著名机构讲义春季16-八年级培优版-图形运动中函数关系的确立-教师版

教师姓名学生姓名年级初二上课时间学科数学课题名称图形运动中函数关系的确立图形运动中函数关系的确立知识模块Ⅰ：动点求函数解析式动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形有条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系，这部分压轴题主要是在图形运动变化的过程中探求两个变量之间的函数关系，并根据实际情况确定自变量的取值范围．【例1】已知：在正方形ABCD中，AB=2，点P是射线AB上的一点，联结PC、PD，点E、F分别是AB和PC 的中点，联结EF 交PD 于点Q ．（1）如图5，当点P 与点B 重合时，△QPE 的形状是 ；（2）如图6，当点P 在AB 的延长线上时，设BP =x ，EF =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）当点Q 在边BC 上时，求BP 的长．【答案】（1）△QPE 的形状是等腰直角三角形． （2）延长BA 到点M ，使得AM =BP ， ∵AE =BE ， ∴AE +AM =BE +BP ，即EM =EP ∵PF =CF ，∴EF =21MC ．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠MBC ＝90°，AB =BC ． ∵AB =2，BP =AM =x ，∴BM =2+x ． ∴222)2(4++=+=x BC BM MC ．∴EF =84212++x x ∴y =84212++x x )0(>x （3）当点Q 在边BC 上时，由（2）可知EF //MC ， ∴∠M ＝∠QEB ．∵在△ADP 和△BCM 中， ⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠=BM AP MBC PAD BCAD 090，∴△ADP ≅△BCM ． ∴∠M ＝∠APD ．∴∠QEB =∠APD ．∴QE =QP ． ∵QB ⊥PE ，∴BP =BE =1．【例2】已知：如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥BC ，23AB =．E 是边AB 的中点，联结DE 、CE ，且DE ⊥CE ．设AD = x ，BC = y ．B CA Q (P )FED 图5PB CDAQFE 图6BCDA备用图（1）如果∠BCD = 60º，求CD 的长；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； （3）联结BD ．如果△BCD 是以边CD 为腰的等腰三角形，求x 的值．【答案】解：（1）过点D 作DH ⊥BC ，垂足为点H ． ∵ AD // BC ，AB ⊥BC ，DH ⊥BC ，∴ 23DH AB ==．在Rt △DHC 中，∵ ∠BCD = 60º，∴ ∠CDH = 30º．∴ CD = 2CH ． 设CH = x ，则 CD = 2x ．利用勾股定理，得 222CH DH CD +=． 即得 222(23)4x x +=．解得 2x =（负值舍去）．∴ CD = 4．（2）在边CD 上截取一点F ，使DF = CF ．∵ E 为边AB 的中点，DF = CF ，∴ 11()()22EF AD BC x y =+=+．∵ DE ⊥CE ，∴ ∠DEC = 90º． 又∵ DF = CF ，∴ 2CD EF x y ==+．由AB ⊥BC ，DH ⊥BC ，得 ∠B =∠DHC = 90º．∴ AB // DH ． 又∵ AB = DH ，∴ 四边形ABHD 是平行四边形． ∴ BH = AD = x ．即得 CH y x =-．在Rt △DHC 中，利用勾股定理，得 222CH DH CD +=． 即得 22()12()y x x y -+=+．解得 3y x=． ∴ 所求函数解析式为3y x=．自变量x 的取值范围是0x >，且3x ≠． （3）当△BCD 是以边CD 为腰的等腰三角形时，有两种可能情况：CD = BD 或CD = BC ．（i ）如果CD = BD ，由DH ⊥BC ，得 BH = CH ． 即得 y = 2x ．A BC D E （第26题图）A BCDE（备用图）利用 3y x =，得 32x x=．解得 162x =，262x =-．经检验：162x =，262x =-，且262x =-不合题意，舍去． ∴ 62x =． （ii ）如果CD = BC ，则 x y y +=．即得 x = 0（不合题意，舍去）． ∴ 62x =． 【例3】已知正方形ABCD 的边长为5，等腰直角△AEF 的直角顶点E 在直线BC 上（不与点B ，C 重合），FM ⊥AD ，交射线AD 于点M ．（1）当点E 在边CB 的延长线上，点M 在边AD 上时，如图①， 求证： BE +AM =AB ；（2）当点E 在边BC 上，点M 在边AD 的延长线上时，如图②，设BE =x ，AM =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当点E 在边BC 的延长线上，点M 在边AD 上时，如图③．如果∠AFM =15°，求AM 的长．【答案】（1）设FM 交边BC 于点N∵四边形ABCD 是正方形∴∠ABC =90º， AD ∥BC ∴∠ABE =90º，∴∠BAE +∠AEB =90º∵△AEF 是等腰直角三角形，∴∠AEF =90º ，AE =EF ∴∠NEF +∠AEB =90º，∴∠BAE =∠NEF∵FM ⊥AD ，∴FM ⊥BC ，∴∠ENF =90º，∴∠ABE =∠ENF ∴△ABE ≌△ENF ∴AB =EN∵∠ABC =∠BNM =∠NMA =90º ∴四边形ABNM 是矩形∴AM =BN ∵EN =BE +BN ∴AB =BE +AM图①AMEF D CB AFM DCEB图②图③ABEFCDM（第25题图）（2）延长MF 交BC 的延长线于点N ，同理可得AB =EN =5 ∵∠MAB =∠ABN =∠AMN =90º，∴四边形ABNM 是矩形 ∴AM =BN =y ∵BN =BE +EN ，BE =x ∴y =x +5（0<x <5）（3）设FM 交边BC 于点N∵△AEF 是等腰直角三角形，∴∠AFE =45º ∵∠AFM =15º，∴∠EFN =30º，∴∠AEB =∠EFN =30º 在Rt △ABE 中，AB =5，∠AEB =30º，∴AE =10，BE =35 ∵△ABE ≌△ENF ∴AB =EN =5 ∴BN =535-∵∠MAB =∠ABC =∠NMA =90º ∴四边形ABNM 是矩形，∴AM =BN ∴AM =535-知识模块Ⅰ：图形运动中函数解析式图形的运动考查的是变化中的不变量，通过翻折或者旋转后的图形特点，结合全等三角 形性质及直角三角形中的勾股定理，求边或角的关系．【例4】已知：如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =5，点P 是边AD 上一点，连接CP ，将四边形ABCP 沿CP 所在直线翻折，落在四边形EFCP 的位置，点A 、B 的对应点分别为点E ，F ，边CF 与边AD 的交点为点G ．（1）当AP =2时，求PG 的值；（2）如果AP =x ，FG =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）连结BP 并延长与线段CF 交于点M ，当△PGM 是以MG 为腰的等腰三角形时，求AP 的长．【答案】（1）由题意得：四边形ABCP 与四边形EFCP 全等．∴∠BCP =∠FCP ． ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠BCP =∠DPC ，∴∠DCP =∠FCP ，∴PG =CG ， 设PG =a ，则在RT △DGC 中，CG =a ，DG =3﹣a ，CD =2，且CD 2+DG 2=CG 2， ∴22+（3﹣a ）2=a 2，解得：a =136， 即PG =136．（2）由题意得：CF =BC =5，∴CG =5﹣y ，∴PG =5﹣y ，DG =5﹣（5﹣y ）﹣x =y ﹣x ，∵在RT △DGC 中，CD 2+DG 2=CG 2，∴（y ﹣x ）2+22=（5﹣y ）2，∴y =221102x x--，∴y 关于x 的函数解析式为：y =221102x x--，（0≤x ≤3）（3）∵△PGM 是以MG 为腰的等腰三角形，∴MG =MP 或MG =PG ， 如图1中， ①当MG =MP 时，∵∠MPG =∠MGC ，∵∠APB =∠MPG ，∠MGP =∠DGC ，∴∠APB =∠DGC ， 在△APB 和△DGC 中，A D APB DGC AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△APB ≌△DGC ，∴AP =DG ，∴y =2x ，∴221102x x --=2x ，化简整理得：3x 2﹣20x +21=0，解得：x =10373±， ∵x =10373+＞3不符合题意舍去，∴x =10373-． ②当MG =PG 时，∵∠MPG =∠PMG ，∵∠MPG =∠MBC ，∴∠MBC =∠PMC ，∴CM =CB ，（即点M 与点F 重合）． 又∵∠BCP =∠MCP ，∴CP ⊥BP ，∴△ABP ，△DPC ，△BPC 均为直角三角形． ∴AP 2+AB 2+DP 2+CD 2=BC 2，即x 2+22+（5﹣x ）2+22=52， 化简整理得：x 2﹣5x +4=0，解得：x =1或4． ∵x =4＞3不符合题意舍弃，∴x =1．综上所述：当△PGM 是以MG 腰的等腰三角形时，AP =10373-或1． 【例5】如图，三角形纸片ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =10．将纸片折叠使B 落在AC 边上的点D 处，折痕与BC 、AB 分别交于点E 、F ．（1）设BE =x ，DC =y ，求y 关于x 的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围； （2）当△ADF 是等腰三角形时，求BE 的长．AF【答案】（1）在Rt ABC V 中，3010A AB ∠=︒=，， 152BC AB ∴==． 由折叠可知：5DE BE x CE x ==∴=-，． 在Rt CDE V 中，由勾股定理得：()2225x y x -+=， 5102552y x x ⎛⎫∴=-≤≤ ⎪⎝⎭；（2）①当30DF AD AFD A =∠=∠=︒时，则．过点D 作DH AF ⊥于H ，23DF AD DH AH DH ∴===，，()531223232102AF AH DH DH DH DH -∴==∴+=∴=，，，252510255CD AC DH x x ∴=-=∴=-∴=，，；②当75AD AF ADF =∠=︒时，则．6045EDF B CDE ∠=∠=∴∠=︒o Q ，，CDE ∴V 是等腰直角三角形，()251052x x x ∴=-=-，解得：；③当DF AF =时，不符合题意． 综上所述，BE 的长为5或1052-．【例6】已知△ABC 中，AB =10，BC =6，AC =8，点D 是AB 边中点，将一块直角三角板的直角顶点放在D 点旋转，直角的两边分别与边AC 、BC 交于E 、F ．（1） 取运动过程中的某一瞬间，画出△ADE 关于D 点的中心对称图形，E 的对称点为'E ，试判断BC 与B 'E 的位置关系，并说明理由；（2） 设AE =x ，BF =y ，求y 与x 的函数关系式，并写出定义域． 【答案】（1）延长ED 至'E ，联结'BE106890AB BC AC C ===∴∠=︒Q ，，，．D Q 是AB 中点，()'..AED BE D S A S ∴≅V VABCDEFE，'9090A DBE C A CBA ∴∠=∠∠=︒∴∠+∠=︒Q ，，， '90'DBE CBA BE BC ∴∠+∠=︒∴⊥，；（2）联结'EF E F 、，90'EDF ED E D ∠=︒=Q ，，FD ∴垂直平分'EE ，'EF E F ∴=． 86AE x BF y CE AC x x CF y ==∴=-=-=-Q ，，，， ()()2222286EF CE CB x y ∴=+=-+-．()'..AED BE D S A S A ABE DE DE ''≅∴∠=∠=QV V ，，， //90BE AC CBE ''∴∴∠=o ，．'AE BE x ==Q ，()()222286y x x y ∴+=-+-，2543xy -∴=． 当6y =时，解得：74x =；当0y =时，解得：254x =， 故定义域为：72544x ≤≤．【习题1】如图，AC ⊥BC ，直线AM //CB ，点P 在线段AB 上，点D 为射线AC 上一动点，联结PD ，射线PE ⊥PD 交直线AM 于点E . 已知BP =2，AC =BC =4，。