2021届安徽省皖南八校高三第一次联考理科数学试卷
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6．设向量a=(0,2),b=(2,2)，则' A. lal=lbl
B． 函数f(x)在(-oo，章）上单调递减
C. 函数f(x)在 R 上有3个零点
D.函数f(x)在原点处的切线方程为y=-3x
lx+4l-2,x<-2,
12.已知函数f(x) = {
以下结论正确的个数有
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21.（本小题满分12分）
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某科技公司生产某种芯片 ． 由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片每日的销售蓝y（单 位：枚）与销售价格x（单位：元／枚l， O<x�50)：当10<正,;30时满足关系式y=m(x-30) 2
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考生注意：
l ． 本试卷分笫I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。
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三、解答题：本大题共6，小题，共710分．．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17.（本小题满分10分）
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8． 某特种冰箱的食物保鲜时间y（单位：小时）与设置储存温度x（单位： ·c) 近似满足函数关系y
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十6(k,b为常数），若设置储存温度
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3.已知实数x>O,y>O，则” xy<l ”是 “log+x+ logty>O”的
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第 II 卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共4 小题，每小题15分，共20分．把答案填在题中的横线上．
f 1织设函数 ，位）是R 内的可导函数，且 J(ln x) =:=xln x，则 f' （l) ＝ ｀
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2.已知复数z满足z －云＝2i，则z的虚部是 I _:．I ..＼. 员 I'.. ·、; · : ｀ i : ；,.．＇.`· i. ｀. ：· r.
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18. （本小题满分 12 分）
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时间是144小时，则设置储存温度15 °C的保鲜时间近似是
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【高三第一次联考·数学 第1 页（共 4 页） 理科】一,:'. .
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16．如图，已知丛AB.C为边长为2的等边三角形，动点P在以BC为直径的半圆
2． 考生作答时，请将答案答在答题卡上。第 1 卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上
对应题目的答案标号涂黑；第II卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的
答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3． 本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，函数、导数及其应用（含定积分），三角函数、解三
X
J(l)
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(1)求实数m的值，并求函数 f(x)的值域； (2)函数 g(x) =ax-l(-2<x<2) ，若对任意
x1E [1,4]，总存在.:t、OE[ －2,2]，使得
g(x。)
= f 亿）成立，求实数a 的取值范围．
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角形，平面向量与复数。
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第I
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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
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安徽省示范高中2021届高三数学第一次联考试题 理（含解析）
安徽省示范高中2021届高三第一次联考数学（理科）第一卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．【题文】（1）设是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数, z +z =2, 2z z -=那么z 的虚部是 A.1 .B i ± .1C ± .1D - 【知识点】复数代数形式的乘除运算． L4【答案解析】C 解析：设z a bi =+，那么z a bi =-，2z z a +=，因此a=1；222z z a b ⋅=+=，那么1b =±，因此1z i =±，虚部为1±，应选C.【思路点拨】利用复数的除法运算化简给出的复数，由共轭复数的概念求解．【题文】(2)双曲线2x -23y =-1的渐近线的倾斜角为【知识点】双曲线的简单性质．H6【答案解析】D 解析：双曲线2x -23y =-1的渐近线为y x =±，因此倾斜角为566ππ或，应选D.【思路点拨】求出双曲线的渐近线方程，再利用斜率与倾斜角的关系，即可得出结论．【题文】（3）假设x y 、知足202200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则z y x =-的最大值为A.2B.-2C.1D.-1 【知识点】简单线性计划．E5【答案解析】A 解析：线性可行域如下图，三个极点坐标别离为（0,2），（2,0），（-1,0），通过上极点时Z 值最大。
应选A.【思路点拨】作出不等式对应的平面区域，利用线性计划的知识，通过平移即可求z 的最大值． 【题文】 (4)已知,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，那么以下说法正确的选项是A. ,////m n m n αα⊂⇒B. ,m n m n αα⊂⊥⇒⊥C. ,,////m n m n αβαβ⊂⊂⇒D. ,n n βααβ⊂⊥⇒⊥【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系．G4 G5【答案解析】D 解析：A 选项可能有n α⊂，B 选项也可能有n α⊂，C 选项两平面可能相交，应选D. 【思路点拨】别离依照线面平行和线面垂直的性质和概念进行判定即可． 【题文】(5)执行如下图的程序框图，输出的k 值为A.2B.3C.4D.5 【知识点】程序框图.L1【答案解析】C 解析：k=0时，cos sin 1A A <=；k=1时，cos sin A A =；k=2时，cos sin A A <；k=3时，cos sin A A <；k=4时，cos sin A A >；应选C.【思路点拨】此题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环结构是先判定再执行，知足条件进入循环体，不知足条件算法终止．【题文】 (6)“09k <<”是“曲线22=1259x y k --与曲线22=125-k 9x y -的焦距相同”的A.充分而没必要要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也没必要要条件 【知识点】充分必要条件。
安徽省“皖南八校”2021届高三摸底联考试卷数学理试题及答案
“皖南八校”2021届高三摸底联考数学（理科）本卷命题范围：必修全册+选修2-1，2-2.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{}21A x x =≥，{}0B x x =≤，则()U C A B =（ ）A.()1,1-B.(]0,1C.()1,0-D.(]1,0-2.已知命题:p m R ∃∈，()23log xf x m x =-是增函数，则p ⌝为（ ） A.m R ∃∈，()23log xf x m x =-是减函数B.m R ∀∈，()23log xf x m x =-是增函数C.m R ∃∈，()23log xf x m x =-不是增函数D.m R ∀∈，()23log xf x m x =-不是增函数3.已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，且焦距为则抛物线22y bx =的准线方程为（ ）A.x =B.x =C.y =D.y =4.已知向量()2,2a =，()1,b x =，若()//2a a b +，则b =（ ）A.10B.25.将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A.()2sin 212g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B.()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C.()72sin 212g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D.()22sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭6.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”那么，此人第3天和第4天共走路程是（ ） A.72里B.60里C.48里D.36里7.执行右边的程序框图，为使输出的b 的值为16，则循环体的判断框内①处应开始填的整数为（ ）A.3B.4C.5D.68.函数2sin 2xy x =的图象可能是（ ）A. B.C. D.9.若正实数x ，y 满足260x y xy ++-=，则2x y +的最小值为（ ）A.)41B.)41C.12D.410.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体中直线AB （点B 为俯视图中矩形的中心）与平面ACD 所成角的余弦值为（ ）A.45B.35C.310D.1011.已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为()()()112220202020,,,,,,x y x y x y ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）A.1010B.-2020C.2020D.404012.若曲线()21x e f x ax -=+在点()()1,1f 处的切线过点()1,0-，则函数()f x 的单调递减区间为（ ）A.(),0-∞B.()0,+∞C.()(),11,0-∞--D.(),1-∞-，()1,0-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数z 满足：()27142i z i +=-，则z =_________________.14.已知点M 的坐标(),x y 满足不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，N 为直线22y x =-+上任一点，则MN 的最小值是______________.15.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0、等比数列{}n b的公比12q ⎡∈⎢⎣⎭，若1a d =，21b d =，222123123a a ab b b ++++是正整数，则实数q =____________.16.已知偶函数()f x 满足()()20f x f x -+=，且当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，若在区间[]1,3-内，函数()()21g x f x kx k =--+有且仅有3个零点，则实数k 的取值范围是______________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.（本小题满分10分）在三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin csin sin sin a A C a C b B +-=. （1）求角B 的大小； （2）若b =ABC 面积的最大值.18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设11n n n n c b a a +=+⋅，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：()21n S n <+.19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1ABC △是边长为2的等边三角形，平面1ABC ⊥平面11AAC C ，四边形11AAC C 为菱形，1160AAC ∠=︒，1AC 与1A C 相交于点D .（1）求证：1BD C C ⊥.（2）求平面1ABC 与平面111A B C 所成锐二面角的余弦值. 20.（本小题满分12分）某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成[]10,15，(]15,20，(]20,25，(]25,30，(]30,355组，得到如图所示的频率分布直方图.以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率.（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）； （2）若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率. 21.（本小题满分12分）已知点()()00,P x f x 是曲线()()211ln 2f x x a x a x =-++上任意一点，a R ∈. （1）若在曲线()y f x =上点P 处的切线的斜率恒大于23331a a a x +---，求实数a 的取值范围.（2）点()()11,A x g x 、()()22,B x g x 是曲线()()212g x x f x =-上不同的两点，设直线AB 的斜率为k .若1a =-，求证：()122k x x +>.22.（本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F在直线30x y -+=上，且2a b +=+（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于A 、C 两点，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC △的重心，探求PAC △面积S 是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S 的取值范围.“皖南八校”2021届高三摸底联考·数学（理科）参考答案、解析及评分细则1.D 由题意得，{}11A x x x =≥≤-或，{}11U C A x x =-<<，∴()(]1,0U C A B =-.2.D3.B由题意222132a b ===⎝⎭，∴b = 4.D 因为向量()2,2a =，()1,b x =，所以()24,22a b x +=+， 因为()//2a a b +，所以42222x +=， 所以1x =，所以2b =.5.B 函数的周期为π，将函数()f x 的图象向左平移14个周期即4π个单位，所得图象对应的函数为()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.6.A 记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列， 由6378S =，得166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得1192a =∴23341119219248247222a a ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以此人第3天和第4天共走了72里.7.B 当2a =时，进入循环，2b =，3a =，当3a =时，再次进入循环，224b ==，4a =，当4a =时，再次进入循环，4216b ==，5a =，所以当5a =时应跳出循环，故判断条件应是4a ≤. 8.D 令()2sin 2xf x x =，因为x R ∈，()()()2sin 22sin 2xxf x x x f x --=--=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A ，B ； 因为,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，选D. 9.D 因为260x y xy ++==，所以()62xy x y =-+，因为x ，y 为正实数，所以21122222x y xy xy +⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =时等号成立，所以()2126222x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，解得24x y +≥.10.D 该几何体为一个底面为正方形的四棱锥，挖去一个半圆锥，作CD 的中点E ，易知EAB ∠为直线AB 与平面ACD 所成的角.又AE =1BE =，AB =cos 10EAB ∠==. 11.C 函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，即为()()2f x f x +-=可得()f x 的图像关于点()0,1对称.函数1x y x +=，即11y x=+的图象关于点()0,1对称， 即若点()11,x y 为交点，则点()11,2x y --也为交点；同理若点()22,x y 为交点，则点()22,2x y --也为交点； 则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()()(112220202020111122x y x y x y x y x ++++++=++-+⎡⎣)()()()()1222220202020200020000222020y x y x y x y x y -+++-+-++++-+-=⎤⎦.12.D 由题意()()()2211x ax a e f x ax -+-'=+，∴()()1211e k f a -'==+，又()111e f a -=+，故曲线在点()()1,1f 处的切线方程为()()()211111y x e a e a -=-++，将点()1,0-代入可得1a =，则()()221x xe f x x -'=+，故函数在(),1-∞-，()1,0-上单调递减. 42122iz i i+==-，故12z i =+= 不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，代表区域为三角形，由图可知直线22y x =-+与直线240x y +-=平行，min MN 即为直线22y x =-+与直线240x y +-=之间的距离，所以min 5MN ===. 15.12 因为()()223222111123221231112141a a d a d a a a b b b b b q b q q q ++++++==++++++，故由已知条件可知2141q q m++=，其中m 为正整数.令2141q q m++=， 111222q =-=-≥，解得8m ≤，由于公比11,22q ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭，所以271,24q q ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，71424m≤<，解得78m <≤，故8m =， 所以2147184q q ++==，解得12q =或32q =-（舍去）. 16.111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭由题意，函数满足()()20f x f x -+=，即()()2f x f x =+，即函数()f x 的周期为2，当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，可得函数为单调递增函数，且()00f =，()1f e =，当[]1,0x ∈-时，()()xf x f x x e -=-=-⋅，由图象可知当1x =时，()1f e =，当3x =时，()()31f f e ==，即()1,B e ，()3,C e ，当直线()21y k x =+-经过点()1,B e 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有2个交点，此时31e k =-，解得13e k +=.直线()21y k x =+-经过点()3,C e 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有4个交点，此时51e k =-，解得15e k +=.直线()21y k x =+-经过点()0,0O 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有3个交点，此时12k =.所以要使得函数()()2g x f x kx k =--有且仅有3个零点，则直线的斜率满足1153e e k ++<<或12k =，即实数k 的取值范围是111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭. 17.解：（1）设三角形ABC 的外接圆的直径长为2R 由已知sin sin sin sin a A c C a C b B +-=及正弦定理所以2222222a c ac b R R R R+-=， 所以222a c ac b +-=，即222a cb ac +-=.…………………………………………………………3分由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，.……………………………………4分 因为0B π<<，所以3B π=.…………………………………………………………5分（2）因为3B π=，所以2sin sin sin a c bA C B====， 三角形ABC面积112sin 4sin sin sin cos 22232S ac B A C A A A A π⎛⎛⎫==⨯⋅=-=+ ⎪ ⎝⎭⎝13sin sin 222246A A A A π⎫⎛⎫=+=-+⎪ ⎪⎭⎝⎭.……………………………………6分 ∵20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，.………………………………………………8分 当且仅当3A π=时，262A ππ-=，此时ABC △.……………………10分 18.解：（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d+=⎧⎨+=+⎩.……2分整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，.……………………………………………………4分所以()11n a a n d n =+-⋅=，即n a n =，.……………………………………………………5分()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+.……………………………………………………………………6分 （2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭.………………………………9分所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++.………………………………………………12分 19.解：（1）侧面11AAC C 是菱形，D 是1AC 的中点， ∵1BA BC =，∴1BD AC ⊥.∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ，且BD ⊂平面1ABC ， 平面1ABC 平面111AAC C AC =，∴BD ⊥平面11AAC C ，1C C ⊂平面11AAC C ，∴1BD C C ⊥.………………………………………………………………4分（2）由棱柱的定义知：在三棱柱111ABC A B C -中，平面//ABC 平面111A B C ， ∴平面1ABC 与平面111A B C 所成的锐二面角与二面角1C AB C --相等. ∵BD ⊥平面11AAC C ，∴1BD A C ⊥.如图，以D 为原点，以DA ，DC ，DB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.由已知可得12AC =，1AD =，1BD A D DC ===BC =∴()0,0,0D ，()1,0,0A，(B ，()11,0,0C -，()C . 设平面ABC 的一个法向量(),,m x y z =，(AB =-，(0,BC =，由0AB m ⋅=，0BC m ⋅=，得0x ⎧-+=⎪=，可得()3,1,1m =.∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ，11AC AC ⊥，∴CD ⊥平面1ABC ， ∵平面1ABC 的一个法向量是()DC =， ∵5cos m DC m DC D m C⋅⋅==即平面1ABC 与平面111A B C 分 20.解：（1）由频率分布直方图可得10.0160.0360.0800.0445a ++++=，解得0.024a =，.…3分 各组频率依次为0.08，0.18，0.4，0.22，0.12， 则这批零件长度的平均值为12.50.0817.50.1822.50.427.50.2232.50.1223.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………………6分（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12， 则应从第1组中抽取2个零件，记为A ，B ； 应从第5组中抽取3个零件，记为c ，d ，e .这5个零件中随机抽取2个的情况有AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，cd ，ce ，de ，共10种，.………………………………………………………………………………………9分其中符合条件的情况有Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，共6种.…………………………………11分 所求概率63105P ==.…………………………………………………………………………12分 21.解：（1）()()()()211x a x a x x a f x x x-++--'== 由题意得，当00x >时，()22000013331x a x a a a a x x -+++->--恒成立， 即当00x >时，22002230x ax a a ++-->恒成立，设函数()()222230F x x ax a a x =++-->，则其对称轴方程为x a =-，()0F x >在()0,+∞上恒成立. 若0a -≤，即0a ≥，则()F x 在()0,+∞上单调递增，∵()0F x >在()0,+∞上恒成立，∴2 230a a --≥，解得3a ≥；若0a <，则()0F a ->，即230a -->，解得32a <-. 综上可得32a <-或3a ≥.………………………………………………………………6分 （2）若1a =-，则()()21ln 2g x x f x x =-=，由于12x x ≠，不妨先设120x x >>， 令12x t x =，()()2ln 112t f t t t =+>+， ()()()()()()22222411*********t t t f t t t t t t t -++--'=+==>+++，故()2ln 12t f t t =++在()1,+∞上单调递增， 所以()()11f t f >=，即1212ln 2121x x x x +>+，∴121212ln ln 2x x x x x x -->+， ∴()()()1212122g x g x x x x x -+⎡⎤⎣⎦>-， ∴()122k x x +>得证.综上可知，原命题得证.……………………………………………………………………12分22.解析：（1）∵直线30x y -+=与x轴的交点为()，∴c =2222a b a b ⎧-=⎪⎨+=+⎪⎩，∴解得2a =，b =22142x y +=.……………………………………4分 （2）若直线l的斜率不存在，则132S ==. 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程可得()222124240k x kmx m +++-= 设()11,A x y ，()22,C x y ， 则122412km x x k +=-+，()21222212m x x k -⋅=+，()121222212m y y k x x m k +=++=+. 由题意点O 为PAC △的重心，设()00,P x y ，则12003x x x ++=，12003y y y ++=， 所以()0122412km x x x k =-+=+，()0122212m y y y k =-+=-+， 代入椭圆22142x y +=，得()()2222222224212121212k m m k m k k ++=⇒=++， 设坐标原点O 到直线l 的距离为d ，则PAC △的面积132S AC d =⋅12x =-⋅ 1232x x m =-⋅m =m =2==. 综上可得，PAC △面积S 为定值2.………………………………………………12分。
安徽省皖南八校2021届高三上学期第一次联考数学(理)试题 Word版含解析
安徽省皖南八校2021届高三上学期第一次联考数学（理）试题（解析版）【试卷综析】试题考查的学问涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章学问，重视学科基础学问和基本技能的考察，同时侧重考察了同学的学习方法和思维力量的考察，学问点综合与迁移。
试卷的整体水准应当说比较高，综合学问、创新题目的题考的有点少,试题适合阶段性质考试.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.【题文】1.已知复数z 满足(3)10i z i +=(其中i 是虚数单位,满足21i =-),则复数z 的共轭复数是A.13i -+B.13i -C.13i +D.13i -- 【学问点】复数的基本概念与运算. L4【答案解析】BB.【思路点拨】利用复数除法运算求得复数z=1+3i ，再由共轭复数的定义求z 的共轭复数.【题文】2.则下列结论正确的是A.{2,1}A B =--B.()(,0)R A B =-∞C.(0,)AB =+∞ D.(){2,1}R A B =--【学问点】集合运算. A1 【答案解析】D 解析：{|0},{2,1,1,2},A y y B =>=--()(){}{1,2},,01,2U A B C A B ∴==-∞,(){}(){}0,1,2,2,1U AB C A B =+∞--=--,故选D.【思路点拨】求出集合A ，然后依次求各选项中的集合，得出正确选项.【题文】3.设,a b R ∈,”是“||||ab >”成立的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【学问点】充分条件；必要条件. A2【答案解析】Aa=-5,b=1时，||||a b >但. ”是“||||a b >”成立的充分而不必要条件.故选A.【思路点拨】分别推断充分性、必要性是否成立得结论.【题文】4.则与向量AB 方向相同的单位向量是【学问点】平面对量的概念；向量的坐标运算. F1 F2【答案解析】C 1,AB ⎛= ，所以与向量AB方向相同的C.【思路点拨】求出向量AB 的坐标，提出向量AB 的模得与向量AB 方向相同的单位向量. 【题文】5.已知函数()f x 是R 上的奇函数,且在区间[0,)+∞上单调递增,若则A.b a c <<B.c b a <<C.b c a <<D.a b c << 【学问点】函数奇偶性、单调性的应用. B3 B4【答案解析】B，而函数()f x 是R 上的奇函数,且在区间[0,)+∞上单调递增，所以a>0,b<0,c<0，又由于b>c ，所以a>b>c ，故选B.【思路点拨】利用诱导公式化简各自变量值，依据函数的奇偶性、单调性，把a,b,c 分成正数、负数两类，由再依据单调性得负数b,c 大小关系，从而得a,b,c 的大小挨次.【题文】6.函数()cos 22sin fx x x =+的最大值与最小值的和是A.2-B.0 【学问点】与三角函数有关的最值. C7【答案解析】C，所以函数()f x 的最大值是最小值是-3，所以最大值与最小值的和是 C.【思路点拨】把已知函数化为二次函数形式求得结论.【题文】7.函数1()x x f x xe e +=-的单调递增区间是A.(,)e -∞B.(1,)eC.(,)e +∞D.(1,)e -+∞ 【学问点】导数法求函数的单调区间. B12 【答案解析】D 解析：()1(1)x x x xf x e xe e x e e +'=+-=-+，由()0f x '>得x>e-1，故选D.【思路点拨】求定义域上导函数大于0的x 范围.【题文】8.及y 轴所围成的封闭图形的面积是A.2ln 2B.2ln 21-【学问点】定积分与微积分基本定理. B13【答案解析】A A.【思路点拨】由定积分的几何意义及微积分基本定理求解.【题文】9.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若2015120aBC bCA cAB ++=,则ABC ∆的最小角的正弦值等于【学问点】向量；解三角形. F1 C8【答案解析】C 解析：由2015120aBC bCA cAB ++=得()2015120aCB bCA c CB CA -++-=(1512)(2012)b c CA a c CB⇒-=-,由于,CA CB 不共线，所以A 最小，又cosA= C.【思路点拨】依据向量共线的意义得关于a,b,c 的方程组，由此确定三角形的最小内角，再由余弦定理求得此最小内角的余弦值，进而求其正弦值.【题文】10.已知定义在R 上的奇函数()f x 的导函数为'()f x ,当0x <时,()f x 满足2()'()f x xf x x +<,则()f x 在R 上的零点个数为A.1B.3C.5D.1或3【学问点】函数的奇偶性；函数的零点；导数的应用. B4 B9 B12【答案解析】A 解析：设2()()h x x f x =则[]2()2()()2()()h x xf x x f x x f x xf x '''=+=+，由于0x <时,()f x 满足2()'()f x xf x x +<， 所以0x <时,[]()2()()h x x f x xf x ''=+ 20x >>，所以函数()f x 是(),0-∞上的增函数，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 是R 上增函数，所以()f x 在R 上的零点个数为1，故选 A. 【思路点拨】构造函数，利用导数确定函数在(),0-∞的单调性，再由奇偶性得函数在R 上单调性，从而得到函数的零点个数.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在题后横线上.【题文】11.命题“对任意2,310x R x x ∈-+>”的否定是 【学问点】含量词的命题的否定. A3【答案解析】存在0x R ∈,使得200310x x -+≤. 解析：命题“对任意2,310x R x x ∈-+>”的否定是“存在0x R ∈,使得200310x x -+≤” 【思路点拨】依据含量词的命题的否定方法写出结论.【题文】12.已知向量(3,4),a =向量b 满足||3a b -=,则||b 的取值范围是 【学问点】向量的几何意义. F1【答案解析】[2，8] 解析：||3a b -=表示b 对应的点与a 对应的点距离是35a=，所以||b 的最小值5-3=2，最大值5+3=8，即||b 的取值范围是[2，8].【思路点拨】依据向量差的模的几何意义，得b 对应点的轨迹是以（3，4）为圆心3为半径的圆，由此得||b 的取值范围.【题文】13.,,则ω=【学问点】函数sin()y A x ωϕ=+的性质.C4解析：,时，()f x 在,在4(,2)3ππ上单调递减.所以12ω=. 【思路点拨】由已知条件得413f π⎛⎫=⎪⎝⎭，从而4312,36222k k k Z πππωπω⋅-=+⇒=+∈,而当12ω=时，()f x 在4(0,)3π上单调递增,在4(,2)3ππ上单调递减.所以12ω=. 【题文】14.设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩,若互不相等的实数123,,x x x 满足123()()()f x f x f x ==,则123x x x ++的取值范围是【学问点】分段函数. B1【答案解析】11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭ 解析：设123x x x <<，则1237,0,63x x x ⎛⎫∈-+= ⎪⎝⎭， 所以123x x x ++的取值范围是11,63⎛⎫⎪⎝⎭ 【思路点拨】画出函数()f x 的图像，由图像可知若123x x x <<，则1237,0,63x x x ⎛⎫∈-+= ⎪⎝⎭，由此得123x x x ++的取值范围. 【题文】15.已知函数()(,)bf x ax a b R x =+∈,有下列五个命题①不论,a b 为什么值,函数()y f x =的图象关于原点对称; ②若0a b =≠,函数()f x 的微小值是2a ,极大值是2a -;③若0ab ≠,则函数()y f x =的图象上任意一点的切线都不行能经过原点;④当0,0a b >>时,对函数()y f x =图象上任意一点A ,都存在唯一的点B ,使得1tan AOB a ∠=(其中点O是坐标原点)⑤当0ab ≠时,函数()y f x =图象上任意一点的切线与直线y ax =及y 轴所围成的三角形的面积是定值. 其中正确的命题是 (填上你认为正确的全部命题的序号) 【学问点】函数的性质. B12【答案解析】①③⑤ 解析：明显函数()f x 是奇函数，故命题①正确；当a=b<0时函数()f x 的微小值是-2a ,极大值是2a ，故命题②不正确；假设存在过原点的切线，切点为000(,)b x ax x +，则切线斜率20ba x +，又2()b f x a x '=-，所以20b a x +=20b a x -，得b=0，与0ab ≠冲突，故命题③正确；当a=b=1时，对勾函数1()f x x x =+以直线y=x,y 轴为渐近线，30,,44AOB πππ⎛⎫⎛⎤∠∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以对函数()y f x =图象上任意一点A ,都存在唯一的点B ,使得1tan AOB a ∠=不成立，故命题④不正确；由③得切线方程00200()()()b by ax a x x x x =+=--与y=ax 联立得交点()002,2x ax ，切线与y 轴交点020,y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又原点（0,0），所以围成三角形的面积是2ab 是定值，故命题⑤正确.所以正确命题有①③⑤.【思路点拨】①可推断函数()f x 的奇偶性；②当a=b<0时函数()f x 的微小值是-2a ,极大值是2a ，故结论不成立；③反证法，假设存在过原点的切线，切点为000(,)b x ax x +，则切线斜率20b a x +，又2()b f x a x '=-，所以20b a x +=20b a x -，得b=0，与0ab ≠冲突，故命题③正确；④特殊值法，当a=b=1时，对勾函数1()f x x x =+以直线y=x,y 轴为渐近线，30,,44AOB πππ⎛⎫⎛⎤∠∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以4AOB π∠≠，从而1tan AOB a ∠==1不成立，故命题④不正确；⑤由③得切线方程00200()()()b by ax a x x x x =+=--与y=ax 联立得交点()002,2x ax ，切线与y 轴交点020,y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又原点（0,0），所以围成三角形的面积是2ab 是定值，故命题⑤正确.三、解答题本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 【题文】16(本小题满分12分)如图,3AOB π∠=,动点12,A A 与12,B B 分别在射线,OA OB 上,且线段12A A 的长为1,线段12,B B 的长为2,点,M N 分别是线段1122,A B A B 的中点.(Ⅰ)用向量12A A 与12B B 表示向量MN ;(Ⅱ)求向量MN 的模.【学问点】向量在几何中的应用；向量的线性运算；向量的模.F1【答案解析】12121()2MN AA B B =+.解析：（Ⅰ）1122MN MA A A A N =++,1122MN MB B B B N =++两式相加，并留意到点,M N 分别是线段11A B 、22A B 的中点，得12121()2MN A A B B =+分（Ⅱ）由已知可得向量12A A 与12B B 的模分别为1与2，夹角为所以12121A A B B =,由12121()MN A A B B =+22212121212121211()242MN A A B B A A B B A A B B =+=++•12分【思路点拨】（Ⅰ）依据向量加法的多边形法则求解；（Ⅱ）依据向量模的平方与向量数量积的关系求解.【题文】17(本小题满分12分)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,(Ⅰ)求cos C 的值;(Ⅱ)若5a =,求ABC ∆的面积. 【学问点】解三角形. C8【答案解析】解析：3分,所以6分（Ⅱ）由（1在△ABC 中，由正弦定理,……………9分……………12分【思路点拨】（Ⅰ）已知等式开放，代入余弦定理得cosA,代入cos cos()C A B =-+得结论；（Ⅱ）由正弦定理求得边c .【题文】18(本小题满分12分)的导函数为'()f x .(Ⅰ)若函数()f x 在2x =处取得极值,求实数a 的值;(Ⅱ)已知不等式2'()f x x x a >+-对任意(0,)a ∈+∞都成立,求实数x 的取值范围. 【学问点】导数的应用. B12【答案解析】(Ⅰ)(Ⅱ) }{|20x x -≤≤.解析：(Ⅰ)'2()f x ax x a =-+，由于函数()f x 在2x =时取得极值，所以 '(2)0f =.即 420,a a -+=解得此时'()f x 在2x =两边异号，()f x 在2x =处取得极值--------6分(Ⅱ) 方法一：由题设知：22ax x a x x a -+>+- 对任意(0,)a ∈+∞都成立即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立……………9分设22()(2)2()g a a x x x a R =+--∈, 则对任意x R ∈，()g a 为单调递增函数()a R ∈ 所以对任意(0,)a ∈+∞，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥即 220x x --≥，20x -≤≤∴， 于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤………12分方法二： 由题设知：22ax x a x x a -+>+-，对任意(0,)a ∈+∞都成立即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立 对任意(0,)a ∈+∞都成立，即9分20x -≤≤∴， 于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤……………12分【思路点拨】(Ⅰ)由可导函数在某点取得极值的条件求a 值；(Ⅱ)法一 即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立，把不等式左边看成关于a 的一次函数，利用一次函数单调性得关于x 的不等式求解；法二：分别参数法求x 范围.【题文】19(本小题满分12分),且函数()y f x =的图象的两相(Ⅰ); (Ⅱ)将函数()y f x =的图象向右平移,得到函数()y g x =的图象,求函数()g x 的单调递增区间. 【学问点】函数sin()y A x ωϕ=+解析式的确定；图像变换. C4【答案解析】（k ∈Z ）. 解析：3分 由于()f x为奇函数，所以所以()2sin f x x ω=π22，所以2ω=．故()2sin 2f x x =……………6分 （Ⅱ）将()f x的图象向右平移 ……………9分 （k ∈Z ），（k ∈Z ）时，()g x 单调递增，因此()g x 的单调递增区间为（k ∈Z ）． ……………12分 【思路点拨】（Ⅰ）由奇偶性求ϕ，由周期性求ω，得解析式，从而求（Ⅱ）依据图像变换规律得函数()y g x =的解析式，再依据正弦函数的单调性求得函数()g x 的单调递增区间.【题文】20(本小题满分13分)其中0a <.(Ⅰ)若函数()f x 在其定义域内单调递减,求实数a 的取值范围;(Ⅱ)且关于x 的方程在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b 的取值范围.【学问点】导数的应用. B12 【答案解析】（Ⅰ）(,1]-∞- ；(Ⅱ).解析：（Ⅰ）()f x 的定义域是(0,)+∞，求导得依题意'()0f x ≤在0x >时恒成立，即2210ax x +-≤在0x >恒成立. ……3分这个不等式供应2种解法，供参考解法一：由于0a <，所以二次函数开口向下，对称轴问题转化为2240a =+≤所以1a ≤-，所以a 的取值范围是(,1]-∞- ……………6分在0x >恒成立，当1=x 时，取最小值1-，∴a 的取值范围是(,1]-∞- ………6分，()(2)ln 22g x g b ==--极小值，又(4)2ln 22g b =--………10分方程()0g x =在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.则(1)0(2)0(4)0g g g ≥⎧⎪<⎨⎪≥⎩， 得………13分【思路点拨】（Ⅰ）利用导数转化为不等式恒成立问题，再由分别参数法等求a 范围；在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，利用导数求极值，通过分析极值的取值条件求得b 范围.【题文】21(本小题满分14分)已知函数()ln ()f x x x mx m R =+∈的图象在点(1,(1))f 处的切线的斜率为2. (Ⅰ)求实数m 的值;(Ⅱ)争辩()g x的单调性;(Ⅲ)已知*,m n N ∈且1m n >>,【学问点】导数的应用；分析法证明不等式. B12 E7【答案解析】（Ⅰ）1；(Ⅱ) ()g x 在区间(0,1)和(1,)+∞都是单调递增的；(Ⅲ)见解析.解析：（Ⅰ）()ln ,f x x x mx =+所以'()1ln f x x m =++ 由题意'(1)1ln12f m =++=,得1m =……3分(Ⅱ当1x >时，，()h x 是增函数，()(1)0h x h >=，，故()g x 在()1,+∞上为增函数； ………6分 当01x <<时，，()h x 是减函数，()(1)0h x h >=，，故()g x 在()0,1上为增函数；所以()g x 在区间(0,1)和(1,)+∞都是单调递增的。
安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期第一次联考数学(理)试题
安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期第一次联考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}220M x x x =--≤，{}xN y y π==，则MN =（ ）A ．(]0,2B ．(]0,1C ．[)2,-+∞D ．[)1,-+∞2．已知复数z 满足2z z i -=，则z 的虚部是（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i3．已知实数0x >，0y >，则“1xy <”是“1133log log 0x y +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．若tan 2α，则()()sin cos παπα⋅-+=（ ）A ．45 B ．25C ．25±D ．25-5．定积分22sin x -+⎰的值是（ ）A ．2π B ．πC ．2πD ．32π 6．设向量0,2a ，()2,2b =，则（ ）A ．a b =B ．()//a b b -C ．a 与b 的夹角为3π D ．()a b a -⊥7．已知0.3a e =，12eb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5log c =，sin 4d =，则（ ） A ．a b c d >>>B ．a c b d >>>C ．d b a c >>>D ．b a d c >>>8．某特种冰箱的食物保鲜时间y （单位：小时）与设置储存温度x （单位：C ︒）近似满足函数关系3kx by +=（k ，b 为常数），若设置储存温度0C ︒的保鲜时间是288小时，设置储存温度5C ︒的保鲜时间是144小时，则设置储存温度15C ︒的保鲜时间近似是（ ） A ．36小时B ．48小时C ．60小时D ．72小时9．将函数()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），然后向左平移3π个单位，所得函数记为()g x .若1x ，20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x ≠，且()()12g x g x =，则()12g x x +=（ ）A ．12-B ．C ．12D10．如图，地面四个5G 中继站A 、B 、C 、D ，已知km CD =，30ADB CDB ∠=∠=︒，45DCA ∠=︒，60ACB ∠=︒，则A 、B 两个中继站的距离是（ ）A ．B ．CD ．11．已知函数()2332x f x x x e ⎛⎫=-⋅⎪⎝⎭，则（ ）A．函数()f x 的极大值点为x B ．函数()f x 在(,-∞上单调递减 C ．函数()f x 在R 上有3个零点 D ．函数()f x 在原点处的切线方程为3y x =-12．已知函数()()42,224,2x x f x f x x ⎧+-<-⎪=⎨-≥-⎪⎩以下结论正确的个数有（ ）①()50720202f =；②方程()114f x x =-有四个实根； ③当[)6,10x ∈时，()8816f x x =--；④若函数()y f x t =-在(),10-∞上有8个零点()1,2,3,,8i x i =，则()81i i i x f x =∑的取值范围为()16,0-. A ．1 B ．2C ．3D ．4二、填空题13．设函数()f x 是R 内的可导函数，且()ln ln f x x x =，则()1f '=________.14．已知函数()221xf x x e ππ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则不等式()()121f x f x -<-的解集是________.15．将函数()()cos 0f x x ωω=>的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数，则实数ω的最大值为________.16．已知ABC ∆为边长为2的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上，若AP AB AC λμ=+，则2λμ+的最小值为________.三、解答题17．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，其中0A >，0>ω，22ππϕ-<<，x ∈R ，其部分图象如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）已知函数()()cos g x f x x =，求函数()g x 的单调递增区间.18．已知函数2()(14)x mf x x x+=≤≤，且()15f =.（1）求实数m 的值，并求函数()f x 的值域；（2）函数()()122g x ax x =--<<，若对任意[]11,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()01g x f x =成立，求实数a 的取值范围.19．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足()274cos cos 222A B A B +-+=. （1）求角C ；（2）设D 为边AB 上的点，CD 平分ACB ∠，且1CD =，若ACD △与BCD 的面积比2:1，求AC 的长. 20．设函数()()1,0f x a b a bx=>+.（1）若函数()f x 在1x =处的切线方程是430bx y +-=，求实数a ，b 的值； （2）在（1）的条件下，若()()2ln x k f x x -≥对于01x <≤恒成立，求实数k 的取值范围.21．某科技公司生产某种芯片.由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片每日的销售量y （单位：枚）与销售价格x （单位：元/枚，1050x <≤）：当1030x <≤时满足关系式()23010ny m x x =-+-，（m ，n 为常数）；当3050x <≤时满足关系式704900y x =-+.已知当销售价格为20元/枚时，每日可售出该芯片7000枚；当销售价格为30元/枚时，每日可售出该芯片1500枚. （1）求m ，n 的值，并确定y 关于x 的函数解析式；（2）若该芯片的成本为10元/枚，试确定销售价格x 的值，使公司每日销售该芯片所获利润()f x 最大.（x 精确到0.01元/枚）22．已知函数()()1,,0xf x a e bx a b R ab =⋅--∈≠.（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()()212sin 122ln sin x x x x x +->++.参考答案1．A 【分析】依题意得[]12M =-,，()0,N =+∞，直接求交集即可. 【详解】依题意得[]12M =-,，()0,N =+∞， (]0,2MN ∴=.故选：A . 【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了解一元二次不等式，属于基础题. 2．B 【分析】设(),z a bi a b R =+∈，根据2z z i -=，求得1b =，即可求得复数z 的虚部，得到答案. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，因为2z z i -=，可得()22z z a bi a bi bi i -=+--==， 则22b =，可得1b =，所以复数z 的虚部是1. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数相等的应用，其中解答中熟记复数相等的条件是解答的关键，属于基础题. 3．C 【分析】 由不等式111333log log log 0x y xy +=>，求得01xy <<，结合充要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，实数0x >，0y >，不等式111333log log log 0x y xy +=>，解得01xy <<，所以实数0x >，0y >，则“1xy <”是“1133log log 0y +>”的充要条件.故选：C. 【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，以及对数的运算性质，其中解答中熟记充要条件的判定方法，以及熟练应用对数的运算性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 4．D 【分析】先利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的关系化简可得结果 【详解】()()()222sin cos tan 2sin cos sin cos sin cos sin cos tan 15ααααππαααααααα-⋅+=-⋅-=⋅===-++. 故选：D 【点睛】此题考查诱导公式的应用，考查同角三角函数的关系的应用，属于基础题 5．C 【分析】根据定积分的性质和运算法则可得答案. 【详解】(2222221sin sin 222x dx xdx ππ---+=+=⨯=⎰⎰⎰.故选：C. 【点睛】本题考查了利用定积分的性质求值的问题，属于基础题. 6．D 【分析】分别用坐标运算向量的模长、夹角、共线、垂直可得答案. 【详解】 因为0,2a ，()2,2b =，所以2a =，22b =，所以a b ≠，故A 错误； 因为0,2a，()2,2b =，所以()2,0a b -=-，所以()a b -与b 不平行，故B 错误；又cos ,42a b a b a b⋅===⋅，所以a 与b 的夹角为4π，故C 错误； 又()000a a b ⋅-=-=， 故选：D 正确. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题. 7．B 【分析】由指数函数的单调性判断,a b 的范围，再由对数函数的单调性判断c 的范围，再由三角函数的性质判断d 的范围，从而可得结果 【详解】0.301e e >=，1a ∴>，11110222e ⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，102b ∴<<，551log 7log 2>=，且55log log 51<=， 112c ∴<<， ∵sin 40d =<.a cb d ∴>>>.【点睛】此题考查指数式、对数式，三角函数值比较大小，利用了函数的单调性，属于基础题 8．A 【分析】根据两次的储存温度和保鲜时间可得3288b =、5132k=从而得到y ，再把储存温度为15°代入即可. 【详解】由题意得532883144b k b +⎧=⎨=⎩，5144132882k∴==，所以15x =时，()31551333288368k bk b y +==⋅=⨯=.故选：A . 【点睛】本题考查了求指数函数型解析式及应用. 9．D 【分析】先利用函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律求得()g x 的解析式，再利用正弦函数的图像的对称性，求得12x x +的值，可得()12g x x +的值. 【详解】将函数()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），可得sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再向左平移3π个单位，所得函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若1x ，20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x ≠，则142,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，242,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ()()12g x g x =，12223322x x πππ+++∴=， 126x x π∴+=，则()122sin 2sin 633g x x πππ⎛⎫+=⨯+== ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题. 10．C 【分析】由正弦定理得求得AC 、BC 长，再由余弦定理得AB 长可得答案. 【详解】由题意可得75DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒，在ADC中，由正弦定理得sin 2sin sin 75CD ADCAC DAC⋅∠===∠︒在BDC中，由正弦定理得1sin 1sin 2CD BDC BC DBC⨯⋅∠===∠，在ACB △中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯⋅∠())22112112=+-⨯⨯=，所以AB =. 故选：C. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形的应用. 11．D 【分析】求出函数()f x 的导函数，用导数判断函数的单调性，并求极值，从而可以判断零点个数逐项排除可得答案. 【详解】令()0f x '=得x或x =当((),2,x ∈-∞+∞时，()0f x '>，函数()y f x =的增区间为(,-∞，)+∞；当(x ∈时，()0f x '<，函数()y f x =的减区间为(，故B 错误. 所以当x =()y f x=有极大值，故A 错误. 当x <()23302x x x x e f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭恒成立，所以函数()y f x =在(,-∞没有零点；当x <<时，函数()y f x =在(上单调递减，且()00f =，存在唯一零点；当x >()y f x =在)+∞上单调递增，且()20f =，存在唯一零点.故函数()y f x =在R 上有两个零点，故C 错误. 函数()2332x f x x x e ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得()21312x e f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭'，则()03f '=-； 又()00f =，从而曲线()y f x =在原点处的切线方程为3y x =-，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了用导数判断函数的单调性、极值、零点及求切线方程，要求学生有较好的理解力和运算能力，是中档题. 12．B 【分析】根据()()42,224,2x x f x f x x ⎧+-<-⎪=⎨-≥-⎪⎩的图像和性质，逐个判断即可得解.【详解】对①，()()()()50550650720202201620242f f f f ====-=-.故①错误.对②，画出()()42,224,2x x f x f x x ⎧+-<-⎪=⎨-≥-⎪⎩图像知，()114f x x =-有四个根.故②正确.对③，当[)6,10x ∈时，()()()()()2448812812428816f x f x f x f x x x =-=-=-=-+-=--.故③正确.对④，画出图像，()y f x t =-有8个零点，即()y f x =与y t =有8个交点.此时()81iii x f x t ==∑，()814202428216ii xt t ==-⨯+⨯+⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦∑.又()2,0t ∈-.若函数()y f x t =-在(),10-∞上有8个零点()1,2,3,,8i x i =，则()81i i i x f x =∑的取值范围为()32,0-，故④错误. 故选：B. 【点睛】本题考查了分段函数的图像与性质，考查了周期型函数，同时考查了数形结合思想以及作图能力，属于中档题.【分析】先利用换元法求出()f x 的解析式，再对函数求导，从而可求出()1f '的值 【详解】令ln t x =，()t f t te =，所以()xf x xe =，()()1x f x x e '=+，()12f e '=.故答案：2e ， 【点睛】此题考查换元法求函数的解析式，考查函数的求导法则的应用，考查计算能力，属于基础题 14．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据函数的奇偶性、单调性将问题转化为121x x ->-可得解. 【详解】由于()()f x f x -=，所以函数为偶函数，当0x ≥时， ()221xf x x e ππ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()321140x f x x x e πππ-⎛⎫'=-+-< ⎪⎝⎭，所以()f x 在[)0,+∞上为减函数，在(),0-∞是增函数，要()()121f x f x -<-，则需121x x ->-，解得20,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式的问题. 15．32【分析】求出()y g x =的平移后的解析式，再利用函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数，从而得到ω的范围，进而得到其最小值.由题意，将函数()()cos 0f x x ωω=>的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()cos 6y g x x ωπω⎛⎫==+⎪⎝⎭的图象，若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2,663x ωπωπωπω⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，[]2,2,263k k ωπωππππ⎡⎤∴⊆+⎢⎥⎣⎦. ()222362k k ωπωπωπππππ∴-=≤+-=，02ω∴<≤. 240633ωπωππ∴<<≤.0k ∴=.[]2,0,63ωπωππ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦∴. 0623ωπωππ⎧>⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩，解得302ω<≤，所以实数ω的最大值为32.【点睛】本题考查三角函数的平移变换及单调性，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 16．12【分析】建立平面直角坐标系，设点()cos ,sin P θθ，[]0,θπ∈，代换化简32sin()26πλμθ+=-+求得最小值得解. 【详解】以圆心O 为坐标原点，分别以BC AO 、所在直线为x 、y 轴建立平面直角坐标系， 则圆O 方程为221x y += 设点()cos ,sin P θθ，[]0,θπ∈，(1,0),(1,0)A B C -则由条件AP AB AC λμ=+得cos sin λμθθ-+=⎧⎪⎨=⎪⎩11cos 2211cos 22λθθμθθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，故32sin()26πλμθ+=-+，[]0,θπ∈，当62ππθ+=，即3πθ=时,2λμ+最小值为12故答案为12【点睛】本题考查利用平面向量线性定理求最值，属于基础题. 17．（1）()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）从函数()y f x =的图象可确定A 及ω，然后将3x π=代入，求解ϕ；（2）先写出()()cos g x f x x =的解析式并利用辅助角公式化简，然后利用整体思想求解单调区间. 【详解】解：（1）由函数()y f x =的图象可知，2A =，54632T πππ=-=，故2T π=，则1ω=， 又当3x π=时，sin 13πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，且22ππϕ-<<，故=6πϕ，所以()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）()()1cos 2sin cos 2cos cos 62g x f x x x x x x x π⎫⎛⎫==+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2111cos cos 2cos 2sin 222262x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭， 令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得：,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈.故()g x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查三角函数()()sin f x A x =+ωϕ的解析式的求解及单调区间的求解问题，解答时注意数形结合、注意整体思想的运用，难度一般. 18．（1）4m =；值域为[]4,5；（2）3a ≥或3a ≤-. 【分析】（1）由()15f =求出4m =得到()f x ，再利用单调性可求出值域； （2）对于任意[]11,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()01g x f x =成立， 转化为()f x 的值域是()g x 值域的子集可求得答案. 【详解】 （1）()15f =，4m ∴=.()244x f x x x x∴+==+()f x 在[]1,2上递减，在[]2,4上递增，且()24f =，()()145f f ==.()f x ∴值域为[]4,5.（2）对于任意[]11,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()01g x f x =成立， 则()f x 的值域是()g x 值域的子集； 依题意知，0a ≠当0a >时，()[]021,21g x a a ∈---，[][]4,521,21a a ∴⊆---.0214215a a a >⎧⎪∴--≤⎨⎪-≥⎩.3a ∴≥. 当0a <时，()0[21,21]g x a a ∈---，[][]4,521,21a a ∴⊆---.0214215a a a <⎧⎪∴-≤⎨⎪--≥⎩.3a ∴≤-. 故3a ≥或3a ≤-. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性求值域，考查了对于任意1x D ∈，总存在0x E ∈，使得()()01g x f x =成立，转化为则()f x 的值域是()g x 值域的子集问题求解.19．（1）23C π=；（2）3. 【分析】（1）由已知条件可得出关于cos C 的二次方程，结合1cos 1C -<<可求得cos C 的值，由0C π<<可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可推导出:2:1:AC BC AD BD ==，设BC x =，则2AC x =，然后在ACD △和BCD 中利用余弦定理可得出关于x 的方程，可求得x 的值，进而可求得AC 的长.【详解】（1）由已知可得()()1cos 74cos 222A B C π++⨯--=，即722cos cos 22C C --=，2722cos 2cos 12C C --+=∴，24cos 4cos 10C C ∴++=，1cos 2C ∴=-. 0C π<<，23C π∴=； （2）由（1）知23C π=，设点D 到AC 边的距离为h ，则点D 到BC 边的距离也为h ，因为CD 平分ACB ∠，3ACD π∴∠=，11sin 232ACDCD SA h C AD π=⋅=⋅⋅，11sin 232BCDS BC BD CD h π=⋅=⋅⋅， 由:2:1ACD BCD S S =△△，得:2:1:AC BC AD BD ==. 设BC x =，则2AC x =，分别在ACD △和BCD 中由余弦定理得，22142AD x x =+-，221BD x x =+-.()()2214241x x x x ∴+-=+-，解得32x =，23AC x ∴==. 【点睛】本题考查三角形中的几何计算，考查了三角形的面积公式以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.20．（1）1a b ==；（2）(,1]-∞. 【分析】（1）利用导数的几何意义，求得函数()f x 在1x =处的切线方程，根据题意，列出方程组，即可求解；（2）把()()2ln x k f x x -≥，转化为()11ln 2x k x x -+≤，令()()112ln g x x x x =-+，结合导数求得函数()g x 的单调性与最小值，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()1f x a bx=+，则()()2b f x a bx '=-+， 可得()()21bf a b '=-+，且()11f a b=+， 所以()f x 在1x =处的切线方程是()()211by x a b a b -=--++， 又因为函数()f x 在1x =处的切线方程是430bx y +-=，所以()()224134b b a b b a b a b ⎧-=-⎪+⎪⎨⎪+=⎪++⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩或75a b =-⎧⎨=⎩，又由0,0a b >>，所以1a b ==. （2）由（1）可得()11f x x=+， 因为()()2ln x k f x x -≥，即()11ln 2x k x x -+≤. 令()()112ln g x x x x =-+，则()111111ln 2ln 2x x g x x x x +⎛⎫⎛⎫'=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()()ln 1112h x x x x g ⎛⎫'==-- ⎪⎝⎭，所以()22111122x x x x h x -⎛⎫=-+= ⎪⎝'⎭， 当(]0,1x ∈时，()0h x '≥，()h x 递增，即()g x '递增， 所以()()11ln1102g x ≤--='，所以()g x 在(]0,1递减，则()()min 11g x g ==， 可得1k ≤，即实数k 的取值范围为(,1]-∞. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．21．（1）40m =，30000n =，()()()23000040301030107049003050x x y x x x ⎧-+<≤⎪=-⎨⎪-+<≤⎩；（2）.166x ≈. 【分析】(1)由题意得到关于实数,m n 的方程组，求解方程组可得40m =，30000n =，则每日的销售量()()()23000040301030107049003050x x y x x x ⎧-+<≤⎪=-⎨⎪-+<≤⎩； (2)利用(1)中的结论求得利润函数，然后讨论可得：销售价格.166x ≈元/枚时，每日利润最大. 【详解】解：（1）因为20x时，7000y =；30x =时，1500y =，所以150020100700010nn m ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得40m =，30000n =，每日的销售量()()()23000040301030107049003050x x y x x x ⎧-+<≤⎪=-⎨⎪-+<≤⎩. （2）由（1）知，当1030x <≤时：每日销售利润()()()()()22300004030104030103000010f x x x x x x ⎡⎤=-+-=--+⎢⎥-⎣⎦ ()324070150090003000x x x =-+-+，()1030x <≤.则()()()()240314015004030350f x x x x x '=-+=--，当503x =或30x =时，()0f x '=，当5010,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当50,303x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减. 503x ∴=是函数()f x 在(]10,30上的唯一极大值点，50320004030000327f ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭；当3050x <≤时：每日销售利润()()()()270490010708070f x x x x x =-+-=--+，()f x 在40x =有最大值，且()5040630003f f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭.综上，销售价格501663.x =≈元/枚时，每日利润最大. 【点睛】本题考查函数的实际应用问题，属于基础题 22．（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）先对函数求导，然后分0a >，0b <；0a >，0b >；0a <，0b >；0a <，0b <四种情况讨论导函数的正负，可得其单调区间；（2）由（1）可知()10xx e f x =--≥，即1x x e ≤-恒成立，从而可得()()221lnsin sin 1ln 1x xx x e++<-，即()()()221lnsin n 11si x x x x ++<-，而()()2222lnsin 1in lns xx x x x ++<+，从而可证得结论【详解】解：（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()xf x ae b '=-，当0a >，0b <时，0fx ，则()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >，0b >时，令0f x，得ln bx a>，令0fx ，得lnb x a<， 则()f x 在,lnb a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；当0a <，0b >时，0f x ，则()f x 在(),-∞+∞上单调递减； 当0a <，0b <时，令0f x，得lnbx a<，令0f x，得ln bx a>，则()f x 在,lnb a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在ln ,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；综上，当0a >，0b <时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >，0b >时，()f x 在,ln b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当0a <，0b >时，()f x 在(),-∞+∞上单调递减；当0a <，0b <时，()f x 在,ln b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在ln ,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； （2）证明：当1a b ==时，()1x f x e x =--.由（1）知，()()min 00f x f ==，所以()10xx e f x =--≥. 即1x x e ≤-.当且仅当0x =时取等号. 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()210x +>，()21n s l in 0x x +<， 则()()221lnsin sin 1ln 1x x x x e++<-， 即()()()221lnsin n 11si x x x x ++<-，又()()2222lnsin 1in lns x x x x x ++<+， 所以()()()212ln si i 221n s n x x x x x +++<-，即()()()212sin 122ln sin x x x x x +->++. 【点睛】此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，考查分类思想，属于较难题。
2021届安徽省皖南八校高三上学期摸底联考数学(理)试题(解析版)
2021届安徽省皖南八校高三上学期摸底联考数学（理）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}21A x x =≥，{}0B x x =≤，则()⋂=U C A B （ ）A ．()1,1-B ．(]0,1C ．1,0D ．1,0【答案】D【解析】由集合A 的描述知{|1A x x =≥或1}x ≤-，即可得U C A ，利用集合交运算求()U C A B ⋂即可.【详解】由题意得，{|1A x x =≥或1}x ≤-，{}11U C A x x =-<<，而{}0B x x =≤， ∴()(]1,0U C A B =-.故选：D 【点睛】本题考查了集合的基本运算，由集合描述求集合，利用集合的交、补运算求交集，属于简单题；2．已知命题:p m R ∃∈，()23log xf x m x =-是增函数，则p ⌝为（ ）A ．m ∃∈R ，()23log xf x m x =-是减函数B ．m R ∀∈，()23log xf x m x =-是增函数C ．m ∃∈R ，()23log xf x m x =-不是增函数D ．m R ∀∈，()23log xf x m x =-不是增函数【答案】D【解析】根据存在性命题否定直接写出结果，再对照选择. 【详解】因为,x p ∃的否定为,x p ∀⌝；所以对于命题:p m R ∃∈，()23log xf x m x =-是增函数，p ⌝为m R ∀∈，()23log x f x m x =-不是增函数故选：D【点睛】本题考查命题的否定，考查基本求解能力，属基础题.3．已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，且焦距为26则抛物线22y bx =的准线方程为（ ）A ．3x =B ．3x =C ．3y =D ．3y = 【答案】B【解析】根据双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，得到a b =，然后利用焦距为26b ，进而得到抛物线的方程求解. 【详解】因为双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，所以a b =，又焦距为26所以222266a b +==⎝⎭，解得3a b == 所以 223y x =，所以抛物线的准线方程是3x =， 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．已知向量()2,2a =，()1,b x =，若()//2a a b +，则b =（ ） A ．10 B ．2C 10D 2【答案】D【解析】先求得2a b +的坐标，再根据()//2a a b +，解得x ，然后利用求模公式求解. 【详解】因为向量()2,2a =，()1,b x =， 所以()24,22a b x +=+， 因为()//2a a b +， 所以42222x +=， 解得1x =， 所以2b =.故选：D 【点睛】本题主要考查考查平面向量共线的应用以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A ．()2sin 212g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()72sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()22sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】B【解析】求出函数周期可得平移单位，由平移变换得新函数解析式． 【详解】函数的周期为π，将函数()f x 的图象向左平移14个周期即4π个单位，所得图象对应的函数为()2sin 22sin 2436g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故选：B. 【点睛】本题考查函数的周期，考查函数的图象平移变换．函数()sin()f x A x ωϕ=+向左平移α个单位得图象的解析式为()()sin g x A x ωαϕ=++⎡⎤⎣⎦．向右平移α个单位得图象的解析式为()()sin g x A x ωαϕ=-+⎡⎤⎣⎦．6．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”那么，此人第3天和第4天共走路程是（ ） A ．72里 B ．60里 C ．48里 D ．36里【答案】A【解析】设这个人第()N n n *∈天所走的路程为n a 里，可知数列{}n a 是公比为12q =的等比数列，求出1a 的值，进而可求得34a a +的值，即可得解. 【详解】设这个人第()N n n *∈天所走的路程为n a 里，可知{}n a 是公比12q =的等比数列， 由6378S =，得16161163237813212a a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =，23341119219248247222a a ⎛⎫⎛⎫∴+=⨯+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以此人第3天和第4天共走了72里. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，考查计算能力，属于基础题.7．执行如下的程序框图，为使输出的b 的值为16，则循环体的判断框内①处应开始填的整数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】根据程序流程图输出结果补全条件即可. 【详解】初始值为：2a =，1b =，当2a =时，执行122b ==，3a =， 当3a =时，执行224b ==，4a =， 当4a =时，执行4216b ==，5a =， ∴当5a =时应跳出循环，故判断条件应是4a ≤. 故选：B 【点睛】本题考查了利用输出结果补全流程图中的条件，属于简单题. 8．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()xxx R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．9．若正实数x ，y 满足260x y xy ++-=，则2x y +的最小值为（ ） A ．()451B ．)451C ．12D ．4【答案】D【解析】由260x y xy ++==，变形为()62xy x y =-+，再利用基本不等式得到21122222+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭x y xy xy ，从而得到()2126222x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，然后利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】因为260x y xy ++==， 所以()62xy x y =-+， 因为x ，y 为正实数，所以21122222+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭x y xy xy ，当且仅当2x y =时等号成立，所以()2126222x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，解得24x y +≥.所以2x y +的最小值为4 故选：D 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体中直线AB (点B 为俯视图中矩形的中心)与平面ACD 所成角的余弦值为（ ）A ．45B ．35C ．310D ．310【答案】D【解析】作CD 的中点E ，通过三视图，还原几何体，得到EAB ∠即为直线平面ACD 所成角，即可求解. 【详解】如图，该几何体为一个底面为正方形的四棱锥，挖去一个半圆锥， 作CD 的中点E ，易知EAB ∠为直线AB 与平面ACD 所成的角. 又22AE =，1BE =，5AB =， 所以310cos 102225EAB ∠==⨯⨯.故选：D. 【点睛】本题考查三视图和线面夹角，属于容易题.11．已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为()()()112220202020,,,,,,x y x y x y ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ） A ．1010 B ．-2020C ．2020D ．4040【答案】C【解析】根据已知条件得出函数()y f x =及1x y x+=的图象都关于(0,1)对称，这样它们的交点也关于(0,1)对称，2000个交点两两配对，坐标之和易求． 【详解】函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，即为()()2f x f x +-=可得()f x 的图像关于点()0,1对称.函数1x y x+=，即11y x =+的图象关于点()0,1对称，即若点()11,x y 为交点，则点()11,2x y --也为交点；同理若点()22,x y 为交点，则点()22,2x y --也为交点；则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()()(112220202020111122x y x y x y x y x ⎡++++++=++-+⎣)()()()()1222220202020200020000222020y x y x y x y x y ⎤-+++-+-++++-+-=⎦.故选：C ． 【点睛】本题考查函数图象的对称性，掌握对称性质是解题关键．函数()y f x =： （1）若满足()(2)2f x f m x n +-=，则函数图象关于点(,)m n 对称； （2）若满足()(2)f x f m x =-，则函数图象关于直线x m =对称．12．若曲线()21x e f x ax -=+在点()()1,1f 处的切线过点1,0，则函数()f x 的单调递减区间为（ ） A ．,0 B ．0,C ．()(),11,0-∞-⋃-D ．(),1-∞-，1,0【答案】D【解析】先求出切线方程为()()()211111y x e a e a -=-++，将点1,0代入可得1a =，再利用导数求出函数的单调递减区间.【详解】由题意()()()2211x ax a e f x ax -+-'=+，∴()()1211e k f a -'==+，又()111e f a -=+，故曲线在点()()1,1f 处的切线方程为()()()211111y x e a e a -=-++，将点1,0代入可得1a =，则()()221x xe f x x -'=+，令()()2201x xe f x x -'=<+，所以1x <-或10x -<<， 故函数在(),1-∞-，1,0上单调递减.故选：D 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题13．已知复数z 满足：()27142i z i +=-，则z =_________________. 5【解析】根据复数代数形式的除法运算计算出复数z ，即可求出z . 【详解】42122iz i i+==-，故125z i =+=， 5【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算以及复数的模，属于基础题.14．已知点M 的坐标(,)x y 满足不等式组240{2030x y x y y +-≥--≤-≤，N 为直线22y x =-+上任一点，则MN 的最小值是___________【答案】25【解析】由约束条件240{2030x yx yy+-≥--≤-≤作出可行域如图：由图可知，可行域内的动点到直线22y x=-+的最短距离为()2,0A到直线220x y+-=的距离，等于42255-＝25.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15．已知等差数列{}n a的公差d不为0，等比数列{}n b的公比151,22q⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭，若1a d=，21b d=，222123123a a ab b b++++是正整数，则实数q=____________.【答案】12【解析】由已知等差、等比数列以及1a d=，21b d=，222123123a a amb b b++=++是正整数，可得2141q qm++=，结合1512q⎡-∈⎢⎣⎭，即可求m的值，进而求q.【详解】由1a d=，21b d=，令()()223222111123221231112141a a d a da a amb b b b b q b q q q++++++===++++++，其中m为正整数，有2141q qm++=，又151,22q⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭，∴271,24q q ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，71424m≤<，得78m <≤，故8m =， ∴2147184q q ++==，解得12q =或32q =-(舍去).故答案为：12【点睛】本题考查了数列，依据等差、等比数列的性质及已知条件求公比，属于中档题； 16．已知偶函数()f x 满足()()20f x f x -+=，且当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，若在区间[]1,3-内，函数()()21g x f x kx k =--+有且仅有3个零点，则实数k 的取值范围是______________. 【答案】111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭【解析】由()(2)0f x f x -+=，得到函数的周期为2，又由()()210g x f x kx k =--+=，得到()(2)1f k x x =+-，作出两个函数的图象，利用数形结合，即可得到结论. 【详解】由题意，函数满足()()20f x f x -+=， 即()()2f x f x =+，即函数()f x 的周期为2， 当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，可得函数为单调递增函数，且()00f =，()1f e =， 当[]1,0x ∈-时，()()xf x f x x e -=-=-⋅，由图象可知当1x =时，()1f e =，当3x =时，()()31f f e ==， 即()1,B e ，()3,C e ，直线()21y k x =+-恒过点()2,1A --， 当直线()21y k x =+-经过点()1,B e 时， 此时在区间[]1,3-内两个函数有2个交点， 此时31e k =-，解得13e k +=. 直线()21y k x =+-经过点()3,C e 时， 此时在区间[]1,3-内两个函数有4个交点， 此时51e k =-，解得15e k +=. 直线()21y k x =+-经过点()0,0O 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有3个交点，此时12k =. 所以要使得函数()()21g x f x kx k =--+有且仅有3个零点， 则直线的斜率满足1153e e k ++<<或12k =，即实数k 的取值范围是111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭. 故答案为：111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭【点睛】本题主要考查了函数的零点个数的判定及其应用，其中解答中利用函数的周期性和函数的单调性之间的关系，将方程转化为两个函数的图象之间的交点个数，结合两个函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想和推理、运算能力，属于中档试题.三、解答题17．在三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin csin sin sin a A C a C b B +-=.（1）求角B 的大小； （2）若3b =ABC 面积的最大值.【答案】（1）3B π=；（2）334. 【解析】（1）结合正弦定理对已知条件进行化简后，观察等式利用余弦定理即可得正确结论；（2）根据角的转换写出关于角A 的式子，再根据A 的取值范围即可确定出三角形ABC 面积的最大值. 【详解】（1）设三角形ABC 的外接圆的直径长为2R 由已知sin sin sin sin a A c C a C b B +-=及正弦定理所以2222222a c ac b R R R R+-=，所以222a c ac b +-=， 即222a c b ac +-=.由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，因为0B π<<，所以3B π=.（2）因为3B π=，所以32sin sin sin 3a c bA C B====， 三角形ABC 面积1132sin 4sin sin 3sin 223S ac B A C A A π⎛⎫==⨯=- ⎪⎝⎭33cos 2A A ⎛=+⎝133333sin sin 2222444264A A A A π⎫⎛⎫=+-=-+⎪ ⎪⎭⎝⎭20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 当且仅当3A π=时，262A ππ-=，此时ABC 33. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角形的面积公式，属于中档题.18．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设11n n n n c b a a +=+•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2(1)n S n <+.【答案】（1）n a n =，21n b n =+；（2）见解析【解析】（1）由等差数列的通项公式及求和公式列1a d ，的方程组求解则n a n =可求，进而得21n b n =+（2）利用()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭分组求和即可证明 【详解】（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d +=⎧⎨+=+⎩. 整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以()11?n a a n d n =+-=，即n a n =，()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+. （2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭，所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+++-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力，是中档题19．如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1ABC 是边长为2的等边三角形,平面1ABC ⊥平面11AAC C ,四边形11AAC C 为菱形,1160AAC ∠=︒,1AC 与1A C 相交于点D .(1)求证:1BD C C ⊥.(2)求平面1ABC 与平面111A B C 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）5. 【解析】(1)由已知得1BD AC ⊥,再由平面1ABC ⊥平面11AAC C ,两个平面垂直的性质定理可得结论;(2) 以D 为原点,以DA ,DC ,DB 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,求出平面ABC 的一个法向量m 与平面1ABC 的一个法向量是DC ,再利用向量的夹角公式求解. 【详解】(1)侧面11AAC C 是菱形,D 是1AC 的中点, ∵1BA BC =,∴1BD AC ⊥.∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ,且BD ⊂平面1ABC , 平面1ABC 平面111AAC C AC =,∴BD ⊥平面11AAC C ,1C C ⊂平面11AAC C , ∴1BD C C ⊥.(2)由棱柱的定义知:在三棱柱111ABC A B C -中,平面//ABC 平面111A B C , ∴平面1ABC 与平面111A B C 所成的锐二面角与二面角1C AB C --相等. ∵BD ⊥平面11AAC C ,∴1BD A C ⊥.如图,以D 为原点,以DA ,DC ,DB 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.由已知可得12AC =,1AD =,13BD A D DC ===,6=BC ,∴()0,0,0D ,()1,0,0A ,()0,0,3B ,()11,0,0C -,()0,3,0C .设平面ABC 的一个法向量(),,m x y z =,()1,0,3AB =-,()0,3,3BC =-,由0AB m ⋅=,0BC m ⋅=,得30330x z y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩,可得()3,1,1m =.∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ,11AC AC ⊥,∴CD ⊥平面1ABC , ∵平面1ABC 的一个法向量是()0,3,0DC =, ∵5cos m DC m DC D m C⋅⋅==即平面1ABC 与平面111A B C 所成锐二面角的余弦值是5. 【点睛】本题主要考查空间向量的应用、二面角、线面与面面垂直,考查了空间想象能力与逻辑推理能力.20．某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成[]10,15，(]15,20，(]20,25，(]25,30，(]30,355组，得到如图所示的频率分布直方图．以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率．（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（2）若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率． 【答案】（1）23.1；（2）35. 【解析】（1）根据频率分布直方图得到各组频率，然后由平均数公式求解.（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12，利用分层抽样得到应从第1组中抽取2个零件，从第5组中抽取3个零件，然后再利用古典概型的概率求法求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可得各组频率依次为0.08,0.18,0.4,0.22,0.12， 则这批零件长度的平均值为12.50.0817.50.1822.50.427.50.2232.50.1223.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12， 则应从第1组中抽取2个零件，记为A ，B ； 应从第5组中抽取3个零件，记为c ，d ，e .从这5个零件中随机抽取2个的情况有AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，cd ，ce ，de ，共10种，其中符合条件的情况有Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，共6种. 故所求概率63105P ==. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及平均数，古典概型的概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．已知点()()00,P x f x 是曲线()()211ln 2f x x a x a x =-++上任意一点，a R ∈. （1）若在曲线()y f x =上点P 处的切线的斜率恒大于23331a a a x +---，求实数a 的取值范围.（2）点()()11,A x g x ､()()22,B x g x 是曲线()()212g x x f x =-上不同的两点，设直线AB 的斜率为k .若1a =-，求证：()122k x x +>. 【答案】（1）32a <-或3a ≥；（2）证明见解析. 【解析】（1）先对函数求导，得到()()21x a x af x x-++'=，由题意，00x >时，得到()22000013331x a x a a a a x x -+++->--恒成立，即00x >时，22002230x ax a a ++-->恒成立，令()()222230F x x ax a a x =++-->，结合二次函数的性质，即可得出结果；（2）由1a =-，得到()ln g x x =，由于12x x ≠，不妨先设120x x >>，令12x t x =，()()2ln 112t f t t t =+>+，对其求导，根据导数的方法判定单调性，得出()()11f t f >=，推出121212ln ln 2x x x x x x -->+，即可证明结论成立.【详解】 （1）由()()211ln 2f x x a x a x =-++得 ()()()()()2111a a x x a x f a x a x x x x x-+-+'=-++-==， 由题意得，当00x >时，()22000013331x a x a a a a x x -+++->--恒成立， 即当00x >时，22002230x ax a a ++-->恒成立，设函数()()222230F x x ax a a x =++-->，则其对称轴方程为x a =-，()0F x >在()0,∞+上恒成立.若0a -≤，即0a ≥，则()F x 在()0,∞+上单调递增， ∵()0F x >在()0,∞+上恒成立， ∴2 230a a --≥，解得3a ≥；若0a <，则()0F a ->，即230a -->，解得32a <-. 综上可得32a <-或3a ≥. （2）若1a =-，则()()21ln 2g x x f x x =-=，由于12x x ≠，不妨先设120x x >>， 令12x t x =，()()2ln 112tf t t t =+>+，()()()()()()22222411210212121t t t f t t t t t t t -++--'=+==>+++， 故()2ln 12t f t t =++在()1,+∞上单调递增， 所以()()11f t f >=，即1212ln 2121x x x x +>+，∴121212ln ln 2x x x x x x -->+，∴()()()1212122g x g x x x x x -+⎡⎤⎣⎦>-，∴()122k x x +>得证. 综上可知，原命题得证. 【点睛】本题主要考查由导数的几何意义求参数，考查由导数的方法证明不等式，熟记导数的方法判定函数单调性，求函数最值即可，属于常考题型.22．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F 在直线3320x y -+=上，且22a b +=（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于A 、C 两点，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC 的重心，探求PAC 面积S 是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S 的取值范围.【答案】（1）22142x y +=；（2）是定值，362. 【解析】（1）根据题意，得到()2,0F -，由题中条件列出方程组求解，得出2a =，2b =（2）若直线l 的斜率不存在，先求出此时PAC 的面积；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,C x y ，根据韦达定理，由题中条件，表示出点P 的坐标，代入椭圆方程，得出22122k m +=，再得到坐标原点O 到直线l 的距离为21m d k=+.【详解】（1）∵直线3320x y -+=与x 轴的交点为()2,0-，∴2c =∴22222a b a b ⎧-=⎪⎨+=+⎪⎩，∴解得2a =，2b =22142x y +=.（2）若直线l 的斜率不存在，则MO 在x 轴上，此时2OP a ==，因为点O 为PAC的重心，所以212OM ==，将1x =代入椭圆方程，可得262142x y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即6AM =，所以6363S PM AM =⋅==； 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程， 整理得()222124240kxkmx m +++-=设()11,A x y ，()22,C x y ，则122412kmx x k +=-+，()21222212m x x k-⋅=+，()121222212m y y k x x m k +=++=+. 由题意点O 为PAC 的重心，设()00,P x y ，则12003x x x ++=，12003y y y ++=， 所以()0122412km x x x k =-+=+，()0122212my y y k =-+=-+， 代入椭圆22142x y +=，得()()2222222224212121212k m m k m k k ++=⇒=++， 设坐标原点O 到直线l 的距离为d ，则21m d k=+则PAC 的面积132S AC d =⋅ 21221121m k x k=+-⋅+1232x x m =-⋅ ()22222234421212m km m k k -⎛⎫=--⋅ ⎪++⎝⎭ ()22222123k m m +-= ()2221221212362322k k k ++-+==. 综上可得，PAC 面积S 36. 【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，考查椭圆中三角形的面积问题，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.1。
2021届安徽省皖南八校高三上学期第一次联考数学(理)试题(解析版)
2021届安徽省皖南八校高三上学期第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}220M x x x =--≤，{}xN y y π==，则MN =（ ）A ．(]0,2B ．(]0,1C ．[)2,-+∞D ．[)1,-+∞【答案】A【解析】依题意得[]12M =-,，()0,N =+∞，直接求交集即可. 【详解】依题意得[]12M =-,，()0,N =+∞， (]0,2MN ∴=.故选：A . 【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了解一元二次不等式，属于基础题. 2．已知复数z 满足2z z i -=，则z 的虚部是（ ） A ．1- B ．1C ．i -D ．i【答案】B【解析】设(),z a bi a b R =+∈，根据2z z i -=，求得1b =，即可求得复数z 的虚部，得到答案. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，因为2z z i -=，可得()22z z a bi a bi bi i -=+--==， 则22b =，可得1b =，所以复数z 的虚部是1. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数相等的应用，其中解答中熟记复数相等的条件是解答的关键，属于基础题.3．已知实数0x >，0y >，则“1xy <”是“1133log log 0x y +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由不等式111333log log log 0x y xy +=>，求得01xy <<，结合充要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，实数0x >，0y >，不等式111333log log log 0x y xy +=>，解得01xy <<，所以实数0x >，0y >，则“1xy <”是“1133log log 0y +>”的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，以及对数的运算性质，其中解答中熟记充要条件的判定方法，以及熟练应用对数的运算性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 4．若tan 2α，则()()sin cos παπα⋅-+=（ ）A ．45 B ．25C ．25±D ．25-【答案】D【解析】先利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的关系化简可得结果 【详解】()()()222sin cos tan 2sin cos sin cos sin cos sin cos tan 15ααααππαααααααα-⋅+=-⋅-=⋅===-++. 故选：D 【点睛】此题考查诱导公式的应用，考查同角三角函数的关系的应用，属于基础题5．定积分22sin x -⎰的值是（ ）A ．2π B ．πC ．2πD ．32π【答案】C【解析】根据定积分的性质和运算法则可得答案. 【详解】(2222221sin sin 222x dx xdx ππ---+=+=⨯=⎰⎰⎰.故选：C. 【点睛】本题考查了利用定积分的性质求值的问题，属于基础题. 6．设向量0,2a ，()2,2b =，则（ ）A ．a b =B ．()//a b b -C ．a 与b 的夹角为3π D ．()a b a -⊥【答案】D【解析】分别用坐标运算向量的模长、夹角、共线、垂直可得答案. 【详解】 因为0,2a ，()2,2b =，所以2a =，22b =，所以a b ≠，故A 错误；因为0,2a，()2,2b =，所以()2,0a b -=-，所以()a b -与b 不平行，故B 错误；又cos ,242a b a b a b⋅===⋅，所以a 与b 的夹角为4π，故C 错误； 又()000a a b ⋅-=-=， 故选：D 正确. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题.7．已知0.3a e =，12eb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5log c =sin 4d =，则（ ）A ．a b c d >>>B ．a c b d >>>C ．d b a c >>>D ．b a d c >>>【答案】B【解析】由指数函数的单调性判断,a b 的范围，再由对数函数的单调性判断c 的范围，再由三角函数的性质判断d 的范围，从而可得结果 【详解】0.301e e >=，1a ∴>，11110222e ⎛⎫⎛⎫<<=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，102b ∴<<，551log 7log 2>=，且55log log 51<=，112c ∴<<， ∵sin 40d =<.a cb d ∴>>>.【点睛】此题考查指数式、对数式，三角函数值比较大小，利用了函数的单调性，属于基础题 8．某特种冰箱的食物保鲜时间y （单位：小时）与设置储存温度x （单位：C ︒）近似满足函数关系3kx b y +=（k ，b 为常数），若设置储存温度0C ︒的保鲜时间是288小时，设置储存温度5C ︒的保鲜时间是144小时，则设置储存温度15C ︒的保鲜时间近似是（ ） A ．36小时 B ．48小时 C ．60小时 D ．72小时【答案】A【解析】根据两次的储存温度和保鲜时间可得3288b =、5132k=从而得到y ，再把储存温度为15°代入即可. 【详解】由题意得532883144b k b +⎧=⎨=⎩，5144132882k∴==，所以15x =时，()31551333288368k bk b y +==⋅=⨯=.故选：A . 【点睛】本题考查了求指数函数型解析式及应用.9．将函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），然后向左平移3π个单位，所得函数记为()g x .若1x ，20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x ≠，且()()12g x g x =，则()12g x x +=（ ）A ．12-B ．C ．12D 【答案】D【解析】先利用函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律求得()g x 的解析式，再利用正弦函数的图像的对称性，求得12x x +的值，可得()12g x x +的值. 【详解】将函数()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），可得sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再向左平移3π个单位，所得函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若1x ，20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x ≠，则142,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，242,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ()()12g x g x =，12223322x x πππ+++∴=，126x x π∴+=，则()1223sin 2sin 6332g x x πππ⎛⎫+=⨯+== ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题. 10．如图，地面四个5G 中继站A 、B 、C 、D ，已知()62km CD =+，30ADB CDB ∠=∠=︒，45DCA ∠=︒，60ACB ∠=︒，则A 、B 两个中继站的距离是（ ）A ．3kmB ．10kmC 10kmD ．62km【答案】C【解析】由正弦定理得求得AC 、BC 长，再由余弦定理得AB 长可得答案. 【详解】由题意可得75DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒，在ADC 中，由正弦定理得362sin 223sin sin 75CD ADCAC DAC⋅∠===∠︒在BDC中，由正弦定理得1sin 1sin 2CD BDCBC DBC⨯⋅∠===∠，在ACB △中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯⋅∠())22112112=+-⨯⨯=，所以AB =. 故选：C. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形的应用.11．已知函数()2332xf x x x e ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．函数()f x的极大值点为x = B ．函数()f x在(,-∞上单调递减 C ．函数()f x 在R 上有3个零点 D ．函数()f x 在原点处的切线方程为3y x =-【答案】D【解析】求出函数()f x 的导函数，用导数判断函数的单调性，并求极值，从而可以判断零点个数逐项排除可得答案. 【详解】令()0f x '=得x =或x =当((),2,x ∈-∞+∞时，()0f x '>，函数()y f x =的增区间为(,-∞，)+∞；当(x ∈时，()0f x '<，函数()y f x =的减区间为(，故B 错误. 所以当x =()y fx =有极大值，故A 错误. 当x <()23302x x x x e f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭恒成立，所以函数()y f x =在(,-∞没有零点；当x <<时，函数()y f x=在(上单调递减，且()00f =，存在唯一零点；当x >()y f x =在)+∞上单调递增，且()20f =，存在唯一零点.故函数()y f x =在R 上有两个零点，故C 错误. 函数()2332x f x x x e ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得()21312x e f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭'，则()03f '=-； 又()00f =，从而曲线()y f x =在原点处的切线方程为3y x =-，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了用导数判断函数的单调性、极值、零点及求切线方程，要求学生有较好的理解力和运算能力，是中档题. 12．已知函数()()42,224,2x x f x f x x ⎧+-<-⎪=⎨-≥-⎪⎩以下结论正确的个数有（ ）①()50720202f =；②方程()114f x x =-有四个实根； ③当[)6,10x ∈时，()8816f x x =--；④若函数()y f x t =-在(),10-∞上有8个零点()1,2,3,,8i x i =，则()81i i i x f x =∑的取值范围为()16,0-. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据()()42,224,2x x f x f x x ⎧+-<-⎪=⎨-≥-⎪⎩的图像和性质，逐个判断即可得解.【详解】对①，()()()()50550650720202201620242f f f f ====-=-.故①错误.对②，画出()()42,224,2x x f x f x x ⎧+-<-⎪=⎨-≥-⎪⎩图像知，()114f x x =-有四个根.故②正确.对③，当[)6,10x ∈时，()()()()()2448812812428816f x f x f x f x x x =-=-=-=-+-=--.故③正确.对④，画出图像，()y f x t =-有8个零点，即()y f x =与y t =有8个交点.此时()81iii x f x t ==∑，()814202428216ii xt t ==-⨯+⨯+⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦∑.又()2,0t ∈-.若函数()y f x t =-在(),10-∞上有8个零点()1,2,3,,8i x i =，则()81i i i x f x =∑的取值范围为()32,0-，故④错误. 故选：B. 【点睛】本题考查了分段函数的图像与性质，考查了周期型函数，同时考查了数形结合思想以及作图能力，属于中档题.二、填空题13．设函数()f x 是R 内的可导函数，且()ln ln f x x x =，则()1f '=________. 【答案】2e【解析】先利用换元法求出()f x 的解析式，再对函数求导，从而可求出()1f '的值 【详解】令ln t x =，()t f t te =，所以()xf x xe =，()()1x f x x e '=+，()12f e '=.故答案：2e ， 【点睛】此题考查换元法求函数的解析式，考查函数的求导法则的应用，考查计算能力，属于基础题14．已知函数()221xf x x e ππ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则不等式()()121f x f x -<-的解集是________. 【答案】20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】根据函数的奇偶性、单调性将问题转化为121x x ->-可得解. 【详解】由于()()f x f x -=，所以函数为偶函数，当0x ≥时， ()221xf x x e ππ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()321140x f x x x e πππ-⎛⎫'=-+-< ⎪⎝⎭，所以()f x 在[)0,+∞上为减函数，在(),0-∞是增函数， 要()()121f x f x -<-，则需121x x ->-，解得20,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故答案为：20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式的问题. 15．将函数()()cos 0f x x ωω=>的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数，则实数ω的最大值为________. 【答案】32【解析】求出()y g x =的平移后的解析式，再利用函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数，从而得到ω的范围，进而得到其最小值. 【详解】由题意，将函数()()cos 0f x x ωω=>的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()cos 6y g x x ωπω⎛⎫==+⎪⎝⎭的图象，若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2,663x ωπωπωπω⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，[]2,2,263k k ωπωππππ⎡⎤∴⊆+⎢⎥⎣⎦. ()222362k k ωπωπωπππππ∴-=≤+-=，02ω∴<≤. 240633ωπωππ∴<<≤.0k ∴=.[]2,0,63ωπωππ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦∴. 0623ωπωππ⎧>⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩，解得302ω<≤，所以实数ω的最大值为32.【点睛】本题考查三角函数的平移变换及单调性，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.16．已知ABC ∆为边长为2的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上，若AP AB AC λμ=+，则2λμ+的最小值为________.【答案】12【解析】建立平面直角坐标系，设点()cos ,sin P θθ，[]0,θπ∈，代换化简32sin()26πλμθ+=-+求得最小值得解. 【详解】以圆心O 为坐标原点，分别以BC AO 、所在直线为x 、y 轴建立平面直角坐标系，则圆O 方程为221x y += 设点()cos ,sin P θθ，[]0,θπ∈，3),(1,0),(1,0)A B C -则由条件AP AB AC λμ=+得cos 33sin 3λμθλμθ-+=⎧⎪⎨=⎪⎩131cos 22131cos 22λθθμθθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，故32sin()26πλμθ+=-+，[]0,θπ∈，当62ππθ+=，即3πθ=时,2λμ+最小值为12故答案为12【点睛】本题考查利用平面向量线性定理求最值，属于基础题.三、解答题17．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，其中0A >，0>ω，22ππϕ-<<，x ∈R ，其部分图象如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）已知函数()()cos g x f x x =，求函数()g x 的单调递增区间.【答案】（1）()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）从函数()y f x =的图象可确定A 及ω，然后将3x π=代入，求解ϕ；（2）先写出()()cos g x f x x =的解析式并利用辅助角公式化简，然后利用整体思想求解单调区间. 【详解】解：（1）由函数()y f x =的图象可知，2A =，54632T πππ=-=，故2T π=，则1ω=， 又当3x π=时，sin 13πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，且22ππϕ-<<，故=6πϕ，所以()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.（2）()()31cos 2sin cos 2cos cos 622g x f x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭231113cos cos 2cos 2sin 222262x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭， 令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得：,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈.故()g x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查三角函数()()sin f x A x =+ωϕ的解析式的求解及单调区间的求解问题，解答时注意数形结合、注意整体思想的运用，难度一般.18．已知函数2()(14)x mf x x x+=≤≤，且()15f =.（1）求实数m 的值，并求函数()f x 的值域；（2）函数()()122g x ax x =--<<，若对任意[]11,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()01g x f x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）4m =；值域为[]4,5；（2）3a ≥或3a ≤-.【解析】（1）由()15f =求出4m =得到()f x ，再利用单调性可求出值域； （2）对于任意[]11,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()01g x f x =成立， 转化为()f x 的值域是()g x 值域的子集可求得答案. 【详解】 （1）()15f =，4m ∴=.()244x f x x x x∴+==+()f x 在[]1,2上递减，在[]2,4上递增，且()24f =，()()145f f ==.()f x ∴值域为[]4,5.（2）对于任意[]11,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()01g x f x =成立， 则()f x 的值域是()g x 值域的子集； 依题意知，0a ≠当0a >时，()[]021,21g x a a ∈---，[][]4,521,21a a ∴⊆---.214215a a a >⎧⎪∴--≤⎨⎪-≥⎩.3a ∴≥. 当0a <时，()0[21,21]g x a a ∈---，[][]4,521,21a a ∴⊆---.0214215a a a <⎧⎪∴-≤⎨⎪--≥⎩.3a ∴≤-. 故3a ≥或3a ≤-. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性求值域，考查了对于任意1x D ∈，总存在0x E ∈，使得()()01g x f x =成立，转化为则()f x 的值域是()g x 值域的子集问题求解.19．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足()274cos cos 222A B A B +-+=. （1）求角C ；（2）设D 为边AB 上的点，CD 平分ACB ∠，且1CD =，若ACD △与BCD 的面积比2:1，求AC 的长. 【答案】（1）23C π=；（2）3. 【解析】（1）由已知条件可得出关于cos C 的二次方程，结合1cos 1C -<<可求得cos C 的值，由0C π<<可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可推导出:2:1:AC BC AD BD ==，设BC x =，则2AC x =，然后在ACD △和BCD 中利用余弦定理可得出关于x 的方程，可求得x 的值，进而可求得AC 的长. 【详解】（1）由已知可得()()1cos 74cos 222A B C π++⨯--=，即722cos cos 22C C --=， 2722cos 2cos 12C C --+=∴，24cos 4cos 10C C ∴++=，1cos 2C ∴=-. 0C π<<，23C π∴=； （2）由（1）知23C π=，设点D 到AC 边的距离为h ，则点D 到BC 边的距离也为h ，因为CD 平分ACB ∠，3ACD π∴∠=，11sin 232ACDCD SA h C AD π=⋅=⋅⋅，11sin 232BCDS BC BD CD h π=⋅=⋅⋅， 由:2:1ACD BCD S S =△△，得:2:1:AC BC AD BD ==. 设BC x =，则2AC x =，分别在ACD △和BCD 中由余弦定理得，22142AD x x =+-，221BD x x =+-.()()2214241x x x x ∴+-=+-，解得32x =，23AC x ∴==. 【点睛】本题考查三角形中的几何计算，考查了三角形的面积公式以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 20．设函数()()1,0f x a b a bx=>+. （1）若函数()f x 在1x =处的切线方程是430bx y +-=，求实数a ，b 的值； （2）在（1）的条件下，若()()2ln x k f x x -≥对于01x <≤恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1a b ==；（2）(,1]-∞.【解析】（1）利用导数的几何意义，求得函数()f x 在1x =处的切线方程，根据题意，列出方程组，即可求解；（2）把()()2ln x k f x x -≥，转化为()11ln 2x k x x -+≤，令()()112ln g x x x x =-+，结合导数求得函数()g x 的单调性与最小值，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()1f x a bx=+，则()()2b f x a bx '=-+， 可得()()21bf a b '=-+，且()11f a b=+， 所以()f x 在1x =处的切线方程是()()211by x a b a b -=--++， 又因为函数()f x 在1x =处的切线方程是430bx y +-=，所以()()224134b b a b b a b a b ⎧-=-⎪+⎪⎨⎪+=⎪++⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩或75a b =-⎧⎨=⎩，又由0,0a b >>，所以1a b ==. （2）由（1）可得()11f x x=+， 因为()()2ln x k f x x -≥，即()11ln 2x k x x -+≤. 令()()112ln g x x x x =-+，则()111111ln 2ln 2x x g x x x x +⎛⎫⎛⎫'=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()()ln 1112h x x x x g ⎛⎫'==-- ⎪⎝⎭，所以()22111122x x x x h x -⎛⎫=-+= ⎪⎝'⎭， 当(]0,1x ∈时，()0h x '≥，()h x 递增，即()g x '递增， 所以()()11ln1102g x ≤--='，所以()g x 在(]0,1递减，则()()min 11g x g ==， 可得1k ≤，即实数k 的取值范围为(,1]-∞. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．21．某科技公司生产某种芯片.由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片每日的销售量y （单位：枚）与销售价格x （单位：元/枚，1050x <≤）：当1030x <≤时满足关系式()23010ny m x x =-+-，（m ，n 为常数）；当3050x <≤时满足关系式704900y x =-+.已知当销售价格为20元/枚时，每日可售出该芯片7000枚；当销售价格为30元/枚时，每日可售出该芯片1500枚. （1）求m ，n 的值，并确定y 关于x 的函数解析式；（2）若该芯片的成本为10元/枚，试确定销售价格x 的值，使公司每日销售该芯片所获利润()f x 最大.（x 精确到0.01元/枚）【答案】（1）40m =，30000n =，()()()23000040301030107049003050x x y x x x ⎧-+<≤⎪=-⎨⎪-+<≤⎩；（2）.166x ≈.【解析】(1)由题意得到关于实数,m n 的方程组，求解方程组可得40m =，30000n =，则每日的销售量()()()23000040301030107049003050x x y x x x ⎧-+<≤⎪=-⎨⎪-+<≤⎩； (2)利用(1)中的结论求得利润函数，然后讨论可得：销售价格.166x ≈元/枚时，每日利润最大. 【详解】解：（1）因为20x时，7000y =；30x =时，1500y =，所以150020100700010nn m ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得40m =，30000n =，每日的销售量()()()23000040301030107049003050x x y x x x ⎧-+<≤⎪=-⎨⎪-+<≤⎩. （2）由（1）知，当1030x <≤时：每日销售利润()()()()()22300004030104030103000010f x x x x x x ⎡⎤=-+-=--+⎢⎥-⎣⎦ ()324070150090003000x x x =-+-+，()1030x <≤.则()()()()240314015004030350f x x x x x '=-+=--，当503x =或30x =时，()0f x '=，当5010,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当50,303x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减. 503x ∴=是函数()f x 在(]10,30上的唯一极大值点，50320004030000327f ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭； 当3050x <≤时：每日销售利润()()()()270490010708070f x x x x x =-+-=--+，()f x 在40x =有最大值，且()5040630003f f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭.综上，销售价格501663.x =≈元/枚时，每日利润最大. 【点睛】本题考查函数的实际应用问题，属于基础题22．已知函数()()1,,0xf x a e bx a b R ab =⋅--∈≠.（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()()212sin 122ln sin x x x x x +->++. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）先对函数求导，然后分0a >，0b <；0a >，0b >；0a <，0b >；0a <，0b <四种情况讨论导函数的正负，可得其单调区间；（2）由（1）可知()10xx e f x =--≥，即1x x e ≤-恒成立，从而可得()()221lnsin sin 1ln 1x xx x e++<-，即()()()221lnsin n 11si x x x x ++<-，而()()2222lnsin 1in lns x x x x x ++<+，从而可证得结论【详解】解：（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()xf x ae b '=-，当0a >，0b <时，0fx ，则()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >，0b >时，令0f x，得ln bx a>，令0fx ，得lnb x a<， 则()f x 在,ln b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；当0a <，0b >时，0f x ，则()f x 在(),-∞+∞上单调递减； 当0a <，0b <时，令0fx，得lnbx a<，令0f x，得ln bx a>，则()f x 在,ln b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在ln ,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；综上，当0a >，0b <时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增； 当0a >，0b >时，()f x 在,lnb a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当0a <，0b >时，()f x 在(),-∞+∞上单调递减； 当0a <，0b <时，()f x 在,lnb a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在ln ,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明：当1a b ==时，()1xf x e x =--.由（1）知，()()min 00f x f ==，所以()10xx e f x =--≥.即1x x e ≤-.当且仅当0x =时取等号. 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()210x +>，()21n s l in 0x x +<，则()()221lnsin sin 1ln 1x xx x e++<-，即()()()221lnsin n 11si x x x x ++<-，又()()2222lnsin 1in lns x x x x x ++<+，所以()()()212ln si i 221n s n x x x x x +++<-，即()()()212sin 122ln sin x x x x x +->++.【点睛】此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，考查分类思想，属于较难题。
安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期摸底联考理科数学试题
安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期摸底联考理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}21A x x =≥，{}0B x x =≤，则()⋂=U C A B （ ） A ．()1,1- B ．(]0,1 C ．1,0 D ．1,02．已知命题:p m R ∃∈，()23log x f x m x =-是增函数，则p ⌝为（ ）A ．m ∃∈R ，()23log xf x m x =-是减函数 B ．m R ∀∈，()23log xf x m x =-是增函数 C ．m ∃∈R ，()23log xf x m x =-不是增函数 D ．m R ∀∈，()23log xf x m x =-不是增函数3．已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，且焦距为物线22y bx =的准线方程为（ ）A ．x =B ．2x =-C ．y =D ．2y =- 4．已知向量()2,2a =，()1,b x =，若()//2a a b +，则b =（ ）A ．10B ．2CD 5．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A ．()2sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()72sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()22sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”那么，此人第3天和第4天共走路程是（ ）A ．72里B ．60里C ．48里D ．36里7．执行如下的程序框图，为使输出的b 的值为16，则循环体的判断框内①处应开始填的整数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．函数y =||2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．9．若正实数x ，y 满足260x y xy ++-=，则2x y +的最小值为（ ）A ．)41B ．)41C ．12D ．410．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体中直线AB (点B 为俯视图中矩形的中心)与平面ACD 所成角的余弦值为（ ）A ．45B ．35C ．310 D11．已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x +=与()y f x =图象的交点为()()()112220202020,,,,,,x y x y x y ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）A ．1010B ．-2020C ．2020D ．404012．若曲线()21x e f x ax -=+在点()()1,1f 处的切线过点1,0，则函数()f x 的单调递减区间为（ ）A ．,0B ．0,C ．()(),11,0-∞-⋃-D ．(),1-∞-，1,0二、填空题 13．已知复数z 满足：()27142i z i +=-，则z =_________________. 14．已知点M 的坐标(,)x y 满足不等式组240{2030x y x y y +-≥--≤-≤，N 为直线22y x =-+上任一点，则MN 的最小值是___________15．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，等比数列{}n b的公比12q ⎡∈⎢⎣⎭，若1a d =，21b d =，222123123a a a b b b ++++是正整数，则实数q =____________. 16．已知偶函数()f x 满足()()20f x f x -+=，且当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，若在区间[]1,3-内，函数()()21g x f x kx k =--+有且仅有3个零点，则实数k 的取值范围是______________.三、解答题17．在三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin csin sin sin a A C a C b B +-=.（1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 面积的最大值.18．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设11n n n n c b a a +=+•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2(1)n S n <+. 19．如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1ABC 是边长为2的等边三角形,平面1ABC ⊥平面11AAC C ,四边形11AAC C 为菱形,1160AAC ∠=︒,1AC 与1A C 相交于点D .(1)求证:1BD C C ⊥.(2)求平面1ABC 与平面111A B C 所成锐二面角的余弦值.20．某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成[]10,15，(]15,20，(]20,25，(]25,30，(]30,355组，得到如图所示的频率分布直方图．以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率．（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（2）若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率．21．已知点()()00,P x f x 是曲线()()211ln 2f x x a x a x =-++上任意一点，a R ∈. （1）若在曲线()y f x =上点P 处的切线的斜率恒大于23331a a a x +---，求实数a 的取值范围.（2）点()()11,A x g x ､()()22,B x g x 是曲线()()212g x x f x =-上不同的两点，设直线AB 的斜率为k .若1a =-，求证：()122k x x +>.22．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F在直线30x y -+=上，且2a b +=（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于A 、C 两点，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC 的重心，探求PAC 面积S 是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S 的取值范围.参考答案1．D【分析】由集合A 的描述知{|1A x x =≥或1}x ≤-，即可得U C A ，利用集合交运算求()U C A B ⋂即可.【详解】由题意得，{|1A x x =≥或1}x ≤-，{}11U C A x x =-<<，而{}0B x x =≤， ∴()(]1,0U C A B =-.故选：D【点睛】本题考查了集合的基本运算，由集合描述求集合，利用集合的交、补运算求交集，属于简单题；2．D【分析】根据存在性命题否定直接写出结果，再对照选择.【详解】因为,x p ∃的否定为,x p ∀⌝；所以对于命题:p m R ∃∈，()23log x f x m x =-是增函数， p ⌝为m R ∀∈，()23log x f x m x =-不是增函数故选：D【点睛】本题考查命题的否定，考查基本求解能力，属基础题.3．B【分析】 根据双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，得到a b =，然后利用焦距为b ，进而得到抛物线的方程求解.【详解】因为双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，所以a b =，又焦距为所以22262a b ⎛+== ⎝⎭，解得a b ==所以 2y =，所以抛物线的准线方程是x =， 故选：B.【点睛】 本题主要考查双曲线和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．D【分析】先求得2a b +的坐标，再根据()//2a a b +，解得x ，然后利用求模公式求解.【详解】因为向量()2,2a =，()1,b x =，所以()24,22a b x +=+，因为()//2a a b +， 所以42222x +=， 解得1x =， 所以2b =.故选：D【点睛】本题主要考查考查平面向量共线的应用以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．B【分析】求出函数周期可得平移单位，由平移变换得新函数解析式．【详解】函数的周期为π，将函数()f x 的图象向左平移14个周期即4π个单位，所得图象对应的函数为()2sin 22sin 2436g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故选：B.【点睛】本题考查函数的周期，考查函数的图象平移变换．函数()sin()f x A x ωϕ=+向左平移α个单位得图象的解析式为()()sin g x A x ωαϕ=++⎡⎤⎣⎦．向右平移α个单位得图象的解析式为()()sin g x A x ωαϕ=-+⎡⎤⎣⎦．6．A【分析】设这个人第()N n n *∈天所走的路程为n a 里，可知数列{}n a 是公比为12q =的等比数列，求出1a 的值，进而可求得34a a +的值，即可得解.【详解】设这个人第()N n n *∈天所走的路程为n a 里，可知{}n a 是公比12q =的等比数列， 由6378S =，得16161163237813212a a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =， 23341119219248247222a a ⎛⎫⎛⎫∴+=⨯+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以此人第3天和第4天共走了72里.故选：A.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，考查计算能力，属于基础题.7．B【分析】根据程序流程图输出结果补全条件即可.【详解】初始值为：2a =，1b =，当2a =时，执行122b ==，3a =，当3a =时，执行224b ==，4a =，当4a =时，执行4216b ==，5a =，∴当5a =时应跳出循环，故判断条件应是4a ≤.故选：B【点睛】本题考查了利用输出结果补全流程图中的条件，属于简单题.8．D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D. 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．9．D【分析】由260x y xy ++==，变形为()62xy x y =-+，再利用基本不等式得到21122222+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭x y xy xy ，从而得到()2126222x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，然后利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】因为260x y xy ++==， 所以()62xy x y =-+， 因为x ，y 为正实数，所以21122222+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭x y xy xy ，当且仅当2x y =时等号成立，所以()2126222x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，解得24x y +≥.所以2x y +的最小值为4 故选：D 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10．D 【分析】作CD 的中点E ，通过三视图，还原几何体，得到EAB ∠即为直线平面ACD 所成角，即可求解. 【详解】如图，该几何体为一个底面为正方形的四棱锥，挖去一个半圆锥， 作CD 的中点E ，易知EAB ∠为直线AB 与平面ACD 所成的角.又AE =1BE =，AB =所以cosEAB ∠==.故选：D. 【点睛】本题考查三视图和线面夹角，属于容易题. 11．C 【分析】根据已知条件得出函数()y f x =及1x y x+=的图象都关于(0,1)对称，这样它们的交点也关于(0,1)对称，2000个交点两两配对，坐标之和易求． 【详解】函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，即为()()2f x f x +-=可得()f x 的图像关于点()0,1对称.函数1x y x+=，即11y x =+的图象关于点()0,1对称，即若点()11,x y 为交点，则点()11,2x y --也为交点；同理若点()22,x y 为交点，则点()22,2x y --也为交点；则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()()(112220202020111122x y x y x y x y x ⎡++++++=++-+⎣)()()()()1222220202020200020000222020y x y x y x y x y ⎤-+++-+-++++-+-=⎦.故选：C ． 【点睛】本题考查函数图象的对称性，掌握对称性质是解题关键．函数()y f x =： （1）若满足()(2)2f x f m x n +-=，则函数图象关于点(,)m n 对称； （2）若满足()(2)f x f m x =-，则函数图象关于直线x m =对称． 12．D 【分析】先求出切线方程为()()()211111y x e a e a -=-++，将点1,0代入可得1a =，再利用导数求出函数的单调递减区间. 【详解】由题意()()()2211x ax a e f x ax -+-'=+，∴()()1211e k f a -'==+，又()111e f a -=+，故曲线在点()()1,1f 处的切线方程为()()()211111y x e a e a -=-++，将点1,0代入可得1a =，则()()221x xe f x x -'=+，令()()2201x xe f x x -'=<+，所以1x <-或10x -<<， 故函数在(),1-∞-，1,0上单调递减.故选：D 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 13【分析】根据复数代数形式的除法运算计算出复数z ，即可求出z . 【详解】42122iz i i+==-，故12z i =+=，【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算以及复数的模，属于基础题. 14【解析】由约束条件240{2030x y x y y +-≥--≤-≤作出可行域如图：由图可知，可行域内的动点到直线22y x =-+的最短距离为()2,0A 到直线220x y +-=的距离，等于.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15．12【分析】由已知等差、等比数列以及1a d =，21b d =，222123123a a a m b b b ++=++是正整数，可得2141q q m++=，结合11,22q ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭，即可求m 的值，进而求q . 【详解】由1a d =，21b d =，令()()223222111123221231112141a a d a d a a a m b b b b b q b q q q++++++===++++++，其中m 为正整数，有2141q q m ++=，又11,22q ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭， ∴271,24q q ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，71424m≤<，得78m <≤，故8m =， ∴2147184q q ++==，解得12q =或32q =-(舍去).故答案为：12【点睛】本题考查了数列，依据等差、等比数列的性质及已知条件求公比，属于中档题； 16．111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭ 【分析】由()(2)0f x f x -+=，得到函数的周期为2，又由()()210g x f x kx k =--+=，得到()(2)1f k x x =+-，作出两个函数的图象，利用数形结合，即可得到结论.【详解】由题意，函数满足()()20f x f x -+=， 即()()2f x f x =+，即函数()f x 的周期为2， 当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，可得函数为单调递增函数，且()00f =，()1f e =， 当[]1,0x ∈-时，()()xf x f x x e -=-=-⋅，由图象可知当1x =时，()1f e =，当3x =时，()()31f f e ==， 即()1,B e ，()3,C e ，直线()21y k x =+-恒过点()2,1A --， 当直线()21y k x =+-经过点()1,B e 时， 此时在区间[]1,3-内两个函数有2个交点， 此时31e k =-，解得13e k +=. 直线()21y k x =+-经过点()3,C e 时， 此时在区间[]1,3-内两个函数有4个交点， 此时51e k =-，解得15e k +=. 直线()21y k x =+-经过点()0,0O 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有3个交点，此时12k =. 所以要使得函数()()21g x f x kx k =--+有且仅有3个零点， 则直线的斜率满足1153e e k ++<<或12k =，即实数k 的取值范围是111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭. 故答案为：111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭【点睛】本题主要考查了函数的零点个数的判定及其应用，其中解答中利用函数的周期性和函数的单调性之间的关系，将方程转化为两个函数的图象之间的交点个数，结合两个函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想和推理、运算能力，属于中档试题.17．（1）3B π=；（2）4. 【分析】（1）结合正弦定理对已知条件进行化简后，观察等式利用余弦定理即可得正确结论；（2）根据角的转换写出关于角A 的式子，再根据A 的取值范围即可确定出三角形ABC 面积的最大值. 【详解】（1）设三角形ABC 的外接圆的直径长为2R 由已知sin sin sin sin a A c C a C b B +-=及正弦定理所以2222222a c ac b R R R R+-=，所以222a c ac b +-=， 即222a c b ac +-=.由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，因为0B π<<，所以3B π=.（2）因为3B π=，所以2sin sin sin a c bA C B====， 三角形ABC面积112sin 4sin sin sin 2223S ac B A C A A π⎛⎫==⨯⋅=- ⎪⎝⎭cos 2A A ⎛=+⎝13sin sin 2cos 222444264A A A A π⎫⎛⎫=+-=-+⎪ ⎪⎭⎝⎭∵20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，当且仅当3A π=时，262A ππ-=，此时ABC. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角形的面积公式，属于中档题. 18．（1）n a n =，21n b n =+；（2）见解析 【分析】（1）由等差数列的通项公式及求和公式列1a d ，的方程组求解则n a n =可求，进而得21n b n =+（2）利用()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭分组求和即可证明【详解】（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d+=⎧⎨+=+⎩.整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以()11?n a a n d n =+-=，即n a n =，()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+. （2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭，所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+++-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力，是中档题 19．（1）证明见解析；（2. 【分析】(1)由已知得1BD AC ⊥,再由平面1ABC ⊥平面11AAC C ,两个平面垂直的性质定理可得结论;(2) 以D 为原点,以DA ,DC ,DB 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,求出平面ABC 的一个法向量m 与平面1ABC 的一个法向量是DC ,再利用向量的夹角公式求解. 【详解】(1)侧面11AAC C 是菱形,D 是1AC 的中点, ∵1BA BC =,∴1BD AC ⊥.∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ,且BD ⊂平面1ABC , 平面1ABC 平面111AAC C AC =,∴BD ⊥平面11AAC C ,1C C ⊂平面11AAC C ,∴1BD C C ⊥.(2)由棱柱的定义知:在三棱柱111ABC A B C -中,平面//ABC 平面111A B C , ∴平面1ABC 与平面111A B C 所成的锐二面角与二面角1C AB C --相等. ∵BD ⊥平面11AAC C ,∴1BD A C ⊥.如图,以D 为原点,以DA ,DC ,DB 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 由已知可得12AC =,1AD =,1BD A D DC ====BC ∴()0,0,0D ,()1,0,0A,(B ,()11,0,0C -,()C .设平面ABC 的一个法向量(),,m x y z =,(AB =-,(0,BC =,由0AB m ⋅=,0BC m ⋅=,得0x ⎧-=⎪=,可得()3,1,1m =.∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ,11AC AC ⊥,∴CD ⊥平面1ABC , ∵平面1ABC 的一个法向量是()DC =, ∵5cos 5m DC m DC D m C⋅⋅==即平面1ABC 与平面111A B C .【点睛】本题主要考查空间向量的应用、二面角、线面与面面垂直,考查了空间想象能力与逻辑推理能力.20．（1）23.1；（2）35.【分析】（1）根据频率分布直方图得到各组频率，然后由平均数公式求解.（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12，利用分层抽样得到应从第1组中抽取2个零件，从第5组中抽取3个零件，然后再利用古典概型的概率求法求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可得各组频率依次为0.08,0.18,0.4,0.22,0.12， 则这批零件长度的平均值为12.50.0817.50.1822.50.427.50.2232.50.1223.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12， 则应从第1组中抽取2个零件，记为A ，B ； 应从第5组中抽取3个零件，记为c ，d ，e .从这5个零件中随机抽取2个的情况有AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，cd ，ce ，de ，共10种，其中符合条件的情况有Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，共6种. 故所求概率63105P ==. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及平均数，古典概型的概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21．（1）32a <-或3a ≥；（2）证明见解析. 【分析】（1）先对函数求导，得到()()21x a x af x x-++'=，由题意，00x >时，得到()22000013331x a x a a a a x x -+++->--恒成立，即00x >时，22002230x ax a a ++-->恒成立，令()()222230F x x ax a a x =++-->，结合二次函数的性质，即可得出结果；（2）由1a =-，得到()ln g x x =，由于12x x ≠，不妨先设120x x >>，令12x t x =，()()2ln 112t f t t t =+>+，对其求导，根据导数的方法判定单调性，得出()()11f t f >=，推出121212ln ln 2x x x x x x -->+，即可证明结论成立.【详解】 （1）由()()211ln 2f x x a x a x =-++得 ()()()()()2111a a x x a x f a x a x x x x x-+-+'=-++-==， 由题意得，当00x >时，()22000013331x a x a a a a x x -+++->--恒成立， 即当00x >时，22002230x ax a a ++-->恒成立，设函数()()222230F x x ax a a x =++-->，则其对称轴方程为x a =-，()0F x >在()0,∞+上恒成立.若0a -≤，即0a ≥，则()F x 在()0,∞+上单调递增， ∵()0F x >在()0,∞+上恒成立， ∴2 230a a --≥，解得3a ≥；若0a <，则()0F a ->，即230a -->，解得32a <-. 综上可得32a <-或3a ≥. （2）若1a =-，则()()21ln 2g x x f x x =-=，由于12x x ≠，不妨先设120x x >>， 令12x t x =，()()2ln 112tf t t t =+>+，()()()()()()22222411210212121t t t f t t t t t t t -++--'=+==>+++， 故()2ln 12t f t t =++在()1,+∞上单调递增， 所以()()11f t f >=，即1212ln 2121x x xx +>+，∴121212ln ln 2x x x x x x -->+，∴()()()1212122g x g x x x x x -+⎡⎤⎣⎦>-，∴()122k x x +>得证. 综上可知，原命题得证. 【点睛】本题主要考查由导数的几何意义求参数，考查由导数的方法证明不等式，熟记导数的方法判定函数单调性，求函数最值即可，属于常考题型.22．（1）22142x y +=；（2）是定值，2. 【分析】（1）根据题意，得到()F ，由题中条件列出方程组求解，得出2a =，b =可得出椭圆方程；（2）若直线l 的斜率不存在，先求出此时PAC 的面积；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,C x y ，根据韦达定理，由题中条件，表示出点P 的坐标，代入椭圆方程，得出22122k m +=，再得到坐标原点O 到直线l的距离为d =根据三角形面积公式，化简整理，即可得出结果. 【详解】（1）∵直线30x y -+=与x轴的交点为()，∴c =2222a b a b ⎧-=⎪⎨+=+⎪⎩，∴解得2a =，b =22142x y +=.（2）若直线l 的斜率不存在，则MO 在x 轴上，此时2OP a ==，因为点O 为PAC 的重心，所以212OM ==，将1x =代入椭圆方程，可得y ==，即2AM =，所以322S PM AM =⋅=⋅=； 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程，整理得()222124240kxkmx m +++-=设()11,A x y ，()22,C x y ，则122412kmx x k +=-+，()21222212m x x k-⋅=+，()121222212m y y k x x m k +=++=+. 由题意点O 为PAC 的重心，设()00,P x y ，则12003x x x ++=，12003y y y ++=， 所以()0122412km x x x k =-+=+，()0122212my y y k =-+=-+， 代入椭圆22142x y +=，得()()2222222224212121212k m m k m k k ++=⇒=++， 设坐标原点O 到直线l 的距离为d，则d =则PAC 的面积132S AC d =⋅12x =-⋅1232x x m =-⋅m =m ===. 综上可得，PAC 面积S . 【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，考查椭圆中三角形的面积问题，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.。
高三数学第一次联考试题理含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校皖江名校联盟2021届高三数学第一次联考试题理〔含解析〕一、选择题:本大题一一共12小题，每一小题5分，一共6分在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的{}{}32,ln 0A x x B x x =-≤≤=≥，那么A B =〔〕A.{}3,2,1,0,1---B.{}1,2C.{}31x x -≤≤ D.{}12x x ≤≤【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的根本运算进展求解即可. 【详解】由ln 0x ≥得1x ≥，所以{}|1B x x =≥，{|12}A B x x =≤≤，应选D.【点睛】该题考察的是有关集合的运算，属于简单题目.134z i=+，那么以下说法正确的选项是〔〕 A.复数z 的实部为3 B.复数z 的虚部为425i C.复数z 的一共轭复数为342525i + D.复数的模为1【答案】C 【解析】 【分析】直接利用复数的根本概念得选项.【详解】1343434252525i zi i -===-+， 所以z 的实部为325，虚部为425-，z 的一共轭复数为342525i +15=， 应选C.【点睛】该题考察的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.221916x y +=的一个焦点坐标为〔〕A.(5,0)B.(0,5)C.)D.(【答案】D 【解析】 【分析】根据题中所给的椭圆的方程，可得,a b 的值，并且可以判断焦点所在轴，从而求得椭圆的焦点的坐标.【详解】因为4,3a b ==，所以c =22+1916x y =的上焦点的坐标是(，应选D.【点睛】该题考察的是有关椭圆的性质，属于简单题目. 4.0.44log m=，0.44n =，0.50.4p =，那么〔〕 A.m n p << B.m p n << C.p n m <<D.n p m <<【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出结果.【详解】因为0.40.54log 0.40,41,00.41m n p ==<=<，所以m p n <<，应选B .【点睛】该题考察的是有关指数函数和对数函数的单调性，比较大小，属于根底题目.32()x y x x e =+在1x =处的切线方程为〔〕A.75x y e e =-B.79x y e e =+C.35x y e e =+ D.35x y e e =-【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，之后应用点斜式写出切线方程，化简得结果. 【详解】()()23232x x y x x e x x e +'=++，所以1|7x y e =='，又1x =时，2y e =，所以所求切线方程为()271y e e x -=-，即75y ex e =-，应选A.【点睛】该题考察的是有关求曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，求导公式，属于简单题目{}n a 的前n 项和为n S ，假设41511,15a S ==，那么2a =〔〕A.18B.16C.14D.12【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列求和公式以及等差数列的性质，可以求得81a =，结合411a =，求得公差111542d -==-，从而求得2a 的值. 【详解】因为()1151581515152a a S a +===，所以81a =，又411a =，所以公差111542d -==-，所以24211516a a d =-=+=． 【点睛】该题考察的是数列的有关问题，涉及到的知识点有等差数列的求和公式，等差数列的性质，通项公式根本量的计算，属于简单题目.3y x =的图象，只需将函数sin 3cos3y x x =+的图象〔〕A.向右平移34π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度 C.向左平移个4π单位长度 D.向左平移个2π单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论.【详解】因为sin3cos334y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以将其图象向左平移4π个单位长度，可得()3344y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，应选C.【点睛】该题考察的是有关图象的平移变换问题，涉及到的知识点有辅助角公式，诱导公式，图象的平移变换的原那么，属于简单题目.8.假设5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为〔〕A.12B.14C.16D.18【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分2步分析：①先从5个人里选2人，其位置不变，其余3人都不在自己原来的位置，②分析剩余的3人都不在自己原来位置的站法数目，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分2步分析： ①先从5个人里选2人，其位置不变，有2510C =种选法，②对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上， 因此第一个人有两种站法，被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上， 因此三个人调换有2种调换方法， 故不同的调换方法有10220⨯=55120A =,所以所求概率为2011206=， 应选C.【点睛】该题考察的是有关古典概型求概率的问题，涉及到的知识点有分步计数原理，排列组合的综合应用，古典概型概率求解公式，属于简单题目.的奇函数()f x 满足，当0x ≤时，()xxf x e e-=-，那么不等式()()2230f x x f --<的解集为〔〕 A.(-1,3) B.(-3,1) C.()(),13,-∞-+∞ D.()(),31,-∞-⋃+∞【答案】A【解析】 【分析】根据题意，可知当x ∈R 时，()1x xf x e e =-，从而利用导数的符号判断得出函数()f x 是R 上的单调递增函数，所以得到()()223f x x f -<，利用函数的单调性得到2230x x --<，解不等式求得结果.【详解】由题意可知，当x ∈R 时，()1x xf x e e =-，所以()10x x f x e e=+>'， ()f x 是R 上的单调递增函数，故由()()2230f x x f --<，得()()223f x x f -<， 即2230x x --<，解得13x ，应选A.【点睛】该题考察的是有关函数的问题，涉及到的知识点有奇函数的解析式的求解，函数的单调性的判断与应用，属于简单题目.O 作直线()():2220l m n x m n y m n ++--+=的垂线，垂足为P ，那么P 到直线30x y -+=的间隔的最大值为〔〕12+ C.1 D.2【答案】A 【解析】 【分析】 将直线l ：()()2220m n x m n y m n ++--+=化为()()2220x y m x y n +-+--=，可得直线l 经过定点()0,2Q，从而可以判断得出P 的轨迹是以OQ 为直径的圆，圆心为()0,1，半径为1，利用点到直线的间隔公式，可得点P 到直线30x y -+=1.【详解】()()2220m n x m n y m n ++--+=整理得()()2220x y m x y n +-+--=，由题意得22020x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点()0,2Q.因为OP l ⊥，所以点P 的轨迹是以OQ 为直径的圆，圆心为()0,1，半径为1，因为圆心()0,1到直线30x y -+=的间隔为d == 所以P 到直线30x y -+=1.【点睛】该题考察的是有关动点到直线的间隔的最值问题，涉及到的知识点有动直线过定点问题，动点的轨迹，圆上的点到直线的间隔的最值，点到直线的间隔公式，属于简单题目.l 为4，侧面积为S ，体积为V，那么V S获得最大值时圆锥的侧面积为〔〕A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】设底面半径为r ，高为h ，利用题的条件，可得22224=16r h l +==，之后应用公式表示出,V S ，利用根本不等式得出V S获得最大值时对应的条件，得出答案.【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，那么22224=16r h l +==，所以2221111623121221223r h V rh r h S rl ππ+==≤⨯=⨯=，当且仅当r h ==1242π⨯⨯=.【点睛】该题考察的是有关圆锥的问题，涉及到的知识点有圆锥的性质，母线、高、底面圆的半径之间的关系，圆锥的体积与侧面积公式，根本不等式，属于简单题目.A 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点，假设存在过点()3,0N a 的直线与双曲线的渐近线交于一点M ，使得AMN ∆是以点M 为直角顶点的直角三角形，那么双曲线的离心率〔〕A. B.C.存在最小值4D.存在最小值3【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，写出其右顶点的坐标(),0A a ，写出双曲线的渐近线方程，取by x a=，设出点M 的坐标,b M m m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而得到,b AM m a m a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3,b NM m a m a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据题意可得AM NM ⋅=，从而得到()()230b m a m a m a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，进一步整理得22221430b m am a a ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，根据方程有解，利用判别式大于等于零，求得223a b ≥，进一步求得其离心率的范围，得到结果.【详解】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点(),0A a ，双曲线的渐近线方程为by x a=±， 不妨取by x a=， 设,b Mm m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么,b AM m a m a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3,b NM m a m a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 假设存在过()3,0Na 的直线与双曲线的渐近线交于一点M ，使得AMN ∆是以M 为直角顶点的直角三角形，那么0AM NM ⋅=，即()()230b m a m a m a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，整理可得22221430b m am a a ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，由题意可知此方程必有解，那么判别式2222161210b a a a ⎛⎫∆=-+≥ ⎪⎝⎭，得223a b ≥，即22233a c a ≥-，解得1c e a <=≤，所以离心率存在最大值3，应选B.【点睛】该题考察的是有关双曲线的性质的问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线，向量的坐标公式，向量垂直的条件，方程有解的条件，双曲线的离心率，属于简单题目.第二卷二、填空题:本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，请把正确之答案填在横线上()()2,3,1,a b m ==-，且a 与a b +垂直，那么m =______.【答案】113- 【解析】【分析】根据题意，可求得()1,3a b m +=+，由于a与a b +垂直，结合向量数量积坐标公式可得()2330m ++=，从而求得m 的值，得到结果.【详解】向量()2,3a=，()1,b m =-，()1,3a b m ∴+=+，a 与ab +垂直，()2330m ∴++=，解得113m =-， 故答案是：113-． 【点睛】该题考察的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量加法坐标运算，向量垂直的条件，向量数量积坐标公式，属于简单题目.{}n a 的前项和为n S ，假设11a =，4421S a =+，那么公比q =_________.【答案】4 【解析】 【分析】 根据题意可得321S =，设等比数列的公比为q ，利用等比数列的求和公式表示出3S ，得出关于q 的方程，求解即可得到q 的值. 【详解】由题意得4421S a -=，所以321S =，又11,a =，所以331211q S q-==-，解得4q =或者5q =-〔舍〕， 所以4q=，故答案是：4.【点睛】该题考察的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的求和公式，属于简单题目.7(x 的展开式中，4x 的系数为__________.【答案】283【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，由x 的指数等于4，求得r 的值，得到结果.【详解】7x ⎛⎝展开式的通项公式为1377221772233rrr r r rr T C x x C x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令3742r -=，解得2r ，故所求系数为22722833C ⎛⎫⋅-=⎪⎝⎭，故答案是：283. 【点睛】该题考察的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项展开式中指定项的系数的问题，二项展开式的通项，属于简单题目.3(,),(0,)22παππβ∈∈，且满足1sin tan cos βαβ+=，那么β=______.(用α表示)【答案】522απ- 【解析】 【分析】化切为弦，整理后得到()sincos αβα-=，利用诱导公式可得()sin sin 2παβα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，结合题中所给的角的范围，最后确定出522βαπ=-，从而得到结果.【详解】由1sin tan cos βαβ+=得sin 1sin cos cos αβαβ+=，所以()sin cos cos 1sin αβαβ=+，即()sin cos αβα-=.结合诱导公式得()sinsin 2παβα⎛⎫-=-⎪⎝⎭. 因为3,,0,22ππαπβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3,,,222πππαβπαπ⎛⎫⎛⎫-∈-∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由诱导公式可得()sinsin 22παβπα⎡⎤⎛⎫-=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，易知32,22ππαππ⎛⎫⎛⎫+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为sin y x =在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以22παβπα⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，即522βαπ=-.法二：由1sin tan cos βαβ+=得sincos tan1222tan tan 24cossin1tan 222ββββπαβββ++⎛⎫===+ ⎪⎝⎭--， 所以tan tan 24βπα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为3,,0,22ππαπβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以,2442βπππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. 由诱导公式可得()tantan απα-=，即()tan tan 24βπαπ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭因为tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以24βπαπ-=+，即522βαπ=-.【点睛】该题考察的是有关三角函数恒等变换的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦差角公式，诱导公式，属于简单题目.三、解答题:本大题一一共6小题，一共70分解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤解容许写在答题卡上的指定区域内ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222cos cos sin sin sin .C B A A C -=-〔1〕求角B 的大小；〔2〕假设ABC △的面积为b =，求a c +的值.【答案】〔1〕3π；〔2〕7 【解析】 【分析】〔1〕利用同角三角函数关系和正弦定理可将关系式化为222a c b ac +-=；利用余弦定理可求得cos B ，从而得到B ；〔2〕利用三角形面积公式可求得ac ；利用余弦定理可构造关于a c +的方程，解方程求得结果.【详解】〔1〕2222222c cos 1sin 1sin sin si os n sin sin sin C B C B B C A A C -=--+=-=-由正弦定理得：222b c a ac -=-，即222a c b ac +-=〔2〕11sin sin 223S ac B ac π====12ac = 由余弦定理可得：()()222222cos 22cos36133ba c ac B a c ac ac a c π=+-=+--=+-=即()249a c +=7a c ∴+=【点睛】此题考察正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用问题，属于常规题型.ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，1//,,,2ED FB DE BF AB FB FB ==⊥平面ABCD .(1)设BD 与AC 的交点为O ，求证:OE ⊥平面ACF ；(2)求二面角E AF C --的正弦值.【答案】〔1〕证明见解析；．【解析】 【分析】〔1〕根据题意，推导出ED ⊥面ABCD ，DE AC ⊥，OE OF ⊥，结合线面垂直的断定定理证得OE ⊥面ACF ；〔2〕以D 为原点，DA ，DC ，DE 方向建立空间直角坐标系，利用面的法向量所成角的余弦值求得二面角的余弦值，之后应用平方关系求得正弦值，得到结果. 【详解】(1)证明：由题意可知：ED ⊥面ABCD ，从而Rt EDA Rt EDC ∆≅∆，EA EC ∴=，又O 为AC 中点，DE AC ∴⊥，在EOF ∆中，3OE OF EF ===，222OE OF EF ∴+=，OE OF ∴⊥又AC OF O ⋂=，OE ∴⊥面ACF ．〔2〕ED ⊥面ABCD ，且DA DC ⊥，如图以D 为原点，DA ，DC ，DE 方向建立空间直角坐标系， 从而(0E ，0，1)，(2A ，0，0)，(0C ，2，0)，(2F ，2，2)，(1O ，1，0)由〔1〕可知(1EO=，1，1)-是面AFC 的一个法向量，设(n x =，y ，)z 为面AEF 的一个法向量，由·220·20AF n y z AE n x z ⎧=+=⎨=-+=⎩，令1x =得(1n=，2-，2)，设θ为二面角E AF C --的平面角，那么·3cos cos ,3·EOn EO n EO nθ===，sin θ∴=．∴二面E AF C --．【点睛】该题考察的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的断定，利用空间向量求二面角的余弦值，同角三角函数关系式，属于简单题目.()2:20C y px p =>的焦点是F ，直线2y =与C 的交点到F 的间隔等于2.(1)求抛物线C 的方程; (2)一直线():1,0l x ky bb k =+≠≠交C 于A ，B 两点，其中点(),b k 在曲线()22348x y --=上，求证:FA 与FB 斜率之积为定值. 【答案】(1)24y x =；(2)证明见解析.【解析】 【分析】〔1〕根据题意，结合抛物线的定义可得点P 的坐标为2,22p P ⎛⎫-⎪⎝⎭，代入抛物线方程可得2p =，从而求得抛物线的方程；〔2〕联立方程组，消元可得2440y ky b --=，设出两点的坐标211,4y A y ，222,4y B y ，由韦达定理可得124y y k +=，124y y b =-，根据点(),b k 在曲线()22349x y --=上，可得22461b k b -=-，整理求得1FA FB k k ⋅=-，得到结果.【详解】〔1〕由2PF =知P 到准线的间隔也是2，P ∴点横坐标是22p -， 将2,22p P ⎛⎫-⎪⎝⎭代入22y px =，得2p =， ∴抛物线C 的方程为24y x =.〔2〕证明：联立24y x x ky b ⎧=⎨=+⎩得2440y ky b --=，设211,4y A y ，222,4y B y ，那么124y y k +=，124y y b =-.因为点(),b k 在曲线()22349x y --=上，所以代入整理可得22461b k b -=-，那么()()12122222221212121241421111441642FA FB y y y y bk k b k b y y y y y y y y -⋅====---+⎛⎫⎛⎫+---++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】该题考察的是有关直线与圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，点在曲线上的条件，两点斜率坐标公式，属于简单题目.()sin ,(0,),2f x ax x x a π=-∈为常数(1)假设函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，求a 的取值范围；(2)当1a ≤时，证明31()6f x x ≤. 【答案】(1)][(,01,)-∞⋃+∞；(2)证明见解析.【解析】 【分析】〔1〕对函数求导，单调分单调增和单调减，利用()cos 0f x a x '=-≥或者()cos 0f x a x '=-≤在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，求得实数a 的取值范围；〔2〕利用导数研究函数的单调性，求得结果. 【详解】〔1〕由()sin f x ax x =-得导函数()cos f x a x =-'，其中0cos 1x <<.当1a ≥时，()0f x '>恒成立，故()sin f x ax x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数，符合题意；当0a ≤时，()0f x '<恒成立，故()sin f x ax x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递减函数，符合题意；当01a <<时，由()cos 0f x a x '=-=得cos x a =，那么存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0cos x a =. 当00x x <<时，()00f x '<，当02x x π<<时，()00f x '>，所以()f x 在()00,x 上单调递减，在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是不是单调函数，不符合题意.综上，a 的取值范围是][(),01,-∞⋃+∞.〔2〕由〔1〕知当1a =时，()()sin 00f x x x f =->=，即sin x x <，故22sin 22x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭.令()()3311sin ,0,662gx f x x ax x x x π⎛⎫=-=--∈ ⎪⎝⎭， 那么()22222111cos 12sin 12122222x x g x a x x a x a x a ⎛⎫=--=-+-<-+-'=- ⎪⎝⎭，当1a ≤时，()10g x a -'=≤，所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递减函数，从而()()00gx g <=，即()316f x x ≤. 【点睛】该题考察的是有关导数的应用，涉及到的知识点有根据函数在给定区间上单调求参数的取值范围，利用导数证明不等式，属于中档题目.21.某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G 有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为12C 中有超过一半的电子元件正常工作，那么G 可以正常工作，否那么就需要维修，且维修所需费用为500元.(1)求系统不需要维修的概率；(2)该电子产品一共由3个系统G 组成，设E 为电子产品需要维修的系统所需的费用，求ξ的分布列与期望; (3)为进步G 系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p ，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，那么C 可以正常工作，问:p 满足什么条件时，可以进步整个G 系统的正常工作概率【答案】(1)12；(2)见解析；(3)当112p <<时，可以进步整个G 系统的正常工作概率.【解析】 【分析】〔1〕由条件，利用HY 重复试验成功的次数对应的概率公式以及概率加法公式求得系统不需要维修的概率；〔2〕设X为维修维修的系统的个数，根据题意可得13,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭，从而得到500X ξ=，利用公式写出分布列，并求得期望；〔3〕根据题意，当系统G 有5个电子元件时，分析得出系统正常工作对应的情况，分类得出结果，求得相应的概率，根据题意列出式子，最后求得结果.【详解】〔1〕系统不需要维修的概率为23233311112222C C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.〔2〕设X为维修维修的系统的个数，那么13,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭，且500X ξ=，所以()()3311500,0,1,2,322kkk P k P X k C k ξ-⎛⎫⎛⎫====⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以ξ的分布列为所以ξ的期望为()50037502Eξ=⨯⨯=. 〔3〕当系统G 有5个电子元件时，原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，G 系统的才正常工作. 假设前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，那么概率为21223113228C p p ⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭； 假设前3个电子元件中有两个正常工作， 同时新增的两个至少有1个正常工作，那么概率为()()2221222323111131222228C C p p C p p p ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；假设前3个电子元件中3个都正常工作，那么不管新增两个元件能否正常工作，系统G 均能正常工作，那么概率为3331128C ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭.所以新增两个元件后系统G 能正常工作的概率为()2233131288848p p p p +-+=+， 于是由()3113214828p p +-=-知，当210p ->时，即112p <<时，可以进步整个G 系统的正常工作概率.【点睛】该题考察的是有关概率的问题，涉及到的知识点有HY 重复试验，二项分布，分布列与期望，概率加法公式，属于中档题目.请考生从第22、23题中任选一题做答，并用2铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进展评分;多涂、多答，按所涂的首题进展评分;不涂，按本选考题的首题进展评分 选修4-4:坐标系与参数方程22.平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2cos 1cos 2x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩(ϕ为参数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()3θρπ=∈R . (1)求曲线2C 的直角坐标方程； (2)求曲线1C 与曲线2C 交点的直角坐标. 【答案】(1)y =；(2)()0,0.【解析】 【分析】〔1〕利用极坐标与平面直角坐标的转换关系求得结果；〔2〕将曲线的参数方程化为普通方程，与直线方程联立，求得方程组的解，结合对应的坐标的范围，求得对应的交点的坐标，得到结果.【详解】〔1〕依题意，曲线2C的直角坐标方程为y =.〔2〕因为曲线1C 的参数方程为2,12,x cos y cos ϕϕ=⎧⎨=+⎩〔ϕ为参数〕，所以曲线1C 的直角坐标方程为[]()212,22y x x =∈-，联立2,1,2y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩解方程组得0,0,x y =⎧⎨=⎩或者6,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 根据x的范围应舍去6,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩故交点的直角坐标为()0,0.【点睛】该题考察的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有参数方程与普通方程的互化，平面直角坐标方程与极坐标方程的互化，曲线交点的坐标的求解，属于简单题目. 选修4-5:不等式选讲()124f x x x =-++.(1)求不等式()6f x >的解集；(2)假设()10f x m --≥恒成立，务实数m 的取值范围.【答案】(1)()(),31,-∞-⋃+∞；(2)[]2,4-.【解析】 【分析】〔1〕通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；〔2〕通过求函数()f x 的最小值，将恒成立问题转化为最值问题，得到关于m 的不等关系，从而求得结果. 【详解】〔1〕依题意，1246x x -++>，当2x <-时，原式化为1246x x --->，解得3x <-，故3x <-； 当21x -≤≤时，原式化为1246x x -++>，解得1x >，故无解；当1x >时，原式化为1246x x -++>，解得1x >，故1x >； 综上所述，不等式()6f x >的解集为()(),31,-∞-⋃+∞；〔2〕因为()124122123f x x x x x x x x =-++=-++++≥-++≥，当且仅当2x =-时，等号成立. 故()10f x m --≥恒成立等价于13m -≤；即313m -≤-≤，解得24m -≤≤， 故实数m 的取值范围为[]2,4-.【点睛】该题考察的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有零点分段法解绝对值不等式，恒成立问题向最值靠拢，属于简单题目.。
2021届安徽省”皖南八校“高三上学期第一次联考数学(理)试题Word版含答案
2021届安徽省”皖南八校“高三上学期第一次联考数学（理）试题考生注意：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第II 卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、复数。
第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数21i z i =+的共扼复数的对应点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若集合2{560},{20}xA x x xB x =-->=>，则(R A )∩B ＝A.{x|－1≤x<0}B.{x|0<x ≤6}C.(x|－2≤x<0}D.{x|0<x ≤3}3.若a ＝log 30.3，b ＝log 0.30.2，c ＝0.20.3，则A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c4.已知向量(1,2),(,5)AB BC x =--=，若7AB BC ⋅=-，则AC ＝A.5B.42C.6D.525.函数2sin 1x x y x +=+的部分图象大致为6.为了测量铁塔OT 的高度，小刘同学在地面A 处测得铁塔在东偏北1907'方向上，塔顶T 处的仰角为300，小刘从A 处向正东方向走140米到地面B 处，测得铁塔在东偏北7907'方向上，塔顶T 处的仰角为600，则铁塔OT 的高度为7米7米21米21米7.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为O ，始边与x 轴正半轴重合，终边过点(214，则5sin()4πα+= 17-17+71-71+ 8.已知非零向量a ，b 满足|a ＋2b|7|a|，a ⊥(a －2b)，则向量a ，b 的夹角为 A.6π B.4π C.3π D.2π9.关于复数z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，下列命题①若|z ＋i|＝1，则x 2＋(y ＋1)2＝1；②z 为实数的充要条件是y＝0；③若zi 是纯虚数，则x ≠0；④若11i z=+，则x ＋y ＝1。
安徽省皖南八校2021届高三第一次联考数学(理科)试题
“皖南八校”2021 届高三第一次联考数学（理科）本试卷满分150 分，考试时间 120 分钟。
第I 卷（选择题 共60 分）一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合2{|20}M x x x =--≤,{|π}x N y y ==，则M ⋂N = A. (0, 2]B.(0, 1]C.[-2 ,+∞ )D.[-l ,+∞) , 2. 已知复数z 满足2i z z -=, 则z 的虚部是.A.-1B.1C.-iD.i3. 已知实数x >0, y >0, 则“ xy < l ”是“1133log log 0x y +>”"的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 若tan=-2，则sin(一π) • cos(π+) =A. 45B. 25C. 25±D.-255. 定积分222(sin 4x x x --⎰的值是A. π2B.πC.2πD.3π26. 设向量a = (0，2)，b = (2，2),则 A.｜a ｜=｜b ｜B.( a - b )// bC. a 与 b 的夹角为π3 D. ( a - b )⊥a7. 已知0.3e 51e ,(),log 7,sin 42a b c d ====，则A.a > b > c >dB.a > c > b > d C . d > b >a >c D.b >a >d >c8. 某特种冰箱的食物保鲜时间y (单位：小时)与设置储存温度x (单位:︒C)近似满足函数关系3kx b y +=(k ,b 为常数)，若设置储存温度0°C 的保鲜时间是288小时，设置储存温度5︒C 的保鲜时间是144 小时，则设置储存温度15︒C 的保鲜时间近似是 A. 36小时 B. 48小时 C.60小时D.72小时9. 将函数π()sin()3f x x =-的图象横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),然后向左平移π3个单位,所得函数记为g (x ). 若1212π,(0,),2x x x x ∈≠,且12()()g x g x =,则12()g x x +＝A. 12-B. 32-C. 12D.3210. 如图，地面四个5G 中继站A 、B 、C 、D , 已知 CD = (62+)km ,∠ADB ＝∠CDB =30︒,∠DCA =45︒，∠ACB = 60︒，则 A 、B 两个中继站的距离是 A. 43km B. 210km C. 10km D. 62km11. 已知函数23()(3)e 2x f x x x =-⋅,则A. 函数 f ( x ) 的极大值点为 x = 2B. 函数 f ( x ) 在 (-∞ , -2)上单调递减C. 函数 f (x ) 在 R 上有 3 个零点D. 函数 f (x ) 在原点处的切线方程为 y = -3x12. 已知函数|4|2,2,()2(4), 2.x x f x f x x +-<-⎧=⎨-≥-⎩以下结论正确的个数有①507(2020)2f =; ②方程1()14f x x =-有四个实根； ③当[6,10)x ∈时，()8|8|16f x x =-- ;④若函数y = f (x )一t 在( -∞,10)上有8个零点x i (i = 1, 2, 3,…, 8),则81()i i i x f x =∑的取值范围为(-16 , 0 ) .A. lB. 2C. 3D. 4第1I 卷（非选择题 共 90 分 ）二、填 空题：本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分．把答案填在题中的横线上．13.设函数f (x )是R 内的可导函数,且f (ln x )=x ln x ,则f´(1)= .14. 已知函数||221()()e πxf x x π-=+-，则不等式(1)(21)f x f x -<-的解集是 .15. 将函数()cos (0)f x x ωω=>的图象向左平移π6个单位长度后,得到函数y = g (x )的图象，若函数g (x )在区间π[0,]2上是单调递减函数，则实数ω的最大值为 .16. 如图，已知△ABC 为边长为2的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上,若AP AB AC λμ=+,则2λμ+的最小值为 .三、解答题：本大题共6,小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17. (本小题满分10 分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+,其中ππ0,0,,22A x ωϕ>>-<<∈R , 其部分图象如图所示.(1)求函数y =f (x ) 的解析式;(2) 已知函数g (x ) = f (x )cos x ,求函数g (x )的单调递增区间.18. (本小题满分12 分)已知函数2()(14)x mf x x x +=≤≤, 且f (l ) = 5. (1) 求实数 m 的值 ，并求 函 数 f ( x ) 的 值 域；(2) 函数 g (x )=ax -l ( - 2< x < 2),若对任意x ∈[1,4], 总存在x 0 ∈[-2,2],使得g (x 0)=f (x 1)成立，求实数a 的取值范围．19. (本小题满分12分)在△ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c , 且满足274cos cos 2()22A B A B +-+=. (1) 求角C ;(2) 设D 为边AB 上的点，CD 平分∠ACB ,且 CD = l, 若△ACD 与△BCD 的面积比 2 : 1 ,求 AC 长．20. (本小题满分12分) 设函数1()(,0)f x a b a bx=>+ . (1)若函数f ( x )在x = l 处 的切线方程是bx + 4y - 3 =0 , 求实数 a , b 的值； ( 2) 0在 (1)的条件下，若2(x - k )f ( x )≥ln x 对于0<x ≤1恒成立，求实数k 的取值范围.21. (本小题满分12 分)某科技公司生产某种芯片.由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片每日的销售量y (单位：枚)与销售价格x (单位：元／枚，10<x ≤50):当10<x ≤30时满足关系式y = m ( x -30)2+nx -10,(m , n 为常数)；当30< x ≤50时满足关系式y =-70x + 4900.已知当销售价格为20 元／枚时，每日可售出该芯片7000 枚；当销售价格为30 元／枚时，每日可 售出该芯片1500枚．(1 ) 求 m , n 的值，并确 定 y 关 于x 的函数解析式 ；( 2 ) 若该芯片的成本为 10 元／枚，试确定销售价格 x 的值，使公司每日销售该芯片所获利润f ( x )最大. ( x 精确到 0. 01 元／枚）22. (本小题满分12 分）已知函数()e 1(,,0)x f x a bx a b ab =⋅--∈≠R . (1) 讨论f (x )的单调性；(2)证明：当π(0,)2x ∈时，2(1)2(sin )1(22)lnsin x x x x x +->++.。