2020年高考第一轮复习数学：8.1圆锥曲线的方程
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版强基版)：圆锥曲线中的综合问题全文
所以B→D＝(x1－2，y1)，B→E＝(x2－2，y2)，
则(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，
将x1＝ky1＋m，x2＝ky2＋m代入上式得
(k2＋1)y1y2＋k(m－2)(y1＋y2)＋(m－2)2＝0，
将
①
代
入
上
式
得
(k2＋
1)
m2－4 k2＋4
＋
k(m
－
2)
－k2＋2km4 ＋
(m
x1＋x2＝－8 267m，x1x2＝4m227－3， y1y2＝6x1x2＋ 6m(x1＋x2)＋m2＝24m2－3－2748m2＋27m2， ∵O→A·O→B＝0，∴x1x2＋y1y2＝0， 代入根与系数的关系得 m2＝12，m＝±2 3，满足 Δ>0， ∴直线 l 的方程为 y＝ 6x±2 3.
4k2＋1
又直线 OP 的斜率为－－12－－00＝12，且直线 OP 与 MQ 不重合，
所以MQ∥OP.
题型二 定点与定值
例 2 (2022·济南模拟)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A，B，点 P(0,2)，连接 PA，PB 交椭圆 C 于点 M，N，△PAB 为直角三角 形，且|MN|＝35|AB|. (1)求椭圆的标准方程；
设经过点F且斜率为k(k≠0)的直线的方程为y＝kx＋1，与曲线C的方 程联立得 y＝kx＋1， x32＋y42＝1， 消去 y 整理得(4＋3k2)x2＋6kx－9＝0， Δ＝36k2＋4×9×(4＋3k2)＝144(1＋k2)>0恒成立， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则|MN|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2×4＋Δ3k2＝124＋1＋3kk22， x1＋x2＝－4＋6k3k2，
高考数学一轮复习目录
高考数学一轮复习书目一、集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与运算1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1.3简洁的逻辑联结词、全称量词与存在量词二．函数1.1函数及其表示2.2函数的单调性与最值2.3函数的奇偶性与周期性2.4一次函数、二次函数2.5指数与指数函数2.6对数与对数函数2.7幂函数2.8函数的图象及其变换2.9函数与方程2.10函数模型及其应用三、导数及其应用3.1导数、导数的计算3.2导数在函数单调性、极值中的应用3.3导数在函数最值及生活实际中的应用3.4 微积分基本定理四、三角函数、解三角形4.1随意角和弧度制及随意角的三角函数4.2同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式4.3三角函数的图象与性质4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质4.5简洁的三角恒等变换4.6正、余弦定理及其应用举例五、平面对量5.1平面对量的概念及其线性运算5.2平面对量的基本定理及坐标运算5.3平面对量的数量积及其应用六、数列6.1数列的概念与简洁表示法6.2等差数列及其前n项和6.3等比数列及其前n项和6.4数列的通项与求和6.5数列的综合应用七、不等式7.1不等式的概念与性质7.2一元二次不等式及其解法7.3二元一次不等式组与简洁的线性规划问题7.4基本不等式及其应用八．立体几何8.1空间几何体的结构及其三视图与直观图8.2空间几何体的表面积与体积8.3空间点、直线、平面之间的位置关系8.4直线、平面平行的判定及其性质8.5直线、平面垂直的判定及其性质8.6空间向量及其运算8.7空间向量的应用九、解析几何9.1直线及其方程9.2点与直线、直线与直线的位置关系9.3圆的方程9.4直线与圆、圆与圆的位置关系9.5椭圆9.6双曲线9.7抛物线9.8直线与圆锥曲线的位置关系9.9曲线与方程十．计数原理10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理10.2排列与组合10.3二项式定理十一、概率与统计11.1事务与概率11.2古典概型与几何概型11.3离散型随机变量及其分布列11.4二项分布及其应用11.5离散型随机变量的均值与方差、正态分布11.6随机抽样与用样本估计总体11.7变量间的相关关系十二、选修部分选修4-4坐标系与参数方程选修4-5不等式选讲十三、算法初步、推理与证明、复数12.1算法与程序框图12.2基本算法语句12.3合情推理与演绎推理12.4干脆证明与间接证明12.5数学归纳法12.6数系的扩充与复数的引入。
高三数学一轮复习必备：圆锥曲线方程及性质
~高三数学（人教版A 版）第一轮复习资料第33讲 圆锥曲线方程及性质一．【课标要求】1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质二．【命题走向】本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。
圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法对于本讲内容来讲，预测：（1）1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；（2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。
三．【要点精讲】1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数（大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。
若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+bx a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。
注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222c a b =-； ②在22221x y a b +=和22221y x a b+=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。
例如椭圆221x y m n+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆（2）椭圆的性质①范围：由标准方程22221x y a b+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。
2020年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析
圆锥曲线是广泛应用于科学研究及生产和生活中的曲线，是高中数学中几何与代数知识的重要组成部分，是高中学生运用平面直角坐标系将曲线与方程、几何与代数融会贯通的重要载体，更是让学生体验和领悟数与形相互转化过程的重要途径，在高考数学中占有较大的比重.2020年高考数学试卷中圆锥曲线与方程专题部分的试题，着重考查圆锥曲线的定义、方程，以及简单的几何性质，立足“四基”，凸显基础性；注重对数形结合、代数方法与几何问题化归的考查，立意能力，在数与形之间彰显综合性、应用性；重视对数学运算、逻辑推理、直观想象等数学学科核心素养的考查，立旨素养，引导数学教学，实现数学学科的育人价值.同时，与往年相比，试题结构和难度保持稳定，既体现对主线内容、核心概念、数学本质考查的连贯性，也体现了对学生的人文关怀.一、考查内容分析2020年全国各地高考数学试卷共10套13份，具体为全国Ⅰ卷（文、理）、全国Ⅱ卷（文、理）、全国Ⅲ卷（文、理）、全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷、北京卷、上海卷、天津卷、江苏卷、浙江卷.有的试卷由国家统一命题，也有的由各省市自主命题，无论是延续2019年模式的全国卷和地方卷高考试题，还是2020年首次亮相的立足《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）的全国新高考卷试题，都是重视基础，突出能力，并围绕学生的数学学科核心素养展开全方位考查.1.布局合理，考点紧扣标准2020年高考数学试卷，以圆锥曲线的定义、基本量、标准方程、简单几何性质、位置关系等核心内容为载体，重点考查学生对平面解析几何问题基本解决过程的掌握情况：用代数语言把几何问题转化为代数问题，根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路，运用代数方法得到结论并给出代数结论合理的几何解释解决几何问题.突出考查学生运用代数方法研究上述曲线之间的基本关系、运用平面解析几何的思想解决一些简单的实际问题的能力，旨在考查学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养.试题紧扣《标准》，以基础题、中档题为主，在总共的26道（相同试题算1道）试题中：基础题有10道、中档题有12道，占比约85%；难题4道，其中2020年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析段喜玲1摘要：2020年高考数学试题中的圆锥曲线与方程部分考查内容紧扣高中数学课程标准，分值、结构稳定，试题突出对“四基”的考查，注重圆锥曲线与其他知识的结合，注重对数学思维和数学学科核心素养的考查.试题体现基础性、应用性、综合性等特点，以基础知识的考查为载体，将对学生分析问题、解决问题能力的考查蕴含在解题过程之中，以实现对学生数学学科核心素养的考查.基于2020年高考试题的命题分析，给出高考复习建议，有效引导高三复习．关键词：圆锥曲线；命题分析；数形结合；数学运算收稿日期：2020-08-01基金项目：重庆市教育科学“十三五”规划2017年度规划课题——课堂教学中自主学习实施途径与策略的研究（2017-MS-13）.作者简介：段喜玲（1979—），女，中学高级教师，主要从事高中数学课堂教学研究.全国新高考Ⅰ卷第22题、全国Ⅰ卷文科第21题（同理科第20题）、全国Ⅲ卷文科第21题（同理科第20题）为压轴题，布局合理.2.分值稳定，多选双填增新彩高考试题对本专题内容的考查一般是两道客观题和一道主观题，共22分，占全卷分值的14.7%，其中北京卷24分，占全卷分值的16%，而全国Ⅰ卷文科、全国Ⅱ卷文（理）科、天津卷、江苏卷、上海卷中是一道客观题和一道主观题，共17分，占全卷分值的11.3%.考查形式、题型分布及分值比例与往年基本持平，有很高的稳定性.在全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷中出现多选题，北京卷中出现两个空的填空题，使试题形式更丰富.这是新高考题型的示范，为教学指引方向.3.文、理略异，趋同铺垫新高考2020年高考数学试卷中只有全国卷分别命制了文、理科试题.由于新高考将不再区分文科和理科，因此2020年全国卷的文、理科试题从内容到难度，差异较往年减小，姊妹题数量增加.在对圆锥曲线与方程的考查中：全国Ⅰ卷文科第21题与理科第20题相同，第11题不同，文科比理科少一道填空题；全国Ⅱ卷文科第9题与全国Ⅱ卷理科第8题相同，全国Ⅱ卷文、理科试卷第19题第（1）小题相同，第（2）小题的已知条件不同，但求解相同，方法相同；全国Ⅲ卷文科第7题、第21题与全国Ⅲ卷理科第5题、第20题相同，文科第14题不同.由此可以看出，文、理科试题虽有不同之处，但同根同源，体现趋同性，明确导向新高考.4.层次分明，数形结合思想贯穿始终《标准》对圆锥曲线与方程的要求有了解和掌握两个层次：圆锥曲线的实际背景、圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用、抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质、椭圆与抛物线的简单应用为了解；椭圆的定义、标准方程及简单几何性质为掌握.2020年高考数学试题对圆锥曲线与方程部分的考查层次分明，基础题和中档题均以抛物线和双曲线的定义、简单几何性质、位置关系为考查内容，部分较难的中档题和难题考查椭圆定义、标准方程、几何性质、简单应用，唯独上海卷的解答题考查圆和双曲线的组合，意在打破常规、力求创新，以考查学生的创新应用意识.同时，在试题中，数形结合思想这条主线贯穿始终，方程与曲线的表述与理解、代数与几何的转化与化归在数形结合中体现得淋漓尽致.5.综合性强，凸显思想育素养圆锥曲线与方程知识是平面几何、平面向量、直线与圆的知识的延续，可以将很多知识、方法（如三角形、直线位置关系、圆、向量、角度、长度、面积、坐标、方程、不等式及函数等）有机结合起来进行考查，体现在知识的交会处命题的基本原则.例如，全国Ⅰ卷理科第20题、全国Ⅲ卷理科第20题、全国新高考Ⅰ卷第22题、北京卷第20题、江苏卷第18题、浙江卷第21题，上海卷第20题综合性都较强，对学生要求较高.同时，试题凸显了数形结合、转化与化归、函数与方程等重要思想，为培育学生的数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养做好了指挥引领作用.二、命题思路分析1.注重对基础知识和基本方法的考查圆锥曲线的定义、方程、基本量、性质、位置关系是这部分知识的常规考查内容，要求学生既要对椭圆、双曲线、抛物线的共性建构良好的知识网络，又要对每种曲线的自身特点掌握得清楚准确，特别是区分不同曲线的定义、方程、基本量关系、性质、离心率的异同，这些知识容易混淆出错.借助平面直角坐标系将几何问题坐标化、用代数方法解决几何问题是解析几何的灵魂所在，因此建立方程或方程组、整体求解、设而不求等基本方法，通性、通法也是高频考点.命题围绕这些设置试题，突出考查学生对基本概念、基础知识、基本方法的掌握.例1（全国Ⅰ卷·理15）已知F为双曲线C：x2a2-y2b2=1()a>0，b>0的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C 的离心率为.【评析】该题主要考查对双曲线的离心率、直线斜率、双曲线的几何性质的应用，属于基础题.可以用方程组求出||BF，或者联立方程求得点B的坐标，再或者直接用公式求得||BF，然后用斜率公式求得离心率.该题解法常规，在运算处理上较灵活，能够对学生数学思维、数学运算进行多角度考查.例2（全国Ⅱ卷·理19）已知椭圆C1：x 2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且||CD=43||AB.（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若||MF=5，求C1与C2的标准方程.【评析】考查椭圆、抛物线的基本量a，b，c，p 之间的关系，相交弦长（通径），椭圆离心率，抛物线定义及方程，椭圆方程.注重学生对基本量、关系式、离心率、弦长等基础知识的掌握，要求学生弄清知识之间的区别与联系.该题求解方法简单，整体法求离心率亦常见，第（2）小题利用离心率得a，c的关系，化简方程是解答关键，很好地考查了学生的数学运算素养.除了联立方程求解外，还可以用圆锥曲线的统一定义表示焦半径，简化了运算，提高了解题速度和准确率.类似试题还有全国Ⅰ卷理科第4题、第15题，全国Ⅱ卷文科第19题，全国Ⅲ文科第14题，全国新高考Ⅰ卷第9题、第13题，全国新高考Ⅱ卷第9题，北京卷第7题、第12题、第20题，天津卷第7题，江苏卷第6题，浙江卷第8题，上海卷第10题.2.注重对圆锥曲线与其他知识的综合应用的考查在知识的交会处命题一直是高考数学命题的一大特点，圆锥曲线不仅是知识交会的高频考点，更是代数与几何的完美结合体，因此将圆锥曲线内容与章节内、章节间、学段间、学科间的知识综合，既体现知识的连贯性，又体现知识的交叉性，既考查学生学习的延续性，也考查学生的综合能力.2020年高考数学试题中综合考查了圆锥曲线的方程、离心率、渐近线、弦长、交点，以及三角形的面积、周长等，综合考查圆锥曲线与向量、不等式、函数、解三角形的交会，其中不乏对特殊三角形、圆、线段中垂线等初中平面几何知识的考查，以及几何性质与代数表达式之间互相转化的考查，能有效检测学生的思维能力与水平.例3（全国Ⅲ卷·理11）设双曲线C：x2a2-y2b2=1 ()a>0，b>0的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a的值为（）.（A）1（B）2（C）4（D）8【评析】该题综合考查双曲线的定义、离心率、焦点直角三角形、三角形面积，要求学生不仅熟练掌握知识，还要熟悉求解方程组的方法，是一道题型常见、思路常规的综合性试题.例4（江苏卷·18）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B.（1）求△AF1F2的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OP⋅QP的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标.【评析】考查椭圆的定义、直线与椭圆相交、向量数量积和点到直线的距离.第（2）小题中数量积的最值问题考查函数与方程思想，将最值问题转化为函数问题求解的关键点是选取变量，明晰点P，Q的主、被动关系，特别是OP的纵坐标为0，即点Q的纵坐标对数量积没有影响，从而可以不求点Q的纵坐标，这是降低该题难度的关键点，需要学生有极强的数学运算素养.第（3）小题考查三角形的面积关系，实质是考查点到直线的距离，需要学生看到问题的本质，即当三角形的一边为定值时，面积取决于这一边上的高，进一步将高的值转化为椭圆上的点到直线的距离，即直线和椭圆的位置关系.这一系列问题将圆锥曲线与三角形、向量、函数、直线，以及距离流畅地结合起来，在综合考查学生基础知识的同时，考查学生灵活运用转化与化归思想以及数形结合思想解决问题的能力.例5（全国Ⅲ卷·理20）已知椭圆C ：x 225+y 2m 2=1()0<m <5的离心率为，A ，B 分别为C 的左、右顶点.（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且||BP =||BQ ，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积.【评析】该题是以直线与椭圆相交成图，考查三角形面积的综合问题，试题表述简洁，脉络清晰，是常规题型，但是试题却不易找到解题突破口.利用垂直关系证得三角形全等，然后用三角形全等求得关键点P ，Q 的坐标是求解该题的切入点，要求学生认识知识的联系性，将圆锥曲线与初中三角形知识自然地糅合在一起，考查学生对初中所学知识的延伸及初高中知识的融合应用，对学生的跨学段知识综合应用能力要求较高.此类型的试题还有全国Ⅰ卷文科第11题、全国Ⅱ卷理科第8题、全国Ⅲ卷文科第21题、全国新高考Ⅱ卷第21题、天津卷第18题、上海卷第10题.3.注重对数学思维、核心素养的考查《标准》对高考数学命题提出明确要求：注重对学生数学学科核心素养的考查，处理好数学学科核心素养与知识技能的关系，充分考虑对教学的积极引导作用；要适度增加试题的思维量，应特别关注数学学习过程中思维品质的形成.“一核”“四层”“四翼”的新高考评价体系也明确核心素养、关键能力等考查内容和要求.2020年高考圆锥曲线与方程的相关试题，以此为依据，注重考查数学思想方法、理性思维和学科核心素养，考查学生通过平面直角坐标系将图形定位、量化，利用代数（方程、方程组）研究平面图形的几何性质，将对数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想、分类讨论思想的考查不动声色地浸润在试题里，使学生在解题中充分展示分析问题、解决问题的能力，同时注重对数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的考查，对数学教学起到很好的引导作用.例6（全国新高考Ⅰ卷·22）已知椭圆C ：x 2a2+y 2b2=1()a >b >0的离心率为，且过点A ()2，1.（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足.证明：存在定点Q ，使得||DQ 为定值.【评析】该题为全国新高考Ⅰ卷的压轴题，第（2）小题是圆锥曲线中的定点、定值问题，特别之处是并不知道定点Q 的具体位置，需要学生自己寻找，增加了试题的难度.首先，学生要分析点M ，N 在椭圆上运动的过程中的变量和不变量，找出直线MN 过定点E ；其次，求得定点E 的坐标，并能在由点A ，D ，E 构成的直角三角形中找到定长.该题不仅在思维上起点高、难度大，在运算上亦是如此，设点、设线还需分类讨论验证，需要学生具有超强的运算功底.在解答过程中，充分体现对通性、通法的重视，对技巧的弱化，完整展现学生分析问题、解决问题的能力，对学生数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养有充分的检验作用.由于知识和思维跨度较大，数学运算繁杂，对学生综合能力要求较高，真正考查学生用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界的能力.例7（上海卷·20）如图2，双曲线C 1：x 24-y 2b2=1，圆C 2：x 2+y 2=4+b 2()b >0在第一象限交点为A ，A ()x A ，y A ，曲线Γ：ìíîïïx 24-y 2b 2=1，x 2+y 2=4+b2()||x >x A .图2（1）若x A =6，求b ；（2）若b =5，C 2与x 轴交点记为F 1，F 2，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，并满足||PF 1=8，求∠F1PF2；（3）过点Sæèçöø÷0，2+b22且斜率为-b2的直线l交曲线Γ于M，N两点，用b的代数式表示OM⋅ON，并求出OM⋅ON的取值范围.【评析】该题是以双曲线系、圆系的交点为动点的轨迹问题，打破常规命题背景，有创新意识和应用意识.考查学生对曲线与方程的定义、双曲线的定义、直线与圆的位置关系、直线与直线的位置关系、向量数量积、函数最值的理解和综合应用.因为含有参数b使得轨迹不为学生所熟悉，所以要求学生对曲线方程的定义有较深的理解.第（3）小题中的直线l 与圆始终相切，切点为M是关键点，并观察直线l与一条渐近线平行，对学生的直观想象、逻辑推理素养要求较高，是一道以能力立意、考查素养、有创新意识的好题.此类型试题还有全国Ⅰ卷理科第20题、文科第21题，浙江卷第21题.三、复习建议通过对2020年高考圆锥曲线与方程试题的分析，可以看到试题对从基础知识、基本方法到运用基本数学思想解决数学问题的思维过程的考查，都体现了注重“四基”、能力立意、突出思维、落实素养的特点.因此，在高三复习过程中，要通过教学注重数学思想的渗透和学生思维能力的培养，让数学学科核心素养在课堂教学中生根发芽、开花结果.1.掌握知识，明辨异同，构建网络基础知识不仅是高考考查的重点，也是教学重点.高三复习首当其冲就是要把知识点弄清、理透、掌握牢.圆锥曲线部分的基本知识点有圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质、位置关系，每个知识点所包含的内容很丰富.例如，圆锥曲线的定义，既有各自的定义，又有统一定义，还有其他方式的定义.又如，标准方程有焦点在x轴和焦点在y轴等.这些知识虽然靠记忆，但是学生容易混淆，因此复习时要让学生明晰同一知识点之间的联系与区别、圆锥曲线与圆锥曲线之间的联系与区别，牢固掌握基础知识.同时，复习不是知识点的简单重复与堆砌，复习是立足章节对所学知识的横向再认识，是站在数学学科角度对所学知识的纵向再认识，要高站位地建构横纵知识结构网络.2.注重通法，提升运算，渗透思想做题是复习课上必不可少的教学活动，《标准》在命题原则中明确提出：注重数学本质、通性和通法、淡化解题技巧.复习的例题、习题、试题要多选用通性、通法求解的题目，让学生熟练掌握通性、通法.圆锥曲线部分的内容特点决定了解题需要学生具有超强的运算能力，常用的运算方法、运算技巧、运算素养都需要在做题中提升.高中的运算不仅仅是简单的数的运算，更多的是式的运算，需要在理解运算对象的基础上，探究运算思路、选择运算方法、求得运算结果，即数学运算素养.这需要依赖教师在教学中加强对学生运算能力的培养，不能只靠学生自己算，要重视学生在求解运算中的过程设计，如整体解法、方程思想、设而不求、点差法、同理法等.运算的速度、准确度在很大程度上决定解析几何试题的得分情况，提升运算能力、培养数学运算素养是圆锥曲线部分复习的重点和难点.教学中要有意识渗透数学思想，方程与函数思想、数形结合思想、转化与化归思想、分类讨论思想等在解题中贯穿始终，能很好地体现理性思维.3.提高能力，增强思维，培育素养能力立意，关注思维，培育核心素养是新高考命题的宗旨，也是高三复习的风向标.能力、思维、素养的培养都“润物细无声”地存在于教学过程之中，因此教学要从培育核心素养的角度思考复习方案和教学设计，并深入了解学生学习的困难，关注一题多解和多题一解的内容与题目，体现灵活性，放手让学生大胆尝试、引导学生有效反思，有助于强化学生思维，培养学生在面对新的问题情境时运用数学概念对问题进行抽象，用数学符号表达，用逻辑推理分析问题、解决问题的能力，让学生真正做到用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界，以达到提炼学生思维品质，培养学生学科核心素养的课程目标.4.克服畏惧，锻炼意志，增强信心在高考数学试卷中，本专题试题繁冗的运算、大容量的思维使得学生有畏惧心理，很多学生给自己的定位是只做解答题第（1）小题，因此纵使有些试卷的解答题不难，考查结果却差强人意.例如，全国Ⅱ卷理科第19题，仍有很多学生没有做第（2）小题.高考不仅是对知识能力的检测，也是对心理素质的检测，复习中不能根据经验或规律，让学生将圆锥曲线与方程问题定性为难题而轻易舍弃，而要以此为契机培养学生面对较繁杂问题时耐心分析、善于转化的能力与勇气，要有意识选择一些基础题和中档题，引导学生在求解的过程中磨炼意志和耐心，克服畏惧心理，以平常心对待，增强“只要有足够的时间，我一定会做出来”的信念和信心.四、模拟题欣赏1.已知F 1，F 2是双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1的左、右焦点，点M 在E 上，若△MF 1F 2是直角三角形，且sin ∠MF 1F 2=12，则双曲线E 的离心率为（）.（A ）3-1（B ）3（C ）3+1（D ）3或3+1答案：D.2.设F 为抛物线C ：y 2=3x 的焦点，过焦点F 的动直线交C 于A ，B 两点，则 OA ⋅OB 的值为.答案：-2716.3.若F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左、右焦点，且离心率为12，若过右焦点F 2的直线与曲线C 交于A ，B 两点，求当△ABF 1面积的最大值为12时的椭圆标准方程.答案：x 216+y 212=1. 4.已知过椭圆x 24+y 2=1左顶点A 的直线l 交椭圆于另一点B ，以AB 为直径的圆过椭圆的上顶点，求直线l 的方程.答案：3x +10y +6=0.5.在平面直角坐标系xOy 中，已知1是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的右焦点，离心率为，过点F 1且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，||PQ =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过椭圆左焦点F 2且斜率为k ()k >0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点M ，交直线x =-3于点N .求证：||OE ，||OM ，||ON 构成等比数列.答案：（1）x 23+y 22=1；（2）略.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M ］.北京：人民教育出版社，2018.［2］吴彤，徐明悦.2019年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2019（9）：24-27.［3］任佩文，张强，霍文明.2018年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2018（7/8）：122-128.［4］范美卿，张晓斌.2016年高考“直线和圆”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2016（9）：2-8.。
高考数学一轮复习专题训练—圆锥曲线的定值问题
圆锥曲线的定值问题题型一 长度或距离为定值【例1】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点A 与左、右焦点F 1，F 2构成一个面积为1的直角三角形． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 与椭圆C 相切，求证：点F 1，F 2到直线l 的距离之积为定值．(1)解 ∵椭圆C 的上顶点A 与左、右焦点F 1，F 2构成一个面积为1的直角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，bc ＝1， ∴b ＝c ＝1， ∴a 2＝b 2＋c 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 ①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝±2， 点F 1，F 2到直线l 的距离之积为(2－1)(2＋1)＝1. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，Δ＝(4km )2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝－8(m 2－2k 2－1)＝0， ∴m 2＝1＋2k 2，点F 1到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d 1＝|－k ＋m |k 2＋1，点F 2到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d 2＝|k ＋m |k 2＋1.∴d 1d 2＝|－k ＋m |k 2＋1·|k ＋m |k 2＋1＝|m 2－k 2|k 2＋1＝|2k 2＋1－k 2|k 2＋1＝1.综上，可知当直线l 与椭圆C 相切时，点F 1，F 2到直线l 的距离之积为定值1.感悟升华 圆锥曲线中的定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的．定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现．【训练1】 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M ，N 分别是C 1，C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值． 证明 当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33， 当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝⎛⎭⎫显然|k |>22，则直线OM 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1，得⎩⎨⎧x 2＝14＋k 2，y 2＝k24＋k 2，所以|ON |2＝1＋k 24＋k 2，同理|OM |2＝1＋k 22k 2－1， 设O 到直线MN 的距离为d ，因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2， 所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33.综上，O 到直线MN 的距离是定值． 题型二 斜率或其表达式为定值【例2】 (2020·兰州诊断)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．(1)解 由题设知c a ＝22，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0， 由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和为k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2(即为定值)．【训练2】 (2021·大同模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，已知|AB |＝4，且点⎝⎛⎭⎫e ，345在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值． (1)解 ∵|AB |＝4，∴2a ＝4，∴a ＝2， 又点⎝⎛⎭⎫e ，354在椭圆上，∴e 24＋4516b2＝1， 又b 2＋c 2＝a 2＝4，联立方程组解得b 2＝3， ∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 设点P 的坐标为(s ，t )，点M ，N 的横坐标为m (m ≠±2)， 则直线AP 的方程为y ＝t s ＋2(x ＋2)，故M ⎝⎛⎭⎫m ，ts ＋2(m ＋2)，故直线BM 的斜率k 1＝t (m ＋2)(s ＋2)(m －2)，同理可得直线AN 的斜率k 2＝t (m －2)(s －2)(m ＋2)，故k 1k 2＝t (m ＋2)(s ＋2)(m －2)×t (m －2)(s －2)(m ＋2)＝t 2s 2－4，又点P 在椭圆上，∴s 24＋t 23＝1，∴t 2＝－34(s 2－4)，∴k 1k 2＝－34(s 2－4)s 2－4＝－34.即直线AN 与直线BM 的斜率之积为定值．题型三 几何图形面积为定值【例3】 (2021·昆明诊断)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ，点(1，e )在椭圆E上，点A (a,0)，B (0，b )，△AOB 的面积为32，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，直线OM 的斜率为k 1，直线ON 的斜率为k 2，且k 1k 2＝－19，证明：△OMN 的面积是定值，并求此定值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋e 2b 2＝1，e ＝ca ，c 2＝a 2－b 2，得b ＝1.又S △AOB ＝12ab ＝32，得a ＝3.所以椭圆E 的标准方程为x 29＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率不存在时，设直线l ：x ＝t (－3<t <3且t ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 2＝1，x ＝t ，得y 2＝1－t 29，则k 1k 2＝1－t 29t×－1－t 29t＝－1－t 29t 2＝－19，解得t 2＝92.所以S △OMN ＝12×2×1－t 29×|t |＝32.当直线l 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 29＋y 2＝1消去y 并整理，得(9k 2＋1)x 2＋18kmx ＋9m 2－9＝0. Δ＝(18km )2－4(9k 2＋1)(9m 2－9)＝36(9k 2－m 2＋1)>0， x 1＋x 2＝－18km9k 2＋1，x 1x 2＝9m 2－99k 2＋1，k 1k 2＝y 1x 1×y 2x 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )x 1x 2＝－9k 2＋m 29m 2－9＝－19， 化简得9k 2＋1＝2m 2，满足Δ>0.|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝⎛⎭⎫－18km 9k 2＋12－4·9m 2－99k 2＋1＝61＋k 2·9k 2－m 2＋19k 2＋1.又原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2， 所以S △OMN ＝12×|MN |×d＝31＋k 2·9k 2－m 2＋19k 2＋1×|m |1＋k 2＝3|m |2m 2－m 22m 2＝32.综上可知，△OMN 的面积为定值32.感悟升华 探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可．【训练3】 已知点F (0,2)，过点P (0，－2)且与y 轴垂直的直线为l 1，l 2⊥x 轴，交l 1于点N ，直线l 垂直平分FN ，交l 2于点M . (1)求点M 的轨迹方程；(2)记点M 的轨迹为曲线E ，直线AB 与曲线E 交于不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 2－1＝x 1＋m 2(m 为常数)，直线l ′与AB 平行，且与曲线E 相切，切点为C ，试问△ABC 的面积是否为定值．若为定值，求出△ABC 的面积；若不是定值，说明理由．解 (1)由题意得|FM |＝|MN |，即动点M 到点F (0,2)的距离和到直线y ＝－2的距离相等，所以点M 的轨迹是以F (0,2)为焦点，直线y ＝－2为准线的抛物线，根据抛物线定义可知点M 的轨迹方程为x 2＝8y .(2)由题意知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝8y 消去x 整理得x 2－8kx －8b ＝0.则x 1＋x 2＝8k ，x 1·x 2＝－8b .设AB 的中点为Q ，则点Q 的坐标为(4k,4k 2＋b )．由条件设切线方程为y ＝kx ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 2＝8y 消去y 整理得x 2－8kx －8t ＝0.∵直线与抛物线相切，∴Δ＝64k 2＋32t ＝0，∴t ＝－2k 2， ∴切点C 的横坐标为4k ，∴点C 的坐标为(4k,2k 2)． ∴CQ ⊥x 轴，∵x 2－x 1＝m 2＋1， ∴(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4(－8b ) ＝64k 2＋32b ＝(m 2＋1)2，∴b ＝(m 2＋1)2－64k 232.∴S △ABC ＝12|CQ |·|x 2－x 1|＝12·(2k 2＋b )·(x 2－x 1)＝(m 2＋1)364，∵m 为常数，∴△ABC 的面积为定值．1．(2021·洛阳高三统考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，其焦点为F ，O 为坐标原点，直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，M 为AB 的中点． (1)若p ＝2，M 的坐标为(1,1)，求直线l 的方程．(2)若直线l 过焦点F ，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求证：2|MN |2|FN |为定值．(1)解 由题意知直线l 的斜率存在且不为0， 故设直线l 的方程为x －1＝t (y －1) 即x ＝ty ＋1－t ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1－t ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4＋4t ＝0， ∴Δ＝16t 2＋16－16t ＝16(t 2－t ＋1)＞0，y 1＋y 2＝4t ， ∴4t ＝2，即t ＝12.∴直线l 的方程为2x －y －1＝0.(2)证明 ∵抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，∴焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0. 由题意知直线l 的斜率存在且不为0，∵直线l 过焦点F ，故设直线l 的方程为x ＝ty ＋p2(t ≠0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋p 2y 2＝2px，得y 2－2pty －p 2＝0， ∴y 1＋y 2＝2pt ，Δ＝4p 2t 2＋4p 2＞0. ∴x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋p ＝2pt 2＋p ， ∴M ⎝⎛⎭⎫pt 2＋p2，pt .∴MN 的方程为y －pt ＝－t ⎝⎛⎭⎫x －pt 2－p2. 令y ＝0，解得x ＝pt 2＋3p2，N ⎝⎛⎭⎫pt 2＋3p 2，0， ∴|MN |2＝p 2＋p 2t 2，|FN |＝pt 2＋3p 2－p2＝pt 2＋p ， ∴2|MN |2|FN |＝2(p 2＋p 2t 2)pt 2＋p＝2p ，为定值．2．(2020·新高考山东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点A (2,1)．(1)求C 的方程；(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．(1)解 由题设得4a 2＋1b 2＝1, a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝6，b 2＝3. 所以C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，代入x 26＋y 23＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 于是x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.①由AM ⊥AN ，得AM →·AN →＝0， 故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0. 将①代入上式，可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2－(km －k －2)4km1＋2k 2＋(m －1)2＋4＝0， 整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0. 因为A (2,1)不在直线MN 上，所以2k ＋m －1≠0，所以2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1. 所以直线MN 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －23－13(k ≠1)． 所以直线MN 过点P ⎝⎛⎭⎫23，－13. 若直线MN 与x 轴垂直，可得N (x 1，－y 1)．由AM →·AN →＝0，得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0.又x 216＋y 213＝1，所以3x 21－8x 1＋4＝0. 解得x 1＝2(舍去)，或x 1＝23.此时直线MN 过点P ⎝⎛⎭⎫23，－13. 令Q 为AP 的中点，即Q ⎝⎛⎭⎫43，13.若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边， 故|DQ |＝12|AP |＝223.若D 与P 重合，则|DQ |＝12|AP |.综上，存在点Q ⎝⎛⎭⎫43，13，使得|DQ |为定值．。
[精]高三第一轮复习全套课件8圆锥曲线方程：第1课时 椭圆
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定义和性质结合图形建立关系式
3. 已 知 A 、 B 是 椭 圆 a 2 |AF2|+|BF2|= 椭圆方程
8 5 a
x
2
y 9 25
2
a
2
1上 的 点 ， F
2是右焦点且
,AB的中点N到左准线的距离等于
2 3
，求此
【解题回顾】|AF2|与|BF2|为焦半 径，所以考虑使用焦半径公式建 立关系式，同时结合图形，利用
第1课时 椭圆 要点·疑点·考点 课 前 热 身
能力·思维·方法
延伸·拓展 误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.椭圆的定义 (1)椭圆的第一定义为：平面内与两个定点F1、 F2的距离之和 为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆 (2)椭圆的第二定义为：平面内到一定点F与到一定直线l的距 离之比为一常数e(02 (C)m＜-1或1＜m＜2 (B)1＜m＜2 (D)m＜-1或1＜m＜3/2
4.已知动点P、Q在椭圆9x2+16y2=144上.椭圆的中心为O，且 → → OP· OQ=0，则中心O到弦PQ的距离OH必等于( C )
(A) 6
2 3
(B) 3
3 4
(C) 2
2 5
2.椭圆的标准方程的两种形式x2/a2+y2/b2=1，x2/b2+y2/a2=1,(a＞ b＞0)分别表示中心在原点，焦点在x轴和y轴上的椭圆
3.椭圆的几何性质：以x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)为例，其几何 性质如下：(1)范围是-a≤x≤a，且-b≤y≤b；(2)关于x轴、y轴 和原点对称； (3)四个顶点坐标是(±a,0) (0,±b)；(4)离心率e=c/a∈(0,1)其 中c=√a2-b2；(5)准线方程是x=±a2/c
2020届高三数学文科一轮复习_第九章 解析几何课时作业9-8-1
题组一 常识题 1．(教材改编) 过原点的直线 l 被抛物线 x2＝4y 截得的线段 长为 4 2，则直线 l 的斜率为____________． 【解析】 设直线 l 的方程为 y＝kx，将其代入抛物线方程， 得 x2－4kx＝0，所以被截得的线段两端点的坐标分别为(0，0)， (4k，4k2)，所以 （4k）2＋（4k2）2＝4 2，解得 k＝±1.
π
π
所以∠SOT 最大值为 3 .综上所述：∠SOT 的最大值为 3 ，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
取得最大值时直线
l
的斜率为
k1＝±
2 2.
【反思归纳】
跟踪训练 1 已知椭圆 E 的中心在原点，焦点 F1，F2 在 y 轴 上，离心率等于23 2，P 是椭圆 E 上的点．以线段 PF1 为直径的 圆经过 F2，且 9P→F1·P→F2＝1.
y＝4k21x，
x2＝1＋8k421k12，y2＝1＋14k21，
因此|OC|＝ x2＋y2＝
11＋ ＋84kk2121.
由题意可知 sin 12∠SOT＝r＋r|OC|＝1＋1|OrC|，
而|OrC|＝2 3 2·
1＋8k21 1＋1＋k214k211＋8k12＝34 2·
2k21＋1
1＋14＋k212k121 ＋k21，
记直线BT的斜率为k1，且k1＞0，k1≠k.
则|BT|＝1＋8|k41|k21 1＋k12， 故1＋8|k41|k21 1＋k21＝1＋8|k4|k2 1＋k2， 所以 1k＋12＋4kk2141－ 1＋k2＋4kk24＝0. 即(1＋4k2) k21＋k41＝(1＋4k21) k2＋k4， 所以(k2－k21)(1＋k2＋k21－8k2k21)＝0.
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线常用解法、常规题型与性质
圆锥曲线八种解题方法、七种常规题型和性质（有相应例题详解） 总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数）7、代入法中的顺序8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。
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第八章圆锥曲线的方程●网络体系总览圆锥曲线椭圆定义双曲线定义抛物线定义标准方程标准方程标准方程几何性质几何性质几何性质作图作图作图第二定义第二定义直线与圆锥曲线的位置关系统一定义●考点目标定位1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.4.能够根据具体条件利用各种不同的工具画椭圆、双曲线、抛物线的图形，了解它们在实际问题中的初步应用.5.结合所学内容，进一步加强对运动变化和对立统一等观点的认识.8.1 椭圆●知识梳理y =b sin θ性质E ：22a x +22by =1（a ＞b ＞0）1.范围：|x |≤a ，|y |≤b2.对称性：关于x ，y 轴均对称，关于原点中心对称3.顶点：长轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0）；短轴端点B 1（0，－b ），B 2（0，b ）4.离心率：e =ac∈（0，1） 5.准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =ca 26.焦半径：P （x ，y ）∈Er 1=|PF 1|=a +ex ，r 2=|PF 2|=a －ex 思考讨论对于焦点在y 轴上的椭圆22a y +22bx =1（a ＞b ＞0），其性质如何？焦半径公式怎样推导？●点击双基1. 已知F 1、F 2是椭圆162x +92y =1的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M 、N两点，则△MNF 2的周长为A.8B.16C.25D.32 解析：利用椭圆的定义易知B 正确. 答案：B2. 已知椭圆162x +92y =1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为A.59B.3C.779 D.49解析：由余弦定理判断∠P <90°，只能∠PF 1F 2或∠PF 2F 1为直角.由a =4，b =3得c =7，∴|y P |=49. 答案：Dx =4+5cos ϕ， y =3sin ϕA.（0，0），（0，－8）B.（0，0），（－8，0）C.（0，0），（0，8）D.（0，0），（8，0）解析：消参数ϕ得椭圆25)4(2-x +92y =1，∴c =4.易得焦点（0，0），（8，0）. 答案：D4.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.解析：椭圆方程化为22x +ky 22=1.焦点在y 轴上，则k2>2，即k <1.又k >0，∴0<k <1. 答案：0＜k ＜15.点P 在椭圆252x +92y =1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标是____________.解析：利用第二定义. 答案：1225 ●典例剖析【例1】 已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.剖析：求椭圆的离心率，即求ac，只需求a 、c 的值或a 、c 用同一个量表示.本题没有具体数值，因此只需把a 、c 用同一量表示，由PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB 易得b =c ，a =2b .（ϕ为参数）的焦点坐标为解：设椭圆方程为22a x +22b y =1（a ＞b ＞0），F 1（－c ，0），c 2=a 2－b 2，则P （－c ，b 221ac -），即P （－c ，a b 2）.∵AB ∥PO ，∴k AB =k OP ，即－ab =ac b 2-.∴b =c .又∵a =22c b +=2b ， ∴e =a c =b b 2=22. 评述：由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.【例2】 如下图，设E ：22a x +22by =1（a ＞b ＞0）的焦点为F 1与F 2，且P ∈E ，∠F 1PF 2=2θ.求证：△PF 1F 2的面积S =b 2t an θ.剖析：有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题，设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，则S =21r 1r 2sin2θ.若能消去r 1r 2，问题即获解决.|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2， 则S =21r 1r 2sin2θ，又|F 1F 2|=2c ， 由余弦定理有（2c ）2=r 12+r 22－2r 1r 2cos2θ=（r 1+r 2）2－2r 1r 2－2r 1r 2cos2θ=（2a ）2－2r 1r 2（1+cos2θ），于是2r 1r 2（1+cos2θ）=4a 2－4c 2=4b 2.所以r 1r 2=θ2cos 122+b .这样即有S =21·θ2cos 122+b sin2θ=b 2θθθ2cos 2cos sin 2=b 2t an θ.评述：解与△PF 1F 2（P 为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合|PF 1|+|PF 2|=2a 来解决.特别提示我们设想点P 在E 上由A 向B 运动，由于△PF 1F 2的底边F 1F 2为定长，而高逐渐变大，故此时S 逐渐变大.所以当P 运动到点B 时S 取得最大值.由于b 2为常数，所以t an θ逐渐变大.因2θ为三角形内角，故2θ∈（0，π），θ∈（0，2π）.这样，θ也逐渐变大，当P 运动到B 时，∠F 1PF 2取得最大值.故本题可引申为求最值问题，读者不妨一试.【例3】 若椭圆ax 2+by 2=1与直线x +y =1交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为22，且OA ⊥OB ，求椭圆的方程. 剖析：欲求椭圆方程，需求a 、b ，为此需要得到关于a 、b 的两个方程，由OM 的斜率为22.OA ⊥OB ，易得a 、b 的两个方程. 解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （221x x +，221y y +）.x +y =1， ax 2+by 2=1，∴221x x +=b a b +，221y y +=1－221x x +=b a a+. ∴M （b a b +，b a a+）.∵k OM =22，∴b =2a .①∵OA ⊥OB ，∴11x y ·22x y=－1. ∴x 1x 2+y 1y 2=0. ∵x 1x 2=ba b +-1，y 1y 2=（1－x 1）（1－x 2）， ∴y 1y 2=1－（x 1+x 2）+x 1x 2由 ∴（a +b ）x 2－2bx +b －1=0.=1－b a b +2+b a b +-1=b a a +-1. ∴b a b +-1+ba a +-1=0. ∴a +b =2.②由①②得a =2（2－1），b =22（2－1）. ∴所求方程为2（2－1）x 2+22（2－1）y 2=1.评述：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），但不是真的求出x 1、y 1、x 2、y 2，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA ⊥OB 得x 1x 2+y 1y 2=0是解决本题的关键.●闯关训练 夯实基础1. 椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|2PF |等于A.23 B. 3 C.27D.4 解法一：（如下图）设椭圆的右焦点为F 1，左焦点为F 2，过F 1垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P .4，∴a =2，b =1，c =3. ∴F 1（3，0）.设P （3，y P ）代入42x +y 2=1，得y P =21，∴P （3，21），|PF 1|=21.又∵|PF 2|+|PF 1|=2a =4， ∴|PF 2|=4－|PF 1|=4－21=27.解法二：椭圆的左准线方程为x =－c a 2=－334.∵|)334(3|||2--PF =e =23，∴|PF 2|=27. 解法三：由解法一得P （3，21）， 又F 2（－3，0），∴|PF 2|=22)021()]3(3[-+--=27. 答案：C评述：解法一和解法三为基本解法.解法二使用第二定义甚为巧妙. 2. 设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆F 2，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M 点，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率e 为A. 3－1B.2－3C.22D.23解析：易知圆F 2的半径为c ，（2a －c ）2+c 2=4c 2，（a c ）2+2（a c ）－2=0，ac =3－1.答案：A3. 椭圆252x +92y =1的离心率是____________，准线方程是____________.解析：由椭圆方程可得a =5，b =3，c =4，e =54，准线方程为x =±452=±425.答案：54x =±4254.已知P 是椭圆22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）上任意一点，P 与两焦点连线互相垂直，且P 到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为____________.解析：利用椭圆的两个定义结合勾股定理来求．答案：452x ＋202y ＝15.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.解：由题设条件可知a =2c ，b =3c ，又a －c =3，解得a 2=12，b 2=9.∴所求椭圆的方程是122x +92y =1或92x +122y =1.6.直线l 过点M （1，1），与椭圆42x +32y =1相交于A 、B 两点，若AB 的中点为M ，试求直线l 的方程.解：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则421x +321y =1，①422x +322y =1.② ①－②，得4))((2121x x x x +-+3))((2121y y y y +-=0.∴2121x x y y --=－43·2121y y x x ++. 又∵M 为AB 中点， ∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=2. ∴直线l 的斜率为－43.∴直线l 的方程为y －1=－43（x －1）， 即3x +4y －7=0. 培养能力7.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆相交于点P 和点Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程. 解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1（m >0，n >0）， 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），解方程组y =x +1， mx 2+ny 2=1.消去y ，整理得（m +n ）x 2+2nx +n －1=0.Δ=4n 2－4（m +n ）（n －1）>0，即m +n －mn >0，OP ⊥OQ ⇒x 1x 2+y 1y 2=0，即x 1x 2+（x 1+1）（x 2+1）=0，2x 1x 2+（x 1+x 2）+1=0，∴n m n +-)1(2－nm n-2+1=0. ∴m +n =2. ①由弦长公式得2·2)()(4n m mn n m +-+=（210）2，将m +n =2代入，得m ·n =43. ②m =21， m =23，n =23 n =21. ∴椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+22y =1.8. 设x 、y ∈R ，i 、j 为直角坐标平面内x 、y 轴正方向上的单位向量，若向量a =x i +（y +2）j ，b =x i +（y －2）j ，且|a |+|b |=8.（1）求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程.（2）过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP =OA +OB ，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由.（1）解法一：∵a =x i +（y +2）j ，b =x i +（y －2）j ，且|a |+|b |=8， ∴点M （x ，y ）到两个定点F 1（0，－2），F 2（0，2）的距离之和为8.∴轨迹C 为以F 1、F 2为焦点的椭圆，方程为122x +162y =1.解法二：由题知，22)2(++y x +22)2(-+y x =8， 移项，得22)2(++y x =8－22)2(-+y x ， 两边平方，得x 2+（y +2）2=x 2+（y －2）2－1622)2(-+y x +64， 整理，得222)2(-+y x =8－y ，两边平方，得4［x 2+（y －2）2］=（8－y ）2，展开，整理得122x +162y =1.（2）∵l 过y 轴上的点（0，3），若直线l 是y 轴，则A 、B 两点是椭圆的顶点.解①②得 或∵OP =OA +OB =0，∴P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾.∴直线l 的斜率存在.设l 方程为y =kx +3，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y =kx +3，122x +162y =1， （－21）＞0恒成立，且x 1+x 2=－23418k k +，x 1x 2=－23421k+. ∵=+，∴四边形OAPB 是平行四边形.若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA ⊥OB ，即·=0.∵=（x 1，y 1），=（x 2，y 2）， ∴OA ·OB =x 1x 2+y 1y 2=0， 即（1+k 2）x 1x 2+3k （x 1+x 2）+9=0， 即（1+k 2）·（－23421k +）+3k ·（－23418k k +）+9=0，即k 2=165，得k =±45.∴存在直线l ：y =±45x +3，使得四边形OAPB 是矩形. 探究创新9.已知常数a ＞0，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =4a ， O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BC BE =CD CF =DADG，P 为GE 与OF 的交点（如下图）.问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.y分析：根据题设条件首先求出P 点坐标满足的方程，据此可判断是否存在两点，使得点P 到两定点距离的和为定值.解：按题意，有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）. 设BC BE =CD CF =DADG=k （0≤k ≤1）， 由消y 得（4+3k 2）x 2+18kx －21=0.此时，Δ=（18k 2）－4（4+3k 2）由此有E （2，4ak ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）. 直线OF 的方程为2ax +（2k －1）y =0.①直线GE 的方程为－a （2k －1）x +y －2a =0.②由①②消去参数k ，得点P （x ，y ）满足方程2a 2x 2+y 2－2ay =0.整理得212x +22)(a a y -=1.当a 2=21时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当a 2≠21时，点P 的轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长.当a 2＜21时，点P 到椭圆两个焦点（－221a -，a ），（221a -，a ）的距离之和为定值2.当a 2＞21时，点P 到椭圆两个焦点（0，a －212-a ），（0，a +212-a ）的距离之和为定值2a .评注：本题主要考查根据已知条件求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.在解题过程中蕴涵着方程思想、分类讨论思想和构造法.●思悟小结1.椭圆的定义是解决问题的出发点，尤其是第二定义，如果运用恰当可收到事半功倍之效（如关于求焦半径的问题）.2.要明确参数a 、b 、c 、e 的相互关系、几何意义及与一些概念的联系.灵活运用它们之间的关系可使问题顺利解决.3.椭圆参数的几何意义，如下图所示： （1）|PF 1|+|PF 2|=2a ，||||11PM PF =||||22PM PF =e ；（2）|A 1F 1|=|A 2F 2|=a －c ，|A 1F 2|=|A 2F 1|=a +c ； （3）|BF 2|=|BF 1|=a ，|OF 1|=|OF 2|=c ；（4）|F 1K 1|=|F 2K 2|=p =cb 2，|PM 2|+|PM 1|=ca 22.本节的重点是椭圆的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a 、b 、c 、e 的关系，及利用第二定义解决问题，关键是注意数形结合，函数与方程的思想，等价转化的运用.为此建议在教学中注意以下几点：（1）椭圆中有一个十分重要的三角形OF 1B 2（如下图），它的三边长分别为a 、b 、c .易见c 2=a 2－b 2，且若记∠OF 1B 2=θ，则cos θ=ac=e .上，它与坐标系无关，而坐标系是研究的手段.实际上，人们研究圆锥曲线的记录早于笛卡儿发明坐标系，从而椭圆本身所固有的性质并不依赖于坐标系，这些性质不因坐标系的选择而改变.例如上述的△OF 1B 2、公式cos θ=e 等，均不因坐标系的改变而改变.（3）椭圆的定义中应注意常数大于|F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和等于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和小于|F 1F 2|时，其轨迹不存在.（4）椭圆标准方程中两个参数a 和b 确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中，总有a ＞b ＞0；椭圆的焦点位置决定标准方程的类型；a 、b 、c 的关系是c 2=a 2－b 2；在方程Ax 2+By 2=C 中，只要A 、B 、C 同号，就是椭圆方程.（5）当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离，焦点弦长相关时，常利用椭圆的第二定义，转化为点到准线的距离来研究，即正确应用焦半径公式.（6）使用椭圆的第二定义时，一定要注意动点P 到焦点的距离与对应准线距离之比为常数e .若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.拓展题例【例1】 如下图，已知△OFQ 的面积为S ，且OF ·=1.（1）若2＜S ＜2，求向量OF 与FQ 的夹角θ的取值范围；（2）设||=c （c ≥2），S =43c ，若以O 为中心，F 为一个焦点的椭圆经过点Q ，当||取最小值时，求椭圆的方程.解：（1）由已知，得|||sin （π－θ）=S ， FQ |cos θ=1. ∴t an θ=2S .∵21＜S ＜2，∴1＜t an θ＜4.则4π＜θ＜arc t an4. （2）以O 为原点，所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.设椭圆方程为22a x +22by =1（a ＞b ＞0），Q （x ，y ）.=（c ，0），则=（x －c ，y ）.∵21||·y =43c ，∴y =23.又∵·=c （x －c ）=1，∴x =c +c1. 则|OQ |=22y x +=49)1(2++cc （c ≥2）.可以证明：当c ≥2时，函数t =c +c1为增函数， ∴当c =2时， ||min =49)212(2++=234， 此时Q （25，23）.将Q 的坐标代入椭圆方程，2425a +249b =1， a 2=10， a 2－b 2=4. b 2=6.∴椭圆方程为102x +62y =1.【例2】 已知某椭圆的焦点是F 1（－4，0）、F 2（4，0），过点F 2，并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10．椭圆上不同的两点A （x 1，y 1）、C （x 2，y 2）满足条件：｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列.（1）求该椭圆的方程； （2）求弦AC 中点的横坐标；（3）设弦AC 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，求m 的取值范围.2a ＝｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10，得a ＝5.又c ＝4， 所以b ＝22c a -＝3．故椭圆方程为252x ＋92y ＝1．（2）解：由点B （4，y B ）在椭圆上，得｜F 2B ｜＝｜y B ｜＝59．方法一：因为椭圆右准线方程为x ＝425，离心率为54．根据椭圆定义，有｜F 2A ｜＝54（425－x 1），｜F 2C ｜＝54（425－x 2）．由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列，得54（425－x 1）＋54（425－x 2）＝2×59． 得解得由此得出x 1＋x 2＝8． 设弦AC 的中点为P （x 0，y 0）， 则x 0＝221x x +＝28＝4． 方法二：由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列，得2121)4(y x +-＋2222)4(y x +-＝2×59，①由A （x 1，y 1）在椭圆252x ＋92y ＝1上，得y 12＝259（25－x 12），所以2121)4(y x +- =)25(25916821121x x x -++- ＝21)545(x -＝51（25－4x 1）.②同理可得2222)4(y x +-＝51（25－4x 2）．③将②③代入①式，得51（25－4x 1）＋51（25－4x 2）＝518． 所以x 1＋x 2＝8．设弦AC 的中点为P （x 0，y 0）， 则x 0＝221x x +＝28＝4． （3）解法一：由A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在椭圆上，得 9x 12＋25y 12＝9×25，④9x 22＋25y 22＝9×25．⑤由④－⑤得9（x 12－x 22）＋25（y 12－y 22）＝0， 即9（221x x +）＋25（221y y +）（2121x x y y --）＝0（x 1≠x 2）.将221x x +＝x 0=4，221y y +＝y 0，2121x x y y --＝－k1（k ≠0）代入上式，得9×4＋25y 0（－k1）＝0（k ≠0）． 由上式得k ＝3625y 0（当k ＝0时也成立）. 由点P （4，y 0）在弦AC 的垂直平分线上，得y 0＝4k ＋m ， 所以m ＝y 0－4k ＝y 0－925y 0＝－916y 0．由P （4，y 0）在线段BB ′（B ′与B 关于x 轴对称）的内部，得－59＜y 0＜59. 所以－516＜m ＜516． 评述：在推导过程中，未写明“x 1≠x 2”“k ≠0”“k ＝0时也成立”及把结论写为“－516≤m ≤516”也可以. 解法二：因为弦AC 的中点为P （4，y 0）， 所以直线AC 的方程为y －y 0＝－k1（x －4）（k ≠0）.⑥将⑥代入椭圆方程252x +92y ＝1，得（9k 2＋25）x 2－50（ky 0＋4）x ＋25（ky 0＋4）2－25×9k 2＝0． 所以x 1＋x 2＝259)4(5020++k ky ＝8．解得k ＝3625y 0（当k ＝0时也成立）. 以下步骤同解法一.。