中考总复习数学竞赛辅导讲义及习题解答 第6讲 转化—可化为一元二次方程的方程
九年级数学中考复习课件：专题一元二次方程
知识 结构 一般情势 ax2+bx+c=0（a≠0）
一 元 二 次 方
解法
直接开平方法 (x a)2 bb 0
配方法 公式法
x2
bx
b 2
2
x
b 2 2
cc
0
x b b2 4ac 0
2a
因式分解法 (x a)(x b) 0
程
根的判别式： b2 4ac
（2）3x²- y -1=0
（4）x
+
1 x
=0
例2：已知方程 2x m 1 2x 3 是关于x的一
元二次方程，则m=__________
【变式训练】
关于x的方程(a 1) xa2 2a1 x 5 0
是一元二次方程，则a=__________
• 二.一元二次方程的解法 • 1．直接开平方法 2. 配方法
根与系数的关系：x1
x2
b a
,
x1
x2
c a
应用 实际应用
思想方法 转化思想；整体思想;配方法、换元法
判断是否是一元二次方程的条件： 一元、二次、整式方程
ax2+bx+c=0：是一元二次方程的条件： a≠0
例：1、判断下列方程是不是一元二次方程
（1）4x- 1 x²+
2
3 =0
（3）ax²+ｂx+c=0
关键：方程的两边同时加上一次项系数一半的平方 注意：如果二次项系数不是1的要先把二次项系数转化为1
• 二.一元二次方程的解法 • 1．直接开平方法
2. 配方法 3. 公式法
基本步骤：
x= -b b2 4ac（b2 4ac 0） 2a
2021年中考数学复习第6讲 一元二次方程及其应用(精讲练习)
第6讲一元二次方程及其应用一、选择题1．(2020·临沂)一元二次方程x2－4x－8＝0的解是(B)A．x1＝－2＋2 3 ，x2＝－2－2 3B．x1＝2＋2 3 ，x2＝2－2 3C．x1＝2＋2 2 ，x2＝2－2 2D．x1＝2 3 ，x2＝－2 32．(2020·泰安)将一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋a)2＝b(a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是(A)A．－4，21 B．－4，11C．4，21 D．－8，693．(2020·河南)定义运算：m☆n＝mn2－mn－1.例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7.则方程1☆x＝0的根的情况为(A)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根4．(2020·铜仁)已知m，n，4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋2＝0的两个根，则k的值等于(B)A．7 B．7或6C．6或－7 D．65．(2020·鄂州)目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G 用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到3.92万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为(C)A.20% B．30% C．40% D．50%6．(2020·随州)将关于x的一元二次方程x2－px＋q＝0变形为x2＝px－q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x·x2＝x(px－q)＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2－x－1＝0，且x＞0，则x4－2x3＋3x的值为(C)A．1－ 5 B．3－ 5C．1＋ 5 D．3＋ 5二、填空题7．(2020·江西)若关于x的一元二次方程x2－kx－2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为__－2__．8．(2020·荆门)已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋3m2＝0(m＞0)的一个根比另一个根大2，则m的值为__1__．9．(2020·邵阳)中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为__x(x＋12)＝864__．10．(2020·山西)如图是一张长12 cm ，宽10 cm 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm 2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为__2__ cm .三、解答题11．(2020·无锡)解方程：x 2＋x －1＝0.解：x 1＝－1＋52 ，x 2＝－1－52.12．关于x 的方程x 2－2x ＋2m －1＝0有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．解：∵关于x 的方程x 2－2x ＋2m －1＝0有实数根，∴b 2－4ac ＝4－4(2m －1)≥0，解得：m ≤1，∵m 为正整数，∴m ＝1，∴x 2－2x ＋1＝0，则(x －1)2＝0，解得：x 1＝x 2＝1.13．(2020·上海)去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%.(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8，9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8，9月份营业额的月增长率．解：(1)450＋450×12%＝504(万元).答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．(2)设该商店去年8，9月份营业额的月增长率为x ，依题意，得：350(1＋x)2＝504， 解得：x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去).答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%.14．(丽水一模)新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形．(1)已知矩形ABCD 的长12、宽2，矩形EFGH 的长4、宽3，试说明矩形EFGH 是矩形ABCD 的“减半”矩形．(2)矩形的长和宽分别为2，1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并请说明理由．解：(1)矩形EFGH 的周长为14，面积为12，矩形ABCD 的周长为28，面积为24，所以矩形EFGH 是矩形ABCD 的“减半”矩形；(2)不存在．理由如下：假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x ，y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝32，xy ＝1，可得x 2－32 x ＋1＝0，Δ＝b 2－4ac ＝94 －4＝－74 ＜0，所以不存在．15．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段AB 于点D ；以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连结CD.(1)若∠A ＝28°，求∠ACD 的度数．(2)设BC ＝a ，AC ＝b.①线段AD 的长是方程x 2＋2ax －b 2＝0的一个根吗？说明理由．②若AD ＝EC ，求a b的值．解：(1)∵∠ACB ＝90°，∠A ＝28°，∴∠B ＝62°，∵BD ＝BC ，∴∠BCD ＝∠BDC ＝59°，∴∠ACD ＝90°－∠BCD ＝31°；(2)①由勾股定理得，AB ＝AC 2＋BC 2 ＝a 2＋b 2 ，∴AD ＝a 2＋b 2 －a ，解方程x 2＋2ax －b 2＝0得，x ＝－2a±4a 2＋4b 22＝±a 2＋b 2 －a ，∴线段AD 的长是方程x 2＋2ax －b 2＝0的一个根；②∵AD ＝AE ，∴AE ＝EC ＝b 2 ，由勾股定理得，a 2＋b 2＝(12 b ＋a)2，整理得，a b ＝34.。
2024年中考广东省数学专用梳理一轮复习第6课 一元二次方程的解法及应用课件
(A)
3. (1)已知实数x1，x2是方程x2＋x－1＝0的两根，则x1x2 ＝___－__1____；
(2)(2023·上海)已知关于x的一元二次方程ax2＋6x＋1＝ 0没有实数根，那么a的取值范围是___a_＞__9___.
4. 解方程：2x2－5x＋3＝0.
解：因式分解，得(2x－3)(x－1)＝0，
1 4
且m≠0.
(2)已知关于x的方程[x，2x－1]*[mx＋1，m]＝0有两个 实数根，求m的取值范围.
解：依题意，得x(mx＋1)－m(2x－1)＝0，
整理，得mx2＋(1－2m)x＋m＝0，
∵关于x的方程[x，2x－1]*[mx＋1，m]＝0有两个实数根，
∴Δ＝(1－2m)2－4m·m≥0且m≠0，
解得m≤
根的倒数和为1，则m的值为____2____.
14. (2023·遂宁)我们规定：对于任意实数a，b，c，d有[a， b]*[c，d]＝ac－bd，其中等式右边是通常的乘法和减 法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5－2×1＝13. (1)求[－4，3]*[2，－6]的值； 解：[－4，3]*[2，－6]＝－4×2－3×(－6)＝10；
9. (2023·黑龙江)如图，在长为100 m，宽为50 m的矩形 空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部 种上花卉，且花圃的面积是 3 600 m2，求小路的宽是 __5__m____.
10. (2023·武威)关于x的一元二次方程x2＋2x＋4c＝0有两 个不相等的实数根，则c＝__－__2_(答__案__不__唯__一__)__(写出一 个满足条件的值).
8. (2023·荆州)已知关于x的一元二次方程kx2－(2k＋4)x＋ k－6＝0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围；
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第6讲转化—可化为一元二次方程的方程
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第6讲转化—可化为一元二次方程的方程一元二次方程是初中数学中常见的一种形式，解决一些实际问题时常常会遇到需要将问题转化为一元二次方程的情况。
本讲将介绍如何将一些方程转化为一元二次方程进行求解。
一、将线性方程转化为一元二次方程1.将方程2x+5=0转化为一元二次方程。
解答：通过观察发现方程左边的2x恰好是x的一次方，所以可以将整个方程看作是一元二次方程的标准形式。
设转化后的方程为 ax^2 + bx + c = 0，那么将 2x + 5 = 0 转化为一元二次方程的形式就是将方程两边同时乘以一个合适的倍数得到的。
我们可以将方程两边同时乘以2，得到4x+10=0，这就是将方程2x+5=0转化为一元二次方程的结果。
2.将方程3(x-1)-2(x+2)=0转化为一元二次方程。
解答：首先将方程进行化简，得到3x-3-2x-4=0。
接下来，我们将该方程转化为一元二次方程。
将方程两边同时合并同类项，得到x-7=0。
再将方程两边同时乘以一个合适的倍数，得到2(x-7)=0。
这就是将方程3(x-1)-2(x+2)=0转化为一元二次方程的结果。
二、将含有多个未知量的方程转化为一元二次方程1.将x+y=6转化为一元二次方程。
解答：在这个例子中，我们需要将两个未知量x和y合并成一个只含有一个未知量的方程。
我们可以通过将x+y的形式进行平方处理来得到一个一元二次方程。
先将原方程两边同时平方，得到 (x + y)^2 = 6^2、这里需要使用平方公式：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2将 (x + y)^2 展开，得到 x^2 + 2xy + y^2 = 36、这就是将方程 x + y = 6 转化为一元二次方程的结果。
2. 将 x^2 + xy + y^2 = 4 转化为一元二次方程。
解答：在这个例子中，我们需要将含有多个未知量的方程转化为只含有一个未知量的方程。
事实上，该方程就是一个一元二次方程了，但我们可以通过配方的方式将其转化为另一种形式。
新人教版九年级数学导学案课件：第6课时解一元二次方程习题课
解：x1=2，x2=4.
C组
9. 三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-6x+8=0
的解，则这个三角形的周长是
（ A）
A. 10 B. 8或10
C. 8
D. 8和10
10. 若代数式4x2-2x-5与-3x2-3的值互为相反数，求x
的值. 解:由题意，得4x2-2x-5+（-3x2-3）=0.
试利用十字相乘法解下列方程：
（1）x2+4x+3=0；
（2）x2+5x-6=0.
解:x1=-1，x2=-3.
解:x1=-6，x2=1.
变式训练
2. 用十字相乘法解下列方程：
（1）x2-4x-12=0；
（2）x2+5x+6=0；
解:x1=6 ，x2=-2.
解：x1=-2，x2=-3.
（3）x2-x-90=0；
（1）x2-2=6；
（2）x2-6x=2；
解：x1=2 ，x2=-2 . 解：x1=3+ ，x2=3- .
（3）2x2-4x-3=0；
解：x1=
，x2=
.
（4）3x（x-2）=x-2. 解：x1= 2 ，x2= .
B组 7. 解方程：2x2+1=2 x.
解：x1=
，x2=
.
8. 解方程：（2x-1）2=x（3x+2）-7.
（4）x2+3x-18=0.
解:x1=10 ，x2=-9.
解：x1=-6，x2=3.
分层训练
A组
3. 方程x2-1=0的根为
（
A. x1=1，x2=-1 C. x=1
B. x=0 D. x=-1
初中数学竞赛专题选讲 一元二次方程的根(含答案)
初中数学竞赛专题选讲(初三.1)一元二次方程的根一 、内容提要1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数.3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数.特殊的例子有：C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1.二、例题例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.证明 （用反证法）设 两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即⎪⎩⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0，即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数)有一个公共根. 求a, b 的值.解：用因式分解法求得：方程①的两个根是 a 和12-+a a ； 方程②两根是b 和12-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b.∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－； 或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－. 解得⎩⎨⎧=42b a ＝； 或⎩⎨⎧==24b a . 又解： 设公共根为x 0那么⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++-- ②（ ①0)2()2()10)2()2()1(22202220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项： ①×（b －1）－②×（a －1） 得［－（a 2+2）(b －1)+(b 2+2)(a －1)］x 0+(a 2+2a)(b －1)－(b 2+2b)(a －1)=0.整理得 （a －b ）(ab －a －b －2)(x 0－1)=0.∵a ≠b∴x 0＝1； 或 (ab －a －b －2)＝0.当x 0＝1时，由方程①得 a=1,∴a －1=0，∴方程①不是二次方程.∴x 0不是公共根.当(ab －a －b －2)＝0时， 得(a －1)(b －1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n 的值.解：方程①两根差是21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-同理方程②两根差是21y y -＝m n 42- 依题意，得n m 42-＝m n 42-.两边平方得：m 2－4n=n 2－4m.∴（m －n ）(m+n+4)=0∵m ≠n ，∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根n m （m, n 是互质的整数）. 那么a(n m )2+b(nm )+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论，∵m, n 互质，∴不可能同为偶数.① 当m, n 同为奇数时，则an 2+bmn+cm 2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；② 当m 为奇数, n 为偶数时，an 2+bmn+cm 2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③ 当m 为偶数, n 为奇数时，an 2+bmn+cm 2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.综上所述不论m, n 取什么整数，方程a(n m )2+b(nm )+c=0都不成立. 即 假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a, b, c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5. 求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1).证明：设矩形A 的长为a, 宽为b ，矩形B 的长为c, 宽为d.根据题意，得 k ab cdb a dc ==++.∴c+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程z 2－(a+b)kz+abk=0 的两个根.△ ＝［－（a+b ）k ］2－4abk＝（a 2+2ab+b 2）k 2－4abk=k ［(a 2+2ab+b 2)k －4ab ］∵k ≥1，a 2+b 2≥2ab,∴a 2+2ab+b 2≥4ab ，(a 2+2ab+b 2)k ≥4ab.∴△≥0.∴一定有c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k(k ≥1).例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.解：①用因式分解法求得两个根是：x 1=112+k ， x 2=16－k .由x 1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由x 2是整数，得k －1=±1, ±2, ±3, ±6.它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解.②根据韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+k k k k x x k k k k x x 222221221 ∵x 1, x 2, k 都是整数，∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.） 把k=1,－1, 2, －2， 分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合.答：当k 取2和－2时，方程②有两个整数解.三、练习1. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿＿＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0. 那么yx 11+＝＿＿＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.） 5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿.7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（ ）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？9. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ ）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－110. 已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.12. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围.13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0的两个实数根.求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是 （ ）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤1 18. 方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0 (k 是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是( )（A ）3<k<4 (B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1 （D ）无解参考答案1. ①0， ②1， ③－12. 03. 1（舍去－2）4. 52 5. 9q=2p 2 6. 一正一负 7. D 8. a=1,b=－0.5 9. C10. a+b+1=0, a ≠b 11. m=－1，b=2 12.⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤=.1,241,1b a b a ： 13. 左边＝a(x 13+x 23)+b(x 12+x 22)+c(x 1+x 2)=……14. 用反证法，设x 1<0,x 2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1,m>1） 15. 由韦达定理,把左边化为 p, q16. x 2±3x+2=0 17. C 18. C。
一元二次方程解法讲义
专 题一元二次方程的解法教学目标1. 理解一元二次方程及其有关概念2. 会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解重点、难点1. 一元二次方程的判定，求根公式2. 一元二次方程的解法与应用考点及考试要求1. 一元二次方程的定义,一般形式，配方式2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用教学内容考点一、概念(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足（a≠0）(4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为。
考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第6讲转化—可化为一元二次方程的方程
第六讲转化—可化为一元二次方程的方程数学(家)特有的思维方式是什么 假设从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，假设从“转化〞这个侧面又该如何答复 匈牙利女数学家路莎·彼得在 无穷的玩艺 一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．〞转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的根本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解．【例题求解】【例1】 假设0515285222=-+-+-x x x x ，那么1522--x x 的值为． 思路点拨 视x x 522-为整体，令y x x =-522，用换元法求出y 即可．【例2】 假设方程x x p -=-2有两个不相等的实数根，那么实数p 的取值范围是( )A ．1->pB ．0≤pC ．01≤<-pD ．01<≤-p思路点拨 通过平方有理化，将无理方程根的个数讨论转化为一元二次方程实根个数的讨论，但需注意注02≥-=-x x p 的隐含制约．注：转化与化归是一种重要的数学思想，在数学学习与解数学题中，我们常常用到以下不同途径的转化：实际问题转化大为数学问题，数与形的转化，常量与变量的转化，一般与特殊的转化等．解以下方程：〔1〕121193482232222=+-++-++x x x x x x xx ； (2)1)1998()1999(33=-+-x x ；〔3〕42)113(1132=+-++-x x x x x x ． 按照常规思路求解繁难，应恰当转化，对于(1)，利用倒数关系换元；对于(2)，从1)1998()1999(=-+-x x 受到启示；对于(3)，设113+-=x x y ，那么可导出y x +、xy 的结果． 注：换元是建立在观察根底上的，换元不拘泥于一元代换，可根据问题的特点，进行多元代换．【例4】 假设关于x 的方程xkx x x x x k 1122+=---只有一个解(相等的解也算作一个)，试求k 的值与方程的解．思路点拨 先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解〞内涵丰富，在全面分析的根底上求出k 的值．注：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能足转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式、增根等知识全面分析．【例5】 关于x 的方程655)(2-=--+xa x x a x 有两个根相等，求a 的值．思路点拨 通过换元可得到两个关于x 的含参数a 的一元二次方程，利用判别式求出a 的值．注：运用根的判别式延伸到分式方程、高次方程根的情况的探讨，是近年中考、竞赛中一类新题型，尽管这种探讨仍以一元二次方程的根为根底，但对转换能力、思维周密提出了较高要求．学历训练1．假设关于x 的方程0111=--+x ax 有增根，那么a 的值为；假设关于x 的方程122-=-+x a x 曾＝一1的解为正数，那么a 的取值范围是．2．解方程121)10)(9(1)2)(1(1)1(1)1(1=+++++++++-x x x x x x x x 得． 3．方程m x m x -=+2123有一个根是2，那么m =． 4．方程9733322=-+-+x x x x 的全体实数根的积为( )A ．60B ．一60C ．10D ．一105．解关于x 的方程1112+=---x x x k x x 不会产生增根，那么是的值是( ) A ．2 B ．1 C ．不为2或一2 D ．无法确定6．实数x 满足01122=+++x x xx ，那么x x 1+的值为( ) A ．1或一2 B ．一1或2 C ．1 D ．一27．(1)如表，方程1、方程2、方程3、……，是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的空格处；(2)假设方程11=--bx x a (b a >)的解是1x =6，2x =10，求a 、b 的值．该方程是不是(1)中所给的一列方程中的一个方程 如果是，它是第几个方程8．解以下方程：〔1〕619122112222=++++++++x x x x x x x ； 〔2〕081318218111222=--+-++-+x x x x x x ； (3)120)4)(3)(2)(1(=++++x x x x ；(4)1)1(3)1(222=+-+x x xx ． 9．关于x 的方程02212222=-+-++m x x m x x ，其中m 为实数，当m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根 求出这三个实数根．10．方程222121x x xx +=--的解是． 11．解方程214127165123112222=++++++++++x x x x x x x x 得． 12．方程87329821+++++=+++++x x x x x x x x 的解是． 13．假设关于x 的方程03121422=-+x x a 恰有两个不同的实数解，那么实数a 的取值范围是．14．解以下方程：(1)6)1)(43()76(2=+++x x x ；(2)222222)243()672()43(+-=+-+-+x x x x x x ；〔3〕3)1(22=++x x x ； 〔4〕310221=+++x x x． 15．当a 取何值时，方程2212212--+=+----x x a x x x x x 有负数解 16．01585234=+-+-x x x x ，求xx 1+的值． 17．：如图，四边形ABCD 为菱形，AF ⊥上AD 交BD 于E 点，交BC 于点F ．(1)求证：AD 2=21 DE ×DB ； (2)过点E 作EG ⊥AE 交AB 于点G ，假设线段BE 、DE(BE<DE)的长为方程02322=+-m mx x (m>0)的两个根，且菱形ABCD 的面积为36，求EG 的长．参考答案。
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第六讲 转化—可化为一元二次方程的方程
数学(家)特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数学家路莎·彼得在《无穷的玩艺》一书中写道：“作为数学家的思维说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．”
转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解．
【例题求解】
【例1】 若051
528
5222=-+-+-x x x x ，则1522--x x 的值为 ．
思路点拨 视x x 522-为整体，令y x x =-522，用换元法求出y 即可．
【例2】 若方程x x p -=-2有两个不相等的实数根，则实数p 的取值范围是( )
A ．1->p
B ．0≤p
C ．01≤<-p
D ．01<≤-p
思路点拨 通过平方有理化，将无理方程根的个数讨论转化为一元二次方程实根个数的讨论，但需注意注02≥-=-x x p 的隐含制约．
注：转化与化归是一种重要的数学思想，在数学学习与解数学题中，我们常常用到下列不同途径的转化：实际问题转化大为数学问题，数与形的转化，常量与变量的转化，一般与特殊的转化等． 解下列方程：
（1）12
11934
82232222=+-++-++x x x x x x x
x ；
(2)1)1998()1999(33=-+-x x ；
（3）42)1
13(1132=+-++-x x x x x x ．
按照常规思路求解繁难，应恰当转化，对于(1)，利用倒数关系换元；对于(2)，从
1)1998()1999(=-+-x x 受到启示；对于(3)，设1
13+-=x x y ，则可导出y x +、xy 的结果．
注：换元是建立在观察基础上的，换元不拘泥于一元代换，可根据问题的特点，进行多元代换．
【例4】 若关于x 的方程x
kx x x x x k 1122+=---只有一个解(相等的解也算作一个)，试求k 的值与方程
的解．
思路点拨 先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出k 的值．
注：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能足转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式、增根等知识全面分析．
【例5】 已知关于x 的方程655)(2-=--+x
a x x a x 有两个根相等，求a 的值． 思路点拨 通过换元可得到两个关于x 的含参数a 的一元二次方程，利用判别式求出a 的值．
注：运用根的判别式延伸到分式方程、高次方程根的情况的探讨，是近年中考、竞赛中一类新题型，尽管这种探讨仍以一元二次方程的根为基础，但对转换能力、思维周密提出了较高要求．
学历训练
1．若关于x 的方程
0111=--+x ax 有增根，则a 的值为 ；若关于x 的方程12
2-=-+x a x 曾＝一1的解为正数，则a 的取值范围是 ． 2．解方程12
1)10)(9(1)2)(1(1)1(1)1(1=+++++++++-x x x x x x x x 得 ．
3．已知方程m x m x -=+2
123有一个根是2，则m = ． 4．方程97
33322=-+-+x x x x 的全体实数根的积为( ) A ．60 B ．一60 C ．10 D ．一10
5．解关于x 的方程1
112+=---x x x k x x 不会产生增根，则是的值是( ) A ．2 B ．1 C ．不为2或一2 D ．无法确定
6．已知实数x 满足011
2
2=+++x
x x x ，那么x x 1+的值为( ) A ．1或一2 B ．一1或2 C ．1 D ．一2
7．(1)如表，方程1、方程2、方程3、……，是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的
解填在表中的空格处；
(2)若方程11=--b
x x a (b a >)的解是1x =6，2x =10，求a 、b 的值．该方程是不是(1)中所给的一列方程中的一个方程?如果是，它是第几个方程?
(3)请写出这列方程中的第n 个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n 个方程．
8．解下列方程： （1）
619122112222=++++++++x x x x x x x ； （2）08
1318218111
222=--+-++-+x x x x x x ； (3)120)4)(3)(2)(1(=++++x x x x ； (4)1)1(3)1(222=+-+x x x
x ． 9．已知关于x 的方程0221
2222=-+-++m x x m x x ，其中m 为实数，当m 为何值时，方程恰有三个互不相
等的实数根?求出这三个实数根．
10．方程222121x x x
x +=--的解是 ．
11．解方程21
412
716512311
2222=++++++++++x x x x x x x x 得 ． 12．方程8
7329821+++++=+++++x x x x x x x x 的解是 ．
13．若关于x 的方程03121422=-+
x x a 恰有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围是 ． 14．解下列方程：
(1)6)1)(43()76(2=+++x x x ；
(2)222222)243()672()43(+-=+-+-+x x x x x x ；
（3）3)1(
22=++x x x ； （4）310221=+++x x x
． 15．当a 取何值时，方程2
212212--+=+----x x a x x x x x 有负数解?
16．已知01585234=+-+-x x x x ，求x
x 1+的值． 17．已知：如图，四边形ABCD 为菱形，AF ⊥上AD 交BD 于E 点，交BC 于点F ．
(1)求证：AD 2=2
1 DE ×DB ； (2)过点E 作EG ⊥AE 交AB 于点G ，若线段BE 、DE(BE<DE)的长为方程02322=+-m mx x (m>0)的两个根，且菱形ABCD 的面积为36，求EG 的长．
参考答案。