高三数学高考专题训练：圆锥曲线最值问题课件人教版
值为________.
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研修班
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回顾反思与能力提升：
1、关键是什么？ 2、应注意的问题有哪些？ 3、参数法和基本不等式法是否也是函数法？
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研修班
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小结:
圆锥曲线的最值问题解决方法较多， 常见的有五种.有些题目可以用多种方法 解决，遇到此类题目时，要选取适当地 方法。
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方法二：
切 线 法
当所求的最值是圆锥曲线上点到某条
直线的距离的最值时，可以通过作与这条 直线平行的圆锥曲线的切线，则两平行线 间的距离就是所求的最值，切点就是曲线 上去的最值时的点。
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例2、求椭圆
x 2 y 1 上的点到直线 y x 2 3 的距 2
AP ( x 6, y ) , FP ( x 4, y ) , AF FP ( x 6)( x 4) y 0
2
(1) (2)
3 x 2 由(1)、(2)及y>0得 y 5 3 2
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研修班
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方法三:
参 数 法
根据曲线方程的特点，用适当的参数表示
曲线上点的坐标，把所求的最值归结为求解关
于这个参数的函数的最值的方法.
关键：选取适当的参数表示曲线上的坐标
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x 例3、在平面直角坐标系中，P(x,y)是椭圆 y 1 2
上动点，则S=x+y的最大值是________.
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回顾反思与能力提升：
1、关键是什么？ 2、应注意什么？
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研修班
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方法四:
函 数 法
把所求最值的目标表示为关于某个变量的
函数，通过研究这个函数求最值，是求各类最
值最为普遍的方法. 关键：建立函数关系式
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例5、点A、B分别是椭圆 x y 1 的长轴的左右端
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两点之间线段最短研修班
4
x2 y 2 例1、已知点F是双曲线 1 的左焦点，定点 4 12
A（1，4），P是双曲线右支上动点，则 PF PA y A 的最小值为 .
解析：设双曲线右焦点为F
/
P x
PF PA PF PF PA PF 2a PA PF
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方法四:
基本不等式法
先将所求最值的量用变量表示出来，再利
用基本不等式求这个表达式的最值.
这种方法是求圆锥曲线中最值问题应用最 为广泛的一种方法.
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例4、设椭圆中心在坐标原点A（2，0）、B（0，1）是它
的两个顶点，直线 y kx (k 0)与椭圆交于E、F两点， 求四边形AEBF面积的最大值. y 思维导图：
3x 2 4bx 2b 2 2 0
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变式训练：
动点P在抛物线 y 2 x 上，则点P
到直线 y x 4 的距离最小时，P点的坐
标为_________.
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研修班
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回顾反思与能力提升：
1、此法用了哪种数学思想方法？ 2、有没有别的办法？ 3、要注意画出草图，根据图形确定何时取最大 值，何时取最小值.
高三复习专题训练：
圆锥曲线的最值问题
高考地位:
最值问题是高考的热点，而圆锥曲线
的最值问题几乎是高考的必考点，不仅会
在选择题或填空题中进行考察，在综合题
中也往往将其设计为试题考查的核心。
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研修班
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方法一:
圆锥曲线的定义转化法 根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化 这是求圆锥曲线最值问题的基本方法。
y
2
离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.
思维导图：
求与 y x 2 3平行的椭圆 的切线
o
x
切线与直线 y x 2 3 的距离为 最值，切点就是所求的点.
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例2、求椭圆
x 2 y 1 上的点到直线 y x 2 3 的距 2
1 当且仅当 2k 1 即 k 时" " 成立. 2 Smax 2 2
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变式训练：
x2 y 2 已知椭圆 1 的左右焦点 3 2 分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D
两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且 AC⊥BD，求四边形ABCD面积的最小值.
为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等，
关键：用好圆锥曲线的定义
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x2 y 2 例1、已知点F是双曲线 1 的左焦点，定点 4 12
A（1，4），P是双曲线右支上动点，则 PF PA y A 的最小值为 .
思维导图： 根据双曲线的定义，建立点A、 P与两焦点之间的关系 F x P
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1 4(1 2k ) 2(1 2k ) S 5 2 2 2 5(1 4k ) (1 4k ) (1 2k ) 1 4k 4k 2 2 2 2 1 4k 1 4k
2 2
4k 2 2 1 2 2 2 1 4k
用k表示四边形的面积 E 根据基本不等式求最值
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B
F
x
A
例4、设椭圆中心在坐标原点A（2，0）、B（0，1）是它
的两个顶点，直线 y kx (k 0)与椭圆交于E、F两点， 求四边形AEBF面积的最大值.
x 2 解析：依题意设得椭圆标准方程为 y 1 4 直线AB、EF的方程分别为 x 2 y 0 , y kx (k 0)
思维导图： 根据椭圆的参数方程表示x、y
2
将S表示成关于参数的函数
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解析：设P点坐标为 x 3 cos
y sin
(0 2 )
则 S x y
3 cos sin
3 1 2( cos sin ) 2 2
2
x 2 2 2 y 1 4 x1 , x2 2 2 1 4k 1 4k y kx
2
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设 E( x1, kx1 ) F ( x2 , kx2 ) ( x1 x2 )
根据点到直线距离公式及上式，点E、F到AB的距离分别为
h1 h2
x1 2kx1 2 5 x2 2kx2 2 5
2(1 2k 1 4k )
2
5(1 4k )
2
2(1 2k 1 4k 2 ) 5(1 4k 2 )
又 AB 5
1 ∴四边形AFBE的面积为 S AB (h1 h2 ) 2
2
2
36
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点，F为右焦点，P在椭圆上，位于x轴的上方，且PA⊥PF 若M为椭圆长轴AB上一点，M到直线AP的距离等于|MB|.求 椭圆上点到点M的距离的最小值. 思维导图： 把所求距离表示为椭圆 上点的横坐标的函数 A M F B y P x
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求这个函数的最小值 研修班
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解析：由已知可得点A(-6，0)、F(4,0),设点P(x,y)，则
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F
4 AF 9
研修班
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变式训练：
已知P点为抛物线 y 2 4 x 上的点，那么 P点到点Q（2，-1）的距离与P点到抛物线焦点 的距离之和的最小值为 为 _. _ __，此时P点坐标
y x Q
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回顾反思与能力提升：
1、若圆锥曲线为椭圆，A为椭圆内一点，有可 得出什么结论，能否自己设计出一道题目； 2、体现了什么数学思想方法？ 3、理论根据是什么？ 4、此法适合解决那类问题？
2
离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.
解：设椭圆与 y x 2 3平行的切线方程为 y x b
y x b 2 x (1) (4b) 2 4 3 (2b 2 2) 0 2 y 1 2 b 3
6 1)当b 3时, 代入(1)得d min ; 2 3 6 2)当b 3时, 代入(1)得d max . 2012-12-27 研修班 2
x y 1 36 20
2
2
∴AP的方程为
x 研修班 6 0 3y
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m6 设M(m，0)，则点M到直线AP的距离d , MB 6 m 2
m6 6 m m 2 2
d 2 ( x0 2) 2 y0 则
设椭圆上点（x0,y0）到M距离为d
5 2 x0 4 x0 4 20 x0 9 4 9 2 ( x0 ) 15 6 x0 6 9 2 9 当x0 时，d max 15 2012-12-27 研修班 2
2
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变式训练：
x2 已知双曲线C： y 2 1 ，P为C 4 上任一点，点A（3，0），则|PA|的最小
2sin( ) 3
时， Smax 2 .
研修班 15
∴当
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变式训练：
设 a, b R
高三数学圆锥曲线中的最值问题 优质课件
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题
则| PBB||5| |PPQF ||的最小值 ____4_____;
4
| PB | | PF |的最小值 __1_0____3_7__ .
y
y
PQ
B
O
F
x
P
B
P2
P1 F1 O
F
x
利用圆锥曲线的定义将折线段和的问题化归为平面上直线段最短来解决.
小结
圆锥曲线中的最值问题（一）
y
16 9
B
题 的 两 个 顶 点 ，C、D是 椭 圆 上 两 点 ，
且 分 别 在AB两 侧 ， 则 四 边 形ABCD
O
面 积 的 最 大 值 是_1_2___2___.
D
C x
A
例1.设 实 数x，y满 足 x2 y2 1 16 9
则3x 4 y的 最 大 值 是_1_2__2__，
y2 b2
1(a
0，b
0)的 离
心率，则e1 e2的最小值是___2__2__.
想 1. 已知双曲线 x 2 y2 1，过其右焦点F的直线l交
一
16 9 双曲线于AB，若 | AB | 5，则直线l有 __2__ 个.
想
y
y
P
O
Fx
F1 O
F2
x
2.已
知
椭
圆
x a
2 2
y2 b2
记A(c,0)
则C( c , h) 2
E( x0 , y0 )
设双曲线的方程为 x2 a2
y2 b2
1，则e
c a
由定比分点坐标公式得：x0
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 课件(67张)
55 15 .
所以△ABP面积的最大值为251635 5.
[方法技巧] (1)当题目中给出的条件有明显的几何特征，考虑用
图象性质来求解． (2)当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，
则可以建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最 值的常用方法有配方法、判别式法、单调性法、三角换 元法等．
利用基本不等式求最值 [例 3] (2017·太原模拟)已知椭圆 M：xa22＋y32＝1(a>0)的一个 焦点为 F(－1,0)，左、右顶点分别为 A，B.经过点 F 的直线 l 与 椭圆 M 交于 C，D 两点． (1)当直线 l 的倾斜角为 45°时，求线段 CD 的长； (2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为 S1 和 S2，求|S1－S2，所以椭圆 M 的方程为x42＋y32＝1， 易求直线方程为 y＝x＋1，联立方程，得x42＋y32＝1，
y＝x＋1， 消去 y，得 7x2＋8x－8＝0， 设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，Δ＝288，x1＋x2＝－87，x1x2＝－87， 所以|CD|＝ 2|x1－x2|＝ 2 x1＋x22－4x1x2＝274.
[答案] C
[方法技巧] 利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定
理、性质等进行求解，也叫做几何法．
建立目标函数求最值 [例 2] 已知△ABP 的三个顶点都在抛 物线 C：x2＝4y 上，F 为抛物线 C 的焦点，
点 M 为 AB 的中点， PF ＝3FM . (1)若|PF|＝3，求点 M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值． [解] (1)由题意知焦点 F(0,1)，准线方程为 y＝－1. 设 P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|＝y0＋1，得 y0＝2， 所以 P(2 2，2)或 P(－2 2，2)， 由 PF ＝3FM ，得 M－232，23或 M232，23.
专题3-3 圆锥曲线最值问题-(人教A版2019选择性必修第一册) (教师版)
圆锥曲线最值问题1 常见的几何模型①圆外点到圆上点的距离圆⊙O外一点A与圆上一点B的距离AB最小值是AB1=AO−r，最大值AB2=AO+r(r是圆的半径).②圆上点到圆外直线的距离圆上一动点P到圆外一定直线l的距离最小值是d−r，最大值d+r(r是圆的半径，d是圆心到直线l的距离)；③三点共线模型一动点P到两定点A、B的距离分别为PA、PB，当P、A、B共线，且点P在A、B之间时，PA+PB取到最小值P1A+P1B=AB；当P、A、B共线，且点P在A、B同侧时，|PA−PB|取到最大值|P1A−P1B|=AB；其本质是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；④将军饮马模型点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，那(AP+BP)min=AP1+BP1；⑤垂线段最值模型点A是∠MON内外的一点，点P在OM上，PA与点P到射线ON的距离之和为PA+PB．(1) 点A是∠MON外，(PA+PB)min=AB1(2) 点A是∠MON内，(PA+PB)min=A′B1⑥胡不归模型如图，求k∙AC+BC(0<k<1)，构造射线AE，使得角度sinα=k，则k∙AC+BC=CD+BC，问题转化为“垂线段模型”，则(k∙AC+BC)min=BF.⑦阿氏圆模型如图，圆O半径是r，点A，B在圆O外，点P是圆O上一动点，已知r=k∙OB，求k∙BP+AP的最小值.在线段OB上截取OC=k∙r，则COOP =OPOB=k⇒∆BPO∽∆PCO，即k∙PB=PC，则k∙BP+AP的最小值转化为PC+PA的最小值，当然是AC，即(k∙BP+AP)min=AC.2最值问题常见处理方法①几何法通过观察掌握几何量的变化规律，利用几何知识点找到几何量取到最值的位置，从而求出最值，这需要熟悉常见的几何模型.②代数法理解几何量之间的变化规律，找到“变化源头”，通过引入恰当的参数(一般与源头有关)，把所求几何量表示成参数的式子，再利用求函数最值的方法（基本不等式、换元法、数形结合等）求得几何量的最值.【方法一】几何法【典题1】已知椭圆C：x225+y216=1内有一点M(2 ,3)，F1 ,F2为椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上的一点，求：(1)|PM|－|PF1|的最大值与最小值；(2)|PM|+|PF1|的最大值与最小值．【解析】(1)由椭圆C：x 225+y216=1可知a=5 ,b=4 ,c=3，则F1(－3 ,0) ,F2(3 ,0)，则||PM|－|PF1||≤|MF1|=√34，当且仅当P、M、F1三点共线时成立，所以−√34≤|PM|－|PF1|≤√34，所以|PM|－|PF1|的最大值与最小值分别为√34和−√34；(2)2a=10 ,F2(3 ,0) ,|MF2|=√10，设P是椭圆上任一点，由|PF1|+|PF2|=2a=10 ,|PM|≥|PF2|－|MF2|，∴|PM|+|PF1|≥|PF2|－|MF2|+|PF1|≥2a－|MF2|=10−√10，等号仅当|PM|=|PF2|－|MF2|时成立，此时P、M、F2共线，由|PM|≤|PF2|+|MF2|，∴|PM|+|PF1|≤|PF2|+|MF2|+|PF1|=2a+|MF2|=10+√10，等号仅当|PM|=|PF2|+|MF2|时成立，此时P、M、F2共线，故|PM|+|PF1|的最大值10+√10与最小值为10−√10．【点拨】本题采取几何法，通过三点共线模型与椭圆的定义进行求解.【典题2】设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，记点P到点A(－1 ,1)的距离与点P到直线x=－1的距离之和的最小值为M，若B(3 ,2)，记|PB|+|PF|的最小值为N，则M+N=．【解析】如图所示，过点P作PG垂直于直线x=－1，垂足为点G，由抛物线的定义可得|PG|=|PF|，所以点P到直线x=－1的距离为|PG|，所以|PA|+|PG|=|PA|+|PF|≥|AF|=√5，(三点共线模型)当且仅当A、P、F三点共线时，|PA|+|PG|取到最小值，即M=√5．如图所示，过点P作直线PH垂直于直线x=－1，垂足为点H，由抛物线的定义可得|PH|=|PF| ,点B到直线x=－1的距离为d=4，所以|PB|+|PF|=|PB|+|PH|≥4，当且仅当B、P、H三点共线时，等号成立，即N=4，(垂线段最值模型)因此M+N=√5+4．【点拨】①本题采取几何法，通过几何模型与抛物线的定义进行求解；②处理抛物线类似的题目，注意点在抛物线之内还是之外，比如本题点A在抛物线外，点B在抛物线内.=1，如图，点A的坐标为(−√5 ,0)，B是圆x2+(y−√5)2=1上的点，【典题3】已知双曲线方程为x2−y24点M在双曲线的右支上，求|MA|+|MB|的最小值．【解析】设点D的坐标为(√5，0)，则点A ,D是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|MA|－|MD|=2a=2．∴|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，(此时相当于把点B看成“定点”看待，当M,B,D三点共线时|MB|+|MD|取到最小值，这是处理两动点的常规方法)又B 是圆x 2+(y −√5)2=1上的点，圆心为C(0，√5)， 半径为1，故|BD|≥|CD|－1=√10−1， 从而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥√10+1，当点M ,B 在线段CD 上时取等号，即|MA|+|MB|的最小值为√10+1．【点拨】本题眨眼一看，存在两动点M 、B ，有些头疼.题中通过双曲线的定义把|MA|+|MB|的最小值转化为|BD|最小值问题，这就是圆外一点到圆上最短距离问题，即|BD|≥|CD|－1=√10−1.注意两动点最值问题处理的方式.【典题4】 椭圆x 24+y 23=1上的点到直线l ：2x +√3y －9=0的距离的最大值为 .【解析】 设与直线2x +√3y －9=0平行的直线2x +√3y +m =0与椭圆x 24+y 23=1相切，由{2x +√3y +m =0x 24+y 23=1得25x 2+16mx +4m 2−36=0， 由∆=0得m =±5，设直线2x +√3y +m =0与直线2x +√3y －9=0的距离为d ， 当m =5时，d =4√77； 当m =−5时，d =2√7.椭圆x 24+y 23=1上的点到直线2x +√3y －9=0的距离的最大值为2√7.【点拨】通过观察，可知与直线l 平行且与椭圆相切的直线与椭圆的切点即是取到最小距离的点，最小距离为两平行线的距离.【方法二】代数法【典题1】 求点A(a ,0)到椭圆x 22+y 2=1上的点之间的最短距离． 【解析】设椭圆x 22+y 2=1上的点P(x ,y)，其中−√2≤x ≤√2，则PA 2=(x −a )2+y 2=(x −a)2+1−x 22=x 22−2ax +a 2+1 (曲线消元)设f (x )=x 22−2ax +a 2+1， −√2≤x ≤√2，其对称轴为x =2a ，(构造函数，问题转化为二次函数定区间动轴最值问题) ① 当2a <−√2，即a <−√22时，y =f(x)在[−√2 ,√2]上递增，则f (x )min =f(−√2)=a 2+2√2a +2=(a +√2)2，即PA 的最小值为|a +√2|； ②当−√2≤2a ≤ √2，即−√22≤a ≤√22时，y =f(x)在[−√2 ,√2]上先递减再递增，则f (x )min =f (2a )=2a 2−4a 2+a 2+1=1−a 2，即PA 的最小值为√1−a 2； ③当2a > −√2，即a >−√22时，y =f(x)在[−√2 ,√2]上递减，则f (x )min =f(√2)=a 2−2√2a +2=(a −√2)2，即PA 的最小值为|a −√2|； 综上，当a <−√22时，|PA|最小为|a +√2|；−√22≤a ≤√22时，|PA|最小为√1−a 2；a >−√22时，|PA|最小为|a −√2|．【点拨】① 两点A 、B 距离AB 往往用两点距离公式√(x A −x B )2+(y A −y B )2表示；② 本题把求距离最值问题转化为函数的最值问题，函数问题优先讨论定义域x ∈[−√2 ,√2]，函数含有参数a ，则按照“二次函数动轴定区间最值问题”的解题套路根据对称轴x =2a 与区间[−√2 ,√2]的相对位置进行分类讨论；③ 本题还是利用椭圆的参数方程{x =acosθy =bsinθ，设椭圆上点P(√2cosθ ,sinθ)，从而构造函数|PA|=√cos 2θ−2√2acosθ+a 2+1进行分析，相当引入变量θ表示PA ，而解析中是引入变量x .【典题2】 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，离心率为√22，点B 是椭圆上的动点，△ABF 1的面积的最大值为√2−12． (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 1的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中垂线为l′．若直线l′与直线l 相交于点P ，与直线x =2相交于点Q ，求|PQ||MN|的最小值．【解析】(1)过程略，椭圆C 的方程为x 22+y 2=1． (2)(采取代数法，思路很直接，引入变量表示|PQ||MN|再求其最值，而|PQ |,|MN|是线段，用两点距离公式和弦长公式求出，由于它们是由直线l 引起，故该变量与直线方程有关) 由题意知直线l 的斜率不为0，故设直线l 的方程为x =my －1， 设M(x 1 ,y 1) ,N(x 2 ,y 2) ,P(x P ,y P ) ,Q(2 ,y Q )． 联立{x 2+2y 2=2x =my −1，得(m 2+2)y 2－2my －1=0．此时△=8(m 2+1)>0．∴y 1+y 2=2mm 2+2，y 1y 2=−1m 2+2．由弦长公式，得|MN |=√1+m 2|y 1−y 2|=√1+m 2√4m 2+4m 2+8m 2+2=2√2⋅m 2+1m 2+2，(用m 表示|MN |，弦长公式求得) 又y P =y 1+y 22=m m 2+2，∴x P =my P －1=−2m 2+2．∴P(−2m 2+2,mm 2+2)，∵直线l 与直线l′相互垂直，∴k PQ ∙k l =−1 ∴y Q −m m 2+22+2m 2+2⋅1m=−1⇒y Q =−2m −mm 2+2, 即Q(2 ,−2m −mm 2+2)，∴|PQ|=√1+m 2⋅2m 2+6m 2+2，∴|PQ||MN|=22√2√m 2+1=√22⋅2√m 2+1=√22(√m 2+1√m 2+1)≥2，当且仅当√m 2+1=√m 2+1m =±1时等号成立．∴当m =±1，即直线l 的斜率为±1时，|PQ||MN|取得最小值2． 【点拨】 ① 本题中求|PQ||MN|的最小值，用代数法，则可把|PQ|、|MN|表示出来，|MN|用到了弦长公式，而|PQ|用两点距离公式，最后|PQ||MN|=√222√m 2+1，则问题就转化为求函数f (m )=√22⋅2√m 2+1的最小值，利用了基本不等式求解；② 求|PQ|时，也可以|PQ |=√1+m 2|x P −2|=√1+m 2⋅2m 2+6m 2+2.【典题3】P是抛物线x2=2y上的动点，过P(x0 ,y0)作圆C：x2+(y－1)2=1的两条切线l1，l2交x轴于A，B 两点，(1)若两条切线l1，l2的斜率乘积为1，求P点的纵坐标；(2)求当4<y0<8时，△PAB面积的取值范围．【解析】(1)设点直线PA ,PB的斜率分别为k1 ,k2，记P(x0 ,y0)∴PA的方程：y－y0=k1(x－x0)，则由直线l1与圆相切得：010√1+k1=1⇒(x02−1)k12+2x0(1−y0)k1+y02−2y0=0同理直线l2与圆相切可得(x02−1)k22+2x0(1−y0)k2+y02−2y0=0所以k1 ,k2是(x02−1)k2+2x0(1−y0)k+y02−2y0=0的两根，∴k1k2=y02−2y0 x02−1又∵k1k2=1．∴y02−2y0=x02−1，又x02=2y0，∴y02−4y0+1=0，∴y0=2±√3．(2)由(1)得x A=x0−y0k1，x B=x0−y0k2，∴S△PAB=12|AB||y P|=12y02|1k1−1k2|=12y02|k2−k1k1k2|由(1)知：|k1k2|=|y02−2y0x02−1| ,|k1−k2|=|2√y02−2y0+x02x02−1|=|2√y02x02−1|=|2y0x02−1|；∴S△PAB=12y02|k2−k1k1k2|=12y02|2y0y02−2y0|=y02|y0−2|=y02y0−2，故令t=y0－2∈(2 ,6)，∴S△PAB=y02y0−2=(t+2)2t=t+4t+4∵f(t)=t+4t+4在(2 ,6)上递增，故函数值域为(8 ,323)，即△PAB 面积的取值范围为(8 ,323)．【点拨】① 若x 1、x 2满足ax 12+bx 2+c =0 ,ax 22+bx 2+c =0(a ≠0)，则x 1、x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根；② 本题求△PAB 面积的取值范围，则先求出S △PAB =y 02y 0−2(本题给出了y 0的范围，用y 0作为变量表示面积很自然)，则问题就变成求函数f (y 0)=y 02y 0−2， y 0∈(4 ,8)的值域问题，用到了换元法与对勾函数f (t )=t +4t的性质.【典题4】 如图，已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)，G 为圆H ：(x +2)2+y 2=1上一动点，由G 向C 引切线，切点分别为E ，F ，当G 点坐标为(－1 ,0)时，△GEF 的面积为4． (1)求C 的方程；(2)当点G 在圆H ：(x +2)2+y 2=1上运动时，记k 1，k 2，分别为切线GE ，GF 的斜率，求|1k 1−1k 2|的取值范围．【解析】(1)设切线方程为：y =k(x +1)，不妨设k >0． 联立{y =k(x +1)y 2=2px ，化为k 2x 2+(2k 2－2p)x +k 2=0，则△=(2k 2－2p)2－4k 4=0，化为p =2k 2．方程k 2x 2+(2k 2－2p)x +k 2=0化为(x －1)2=0，解得x =1． ∴E(1 ,2k)，由对称性可知F(1,−2k)，∵△GEF 的面积为4，∴12×2×4k =4，解得k =1． ∴p =2．∴C 的方程为：y 2=4x ．(2)设G(x 0 ,y 0) ,(－3≤x 0≤－1)，则y 02=1−(x 0+2)2．设切线方程为：y －y 0=k(x －x 0)，联立{y −y 0=k(x −x 0)y 2=4x ，化为ky 2－4y +4(y 0－kx 0)=0，△1=16－16k(y 0－kx 0)=0．∴x 0k 2－ky 0+1=0，∴k 1+k 2=y 0x 0,k 1k 2=1x 0，∴|k 1－k 2|=√(k 1+k 2)2−4k 1k 2=√y 02x 02−4x 0=√y 02−4x 0|x 0|．∴|1k 1−1k 2|=|k 1−k 2||k 1k 2|=√y 02−4x 0=√1−(x 0+2)2−4x 0=√−(x 0+4)2+13∈[2 ,2√3].∴|1k 1−1k 2|的取值范围是[2 ,2√3]．【点拨】理解到本题的变化源头在点G(x 0 ,y 0)，利用直线与抛物线相切把|1k 1−1k 2|用x 0 ,y 0表示，由于y 02+(x 0+2)2=1，想到消元y 0，得到|1k 1−1k 2|=√−(x 0+4)2+13，把问题转化为求函数f (x 0)=√−(x 0+4)2+13的值域，注意到x 0的取值范围. 巩固练习1(★★) 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，定点A(2 ,2)，在此抛物线上求一点P ，使|PA|+|PF|最小，则P 点坐标为( ) A ．(－2,2) B ．(1，√2)C ．(1,2)D ．(1,－2)【答案】 C【解析】根据抛物线的定义，点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离， 设点P 到准线l ：x =－1的距离为PQ,则所求的|PA|+|PF|最小值，即|PA|+|PQ|的最小值；根据平面几何知识，可得当P 、A 、Q 三点共线时|PA|+|PQ|最小， ∴|PA|+|PQ|的最小值为A 到准线l 的距离；此时P 的纵坐标为2，代入抛物线方程得P 的横坐标为1，得P(1,2) 故选：C ．2(★★) F 是椭圆x 29+y 25=1的左焦点，P 是椭圆上的动点，A(1 ,1)为定点，则|PA|+|PF|的最小值是( ) A ．9−√2B ．3+√2C ．6−√2D ．6+√2 【答案】 C【解析】椭圆x 29+y 25=1的a =3，b =√5，c =2，如图，设椭圆的右焦点为F′(2,0)，则|PF|+|PF′|=2a =6；∴|PA|+|PF|=|PA|+6－|PF′| =6+|PA|－|PF′|；由图形知，当P 在直线AF′上时，||PA |－|PF ′||=|AF ′|=√2，当P 不在直线AF′上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，||PA|－|PF′||<|AF′|=√2；∴当P 在F′A 的延长线上时，|PA|－|PF′|取得最小值−√2，∴|PA|+|PF|的最小值为6−√2．故选：C ．3(★★) 点P 是双曲线x 24−y 2=1的右支上一点，M 、N 分别是(x +√5)2+y 2=1和(x −√5)2+y 2=1上的点，则|PM|－|PN|的最大值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】C【解析】双曲线x 24−y 2=1中，如图：∵a =2,b =1,c =√5，∴F 1(−√5,0),F 2(√5,0)，∴|MP|≤|PF 1|+|MF 1|，…①∵|PN|≥|PF 2|－|NF 2|，可得－|PN|≤－|PF 2|+|NF 2|，…②∴①②相加，得|PM|－|PN|≤|PF 1|+|MF 1|－|PF 2|+|NF 2|=(|PF 1|－|PF 2|)+|MF 1|+|NF 2|∵|PF 1|－|PF 2|=2a =2×2=4,|MF 1|=|NF 2|=1∴|PM|－|PN|≤4+1+1=6故选：C ．4(★★★) 【多选题】已知抛物线x 2=2py(p >0)的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ．若抛物线C 上存在一点E(t ,2)到焦点F 的距离等于3．则下列说法正确的是( )A ．抛物线的方程是x 2=2yB ．抛物线的准线是y =－1C ．sin∠QMN 的最小值是12D ．线段AB 的最小值是6【答案】BC【解析】(1)抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F (0，p 2)，得抛物线的准线方程为y =−p 2， 点点E(t,2)到焦点F 的距离等于3，可得2+p 2=3，解得p =2， 则抛物线C 的方程为x 2=4y ；所以A 不正确；抛物线的准线方程：y =－1，所以B 正确；(2)由题知直线l 的斜率存在，F(0,1)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线l 的方程为y =kx +1，由{y =kx +1x 2=4y，消去y 得x 2－4kx －4=0，所以x 1+x 2=4k,x 1x 2=－4，所以y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2=4k 2+2，所以AB 的中点Q 的坐标为(2k,2k 2+1)，|AB|=y 1+y 2+p =4k 2+2+2=4k 2+4，所以圆Q 的半径为r =2k 2+2，在等腰△QMN 中，sin∠QMN =|y Q |r =2k 2+12k 2+2=1−12k 2+2≥1−12=12， 当且仅当k =0时取等号．所以sin∠QMN 的最小值为12．所以C 正确； 线段AB 的最小值是：y 1+y 2+2=4k 2+4≥4．所以D 不正确；故选：BC ．5(★★) 设P ,Q 分别为圆x 2+(y −6)2=2和椭圆x 210+y 2=1上的点，则P ,Q 两点间的最大距离是 ．【答案】 6√2【解析】设椭圆上的点为(x,y)，则∵圆x 2+(y －6)2=2的圆心为(0,6)，半径为√2， ∴椭圆上的点(x,y)到圆心(0,6)的距离为√x 2+(y −6)2=√10(1−y)2+(y −6)2=√−9(y +23)2+50≤5√2∴P,Q 两点间的最大距离是5√2+√2=6√2．6(★★★) E 、F 是椭圆x 24+y 22=1的左、右焦点，点P 在直线x =2√2上，则∠EPF 的最大值是 ．【答案】π6 【解析】设P(2√2，t)(t >0)，则tan∠EPF =tan(∠EPM －∠FPM)=3√2t −√2t 1+3√2×√2t 2=2√2t+6t ≤√33(当且仅当t =√6时取等号) 此时tan∠EPF =√33，∠EPF =π6. 7(★★★) 已知过抛物线C ：y 2=4x 焦点的直线交抛物线C 于P,Q 两点，交圆x 2+y 2－2x =0于M ，N 两点，其中P ，M 位于第一象限，则1|PM|+4|QN|的最小值为 ．【答案】4【解析】设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，再设PQ 的方程为x =my +1，联立{x =my +1y 2=4x，得y 2－4my －4=0． ∴y 1+y 2=4m ，y 1y 2=－4，则x 1x 2=(y 1y 2)216=1．|PM|∙|QN|=(|PF|－1)(|QF|－1)=(x 1+1－1)(x 2+1－1)=x 1x 2=1，则1|PM|+4|QN|≥2√1|PM|⋅4|QN|=4． ∴1|PM|+4|QN|的最小值为4．8(★★★) 如图，抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，以A(x 1 ,y 1)(x 1≥0)为直角顶点的等腰直角△ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线C 上．(1)过Q(0 ,－3)作抛物线C 的切线l ，切点为R ，点F 到切线l 的距离为2，求抛物线C 的方程；(2)求△ABC 面积的最小值．【答案】 (1) x 2=4y (2) 4p 2【解析】(1)设过点Q(0,－3)的抛物线C 的切线l ：y =kx －3，联立抛物线C ：x 2=2py(p >0)，得x 2－2pkx +6p =0，则△=4p 2k 2－4×6p =0，得pk 2=6，∵F(0，p 2)，F 到切线l 的距离为d =|p 2+3|√k 2+1=2， 化简得(p +6)2=16(k 2+1)，∴(p +6)2=16(6p +1)=16(p+6)p∵p >0，∴p +6>0，得p 2+6p －16=(p +8)(p －2)=0，∴p=2．∴抛物线方程为x2=4y．(2)已知直线AB不会与坐标轴平行，设直线AB：y－y1=t(x－x1)(t>0)，联立抛物线方程，得x2－2ptx+2p(tx1－y1)=0，则x1+x B=2pt，则x B=2pt－x1，同理可得x C=−2pt−x1．∵|AB|=|AC|，即√1+t2|x B－x1|=√1+1t2|x C－x1|，∴t(x B－x1)=x1－x C，即x1=p(t 2−1t)t+1．∴|AB|=√1+t2|x B－x1|=√1+t2(2pt－2x1)=2p√1+t2(t2+1)t(t+1)．∵t2+1t≥2(当且仅当t=1时，等号成立)，√t2+1 t+1=√t2+1t2+2t+1≥√t2+1t2+1+(t2+1)=√22(当且仅当t=1时等号成立)，所以|AB|≥2√2p，△ABC面积的最小值为4p2．9(★★★★) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)，焦点为F，直线l交抛物线C于A(x1 ,y1)，B(x2 ,y2)两点，D(x0 ,y0)为AB的中点，且|AF|+|BF|=1+2x0．(1)求抛物线C的方程；(2)若x1x2+y1y2=－1，求x0|AB|的最小值．【答案】(1) y2=2x(2) √24【解析】(1)根据抛物线的定义知|AF|+|BF|=x1+x2+p，x1+x3=2x D，∵|AF|+|BF|=1+2x D，∴p=1，∴y2=2x．(2)设直线l的方程为x=my+b，代入抛物线方程，得y2－2my－2b=0，∵x1x2+y1y2=－1，即y12y124+y1y2=−1，∴y1y2=－2，即y1y2=－2b=－2，∴b=1，∴y1+y2=2m，y1y2=－2，|AB|=√1+m2|y1−y2|=√1+m2⋅√(y1+y2)2−4y1y2=2√1+m2⋅√m2+2x D=x1+x22=y12+y124=14[(y1+y2)2−2y1y2]=m2+1，∴x0|AB|=22√m2+1⋅√m2+2令t=m2+1，t∈[1,+∞)，则x0|AB|=2√t⋅√t+1=2√1+1t≥√24；即x0|AB|的最小值为√24．。
圆锥曲线中变量的最值问题ppt 人教课标版
A B A B P L P L
图3
图4
⑶①圆上一个动点P到圆外一个定点M的距离的最大与最小值?
②圆上一个动点P到与圆相离的直线的距离的最大与最小值?
——求曲线上一动点到圆上一动点的距离的最大（小）值问题， 常转化为求曲线上的动点到圆心的距离的最大（小）值问题。
⑷回顾三种圆锥曲线的定义及其焦半径的取值范围。
x
k2
P
O
k , k k , 1 2
k1
x2 y2 A、B是椭圆 1 变 如图，已知 16 9 题 的两个顶点， C、D是椭圆上两点， 且分别在 AB两侧，则四边形 ABCD 12 2 面积的最大值是 ________ .
D
y
B C A x
O
练习2-2 设P为抛物线 y= x2上的一动点，求P点到直线 l: 3x-4y-6=0的距离的最小值。 练习2-3 已知抛物线y2=4x，以抛物线上两点A(1,-2)、B(4,4)的连线为底 边的△ABP，其顶点P在抛物线的弧AB上运动，求 △ABP的最大面积及此时 点P的坐标。 y P O l y
y
三角换 元 法 判别式法 或切线
x
O
3 x 4 y t
1 ). 若将椭圆换成双曲线、 抛物线又如何进行 呢？ 想 ( 一 x2 y2 2 1 y 2 px 想 2 2
y 4 ( 2 ). 若将 3 x 4 y 换成 如何求其范围呢？ x 3
y Q(3,4)
a
b
利用几何意义：看成PQ 的斜率
高三专题复习：
圆锥曲线中
变量的最值（取值范围）问题
思考
求圆锥曲线的最值
常用哪些方法？
圆锥曲线中的最值（取值范围）问题按解题思路通常分三类：
高中数学新人教A版选修2-1课件：模块复习课第3课时圆锥曲线中的最值、范围、定点、定值问题
4
3
消去 y 得(4k2+3)x2+16k2x+16k2-12=0,
2
2
x1+x2=-
16
2
16 -12
,x1x2=
4 +3
2
4 +3
,
课堂篇专题整合
专题归纳
高考体验
则|AQ|= 1 + 2 |x1-x2|
2
2
= 1 + 2 (1 + 2 ) -41 2 =
12 1+
进行求解.如利用二次函数在闭区间上最值的求法,利用函数的单
调性,亦可利用基本不等式等求解.
2.圆锥曲线中的定点、定值问题
解决定点定值问题的常规处理策略:
(1)从特殊情况入手,先求含有变量的定点、定值,再证明这个点
(值)与变量无关.
(2)直接推理、计算,并在计算的过程中消去变量,从而得到定点
(值).
课堂篇专题整合
的关系和向量的坐标运算将 ·表示为直线斜率 k 的函数,然后
分析其最值.
课堂篇专题整合
专题归纳
高考体验
3
2
e= ,得 2
2
3
解(1)由
= ,即 a2=4b2,故椭圆方程为 x2+4y2=4b2.设
4
P(x1,y1),Q(x2,y2),
3
3
由=- ,得 y1=- y2,
5
5
= + 1,
即(1+4k2)x2+8k2x+4k2-4=0,
则
2
8
1 + 2 = 1 2 =
2
2025高考数学圆锥曲线中的最值、范围问题课件练习题
训练1
例2
训练2
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突破2
圆锥曲线中的最值、范围问题
方法技巧
圆锥曲线中最值(范围)问题的求解方法
几何法
若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来
解决.
若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再
代数法 求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不
第八章
平面解析几何
突破2 圆锥曲线中的最值、范围问题
目录
Contents
01
练习 练透好题 精准分层
突破2
圆锥曲线中的最值、范围问题
命题点1 最值问题
例1 [2023全国卷甲]已知直线 x －2 y ＋1＝0与抛物线 C ： y 2＝2 px ( p ＞0)交于 A ， B
两点，｜ AB ｜＝4 15 .
.
例1
训练1
例2
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突破2
圆锥曲线中的最值、范围问题
又 · ＝( x 3 －1， y 3 )·( x 4 －1， y 4 )＝ x 3 x 4 －( x 3 ＋ x 4 )＋1＋ y 3 y 4 ＝0，
所以
2
2
－
4−2
2
＋1＋
4
＝0，化简得 m 2 ＋ k 2 ＋6 km ＝4.
(2)若动点 P 与双曲线 C 的两个焦点 F 1， F 2的距离之和为定值(大于｜ F 1 F 2｜)，且
cos
1
∠ F 1 PF 2的最小值为－ ，求动点 P 的轨迹方程.
9
[解析]
2
2
由椭圆定义得 P 点轨迹为椭圆，可设其轨迹方程为 2 ＋ 2 ＝1( a ＞ b ＞0)，
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第9章 解析几何 第1课时 圆锥曲线中的最值(或范围)问题
即
5
m=3或
m=3(舍去,若 m=3,则点 A 在直线 PQ 上).
∴S△PAQ= 2 ×
4 4
×
3 3
=
16 2
.
9
规律方法 直线与圆锥曲线的求值问题的解题思路
(1)翻译转化:将几何关系恰当转化(准确、简单),变成尽量简单的代数式子;
或反之将代数关系恰当转化为几何关系.
且点
1
Q(0,2)在线段
AB 上,直线 PA,PB 分别交直线
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值;
(2)求|CD|的最小值.
1
y=-2x+3
于 C,D 两点.
解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),
1
∵Q(0,2)在直线
AB 上,∴设直线 AB 为
1
y=kx+2,
设 E(x,y)为椭圆上除 P 之外的一点且 P(0,1),
交 C 于 P,Q 两点,直线 AP,AQ 的斜率之和为 0.
(1)求 l 的斜率;
(2)若 tan∠PAQ=2 2,求△PAQ 的面积.
2
C: 2
−
2
=1(a>1)上,直线
2
-1
l
解:(1)∵点 A(2,1)在双曲线
4
∴22C: 22− 2 =1(a>1)上,
-1
1
− 2 =1,解得 a2=2.
(2)由(1)知,直线 l 的方程为 y=-x+m,x1+x2=4m,x1x2=2m2+2,
则12 + 22 =12m2-4,
∴|PQ|= 1 + 2 · (1 + 2 )2 -41 2 = 2 · 162 -82 -8=4 2 -1,点
人教版数学选择性必修第一册综合复习：圆锥曲线中的最值、范围、证明问题课件
(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连接
QE并延长交C于点G.
(i)证明:△PQG是直角三角形;
(ii)求△PQG面积的最大值.
[例1] (课标全国Ⅱ,21,12分)已知点A(-2,0), B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM
1
2
的斜率之积为− .记M的轨迹为曲线C.
2
=1.
1. (洛阳统考)已知椭圆C:
2
2
+
2
2
=1(a>b>0), O为坐标原点, F(- 2,0)为椭圆C
2
2
的左焦点,离心率为 , 直线l与椭圆相交于A,B两点.
(2)若M(1,1)是弦AB的中点, P是椭圆C上一点, 求△PAB面积的最大值.
设A(x1,y1), B(x2,y2).
,
y1y2=k x1x2+2k(x1+x2)+4=
,
3+4 2
3+4 2
1 +2 2 +2 1 2 +2 1 +2 +4
所以k1·k2=
·
=
=k2+12,
1
2
1 2
1
49
因为k2∈ , +∞ , 所以k2+12∈
, +∞ ,
4
4
49
所以k1·k2的取值范围是 , +∞ .
4
考向三
令Δ1=16m2-24(m2-4)=0,得m=±2 3.
∵P是椭圆C上一点,
∴P点到AB的最大距离即直线x+2y+2 3 =0到直线l的距离d.
高三数学高考专题训练圆锥曲线最值问题课件人教-文档资料
圆锥曲线的最值问题 Evaluation only.
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3/28/2019
研修班
1
高考地位:
最值问题是高考的热点，而圆锥曲线
的最值问题几乎是高考的必考点，不仅会 Evaluation only. eated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0 在选择题或填空题中进行考察，在综合题 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 中也往往将其设计为试题考查的核心。
o x
切线与直线 y x 2 3 的距离为 最值，切点就是所求的点.
3/28/2019 研修班 9
例2、求椭圆 x y 2 1 上的点到直线 y x 2 3 的距
2
2
离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.
解：设椭圆与 y x 2 3平行的切线方程为 y x b
x Q
3/28/2019 研修班 6
回顾反思与能力提升：
1、若圆锥曲线为椭圆，A为椭圆内一点，有可
Evaluation only. 得出什么结论，能否自己设计出一道题目； eated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0 2、体现了什么数学思想方法？ Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 3、理论根据是什么？ 4、此法适合解决那类问题？
(新课标)高考数学专题五解析几何第4讲圆锥曲线中的最值、范围及存在性问题课件文新人教A版
解：(1)联立xy2－＝y2＋px1＝0消去 x 得，y2－2py＋2p＝0，因为直线 l：x－y＋1＝0 与抛 物线 C 相切，所以 Δ＝4p2－8p＝0，解得 p＝2 或 p＝0(舍去)． 所以抛物线 C 的方程为 y2＝4x. (2)由于直线 m 的斜率不为 0，所以可设直线 m 的方程为 ty＝x－1， 由tyy2＝＝x4－x 1消去 x 得，y2－4ty－4＝0，Δ ＝16t2＋16>0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以 y1＋y2＝4t，所以 x1＋x2＝4t2＋2， 所以线段 AB 的中点 M 的坐标为(2t2＋1，2t)．
范围问题 1．几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利 用圆、圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决．
案例 (2018·高考浙江卷)如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物 线 C：y2＝4x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上． (1)设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴； (2)若 P 是半椭圆 x2＋y42＝1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围.
设点 A 到直线 l 的距离为 dA，点 B 到直线 l 的距离为 dB，点 M 到直线 l 的距离为 d， 则 dA＋dB＝2d＝2×|2t2－22t＋2|＝2 2|t2－t＋1|＝2 2|(t－12)2＋34|， 所以当 t＝12时，可使 A，B 两点到直线 l 的距离之和最小，距离之和的最小值为322.
关键步 (1)(2)略 (3)先讨论点 P 的位置．[关键 1：分类讨论，计算分析∠OBP 大小不同时，点 P 的位置情况] 当∠OPB<90°时，线段 PB 上存在点到点 O 的距离小于圆 O 的半径，点 P 不 符合规划要求； 当∠OBP≥90°时，对线段 PB 上任意一点 F，OF≥OB，即线段 PB 上所有 点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径，点 P 符合规划要求． 设 P1 为 l 上一点，且 P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，