南京市高二下学期期中数学试卷C卷
南京市高二下学期期中数学试卷C卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分） (2015高三上·太原期末) 已知全集U=Z，集合A={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，那么（∁UA）∩B=（）
A . {1，2}
B . {3，4}
C . {1，2，3，4}
D . ∅
2. （2分） (2016高二下·孝感期末) 复数的虚部是（）
A . 2i
B .
C .
D .
3. （2分）在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
4. （2分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）
B .
C .
D .
5. （2分） (2016高二下·浦东期末) b=2，c=3若1+ i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）
A . b=2，c=3
B . b=﹣2，c=3
C . b=﹣2，c=﹣1
D . b=2，c=﹣1
6. （2分）A={x|x2≥2}，B={x|2x≤}，则A∩B=（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2015高二上·葫芦岛期末) 已知x、y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为 =0.7x+a，则a=（）
x2345
y 2.534 4.5
A . 1.25
C . 1.35
D . 1.45
8. （2分）有下列关系：①正方体的体积与棱长；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中有相关关系的是（）
A . ①②③
B . ①②
C . ②③
D . ③④
9. （2分） (2019高二下·太原月考) 关于的不等式的解集是，则实数的取值范围（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）下列结论正确的是（）
A . x＞1⇒＜1
B . x+≥2
C . x＞y⇒=＜
D . x＞y⇒x2＞y2
二、填空题 (共4题；共4分)
11. （1分） (2017高三上·韶关期末) 我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、…、《辑古算经》等算经十书，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为________．
13. （1分） (2019高三上·沈阳月考) 下列四个命题中，真命题的序号有________.（写出所有真命题的序号）①若，则“ ”是“ ”成立的充分不必要条件；②命题“ 使得”的否定是“ 均有”；③命题“若，则或”的否命题是“若，则”；④函数在区间上有且仅有一个零点.
14. （1分） (2019高一上·太原月考) 一学校高中部有学生2 000人，其中高一学生800人，高二学生600人，高三学生600人.现采用分层抽样的方法抽取容量为50的样本，那么高一、高二、高三各年级被抽取的学生人数分别为________．
三、解答题 (共4题；共45分)
15. （10分） (2017高二上·河北期末) 为了解适龄公务员对开放生育二胎政策的态度，某部门随机调查了90位三十岁到四十岁的公务员，得到如下列联表，因不慎丢失部分数据．
（1）完成表格数据，判断是否有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”并说明理由；
（2）已知15位有意愿生二胎的女性公务员中有两位来自省妇联，该部门打算从这15位有意愿生二胎的女性公务员中随机邀请两位来参加座谈，设邀请的2人中来自省妇联的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．男性公务员女性公务员总计
有意愿生二胎1545
无意愿生二胎25
总计
P（k2≥k0）0.0500.0100.001
k0 3.841 6.63510.828
附：．
16. （20分） (2019高一上·宜昌期中) 某机构通过对某企业今年的生产经营情况的调查，得到每月利润（单位：万元）与相应月份数的部分数据如表：
14712
229244241196（1）根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述与的变化关系，并说明理由，，，；
（2）根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述与的变化关系，并说明理由，，，；
（3）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润.
（4）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润.
17. （5分）将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．
（Ⅰ）写出C的参数方程；
（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1 ， P2 ，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
18. （10分）如图所示，⊙O的直径为6，AB为⊙O的直径，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的
切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于D、E．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求线段AE的长．
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
1-1、答案：略
2-1、
3-1、答案：略
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、答案：略
9-1、
10-1、答案：略
二、填空题 (共4题；共4分)
11、答案：略
13-1、
14-1、
三、解答题 (共4题；共45分)
15-1、答案：略
15-2、答案：略
16-1、答案：略16-2、答案：略16-3、答案：略16-4、答案：略17-1、答案：略18-1、答案：略18-2、答案：略。
南京市高二下学期期中数学试卷(理科)C卷(测试)
南京市高二下学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）以知集合，则=（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·柳州月考) 若复数（是虚数单位，），在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分）已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（,1），且，则tanθ的值是（）A .B . -C . -D .4. （2分）(2018·宣城模拟) 已知实数 ,满足，则的最大值为（）A . 2B . 4C . 8D . 125. （2分）以下命题(其中a ， b表示直线，α表示平面)：①若a∥b ， b⊂α ，则a∥α；②若a∥α ，b∥α ，则a∥b；③若a∥b ，b∥α ，则a∥α；④若a∥α ， b⊂α ，则a∥b.其中正确命题的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 36. （2分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个7. （2分）在等差数列中，已知，则该数列前11项和A . 196B . 132C . 88D . 778. （2分）已知函数，若且在区间上有最小值，无最大值，则的值为（）A .B .C .D .9. （2分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（）A . 2B .C .D . 310. （2分）(2016·青海) 已知，，记则A,B的大小关系是（）A . A>BB .C . A<BD .11. （2分）(2017·赣州模拟) 抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是C上一点，若A到F的距离是A 到y轴距离的两倍，且三角形OAF的面积为1（O为坐标原点），则p的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 412. （2分）(2017·新课标Ⅰ卷文) 已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（）A . f（x）在（0，2）单调递增B . f（x）在（0，2）单调递减C . y=f（x）的图象关于直线x=1对称D . y=f（x）的图象关于点（1，0）对称二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）函数f（x）=aex+x2+x+1（a∈R）的图象M经过点（0，2），若图象M关于直线2x﹣y﹣3=0对称的图象为N，P，Q分别是两图象上的动点，|PQ|的最小值为________．14. （1分）已知，，m=a+b，则 ________.15. （2分） (2018高一下·金华期末) 在中，角，，所对的边分别为，， .若，且，则角 ________，的最大值是________．16. （1分） (2015高二下·沈丘期中) 观察以下三个等式：sin215°﹣sin245°+sin15°cos45°=﹣，sin220°﹣sin250°+sin20°cos50°=﹣，sin230°﹣sin260°+sin30°cos60°=﹣；猜想出一个反映一般规律的等式：________．三、解答题： (共6题；共50分)17. （10分） (2015高三上·连云期末) 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA=，tan（A﹣B）=﹣．（1）求tanB的值；（2）若b=5，求c．18. （10分） (2015高三上·泰州期中) 在等比数列{an}中，a1=1，且a2是a1与a3﹣1的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足．求数列{bn}的前n项和．19. （5分）(2018·河北模拟) 某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.8元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．（Ⅰ）假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况．（ⅰ）现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水量都超过12吨的概率；（ⅱ）试估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；（Ⅱ）如图2是该市居民李某2016年1～6月份的月用水费（元）与月份的散点图，其拟合的线性回归方程是．若李某2016年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数．20. （10分）(2017·大庆模拟) 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1 ， E、F分别是CC1 ， BC的中点．（1）求证：平面AB1F⊥平面AEF；（2）求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．21. （5分）已知椭圆C1：（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，1），过焦点且垂直于长轴的弦长为，直线l交椭圆C1于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l的方程；（Ⅲ）直线l与椭圆C2：+=λ（λ∈R，λ＞1）交于P，Q两点（如图），求证|PM|=|NQ|．22. （10分） (2017高二下·新余期末) 已知函数f（x）=xex+ax2+2x+1在x=﹣1处取得极值．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、22-1、22-2、。
2023-2024学年江苏省南京市高二下学期期中数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年江苏省南京市高二下学期期中数学模拟试题一、单选题1．已知向量()()21,3,1,2,,a m m b m m =+-=- ，且a //b，则实数m 的值为（）A ．0或32B ．32C ．0或2-D ．2-【正确答案】D【分析】根据空间向量平行的坐标表示分析运算.【详解】显然0,0a b ≠≠r r r r，若a //b，则()2,,a kb k km km ==-r r ，可得22131k m km km m =+⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，解得322k m ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩.故选：D.2．已知两平面的法向量分别为(0,1,1)m =，(1,1,1)n = ，则两平面所成的二面角的正弦值为（）A．3B．3C ．13D．3【正确答案】B【分析】根据题意求得cos ,3m n =，设两平面所成的二面角为θ，求得sin 3θ=，即可求解.【详解】由两平面的法向量分别为(0,1,1)m =，(1,1,1)n = ，可得cos ,3m n m n m n⋅==，设两平面所成的二面角为θ，其中[0,]θπ∈，可得sin θ=故选：B.3．如图，用4种不同的颜色给图中,,,A B C D 四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（）A ．48B ．72C ．84D ．108【正确答案】C【分析】根据,A D 区域同色和不同色分类讨论即可得.【详解】,A D 区域同色的方法数为43336⨯⨯=,A D 区域不同色的方法数为432248⨯⨯⨯=，总的方法数为364884+=．故选：C ．4．将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为23π， 11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧.则异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π【正确答案】B【分析】以O 为坐标原点，OA 、1OO 所在直线分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，利用空间向量法可计算出异面直线1B C 与1AA 所成的余弦值，即可得解.【详解】以O 为坐标原点，OA 、1OO 所在直线分别为y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,1,0A 、()10,1,1A 、11,122B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、1,022C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以()10,0,1AA = ，()10,1,1B C =-- ，则()()211001111AA B C ⋅=+⨯-+⨯-=- ，所以1111112cos ,2AA B C AA B C AA B C ⋅<>==-⋅.因此，异面直线1B C 与1AA 所成的角为4π.故选：B.本题考查利用空间向量法求解异面直线所成角的大小，考查计算能力，属于中等题.5．2023年五一假期，小明同学外出去某超市购物，获得了该超市的一次抽奖机会，小明需从9个外观完全相同的盲盒中，随机抽取3个，已知这9个盲盒中有3个盲盒各装有1支完全相同的钢笔，另外6个盲盒中各装有不同的1个小饰品，则拆开选取的3个盲盒后，小明收获奖品的所有情形的种类有（）A ．84B ．86C ．42D ．44【正确答案】C【分析】根据装有相同钢笔的3个盲盒抽取的个数分类讨论可得.【详解】由题意装有相同钢笔的3个盲盒抽取的个数分别为0,1,2,3,因此小明收获奖品的所有情形的种类个数为32106666C C C C 42+++=.故选：C ．6．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BC 与1B C 相交于点O ，1160A AB A AC ∠=∠=，90BAC ∠= ，13A A =，2AB =，4AC =，则线段AO 的长度为（）A．2BC．2D【正确答案】A【分析】利用空间向量的数量积求模即可.【详解】由图形易得()()111122AO AB AC AB AC AA =+=++ ，所以()222211112224AO AB AC AA AB AC AB AA AC AA =+++⋅+⋅+⋅ ，()1474169224cos90223cos60243cos6044=⨯+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=即AO =故选：A7．已知函数2e ,0()241,0x x f x x x x ⎧>=⎨-++≤⎩若方程()0f x kx +=恰好有三个不等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．()1,0e B ．1,e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(e,0)-D ．(),e -∞-【正确答案】D【分析】题意说明直线y kx =-与曲线()y f x =有三个交点，由0x <时，它们一定有且只有一个交点，因此直线y kx =-与e (0)x y x =>有两个交点，求出它们相切时的k -值后可得结论．【详解】作出函数()f x 的图象（示意图），如图，作直线y kx =-，0x ≤时，2()241f x x x =-++是增函数，且(0)1f =，由图可知直线y kx =-与2241(0)y x x x =-++≤始终有一个交点，即()0f x kx +=对任意k 值都有一个负根，由题意直线y kx =-与e (0)x y x =>有两个交点，设直线y kx =-与曲线e x y =的切点为00(,)x y ，e x y =的导函数为e x y '=，由0000e e x x y x x ==得01x =，0e y =，所以e k -=，由图形知e k ->，即e k <-，故选：D ．8．已知正方形ABCD 的中心在坐标原点，四个顶点都在函数()3f x x bx =+的图象上．若正方形ABCD 唯一确定，则实数b 的值为（）A ．2B ．2-C ．22-D ．4-【正确答案】C【分析】法一：设直线AC 的方程为()0y kx k =>，则直线BD 的方程为1=-y x k，讨论得到0b ≥不合要求，即0b <，分别联立曲线方程，得到21x k b =-，221x b k=--，再根据OA OB =得到21120k b k k k ⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，换元后必有220t bt -+=有两个相等的实数根，由280b ∆=-=，解得22b =-，检验后得到答案.法二：设出π,02AOx θθ∠=<<，表达出()()cos ,sin sin ,cos A r r B r r θθθθ-，代入曲线方程，得到2tan 2tan 2b θθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由基本不等式得到b 的范围，并结合题意得到实数b 的值.【详解】法一：因为四边形ABCD 为正方形，O 为其中心，所以AC ⊥BD 于点O ，且OA OB OC OD ===，不妨设直线AC 的方程为()0y kx k =>，则直线BD 的方程为1=-y x k，设点()11,A x y ，()22,B x y ，则()()1122,,,C x y D x y ----，当0b ≥时，()230f x x b '=+≥，()f x 在R 上单调递增，与1=-y x k仅有1个交点为原点，不合题意，当0b <时，联立直线AC 与曲线方程，得到3111x bx kx +=，解得21x k b =-，联立直线BD 与曲线方程，得到32221x bx x k +=-，解得221x b k=--，因为OA OB =，所以()()221111k k b b k k ⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得22110k b k k k ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即21120k b k k k ⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()()10t k k k k=->，该函数在()0,∞+上单调递增，值域为R ，要使符合题意的正方形只有1个，则必有220t bt -+=有两个相等的实数根，即280b ∆=-=，解得b =-此时1k k -=-k =所以b =-法二：不妨设点A 在第一象限，且,,,A B C D 四点逆时针排布，设π,02AOx θθ∠=<<，OA OB OC OD r ====，则()()ππcos ,sin ,cos ,sin sin ,cos 22A r r B r r r r θθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意得两点存在曲线()3f x x bx =+上，所以3333sin cos cos cos sin sin r r br r r br θθθθθθ⎧=+⎨=--⎩①②，由①得23sin cos cos b r θθθ-=，由②得23cos sin sin b r θθθ+=-，联立两式得444433322sin cos 1tan 2tan 1tan sin cos sin cos tan tan 1tan 2tan b θθθθθθθθθθθθθ+++===-⋅---()222222221tan 2tan 1tan 2tan tan 2tan 222tan 2tan 2tan θθθθθθθθθ⎡⎤-+⎛⎫-=-⋅-+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦212tan 221tan 2tan 2tan 2θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为23sin cos 0cos b r θθθ-=>，23cos sin 0sin b r θθθ+=->，故sin cos 0b θθ->，cos sin 0b θθ+<，又sin 0,cos 0θθ>>，所以只有0b <时，才能使得两式恒成立，故tan 20θ>，由基本不等式可得2tan 2tan 2b θθ⎛⎫=-+≤-=⎪⎝⎭当且仅当2tan 2tan 2θθ=，即tan 2θ=由题意，θ有唯一解，故b =-故选：C正方形ABCD 唯一性转化为根的个数问题，再结合问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等）进行求解，需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方二、多选题9．若211877C C C x x x--=+，则正整数x 的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】AC【分析】由组合数的性质得到2188C C x x -=，列出方程，求出答案.【详解】因为1778C C C x x x -+=，所以2188C C x x-=，即21x x -=或218x x -+=，解得1x =或3，经检验均满足要求.故选：AC10．有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（）A ．6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480B ．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240C ．6名同学平均分成三组到A 、B 、C 工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安排方法D ．6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种【正确答案】ACD【分析】A 选项，利用插空法求解甲、乙两人不相邻的排法；B 选项，利用倍缩法求解；C 选项，先进行平均分组，再进行全排列，得到答案；D 选项，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分组，再进行全排列，得到答案.【详解】A 选项，6人站成一排，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外的4人进行全排列，有44A 24=种排法，再将甲、乙两人插空，有25A 20=种排法，则共有2420480⨯=种不同的排法，A 正确；B 选项，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即6633A 120A =种不同的站法，B 错误；C 选项，6名同学平均分成三组到A 、B 、C 工厂参观（每个工厂都有人），则有2223642333C C C A 90A =种不同的安排方法，C 正确；D 选项，6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，若还有一位同学与他们一组，共有13C 3=种分法；若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，有2131C C 3=种分法；共有6种分组方法，D 正确.故选：ACD11．初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次的有理运算及有限次的复合产生的，且能用一个解析式表示的函数，如函数2()(0)f x x x =>，我们可作变形：()ln ln e e xx x x x f x x ===，所以()xf x x =可看作是由函数()e tp t =和()ln g x x x =复合而成的，即()(0)x f x x x =>为初等函数，已知初等函数()(0)x f x x x =>，1()(0)x g x x x =>，则（）A ．()(0)x f x x x =>极小值点为1ex =B ．1()(0)x g x x x =>极小值为1C ．()()f xg x ≥D ．直线:l y x =是曲线()y f x =与()y g x =的一条公切线【正确答案】ACD【分析】根据复合函数的求导法则以及导数的几何意义判断．【详解】()x f x x ==ln e x x ，设ln t x x =，即()e t f x =，则()(e )e 1ln )(1ln )t tx f x t x x x '''==+=+（，1ln ()ex x xg x x ==，同理12(1ln )()xx x g x x -'=，10e x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，1ex >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以1ex =是()f x 的极小值点，A 正确；0e x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增，e x >时，()0g x '<，()g x 单调递增，所以()g x 有极大值为1e (e)e g =，无极小值，B 错误；21(1)ln ln ln x x x x x x x --=，01x <<时，210x -<，ln 0x <，2(1)ln 0x x x->，1ln ln x x x x >；1x =时，1ln ln 0x x x x -=，即1ln ln x x x x =；1x >时，210x ->，ln 0x >，2(1)ln 0x x x ->，所以0x >时，1ln ln x x x x>，所以()()f x g x ≥，C 正确；由C 知(1)(1)1f g ==，又(1)(1)1f g ''==，所以直线11y x -=-即直线y x =是曲线()y f x =的切线也是曲线()y g x =的切线，即为它们的一条公切线，D 正确．故选：ACD ．12．如图①，在矩形ABCD 中，22AB AD ==，E 为CD 的中点将CBE ∆沿直线BE 翻折至1C BE △的位置，使得平面1C BE ⊥平面ABED ，如图②所示，下列说法法正确的有（）A ．平面1C AE ⊥平面1C BEB ．异面直线1C A 与BEC ．点B 到平面1C ADD ．二两角1D C AE --【正确答案】ABD【分析】对于A 项，通过勾股定理证得AE BE ⊥，再结合面面垂直的性质定理证得⊥AE 平面1C BE ，再运用面面垂直的判定定理证得平面1C AE ⊥平面1C BE .建立空间直角坐标系，运用异面直线所成角公式、点到面的距离公式及二面角公式计算可分别判定B 项、C 项、D 项.【详解】对于A项，如图所示，在Rt ADE △中，1AD DE ==，所以AE =在1Rt BC E △中，111BC C E ==，所以BE ，又因为2AB =，所以222AE BE AB +=，所以AE BE ⊥，又因为平面1C BE ⊥平面ABED ，平面1C BE平面ABED BE =，AE ⊂平面1C BE ，所以⊥AE 平面1C BE ，又因为AE ⊂平面1C AE ，所以面1C AE ⊥平面1C BE ，故A 项正确；对于B 项，取BE 中点M ，AB 中点N ，连接1C M 、MN ，则1C M BE ⊥，//MN AE ，由A 项知，⊥AE 平面1C BE ，所以MN ⊥平面1C BE ，所以以点M 为原点，分别以MN 、MB 、1MC 为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0M，1)2C，,0)2A，,0)2B，(0,,0)2E -，(,2D所以1C A =，(0,BE = ，所以111|||cos ,|6||||C A BE C A BE C A BE ⋅<>==，所以异面直线1C A 与BEB 项正确；对于C项，因为1)22C A =--，1()22C D =-，1(0,)22C B =- ，设平面1C AD 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则111111111100220022y n C A n C D x --=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎩-=⎩，取11x =，则11y =-，13z =，所以1(1,1,3)n =-，所以点B 到平面1C AD的距离为111|||2211||C B n d n -⋅==，故C 项错误；对于D 项，由C 项知，平面1C AD 的一个法向量为1(1,1,3)n =-，设平面1C AE 一个法向量为2222(,,)n x y z =，又1(0,)22C E =-- ，则222212122000022y z n C A n C E y z =⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩--=⎪⎩，取21y =，则21z =-，20x =，所以2(0,1,1)n =-，所以121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>=所以12sin ,11n n <= ，所以二面角1D C A E --D 项正确.故选：ABD.三、填空题13．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联:“客上天然居，居然天上客;人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为:“回文数”.如44，585，2662等，那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为_______.【正确答案】36根据题意，分2种情况讨论：①4位“回文数”中数字全部相同，②4位“回文数”中有2个不同的数字，求出每种情况下4位“回文数”的数目，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：①4位“回文数”中数字全部相同，有6种情况，即此时有6个4位“回文数”；②4位“回文数”中有2个不同的数字，有2630A =种情况，即此时有30个4位“回文数”；则一共有63036+=个4位“回文数”；故36．本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，关键是理解“回文数”的定义，属于基础题．14．有一道路网如图所示，通过这一路网从A 点出发不经过C 、D 点到达B 点的最短路径有___________种.【正确答案】24【分析】根据已知，要想避开C 、D 点，需分步考虑.得到每一步的方法种类，用分步计数原理乘起来即可得出答案.【详解】如图，由已知可得，应从A 点，先到E 点，再到F 点，最后经点G 到B 点即可.第一步：由A 点到E 点，最短路径为4步，最短路径方法种类为1343C C 4⋅=；第二步：由E 点到F 点，最短路径为3步，最短路径方法种类为1232C C 3⋅=；第三步：由F 点经点G 到B 点，最短路径为3步，最短路径方法种类为111121C C C 2⋅⋅=.根据分步计数原理可得，最短路径有43224⨯⨯=种.故24.15．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 上的动点，满足1PC //平面1AED ，若该正方体的棱长为1，则点P 到直线AE 的距离的最小值为__________.【正确答案】13【分析】根据线面平行分析可得：点P 在线段1BC 上，结合异面直线的距离以及垂直关系分析运算.【详解】因为AB //11C D ，11AB C D =，所以11ABC D 为平行四边形，则1AD //1BC ，1BC ⊄平面1AED ，1AD ⊂平面1AED ，可得1BC //平面1AED ，故点P 在线段1BC 上（点1C 除外），点P 到直线AE 的距离的最小值为异面直线1,AE BC 之间的距离，如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()111,0,0,1,1,0,0,1,1,0,1,2A B C E ⎛⎫⎪⎝⎭，可得()111,1,,1,0,12AE BC ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭uu u r uuu r，设1,AM AE BN BC λμ==uuu ruu u r uuu ruuu r，可得()11,,,1,1,2M N λλλμμ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则1,1,2MN λμλμλ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭uuu r ，令()()()1111022102MN AE MN BC λμλμλλμμλ⎧⎛⎫⋅=--+-+-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅=--+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得8923λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即212,,999MN ⎛⎫= ⎪⎝⎭uuu r ，此时1,MN AE MN BC ⊥⊥uuu r uu u r uuu r uuu r，符合题意，所以点P 到直线AE的距离的最小值为13MN =uuu r .故答案为.1316．若关于x 的不等式e (2)ln 0x x a x a x -+-≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____.【正确答案】()30,e .【分析】令e x t x =，不等式转化为ln 20t a t a -+≥在(0,)t ∈+∞恒成立，令()ln 2f t t a t a =-+，求得()t af t t-'=，当0a ≤时，得到()f t 单调递增，结合0t →时，()f t →-∞，不符合题意；当0a >时，求得函数单调性和最小值()3ln f a a a a =-，得到3ln 0a a a -≥，即可求解.【详解】令e x t x =，由0x >时，可得0t >，则ln ln e ln x t x x x ==+，则不等式()e 2ln 0xx a x a x -+-≥，即为ln 20t a t a -+≥在(0,)t ∈+∞恒成立，令()ln 2f t t a t a =-+，可得()1a t a f t t t-'=-=，当0a ≤时，可得()0f t '>，可得()f t 单调递增，因为0t →时，()f t →-∞，不符合题意，舍去；当0a >时，令()0f t '=，可得t a =，当(0,)t a ∈时，()0f t '<，()f t 单调递减；当(,)t a ∈+∞时，()0f t '>，()f t 单调递增，所以当t a =时，函数()f t 取得极小值，即为最小值()ln 23ln f a a a a a a a a =-+=-，因为不等式()e 2ln 0xx a x a x -+-≥恒成立，即为()0f t ≥恒成立，则满足3ln 0a a a -≥，即3ln 0a -≥，解得30e a <<，所以实数a 的取值范围是()30,e .故答案为.()30,e四、解答题17．已知数列{}n a 满足15a =，123n n n a a +-=（*n ∈N ）.记3nn n b a =-.(1)求证：{}n b 是等比数列；(2)设n n c nb =，求数列{}n c 的前n 项和.【正确答案】(1)证明见解析(2)()1212n n ++-【分析】（1）由等比数列定义证明1n nb q b +=即可；（2）使用错位相减法求和即可.【详解】（1）由已知，∵123n n n a a +-=，∴132nn n a a +=+，∵3nn n b a =-，∴()11133233223232n n n n n n n n n n n b a a a a b +++=-=+-⨯=-⨯=-=，又∵15a =，∴1113532b a =-=-=，∴易知数列{}n b 中任意一项不为0，∴12n nb b +=，∴数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由第（1）问，1222n n n b -=⨯=，∴2nn n c nb n =⋅=，∴设数列{}n c 的前n 项和为n S ，则1231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⋅ ①，①2⨯得，234121222322n n S n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ②，①-②得，2341222222n n n S n +-=+++++-⋅ ，∴()111212222212n n n n n S n n +++--=-⋅=-+-⋅-，∴()1212n n S n +=+-.∴数列{}n c 的前n 项和为()1212n n ++-.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，PA CD ⊥，1AD =，4CD =.(1)证明：AD ⊥平面PCD ；(2)若3PD =，求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.【正确答案】(1)证明见详解；【分析】（1）由线线垂直证线面垂直即PD AD ⊥，AD DC ⊥即可证明结论；（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可.【详解】（1）因为PD ⊥平面ABCD ，AD DC ⊂、平面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD DC ⊥，又PA CD ⊥，PA 、PD ⊂平面PAD ，PA PD P = ，所以CD ⊥平面PAD ，而AD ⊂平面PAD ，所以CD AD ⊥，DC 、PD ⊂平面PAD ，DC PD D ⋂=，所以AD ⊥平面PCD ；（2）由（1）知PD 、DA 、DC 两两垂直，如图所示以D 为中心建立空间直角坐标系，则()()()()1,0,01,4,00,4,00,0,3A B C P 、、、，()()()1,0,31,4,30,4,3PA PB PC =-=-=- 、、，设面PBC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则有00PB n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即430430x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令3y =，则4,0z x ==，即()0,3,4n =设直线PA 与平面PBC 所成角为θ，则sin cos ,n PA n PA n PA θ⋅==⋅19．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3a =(1cos )B b A =-.(1)求角A 的大小；(2)若AC =D 满足3CB CD = ，点E 满足DE AD =，求sin BEC ∠.【正确答案】(1)π3(2)14【分析】（1）根据题意，由正弦定理得到1cos A A a =-，因为3a =，求得sin 322A A=，进而求得tan2A =，即可求得A 的大小；（2）在ABC中，由余弦定理求得AB =1233AD AB AC =+，根据向量的数量积的运算公式，求得2AD =，再在ABD中，求得cos 2BAD ∠=，得到π6BAD ∠=，进而得到π6CAD ∠=，分别在ABE 和ACE △中，求得2BE =，CE =，利用余弦定理求得cos BEC ∠=sin BEC ∠的值.【详解】（1(1cos )B b A =-，可得1cos BA b=-，由正弦定理得sin sin a b A B =1cos A =-，又因为3a =1cos A A =-2cos 2sin 222A A A=，因为π0(),22A ∈，所以sin 02A >sin 22A A =，所以tan 2A =又因为π0(),22A ∈，可得π26A =，所以π3A =.（2）解：在ABC中，因为3,a BC AC ===π3A =，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，即219322AB AB =+-，即260AB -=，解得AB =AB =（舍去），设,AB a AC b == ，因为3CB CD =，可得12123333AD AB AC b =+=+ ，所以222214412124π36499999939AD AD a b a b ==++⋅=++⨯== ，所以2AD =，即2AD =，又因为DE AD =，所以2DE AD == ，所以4AE =，在ABD 中，可得2223cos 22AB AD BD BAD AB AD +-∠==⋅，可得π6BAD ∠=，因为π3A =，所以π6CAD ∠=，在ABE 中，可得222π32cos 12162234462BE AB AE AB AE =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，所以2BE =，在ACE △中，可得222π32cos 316234762CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，所以7CE =，在BCE 中，可得2224791cos 222727BE CE BC BEC BE CE +-+-∠===⋅⨯⨯，所以321sin 1cos 14BEC BEC ∠=-∠=20．如图，已知在三棱柱111ABC A B C -中，11A B =，15AA =2AB BC ==，30BAC ∠= ，平面11ABB A ⊥平面ABC .(1)求1AA 与BC 所成角的余弦值；(2)在棱1AA 上是否存在一点E ，使得二而角1E BC B --的余弦值为-求出1AE AA 的值，若不存在，说明理由．【正确答案】(2)存在，且113AE AA =．【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求异面直线所成的角；（2）假设存在点E 满足题意，设1AE AA λ=（(01)λ≤≤，由空间向量法求二面角得λ值，从而得出结论．【详解】（1）因为11A B =，1AA =2AB BC ==，30BAC ∠= ，所以22211AA AB A B =+，所以1A B AB ⊥，120ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，以BA 为x 轴，平面ABC 内，过B 与AB 垂直的直线为y 轴，1BA 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(0,0,0)B，(1,C -，1(0,0,1)A ，1(2,0,1)AA =-，(1,BC =-，111cos ,AA BC AA BC AA BC⋅=，所以1AA 与BC（2）假设存在点E 满足题意，设1AE AA λ= （(01)λ≤≤，则(2,0,)AE λλ=-，(22,0,)BE AE BA λλ=+=-，11(2,0,1)BB AA ==- ，设平面EBC 的一个法向量是111(,,)m x y z =，则1111(22)0m BE x zm BC xλλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取11y=-，则1x=11)zλλ-=，m=-，设平面11BCC B的一个法向量是222(,,)n x y z=，则2212220n BC xn BB x z⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取21y=，则2x=，2z=-，即(n=-，cos,26m nm nm n⋅==，解得13λ=或76λ=（舍去），由图可知当13λ=，二面角1E BC B--是钝二面角，满足题意，此时113AEAAλ==．21．已知()e sin1xf x x ax=+--，a为实数．(1)若(0)0f'=，求a的值，并讨论()f x的单调性；(2)若0x≥时，()0f x≥，求实数a的取值范围；(3)当ea=时，若12π,0,,2x x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭12()()f x f x=，且()f x在x t=处取极值，求证：122.x x t+<【正确答案】(1)2a=，()f x的减区间是(,0)-∞，增区间是(0,)+∞；(2)(,2]-∞；(3)证明见解析．【分析】（1）求出()f x'，由(0)0f'=得2a=，再利用()0f x'<得减区间，()0f x'>得增区间，（2）由(0)0f=，()0f x≥在0x≥时恒成立得存在00x>，在(0,)x上()f x单调递增，即()0f x'≥恒成立，由此(0)0f'≥，得必要条件2a≤，然后证明其也是充分条件即可得参数范围；（3）利用导数确定()f x的单调性与极值，得π2t<<，不妨设12x x<有12π2x t x<<<<，从而12πt t x<-<，因此问题转化为只要证11()(2)f x f t x<-，构造函数()()(2)h x f x f t x=--(0)x t<<，利用导数证明()0h x <（需要多次求导），从而得出证明．【详解】（1）由题意()e cos x f x x a '=+-，(0)110f a '=+-=，2a =，即()e cos 2x f x x '=+-，显然0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减，令()()e cos 2x g x f x x '==+-（0x ≥），则()e sin x g x x '=-，易知0x ≥时，()0g x '>，()g x 单调递增，()(0)0f x f ''≥=，所以()f x 单调递增，所以()f x 的减区间是(,0)-∞，增区间是(0,)+∞；（2）()e cos x f x x a '=+-，(0)0f =，因此由题意知存在00x >，在0(0,)x 上()f x 单调递增，即()0f x '≥恒成立，从而(0)0f '≥，所以2a ≤，下证2a ≤时，0x ≥时，()0f x ≥恒成立，由（1）知2a =时，0x ≥时，()0f x ≥恒成立，2a <时，由0x ≥得e sin 1e sin 21x x x ax x x +--≥+--，因此()0f x ≥恒成立，综上，a 的取值范围是(,2]-∞；（3）e a =，()e sin e 1x f x x x =+--，()e cos e x f x x '=+-，由（1）知()f x '在[0,+∞）上是增函数，(0)2e 0f '=-<，π2ππ()e cos e 022f '=+->，所以存在π(0,2t ∈，使得()0f t '=，在(0,)t 上()0f x '<，()f x 单调递增，在π(,)2t 即在(,)t ∞+上，()0f x '>，()f x 单调递增，x t =是()f x 的极值点（极小值点），()f t '=e cos e 0t t +-=．(0)0f =，则()0<f t ，又π2π()e 1e 102f =+-->，因此在π(,)2t 时存在0x ，值得0()(0)0f x f ==，所以由12()()f x f x =，不妨设12x x <，则12π02x t x <<<<，要证122x x t +<，即证212x t x <-，因为10x t <<，所以122πt t x t <-<<，由()f x 在(0,)+∞上单调递增，且12()()f x f x =，因此只要证11()(2)f x f t x <-，设()()(2)h x f x f t x =--(0)x t <<，2()e sin e e sin(2)e(2)x t x h x x x t x t x -=+----+-，2()e e cos cos(2)2e x t x h x x t x -'=+++--，令()()x h x ϕ'=(0)x t <<，则2()e e sin sin(2)x t x x x t x ϕ-'=--+-，设2()()e e sin sin(2)x t x x x x t x λϕ-'==--+-(0)x t <<，则2()e e cos cos(2)x t x x x t x λ-'=+---0>，()x λ是增函数，即()x ϕ'是增函数，()()0x t ϕϕ''≤=，所以()ϕx 即()h x '是减函数，()()0h x h t ''>=，所以()h x 是增函数，从而()()0h x h t <=，所以()(2)f x f t x <-，即11()(2)f x f t x <-成立，综上，122.x x t +<方法点睛：证明与函数的极值点、方程的根有关的不等式的方法，一般利用导数确定极值点t 的范围，确定相应方程根12,x x 的存在性与范围，同时不妨设12x x <，本题中得出12π02x t x <<<<，这样要证明的不等式变形为212x t x <-，结合21,2x t x -在()f x 的单调增区间上，因此不等式转化为函数不等式21()(2)f x f t x <-，然后由方程根转化为11()(2)f x f t x <-，达到了消元的目的，然后再构造函数()()(2)h x f x f t x =--，利用导数证明()0≤h x 成立，从而得出结论．。
2021-2022学年江苏省南京市中华中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省南京市中华中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}03A x x =<<，2|43B x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．233x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭B ．2|43x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭C ．{}04x x <≤D ．{}03x x <<【答案】A【分析】在数轴上分别作出集合A ，集合B ，再由交集的概念取相交部分.【详解】因为{}03A x x =<<，2|43B x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，所以2|33A B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭．故答案为：A.2．十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）A ．对任意正整数n ，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=都没有正整数解B ．对任意正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解C ．存在正整数2n ≤，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解D ．存在正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解 【答案】D【分析】根据命题的否定形式，直接写出命题的否定即可 【详解】命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定； 故只有D 满足题意； 故选：D3．曲线23ln 2x y x =-的斜率为－2的切线方程为（ ）A ．250x y +-=B ．4250x y +-=C ．250x y ++=D ．4250x y ++=【答案】B【分析】利用导数的几何意义，即得.【详解】∵23ln ,02x y x x =->，∴3y x x '=-，由32y x x'=-=-，可得1x =，3x =-（舍去）当1x =时，12y =， ∴曲线23ln 2x y x =-的斜率为－2的切线方程为()1212y x -=--，即4250x y +-=.故选：B.4．若命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，则实数x 的取值范围为（ ）A ．[]1,4-B ．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦D ．[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C【分析】等价于“[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥”为真命题．令2()(21)30g a x x a x =--++≥，解不等式(1)0(3)0g g -≥⎧⎨≥⎩即得解.【详解】解：命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，其否定为真命题，即“[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥”为真命题．令22()23(21)30g a ax ax x a x x a x =-++-=--++≥，则(1)0(3)0g g -≥⎧⎨≥⎩，即22340350x x x x ⎧-++≥⎨-≥⎩，解得14503x x x -≤≤⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，所以实数x 的取值范围为[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦. 故选：C5．关于空间向量，以下说法不正确的是（ ）A ．若两个不同平面α，β的法向量分别是u ν，，且()()122212n ν=-=，，，，，，则αβ⊥ B ．若直线l 的方向向量为()103e =，，，平面α的法向量为2203n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，则直线l //α C ．若对空间中任意一点O ，有111442OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 【答案】B【分析】由面面垂直的向量表示可判断A ；由线面平行的向量表示可判断B ；根据向量共线定理，可判断C ；由空间向量基底的表示可判断D.【详解】对于A ，()22220u ν⋅=++-⨯=，所以u ν⊥，A 正确； 对于B ， 2020e n ⋅=-++=，所以e n ⊥，B 错误对于C ，对空间中任意一点O ，有111442OP OA OB OC =++，满足1111442++=，则P ，A ，B ，C 四点共面，可知C 正确；对于D ，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，所以D 正确. 故选：B.6．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，AB BC =，22AC =，12AA =，点E 为11A C 的中点，点F 在BC 的延长线上且14CF BC =，则异面直线BE与1C F 所成角的余弦值为（ ）A ．32B ．12-C ．32-D ．12【答案】D【分析】以B 为坐标原点，BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法，根据111cos ,BE C F BE C F BE C F⋅=⋅即可求出答案.【详解】在三棱柱111ABC A B C -中，因为侧棱垂直于底面，且AB BC ⊥，所以以B 为坐标原点，BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由AB BC =，22AC =12AA =2AB BC ==，所以(0,0,0)B ，(2,0,0)C ，12)A ，1(2,02)C ，2)E ．由14CF BC =，得11(2,0,0),0,042CF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以11C F C CCF =+=11(0,0,,0,0,0,22⎛⎫⎛+= ⎪ ⎝⎭⎝，BE =，所以异面直线BE 与1C F 所成角的余弦值为111312cos ,324BE C F BE C F BE C F⋅====⋅． 故选：D ．7．在()*N n n ∈次独立重复试验中，每次试验的结果只有A ，B ，C 三种，且A ，B ，C三个事件之间两两互斥.已知在每一次试验中，事件A ，B 发生的概率均为25，则事件A ，B ，C 发生次数的方差之比为（ ） A ．5：5：4 B ．4：4：3 C ．3：3：2D ．2：2：1【答案】C【分析】事件A ，B ，C 发生次数均服从二项分布，然后分别求出二项分布，再分别计算二项分布的方差即可【详解】根据,,A B C 事件的互斥性可得：每一次试验中，事件C 发生的概率为15设事件A ，B ，C 发生的次数为分别随机变量,,X Y Z ，则有： 2~,5X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭2~,5Y B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭1~,5Z B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭则事件A ，B ，C 发生次数的方差分别为：625n ，625n ，425n 故事件A ，B ，C 发生次数的方差之比为：3:3:2 故选：C8．袋中有5个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，甲、乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件:A 甲和乙至少一人摸到红球，事件:B 甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率()P B A =（ ） A ．925B ．25C ．45D ．89【答案】D【分析】求出()P AB 和()P A 的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，事件:AB 甲、乙只有一人摸到红球，则()1242C A 85525P AB ==⨯，()2491525P A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 因此，()()()82582599P AB P B A P A ==⨯=. 故选：D.二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱B ．将一组数据中的每个数据都乘2022后，方差也变为原来的2022倍C ．已知回归模型为221y x x =++，则样本点()1,3的残差为1-D ．对于独立性检验，随机变量2K 的观测值k 值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 【答案】CD【分析】根据相关系数、方差的性质、残差的计算以及独立性检验的计算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故A 错误；对B ：将一组数据中的每个数据都乘2022后，方差变为原来的22022倍，故B 错误； 对C ：当1x =时，1214y =++=，所以样本点()1,3的残差为341-=-，故C 正确； 对D ：对于独立性检验，随机变量2K 的观测值k 值越小，则“两变量有关系”的把握程度越小，则判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故D 正确. 故选：CD ．10．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC a =，BC b =，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E . 则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）A ．)002a bab a b +≥>>， B ．()22200a b ab a b +≥>>，C ()10011ab a b a b>>+， D ．()220022a b a b a b ++=≥>，【答案】AC【分析】结合图形和基本不等式可得答案. 【详解】,2+=+===a bAB a b OA OB OD ，由射影定理可知，2CD AC BC ab =⋅=，所以CD ab =Rt OCD 中，OD CD >，当且仅当⊥OD AB 时取等；所以A 正确； 在Rt OCD 中，2CD DE OD =⋅，所以222112CD ab ab DE a b OD a b a b====+++，由于CD ≥DE 111ab a b≥+，所以C 正确.故选：AC.11．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以12A A ，和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则（ ） A ．()922P B =B ．()15|11P B A =C ．事件B 与事件1A 相互独立D ．123A A A ，，是两两互斥的事件 【答案】ABD【分析】根据每次取一球，易得1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，求得()()()123,,P A P A P A ，然后由条件概率求得1()P B A ，123()()()()P B P BA P BA P BA =++，再逐项判断.【详解】解：因为每次取一球，所以1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，故D 正确； 因为()()()123523,,101010P A P A P A ===， 所以11155()51011()5()1110P BA P B A P A ⨯===，故B 正确； 同理3223232434()()4410111011(),()23()11()111010P BA P BA P B A P B A P A P A ⨯⨯======， 所以1235524349()()()()10111011101122P B P BA P BA P BA =++=⨯+⨯+⨯=，故A 正确； 由于()()115559()10111022P BA P B P A =⨯≠⨯=，故事件B 与事件1A 不相互独立，故C 错误. 故选：ABD12．如图，己知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//,4AD BC AD =，90ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB BC ===，下列说法正确的是（ ）A ．PB 与CD 所成的角是60B ．平面PCD 与平面PBA 6C ．PB 与平而PCD 3D ．M 是线段PC 上动点，N 为AD 中点，则点P 到平面BMN 43【答案】AD【分析】由题意，以A 为原点，以,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，结合向量的夹角公式，可判定A 正确，B 、C 不正确；在PC 上取点M ，使得BM PC ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得PC ⊥平面BMN ，得到点P 到平面BMN 的距离最大距离为PM ，在直角PBC 中，利用直角三角形的射影定理，求得PM 的长，可判定D 正确.【详解】由题意，以A 为原点，以,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,4,0),(0,0,2)A B C D P ，对于A 中，可得(2,0,2),(2,2,0)BP CD =-=-， 所以41cos ,22222BP CD BP CD BP CD⋅===⨯，因为0,180BP CD ≤≤，所以BP 与CD 的夹角为60，所以A 正确； 对于B 中，由平面PAB 的法向量为(0,1,0),(2,2,2)m PC ==-， 又由(2,2,2),(2,2,0)PC CD =-=-，设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，则2220220x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩，令1x =，可得1,2y z ==，所以(1,1,2)n =，所以1cos ,6m n m n m n⋅==，所以B 错误.对于C 中，由212cos ,12226BP n BP n BP n⋅===⨯，所以C 错误； 对于D 中，在PC 上取点M ，使得BM PC ⊥，连接,,AC MN BN ， 因为ABCN 为正方形，且边长为2，可得BN AC ⊥，又因为PA ⊥平面ABCD ，BN ⊂平面ABCD ，所以BN PA ⊥， 因为AC PA A ⋂=，且,AC PA ⊂平面PAC ，所以BN ⊥平面PAC ， 又因为PC ⊂平面PAC ，所以BN PC ⊥， 因为BM PC ⊥，且BMBN B =，,BM BN ⊂平面BMN ，所以PC ⊥平面BMN ，此时点P 到平面BMN 的距离最大，最大值即为PM ， 在直角PBC 中，22,2PB BC ==，可得23PC =，由直角三角形的射影定理得2PB PM PC =⋅，即22(22)43323PB PM PC ===， 即点P 到平面BMN 的距离最大值为433，所以D 正确. 故选：AD.三、填空题13．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，()40.84P ξ≤=，则(0)P ξ<=_______. 【答案】0.16425【分析】利用正态分布的对称性可得(0)(4)P P ξξ<=>，然后结合条件即得. 【详解】因为随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ， 所以(0)(4)P P ξξ<=>， 又()40.84P ξ≤=，所以(0)1(4)10.840.16P P ξξ<=-≤=-=. 故答案为：0.16.14．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵111ABC A B C -，中，M 是11A C 的中点，122AB AA AC ==，113BN BB =，3MG GN =，若1AG xAA y AB z AC =++，则x y z ++=_________．【答案】118【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量可以解决问题.【详解】设2AB =,如下图所示，建立空间直角坐标系，()000A ，， ，()200B ，，，()001C ，，，()1010A ，，1012M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，1203N ⎛⎫⎪⎝⎭，，，则1121200123232MN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，-， 所以13213110122432228AG AM MG ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，-，，， 又因为()131122,,228AG xAA y AB z AC y x z y x z =++=⇒===，，所以131112488x y z ++=++= 故答案为：11815．若0m >，0n >，则214m n m n ++的最小值为___________. 【答案】4【分析】连续使用两次均值不等式即可求出结果. 【详解】22141444224m m n n n n m n m n n n++≥+⋅=+≥⋅=， 当且仅当2142mm n n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即2,1n m ==时等号成立，所以214m n m n ++的最小值为4.故答案为：4.16．给图中A ，B ，C ，D ，E 五个区域填充颜色，每个区域只填充一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则共有_________种不同的方案．【答案】72【分析】分为B ，E 同色和B ，E 不同色两种情形，再按照分步乘法原理计算即可. 【详解】当B ，E 同色时，共有432248⨯⨯⨯=种不同的方案，当B ，E 不同色时，共有43224⨯⨯=种不同的方案，所以共有72种不同的方案． 故答案为：72.四、解答题17．已知集合{}13A x x =-≤ ，{}22240B x x mx m =-+-≤.(1)命题p ：x ∈A ，命题q : x ∈B ，且p 是q 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围:(2)若A ∩B ≠,∅求实数m 的取值范围.【答案】(1)[]02m ∈， (2)[]46m ∈-，【分析】(1)要使p 是q 的必要不充分条件，则 B A 即可； (2)求A B =∅时m 的取值范围，然后求其补集. 【详解】(1)因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，B 集合：()22444160m m ∆=--=>，所以B 不可能为空集， 因为()()222422x mx m x m x m ⎡⎤⎡⎤-+-=---+⎣⎦⎣⎦，所以{}22B x m x m =-≤≤+， 集合{}24A x x =-≤≤，所以2224m m -≥-⎧⎨+<⎩或2224m m ->-⎧⎨+≤⎩，分别解不等式组，取并集后可得[]02m ∈，. (2)由（1）知{}{}2422A x x B x m x m =-≤≤=-≤≤+，， 当A B =∅时：22m +<-或24m ->， 解之得：4m <-或6m >，则A B ⋂≠∅时，[]46m ∈-，. 18．已知()2N nn x *⎫∈⎪⎭的展开式中第2项与第三项的二项式系数之和为36．(1)求n ；(2)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1)8 (2)721792x -和51792x -.【分析】（1）根据题意得到1236n n C C +=，求得8n =，即可求解；（2）由（1）知82)x，得到展开式的通项为34821882()2r r r r r rr T C C x x--+=⋅=⋅，列出不等式组118811882222r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，结合组合数的公式，求得56r ≤≤，进而求得67,T T ，即可求解.【详解】(1)解：由题意，()2N nn x *⎫∈⎪⎭的展开式中第2项与第三项的二项式系数之和为36，可得1236n n C C +=，即2720n n +-=，解得8n =或9n =-（舍去），所以8n =.(2)解：由（1）可得二项式82)x，其展开式的通项为34821882()2r r rr r rr T C C x x--+=⋅=⋅， 即展开式中项的系数为82r rC ⋅，设第1r +项的系数最大，则满足118811882222r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩， 可得()()()()()()118!8!228!!9!1!8!8!228!!7!1!r r r r r r r r r r r r -+⎧⋅≥⋅⎪-⋅-⨯-⎪⎨⎪⋅≥⋅⎪-⨯-⨯-⎩，即2191281r r r r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得56r ≤≤，当=5r 时，7755226821792T C x x --=⋅⋅=；当6r =时，66557821792T C x x --=⋅⋅=，所以展开式中系数最大的项为721792x -和51792x -.19．第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games ），即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕．2022年北京冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目，延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某中学进行了一次抽样调查，统计得到以下22⨯列联表．(1)完成22⨯列联表，并判断有超过多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；(2)为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，按照性别采用分层抽样的方法、从样本中不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取5人，再从这5人中抽取2人进行面对面交流，求“男、女生各抽到一名”的概率．附表：附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】(1)表格见解析；没有超过99.9%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；(2)35【分析】（1）完善2×2列联表，根据2K 的计算可得出关于n 的等式，即可求得正整数n 的值，结合临界值，即可求解．（2）根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及古典概型的概率公式，即可求解． 【详解】(1)求22⨯列联表可得:根据所给数据得22400(1409011060)=9.6<10.828200200250150K ⨯-⨯=⨯⨯⨯ 故没有超过99.9%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关； (2)由于在“不了解冬季奥运会项目”的学生中，按男女比例为2:3， 所以抽取的5人中包含3名女生，2名男生，设“男、女生各抽到一名”的事件为A ，则1132253()5C C P A C ==20．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，60BAD BPD ∠=∠=︒，2PB PD ==.(1)证明：平面PAC ⊥平面ABCD ；(2)若二面角P BD A --的余弦值为13，求二面角B PA D --的正弦值.【答案】(1)证明见解析 (2)223【分析】（1）依据面面垂直判定定理去证明平面PAC ⊥平面ABCD ； （2）建立空间直角坐标系，以向量的方法去求二面角B PA D --的正弦值. 【详解】(1)设ACBD O =，连接PO ，在菱形ABCD 中，O 为BD 中点，且BD AC ⊥， 因为PB PD =，所以BD PO ⊥， 又因为POAC O =，且PO ，AC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ；(2)作OM ⊥平面ABCD ，以{},,OA OB OM 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，易知2PB PD BD AB AD =====，则3OA OP =1OB =，因为OA BD ⊥，OP BD ⊥，所以POA ∠为二面角P BD A --的平面角，所以1cos 3POA ∠=，则P ⎝⎭，)A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，所以()1,0AD =--，()AB =，AP ⎛= ⎝⎭， 设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z =，由00m AB m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得111100y x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 取11z =，则1x=，1y()2,m =，设平面PAD 的法向量为()222,,n x y z =，由00n AD n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得222200y x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩ 取21z=，则2x=2y =，所以()2,n =，设二面角B PA D --为θ，则1cos 32m n m nθ⋅===+⋅，又[]0,πθ∈，则sin θ=. 21．核酸检测是诊断新冠病毒感染的重要手段，首先提取人的唾液或咽拭子样本，如果样本中有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．检测时既可以逐个化验，也可以将样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，需要再对各个样本逐个化验；若混合样本呈阴性，则各个样本均为阴性．现有4例疑似病例，疑似病例核酸检测呈阳性的概率均为()01p p <<． (1)若12p =，求至多有1个疑似病例样本化验结果为阳性的概率； (2)如果逐个化验，需要化验4次．为了减少化验次数，可以考虑采用4例样本混合在一起进行化验，当p 在什么范围时，混合化验能减少化验次数？ 【答案】(1)516(2)当01p <<时，4例混合化验能减少化验次数 【分析】（1）根据题意计算即可（2）根据题意，混合化验的次数是1次或者5次，分别求出其对应的概率，计算混合化验的期望，使期望值小于4即可【详解】(1)解：（1）设4例疑似病例中化验结果为阳性的病例数为X ，则1(4,)2X B ~，041444115(1)(0)(1)C ()+C ()2216P X P X P X ==+=== 所以，至多有1个疑似病例样本化验结果为阳性的概率为516(2)设4例混合化验的化验次数为Y ，则Y 可取1，5．00444(1)C (1)(1)P Y p p p ==-=-，4(5)1(1)1(1)P Y P Y p ==-==--，所以，444()1(1)5[1(1)]54(1)E Y p p p =⨯-+⨯--=--． 要使化验次数减少，须有()4E Y <， 即454(1)4p --<．因为01p <<，解得01p <<所以，当012p <<-时，4例混合化验能减少化验次数． 22．己知函数()()21e 2x h x ax r x ax ax =-=-，(1)令()()()f x h x r x =+，当a e =时，讨论()f x 的单调性: (2)当0x ≥时，()()()3121312h x r x x a x +≥+-+，求a 的取值范围. 【答案】(1)()1x ∈-∞，时，()f x 单调递减；()1x ∈+∞，时，()f x 单调递增 (2)27e 4a ⎡⎫-∈+∞⎪⎢⎣⎭， 【分析】（1）由题意得到()21e 2e 2x f x ex x =-+，求得()e 2e e x f x x =-+'，令()e 2e e x g x x =-+，取得()e e 0x g x '=+>，且()10g =，进而得到函数()f x 的单调性；（2）根据题意，把不等式可化为3211210exx ax x -++-≤，令()32112 1e x x ax x g x -++=-，求得()g x '，得到()0g x '=的解，分210a +≤、2210a >+>和212a +≥三种情况讨论，结合函数的单调性与最值，即可求解.【详解】(1)解：当e a =时，函数()()()2211e e e e e 2e 22x xf x h x r x x x x ex x =+=-+-=-+，可得()e 2e e xf x x =-+'，令()e 2e e x g x x =-+，可得()e e 0xg x '=+>，且()10g =，所以当()1x ∈-∞，时，()0g x <，即()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()1x ∈+∞，时，()0g x >，即()0f x '>，函数()f x 单调递增. (2)解：由()()222e 2e 3x x h x r x ax ax ax ax ax +=-+-=-+，不等式可化为()231e 3131,02x ax ax x a x x -+≥+-+≥， 化简可得321e 12xx ax x ≥-++，即321121e x x ax x -++≤，即3211210exx ax x -++-≤， ①令()32112 1e xx ax x g x -++=-， 可得()()()()3213121221222e e x xx a x a x x x x a g x ⎛⎫-++-+⎡⎤---+ ⎪⎣⎦⎝⎭'==， 令()0g x '=，即()()122102x x x a ⎡⎤---+=⎣⎦，解得1230221x x x a ===+，，， 若210a +≤，即12a ≤-时，当()02x ∈，时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； 所以()()22741e g x g x a-=-≤，且()00g =，所以()20g >， 即不等式①不恒成立；不合题意； 若2210a >+>，即1122a >>-时 当()0g x '<， ()g x 单调递减；()21,2x a ∈+，()0g x '>，()g x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； 所以()()27421e ag x g -≤=-， 要不等式①恒成立，只需()20g ≤，即27410e a --≤，解得274e a -≥，所以217e 24a ->≥. 若212a +≥， 即12a ≥时，当()0,2x ∈，()0g x '< ()g x 单调递减； 当()2,21x a ∈+，()0g x '> ()g x 单调递增； 当()21,x a ∈+∞，()0g x '< ()g x 单调递减；所以()210g a +≤，即()31121e xx x g x ++≤-， 只需当2x ≥时，311210e x x x ++-≤，就可得到()210g a +≤就恒成立。
南京市高二下学期期中数学试卷(理科)C卷
南京市高二下学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设复数z1 ， z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A . -5B . 5C . -4+iD . -4-i2. （2分）已知f′（x）为y=f（x）的导函数，且f′（x0）=a，则 =（）A . aB . ﹣aC . ±aD . 无法确定3. （2分） (2016高三上·辽宁期中) 等比数列{an}中，a3=6，前三项和S3= 4xdx，则公比q的值为（）A . 1B . ﹣C . 1或﹣D . ﹣1或﹣4. （2分）(2019·广州模拟) 若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二下·邯郸期末) 定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且当x＞0时，不等式f （x）＞﹣xf′（x）恒成立，则函数g（x）=xf（x）的零点的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分） (2019高二下·湘潭月考) 已知是函数的导函数，，，，则不等式的解集为（）A .B .C .D .7. （2分）(2016·商洛模拟) 若，则的展开式中的常数项（）A .B . -C . 20D . ﹣158. （2分）观察按下列顺序排序的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，…，猜想第n（n∈N*）个等式应为（）A . 9（n+1）+n=10n+9B . 9（n﹣1）+n=10n﹣9C . 9n+（n﹣1）=10n﹣1D . 9（n﹣1）+（n﹣1）=10n﹣109. （2分）用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理数根，那么a,b,c中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（）A . 假设a,b,c都是偶数B . 假设a,b,c都不是偶数C . 假设a,b,c至多有一个偶数D . 假设a,b,c至多有两个偶数10. （2分） (2015高二上·船营期末) 函数f（x）=（2πx）2的导数是（）A . f′（x）=4πxB . f′（x）=4π2xC . f′（x）=8π2xD . f′（x）=16πx11. （2分）在复平面内，向量对应的复数是2+i，向量对应的复数是﹣1﹣3i，则向量对应的复数为（）A . 1﹣2iB . ﹣1+2iC . 3+4iD . ﹣3﹣4i12. （2分） (2017高一下·郑州期末) 下列函数中，周期为π，且在（，）上单调递减的是（）A . y=sinxcosxB . y=sinx+cosxC . y=tan（x+ ）D . y=2cos22x﹣1二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二下·安徽期中) 如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角(如图所示)，边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB＝1m，AD＝0.5m，则五边形ABCEF的面积最大值为________m2.14. （1分）（π+ ）dx=________．15. （1分） (2016高二下·泗水期中) 已知x∈（0，+∞），不等式x+ ≥2，x+ ≥3，x+ ≥4，…，可推广为x+ ≥n+1，则a等于________．16. （1分）若函数y=ex与函数y=x2+mx+1的图象有三个不同交点，则实数m的取值范围为________三、解答题： (共6题；共50分)17. （5分）(2017·蚌埠模拟) 已知函数f（x）= （其中e是自然对数的底数，a∈R）．（Ⅰ）若曲线f（x）在x=l处的切线与x轴不平行，求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的最大值．18. （5分）(2019·北京) 已知函数f（x）= x3-x2+x.（I）求曲线y=f（x）的斜率为1的切线方程；（II）当x∈[-2，4]时，求证：x-6≤f（x）≤x；（IlI）设F（x）=|f（x）-（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[-2，4]上的最大值为M（a）. 当M（a）最小时，求a的值.19. （20分） (2016高二下·上海期中) 已知z为复数，ω=z+ 为实数，（1）当﹣2＜ω＜10，求点Z的轨迹方程；（2）当﹣2＜ω＜10，求点Z的轨迹方程；（3）当﹣4＜ω＜2时，若u= （α＞0）为纯虚数，求：α的值和|u|的取值范围．（4）当﹣4＜ω＜2时，若u= （α＞0）为纯虚数，求：α的值和|u|的取值范围．20. （10分） (2015高二下·沈丘期中) 数列{an}中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn ， Sn+1 ， 2S1成等差数列．（1）计算S1，S2，S3的值；（2）根据以上结果猜测Sn的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．21. （5分） (2018高二下·大庆月考) 计算由直线曲线以及轴所围图形的面积。
南京市高二下学期期中数学试卷(理科)C卷新版
南京市高二下学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·南安期中) 某校数学学科中有4门选修课程，3名学生选课，若每个学生必须选其中2门，则每门课程都有学生选的不同的选课方法数为（）A . 84B . 88C . 114D . 1182. （2分）某单位安排2013年春节期间7天假期的值班情况，7个员工每人各值一天. 已知某员工甲必须排在前两天，员工乙不能排在第一天，员工丙必须排在最后一天，则不同的值班顺序有（）A . 120种B . 216种C . 720种D . 540种3. （2分）一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，则此射手每次射击命中的概率为（）A .B .C .D .4. （2分）已知随机变量ξ服从正态分布N(4，σ2)，若P(ξ>8)＝0.4，则P(ξ<0)＝（）A . 0.3B . 0.4C . 0.6D . 0.75. （2分） (2017高二下·钦州港期末) 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则上楼梯的方法有（）A . 45种B . 36种C . 28种D . 25种6. （2分）（x2﹣2）（1+）5的展开式中x﹣1的系数为（）A . 60B . 50C . 40D . 207. （2分）(2016·肇庆模拟) 体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p （p≠0），发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值范围是（）A . （0，）B . （，1）C . （0，）D . （，1）8. （2分）位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点P移动五次后位于点（2，3）的概率是（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二下·蕲春期中) 设随机变量X～N（1，σ2），其正态分布密度曲线如图所示，且P（﹣1＜X≤3）=0.9544，那么向正方形OABC中随机投掷20000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）（附：随机变量X～N（1，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544）A . 15078B . 14056C . 13174D . 1207610. （2分）已知正四棱锥P—ABCD的四条侧棱，底面四条边及两条对角线共10条线段，现有一只蚂蚁沿着这10条线段从一个顶点爬行到另一个顶点，规定： (1)从一个顶点爬行到另一个顶点视为一次爬行；(2)从任一顶点向另4个顶点爬行是等可能的（若蚂蚁爬行在底面对角线上时仍按原方向直行）. 则蚂蚁从顶点P开始爬行4次后恰好回到顶点P的概率是（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二下·重庆期中) 已知函数，若是从1，2，3三个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）A .B .C .D .12. （2分）空间五点中，无三点共线．且无四点共面，则这五点可以确定平面的个数是（）A . 5B . 10C . 15D . 20二、填空题． (共4题；共4分)13. （1分）若（x+）n的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为a，则直线y=x与曲线y=x2所围成的封闭区域面积为________14. （1分）某项测试有6道试题，小明答对每道试题的概率都是，则小明参加测试（做完全部题目）刚好答对2道试题的概率为________15. （1分） (2017高二上·清城期末) 已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），P（ξ≤4）=0.84，则P （ξ≤0）=________16. （1分）(2017·上海模拟) 设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内只有一个盒子空着，共有________种投放方法．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2015高二下·仙游期中) 已知在（）n的展开式中，第6项为常数项（1）求n的值；（2）求含x2项的系数．18. （10分）(2017·新课标Ⅰ卷理) 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（12分）（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得 = =9.97，s= = ≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3 +3 ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．19. （10分） (2018高二下·集宁期末) 四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.（1）若每个盒子放一个球,则共有多少种不同的放法?（2）恰有一个空盒的放法共有多少种?20. （10分） (2018高二下·辽宁期中) 某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，甲班为实验班，乙班为对比班，甲乙两班的人数均为50人，一年后对两班进行测试，测试成绩的分组区间为 80,90 、 90,100 、 100,110 、 110,120 、 120,130 ，由此得到两个班测试成绩的频率分布直方图：附：，其中0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5. 024 6.6357.87910.828（1）完成下面2×2列联表，你能有97.5 的把握认为“这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”吗？并说明理由；成绩小于100分成绩不小于100分合计甲班50乙班50合计（2）根据所给数据可估计在这次测试中，甲班的平均分是105.8，请你估计乙班的平均分，并计算两班平均分相差几分？21. （5分） A市将于2010年6月举行中学生田径运动会，该市某高中将组队参赛，其中队员包括10名男子短跑选手，来自高中一、二、三年级的人数分别为2、3、5．（Ⅰ）从这10名选手中选派2人参加100米比赛，求所选派选手为不同年级的概率；（Ⅱ）若从这l0名选手中选派4人参加4×100米接力比赛，且所选派的4人中，高一、高二年级的人数之和不超过高三年级的人数，记此时选派的高三年级的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．22. （5分）写出集合{农夫，狼，羊，菜}的所有子集，由此设计一个方案：农夫用船把狼、羊、菜从河的一岸送到另一岸，农夫每次驾船只能运一种东西，并且在农夫不在场的情况下，狼不能和羊在一起，羊不能和菜在一起．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题． (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、。
南京市高二下学期期中数学试卷C卷(模拟)
南京市高二下学期期中数学试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）若全集,则集合等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·定远期末) 设复数 z 满足，则=（）A .B .C .D . 23. （2分）设是虚数单位，则复数的虚部是（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高二下·遵义期末) 若复数z满足（1﹣2i）z=5i（其中i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限5. （2分）已知i是虚数单位，m，n∈R，则“m=n=1”是“m2﹣1﹣2ni=﹣2i”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2017高一上·石家庄期末) 已知集合A={x|2≤2x≤4}，B={x|0＜log2x＜2}，则A∪B=（）A . [1，4]B . [1，4）C . （1，2）D . [1，2]7. （2分）设有一个线性回归直线方程为，则变量x每增加一个单位时（）A . y平均增加 1.5 个单位B . y平均增加 2 个单位C . y平均减少 1.5 个单位D . y平均减少 2 个单位8. （2分）有下列关系：①正方体的体积与棱长；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中有相关关系的是（）A . ①②③B . ①②C . ②③D . ③④9. （2分） (2015高三上·舟山期中) 设全集U=R，集合，P={x|﹣1≤x≤4}，则（∁UM）∩P等于（）A . {x|﹣4≤x≤﹣2}B . {x|﹣1≤x≤3}C . {x|3≤x≤4}D . {x|3＜x≤4}10. （2分） (2017高一下·长春期末) 若，则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2015高三上·连云期末) 若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率为________．12. （1分） (2015高二下·登封期中) 若复数z满足3z+ =1+i，其中i是虚数单位，则z=________．13. （1分）若不等式log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）≥2恒成立，则实数m的取值范围为________14. （1分）为了调查城市PM2.5的值，按地域把48个城市分为甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为10，18，20．若用分层抽样的方法抽取16个城市，则乙组中应抽取的城市数为________．三、解答题 (共4题；共40分)15. （15分）某企业通过调查问卷（满分50分）的形式对本企业900名员工的工作满意度进行调查，并随机抽取了其中30名员工（16名女员工，14名男员工）的得分，如下表：女47 36 32 48 34 44 43 47 46 41 43 42 50 43 35 49男37 35 34 43 46 36 38 40 39 32 48 33 40 34（1）根据以上数据，估计该企业得分大于45分的员工人数；（2）现用计算器求得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平均得分为“满意”，否则为“不满意”，请完成下列表格：“满意”的人数“不满意”人数合计女16男14合计30（3）根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？（参考数据请看15题中的表）16. （5分）设a为正实数，记函数f（x）=a﹣﹣的最大值为g（a）．（1）设t=+，试把f（x）表示为t的函数m（t）；（2）求g（a）；（3）问是否存在大于的正实数a满足g（a）=g（）？若存在，求出所有满足条件的a值；若不存在，说明理由．17. （10分）(2018·河北模拟) 已知在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，以为极点，轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为 .（1）求直线的直角坐标方程和椭圆的参数方程；（2）设为椭圆上任意一点，求的最大值.18. （10分） (2016高三下·习水期中) 如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共4题；共40分) 15-1、15-2、15-3、16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、。
南京市高二下学期期中数学试卷(理科) C卷
南京市高二下学期期中数学试卷（理科） C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·绵阳模拟) 若复数满足（是虚数单位），则 =（）A . 1B . -1C .D .2. （2分） (2017高二下·广安期末) 用数学归纳法证明1+2+3+…+n3= ，则当n=k+1时，左端应在n=k 的基础上加上（）A . k3+1B . （k+1）3C .D . （k3+1）+（k3+2）+（k3+3）+…+（k+1）33. （2分）有一段演绎推理是这样的：“因为对数函数y=logax是增函数；已知y=x是对数函数，所以y=x是增函数”的结论显然是错误的，这是因为（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 非以上错误4. （2分）曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为（）A .B .C .D .5. （2分）已知函数f（x）=asin3x+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2016）+f（﹣2016）+f′（2016）﹣f′（﹣2016）=（）A . 2016B . 2015C . 8D . 06. （2分）已知参数方程（a、b、l均不为零，0≤q≤2p），若分别取①t为参数，②l为参数，③q为参数，则下列结论中成立的是（）A . ①、②、③均直线B . 只有②是直线C . ①、②是直线，③是圆D . ②是直线，①、③是圆7. （2分） (2018高三上·湖北月考) 在等比数列中是函数的极值点，则 =（）A .B .C . 或D . 或无意义8. （2分）(2017·民乐模拟) 已知等比数列{an}，且a6+a8= ，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A . π2B . 4π2C . 8π2D . 16π29. （2分） (2015高二上·邯郸期末) 函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图，则f（x）的极值点有（）A . 3个B . 4个C . 5个D . 6个10. （2分）(2017·大连模拟) 已知函数f（x）=x2e2x+m|x|ex+1（m∈R）有四个零点，则m的取值范围为（）A . （﹣∞，﹣e﹣）B . （﹣∞，e+ ）C . （﹣e﹣，﹣2）D . （﹣∞，﹣）11. （2分） (2019高二下·深圳月考) 下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是（）．A . f(x)＝sin 2xB . f(x)＝xexC . f(x)＝x3－xD . f(x)＝－x＋ln x12. （2分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）= ，若关于x 的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A . [﹣，﹣）∪（﹣，﹣1]B . （﹣，﹣）∪（﹣，﹣1）C . （﹣，﹣）D . （﹣，﹣1）二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二下·宜昌期中) 在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则△PAB的面积大于等于的概率是________．14. （1分） (2015高三上·泰州期中) 曲线y=2x﹣lnx在点（1，2）处的切线方程是________．15. （1分） (2016高二上·杨浦期中) 把数列{ }的所有数按照从大到小的原则写成如表数表：第k行有2k﹣1个数，第t行的第s个数（从左数起）记为A（t，s），则A（11，4）=________．16. （1分） (2016高一下·望都期中) 已知，a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题：①若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是锐角三角形②若acoA=bcosB，则△ABC是等腰三角形③若bcosC+ccosB=b，则△ABC是等腰三角形④若 = ，则△ABC是等边三角形其中正确命题的序号是________．三、解答题： (共6题；共65分)17. （10分） (2019高二下·上海月考) 定义：复数是（）转置复数，记为，显然，即与互为转置复数.（1）共轭复数的一些运算性质如等，还有一些常用结论，如等，尝试发现两个有关转置复数的运算性质（如：）或其他结论；（2）对任意的两个复数、，定义运算“ ”：，设（），求复平面上的点集所围成区域的面积.18. （5分）已知实数m，n满足：关于x的不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R（1）求m，n的值；（2）若a，b，c∈R+ ，且a+b+c=m﹣n，求证：++．19. （10分） (2016高二下·唐山期中) 已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．（1）讨论f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值；（2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．20. （15分） (2016高一下·石门期末) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，对一切正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，记an与an+1的等差中项为kn ．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn；（3）设集合，等差数列{cn}的任意一项cn∈A∩B，其中c1是A∩B中的最小数，且110＜c10＜115，求{cn}的通项公式．21. （15分） (2016高二下·佛山期末) 已知函数f（x）=alnx﹣x2 ，a∈R，（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若x≥1时，f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围；（3）设a＞0，若A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y=f（x）上的两个不同点，满足0＜x1＜x2，且∃x3∈（x1，x2），使得曲线y=f（x）在x=x3处的切线与直线AB平行，求证：x3＜．22. （10分） (2016高二上·黑龙江期中) 已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2022-2023学年江苏省南京市高二下学期期中联考数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省南京市高二下学期期中联考数学试题一、单选题1．曲线：在点处的切线方程为（ ）C sin xy x =(),0P πA ．B ．11y x π=-+11y x π=-C ．D ．2y x ππ=-2y x ππ=-+【答案】A【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程．【详解】解：的导数为sin xy x =()2sin sin cos sin ,x x x x x x x y x x '-⋅-=''=所以曲线在点处的切线斜率为(),0P π2cos sin 1,k πππππ-==-即曲线：在点处的切线方程为 即为．C sin x y x =(),0P π()1y x ππ=--，11y x π=-+故选：A.2．仅有甲、乙、丙三人参加四项比赛，所有比赛均无并列名次，则不同的夺冠情况共有（ ）种.A ．B ．C ．D ．34A 344334C 【答案】C【分析】每个冠军都有3种可能，因为有四项比赛，根据乘法原理，可得冠军获奖者的可能情况．【详解】解：由题意，每项比赛的冠军都有3种可能，因为有四项比赛，所以冠军获奖者共有种可能433333⨯⨯⨯=故选：C ．3．已知点，则点到直线的距离是（ ）()()()1,0,2,1,1,2,1,1,2A B C --A BC ABCD ．5【答案】B【分析】根据点到直线的距离的向量法求解公式计算即可.【详解】设，()2,1,0,(2,0,4),BC AB a BC u BC →==-=-==可求得()2,1,0a u⋅=-⋅=所以d ==故选：B4．记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，给出下列4个条件：①a 1=1；②a 4=4； ③S 3=9；④S 5=25，若只有一个条件不成立，则该条件为（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】B【分析】根据等差数列通项公式及求和公式的基本量计算，对比即可得出结果.【详解】设等差数列{an }的公差为，d ，，，即，11a =4134a a d =+=3113233392S a d a d ⨯=+=+=13a d +=即.511545510252S a d a d ⨯=+=+=，125a d +=当，时，①③④均成立，②不成立.11a =2d =故选：B5．德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人.二进制数被广泛应用于电子电路､计算机等领域.某电子电路每运行一次都随机出现一个四位二进制数，其中1234A a a a a =出现0的概率为，出现1的概率为，记，当电路运行一次时，()1,2,3,4i a i =13231234X a a a a =+++的数学期望（ ）X ()E X =A ．B ．2C ．D ．34383【答案】C【分析】根据二项分布求期望.【详解】由题意，，()44120,1,2,3,4,C 33kkk X P X k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故24,,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()28433E X ∴=⨯=故选:C.6．“送出一本书，共圆读书梦”，某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动，运送的卡车共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．291811258【答案】A【分析】剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的情况整体分为三种情况：丢失的英语书、数学书和语文书，计算出每种情况的概率即可.【详解】设事件A 表示丢失一箱后任取两箱是英语书，事件表示丢失的一箱为分别表kB ,1,2,3k k =示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得．()()()2223554222219999C C C 11382|2C 5C 10C C 9k k k P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯==∑故选：A7．已知函数，若存在，使不等式成立，则实数()sin f x x x =+[]0,x π∈(sin )(cos )f x x f m x ≤-的最小值为（ ）m A ．B ．C ．D ．1-012π【答案】A【分析】由定义知为奇函数，应用导数研究单调性，将问题转化为上()f x []0,π求的取值范围.min(cos sin )m x x x ≥+m 【详解】由题设，，即在R 上为奇函数；()()sin()(sin )()f x x x x x f x -=-+-=-+=-()f x 在上，故在上递增，易知：在R 上递增，(0,)+∞()1cos 0f x x '=+≥()f x (0,)+∞()f x 又，则，即上；(sin )(cos )f x x f m x ≤-sin cos x x m x ≤-[]0,πmin (cos sin )m x x x ≥+令，则，故上，递增；上，递减，而cos sin y x x x =+cos y x x '=π[0,)20y '≥y (,]2ππ0'<y y ，，此时；0|1x y ==|1x y π==-1m ≥-综上，的最小值为.m 1-故选：A8．如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：l …，记此数列的前n 项之和为，则的值为（ ）．1,3,3,4,6,5,10,n S 32SA ．452B ．848C ．984D ．1003【答案】C【分析】观察杨辉三角结合其中数的来源，可得到这个数列的奇数项的通项公式和偶数项的通项公式，分别求奇数项和与偶数项和，从而得到前n 项和.【详解】设数列为，前32项里面有偶数项16项，奇数项16项，当为偶数时，易知{}n a n ，且，所以，所以偶数项之和为，42n n a +=23a =32324182a +==()318161682+⨯=当为奇数时，，，，，…，n 02221C C ==12333C C ==246C =325510C C ==所以，则，232C n n a +=2231331172C C a +==所以前32项里面奇数项和为：，2222232222234517334517C C C C C C C C C C =++++++++++ 又由组合数性质，所以11C C C m m m n n n -++=，22222322222345173345131876C C C C C 81C C C C C C ++++++++++=== 所以.32816168984S =+=故选：C.二、多选题9．在等比数列中，，若对正整数n 都有，那么公比的取值可以是（ ）{}n a 10a <1n n a a +<q A ．B ．C ．D ．12-1213-13【答案】BD 【分析】根据，判断出即，且.进而根据推知则1n n a a +<n n a a q<(1)n a q -0<0q >10,0a q <>，最后可得的范围.0,10n a q <->q【详解】在等比数列中，，若对正整数都有, 则即；{}n a 10a <n 1n n a a +<n n a a q <(1)0n a q -<若 ，则数列 为正负交错数列，上式显然不成立；0q <{}n a 若 ，则 , 故 ，因此 .0q >0n a <10q ->01q <<所以公比的取值可以是，；q 1213故选：BD.10．已知，分别为随机事件，的对立事件，，，则下列说法正确的是A B A B ()0P A >()0P B >（ ）．A ．B ．()()()P B A P B A P A +=()()1P B A P B A +=C ．若，独立，则D ．若，互斥，则A B ()()P A B P A =A B ()(|)P A B P B A =【答案】BCD【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率公式判断．【详解】选项A 中：，故选项A 错误，选项B 正确；()()()()()1()()P AB P AB P A P B A P B A P A P A ++===选项C 中：，独立，则，则，故选项C 正确；A B ()()()P AB P A P B =()()()()P AB P A B P A P B ==选项D 中：，互斥，则，根据条件概率公式，A B ()0P AB =()()0P B A P A B ==故选项D 正确，故选：BCD11．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，P ABCD -ABCD π3DAB ∠=22AB AD PD ==底面，则（ ）．PD ⊥ABCDA ．B ．与平面所成角为PA BD⊥PB ABCD π6C ．异面直线与D ．二面角AB PC A PB C --【答案】ABD【分析】连接，由已知结合余弦定理与勾股定理逆定理可得，于是可建立空间直角坐BD BD AD ⊥标系，根据空间向量的坐标运算逐项判断即可.【详解】连接，因为，设，BD π3DAB ∠=222AB AD PD a ===由余弦定理得，2222cos BD AD AB AD AB BAD =+-⋅⋅∠所以，则，2222214432BD a a a a =+-⋅=BD =则，即，又底面，底面，222BD AD AB +=BD AD ⊥PD ⊥ABCD ,AD BD ⊂ABCD 所以，,PD AD PD BD ⊥⊥如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，D ,,DA DB DP ,,x y z 则()()()()()0,0,0,,0,0,,0,,0,0,0,D A a B C a P a -对于A ，所以，，则，(),0,PA a a =-()0,,0BD =0000PA BD ⋅=++=所以，故A 正确；PA BD ⊥对于B ，又，因为底面，所以是平面的一个法向(),PB a=-PD ⊥ABCD ()0,0,DP a =ABCD 量，所以，21cos ,22PB DP a PB DP a aPB DP ⋅-===-⋅⋅则与平面所成角的正弦值为，即与平面所成角为，故B 正确；PB ABCD 12PBABCD π6对于C ，，()(),0,,AB a PC a a=-=--则，cos ,AB PC AB PC AB PC⋅===⋅则异面直线与，故C 错误；AB PC 对于D ，设平面的法向量为，则，令PAB ()111,,x n yz = 111111110000ax az x z PA n ax x AB n ⎧-==⎧⎧⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-==⋅=⎪⎪⎪⎩⎩⎩，则，11y =n =设平面的法向量为，则，令PBC ()222,,m x y z =2222222200000az PB m z x PC m ax az ⎧⎧-=⋅==⎪⎪⇒⇒⎨⎨=⋅=-+-=⎪⎪⎪⎩⎩⎩，则，21y=(m =所以cos ,n m n m n m ⋅===⋅令二面角所成角为，则A PBC --()0θθπ≤≤cos θ=则平面与平面PABPBC所以D 正确.sin θ==故选：ABD.12．已知函数，则（ ）()()2e x f x x a =+A ．函数在R 上单调递增，则()f x 1a ≥B ．当时，函数的极值点为－11a =()f x C ．当时，函数有一个大于2的极值点8a <-()f x D ．当时，若函数有三个零点，则0a =()y f x m=-123,,x x x 1233x x x ++<-【答案】ACD【分析】利用导数与函数单调性的关系可判断A ；利用导数与函数的极值点之间的关系判断B ，C ；对于D ，作出函数大致图象，判断的范围，进而根据，可得到123,,x x x 122212e e x x x x =，由此采用换元法并构造函数，从而证明21212lnx x x x -=(),(02)n 1(1l )1t t t t h t =<+<-+，判断D.1233x x x ++<-【详解】对于A ，由可得，()()2e x f x x a =+()()2e 2x f x x x a '=++若函数在R 上单调递增，则恒成立，即恒成立，()f x ()0f x '≥220x x a ++≥故，故，440a ∆=-≤1a ≥经验证时，，仅在时取等号，适合题意，1a =()2e (1)0x f x x '=+≥=1x -故函数在R 上单调递增，则，A 正确；()f x 1a ≥对于B ，当时，，1a =()()2e 1x f x x =+，仅在时取等号，在R 上单调递增，()2e (1)0x f x x '=+≥=1x -()f x 函数无极值点，B 错误；对于C ，由于，()()2e 2x f x x x a'=++当时，，则不妨取，8a <-222(1)10x x a x a ++=++-=1211x x =-=-且或时，函数，1x x <2x x >220y x x a =++>()0f x ¢>当时，函数，，12x x x <<220y x x a =++<()0f x '<故的极小值点，且由于，则，则，C 正确；21x =-()f x 8a <-19a ->22x >对于D ，当时, ,0a =()()22e ,e (2)x x f x x f x x x '=∴=+当或时，，当时，函数，<2x -0x >()0f x ¢>20x -<<()0f x '<则在上单调递增，在上单调递减，且，()f x (,2),(0,)-∞-+∞(2,0)-()0f x ≥故可作出其大致图像如图：函数有三个零点，即函数的图象与直线有三个交点，()y f x m=-123,,x x x ()f x y m =不妨设，由于，而，且，故，123x x x <<()224e f --=()21e 4e f -=>234(e )f x m -=<301x <<由图象可知，122,20x x <--<<考虑到当m 趋近于0时，会趋近于无限小，趋近于0，故猜测，1x 2x 124x x +<-下面给以证明：由题意可知，故，122212e e x x x x =1222212211e ,2ln x x x x x x x x -=∴-=设，则，故，21,01x t t x =<<21x tx =1122ln 2ln (1)2ln ,,11t t t x t t x x t t -=∴==--则，122ln 2ln 2(1)ln 111t t t t tx x t t t ++=+=---要证明，即证，即，124x x +<-2(1)ln 41t t t +<--2(1)ln 01t t t -+<+设，故，(),(02)n 1(1l )1t t t t h t =<+<-+22214(1)()0(1)(1)t h t t t t t --'=+=>++故在上单调递增，()h t (0,1)故，即成立，故，()(1)0h t h <=2(1)ln 41t tt +<--124x x +<-而，故成立，D 正确，301x <<1233x x x ++<-故选：ACD【点睛】难点点睛：解答本题要综合应用导数与函数的单调性以及极值点之间的关系等知识，同时注意数形结合以及构造函数等方法，难点在于判断时，要首先判断出三者的范围，1233x x x ++<-进而数形结合，合理猜测，进而利用构造函数的方法加以证明.三、填空题13．若的展开式中第5项的二项式系数最大，写出一个符合条件的n 的值是(2)nx -_________．（写出一个满足条件的n 的值即可）【答案】7（答案不唯一：7，8，9均可）【分析】分为奇数和偶数两种情形，结合二项式系数的特征即可得结果.n 【详解】当为偶数时，若，第5项二次项系数最大；n 8n =当为奇数时，若，第4、5项二次项系数最大，合乎题意；n 7n =若，第5、6项二次项系数最大，合乎题意；9n =故的值为：7，8，9n 故答案为：7（答案不唯一：7，8，9均可）14．某人投篮命中的概率为0.6，投篮14次，最有可能命中_______次．【答案】8或9【分析】易知投篮命中次数服从二项分布，设最有可能命中m 次，于是，()(1)()(1)P X m P X m P X m P X m =≥=-⎧⎨=≥=+⎩解出不等式即可得到答案.【详解】投篮命中次数，(14,0.6)X B ~1414()C 0.60.4kk k P X k -==⋅⋅设最有可能命中次，则m 14111514141411131414()(1)C 0.60.4C 0.60.4()(1)C 0.60.4C 0.60.4m m m m m m m m m m m m P X m P X m P X m P X m -----++-⎧⎧=≥=-⋅⋅≥⋅⋅⎪⇒⎨⎨=≥=+⋅⋅≥⋅⋅⎪⎩⎩，，或．89m ⇒≤≤ m ∈Z ∴8m =9m =最有可能命中8或9次．故答案为：8或9.15．已知数列的项数为，且，则的前n 项和为{}i a ()N n n *∈1C (1,2,)i i n i n a a i n -++== {}i a n S _______．【答案】212n -【分析】根据倒序相加法求得，再根据二项式系数和公式即可求解.121=C +2C C C n nn n n n nS -+++ 【详解】因为，又，121n n n S a a a a -=++++ 121n n n S a a a a -=++++ 所以()()()()1211212n n n n n S a a a a a a a a --=++++++++ 又因为，1C (1,2,)i i n i n a a i n -++== 所以，即.12112C C 2=C C +n n n n n n n n S -+++=- 12=2n n S -故答案为：.212n -16．设函数，若有且仅有两个整数满足，则实数()()3e 5,Rx f x x tx t t =--+∈(1,2)i x i =()0i f x >的取值范围为_________．t 【答案】e 3,25⎛⎤-- ⎥⎝⎦【分析】设，，利用导数求出的单调区间，即可求出其最大值，依()()3e xg x x =-()()5h x t x =-()g x 题意有且仅有两个整数满足，即可得到且，从而(1,2)i x i =()()i i g x h x >()()110g h ->()()000g h -≤求出参数的取值范围.【详解】设，，则，()()3e xg x x =-()()5h x t x =-()()e 2x g x x '=-，，在上单调递增，(),2x ∴∈-∞()0g x '>()g x (),2-∞，，在上单调递减，()2,x ∈+∞()0g x '<()g x ()2,+∞时函数取极大值即最大值，2x ∴=()g x ()()2max 2e g x g ==又，，，()03g =()12eg =()03g =直线恒过定点且斜率为，()()5h x t x =-()5,0t 要使有且仅有两个整数满足，(1,2)i x i =()0i f x >即有且仅有两个整数满足，(1,2)i x i =()()i i g x h x >且，()()()112e 150g h t ∴-=-->()()()003050g h t -=--≤解得，即.e 325t -<≤-e 3,25t ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦故答案为：．e 3,25⎛⎤-- ⎥⎝⎦四、解答题17．已知等式．6260126(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+++++++ (1)求的值；3a (2)求的值；0126a a a a ++++ (3)求1236236a a a a ++++ 【答案】(1)160-(2)729(3)6-【分析】（1）令将式子转化为，再写出展开式的通项，1t x =+()62601262t a a t a t a t -=++++ ()62t -即可求出；3a （2）令计算可得；1t =-（3）将两边对求导，再令计算可得.()62601262t a a t a t a t -=++++ t 1t =【详解】（1）因为，6260126(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+++++++ 令，则，1t x =+1x t =-所以，()62601262t a a t a t a t -=++++ 又展开式的通项为，令，解得，()62t -()616C 2rr rr T t -+=-6r 3-=3r =所以.()3336C 2160a =⨯-=-（2）因为展开式的通项为，()62t -()616C 2rr rr T t -+=-所以，，，，，，，00a >20a >40a >60a >10a <30a <50a <所以，01260123456a a a a a a a a a a a +++-+=-++-+ 令可得，1t =-()0124663512729a a a a a a a --++-+=--=所以.0126729a a a a ++++= （3）对两边同时对求导可得，()62601262t a a t a t a t -=++++ t ，()523412346556223456t a a t a t a t a t a t -=+++++令可得.1t =()512362366126a a a a ++++=-=- 18．已知数列的前n 项和为，，且满足．{}n a n S 0n a >()241n n S a =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设的前n 项和为，求．14nn n n S b a a +=n T n T 【答案】(1)21n a n =-(2)22221n n n T n +=+【分析】（1）先用替换原式中的，然后两式作差，结合与的关系，即可得到为等()1n -n n a n S {}n a 差数列，从而得到其通项；（2）由（1）的结论，求得及，代入化简，得到的式子，再裂项相消即可求出n S 1n a +14nn n n S b a a +=n T 结果.【详解】（1）因为，当时，，两式作差得()241n n S a =+2n ≥()21141n n S a --=+，()()221121241212n n n n n n n a a a a a a a ---=+-=+--+即，又，所以，当时，，221122n n n n a a a a --+=-0n a >2n ≥12n n a a --=又当时，，解得，1n =()21141a a =+11a =可知数列是以首项为1，公差为2的等差数列，{}n a 所以，即1(1)2n a n =+-⨯21n a n =-（2）由（1）知，所以2(121)2n n n S n +-==，221444111111((21)(21)(21)(21)22121n n n n S n n b a a n n n n n n +-+====+--+-+-+.22111111211(2131112)(1235)2112212n n n n n n T b b n n n n b =+++=-+-+-++=+-=+++-+ 19．设函数．321()(1)32a f x x x a x =-+-(1)若，求函数的单调区间；2a >()f x (2)若函数恰有一个零点，求实数的取值范围．()f x a 【答案】(1)递增区间为，，递减区间为；(),1-∞()1,a -+∞()1,1a -(2).443a <<【分析】（1）利用导数研究的符号，即可得的单调区间.()f x '()f x （2）讨论、、，结合的极值，要使恰有一个零点，有极大值小于0或2a >2a =2a <()f x ()f x 极小值大于0，即可求参数范围.【详解】（1）由题设，，而，则，2()1(1)[(1)]f x x ax a x x a '=-+-=---2a >11a ->由于的关系为：(),(),x f x f x 'x(),1-∞1()1,1a -1a -()1,a -+∞()f x '+极大值-极小值+()f x 递增递减递增所以的递增区间为，，递减区间为；()f x (),1-∞()1,a -+∞()1,1a -（2）当时，由（1），极大值，极小值，2a >34(1)6a f -=2(4)(1)(1)6a a f a ---=要使有且仅有一个零点，所以或，解得，所()f x 34(1)06a f -=<2(4)(1)(1)06a a f a ---=>4a <以；24a <<当时单调递增，显然有且只有一个零点，符合题意；2a =321()3f x x x x =-+当时，递增区间为，，递减区间为；2a <()f x (),1a -∞-()1,+∞()1,1a -极大值，极小值，2(4)(1)(1)6a a f a ---=34(1)6a f -=要使有且仅有一个零点，所以或，解得，所()f x 2(4)(1)(1)06a a f a ---=<34(1)06a f -=>43a >以；423a <<综上：.443a <<20．如图，四面体中，，，，为的中点．ABCD AD CD ⊥AD CD =ADB BDC ∠=∠E AC(1)证明：平面；AC ⊥BDE (2)设，，，点在上，若与平面所成的角的正弦值为DE BE ⊥1DE =60ACB ∠=︒F BD CF ABD点的位置．F 【答案】(1)证明见解析(2)为的四等分点且靠近点位置F BD D【分析】（1）根据已知关系有得到，结合等腰三角形性质得到垂直关系，ABD CBD ≅ AB CB =结合线面垂直的判定即可证明；（2）根据已知求证、、两两垂直，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则DE AC BE 进行计算即可.【详解】（1）因为，为的中点，所以，AD CD =E AC AC DE ⊥在和中，ABD △CBD △,,B A C D CD ADB DB DB D ∠=∠==所以，所以，又为的中点，ABD CBD ≅ AB CB =E AC 所以，又平面，，AC BE ⊥,DE BE ⊂BDE DE BE E ⋂=所以平面.AC ⊥BDE （2）因为，则，，ABD CBD ≅ AB CB =AD CD =由且，所以是等边三角形，60ACB ∠=︒AB CB =ABC 由且，为的中点，AD CD ⊥AD CD =E AC 所以，在等腰直角中，则，ADC △DE =1AE EC ==BE =故，又且，DE AC ⊥BE DE ⊥AC BE ⊥以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，E E xyz -则，所以，，()()()1,0,0,,0,0,1A B D ()()1,0,1,AD AB =-=-()1DB =-设面的一个法向量为，则，取，ABD (),,nx y z = 00n AD x z n AB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩y =()n = 又，，()1,0,0C -()1,0,1CD =设，，(),DF DB λλ==-[]0,1λ∈所以，(),1CF CD DF λ=+=-设与平面所成的角的正弦值为，CF ABD π20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭因为sin cos ,n θ= 所以，cos ,n CF n CF n CF ⋅=== 所以，解得，()2410λ-=14λ=所以为的四等分点且靠近点位置.F BD D21．甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的球队积3分，负队积03:03:1分；以取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为，乙每3:223局获胜的概率为．13(1)甲、乙两队比赛1场后，求乙队积3分的概率；(2)甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率．【答案】(1)19(2)11206561【分析】（1）由题意可知乙队以3：0或3：1取胜，分别求出其概率，进而可求出结果；（2）设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2，由两队积分相等，可推出i i X i Y 3i i X Y =-1i =，再分四种情况，并结合独立事件的概率公式，即可得解．123X X +=【详解】（1）（1）由题意可知乙队以3：0或3：1取胜，当乙队以3：0获胜时，，3111()327P ==当乙队以3：1获胜时，，12232112C (()33327P =⨯⨯⨯=所以甲、乙两队比赛1场后，乙队积3分的概率为.1212127279P P P =+=+=（2）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件，A 设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2，i i X i Y 3i i X Y =-1i =因两队积分相等，所以，即，则，1212X X Y Y +=+1212(3)(3)X X X X +=-+-123X X +=而，()3213121110C 33339P X ⎛⎫⎛⎫==+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222421181C 33381P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2224212162C 33381P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()23232122163C 333327P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()P A 12121212(0)(3)(1)(2)(2)(1)(3)(0)P X P X P X P X P X P X P X P X ===+==+==+==．1168161681611120927818181812796561=⨯+⨯+⨯+⨯=22．已知函数.()()2ln f x x m x m R =+∈（1）当时，求的最值；1m =-()f x （2）当时，记函数的两个极值点为，，且，求2m =()()()5g x f x ax a =-≥1x 2x 12x x <的最大值.()()21g x g x -【答案】（1），无最大值.（2）min 1ln 2()2f x +=154ln 24-【分析】（1）当时，函数，求出函数的导函数，令，从而得到函数1m =-()2ln f x x x=-()'0f x =的单调区间，求出函数的最值；（2）当时，，求出导函数，由函数有两个极值点，可知，是2m =2()2ln (0)g x x x ax x =+->1x 2x 方程的两个不等实根，由韦达定理可得，，因此2220x ax -+=122ax x +=121=x x ，令，则，依题意可得，则()()2221222212ln g x g x x x x -==-+22t x =()()2112ln g x g x t t t -=-+22x ≥令，，利用导数说明其最值即可；1()2ln h t t t t =-+[)4,t ∈+∞【详解】解：（1）当时，函数的定义域为，1m =-()2ln f x x x =-()0,∞+2121'()2x f x x x x -=-=令，得，()'0f x =x =所以函数在上单调递减，在上单调递增，()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭所以，无最大值.min 1ln 2()2f x f +==（2）当时，，.2m =2()2ln (0)g x x x ax x =+->2'()2g x x a x =-+因为，是方程的两个不等实根，1x 2x 2220x ax -+=所以，，122ax x +=121=x x 因此()()()()22212221112ln 2ln g x g x x ax x x ax x -=-+--+.()()222211212122lnx x x x x x x x =-++-+22222122221212ln 2ln x x x x x x x =-+=-+令，则，22t x =()()2112ln g x gx t t t -=-+因为，22x =≥=所以.[)224,t x =∈+∞令，，1()2ln h t t t t =-+[)4,t ∈+∞则，在上恒成立，222221221(1)'()10t t t h t t t t t -+-=--+=-=-<[)4,t ∈+∞所以在上单调递减，1()2ln h t t t t =-+[)4,t ∈+∞故.max 115()(4)42ln 44ln 244h t h ==-+=-即的最大值为.()()21g x g x -154ln 24-【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，单调性以及极值问题，属于中档题.。
南京市高二下学期期中数学试卷(理科)C卷(模拟)
南京市高二下学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·嘉兴期中) 已知复数，其中为虚数单位，则（）A .B .C .D . 22. （2分） (2015高二下·淄博期中) 设p：|4x﹣3|≤1；q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．若┐p是┐q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是（）A . [0， ]B . （0，）C . （﹣∞，0]∪[ ，+∞）D . （﹣∞，0）∪（，+∞）3. （2分） (2016高二下·丰城期中) 用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A . 假设a，b，c不都是偶数B . 假设a，b，c都不是偶数C . 假设a，b，c至多有一个是偶数D . 假设a，b，c至多有两个是偶数4. （2分）已知是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角的余弦值是（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高二下·辽宁期中) 直线y= x+b是曲线y=lnx的一条切线，则实数b的值为（）A . 2B . ln2+1C . ln2﹣1D . ln26. （2分）已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内（）A . (90,110]B . (95,125]C . (100,120]D . (105,115]7. （2分） (2017高二下·临淄期末) 高三（三）班学生要安排毕业晚会的3个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，3个音乐节目恰有两个节目连排，则不同排法的种数是（）A . 240B . 188C . 432D . 2888. （2分）如图所示，由函数f（x）=sinx与函数g（x）=cosx在区间[0，]上的图象所围成的封闭图形的面积为（）A . 3﹣1B . 4﹣2C .D . 29. （2分）(2013·四川理) 抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A .B .C . 1D .10. （2分）如图，直线l⊥平面α，垂足为O，已知边长为2的等边三角形ABC在空间做符合以下条件的自由运动：①A∈l，②C∈α，则B，O两点间的最大距离为（）A . 1+B . 2+C . 1+D . 2+11. （2分）(2017·山东模拟) 若实数a，b均不为零，且x2a= （x＞0），则（xa﹣2xb）9展开式中的常数项等于（）A . 672B . ﹣672C . ﹣762D . 76212. （2分）定义在R上的函数满足，为的导函数，已知函数的图象如图所示.若两正数a,b满足，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·漳州模拟) 如图，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，该几何体是由一个圆锥和一个圆柱组成，若在这个几何体内任取一点，则该点取自圆锥内的概率为________．14. （1分）(2018·中山模拟) 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3，甲乙丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与与的卡片不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．15. （1分） (2017高一上·南昌期末) 函数y=2x2﹣2x﹣3有以下4个结论：①定义域为R，②递增区间为[1，+∞）③是非奇非偶函数；④值域是[ ，∞）．其中正确的结论是________．16. （1分）(2013·上海理) 在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2016高二上·黄陵期中) 已知命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立，q：函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．18. （10分） (2017高二下·武汉期中) 设函数f（x）=aex（x+2），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．（1）求函数f（x），g（x）的解析式；（2）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞﹣4）上的最小值．19. （5分） (2016高二下·汕头期中) 如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，O在AB上，且OB=OC= AB，又PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA=AO= PO．（Ⅰ）求证：PD⊥平面COD；（Ⅱ）求二面角B﹣DC﹣O的余弦值．20. （10分）(2018·长安模拟) 为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与.志愿者的工作内容有两项：①到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物.每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作.相关统计数据如下表所示：（1）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少？（2）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X的分布列及数学期望．21. （10分）(2018·广州模拟) 已知函数 .（1）若 e，求的单调区间；（2）当时，记的最小值为，求证：．22. （10分） (2018高二下·盘锦期末) 已知点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线，将曲线上所有点的纵坐标变为原来的一半，横坐标不变，得到曲线 .（1）求曲线的方程；（2）是曲线上两点，且，为坐标原点，求面积的最大值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、18-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
江苏省南京市南京师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
有 1 件次品的抽法有
种．（请用具体数字作答）
13．已知圆 x2 + y2 - 2ax + a2 - 9 = 0 与圆 x2 + y2 = 4 相内切，则实数 a 的值为
．
( ) ( ) 14．已知存在实数 x，使得不等式 ex2+2 - tex 2 + t x2 - 2x + 2 - 2 ln t £ 0 成立，则实数 t 的取
B．12π 是 f (x) 的一个正周期 D． f (x) 在区间 (0,π) 上单调递增
11．如图，在矩形 ABCD 中， AB = 2 ， BC = 4 ，M 是 AD 的中点，将VABM 沿着直线 BM
翻折得到△A1BM ．记二面角 A1 - BM - C 的平面角为a ，当a 的值在区间 (0,π) 范围内变化 时，下列说法正确的有（ ）
【详解】令 f ( x) = ex - x ，则 f ¢( x) = ex -1， 令 f ¢( x) > 0 ，解得 x > 0 ，令 f ¢( x) < 0 ，解得 x < 0 ， 所以 f ( x) 在(0, +¥ ) 上单调递增， (-¥ , 0) 上单调递减， 所以 f ( x) = ex - x ³ f (0) = 1 ， ex - x ³ 1一定成立，故 A 不合题意；
【详解】根据题意可知， 复数1+ 2i 对应的向量绕原点 O 按逆时针方向旋转 90o 可得
( ) (1+ 2i) cos 90o + isin90o = i (1+ 2i) = i + 2i2 = -2 + i ，
即所得的向量对应的复数为 -2 + i . 故选：A 3．C