高中数学苏教版必修4教案：第一章三角函数第14课时1.3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象(2)
苏教版高中数学教材必修4第1章三角函数
苏教版高中数学教材必修4 三角函数·平面向量
金陵中学金凤义
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(五)课堂练习 求下列三角函数的周期： (1) y＝sin(x＋3)； (2) y＝cos2x； x (3) y＝3sin(2＋5)．
a b | a || b | cos
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
（ 1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹 角决定；
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2.4向量的数量积
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一、问题情景
一个物体在力F 的作用下产生的位移 s，且F与s的夹角为θ ,那么力F 所做的功应 当怎样计算？ F θ s
θ为钝角时， | b | cosθ＜0
θ为直角时， | b | cosθ=0
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数学理论
平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
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（四）数学应用 例1 课本P26
高中数学 第一章 三角函数 1.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)学案 苏教版必修4-
1.3.3 函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)[学习目标] 1.会用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.2.能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象，确定其解析式．[知识链接]由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象？ 答 y ＝sin x 的图象变换成y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象一般有两个途径： 途径一：先相位变换，再周期变换先将y ＝sin x 的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．途径二：先周期变换，再相位变换先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|ω个单位长度，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．[预习导引]函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的性质如下：定义域 R 值域 [－A ，A ]周期性T ＝2πω奇偶性φ＝k π (k ∈Z )时是奇函数；φ＝π2＋k π (k ∈Z )时是偶函数；当φ≠k π2(k ∈Z )时是非奇非偶函数单调性单调增区间可由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )得到，单调减区间可由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )得到要点一 “五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图例1 用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的简图，并指出该函数的单调区间． 解 (1)列表如下：2x ＋π30 π2 π 3π2 2π x －π6π12 π3 7π12 5π6 y2－2(2)描点、连线，如图由图象知，在一个周期内，函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减，函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－512π，π12上单调递增．又因为函数的周期为π，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )．规律方法 用“五点法”画函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(x ∈R )的简图，先作变量代换，令X ＝ωx ＋φ，再用方程思想由X 取0，π2，π，32π，2π来确定对应的x 值，最后根据x ，y 的值描点、连线画出函数的图象．跟踪演练1 作出函数y ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π3在长度为一个周期的闭区间上的图象．解 列表：X ＝13x －π3π2 π3π2 2πxπ 5π24π 11π27πy ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π332－32描点画图(如图所示)：要点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分如图所示，求此函数的解析式．解 方法一 (逐一定参法)由图象知A ＝3，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴ω＝2πT＝2，∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0在函数图象上，且为第一个特值点， ∴0＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6×2＋φ.∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.方法二 (待定系数法)由图象知A ＝3.∵图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0，∴⎩⎪⎨⎪⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.方法三 (图象变换法)由A ＝3，T ＝π，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.规律方法 给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法：(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ. (2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．跟踪演练2 如图，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图象，根据图中条件，写出该函数解析式．解 由图象知A ＝5.由T 2＝5π2－π＝3π2，得T ＝3π， ∴ω＝2πT ＝23.∴y ＝5sin(23x ＋φ)．下面用两种方法求φ： 方法一 (单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上， ∴2π3＋φ∈[π2＋2k π，32π＋2k π](k ∈Z )．由sin(2π3＋φ)＝0，得2π3＋φ＝2k π＋π(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．∵|φ|<π，∴φ＝π3.方法二 (最值点法)将最高点坐标(π4，5)代入y ＝5sin(23x ＋φ)，得5sin(π6＋φ)＝5，∴π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )． ∵|φ|<π，∴φ＝π3.所以该函数式为y ＝5sin(23x ＋π3).1．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为偶函数，则φ满足的条件是________． 答案 φ＝k π＋π2(k ∈Z )2．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则ω＝________，φ＝________.答案π4 π4解析 由所给图象可知，T4＝2，∴T ＝8.又∵T ＝2πω，∴ω＝π4.∵图象在x ＝1处取得最高点，∴π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝2k π＋π4(k ∈Z )，∵0≤φ<2π，，∴φ＝π4.3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象说法正确的有________．①关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；②关于直线x ＝π4对称；③关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称； ④关于直线x ＝π12对称．答案 ①④4．作出y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4在一个周期上的图象．解 (1)列表：12x －π40 π2 π 32π 2π xπ2 32π 52π 72π 92π 3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π43－3描点、连线，如图所示：1.由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2π|ω|，所以往往通过求周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx ＋φ＝π2＋2k π (k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π (k ∈Z )时取得最小值．一、基础达标1．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ(|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为T ＝________，φ＝________. 答案 6π6解析 T ＝2πω＝2ππ3＝6，代入(0,1)点得sin φ＝12.∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6.2．函数图象的一部分如下图所示，则符合题意的解析式是__________________．①y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6；②y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6；③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3；④y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 答案 ④解析 由图知T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT ＝2. 又x ＝π12时，y ＝1，经验证只有④符合．3．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω＝________.答案 4解析 设函数的最小正周期为T ， 由函数图象可知T 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π4－x 0＝π4，所以T ＝π2.又因为T ＝2πω，可解得ω＝4.4．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象可能是________．答案 ①②③解析 当a ＝0时f (x )＝1，③符合，当0<|a |<1时T >2π，且最小值为正数，①符合， 当|a |>1时T <2π，②符合．5．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是__________． 答案 x ＝－π6解析 令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )． 由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6.6．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝________. 答案5π6解析 函数y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π2个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3向左平移π2个单位得到函数y ＝cos(2x ＋φ)，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3向左平移π2个单位，得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π＋π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，即φ＝5π6.7．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫38π，0，若φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象． 解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫38π－π8＝π，ω＝2πT＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝π4，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(2)列出x 、y 的对应值表：x－π8 π8 38π 58π 78π 2x ＋π40 π2 π 32π 2π y2－2描点、连线，如图所示：二、能力提升8．如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，那么a ＝________.答案 －1解析 方法一 ∵函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于x ＝－π8对称，设f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝f (0)， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝sin 0＋a cos 0. ∴a ＝－1.方法二 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋x ，令x ＝π8，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝f (0)，即a ＝－1.9．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．答案 2，－π3解析 由图象知34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，解得T ＝π. 由T ＝2πω＝π，解得ω＝2， 得函数表达式为f (x )＝2sin(2x ＋φ)又因为当x ＝5π12时取得最大值2， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝2， 可得5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z ) 因为－π2＜φ＜π2，所以取k ＝0，得φ＝－π3. 10．关于f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6； ③y ＝f (x )图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )图象关于x ＝－π6对称． 其中正确命题的序号为________．答案 ②③解析 对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π (k ∈Z )． ∴x ＝k 2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3利用公式得： f (x )＝4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∴②对；对于③，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，∴x ＝k 2π－π6，k ∈Z . ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心，∴③对； 对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z .∴x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，∴④错． 11．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的最小值为－2，其图象相邻的最高点与最低点横坐标差是3π，又图象过点(0,1)，求函数的解析式．解 由于最小值为－2，所以A ＝2.又相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π.故T ＝2×3π＝6π，从而ω＝2πT ＝2π6π＝13， y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋φ. 又图象过点(0,1)，所以sin φ＝12， 因为|φ|<π2，所以φ＝π6. 故所求解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π6. 12．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象过点P (π12，0)，图象与P 点最近的一个最高点坐标为(π3，5)． (1)求函数解析式；(2)指出函数的增区间；(3)求使y ≤0的x 的取值范围．解 (1)∵图象最高点坐标为(π3，5)，∴A ＝5.∵T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π. ∴ω＝2πT＝2. ∴y ＝5sin(2x ＋φ)．代入点(π3，5)， 得sin(23π＋φ)＝1. ∴23π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )． 由|φ|<π2，得φ＝－π6， ∴y ＝5sin(2x －π6)． (2)∵函数的增区间满足2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴2k π－π3≤2x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )．∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )． ∴增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )． (3)∵5sin(2x －π6)≤0， ∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )， ∴k π－512π≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )． 三、探究与创新13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值． 解 ∵f (x )在R 上是偶函数，∴当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值．即sin φ＝±1，得φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又0≤φ≤π，∴φ＝π2. 由图象关于M ⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0对称可知， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4ω＋π2＝0，解得ω＝43k －23，k ∈Z . 又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数， ∴T ≥π，即2πω≥π，∴ω≤2，又ω>0，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2. 综上，φ＝π2，ω＝23或2.。
江苏省扬中市第二高级中学高中数学苏教版必修4《1.3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象》教学设计6
课题：1.3.3函数)sin(ϕ+ω=x A y 的图象教材：苏教版高中数学 必修4一、教学目标：1.结合具体实例，了解)sin(ϕω+=x A y 的实际意义，会用“五点法”画出函数)sin(ϕω+=x A y 的简图；2. 观察并研究参数ϕω,,A 对函数图象变化的影响，能由x y sin =的图象通过变换得到)sin(ϕω+=x A y 的图象，并在这个过程中认识到x y sin =与)sin(ϕω+=x A y 的联系；3. 在研究问题的过程中渗透“由简单到复杂、由特殊到一般”的化归思想，培养学生观察、分析、归纳等数学能力及逻辑思维能力；4.通过学生对问题的自主探究，培养学生独立思考能力；通过小组交流、合作学习，培养学生的合作意识,渗透情感态度价值观的教育.二、教学重点、难点：重点：函数)sin(ϕω+=x A y 的图象及参数ϕω,,A 对函数图象变化的影响；难点：函数)sin(ϕω+=x A y 的图象与x y sin =图象的关系.三、教学方法与手段：1．教学方法：开放式探究、启发式引导、互动式讨论.2．教学手段：运用几何画板、多媒体等电教手段.3．理论根据：著名教育心理学家布鲁纳指出：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动”.思维永远是从问题开始的，因此，本节课采用了逐步设疑、诱导、解疑，引导学生去发现、解决问题；根据建构主义学习理论“学习不是由教师直接传递给学生，而是由学生自己主动建构知识的过程，这种建构无法由他人来替代”，因此，本节课强调落实学生学习的主体地位，通过学生有意义的主动建构、合作学习等方式，通过数形结合，借助图象观察，发现、总结一般规律，使学生学习始终处于积极的思维状态.四、教学过程：（一）创设情境，导入新课 1.引入：（播放flash 动画----弹簧振子作简谐运动）问：弹簧振子作简谐运动时，位移s 与时间t 所描绘的图象，它与我们学过的什么函数图象类似？（生答）实际上，物体作简谐运动时，位移s 与时间t 的关系式都可以写成)sin(ϕ+ω=t A s 的形式，其中ϕω,,A 为常数，0,0>ω>A . 2.三个量的物理意义：在)sin(ϕ+ω=t A s （其中0,0>>ωA ）中，A 是物体离开平衡位置的最大距离，称振动的振幅；往复振动一次所需的时间ωπ=2T 成为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数πω==21T f 称为振动的频率；ϕ+ωt 称为相位，0=t 时的相位ϕ称为初相. 【检测1】 若函数)32sin(3π-=x y 表示一个振动量， 则这个振动的振幅为___ ,周期为___ , 频率为___ ,相位为___ ,初相为___.形如)sin(ϕ+ω=x A y 的函数，在三角函数问题中占有很重要的地位，对于它的函数图象，我们已经会用五点法作出，下面我们重点研究函数)sin(ϕ+ω=x A y 的图象与x y sin =图象的关系(板书课题）.（二） 合作探究，探求规律1.利用“化繁为简”的思维策略引导学生先分别研究只有一个参数的函数情形.2.探究1：函数)sin(ϕ+=x y （0≠ϕ）的图象与函数x y sin =的图象的关系通过作图，借助“特殊到一般”的思想方法发现规律；学生齐读课本35页中的“变换规律”，强化语言的规范表述.【检测2】(1)将函数)1sin(-=x y 的图象 _______________，可以得到x y sin =的图象.(2)将函数)(x f y =的图象 ___________________，可以得到)1(-=x f y 的图象.通过练习，让学生理解三角函数的平移变换实际上是一般函数平移变换的特例，做到知识的同化与顺应.3.探究2：函数x A y sin =（0>A ）的图象与函数x y sin =的图象的关系通过作图，学生在表述上述特殊图象之间的变换规律的基础上，进而表述一般规律.（强化规范语言的表述）4.探究3：函数x y ω=sin （0>ω）的图象与函数x y sin =的图象的关系通过作图，学生在表述上述特殊图象之间的变换规律的基础上，进而表述一般规律.（强化规范语言的表述）5.阶段性小结 通过几何画板课件演示，重温三种变换.（三） 数形结合，质疑拓展【问题1】 我们已经由x y sin =的图象，通过图象变换可以得到x y 2sin =的图象，那么想得到函数)32sin(π-=x y 的图象，又该作怎样的变换？自主回答（发现问题）——合作探究（辨析问题）——纠错订正（解决问题）【问题2】由函数x y sin =的图象，还可以通过哪些变换得到)32sin(π-=x y ？自主回答（发现问题）——合作探究（辨析问题）——纠错订正（解决问题）阶段性小结：函数x y ω=sin 和)sin(ϕ+=x y 的图象分别变换到函数)sin(ϕ+ω=x y 图象的方法.【检测3】不用计算机和图形计算器，画出函数)32sin(3π-=x y 的图象.（学生用规范语言表述并书写完整过程）（四）课堂小结（五）作业1.阅读课本相关内容；2.课后习题3,6,7.。
高中数学苏教版必修4第1章《1.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图象》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学苏教版必修4第1章《1.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图象》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案1教学目标(1)知道参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响,会由正弦曲线变换得到y=Asin (ωx+φ)的图象;(2)进一步提高研究数学知识的能力,感受数学与现实的联系,以及数学探究的魅力。
2学情分析本节课的教学对象是高一学生,他们精力旺盛,思维活跃,学习数学的积极性较高.他们在本节内容的学习之前,学生已经积累了一定的函数研究经验,掌握了研究函数的套路方法,并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼,这些均为本课的探究学习提供了基础。
学生已经学习了函数的概念和一般性质是学习三角函数的基础,学生在指数函数学习过程中掌握了形如y=2x+1、y=2x−1的图象与y=2x图象的关系,具备了学习本节内容所需的知识储备。
但是,函数y=Asin(ωx+φ)中有三个参数A,ω,φ学生研究y=Asin(ωx+φ)的图象问题可能会存在一定的困难,在教学中,应通过教师的指导,教会学生学会独立思考、大胆探索和灵活运用联想、类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。
3重点难点本课的重点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象以及参数A,ω,φ对函数变化的影响。
难点:函数y=sinωx的图象与函数y=sinx的图象关系,及y=sin(ωx+φ)图象与函数y=sin ωx图象之间的关系。
4教学过程4.1第一学时4.1.1教学目标(1)知道参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响,会由正弦曲线变换得到y=Asin (ωx+φ)的图象;(2)进一步提高研究数学知识的能力,感受数学与现实的联系,以及数学探究的魅力。
4.1.2学时重点。
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件苏教
中的第三点和第五点)，有
π3ω＋φ＝π，
ω＝2.
56πω＋φ＝2π，解得φ＝π3.
∴y＝3sin(2x＋π3)．
法三：(图象变换法)
由 T＝π，点(－π6，0)，A＝3 可知图象由 y＝3sin 2x 向左
平移π6个单位长度而得，所以有 y＝3sin 2(x＋π6)，
即 y＝3sin(2x＋π3)，且 ω＝2，φ＝π3.
2
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2．(2014·高考江苏卷)已知函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋ φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则 φ 的
π 值是____6____． 解析：利用函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)的交点横 坐标，列方程求解．
由题意，得 sin2×π3＋φ＝cos π3,因为 0≤φ<π，所以 φ＝π6.
2.已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)，ω>0，且|φ|<π2的图象的一段 如图所示，求此函数的解析式．
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解：由图易知 A＝ 2，T2＝|10－2|＝8，所以 T＝16. 又因为 T＝|2ωπ|，ω>0，所以 ω＝π8. 因为点(2， 2)在图象上，所以 y＝ 2sin(π8×2＋φ)＝ 2， 所以 sin(π4＋φ)＝1，所以π4＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)， 又|φ|<π2，所以 φ＝π4，所以 y＝ 2sin(π8x＋π4)．
第十五页，共42页。
法二：①把 y＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来 的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin12x 的图象； ②把 y＝sin12x 图象上所有的点向右平移π2个单位长度，得到 y＝sin12(x－π2)＝sin(12x－π4)的图象； ③把 y＝sin(12x－π4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变)，就得到 y＝3sin(12x－π4)的图象．
高中数学苏教版必修4课件第一章 三角函数 1.3.3.2精选ppt课件
由图象关于 M34π，0对称可知， sin34πω＋π2＝0，则34πω＋π2＝kπ，k∈Z， 解得 ω＝43k－23，k∈Z. 又 f(x)在0，2π上是单调函数， ∴T≥π，即2ωπ≥π，∴ω≤2，又 ω＞0， ∴当 k＝1 时，ω＝23；当 k＝2 时，ω＝2.
【提示】 均相差半个周期．
已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是 R 上的偶函数，其图象 关于点 M34π，0对称，且在区间0，π2上是单调函数，求 φ 和 ω 的值．
【精彩点拨】 由 f(x)为偶函数求 φ，由对称中心及单调性求 ω. 【自主解答】 ∵f(x)在 R 上是偶函数， ∴当 x＝0 时，f(x)取得最大值或最小值． 即 sin φ＝±1，得 φ＝kπ＋2π，k∈Z， 又 0≤φ≤π，∴φ＝π2.
1.3 三角函数的图象和性质
1.3.3 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
学 业
分
第 2 课时
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
层 测
评
1．能由三角函数的图象求出解析式．(重点，易错点) 2．掌握 y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质．(重点)
[基础·初探] 教材整理 y＝Asin(ωx＋φ)的性质 阅读教材 P37～P38 的有关内容，完成下列问题． 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质如下：
且 2×71π2＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，φ＝kπ－6π(k∈Z)． 又|φ|＜2π，∴φ＝－π6. 【答案】 2 －π6
3．已知 ω＞0,0＜φ＜π，直线 x＝4π和 x＝54π是函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两 条相邻的对称轴，则 φ＝________. 【导学号：06460034】
【答案】 ②③
函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质教学设计(丁菁 南京师范大学附属中学)
NSFZ
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(五）思考巩固，深化铺垫
探究： 如何由y＝sin2x的图象得到
y＝sin(2x＋1)的图象呢？
NSFZ
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
探究
如何由y＝sin2x的图象得 到 y＝sin(2x＋1)的图象呢？
探究ω不为1时的 平移变换.
NSFZ
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
从具体到抽象;
从感性到理性.
NSFZ
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(四）类比方法，自主探究 三）合作探究
问题3：
(1) 如何由y＝sinx的图象得到y＝Asinx(A>0) 的图象？
(2) 如何由y＝sinx的图象得到y＝sinωx(ω>0) 的图象？
NSFZ
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
思考巩固，深化铺垫
NSFZ
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
探究
如何由y＝sin2x的图象得 到y＝sin(2x＋1)的图象呢？
仅作为平移变换的 巩固；
深化对变换本质的 把握，为下节课的 研究铺垫.
NSFZ
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
整理 小结
规划 任务
先对A 、ω 、 φ两两整合， 最终到达 研究目的.
1 2
研制策略 优化方案
3 4
类比方法 自主探究
—研究A、ω 对图象的影响
5 6
整理小结 规划任务
NSFZ
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一）创来自情境，提出问题NSFZ
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
创设情境，提出问题
NSFZ
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 1.3.4 三角函数的应用》1
浅谈高中数学建模核心素养的培养-----以“三角函数的应用”教学为例数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。
——恩格斯。
21世纪中叶以来，数学自身发生了巨大的变化。
一方面，数学因其日益公理化、形式化而忽视与现实生活的密切联系。
另一方面，因数学应用的发展，数学几乎渗透到每一个学科领域及人们生活的方方面面。
割断数学与现实生活的联系的教学内容、教学方式，不仅会极大地降低学生数学学习的热情与动力，而且会造成学生对数学学科的错误理解，更无法让学生感受到数学在日常生活中的作用。
因此，必须沟通生活中的数学与教科书上的数学之间的联系，使数学与生活融为一体。
数学建模就很好的搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。
《普通高中数学课程标准2021年版》指出：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法建构模型解决问题的过程。
数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。
数学建模搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。
数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。
从核心素养的角度认识数学建模，这中间有三层意思：一是对现实问题的数学抽象，二是用数学语言表达问题，三是用数学方法构建模型解决问题。
通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神。
数学建模的学业质量被划分成递进的三个水平，一了解熟悉的数学模型的实际背景及其数学描述，了解数学模型中的参数、结论的实际含义。
知道数学建模的过程包括：提出问题、建立模型、求解模型、检验结果、完善模型。
能够在熟悉的实际情境中，模仿学过的数学建模过程解决问题。
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第十四课时 §1.3.3 函数
)sin(ϕω+=x A y 的图象（2）
【教学目标】 一、知识与技能：
(1) 会用“五点法”画y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象； (2) 会用图象变换的方法画y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象； (3) 会求一些函数的振幅、周期、最值等。
二、过程与方法
在研究函数y ＝Asin (ωx ＋ϕ) 的图象的过程中进一步体会化归的数学思想，自觉运用数形结合思想解决问题。
三、情感态度价值观：会用联系的观点看问题，了解各个量之间内在的联系。
教学重点难点：函数图象的伸缩、平移变换。
【教学过程】 一．复习回顾
1．x A y sin =型函数的图象-----振幅变换: 2．x y ωsin =型函数的图象-----周期变换 3．)sin(ϕ+=x y 型函数的图象-----相位变换 二．新课讲解
问题： 函数y ＝Asin (ωx ＋ϕ)（A >0,ω>0）的图象可以由正弦曲线经过哪些图象变换而得到？
引例 画出函数y ＝3sin(2x ＋3
π
)，x ∈R 的简图 解：(五点法)由T ＝2
2π
，得T ＝π 列表：
描点画图：
这种曲线也可由图象变换得到： 方法一：
即：y ＝sin x y ＝sin(x ＋3
π)
y ＝sin(2x ＋
3π
y ＝3sin(2x ＋3
π
)
一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0)的图象，可以看作用下面的
方法得到：
先把正弦曲线上所有的点向左(当_______时)或向右(当______时平行移动｜ϕ｜个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当______时)或伸长(当________时)到原来的
ω
1
倍(纵坐标不
变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当________时)或缩短(当________时)到原来的A 倍(横坐标不变)
问题：以上步骤能否变换次序？
方法二：
____移 个单位
纵坐标不变 横坐标变为 倍
横坐标不变
另外，注意一些物理量的概念:
A ：称为振幅；T ＝
ωπ2：称为周期；f ＝T
1
：称为频率； ωx ＋ϕ：称为相位x ＝0时的相位ϕ称为初相
三、例题分析：
例1、已知函数sin(A y =ωx )ϕ+（πϕω2,0,0<<>>A ）的图象一个最高点为A （2，3），由点A 到相邻最低点的图象交x 轴于（6， 0），求此函数的解析式。
例2、已知如图是函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)（其中A>0,ω>0,｜ϕ｜＜2
π
）的图象，求函数解析式。
例3、已知函数)3
2sin(2π
+
=x y
求（1）振幅、周期、相位、初相
（2）简要说明是由y ＝sin x 通过那些步骤变化得来； （3）周期、单调区间；
（4）对称轴方程，以及在()ππ,-上有几个对称中心；
三、课堂小结：
函数y ＝A sin (ωx ＋ϕ)（A >0,ω>0）的图象可以由y ＝sin x 经过哪些图象变换而得到？ 平移法过程：
上
两种方法殊途同归
（1）y=sinx 相位变换 y=sin(x+φ) 周期变换 y=sin(ωx+φ)振幅变换 )sin(ϕ+ω=x A y
（2）y=sinx 周期变换 y=sin ωx 相位变换 y=sin(ωx+φ)振幅变换 )sin(ϕ+ω=x A y。