因式,是否就不能分解因式了呢?当然不是,只要我们记住因式分解是整式乘法的逆过程,就能利用这种关系找到新的因式分解的方法,本节课我们就来学习另外一种因式分解的方法——公式法.[设计意图]复习之前学过的知识后,提出疑问,直接引入新课,开门见山,激发学生的学习兴趣.一、用平方差公式分解因式请看乘法公式:(a+b)(a-b)=a2-b2. (1)左边是整式乘法,右边是一个多项式,把这个等式反过来就是:a2-b2=(a+b)(a-b). (2)左边是一个多项式,右边是整式的乘积.大家判断一下,第二个式子从左边到右边是否为因式分解?符合因式分解的定义,因此是因式分解.等式(1)是整式乘法中的平方差公式,等式(2)可以看做是因式分解中的平方差公式.a2-b2是一个二项式,每项都可以化成整式的平方,整体来看是两个整式的平方差.如果一个二项式,它能够化成两个整式的平方差的形式,那么就可以用平方差公式分解因式,将多项式分解成两个整式的和与差的积.如:x2-16=x2-42=(x+4)(x-4);9m2-4n2=(3m)2-(2n)2=(3m+2n)·(3m-2n).[设计意图]让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征,并能利用相关结论进行实例练习.二、例题讲解(教材例1)把下列各式因式分解:(1)25-16x2;(2)9a2-b2.解:(1)25-16x2=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x).(2)9a2-b2=(3a)2-=3a+b·3a-b.(教材例2)把下列各式因式分解:(1)9(m+n)2-(m-n)2;(2)2x3-8x.解:(1)9(m+n)2-(m-n)2=[3(m+n)]2-(m-n)2=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)=(4m+2n)(2m+4n)=4(2m+n)(m+2n).(2)2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x+2)(x-2).说明:教材例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方,利用平方差公式分解因式;教材例2的(1)是把一个二项式化成两个多项式的平方差,然后用平方差公式分解因式,教材例2的(2)是先提取公因式,然后再用平方差公式分解因式,由此可知,当一个题中既要用提公因式法,又要用公式法分解因式时,首先要考虑提公因式法,再考虑公式法.[设计意图]教师讲解例题,明确思维方法,给出书写范例.平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).我们已学习过的因式分解的方法有提公因式法和平方差公式法.如果多项式各项含有公因式,那么第一步是提公因式,然后看是否符合平方差公式的结构特点,若符合则继续进行.分解因式以后,若所含的多项式还可以继续分解,则需要进一步分解因式,直到每个多项式都不能分解为止.1.下列因式分解正确的是 ()A.x2+y2=(x+y)(x-y)B.x2-y2=(x+y)(x-y)C.x2+y2=(x+y)2D.x2-y2=(x-y)2解析:x2+y2不能在有理数范围内因式分解,x2-y2=(x+y)(x-y).故选B.2.分解因式:a3-4a=.解析:a3-4a=a(a2-4)=a(a+2)(a-2).故填a(a+2)(a-2).3.(恩施中考)因式分解:9bx2y-by3=.解析:原式=by(9x2-y2)=by(3x+y)(3x-y).故填by(3x+y)(3x-y).4.已知x2-y2=69,x+y=3,则x-y=.解析:因为x2-y2=69,所以(x+y)(x-y)=69,因为x+y=3,所以3(x-y)=69,所以x-y=23.故填23.5.分解因式:(3a-2b)2-(2a+3b)2.解:(3a-2b)2-(2a+3b)2=[(3a-2b)+(2a+3b)][(3a-2b)-(2a+3b)]=(3a-2b+2a+3b)(3a-2b-2a-3b)=(5a+b)(a-5b).第1课时一、用平方差公式分解因式二、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第100页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第100页习题4.4的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列各式中能用平方差公式分解因式的是 ()A.4x2+y2B.-a2+81C.-25m2-n2D.p2-2p+12.一个多项式分解因式的结果是(b3+2)(2-b3),那么这个多项式是 ()A.b2-4B.4-b6C.b6+4D.4-b93.(孝感中考)分解因式:(a-b)2-4b2=.4.(鄂州中考)分解因式:a3b-4ab=.【能力提升】5.在括号内填上适当的因式.(1)36-9x2=9()();(2)16a2-1=()().【拓展探究】6.把下列各式分解因式:(1)4x2-25y2; (2)x2y-y;(3)4x2-(y-z)2; (4)(x+2)2-9.【答案与解析】1.B2.B(解析:这个多项式是22-(b3)2=4-b6.故选B.)3.(a+b)(a-3b)(解析:原式=(a-b+2b)(a-b-2b)=(a+b)(a-3b).故填(a+b)(a-3b).)4.ab(a+2)(a-2)(解析:原式=ab(a2-4)=ab(a+2)(a-2).故填ab(a+2)(a-2).)5.(1)2+x 2-x (2)4a+14a-16.解:(1)4x2-25y2=(2x+5y)(2x-5y).(2)x2y-y=y(x2-1)=y(x+1)(x-1).(3)4x2-(y-z)2=(2x)2-(y-z)2=(2x+y-z)(2x-y+z).(4)(x+2)2-9=(x+2+3)(x+2-3)=(x+5)(x-1).本节课的教学设计借助学生已有的整式乘法运算的基础,给学生留有充分探索与交流的时间和空间,让他们经历从整式乘法到因式分解的转换过程,并能用符号合理地表示出分解因式的关系式,同时感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性.课堂中的布局有待提高,以后应最大限度地发挥学生的主体作用.部分例题可以交给学生独立完成,不能完全由老师来操办.有意识地培养学生逆向思考问题的习惯,不仅对提高解题能力有益,更重要的是可以改善学生学习数学的思维方式,有助于形成良好的思维习惯,激发学生的创新开拓精神,培养良好的思维习惯,提高学习效果、学习兴趣及思维能力和整体素质.随堂练习(教材第100页)1.(1)✕(2)√(3)✕(4)✕2.解:(1)原式=(ab+m)(ab-m).(2)原式=[(m-a)+(n+b)][(m-a)-(n+b)]=(m-a+n+b)(m-a-n-b).(3)原式=[x+(a+b-c)][x-(a+b-c)]=(x+a+b-c)(x-a-b+c).(4)原式=81y4-16x4=(9y2)2-(4x2)2=(9y2+4x2)(9y2-4x2)=(9y2+4x2)(3y+2x)·(3y-2x).3.解:剪去前正方形的面积为a2 cm2,剪掉的4个小正方形的面积和为4b2 cm2,所以剩余部分的面积为a2-4b2=(a+2b)(a-2b)(cm2).当a=3.6,b=0.8时,剩余部分的面积为(3.6+2×0.8)(3.6-2×0.8)=10.4(cm2).习题4.4(教材第100页)1.解:(1)原式=(a+9)(a-9). (2)原式=(6+x)·(6-x). (3)原式=(1+4b)(1-4b).(4)原式=(m+3n)(m-3n).(5)原式=(0.5q+11p)·(0.5q-11p).(6)原式=(13x+2y)(13x-2y). (7)原式=(3ap+bq)(3ap-bq). (8)原式=. 2.解:(1)(m+n)2-n2=(m+n+n)(m+n-n)=m·(m+2n).(2)49(a-b)2-16(a+b)2=[7(a-b)]2-[4(a+b)]2=[7(a-b)+4(a+b)][7(a-b)-4(a+b)]=(7a-7b+4a+4b)(7a-7b-4a-4b)=(11a-3b)(3a-11b).(3)(2x+y)2-(x+2y)2=[(2x+y)+(x+2y)][(2x+y)-(x+2y)]=(3x+3y)(x-y)=3(x+y)(x-y).(4)(x2+y2)2-x2y2=(x2+y2+xy)(x2+y2-xy).(5)3ax2-3ay4=3a(x2-y4)=3a(x+y2)·(x-y2).(6)p4-1=(p2+1)(p2-1)=(p2+1)(p+1)(p-1).3.解:S环形=πR2-πr2=π(R2-r2)=π(R+r)(R-r).当R=8.45,r=3.45,π取3.14时,S环形≈3.14×(8.45+3.45)×(8.45-3.45)=3.14×11.9×5=186.83(cm2).答:它们所围成的环形的面积为186.83 cm2.学生在上几节课的基础上,已经基本了解了整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系,在七年级的整式乘法运算的学习过程中,学生已经学习了平方差公式,这为今天的学习提供了必要的基础.学生对类比思想,数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础,本节课采用的活动方法是学生较为熟悉的观察、对比、讨论等方法,学生有较好的活动经验.是否存在一个满足下列条件的正整数,当它加上98时是一个完全平方数,当它加上121时是另一个完全平方数?若存在,请求出该数;若不存在,请说明理由.解:假设存在这样的正整数m,则由题意得②-①得y2-x2=23.所以(y+x)(y-x)=23.则有四种情况:解得所以m=x2-98=121-98=23.第课时1.使学生了解运用公式法分解因式的意义.2.会用公式法(直接用公式不超过两次)分解因式(字母指数是正整数).3.使学生清楚地知道提公因式法是因式分解首先考虑的方法,然后再考虑用平方差公式或完全平方公式进行因式分解.经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用完全平方公式分解因式的方法的过程,发展学生的逆向思维和推理能力.1.通过与因数分解的类比,让学生感悟数学中数与式的共同点,体验数学的类比思想.2.通过对公因式是多项式时的因式分解的教学,培养“换元”的意识.【重点】掌握多步骤、多方法分解因式的过程.【难点】学会观察多项式的特点,恰当地安排步骤,恰当地选用不同方法分解因式.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习有关完全平方公式的知识.导入一:因式分解是整式乘法的逆过程,逆用乘法公式,我们找到了因式分解的两种方法:提公因式法、运用平方差公式法.还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢?在前面我们不仅学习了平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,而且还学习了完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.本节课,我们就要学习用完全平方公式分解因式.由因式分解和整式乘法的关系,大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢?将完全平方公式倒写:a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2.由此便得到用完全平方公式分解因式的公式.[设计意图]回顾完全平方公式,直入主题,将完全平方公式倒置得到新的分解因式的方法.导入二:1.什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?解:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提公因式法及运用平方差公式法.2.把下列各式分解因式:(1)ax4-ax2 ;(2)16m4-n4.解:(1)ax4-ax2=ax2(x2-1)=ax2(x+1)(x-1).(2)16m4-n4=(4m2)2-(n2)2=(4m2+n2)(4m2-n2)=(4m2+n2)(2m+n)(2m-n).3.我们学过的乘法公式除了平方差公式之外,还有哪些公式?解:有完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.[设计意图]通过复习以前学过的知识自然地导入用完全平方公式分解因式.一、用完全平方公式分解因式和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样,把完全平方公式反过来,就得到:a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2.从上面的式子来看,两个等式的左边都是三项,其中两项符号为“+”,是一个整式的平方,还有一项符号可“+”可“-”,它是那两个整式乘积的2倍.凡具备这些特点的三项式,就是一个二项式的完全平方,将它写成平方形式,便实现了因式分解.上面式子左边的特点:(1)多项式是三项式;(2)其中有两项同号,且这两项能写成数或式的平方的形式;(3)另一项是这两数或两式乘积的2倍.上面式子右边的特点:这两数或两式和(或差)的平方.用语言叙述为:两个数的平方和,加上(或减去)这两数的乘积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.由因式分解与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式因式分解,这种因式分解的方法叫做公式法.[设计意图]加深学生对完全平方式特征的理解,为后面的因式分解做铺垫.二、例题讲解(教材例3)把下列完全平方式因式分解:(1)x2+14x+49;(2)(m+n)2-6(m+n)+9.〔解析〕首先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式,然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式.解:(1)x2+14x+49=x2+2×7x+72=(x+7)2.(2)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n)2-2×(m+n)×3+32=[(m+n)-3]2=(m+n-3)2.(教材例4)把下列各式因式分解:(1)3ax2+6axy+3ay2;(2)-x2-4y2+4xy.〔解析〕对一个三项式,首先要仔细观察它是否有公因式,若有公因式,则应先提取公因式,再考虑用完全平方公式分解因式.如果三项中有两项能写成两数或式的平方,但符号不是“+”号时,可以先提取“-”号,然后再用完全平方公式分解因式.解:(1)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2.(2)-x2-4y2+4xy=-(x2-4xy+4y2)=-[x2-2·x·2y+(2y)2]=-(x-2y)2.[设计意图]培养学生对完全平方公式的应用能力,让学生理解在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式,也可以表示多项式.运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是:(1)首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式,如果这个多项式是一个完全平方式,那么再运用完全平方公式把它进行因式分解.有时需要先把多项式进行适当变形,得到一个完全平方式,然后再把它因式分解.(2)在选用完全平方公式分解因式时,关键是看多项式中的第二项的符号,若是正号,则用公式a2+2ab+b2=(a+b)2;若是负号,则用公式a2-2ab+b2=(a-b)2.1.下列各式是完全平方式的是()A.16x2-4xy+y2B.m2+mn+n2C.9a2-24ab+16b2D.c2+2cd+d2答案:C2.把多项式3x3-6x2y+3xy2因式分解结果正确的是()A.x(3x+y)(x-3y)B.3x(x2-2xy+y2)C.x(3x-y)2D.3x(x-y)2解析:多项式提取公因式后,利用完全平方公式分解即可.故选D.3.下列多项式:①x2+xy-y2;②-x2+2xy-y2;③xy+x2+y2;④1-x+.其中能用完全平方公式分解因式的是()A.①②B.①③C.①④D.②④答案:D4.若a+b=3,则2a2+4ab+2b2的值为.解析:∵a+b=3,∴2a2+4ab+2b2=2(a+b)2=2×32=18.故填18.5.(温州中考)分解因式:a2-2a+1=.解析:a2-2a+1=a2-2·a·1+12=(a-1)2.故填(a-1)2.6.分解因式:(1)a2+8a+16; (2)1-4t+4t2.解:(1)(a+4)2.(2)(1-2t)2.第2课时一、用完全平方公式分解因式二、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第102页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第103页习题4.5的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.把下列各式因式分解:(1)25m2-80m+64; (2)4a2+36a+81;(3)4p2-20pq+25q2; (4)16-8xy+x2y2.【能力提升】2.把下列各式因式分解:(1)a2b2-4ab+4;(2)a4-8a2b2+16b4.【拓展探究】3.把下列各式因式分解:(1)m2n-2m n+1;(2)7a m+1-14a m+7a m-1.【答案与解析】1.解:(1)25m2-80m+64=(5m-8)2.(2)4a2+36a+81=(2a+9)2.(3)4p2-20pq+25q2=(2p-5q)2. (4)16-8xy+x2y2=(4-xy)2.2.解:(1)a2b2-4ab+4=(ab-2)2.(2)a 4-8a 2b 2+16b 4=(a 2-4b 2)2=[(a +2b )(a -2b )]2=(a +2b )2(a -2b )2.3.解:(1)m 2n -2m n +1=(m n -1)2. (2)7a m +1-14a m +7a m -1=7a m -1(a 2-2a +1)=7a m -1(a -1)2.本节课的设计尽量做到了平实无华,将新知教学层层深入,并进行了适当的巩固练习,每一个环节都让学生不感觉吃力,同时在例题讲解过程中注意了题型的变化,引导学生暴露出学习中的问题,这样易于激发学生学习的兴趣,使学生的思维不断被拓展,从而达到强化所学知识和提高能力的目的.运算类型的课往往比较枯燥,学生容易产生浮躁的心理,不利于知识的掌握与运算能力的提高.在教学过程中,要有意识地引导学生再熟悉乘法公式的来历以及乘法公式的结构,多注意培养学生认真观察的良好习惯.随堂练习(教材第102页) 1.解:(1)(3)是完全平方式.(1)x 2-x +=,(3)m 2+3mn +9n 2=.2.提示:(1)(x -6y )2. (2)(4a 2+3b 2)2. (3)-(x +y )2. (4)(2-3x +3y )2. 习题4.5(教材第103页)1.提示:(1)(xy -1)2. (2)(3-2t )2. (3)或(2y +1)2. (4)(5m -8)2.(5). (6)(ab -2)2.2.解:(1)(x +y )2+6(x +y )+9=[(x +y )+3]2=(x +y +3)2.(2)a 2-2a (b +c )+(b +c )2=[a -(b +c )]2=(a -b -c )2.(3)4xy2-4x2y-y3=y(4xy-4x2-y2)=-y·(4x2-4xy+y2)=-y(2x-y)2.(4)-a+2a2-a3=-(a-2a2+a3)=-a(1-2a+a2)=-a(1-a)2.3.解:答案不唯一,如2x,-2x,x4.4.解:能.设这两个连续奇数为2n-1和2n+1(n是整数),则(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1-2n+1)·(2n+1+2n-1)=2×4n=8n.因为n是整数,所以两个连续奇数的平方差能被8整除.复习题(教材第104页)1.提示:(1)7(x+3)(x-3).(2)a(a+1)(a-1). (3)3(a+b)(a-b).(4)-(3x+4y)(3x+2y). (5)(x-y)(a+b+c).(6)(m+n)(x-y+1).(7)(5x-3y)(5y-3x). (8)(a-b)3(a+b). (9)4x(y+z). (10)(x+y-7)2.2.提示:(1)(ab+0.1)(ab-0.1).(2)y(x-y)2. (3)(4+2a+3b)(4-2a-3b).(4)(a+2)2(a-2)2.(5).(6)(ax+8)2.(7)(a+2b)2(a-2b)2.(8)(3+a+b)2.3.解:(1)原式=(3x+2y)2.∵x=,y=-,∴原式=3×+2×2=32=9. (2)原式=+-=ab.∵a=-,b=2,∴原式=-×2=-.4.解:(1)原式=2x+2或(2x+1)2. (2)原式=x2+3x+2+=x2+3x+=x+2.5.解:∵257-512=52×7-52×6=(57+56)×(57-56)=56×6×56×4=120×511,∴257-512能被120整除.6.解:∵x+y=1,∴x2+xy+y2=(x2+2xy+y2)=(x+y)2=×12=.7.解:(1)原式=32013(3-1)=2×32013.(2)原式=(-2)100×[(-2)+1]+299=2100×(-1)+299=299×[(-2)+1]=-299.8.解:需要混凝土的体积为πl-πl=πl·≈3.14×300×+×=3.14×300×60×15=847800(cm3),847800 cm3≈0.85 m3.大约需0.85 m3混凝土.9.解:∵正方形的面积是9x2+6xy+y2(x>0,y>0),9x2+6xy+y2=(3x+y)2,∴正方形的边长的代数式为3x+y.10.解:∵x2+2x+1=(x+1)2≥0,∴当x=-1时,多项式x2+2x+1可以取最小值,最小值为0.11.解:设正方形Ⅰ的边长为x cm,正方形Ⅱ的边长为y cm.依题意,得方程组化简为解此方程组得x=32,y=8.所以正方形Ⅰ的边长为32 cm,正方形Ⅱ的边长为8 cm.12.解:△ABC是等腰三角形.理由如下:∵a2-b2+ac-bc=(a+b)(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+b+c)=0,a+b+c≠0,∴a-b=0,即a=b,∴△ABC是等腰三角形.13.解:∵要使100x2-kxy+49y2是一个完全平方式,也就是要使(10x)2-kxy+(7y)2是一个完全平方式,∴-kxy=2·10x·7y或-kxy=-2·10x·7y,∴k=±140.14.解:248-1=(224)2-1=(224+1)(224-1)=(224+1)(212+1)(212-1)=(224+1)(212+1)·(26+1)( 26-1)=(224+1)(212+1)(26+1)(23+1)·(23-1).其中(26+1)=65,(26-1)=63.因此这两个数是65,63.15.(1)(2)(3)原式=.学生在七年级下册第一章中已经学习过完全平方公式,将其逆用就是本节课所涉及的主要知识.对于公式逆用,学生已经不是第一次接触了,在上一节课中学生已经经历过将平方差公式逆用的过程,应该说是比较熟悉的.通过上节课的学习,学生积累了一定的学习经验.本节课的学习模式与上节课基本相同:公式逆用,分析公式的结构特征,整体换元进行因式分解,同时要求分解彻底.这些活动采用的方法是学生非常熟悉的观察、对比、讨论等方法,学生有较好的活动经验.分解因式:4a2b2-(a2+b2-c2)2.解:原式=(2ab+a2+b2-c2)(2ab-a2-b2+c2)=[(a+b)2-c2][c2-(a+b)2]=(a+b+c)(a+b-c)(c+a+b)(c-a-b)=-(a+b+c)2(a+b-c)2.易错点对分解因式的方法掌握得不够彻底分解因式:36x2-36x+9.错解:36x2-36x+9=(6x-3)2.错因分析:分解时没有首先考虑提取公因式,导致分解不彻底.正解:36x2-36x+9=9(4x2-4x+1)=9(2x-1)2.分解因式:9a2-4b2.错解:9a2-4b2=(3a-2b)2.错因分析:将平方差公式与完全平方公式混为一谈,从而出现张冠李戴的现象.正解:9a2-4b2=(3a+2b)(3a-2b).分解因式:-3m2n+6mn-3n.错解:-3m2n+6mn-3n=3n(-m2+2m-1).错因分析:首项中的负号没有提出,造成分解不彻底.正解:-3m2n+6mn-3n=-3n(m2-2m+1)=-3n(m-1)2.分解因式:a2-ab+b2.错解:a2-ab+b2=a2-2ab+b2=(a-b)2.错因分析:将代数式的恒等变形与方程的同解变形混淆.正解:a2-ab+b2=(a2-2ab+b2)=(a-b)2.。
八年级数学下册《公式法》教案、教学设计
（3）教师引导学生总结公式法的适用范围和注意事项。
（三）学生小组讨论
1.教学内容：组织学生进行小组讨论，共同探讨公式法的应用。
教学过程：
（1）教师将学生分成若干小组，每组分配一个具有代表性的问题，让学生运用公式法解决。
（2）学生在小组内讨论解题思路，共同完成问题。
（3）各小组展示解题过程和答案，其他小组进行评价、提问。
（4）布置课后作业，巩固所学知识。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，培养学生的数学思维能力，特布置以下作业：
1.基础练习题：完成课本第56页第1-6题，要求学生在解题过程中熟练运用公式法，注意书写格式规范，保持解答过程的简洁。
2.提高题：完成课本第56页第7-10题，这部分题目难度有所提高，旨在让学生在解决复杂问题时，能够灵活运用公式法，提高解题能力。
3.实践题：结合生活实际，自编一道涉及公式法的问题，并运用所学知识解决问题。要求学生在解题过程中，注意运用数学语言进行描述，锻炼数学表达能力和逻辑思维能力。
4.小组讨论题：以小组为单位，共同探讨以下问题：如何运用公式法解决二次方程相关问题？总结出解决这类问题的方法和技巧。每个小组整理一份讨论报告，并在下节课上进行分享。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学的兴趣，培养学生积极、主动学习的态度。
2.通过公式法的学习，让学生体会数学的简洁美，增强学生对数学学科的好奇心和求知欲。
3.培养学生面对困难时，勇于挑战、善于思考的良好品质，增强学生的自信心。
4.强调数学在生活中的应用，使学生认识到数学知识对个人和社会的价值，提高学生的社会责任感。
（2）注重培养学生的数学思维，引导他们在解题过程中善于发现规律，提高解题能力。
优质课 精品教案 (省一等奖)《公式法》公开课教案
21.2.2 公式法教学过程设计教学反思[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
在今后的教学中，我会不断的钻研探索，使我的课堂真正成为学生学习的乐园。
本节课的教学活动，主要是让学生通过观察、动手操作，熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折叠后的形状。
教学时，我让每个学生带长方体或正方体的纸盒，每个学生都剪一剪，并展示所剪图形的形状。
由于剪的方法不同，展开图的形状也可能是不同的。
学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图，就要求适当进行指导。
通过动手操作，动脑思考，集体交流，不仅提高了学生的空间思维能力，而且在情感上每位学生都获得了成功的体验，建立自信心。
24.1 圆 (第3课时)教学内容1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．教学目标1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．O BAC重难点、关键1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键：探究圆周角的定理的存在． 教学过程 一、复习引入〔学生活动〕请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评：〔1〕我们把顶点在圆心的角叫圆心角．〔2〕在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．刚刚讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题． 二、探索新知问题：如下图的⊙O ，我们在射门游戏中，设E 、F 是球门，•设球员们只能在EF 所在的⊙O 其它位置射门，如下图的A 、B 、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF 、∠EBF 、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．现在通过圆周角的概念和度量的方法答复下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？〔学生分组讨论〕提问二、三位同学代表发言． 老师点评：1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．〞 〔1〕设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如下图 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=12∠AOC 〔2〕如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．老师点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．〔3〕如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成证明． 老师点评：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，OBACD而∠ABC=∠ABD-∠CBO=12∠AOD-12∠COD=12∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的． 从〔1〕、〔2〕、〔3〕，我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可． 解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD ∵AB 是⊙O 的直径∴∠ADB=90°即AD ⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD三、稳固练习1．教材P92 思考题． 2．教材P93 练习． 四、应用拓展例2．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b ，c ，⊙O 半径为R ，求证：sin a A =sin b B =sin c C=2R ． 分析：要证明sin a A =sin b B =sin c C =2R ，只要证明sin a A =2R ，sin b B =2R ，sin cC=2R ，即sinA=2a R ，sinB=2b R ，sinC=2cR，因此，十清楚显要在直角三角形中进行．证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB ∵CD 是直径 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中，sinD=BC DC ，即2R=sin aA同理可证：sin b B =2R ，sin cC =2R∴sin a A =sin b B =sin cC=2R五、归纳小结〔学生归纳，老师点评〕 本节课应掌握： 1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题． 六、布置作业1．教材P95 综合运用9、10、[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
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练习
1.以下多项式是不是完全平方式？为 何 (1) a2－4a+4; (2)1+4a2; (3) 4b2+4b－1 ; (4)a2+ab+b2.
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2.分解因式：
(1) x2+12x+36; (2) －2xy－x2－y2;
(3) a2+2a+1;
(4) 4x2－4x+1;
(5) ax2+2a2x+a3; (6) －3x2+6xy－3y2.
a2 + 2 ·a ·b + b2
解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32
=(4x+3)2.
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三、新知识或新方法利用
例５: 分解因式：(2) –x2+4xy–4y2. 解：(2) –x2+4xy-4y2 = -(x2-4xy+4y2) = -[x2-2·x·2y+(2y)2] = - (x-2y)2
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三、新知识或新方法利用
例６: 分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2; (2) (a+b)2-12(a+b)+36.
分析：在（1）中有公因式3a，应先 提出公因式，再深入分解。
解:(1)3ax2+6axy+3ay2 (2)(a+b)2-12(a+b)+36
=3a(x2+2xy+y2)
=(a+b)2-2·(a+b)·6+62
=3a(x+y)2
=(a+b-6)2.
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完全平方公式法 填空:(1)因为(x+2)2=_x_2+_4_x_+_4_, 所以_x_2+_4_x_+_4_=(x+2)2. (2)因为(x-5)2=_x_2-_1_0_x_+_2_5_, 所以_x_2-_1_0_x_+_2_5_=(x-5)2. (3)因为(2x+3y)2=_4_x_2_+_1_2_x_y_+_9_y_2 , 所以_4_x_2_+_1_2_x_y_+_9_y_2 =(2x+3y)2.
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【自主解答】(1)x2y2+10xy+25 =(xy)2+2·xy·5+52=(xy+5)2. (2)(a+b)2-4(a+b)+4=(a+b)2-2(a+b)×2+22 =(a+b-2)2.
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【总结提升】利用完全平方公式因式分解所必须具备三个条件 1.所给多项式为三项. 2.其中有两项符号相同,而且这两项可化为两数(或整式)平方. 3.另一项为这两个数(或整式)乘积(或其乘积相反数)2倍.
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知识点 2 综合利用各种方法因式分解 【例2】a4x2-2a2x2y2+x2y4. 【教你解题】
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【总结提升】因式分解三步法
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题组一:完全平方公式法直接应用
1.以下各式能用完全平方公式进行因式分解是( )
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完全平方公式
一、指导思想
本节课的设计主要突出学生学习的主体性，强调学生学习过程的体验。
学生在通过已有知识情况下计算、观察、分析、归纳得出完全平方公式，整个过程给学生一个自主学习探索的空间。
二、教材分析
在本章教学中，注意知识形成过程的教学，充分调动学生思维，体现学生主体地位；注意基础知识的落实，因为本章的基础知识在继续学习、生活实际中有着广泛应用，所以要打好基础。
本节主要内容包括：两数和（差）的完全平方公式、公式的几何背景、简单的计算。
两数和（差）的完全平方公式是运用一般多项式的相乘法则，对特殊的多项式推导出来的。
从多项式乘法到乘法公式是从一般到特殊的认识过程，对它的研究和学习，可以开阔学生视野，使他们进一步了解“特殊——一般——特殊”的认识规律。
三、背景分析
1、学情分析：
学生已经掌握了多项式乘法法则并且理解幂的意义，这为本节课的学习奠定基础，其知识点通过学生计算、观察、分析、归纳得出，在教师的引导下和学生的积极参与，相信他们能很好完成本节课内容。
2、教学方法：
（1）“探究式学习”。
在教学中，突出学生的主动性，让学生通过观察特点——分析——归纳总结——得出结论，初步掌握探究的学习方法。
（2）在学生的主体参与互动中，培养学生能力，帮助学生结合公式结构特点，分析式子结构，运用转化思想加以解决。
3、技术手段：
利用ppt课件及实物投影
四、教学流程
五、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生能正确叙述完全平方公式，并能运用它进行计算.
（2）培养学生分析问题、解决问题的能力，以及运算能力.
2、过程与方法
（1）在公式的形成过程的教学中，培养学生观察、归纳、猜想、论证的能力，以及分析、综合、抽象和概括的能力.
（2）了解“特殊---一般---特殊”的认识规律，体现和学习研究问题的方法.
渗透由特殊到一般再由一般到特殊的思想.
（3）渗透数形结合思想.
3、情感态度与价值观
通过学生自己分析得出结论，使他们感受成功的喜悦从而激发学生学习兴趣。
六、教学重点与难点
重点：完全平方公式的熟记和运用
难点：对公式特征的理解
七、教学过程与教学资源设计
八、课后反思：
乘法公式的学习是学生在初中学习遇到的又一个难点．因为公式代表的是一般形式，具有很高的抽象性，即公式里的每个字母在具体问题所代表的含义是不一样的．学生刚刚接触这些问题，很难在较短的时间内把具体问题中的某一部分抽象成公式里面的对应部分．有些学生习惯用乘法法则计算，一时不能理解公式里每个字母的含义，因此不会用新知识去解决问题。
总之，对数学公式的学习是中学数学教学与学习的重要内容，需要学生认真体会，加强练习，并提高对“一般”与“特殊”的辩证认识。