2019-2020学年广东省广州市、深圳市学调联盟高三(下)第二次调研数学试卷(文科)(4月份)(含答案解析)
2019-2020学年广东省广州市、深圳市学调联盟高三（下）第二次调研数学试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D.2.设复数z的共轭复数是，且，又与为定点，则函数取最大值时在复平面上以z，A，B三点为顶点的图形是A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形3.已知函数的图象过两点、，在内有且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，则A. B.C. D.4.在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且，，，P为BC中点．过点P作交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是A. B. C. D.5.若深圳人民医院有5名医护人员，其中有男性2名，女性3名．现要抽调两人前往湖北进行支援，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为A. B. C. D.6.若是数列的前n项和，，则是A. 等比数列，但不是等差数列B. 等差数列，但不是等比数列C. 等差数列，而且也是等比数列D. 既非等比数列，也非等差数列7.已知函数的定义域为R，当时，，且对任意的实数x，，等式成立，若数列满足，且，则下列结论成立的是A. B.C. D.8.执行如图所示的程序框图，输出的结果为A. B. C. D.9.已知F为双曲线C：的右焦点，过点F作C的渐近线的垂线FD，垂足为D，且满足为坐标原点，则双曲线C的离心率为A. B. 2 C. 3 D.10.如图，斜满足，，，其中表示a，b中较大的数时定义线段AC的中垂线上有一点D ，过点D作于点E，满足，则点D到外接圆上一点的距离最大值为A. 4B. 3C. 2D. 111.已知，给出下列四个命题：：，；：，；；；其中真命题的是A. ，B. ，C. ，D. ，12.已知函数的导函数是偶函数，若方程在区间其中e为自然对数的底上有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.对于实数x，表示不超过x的最大整数，已知正数数列满足，，其中为数列的前n项的和，则______．14.方程在区间上的解为______．15.已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆：的左、右顶点分别为，直线l：交椭圆于P，Q两点，直线和直线相交于椭圆外一点R，则点R的轨迹方程为______．16.在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球，晃动此正方体，则小球可以经过的空间的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知是等差数列，是各项均为正数的等比数列，且，，．求数列，的通项公式．设，求数列的前n项和．18.如图，在多面体ABCDFE中，，四边形ABCD和四边形ABEF是两个全等的等腰梯形．求证：四边形CDFE为矩形；若平面平面ABCD，，，，求在多面体ABCDFE的体积．19.某省的一个气象站观测点在连续4天里记录的AQI指数M与当天的空气水平可见度单位：的情况如表1：M900700300100y该省某市2016年11月AQI指数频数分布如表2：M频数361263设，根据表1的数据，求出y关于x的线性回归方程；附参考公式：，其中，小李在该市开了一家洗车店，经统计，洗车店平均每天的收入与AQI指数由相关关系，如表M日均收入元200060008000根据表估计小李的洗车店该月份平均每天的收入．20.已知直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于A，B两点，线段AB的中点是，求椭圆的方程；过原点的直线l与线段AB相交不含端点且交椭圆于C，D两点，求四边形ACBD面积的最大值．21.已知函数．讨论函数的单调性；若对，，求实数a的取值范围．22.在极坐标系中，直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为，以极点为坐标原点O，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，射线：与曲线C交于O，M两点．Ⅰ写出直线l的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；Ⅱ若射线与直线l交于点N，求的取值范围．23.已知，函数，其中Ⅰ求使得等式成立的x的取值范围Ⅱ求的最小值求在上的最大值-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合，，．故选：B．先分别求出集合A和B，由此能求出．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：解：，设，则则，当，即，时取得最大值，最大值为，此时，，，，则，则对应三角形为等腰三角形，故选：D．根据复数的几何意义，结合复数模长公式进行计算即可本题主要考查复数的几何意义，利用三角函数的性质求出对应最值，结合复数模长公式是解决本题的关键．3.答案：C解析：【分析】由利用导数研究函数的极值及三角函数图象的性质逐一检验即可得解．本题考查了利用导数研究函数的极值及三角函数图象的性质，属中档题．【解答】解：由已知可得：，，所以或，当时，，所以，，若时，在有一个极大值点，不符合题意，若时，在极大值点为小于极小值点，符合题意，时，，所以，，若时，在有一个极小值点，不符合题意，若时，在极小值点为和极大值点，不符合题意，综合得：故选C．4.答案：C解析：解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，设，则，设直线AB，AC的斜率分别为，，由到角公式得：，化简得：，则，则，由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为，则在方向上投影的最大值是，故选：C．先建系，再由到角公式得：，化简得：，则，则，再由在方向上投影的几何意义可得解．本题考查了到角公式及平面向量数量积的运算，属中档题．5.答案：C解析：解：深圳人民医院有5名医护人员，其中有男性2名，女性3名．现要抽调两人前往湖北进行支援，基本事件总数，抽调的两人刚好为一男一女包含的基本事件个数，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为．故选：C．基本事件总数，抽调的两人刚好为一男一女包含的基本事件个数，由此能求出抽调的两人刚好为一男一女的概率．本题考查概率的求法，考查古典概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：B解析：解：，所以当时，，当时，，又，所以数列的通项公式为：，所以是等差数列不是等比数列．故选：B．是数列的前n项和，且，求出的通项公式判断即可．本题考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的定义，属于基础题．7.答案：A解析：解：对任意的实数x，，恒成立，令，，则，当时，，，则，，，则，即，且，当时，；当时，；当时，，数列是以3为周期的周期数列，，，，，，当时，，，进而得．设，且，则，，．即，是R上的减函数，故选：A．利用恒等式和赋值法求的值，由恒等式化简，得到数列的递推公式，依次求出、、，判断数列是周期数列，再由周期性求出、、、、，即可比较大小，选出答案项．本题考查数列与函数的综合运用，以及数列的周期性，一般采用赋值法，根据恒等式求出数列的递推公式是解决本题的关键．8.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，由于．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.答案：A解析：解：如图，F为双曲线C：的右焦点，FD与直线垂直，垂足为D，，则，，得，．故选：A．由题意画出图形，可得，结合隐含条件及离心率公式求解．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．10.答案：C解析：解：由，可得C为锐角，设BC，AC的中垂线交于O，过D作OT的垂线，垂足为M，由，则，当且仅当，即时等号成立，所以，由，且，所以，即，又，所以，由正弦定理可得，即，故D到外接圆上一点的距离最大值为，故选：C．由，可得C为锐角，设BC，AC的中垂线交于O，过D作OT的垂线，垂足为M，结合两角和的正切公式和基本不等式可得C的范围，再由正弦定理和正弦函数的单调性，可得所求最大值．本题考查两点的距离最大值问题解法，涉及到正弦定理、三角函数恒等变换，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.答案：D解析：【分析】作出平面区域，举反例或根据命题表示的几何意义判断．本题考查了线性规划的应用，属于中档题．【解答】解：作出集合D表示的平面区域如图所示：设为平面区域内的任意一点，则P在内部或边上．显然当P为时，，故而命题为假命题；作出直线，由图象可知在直线的上方，故而对于任意一点P，都有，故命题为真命题；取点，连结MB，MC，则，，，故命题错误；联立方程组，解得，故，故命题正确．故选：D．12.答案：B解析：解：，，是偶函数，，，设，，令得，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，要使方程在区间其中e为自然对数的底上有两个不相等的实数根，只需在区间上有两个不同的交点，，即解得，故选：B．先求导，根据导函数是偶函数得，再设求出单调性极值，由在区间其中e为自然对数的底上有两个不相等的实数根可求实数c的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，属于中档题．13.答案：20解析：【分析】本题考查等差数列的判定，考查利用放缩法证明数列不等式，属于较难题．由已知数列递推式可得数列是首项为1，公差为1的等差数列，求得结合，得，令，由求得S的范围，则答案可求．【解答】解：由，令，得，，得．当时，，即．因此，数列是首项为1，公差为1的等差数列，，即．由，得，令，，．．．故答案为：20．14.答案：解析：解：原方程右边，故原方程可化为：，即，解得，故，．故答案为：．先利用商数关系、倍角公式等将方程化简成一个三角函数的三角方程，然后求解．本题考查三角恒等变换及三角方程的求解问题．注意转化思想的应用．属于基础题．15.答案：解析：解：由椭圆的方程可得左、右顶点，的坐标分别为：，，直线l：整理可得，所以直线恒过直线和的交点，联立直线，解得，，即直线l：恒过为椭圆的右焦点；当直线PQ的方程的斜率不为0时，设直线为，设，直线PQ与椭圆联立，整理可得，则，，直线的方程为：，直线的方程为：，联立可得，即，即，整理可得，即，所以可得，当直线PQ的斜率为0时，即直线与椭圆的交点为长轴的顶点，直线和直线过也符合R的轨迹，综上所述，R的轨迹方程为，故答案为：．由椭圆的方程可得左右顶点，的坐标，再由直线l：整理可得，恒过直线和的交点，分直线PQ的斜率为0和不为0两种情况讨论，设直线PQ的方程与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，求出直线，的方程，两个方程联立可得，即求出交点R的轨迹，当直线PQ的斜率为0时两条直线的交点也在直线上求出两条直线的交点．本题考查直线恒过定点，及求两条直线的交点的轨迹问题，属于中档题．16.答案：解析：解：在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球，晃动此正方体，小球可以经过的空间的体积：．故答案为：．利用正方体体积公式和球的体积公式能求出小球可以经过的空间的体积．本题考查正方体中小球的可以经过的空间的体积的求法，考查正方体、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．17.答案：解：设数列的公差为d，的公比为q，依，，．得解得，，所以，；由知，则得：．所以．解析：设数列的公差为d，的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，可得d，q的方程组，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；求得，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.答案：解：证明：分别取DF、CE的中点M，N，四边形ABCD和四边形ABEF是两个全等的等腰梯形，，且，四边形CDEF是平行四边形，，M为DF的中点，，同理，，为DF的中点，N为CE的中点，，且，，B，N，M四点共面，且四边形ABNM是以AB，MN为底的梯形，，，且AM，BN是平面ABNM内的相交线，平面ABNM，平面ABNM，，又，，四边形CDFE为矩形．解：连结AC，CF，作，垂足为H，则，，，，在中，，，平面ABEF，平面ABEF，平面ABEF，平面平面ABCD，，平面平面，平面ABCD，平面ABEF，点C到平面ABEF的距离为2，同理，点F到平面ABCD的距离为2，，，，，多面体ABCDFE的体积：．解析：分别取DF、CE的中点M，N，推导出四边形CDEF是平行四边形，从而，，，推导出，且，从而A，B，N，M 四点共面，且四边形ABNM是以AB，MN为底的梯形，推导出平面ABNM，，由，得，由此能证明四边形CDFE为矩形．连结AC，CF，作，垂足为H，则，多面体ABCDFE的体积，由此能求出结果．本题考查四边形为矩形的证明，考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：根据表中数据，计算，，，，，，关于x的线性回归方程为；根据表3可知，该月30天中有3天每天亏损约2000元，有6天每天亏损约1000元，有12天每天收入约2000元，有6天每天收入约6000元，有3天每天收入约8000元，估计小李的洗车店该月份平均每天的收入约为元．解析：根据表中数据计算平均数与回归系数，即可写出线性回归方程；根据表3数据，计算洗车店该月份平均每天的收入值即可．本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题．20.答案：解：直线与x轴交于点，所以椭圆右焦点的坐标为，故．设，，则，，又，所以，则，得，又，，所以，，因此椭圆的方程为．联立方程，得，解得或．不妨令，易知直线l的斜率存在，设直线l：，代入，得，则或，设，，则．则，到直线的距离分别是，由于直线l与线段不含端点相交，所以，即，所以，四边形ACBD的面积，令，则，，，当，即时，，符合题意，因此四边形ACBD面积的最大值为．解析：令解出x值可得椭圆的右焦点的坐标，再由直线与椭圆联立可得两根之和，进而求出中点坐标，由题意可得a，b的关系，再由a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；由可得直线与椭圆联立求出A，B的坐标，设直线l的方程与椭圆联立可得C，D的坐标，进而求出弦长CD，再由A，B到直线CD的距离公式可得A，B到直线l的距离，四边形的面积转化为两个三角形，的面积，再由均值不等式求出面积的最大值．本题考查求椭圆的标准方程的方法，以及直线与椭圆的相交求相交弦长，点到直线的距离公式，均值不等式等的应用，属于中档题．21.答案：解：由题意知，的定义域为，由函数得；当时，令，可得，令，可得；故函数的增区间为，减区间为．当时，，令，可得，令，可得或，故的增区间为，减区间为，；当时，，故函数的减区间为；当时，，令，可得；令，可得或．故的增区间为，减区间为，．综上所述：当时，在上为减函数，在上为增函数；当时，在，上为减函数，在上为增函数；当时，在上为减函数；当时，在，上为减函数．在上为增函数．由可知：当时，，此时，；当时，，当时，，，可得，不合题意；当时，，由的单调性可知，当时，，不合题意；当时，，由的单调性可知，当时，，不合题意．综上可知：所求实数a的取值范围为：．解析：先求函数定义域，对函数求导得，分类讨论和的解集，即可得出的单调区间；根据讨论的单调性，分别讨论的取值范围，看是否满足条件，得出结果即可．本题考查了函数的单调性讨论，函数的恒成立问题，是综合性较强的题目，属于难题．22.答案：解：Ⅰ直线l的极坐标方程为，直线l的直角坐标方程为，曲线C的极坐标方程为，曲线C的直角坐标方程为，即．曲线C的参数方程为，为参数．Ⅱ设，，则，，，，的取值范围是解析：Ⅰ由直线l的极坐标方程能求出直线l的直角坐标方程；由曲线C的极坐标方程，求出曲线C的直角坐标方程，由此能求出曲线C的参数方程．Ⅱ设，，则，，从而，由此能求出的取值范围．本题考查直线的直角坐标方程、曲线的参数方程、两线段的比值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.答案：解：Ⅰ由，故时，；当时，，则等式成立的x的取值范围是；Ⅱ设，，则，．由，解得，负的舍去，由的定义可得，即；当时，；当时，．则．解析：Ⅰ由，讨论时，，去掉绝对值，化简，判断符号，即可得到成立的x的取值范围；Ⅱ设，，求得和的最小值，再由新定义，可得的最小值；分别对当时，当时，讨论的最大值，即可得到在上的最大值．本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。
广东省深圳市2019-2020学年高三第二次(4月)调研考试理数试题Word版含解析
广东省深圳市2019-2020学年第二次（4月）调研考试高三理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合,集合,集合,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题设可得，则，则，应选答案A。
2. 若复数满足(为虚数单位),则复数在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】因为，所以，，复数对应的坐标为，复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.3. 下列命题中的假命题是( )A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】B【解析】试题分析：当x=1时，（x-1）2=0,显然选项B错误，故选B。
考点：特称命题与存在命题的真假判断。
4. 各项都是正数的数列满足,且,则( )A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】由题设可得，则数列是等比数列，则，即，所以，则，应选答案A。
5. 在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点,在轴上,离心率为,点为椭圆上一点,且的周长为12,那么的方程为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由题设可得，又椭圆的定义可得，即，所以，则椭圆方程为，应选答案D。
6. 已知关于的方程在有两个不等的实根,则的一个值是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由题设可得，又，所以，则，由题意应选答案D。
7. 如图所示的流程图,若输入某个正整数后,输出的,则输入的的值为( )A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】C【解析】由题设中提供的算法流程图可知：；；；，又由题意，即，也即，则，应选答案C。
8. 如图所示是一个组合几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】C9. 函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；又时，，即，应选答案B。
2020年广东省广州、深圳市学调联盟高三第二次调研考试理科数学试卷及答案解析
7.已知函数 f(x+2)(x∈R)为奇函数，且函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,当 x∈[0,1]
时, f (x) x , 则 f( 2020)=( ) 2020
A.2020
B. 1
C. 1
D.0
2020
1010
8.在棱长为 1 的正方体 ABCD A ' B 'C ' D ' 中,已知点 P 是正方形 AA' D ' D 内部(不含边界)的一 个动点,若直线 AP 与平面 AA' B ' B 所成角的正弦值和异面直线 AP 与 DC ' 所成角的余弦值相 等,则线段 DP 长度的最小值是( )
1．已知集合 A x x2 4, B x x 2 x ，则 A B （ ）
A．x 2 x 2 B．x x 2
C．x x 1
D．x x 2
2．设复数 z 的共轭复数是 z ，且 z 1，又复数 z 对应的点为 Z ， A(1, 0) 与 B(0,1) 为
定点，则函数 f (z) (z 1)(z i) 取最大值时在复平面上以 Z ， A ， B 三点为顶点的图形
10.如图，斜△ABC 满足tan A tan B 4 2 3 ， AB 1 ， AB max BC , AC ，
其 中 maxa,b表示a ，b 中较大的数（a b 时定义maxa, b a b ）. 线段 AC 的
中垂线上有一点 D ，过点 D 作 DE BC 于点E ，满足 AB BE CE ，则点 D 到 △ABC 外接圆上一点的距离最大值为
是（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
3．已知函数 f x sin x 0, 0 的图像过两点
2020深圳、广州二调-参考答案(理科数学)
x
y
1过椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的右焦点,且交椭圆于
A, B
两点,线段
AB
的
中点是 M ( 2 , 1) 33
(Ⅰ)求椭圆的方程
(Ⅱ)过原点的直线 l 与线段 AB 相交(不含端点)且交椭圆于 C, D 两点,求四边形 ACBD 面积的
最大值
20.解:(1)由题意得 =2 5①,
5
分
68
故 月 利润 y 关 于 月养 殖 量 x 的 线 性冋 归 方 程 为 yˆ 0.64x 1.52 ---------------------4 分
(2)若 2019 年 9 月份,该企业月养殖量为 1.4 万只，
则此时 x 14
---------------------6 分
把 x 14 代 人 yˆ 0.64x 1.52 , yˆ 0.64 14 1.52 10.48
△
1
2
=1×2c·b=6②,
2
a2+b2=c2③,
将①②③联立,解得 a2=5,b2=4,
22
∴双曲线 C 的标准方程是 - =1.
54
(2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),线段 PQ 的中点为 D(x0,y0),
22
将 y=kx+m 与 - =1 联立,消去 y,整理得
54
(4-5k2)x2-10kmx-5m2-20=0,
所以， MN PC ．
---------------------6 分
（2）
由（1）知 BD AC 且 PO BD ，
因为 PA PC ，且 O 为 AC 的中点，
所以， PO AC ，所以， PO 平面 ABCD ,
广东省深圳市2019届高三下学期第二次调研(二模)理科数学试卷及答案
第Ⅰ卷
一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．
1．已知集合 M = {x | x 0}， N = {x | x2 − 4 0}，则 M N =
（A）(−, −2] (0, +) （B）(−, −2] [2, +) （C）[2, +) （D）(0, +)
动．下面的茎叶图是参赛两组选手的答题得分情况，则下列说法正确的是
深圳市 2019 年高三年级第二次调研考试 数学（理科）试题 第 1 页 共 7页
（A）甲组选手得分的平均数小于乙组选手得分的平均数
甲
乙
（B）甲组选手得分的中位数大于乙组选手得分的平均数
57 7
（C）甲组选手得分的中位数等于乙组选手得分的中位数
少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三种方法求解，所得结
果均不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，这极大地促进了概率论基础的严格
化．已知“随机端点”的方法如下：设 A 为圆 O 上一个定点，在圆周上随机取一点
B ，连结 AB ，求所得弦长 AB 大于圆 O 的内接等边三角形边长的概率．记该概率为
已知函数 f (x) =| x − m | + | x + 1 | (m 1) ． m
（1）当 m = 2 时，求不等式 f (x) 3 的解集； （2）证明： f (x) + 1 3 ．
m(m −1)
深圳市 2019 年高三年级第二次调研考试 数学（理科）试题 第 7 页 共 7页
2019 年深圳市高三第二次调研考试
已知抛物线 C : x2 = 4y ，过点 (2, 3) 的直线l 交 C 于 A 、B 两点，抛物线 C 在点 A 、B
2019-2020学年广东深圳高三下数学月考试卷带答案
2019-2020学年广东深圳高三下数学月考试卷一、选择题1. 已知集合A ，B 均为全集U ={1,2,3,4,5,6,7}的子集，集合A ={1,2,3,4}，则满足A ∩∁U B ={1,2}的集合B 可以是( ) A.{1,2,3,4}B.{1,2,7}C.{3,4,5,6}D.{1,2,3}【答案】 C【考点】交、并、补集的混合运算 子集与真子集【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为A ∩∁U B ={1,2}， 所以集合B 中不含有元素1,2. 故选C .2. 复数z =4+3i 3−4i（i 为虚数单位）的虚部为( )A.−1B.2C.5D.1【答案】 D【考点】复数代数形式的乘除运算 复数的基本概念【解析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出． 【解答】 解：复数z =4+3i 3−4i=(4+3i )(3+4i )3−4i 3+4i =i 的虚部是1．故选D .3. 若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1，|x|≤2，则z =2x +y 的最大值为( )A.−7B.3C.5D.7【答案】 D【考点】求线性目标函数的最值 【解析】 此题暂无解析解：由题意作出可行域，如图，当直线经过点A 时，y =z −2x 的截距最大，即z =2x +y 取得最大值. 联立方程{x −y =−1,x =2,解得{x =2,y =3,即点A 的坐标为(2,3)，故z max =2×2+3=7.故选D .4. 如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x =t(0<t ≤2)左侧的图形的面积为f (t )，则y =f (t )的大致图象为( )A. B.C. D.【答案】 B【考点】函数的图象变换 导数的几何意义【解析】（1）根据题目所给信息以及导数的几何意义进行解题即可.解：当直线x=t从原点运动到B点时，左侧的图形的面积增幅越来越大，当从B点运动到A点时，左侧的图形的面积增幅越来越慢，由导数的几何意义可知，y=f(t)的图象从左到右切线斜率先变大后边小，且恒为正值，即函数图象先越来越陡峭，再越来越平缓，只有选项B满足.故选B.5. 将函数f(x)=cos(2x−1)的图象向左平移1个单位长度，所得函数在[0,12]的零点个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个或以上【答案】B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】解：将函数f(x)=cos(2x−1)的图象向左平移1个单位长度，得到g(x)=cos[2(x+1)−1]=cos(2x+1)的图象，∵x∈[0,12]，∴2x+1∈[1,2]，由y=cos x的图象可得，g(x)在[0,12]的零点个数为1个.故选B.6. 某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm，则石凳子的体积为()A.1920003cm3 B.1600003cm3 C.160003cm3 D.640003cm3【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】（1）根据题目所给信息进行解题即可.【解答】解：已知原正方体的体积为403=64000cm3，其截去的8个正三棱锥的体积为8×13×12×20×20×20=320003cm3，所以石凳子的体积为64000−320003=1600003cm3.故选B.7. 在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98, 100)．已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人．如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第()附：若X∼N(μ，σ2)，则P(μ−σ<X<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X<μ+2σ)=0.9544.A.1500名B. 1700名C.4500名D.8000名【答案】A【考点】正态分布的密度曲线【解析】将正态总体向标准正态总体的转化，求出概率，即可得到结论．【解答】解：由题意知，考试的成绩ξ服从正态分布N(98, 100)．∵μ=98，σ=10，∴P(ξ≥108)=1−P(ξ<108)=12[1−P(88<ξ<108)]≈0.1587，即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的15.87%．∴9450×15.87%≈1500名.故选A．8. 已知(1+xm )n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，若a1=3,a2=4，则m=()A.1B.3C.2D.4【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：已知(1+xm )n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，T r+1=C n r m−r x r，当r=1时，C n1⋅m−1=nm=3，①当r=2时，C n2⋅m−2=4，②由①②得，m=3，n=9.故选B.9. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，且∠PAQ=5π6，则该双曲线的离心率为()A.√2B.√3C.√213D.√13【答案】D【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，设双曲线的一条渐近线方程为y=bax，联立{y=bax,x2+y2=c2,解得x P=−a，x Q=a，∴Q(a, b)，且AP⊥x轴，∵∠PAQ=5π6，∴∠F2AQ=π3，则tanπ3=b2a=√3，则b2=c2−a2=12a2，得e2=13，即e=√13．故选D.10. 设正项数列{a n}的前n项和为S n，且满足2√S n=a n+1，则数列{a n−7}的前n项和T n的最小值为()A.−494B.−72C.72D.−12【答案】D【考点】数列与函数最值问题数列递推式等差数列的前n项和【解析】利用数列递推式求数列的通项公式，在利用等差数列的求和公式以及二次函数的特点求解.【解答】解：当n=1时，有2√a1=a1+1，解得a1=1；当n≥2时，由2√S n=a n+1，得4S n=a n2+2a n+1，4S n−1=a n−12+2a n−1+1，两式相减得4a n=a n2−a n−12+2(a n−a n−1)，所以(a n+a n−1)(a n−a n−1−2)=0.因为数列{a n}的各项为正，所以a n−a n−1−2=0.所以数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以数列{a n}的通项公式为a n=2n−1．所以a n−7=2n−8，T n=n(a1−7)+n(n−1)2d=n2−7n=(n−72)2−494.由于n为正整数，所以n=3或4时，T n取得最小值，最小值为−12.故选D.11. 已知三棱锥P−ABC满足PA=PB=PC=AB=2，AC⊥BC，则该三棱锥外接球的体积为()A.32 27√3πB.323π C.329√3π D.163π【答案】A【考点】球内接多面体球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】解：取AB的中点D,连接PD,CD.如图，∵AC⊥BC ,∴D为Rt△ABC外接圆的圆心，则球心O在过D与平面ABC垂直的直线上.∵ PA =PB =PC =AB =2， ∴ PD ⊥AB ，PD =√32AB =√3,CD =12AB =1 ,∴ PC 2=PD 2+CD 2， ∴ PD ⊥CD ， ∴ PD ⊥ 平面ABC , ∴ 球心O 在PD 上.∵ 球心O 在过正三角形PAB 外接圆圆心与平面ABC 垂直的直线上， ∴ 球心O 为△PAB 外接圆圆心，则 OD =13PD =√33. 连接AO ,设球的半径为R ,则 R =OA =√AD 2+OD 2=√12+(√33)2=2√33, ∴ 三棱锥 P −ABC 的外接球的体积为V =43πR 3=43π(2√33)3=3227√3π.故选A .12. 已知f (x )是定义在(−π2,π2)上的奇函数，f (1)=0，且当x ∈(0,π2)时，f (x )+f ′(x )tan x >0，则不等式f (x )<0的解集为( ) A.(−1,0)∪(1,π2) B.(−1,0)∪(0,1) C.(−π2,−1)∪(1,π2) D.(−π2,−1)∪(0,1)【答案】 D【考点】函数恒成立问题利用导数研究函数的单调性 奇偶性与单调性的综合 函数奇偶性的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由已知得x ∈(0,π2)，f(x)+f ′(x)tan x >0，构造函数g(x)=sin xf(x)，则g ′(x)=cos xf(x)+f ′(x)sin x ， x ∈(0,π2)，cos x >0，则g ′(x)cos x =f(x)+f ′(x)tan x >0，∴ x ∈(0,π2)时，g ′(x)>0，g(x)在(0,π2)上单调递增．∵f(x)为(−π2,π2)上的奇函数，∴g(x)=sin xf(x)为(−π2,π2)上的偶函数．∵f(1)=0，则g(1)=g(−1)=0，故当f(x)<0，则g(x)sin x<0，即g(x)⋅sin x<0，则g(x)与sin x异号．x∈(−π2,0)，sin x<0，取g(x)大于0，x∈(0,π2)，sin x>0，取g(x)小于0，故解集为(−π2,−1)∪(0,1).故选D．二、填空题设函数f(x)=mx2ln x，若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线ex+y+ 2020=0平行，则m=________.【答案】−1 3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x)=mx2ln x，故f′(x)=mx(2ln x+1);因为曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线ex+y+2020=0平行，故该切线的斜率与直线ex+y+2020=0的斜率相同，即k=−e,即f′(e)=3me=−e故m=−13.故答案为：−13.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1,a n+1=2a n，若数列{b n}满足b n⋅S n=1，则b1+1 b1+b2+1b2+⋯+b10+1b10=________.【答案】2046【考点】 数列的求和等比数列的前n 项和【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ 数列{a n }满足a n+1=2a n ，∴ 数列{a n }是以首项为a 1=1，公比为2的等比数列， ∴ S n =2n −1. ∵ b n ⋅S n =1， ∴ S n =1b n，∴b 1+1b 1+b 2+1b 2+⋯+b 10+1b 10=1+1b 1+1+1b 2+⋯+1+1b 10=10+21−1+22−1+23−1+⋯+210−1 =21+22+⋯+210 =2(1−210)1−2=2046. 故答案为：2046.已知A (3,0),B (0,1),C (−1,2)，若点P 满足|AP →|=1，则|OB →+OC →+OP →|的最大值为________. 【答案】√13+1 【考点】平面向量的坐标运算 点与圆的位置关系 两点间的距离公式【解析】（1）根据题目所给信息进行解题即可. 【解答】解：不妨设P(x,y)，已知|AP →|=1，可得(x −3)2+y 2=1， 即点P 在以圆心为(3,0)，半径为1的圆上， 易得OB →+OC →+OP →=(x −1,y +3)，而已知|OB →+OC →+OP →|=√(x −1)2+(y +3)2， 其表示点P(x,y)到点(1,−3)的距离， 则P 所在圆的圆心到点(1,−3)的距离d =√13 , 则其最大值为d +r =d +1=√13+1.故答案为：√13+1.已知抛物线C:x 2=4y 的焦点为F ，直线l 过点F 且倾斜角为5π6．若直线l 与抛物线C 在第二象限的交点为A ，过点A 作AM 垂直于抛物线C 的准线，垂足为M ，则△AMF 外接圆上的点到直线√2x −y −3=0的距离的最小值为________. 【答案】4√23【考点】与圆有关的最值问题 抛物线的性质直线与抛物线的位置关系 圆的一般方程【解析】本题考查了抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求法及与圆有关的最值问题．由已知求得A ，M ，F 三点的坐标，得到△AMF 外接圆的方程，再结合圆的知识求解即可． 【解答】解：∵ 抛物线C ：x 2=4y ， ∴ 焦点F(0，1)，准线：y =−1． 又∵ 直线l 的倾斜角为5π6， ∴ 斜率k =−√33， ∴ l ：y −1=−√33x ． 由{y =−√33x +1，x 2=4y ，得{x =−2√3，y =3或{x =2√33，y =13，∴ A(−2√3,3)，M(−2√3,−1)，F(0，1)．设过A ，M ，F 三点的圆方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，∴ {12+9−2√3D +3E +F =0，12+1−2√3D −E +F =0，1+E +F =0，解得：D =8√33，E =−2，F =1， ∴ x 2+y 2+8√33x −2y +1=0，圆：(x +4√33)2+(y −1)2=163，圆心(−4√33,1)，r=4√33，圆心到√2x−y−3=0的距离d=|−4√63−1−3|√3=4√2+4√33，∴ 外接圆上的点到直线√2x−y−3=0距离的最小值为d−r=4√23．故答案为：4√23．三、解答题在△ABC中，内角A，B，C满足√3sin(B+C)=2sin2A2.(1)求内角A的大小；(2)若AB=5,BC=7，求BC边上的高．【答案】解：(1)在△ABC中，sin(B+C)=sin A，由√3sin(B+C)=2sin2A2，得√3sin A=1−cos A．即√3sin A+cos A=1，∴sin(A+π6)=12．∵A∈(0,π)，∴A+π6∈(π6,7π6)，∴A+π6=5π6，即A=2π3．(2)在△ABC中，A=2π3，AB=5，BC=7，由余弦定理得49=25+AC2−10AC⋅cos2π3，即AC2+5AC−24=0，解得AC=−8（舍去）或AC=3．则S△ABC=12AB⋅AC⋅sin2π3=15√34．设BC边上的高为ℎ，由S△ABC=12BC⋅ℎ=15√34，解得ℎ=15√314．【考点】三角形的面积公式余弦定理三角函数中的恒等变换应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)在△ABC中，sin(B+C)=sin A，由√3sin(B+C)=2sin2A2，得√3sin A=1−cos A．即√3sin A+cos A=1，∴sin(A+π6)=12．∵A∈(0,π)，∴A+π6∈(π6,7π6)，∴A+π6=5π6，即A=2π3．(2)在△ABC中，A=2π3，AB=5，BC=7，由余弦定理得49=25+AC2−10AC⋅cos2π3，即AC2+5AC−24=0，解得AC=−8（舍去）或AC=3．则S△ABC=12AB⋅AC⋅sin2π3=15√34．设BC边上的高为ℎ，由S△ABC=12BC⋅ℎ=15√34，解得ℎ=15√314．如图，已知正三棱柱ABC−A1B1C1，D是AB的中点，E是C1C的中点，且AB= 1,AA1=2.(1)证明：CD//平面A1EB;(2)求二面角B−A1E−D的余弦值．【答案】(1)证明：取A1B的中点F，连结EF，DF，如图，∵D，F分别是AB，A1B的中点，∴DF=//1A1A,2∵A1A=//C1C，E是C1C的中点，∴DF=//EC ,∴四边形CDFE是平行四边形．∴CD=//EF ,∵CD⊄平面A1EB，EF⊂平面A1EB,∴CD//平面A1EB.(2)解：∵△ABC是正三角形，D是AB的中点，∴CD⊥AB.∵在正三棱柱ABC−A1B1C1中,A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥CD.又由(1)知DF//A1A，∴CD，BD，DF两两互相垂直,∴以D为原点，分别以DB，DC，DF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则D(0,0,0)，B (12,0，0),E (0,√32,1),A 1(−12,0,2)． ∴ BE →=(−12,√32,1),DE→=(0,√32,1),A 1E→=(12,√32,−1), 设平面A 1DE 的法向量为n →=(x,y,z )， 则{n →⋅A 1E →=12x +√32y −z =0，n →⋅DE →=√32y +z =0，令z =√3，得y =−2,x =4√3， ∴ n →=(4√3,−2,√3).设平面A 1BE 的法向量为m →=(m,n,t),则{m →⋅A 1E →=12m +√32n −t =0，m →⋅BE →=−12m +√32n +t =0，令t =1，得n =0,m =2， ∴ m →=(2,0,1).设二面角B −A 1E −D 的平面角为θ， 由已知得θ∈(0,π2),cos θ>0, ∴ cos θ=cos ⟨n →，m →⟩=n →⋅m→|n →|⋅|m →|=√3√3√(4√3)2+(−2)2+(√3)2×√22+12=9√3355， ∴ 二面角B −A 1E −D 的余弦值为9√3355.【考点】二面角的平面角及求法直线与平面平行的判定【解析】无无【解答】(1)证明：取A1B的中点F，连结EF，DF，如图，∵D，F分别是AB，A1B的中点，∴DF=//1A1A,2∵A1A=//C1C，E是C1C的中点，∴DF=//EC ,∴四边形CDFE是平行四边形．∴CD=//EF ,∵CD⊄平面A1EB，EF⊂平面A1EB,∴CD//平面A1EB.(2)解：∵△ABC是正三角形，D是AB的中点，∴CD⊥AB.∵在正三棱柱ABC−A1B1C1中,A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥CD.又由(1)知DF//A1A，∴CD，BD，DF两两互相垂直,∴以D为原点，分别以DB，DC，DF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则D(0,0,0)，B (12,0，0),E (0,√32,1),A 1(−12,0,2)． ∴ BE →=(−12,√32,1),DE→=(0,√32,1),A 1E→=(12,√32,−1), 设平面A 1DE 的法向量为n →=(x,y,z )， 则{n →⋅A 1E →=12x +√32y −z =0，n →⋅DE →=√32y +z =0，令z =√3，得y =−2,x =4√3， ∴ n →=(4√3,−2,√3).设平面A 1BE 的法向量为m →=(m,n,t),则{m →⋅A 1E →=12m +√32n −t =0，m →⋅BE →=−12m +√32n +t =0，令t =1，得n =0,m =2， ∴ m →=(2,0,1).设二面角B −A 1E −D 的平面角为θ， 由已知得θ∈(0,π2),cos θ>0, ∴ cos θ=cos ⟨n →，m →⟩=n →⋅m→|n →|⋅|m →|=√3√3√(4√3)2+(−2)2+(√3)2×√22+12=9√3355， ∴ 二面角B −A 1E −D 的余弦值为9√3355.已知椭圆C ：x 24+y 22=1，A ，B 分别为椭圆长轴的左右端点，M 为直线x =2上异于点B 的任意一点，连接AM 交椭圆于P 点． (1)求证：OP →⋅OM →为定值；(2)是否存在x 轴上的定点Q 使得以MP 为直径的圆恒通过MQ 与 BP 的交点． 【答案】(1)证明：由已知得A (−2,0)，B (2,0)，设M (2,m )，P (x 0,y 0)，(m ≠0,x 0≠±2)， 则x 024+y 022=1，得y 02=−x 02−42．又k AP =y 0x 0+2=k AM =m−02−(−2)=m4，k BP =y 0x 0−2，∴ k AP ⋅k BP =y 02x 02−4=−12．于是m4⋅y 0x−2=−12． 整理有2x 0+my 0=4．∴ OP →⋅OM →=2x 0+my 0=4为定值．(2)解：假设存在定点Q (n,0)满足要求， 设M (2,m )，P (x 0,y 0)，(m ≠0,x 0≠±2)，则由以MP 为直径的圆通过MQ 与BP 的交点得MQ →⋅BP →=0．∴ (n −2,−m )⋅(x 0−2,y 0)=nx 0−2n −2x 0+4−my 0=0 ．① 由(1)得2x 0+my 0=4 ．②将②代入①，有n (x 0−2)=0， ∵ x 0≠2， 解得n =0．∴ 存在x 轴上的定点Q (0,0)，使得以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点． 【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题 圆锥曲线的综合问题 【解析】此题暂无解析 【解答】(1)证明：由已知得A (−2,0)，B (2,0)，设M (2,m )，P (x 0,y 0)，(m ≠0,x 0≠±2)， 则x 024+y 022=1，得y 02=−x 02−42．又k AP =y 0x+2=k AM =m−02−(−2)=m4，k BP =y 0x 0−2，∴ k AP ⋅k BP =y 02x 02−4=−12．于是m4⋅y 0x−2=−12． 整理有2x 0+my 0=4．∴ OP →⋅OM →=2x 0+my 0=4为定值．(2)解：假设存在定点Q (n,0)满足要求，设M (2,m )，P (x 0,y 0)，(m ≠0,x 0≠±2)，则由以MP 为直径的圆通过MQ 与BP 的交点得MQ →⋅BP →=0． ∴ (n −2,−m )⋅(x 0−2,y 0)=nx 0−2n −2x 0+4−my 0=0 ．① 由(1)得2x 0+my 0=4 ．② 将②代入①，有n (x 0−2)=0， ∵ x 0≠2， 解得n =0．∴ 存在x 轴上的定点Q (0,0)，使得以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点．已知函数f(x)=e x +(m −e)x −mx 2. (1)当m =0时，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)在区间(0,1)内存在零点，求实数m的取值范围.【答案】解：(1)若m=0，则f(x)=e x−ex，则f′(x)=e x−e,f′(1)=0，当x<1时，f′(x)<0,f(x)单调递减；当x>1时，f′(x)>0,f(x)单调递增，所以f(x)在x=1处取得极小值，且极小值为f(1)=0，无极大值.(2)由题得f′(x)=e x−2mx+m−e，设g(x)=e x−2mx+m−e，则g′(x)=e x−2m.若m=0，则f(1)=0，故由(1)得f(x)在区间(0,1)内没有零点.若m<0，则g′(x)=e x−2m>0，故函数g(x)在区间(0,1)内单调递增.又g(0)=1+m−e<0,g(1)=−m>0，所以存在x0∈(0,1)，使g(x0)=0.故当x∈(0,x0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(x0,1)时，f′(x)>0,f(x)单调递增.因为f(0)=1，f(1)=0，所以当m<0时，f(x)在区间(0,1)内存在零点.若m>0，由(1)得当x∈(0,1)时，e x>ex.则f(x)=e x+(m−e)x−mx2>ex+(m−e)x−mx2=m(x−x2)>0，此时函数f(x)在区间(0,1)内没有零点.综上，实数m的取值范围为(−∞,0).【考点】由函数零点求参数取值范围问题利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性函数零点的判定定理【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)若m=0，则f(x)=e x−ex，则f′(x)=e x−e,f′(1)=0，当x<1时，f′(x)<0,f(x)单调递减；当x>1时，f′(x)>0,f(x)单调递增，所以f(x)在x=1处取得极小值，且极小值为f(1)=0，无极大值.(2)由题得f′(x)=e x−2mx+m−e，设g(x)=e x−2mx+m−e，则g′(x)=e x−2m.若m=0，则f(1)=0，故由(1)得f(x)在区间(0,1)内没有零点.若m<0，则g′(x)=e x−2m>0，故函数g(x)在区间(0,1)内单调递增.又g(0)=1+m−e<0,g(1)=−m>0，所以存在x0∈(0,1)，使g(x0)=0.故当x∈(0,x0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(x0,1)时，f′(x)>0,f(x)单调递增.因为f(0)=1，f(1)=0，所以当m<0时，f(x)在区间(0,1)内存在零点.若m>0，由(1)得当x∈(0,1)时，e x>ex.则f(x)=e x+(m−e)x−mx2>ex+(m−e)x−mx2=m(x−x2)>0，此时函数f(x)在区间(0,1)内没有零点.综上，实数m的取值范围为(−∞,0).一支担负勘探任务的队伍有若干个勘探小组和两类勘探人员，甲类人员应用某种新型勘探技术的精准率为0.6，乙类人员应用这种勘探技术的精准率为a(0<a<0.4）．每个勘探小组配备1名甲类人员与2名乙类人员，假设在执行任务中每位人员均有一次应用这种技术的机会且互不影响，记在执行任务中每个勘探小组能精准应用这种新型技术的人员数量为ξ．(1)证明：在ξ各个取值对应的概率中，概率P(ξ=1)的值最大．(2)在特殊的勘探任务中，每次只能派一个勘探小组出发，工作时间不超过半小时，如果半小时内无法完成任务，则重新派另一组出发．现在有三个勘探小组A i（i=1,2,3）可派出，若小组A i能完成特殊任务的概率t i=P(ξ=i)(i=1,2,3)且各个小组能否完成任务相互独立．试分析以怎样的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小．【答案】(1)证明：由已知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3．P(ξ=0)=(1−0.6)⋅(1−a)2=0.4(1−a)2，P(ξ=1)=0.6(1−a)2+(1−0.6)⋅C21a(1−a)=0.2(1−a)(3+a)，P(ξ=2)=0.6⋅C21a(1−a)+(1−0.6)a2=0.4a(3−2a)，P(ξ=3)=0.6a2，∵0<a<0.4，∴P(ξ=1)−P(ξ=0)=0.2(1−a)(3+a)−0.4(1−a)2=0.2(1−a)(1+3a)>0，P(ξ=1)−P(ξ=2)=0.2(1−a)(3+a)−0.4a(3−2a)=0.2(3a2−8a+3)>0，P(ξ=1)−P(ξ=3)=0.2(1−a)(3+a)−0.6a2=−0.2(4a2+2a−3)>0 .∴概率P(ξ=1)的值最大．(2)解：由(1)可知，由0<a<0.4有t1=P(ξ=1)的值最大，且t2−t3=P(ξ=2)−P(ξ=3)=0.4a(3−2a)−0.6a2=0.2a(6−7a)>0，∴t1>t2>t3，∴应当以A1,A2,A3的顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小，即优先派出完成任务概率大的小组可减少所需派出的小组个数的均值．证明如下：假定p1,p2,p3为t1,t2,t3(t1>t2>t3)的任意一个排列，即若三个小组A i(i=1,2,3)按照某顺序派出，该顺序下三个小组能完成特殊任务的概率依次为p1,p2,p3，记在特殊勘探时所需派出的小组个数为η，则η=1，2，3，且η的分布列为：p2)=3−2p1−p2+p1p2 .1121下面证明E(η)=3−2p1−p2+p1p2≥3−2t1−t2+t1t2成立．若E(η)=3−p1−(p1+p2)+p1p2，可发现当派出的前两个小组的顺序不变时，第一个派出的小组完成的概率越大，E(η)越小；若E(η)=3−2p1−(1−p1)p2，可发现当派出的第一个小组不变，后两个小组的顺序变换时，则第二个派出的小组完成的概率越大，E(η)越小．可见，按照完成任务概率从大到小的A1,A2,A3的小组顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小．【考点】n次独立重复试验的结果相互独立事件的概率乘法公式离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：由已知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3．P(ξ=0)=(1−0.6)⋅(1−a)2=0.4(1−a)2，P(ξ=1)=0.6(1−a)2+(1−0.6)⋅C21a(1−a)=0.2(1−a)(3+a)，P(ξ=2)=0.6⋅C21a(1−a)+(1−0.6)a2=0.4a(3−2a)，P(ξ=3)=0.6a2，∵0<a<0.4，∴P(ξ=1)−P(ξ=0)=0.2(1−a)(3+a)−0.4(1−a)2=0.2(1−a)(1+3a)>0，P(ξ=1)−P(ξ=2)=0.2(1−a)(3+a)−0.4a(3−2a)=0.2(3a2−8a+3)>0，P(ξ=1)−P(ξ=3)=0.2(1−a)(3+a)−0.6a2=−0.2(4a2+2a−3)>0 .∴概率P(ξ=1)的值最大．(2)解：由(1)可知，由0<a<0.4有t1=P(ξ=1)的值最大，且t2−t3=P(ξ=2)−P(ξ=3)=0.4a(3−2a)−0.6a2=0.2a(6−7a)>0，∴t1>t2>t3，∴应当以A1,A2,A3的顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小，即优先派出完成任务概率大的小组可减少所需派出的小组个数的均值．证明如下：假定p1,p2,p3为t1,t2,t3(t1>t2>t3)的任意一个排列，即若三个小组A i(i=1,2,3)按照某顺序派出，该顺序下三个小组能完成特殊任务的概率依次为p1,p2,p3，记在特殊勘探时所需派出的小组个数为η，则η=1，2，3，且η的分布列为：p2)=3−2p1−p2+p1p2 .1121下面证明E(η)=3−2p1−p2+p1p2≥3−2t1−t2+t1t2成立．若E(η)=3−p1−(p1+p2)+p1p2，可发现当派出的前两个小组的顺序不变时，第一个派出的小组完成的概率越大，E(η)越小；若E(η)=3−2p1−(1−p1)p2，可发现当派出的第一个小组不变，后两个小组的顺序变换时，则第二个派出的小组完成的概率越大，E(η)越小．可见，按照完成任务概率从大到小的A1,A2,A3的小组顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ−2ρsinθ=1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|⋅|OQ|=2，记动点Q的轨迹为C2.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．【答案】解：(1)设P(ρ1,θ),Q(ρ,θ)，则ρ1cosθ−2ρ1sinθ=1，即ρ1=1，cosθ−2sinθ由|OP|⋅|OQ|=2得ρ1⋅ρ=2.∴1⋅ρ=2，cosθ−2sinθ∴ρ=2cosθ−4sinθ，∴ρ2=2ρcosθ−4ρsinθ.∵ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ，∴x2+y2=2x−4y，即(x−1)2+(y+2)2=5．∵|OP|⋅|OQ|=2，∴点Q的轨迹C2不经过(0,0)点，∴C2的直角坐标方程为(x−1)2+(y+2)2=5（不包括(0,0)点）．(2)由ρcosθ−2ρsinθ=1及得C1的直角坐标方程为x−2y=1，即x−2y−1=0 .∵曲线C2的圆心为(1,−2)，半径为√5，∴点(1,−2)到C1的距离d1=2()2=√5．∴|MN|=2√(√5)2−d12=√5．∵点O到C1的距离d2=22=√5．∴△OMN的面积为12|MN|⋅d2=1255=35．【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设P(ρ1,θ),Q(ρ,θ)，则ρ1cosθ−2ρ1sinθ=1，即ρ1=1cosθ−2sinθ，由|OP|⋅|OQ|=2得ρ1⋅ρ=2.∴1cosθ−2sinθ⋅ρ=2，∴ρ=2cosθ−4sinθ，∴ρ2=2ρcosθ−4ρsinθ.∵ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ，∴x2+y2=2x−4y，即(x−1)2+(y+2)2=5．∵|OP|⋅|OQ|=2，∴点Q的轨迹C2不经过(0,0)点，∴C2的直角坐标方程为(x−1)2+(y+2)2=5（不包括(0,0)点）．(2)由ρcosθ−2ρsinθ=1及x=ρcosθ,y=ρsinθ得C1的直角坐标方程为x−2y=1，即x−2y−1=0 .∵曲线C2的圆心为(1,−2)，半径为√5，∴点(1,−2)到C1的距离d1=2()2=√5．∴|MN|=2√(√5)2−d12=√5．∵点O到C1的距离d2=2()2=√5．∴△OMN的面积为12|MN|⋅d2=12√5√5=35．。
广东省广州、深圳市学调联盟2020届高三第二次调研考试数学(理)试题(含答案)
2020年广东省广州、深圳市学调联盟高三第二次调研考试理 科 数 学2020.4注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上.2.用2B 铅笔将考生号及试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}24A x x =<，{}2B x x x =<-，则A B =U （ ）A.{}22x x -<<B.{}2x x <C.{}1x x >-D.{}2x x >-2.设复数z 的共轭复数是z ，且1z =，又复数z 对应的点为Z ，()1,0A -与()0,1B 为定点，则函数()()()1f z z z i =+-取最大值时在复平面上以Z ，A ，B 三点为顶点的图形是（ ）A.等边三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.等腰三角形3.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ<<）的图像过两点A ⎛ ⎝⎭，,04B π⎛⎫⎪⎝⎭，()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭内有且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，则()f x =（ ）A.()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B.()3sin 54f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C.()sin 74f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D.()3sin 94f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭4.在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且3BAC π∠=，2ACB π∠≠，1BC =，P 为BC 中点.过点P 作PQ BC ⊥交AC 所在直线于Q ，则AQ uuu r 在BC uuu r方向上投影的最大值是（ ）A.13B.12C.3D.235.若深圳人民医院有5名医护人员，其中有男性2名，女性3名.现要抽调两人前往湖北进行支援，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为（ ）A.16B.25C.35D.236.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行，2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为1M ，月球质量为2M ，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：()()121223M M M R r r R R r +=++.设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中()345323331ααααα++≈+，则r 的近似值为（ ）7.已知函数()2f x +（x ∈R ）为奇函数，且函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，当[]0,1x ∈时，()2020xf x =，则()2020f =（ ）A.2020B.12020C .11010D.08.在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，已知点P 是正方形AA D D ''内部（不含边界）的一个动点，若直线AP 与平面AA B B ''所成角的正弦值和异面直线AP 与DC '所成角的余弦值相等，则线段DP 长度的最小值是（ ）A.2B.3C.3D.439.已知F 是椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若3PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（ ）B.1210.如图，斜ABC △满足tan tan 4A B +=+1AB =，{}max ,AB BC AC <，其中{}max ,a b 表示a ，b 中较大的数（a b =时定义{}max ,a b a b ==）.线段AC 的中垂线上有一点D ，过点D 作DE BC ⊥于点E ，满足AB BE CE +=，则点D 到ABC △外接圆上一点的距离最大值为（ ）A. 4B. 3C.2D.111.若设sin a xdx π=⎰，则6⎛⎝的展开式中的常数项是（ ）A.160-B.160C.20-D.2012.已知m ，n ，s ，t 为正实数，4m n +=，9m n s t +=，其中m ，n 是常数，且s t +的最小值是89，满足条件的点(),m n 是双曲线22128x y -=一弦的中点，则此弦所在的直线l 的方程为（ ） A.4100x y +-=B.220x y --=C.4100x y +-=D.460x y --=二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数()2f x x ax b =++（0a <，0b >）有两个不同的零点1x ，2x ，2-和1x ，2x 三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数()f x 的解析式为______.14.方程1sin 2sin 33tan 2x x x=+在区间[]0,2π上的解为______. 15.已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆1C ：15922=+y x 的左、右顶点分别为1A ，2A . 直线l ：()()2121m y m x y -+-=+（ m R ∈）交椭圆于P ，Q 两点，直线1A P 和直线2A Q 相交于椭圆外一点R ，则点R 的轨迹方程为______.16.如图，在直角梯形ABCD 中，AB BC ⊥，AD BC ∥，112AB BC AD ===，点E 是线段CD 上异于点C ，D 的动点，EF AD ⊥于点F ，将DEF △沿EF 折起到PEF △的位置，并使PF AF ⊥，则五棱锥P ABCEF -的体积的取值范围为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（12分）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是各项均为正数的等比数列，且111b a ==，34b a =，12334b b b a a ++=+.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅰ）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =，H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且BD ∥平面AMHN .（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，PA PC ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求AD 与平面AMHN 所成角的正弦值.19.如果某企业每月生猪的死亡率不超过百分之一，则该企业考核为优秀.现获得某企业2019年1月到8月的相 关数据如下表所示：（1）求出月利润；y （十万元）关于月养殖量x （千只）的线性回归方程（精确到0.01）； （2）若2019年9月份该企业月养殖量为1.4万只，请你预估该月月利润是多少万元；（3）从该企业2019年1月到8月这8个月中任意选取3个月，用X 表示3个月中该企业考核获得优秀的个数，求X 的分布列和数学期望.参考数据：81178i i x x ===∑，81168i i y y ===∑，821460i i x ==∑，81379.5i i i x y ==∑附：线性回归方程$$y bxa =+$中，()()()1122211n niii ii i nni i i i x x y x x y nx yb x xx nx====---==--∑∑∑∑$，$ay bx =-$ 20.已知直线1x y +=过椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点，且交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点是21,33M ⎛⎫⎪⎝⎭（Ⅰ）求椭圆的方程（Ⅰ）过原点的直线l 与线段AB 相交（不含端点）且交椭圆于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值 21.己知函数()2ln f x ax bx x =+-.（1）当2a =-时，函数()f x 在()0,+∞上是减函数，求b 的取值范围；（2）若方程()0f x =的两个根分别为1x ，2x （12x x <），求证：1202x x f +⎛⎫'>⎪⎝⎭. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos 4ρθ=，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=+，以极点为坐标原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，射线l '：y kx =（0x ≥，01k <<）与曲线C 交于O ，M 两点.（1）写出直线l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程.（2）若射线l '与直线l 交于点N ，求OM ON的取值范围.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知3a ≥，函数(){}2min 21,242F x x x ax a =--+-，其中{},min ,,p p q p q q p q≤⎧=⎨>⎩. （1）求使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（2）（i ）求()F x 的最小值()m a . （ii ）求在区间上的最大值.2020年广东省广州、深圳市学调联盟高三第二次调研考试理科数学参考答案、解析与评分说明2020.4二、填空题13.()254f x x x =-+14.6π或56π15.4x =16.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（12分）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是各项均为正数的等比数列，且111b a ==，34b a =，12334b b b a a ++=+.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅰ）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，依题意得2213125a q q q d⎧+=⎪⎨++=+⎪⎩ 解得1d =，2q =，所以()11n a n n =+-=，11122n n n b --=⨯=（Ⅰ）由（Ⅰ）知12n n n n c a b n -==⋅，则01211222322n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅L ①()12121222122n n n T n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅L ②①-②得：0121121212122n n n T n --=⋅+⋅+⋅++⋅-⋅L()()112212112n n n n n ⋅-=-⋅=-⋅--所以()121nn T n =-⋅+.18.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =，H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且BD ∥平面AMHN .（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC的中点，PA PC ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求AD 与平面AMHN 所成角的正弦值.（1）连结AC 、BD 且AC BD O =I ，连结PO . 因为，ABCD 为菱形，所以，BD AC ⊥， 因为，PD PB =，所以，PO BD ⊥，因为，AC PO O =I 且AC 、PO ⊂平面PAC ， 所以，BD ⊥平面PAC ，因为，AC ⊂平面PAC ，所以，BD PC ⊥， 因为，BD ∥平面AMHN ， 且平面AMHN I 平面PBD MN =， 所以，BD MN ∥， 所以，MN PC ⊥.（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点，所以，PO AC ⊥，所以，PO ⊥平面ABCD ，所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠，所以60PAO ∠=︒，所以12AO PA =，2PO PA =，因为，PA =，所以，6BO PA =. 以OA u u u r ，OD u u u r，OP uuu r分别为x ，y ，z 轴，如图所示建立空间直角坐标系记2PA =，所以，()0,0,0O ，()1,0,0A，0,3B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0C -，0,3D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(P，1,0,22H ⎛- ⎝⎭所以，BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r，32AH ⎛=- ⎝⎭u u u r，AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r记平面AMHN 的法向量为(),,n x y z =r ，所以00n BD n AH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r，即03302y x z ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令2x =，解得0y =，z =，所以，(n =r，记AD 与平面AMHN 所成角为θ，所以，sin cos ,n AD n AD n ADθ⋅===r u u u rr u u u r r u u ur . 所以，AD 与平面AMHN所成角的正弦值为4. 19.如果某企业每月生猪的死亡率不超过百分之一，则该企业考核为优秀.现获得某企业2019年1月到8月的相 关数据如下表所示：（1）求出月利润；y （十万元）关于月养殖量x （千只）的线性回归方程（精确到0.01）； （2）若2019年9月份该企业月养殖量为1.4万只，请你预估该月月利润是多少万元；（3）从该企业2019年1月到8月这8个月中任意选取3个月，用X 表示3个月中该企业考核获得优秀的个数，求X 的分布列和数学期望.参考数据：81178i i x x ===∑，81168i i y y ===∑，821460i i x ==∑，81379.5i i i x y ==∑附：线性回归方程$$y bxa =+$中，()()()1122211n niii ii i nni i i i x x y x x y nx yb x xx nx ====---==--∑∑∑∑$，$ay bx =-$ （1）根据参考数据可得81822218379.587643.50.6446087688i ii i i x y x ybx x==--⨯⨯===≈-⨯-∑∑$所以$43.567 1.5268ay bx =-=-⨯≈$ 故月利润y 关于月养殖量x 的线性问归方程为$0.64 1.52y x =+ （2）若2019年9月份，该企业月养殖量为1.4万只， 则此时14x =把14x =代入$0.64 1.52y x =+，$0.6414 1.5210.48y =⨯+= 所以预估该月月利润是104.8万元.（3）由题中数据可知，1月，2月，3月，4月这4个月该企业考核都为优秀， 所以X 的所有可能取值为0，1，2，3()0344381014C C P X C ===，()124438317C C P X C ===，()214438327C C P X C === ()34381314C P X C ===故X 的分布列为：()1331301231477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 20.已知直线1x y +=过椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点，且交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点是21,33M ⎛⎫⎪⎝⎭（Ⅰ）求椭圆的方程（Ⅰ）过原点的直线l 与线段AB 相交（不含端点）且交椭圆于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值 20.答案：（1）直线1x y +=与x 轴交于点()1,0，所以椭圆右焦点的坐标为()1,0，故1c =.设()11,A x y ，()22,B x y ，则1243x x +=，1223y y +=，21211y y x x -=--， 又2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，所以22222121220x x y y a b --+=， 即()()()()2121212122x x x x y y y y ab-+-++=，得222a b =又222a b c =+，1c =，所以22a =，21b =，因此椭圆的方程为2212x y +=. （2）联立方程，得22121x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩或4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.不妨令()0,1A ，41,33B ⎛⎫-⎪⎝⎭，易知直线l 的斜率存在， 设直线l ：y kx =，代入2212x y +=，得()22212k x +=，则x =或，设()33,C x y ，()44,D x y，则34x x =-=.则34C x D -==，()0,1A ，41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线y kx =的距离分别是1d =，2d =， 由于直线l 与线段AB （不含端点）相交，所以()4101033k k ⎛⎫⨯-+<⎪⎝⎭，即14k >-，所以()124441k k d d +++==四边形ACBD 的面积()12121112223S CD d CD d CD d d =⋅+⋅=+= 令1k t +=，则34t >，2221243k t t +=-+，333S ===，当123t=，即12k =时，max S ==，符合题意，因此四边形ACBD. 21.己知函数()2ln f x ax bx x =+-.（1）当2a =-时，函数()f x 在()0,+∞上是减函数，求b 的取值范围；（2）若方程()0f x =的两个根分别为1x ，2x （12x x <），求证：1202x x f +⎛⎫'>⎪⎝⎭.21.答案：（1）()f x Q 在()0,+∞上递减，()140f x b x'∴=-+-≤对()0,x ∈+∞恒成立. 即14b x x≤+对()0,x ∈+∞恒成立，所以只需min 14b x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭.0x >Q ，144x x∴+≥， 当且仅当12x =时取“=”，4b ∴≤.（2）由已知，得()()2111122222ln 0ln 0f x ax bx x f x ax bx x ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩， Ⅰ21112222ln ln x ax bx x ax bx ⎧=+⎨=+⎩两式相减， 得()()()()()112121212122lnx a x x x x b x x x x a x x b x =+-+-=-++⎡⎤⎣⎦. 由()12f x ax b x'=+-知()12121222x x f a x x b x x +⎛⎫'=++- ⎪+⎝⎭ ()11221111122121221212222121211ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎡⎤⎝⎭⎢⎥=-=-=-⎢⎥⎢⎥-+-+-⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 设()120,1x t x =∈()()()()222114011t g t t t t t -'∴=-=>++.∴()g t 在()0,1上递增，()()10g t g ∴<=.120x x -<Q ，12111221222111ln 1x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥∴-=⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦()0g t >. 即1202x x f +⎛⎫'>⎪⎝⎭. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos 4ρθ=，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=+，以极点为坐标原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，射线l '：y kx =（0x ≥，01k <<）与曲线C 交于O ，M 两点.（1）写出直线l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程.（2）若射线l '与直线l 交于点N ，求OM ON的取值范围.（1）曲线C ：22cos 2sin ρρθρθ=+，故22220x y x y +--=， 故()()22112x y -+-=，故曲线C的参数方程为12cos 1x y ϕϕ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.（2）设()1,M ρα，()2,N ρα，则12cos 2sin ραα=+，24cos ρα=. 所以()()2122cos 2sin cos sin cos cos 11sin 2cos 24244OM ON αααραααααρ++====++12444πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知3a ≥，函数(){}2min 21,242F x x x ax a =--+-，其中{},min ,,p p q p q q p q ≤⎧=⎨>⎩. （1）求使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（2）（i ）求()F x 的最小值()m a . （ii ）求在区间上的最大值. （i ）由于3a ≥，故当1x ≤时，()()()22242212120x ax a x x a x -+---=+-->，当1x >时，()()()22422122x ax a x x x a -+---=--，所以，使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围为[]2,2a .（2）（i ）设函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-，则()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-，所以，由()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，即()20,3242,2a m a a a a ⎧≤≤⎪=⎨-+->+⎪⎩ （ii ）当02x ≤≤时，()()()(){}()max 0,222F x f x f f F ≤≤==，当26x ≤≤时，()()()(){}{}()(){}max 2,6max 2,348max 2,6F x g x g g a F F ≤≤=-=.所以()348,342,4a a M a a -≤<⎧=⎨≥⎩.。
2020年广东省广州、深圳市学调联盟高三第二次调研考试：理科数学试题
绝密★启用前 试卷类型：B2020年广东省广州、深圳市学调联盟高三第二次调研考试理 科 数 学2020.4注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上。
2．用 2B 铅笔将考生号及试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合{}{}24,x 2A x x B x x =<=<-，则A B =U （ ）A ．{}22x x -<<B ．{}2x x <C ．{}1x x >-D ．{}2x x >-2．设复数z 的共轭复数是z ，且1z =，又复数z 对应的点为Z ，(1,0)A -与(0,1)B 为定点，则函数()(1)()f z z z i =+-取最大值时在复平面上以Z ，A ，B 三点为顶点的图形是（ ）A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形3．已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图像过两点()0,,,0,24A B f x π⎛⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⎭在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，则()f x =（ ）A ．()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()3sin 54f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()sin 74f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()3sin 94f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭4．在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=3π，2ACB π∠≠，BC=1，P为BC 中点．过点P 作PQ ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ uuu r在BC uuu r方向上投影的最大值是（ ）A ．13B ．12CD ．235．若深圳人民医院有 5名医护人员，其中有男性 2名，女性 3名. 现要抽调两人前往湖北进行支援，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为A ．61B ．52C ．53D ．32 6．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行，L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设rRα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为( ) ABCD7.已知函数f(x+2)(x ∈R )为奇函数，且函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,当x ∈[0,1]时,(),2020xf x =则f ( 2020)=( ) A .20201.2020B1.1010C D .08.在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中,已知点P 是正方形''AA D D 内部(不含边界)的一个动点,若直线AP 与平面''AA B B 所成角的正弦值和异面直线AP 与'DC 所成角的余弦值相等,则线段DP 长度的最小值是( )D.439.已知F 是椭圆E:22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P,Q 两点, 若|PF|=3|QF|,且∠PFQ=120°,则椭圆E 的离心率为( )A1.2BCD 10.如图，斜△ABC 满足tan A +tan B =4+23，1=AB ，AB < max{AC BC ,}，其中max {a , b }表示 a ， b 中较大的数（a =b 时定义max {a , b }=a =b ）. 线段 AC 的中垂线上有一点 D ，过点 D 作 DE ⊥BC 于点E ，满足CE BE AB =+，则点 D 到△ABC 外接圆上一点的距离最大值为A ．4B ．3C ．2D ．111.若设0sin a xdx π=⎰，则6⎛ ⎝ 的展开式中的常数项是（ ） A ．-160 B ．160 C ．-20 D ．2012.已知,,,m n s t 为正实数,4m n +=,9m n s t +=,其中,m n 是常数,且s t +的最小值是89,满足条件的点(,)m n 是双曲线22128x y -=一弦的中点,则此弦所在的直线l 的方程为( )A.4100x y +-=B.220x y --=C.4100x y +-=D.460x y --=二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()()20,0f x x ax b a b =++<>有两个不同的零点1x ，2x ，-2和1x ，2x 三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数()f x 的解析式为 14.方程1sin 2sin 33tan 2xx x=+在区间[0,2π]上的解为____ _15.已知在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 1:= 1的左、右顶点分别为 A 1 ， A 2 . 直线l : m (2-y )+(1-2m )x =y +1 （m ∈R ）交椭圆于 P ， Q 两点，直线 A 1P 和直线 A 2Q 相交于椭圆外一点 R ，则点 R 的轨迹方程为．16．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，1AB BC AD 12===，点E 是线段CD 上异于点C ，D 的动点，EF ⊥AD 于点F ，将△DEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，并使PF ⊥AF ，则五棱锥P-ABCEF 的体积的取值范围为______．三 、 解答题： 共 70 分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。
广东省深圳市2019届高三下学期第二次调研(二模)文科数学试卷及答案(pdf版)
=AB }{2}{−−1i −+1i −1i +1i (2,3)(1,2)(0,3)(0,1)=±3a x 222)(C +1i 2绝密★启用前 试卷类型：深圳市2019年高三年级第二次调研考试数 学（文科） 2019．4本试卷共6页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．2．复数的共轭复数是 3．已知双曲线：的渐近线方程为，则该双曲线的焦距为 （A ） （B ） （C ） （D ） （A ）（B ） （C ） （D ） 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答． 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合 ，，则 10y a −=>y x 20A x x x =−<13B x x =<<A 公众号：初高中数学交流群 QQ 群：9482705064142a π103π143π103π8(f x )π>ωω6π1=αsin α4πα20,25)[825,30][20,25)[15,20)[4．某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．若从每周使用时间在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法选取人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为5．已知角为第三象限角，若，则6．如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗实（虚）线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为7．若函数图象的两个相邻最高点的距离为，则函数的一个单调递增区间为 （A ） （B ） （C ） （D ）第6题图 第4题图 0.04 0.06 5 10 15 20 25 30 0.01 0.02 （A （B ） （C ） （D ）（A ） （（C （D ） （A ） （B ） （C （D tan()3+=()sin()f x x =−(0)51O AB B O A 2212121ABB A 11⊥m ⊥1B D Q m //D Q 1m //21314163,π2π−36,ππ−22,ππ−63,ππ⊥2F 1A ）（a b F 2F 1B D P BDP m AA 1Q CC 1P −ABCD A B C D =xf x lg () 8．函数的图象大致为10．已知正方体，为棱上的动点，为棱的中点，设直线为平面与平面的交线，以下关系中正确的是11．已知、分别是椭圆：的左、右焦点，点是关于直线的对称点，且轴，则椭圆的离心率为（A ） （B ） （C ） （D ） 第10题图 （A ） （C ） （D ） （A ） （B ）平面 （C ） （D ）平面 （A ） （B ） （C ） （D ） （A ） （B ） （C ） （D ）9．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了 “贝特朗悖论”，即：“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长大于这个圆的内接正三角形边长的概率是多少？”贝特朗给出了 “随机半径”、“随机端点”、 “随机中点”三个合理求解的方法，但结果都不相同，这类悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．其中“随机端点”的求法如下：设为圆上的一个定点，在圆周上随机取一点，连接，求所得弦长大于圆的内接正三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（B ）1111112222+10x y a b=>>bx ay ab +=AF x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦11m B Q。
2019届广东省深圳市高三下学期第二次(4月)调研数学(文)试题解析
绝密★启用前2019届广东省深圳市高三下学期第二次（4月）调研数学（文）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合2{|20},{|13},A x x x B x x =-<=<<则A B =I （ ）A ．()01，B ．()12，C ．()23，D ．()03，【答案】B先求出集合A ，再根据集合交集的定义求出A B I 即可. 解：集合2{|20}{|02}A x x x x x =-<=<<，且{|13}B x x =<< 所以A B =I {|12}x x << 故选：B 点评：本题考查一元二次不等式的解法，以及求两个集合的交集，属于基础题． 2．复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C先化简复数为代数形式，再根据共轭复数概念求解. 解： 因为,所以其共轭复数是，选C.点评：本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题.3．已知双曲线222:1(0)x C y a a -=>的渐近线方程为3y =±，则该双曲线的焦距为（ ） A 2 B ．2C ．22D ．4【答案】D利用双曲线的渐近线方程求出a ，然后求解双曲线的焦距，即可求得答案.解：双曲线222:1(0)x C y a a -=>的渐近线方程为33y x =±可得3,1a b ==则132c =+=∴C 的焦距为：4．故选：D ． 点评：本题主要考查了求双曲线的焦距，解题关键是掌握双曲线的基础上知识，考查了分析能力和计算能力,属于基础题.4．某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图.若从每周使用时间在[)[)[)15,20,20,25,25,30三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[)20,25内的学生中选取的人数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C先由频率之和为1计算出参数a ，再计算出在[)[)[)15,20,20,25,25,30中[)20,25对应的频率，结合频数=总数⨯频率计算即可 解：由频率之和为1可得()0.020.040.060.040.01510.03a a +++++⨯=⇒=， 在[)[)[)15,20,20,25,25,30三组学生内抽样，使用时间在[)20,25内的学生对应的频率为：0.0330.040.030.018P ==++，则使用时间在[)20,25内的学生中选取的人数为3838⨯=人 故选：C 点评：本题考查频率分布直方图中参数的计算，分层抽样中具体某层抽样数的计算，属于基础题5．已知角α为第三象限角，若tan()4πα+＝3，则sin α=（ ）A ．25- B ．55-C ．5 D ．25【答案】B 由tan()34πα+=计算出tan α，再由同角三角函数的基本关系求解sin α即可解： 由tan 11tan()33tan 41tan 2παααα++=⇒=⇒=-，又α为第三象限角，故sin α为负数，15tan sin 2αα=⇒=-故选：B 点评：本题考查正切的和角公式，同角三角函数的基本求法，属于基础题6．如图所示，网格纸小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83π B ．103πC ．143πD ．10π【答案】C由三视图可判断组合体为圆柱加圆锥，结合体积公式计算即可解：由图可知，该组合体为底面半径为1，高为2的圆柱，底面半径为2，高为2的圆锥组合而成，则2122V ππ=⨯⨯=柱，2182233V ππ=⨯⨯=锥，故组合体体积为：814233πππ+= 故选：C 点评：本题考查由三视图求解组合体体积，属于基础题 7．若函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图象的两个相邻最高点的距离为π，则函数()f x 的一个单调递增区间为（ ）A ．,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A由相邻两个最高点对应距离为一个周期， 即2ππω=可求出ω，再采用整体代入法求解增区间即可 解： 由题可知22ππωω=⇒=，则()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数的增区间为：22,2,,,6226232k k x k k k Z x k Z πππππππππ⎡⎤⎡⎤-∈-++∈⇒∈-++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 当0k =时，A 项符合 故选：A 点评：本题考查由三角函数图像特征求解周期，整体代入法求解正弦型三角函数单调区间，属于基础题8．函数()lg ||f x x =的图象大致为（ ）A．B．C．D．【答案】B结合函数奇偶性特征先排除A，再找特殊点，当0x→时，分析分子和分母的变化，可确定B项正确解：由表达式()2 1xf x-=可知，函数为偶函数，排除A，当0x→211x-→，为正，lg||x→-∞，所以()210 lg||xf xx --=→，B正确故选：B点评：本题考查应用奇偶性和特殊值法识别函数图像，属于基础题9．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A为圆O上一个定点，在圆周上随机取一点B，连接AB，所得弦长AB大于圆O的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（）A．15B．14C．13D．12【答案】C由题意画出图形，求出满足条件的B的位置，再由测度比是弧长比得答案．解：解：设“弦AB 的长超过圆内接正三角形边长”为事件M ， 以点A 为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD ，则要满足题意点B 只能落在劣弧CD 上，又圆内接正三角形ACD 恰好将圆周3等分， 故1()3P M = 故选：C ． 点评：本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB 的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题．10．已知如图正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1CC 上异于其中点的动点，Q 为棱1AA 的中点，设直线m 为平面BDP 与平面11B D P 的交线，以下关系中正确的是（ ）A ．1//m D QB ．1m Q B ⊥C ．//m 平面11BD Q D ．m ⊥平面11ABB A【答案】C根据正方体性质，以及线面平行、垂直的判定以及性质定理即可判断. 解：因为在正方体1111ABCD A B C D -中，11//D B BD ，且11D B ⊄平面BDP ，BD ⊂平面BDP ，所以11//D B 平面BDP ，因为11D B ⊂平面11B D P ，且平面11B D P I 平面BDP m =，所以有11//m D B ，而1111D Q D B D =I ，则m 与1D Q 不平行，故选项A 不正确； 若1m Q B ⊥，则111B Q D B ⊥，显然1B Q 与11D B 不垂直，矛盾，故选项B 不正确； 若m ⊥平面11ABB A ，则11D B ⊥平面11ABB A ，显然与正方体的性质矛盾，故D 不正确；而因为11D B ⊂平面11B D P ，m ⊄平面11B D P ， 所以有//m 平面11B D P ，所以选项C 正确，. 点评：本题考查了线线、线面平行与垂直的关系判断，属于中档题.11．已知1F ，2F 分别是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，点A 是1F 关于直线bx ay ab +=的对称点，且2AF x ⊥轴，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．3 C ．31- D ．51- 【答案】D先画出图像，利用已知条件求出A 的坐标，然后求出1AF 的中点，代入直线方程，可解出椭圆的离心率。
2020年广东省广州、深圳市学调联盟高三第二次调研考试文数试题
微信公公
(Ⅰ)求椭圆的方程
(Ⅱ)过原点的直线 l 与线段 AB 相交(不含端点)且交椭圆于 C, D 两点,求四边形 ACBD 面积的 最大值
21．已知函数 f (x) x 1 ln x a(x 1)2 (a R) .
（Ⅰ）讨论函数 f (x) 的单调性；
（Ⅱ）若对 x (0, ) ， f (x) 0 ，求实数 a 的取值范围.
15.已知在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C1 : 1的左、右顶点分别为 A1 ， A2 . 直线l :
m2 y 1 2mx y 1 （m R ）交椭圆于 P ，Q 两点，直线 A1P 和直线 A2Q 相
交于椭圆外一点 R ，则点 R的轨迹方程为
．
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（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定 的题目．如果多做，则按所做的第一题计分 22. [选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分） 在 极 坐 标 系 中 ， 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 cos 4 ， 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 2cos 2sin ，以极点为坐标原点 O，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，射线 l : y kx(x 0,0 k 1) 与曲线 C 交于 O,M 两点.
16. 在棱长为 4 的密封正方体容器内有一个半径为 1 的小球,晃动此正方体,则小球可以经
过的空间的体积为
.
三 、 解答题： 共 70 分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 17 ～2 1 题 为必考题， 每个试题考生都必须作答． 第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分．