微积分题型总结
高考微积分专题总结(全是精华)
高考微积分专题总结(全是精华)本文旨在对高考微积分专题进行总结，为考生提供精华内容，帮助他们更好地备考。
1. 导数与微分- 导数的定义：导数可以理解为函数某一点的瞬时变化率，是函数在该点的切线斜率。
- 导数的求法：常用的求导法则有常数法则、幂函数法则、和差法则、乘法法则、除法法则以及复合函数法则。
- 微分的定义：微分是函数在某一点附近的近似线性变化，可以通过导数来求得。
2. 极值与最值- 极值：函数在某一区间内的最大值或最小值。
- 极值的求法：可以使用导数的方法求函数的极值。
- 最值：函数在整个定义域内的最大值或最小值，也称为全局极值。
- 最值的求法：需要考虑函数的边界点和无界函数的趋势。
3. 定积分与不定积分- 定积分：定积分是用于计算曲线下面的面积或曲线长度的工具。
- 定积分的计算：可以通过牛顿—莱布尼兹公式、换元法和分部积分法来计算定积分。
- 不定积分：不定积分是通过求导的逆运算来得到的，表示函数的原函数。
- 不定积分的计算：可以通过基本积分公式、换元法和分部积分法来计算不定积分。
4. 微分方程- 微分方程的基本概念：微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
- 微分方程的分类：常微分方程和偏微分方程。
- 微分方程的求解：可以使用分离变量法、变参数法和待定系数法等方法来求解微分方程。
5. 泰勒展开- 泰勒展开的基本思想：将一个函数在某一点附近展开成无穷级数的形式，以近似表示该函数。
- 泰勒展开的应用：可以用泰勒展开来计算函数的近似值、导数、积分等。
以上是高考微积分专题的一些精华内容，希望对考生备考有所帮助。
数学复习中的常见微积分题解析
数学复习中的常见微积分题解析微积分是数学中的重要分支之一，涉及到对函数的导数、积分等运算。
在数学的学习与应用中，对微积分的理解和掌握至关重要。
本文将对常见的微积分题进行解析，帮助读者更好地复习和掌握微积分知识。
一、导数的计算导数是微积分中的基本概念，表示函数在某一点上的变化率。
常见的导数计算包括使用基本导数公式、链式法则、求导法则等。
下面以几个常见的例子进行解析。
1. 例题1：求函数f(x)=(3x^2+2x+1)^2的导数。
解析：首先，我们可以使用链式法则，将该函数拆解为两个函数的复合形式，即f(x)=u^2，其中u=3x^2+2x+1。
接下来，我们求u的导数，即u'。
根据求导法则，我们得到u' = 6x + 2。
然后，将u'代入链式法则的公式中，即d(f(u))/du * u'。
根据链式法则的公式，我们可以求得f(x)的导数为f'(x) = 2u * u' = 2(3x^2+2x+1)(6x+2)。
2. 例题2：求函数f(x)=sin(2x+3)的导数。
解析：对于这个问题，我们可以利用三角函数的导数规则。
根据导数规则，sin函数的导数是cos函数，因此该函数的导数f'(x) =cos(2x+3)。
二、定积分的计算定积分是微积分中另一个重要的概念，表示函数在某一区间上的面积。
常见的定积分计算包括使用基本积分表、换元积分法、分部积分法等。
下面以几个常见的例子进行解析。
1. 例题1：计算定积分∫[0, 1] x^2 dx。
解析：对于这个问题，我们可以直接应用定积分的公式，即∫[a, b]f(x) dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的原函数。
根据该公式，我们可以求得∫[0, 1] x^2 dx = 1/3 * x^3 |[0, 1] = 1/3 - 0 = 1/3。
2. 例题2：计算定积分∫[0, π] sin(x) dx。
微积分复习附解题技巧
微积分复习附解题技巧本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March《微积分》复习及解题技巧第一章 函数一、据定义用代入法求函数值： 典型例题：《综合练习》第二大题之2二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围（集合） 主要根据： ①分式函数：分母≠0 ②偶次根式函数：被开方式≥0 ③对数函数式：真数式＞0④反正（余）弦函数式：自变量 ≤1在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。
典型例题：《综合练习》第二大题之1补充：求y=xx212-+的定义域。
（答案：212<≤-x ）三、判断函数的奇偶性：典型例题：《综合练习》第一大题之3、4第二章 极限与连续求极限主要根据： 1、常见的极限：2、利用连续函数：初等函数在其定义域上都连续。
例：3、求极限的思路：可考虑以下9种可能：①00型不定式（用罗彼塔法则） ②20C =0 ③∞0=0④01C =∞ ⑤21C C ⑥∞1C =0⑦0∞=∞ ⑧2C ∞=∞ ⑨∞∞型不定式（用罗彼塔法则）1sin lim 0=→x xx e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim )0(01lim >=∞→ααxx )()(0lim 0xf x f x x =→11lim 1=→x x 1)()(lim =→x g x f x α⎪⎩⎪⎨⎧∞≠=→)0(0)(11lim 常数C C x f x α⎪⎩⎪⎨⎧∞≠=→)0(0)(22lim 常数C C x g x α特别注意：对于f （x ）、g （x ）都是多项式的分式求极限时，解法见教材P70下总结的“规律”。
以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则！典型例题：《综合练习》第二大题之3、4；第三大题之1、3、5、7、8补充1：若1)1(sin 221lim =++-→bax x x x ，则a= －2 ，b= 1 . 补充2：21221211111lim lim e x x x x xx x xx =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-•-∞→∞→补充3：21121121121121...513131121)12)(12(1...751531311lim lim lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛+--++-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⨯+⨯+⨯∞→∞→∞→n n n n n n n n 补充4：1ln lim 1-→x xx 111lim 1=→x x （此题用了“罗彼塔法则”）型0第三章 导数和微分一、根据导数定义验证函数可导性的问题： 典型例题：《综合练习》第一大题之12 二、求给定函数的导数或微分： 求导主要方法复习：1、求导的基本公式：教材P1232、求导的四则运算法则：教材P110—1113、复合函数求导法则（最重要的求导依据）4、隐函数求导法（包括对数函数求导法） 6、求高阶导数（最高为二阶） 7、求微分：dy=y / dx 即可典型例题：《综合练习》第四大题之1、2、7、9 补充：设y=22)(1arctgx x ++，求dy. 解：∵222212111221121x arctgxxx x arctgx x x y +++=+⋅+⋅+⋅=' ∴dy=)121(22xarctgx x x dx y +++=⋅'dx第四章中值定理，导数的应用一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题：典型例题：《综合练习》第一大题之16、19二、利用导数的几何意义，求曲线的切、法线方程：典型例题：《综合练习》第二大题之5二、函数的单调性（增减性）及极值问题：典型例题：《综合练习》第一大题之18，第二大题之6，第六大题之2第五章 不定积分 第六章 定积分Ⅰ理论内容复习： 1、原函数：)()(x f x F ='则称F （x ）为f （x ）的一个原函数。
考研数学解析高等数学中的微积分与线性代数的典型题型
考研数学解析高等数学中的微积分与线性代数的典型题型考研数学是很多考生必考科目之一，其中涉及的高等数学包括微积分和线性代数两个部分。
微积分和线性代数都是数学的基础学科，对于考研数学的学习和理解至关重要。
本文将解析高等数学中微积分与线性代数的典型题型，帮助考生更好地掌握和应对考试。
一、微积分的典型题型解析1. 导数与微分在微积分中，导数和微分是非常重要的概念。
导数描述了函数在某一点上的变化率，而微分则是导数的计算结果。
考生需要掌握导数和微分的定义、计算方法和性质，并能够灵活运用。
典型题型1：计算函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1在x = 2处的导数和微分。
解析：首先求导数，根据导数的定义，我们有f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
然后计算微分，根据微分的定义，我们有df(x) = f'(x)dx = (6x^2 - 6x + 4)dx。
代入x = 2，得到f'(2) = 20和df(2) = 20dx。
2. 极限极限是微积分中另一个重要的概念，描述了函数在某一点或无穷远处的趋势。
考生需要掌握极限的定义、计算方法和性质，并能够正确判断函数的极限存在与否。
典型题型2：判断函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)的极限是否存在，并计算存在时的极限值。
解析：观察这个函数，我们可以看到当x趋近于1时，分母趋于0，因此需要进一步化简。
将分子进行因式分解得f(x) = x + 1，此时可以看出函数在x = 1处没有定义，因此极限不存在。
3. 不定积分不定积分是微积分中的重要概念，也是求解函数的积分的方法。
考生需要掌握不定积分的定义、计算方法和性质，并能够灵活运用。
典型题型3：求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的不定积分。
解析：根据不定积分的性质，我们可以逐项积分得到F(x) = x^3 - x^2 + x + C，其中C为常数项。
二、线性代数的典型题型解析1. 矩阵运算与线性方程组矩阵运算和线性方程组是线性代数中最基础的内容。
ap微积分考试题型_
ap微积分考试题型
AP微积分考试通常包含两个部分：多项选择题（Multiple-Choice Questions，MCQs）和开放性问题（Free-Response Questions，FRQs）。
下面是这两个部分的一些常见题型：
1. 多项选择题（MCQs）：
-求极限：给出一个函数或数列，要求计算其极限。
-导数和微分：给出一个函数，要求计算其导数或微分。
-积分：给出一个函数，要求计算其不定积分或定积分。
-解微分方程：给出一个微分方程，要求找到满足条件的特解或通解。
-曲线分析：给出一个函数的图像或方程，要求根据图像或方程进行分析，如找极值点、拐点、渐近线等。
-高阶微积分概念：涉及高阶导数、泰勒级数、参数方程、极坐标等概念。
2. 开放性问题（FRQs）：
-解题和证明：给出一个问题或命题，要求解答并给出证明过程。
-应用问题：给出一个实际问题，要求建立数学模型并求解。
-推导公式：给出一个函数或关系，要求通过推导得到相应的公式。
-分析函数性质：给出一个函数或图像，要求分析其性质，如极值点、拐点、渐近线等。
在备考AP微积分考试时，建议你掌握以下几点：
1. 熟悉微积分的基本概念、公式和定理，包括极限、导数、积分、微分方程等。
2. 理解微积分的几何和物理意义，将数学概念与实际问题联系起来。
3. 多做练习题和模拟考试，熟悉题型和考试时间，提高解题速度和准确性。
4. 学会运用不同的解题方法和策略，灵活应用数学工具解决问题。
5. 注意细节和计算精度，避免常见的计算错误。
五十三期：导数单调性十种题型归纳
五十三期：导数单调性十种题型归纳导数单调性是微积分中重要的概念之一，是指函数在定义域上的单调性特征。
在解题过程中，常常会遇到与导数单调性相关的题型，这里将十种常见的题型归纳总结如下。
一、直接利用导数的正负判别这种题型要求我们利用导数的正负来判断函数的单调性。
具体来说，我们需要计算函数的导函数，然后通过求解导数的符号来确定函数的单调性。
当导数恒大于零时，函数单调递增；当导数恒小于零时，函数单调递减。
二、利用导数的正负变化这种题型要求我们通过导数的正负变化来判断函数的单调性。
具体来说，我们需要找出函数的导函数，然后观察导函数的正负变化情况。
当导数先减小后增大时，函数存在极值点，在极值点附近函数单调性发生变化；当导数先增大后减小时，函数存在极值点，在极值点附近函数单调性发生变化。
三、应用导数的加减法则这种题型要求我们利用导数的加减法则来判断函数的单调性。
具体来说，我们需要将函数表示为若干个函数之和或之差，并进一步求出每个函数的导数。
然后，根据导数的正负判断每个函数的单调性，并结合加减法则得出函数整体的单调性。
四、应用导数的乘法法则这种题型要求我们利用导数的乘法法则来判断函数的单调性。
具体来说，我们需要将函数表示为若干个函数之积，并求出每个函数的导数。
然后，根据导数的正负判断每个函数的单调性，并结合乘法法则得出函数整体的单调性。
五、应用函数的单调性判别法这种题型要求我们利用函数的单调性判别法来判断函数的单调性。
具体来说，我们需要根据函数的定义和性质，结合导数的正负判别，来判断函数在给定区间上的单调性。
六、应用导数的奇偶性这种题型要求我们利用导数的奇偶性来判断函数的单调性。
具体来说，如果函数以奇对称或偶对称的方式分布，则可以通过导数的奇偶性来判断函数的单调性。
七、综合利用多种方法这种题型要求我们综合利用多种方法来判断函数的单调性。
具体来说，我们可以应用前述的各种方法和技巧，结合具体题目的条件和要求，来判断函数的单调性。
高三微积分专题复习(题型全面)
高三微积分专题复习(题型全面)一、导数与微分1. 导数的定义- 利用极限的概念，导数可以定义为函数在某一点的切线斜率。
- 导数可以表示函数的变化率和速度。
2. 导数的性质- 导数具有线性性质，即导数的和、差、常数倍可以通过对应函数的导数求得。
- 乘积法则和商规则为求导提供了相应的计算规则。
3. 微分的概念- 微分可以视为函数在某一点附近的线性近似。
- 微分与导数之间存在着密切的关系。
二、微分的应用1. 最值问题- 利用导数来求解最值问题可以简化计算过程。
- 极值点是函数最值问题中的关键点。
2. 斜率问题- 斜率表示函数在某点的变化趋势和速度。
- 导数可以表示函数斜率，从而解决斜率相关的问题。
3. 函数的图像与曲线- 通过对函数及其导函数的分析，可以绘制出函数的简单图像。
- 曲线的凹凸性与函数的二阶导数密切相关。
三、定积分与不定积分1. 定积分的概念- 定积分可以看作是函数在某一区间上的累积和。
- 定积分可以表示曲线下的面积。
2. 定积分的性质- 定积分具有线性性质，即定积分的和、差、常数倍可以通过对应函数的定积分求得。
- 积分中值定理为计算定积分提供了一种有效的方法。
3. 不定积分与原函数- 不定积分是定积分的逆运算。
- 不定积分可以用来寻找函数的原函数。
- 积分常规则和积分换元法为求不定积分提供了常用的技巧。
以上是高三微积分专题复习的题型全面的内容概要。
希望这份文档能帮助你更好地复习和理解微积分的知识。
微积分-期末复习总结整理-第一章.docx
第一章第一节常用符号介绍一，集合符号1.集合与元素之间符号“W”表示“属于”,符号F “表示”不属于“。
2.集合之间符号” W “表示”包含于“；符号”=“表示”等于“；符号” 0“表示”空集”；符号“U”表示“并”；符号“CI”表示“和”；符号表示“差”或“余”。
二，数集符号自然数集：表示为“N”；整数集：表示为“Z“；有理数集：表示为” Q”。
显然有NCZCQCR区间设a, b WR, a<bo常用的有限区间有开区间 (a, b) ={x I a<x<b }；闭区间【a, b] ={x I aWxWb }；半开半闭区间：(a,, b] ={x I aVxWb }或【a, b) =(x I aWxVb }o常用的无限区间有(a, +oo) ={x I x>a} ； [a, +oo) ={x I xNa}(-oo, a) ={x I xVa} ； (-oo, a] ={x I xWa}邻域设aWR,对任意5>0,记数集U (a, 8) =(x I x-a| <8}= (a-5, a+5),称作以a为中心，以6为半径的邻域。
当不需要证明邻域半径5时，常将它表示为U(a),简称为a的邻域记数集U (a, 8) = (x I 0< x-a | <8}= (a—& a+6) Ta}, 即在a的5的邻域u(a, 5)中去掉a,称为a的6去心邻域。
第二节函数的概念一，函数的定义给定一个数集A,假设其中的元素为xo现对A中的元素x施加对应法则f,记作f (x),得到另一数集B。
假设B中的元素为y。
则y与x之间的等量关系可以用y=f (x)表示。
我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。
函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。
其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征。
符号函数(1, x>0Y=sgnx< 0, x = 0(-1/ x <ro绝对值函数I . (—X, x<0 Y=|x|=I x, x > 0迪利克雷函数黎曼函数1 V一，X = 一Y 二q qto, x = 0, 1和3D内的无理数第三节数列的极限1.定义：设有数列｛%｝ , a是常数，若对任意的£>0 ,总存在自然数N ,对任意的自然数n>N ,有|a孔-a\ < £ ,则称数列｛%｝的极限是a , 或数列｛%｝收敛于a,表示为ZiTna” = a71T002.重点性质：唯一性，有界性，保序性3.数列收敛的判别方法：两边夹定理（夹逼定理），单调有界定理•夹逼定理:如果数列｛Xn｝,｛Yn｝及｛Zn｝满足下列条件：（1 ）当n>N0 时，其中NOeN* ,有YnWXnWZn ,（2 ）｛Yn｝、｛Zn｝有相同的极限a ,设-»<a<+oo单调性对任一数列｛Xj,如果从某一项Xk开始，满足Xk <X k+l <X k+2 < ......则称数列（从第k项开始）是单调递增的。
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微积分题型总结第一部分 函 数函数是整个高等数学研究的主要对象，因而成为考核的对象之一。
特别是一元函数的定义和性质，其中包括反函数、复合函数、隐函数、初等函数和分段函数的定义和性质。
一、 重点内容提要1、函数定义中的关键要素是定义域与对应法则，这里要特别注意两点：①两个函数只有当它们的定义域和对应法则都相同时，才能说它们是相同的函数。
②分段函数是一个函数而不是几个函数。
求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围（集合） 主要根据：①分式函数：分母≠0②偶次根式函数：被开方式≥0 ③对数函数式：真数式＞0④反正（余）弦函数式：自变量1≤x定义域的定义域。
求函数例的定义域。
求函数例的 2x-1x2=y 3例y x 4)2y x (ln 2122+----=x x y例4 x x x y arccos )3ln(2++=在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。
2、关于反函数定义，我们仅要求掌握变量反解法。
3、函数的简单性质，重点掌握奇偶性、单调性。
4、关于复合函数定义将复合函数拆成基本初等函数或基本初等函数经四则运算形成的函数，这在求导和积分类型题中是不可避免的。
指出xey 1arctansin =的复合过程5、隐函数：主要在后面求导数及应用中用到6、注意初等函数的定义。
注意分段函数不是初等函数。
二、 典型例题类型题1、求函数定义域 例1 求函数)1lg(4)(--=x xx f 的定义域.解 要使函数表达式有意义，x 要满足：⎪⎩⎪⎨⎧≠->-≥-0)1lg(0104x x x 即 ⎪⎩⎪⎨⎧≠>≤214x x x 所以函数的定义域为（1，2） （2，4］. 例2 求函数f(x)=⎩⎨⎧≤<-≤≤21,110,1x x 的定义域.解 函数f(x)的定义域是[0，2].小结：注意，对于分段函数，它的定义域为所有分段区间的并集。
如: (1)函数21)(x x x f -+=的定义域是 ； (2)函数()11ln -+=x x y 定义域是(3)函数)12(log )(2-=x x f +arcsin(1-x)的定义域类型题2、函数值与函数记号 例 设f(x)=11+x ，求（1）f(x-1)；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 1；（3）f [⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 1]. 解 （1）f(x-1)=xx 11)1(1=+-（2）⎪⎭⎫⎝⎛x f 1=1111+=+x x x（3）f [⎪⎭⎫⎝⎛x f 1]=f 1211111++=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x xx x 第二部分 极限与连续作为高等数学研究的基本工具，求函数极限和讨论函数的连续性乃是考核的基本类型题，要引起注意。
一、 重点内容提要1、函数极限的求法，注意单侧极限与极限存在的充要条件。
2、知道极限的四则运算法则3、熟练掌握两个重要极限4、关于无穷小量（1）掌握无穷小量的定义，要特别注意极限过程不可缺少。
（2）掌握其性质与关系无穷小量的判定也是一个比较重要的问题例：xx x x x x x x x x x x 1sin ,sin ,sin ,,cos ,tan ,03下列那些量是无穷小量→ 5、掌握函数的连续性定义与间断点的求法（1）掌握函数的连续性定义 （2）掌握间断点定义（3）掌握并会用单侧连续性（4）掌握初等函数的连续性的结论 6、掌握闭区间上连续函数的性质（1）理解最大值和最小值定理，即在闭区间上连续的函数，必能在其上取到最大值和最小值。
本定理主要为求函数的最值做必要的铺垫。
（2）掌握介值定理的推论---零点定理。
本定理主要用于判定一个方程根的存在性。
二、典型例题求函数极限常用方法有：利用极限的四则运算法则求极限，利用初等函数的连续性求极限；利用两个重要极限求极限；利用洛必达法则求极限等。
类型题1、利用极限的四则运算法则及初等函数连续性求极限例1)()(lim )(lim 000111001110x f a x a x a x a a x a x a x a x f n n n n n n n n x x x x =+++=+++=----→→例2 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>∞=<=++++++=----∞→∞→mn m n b a m n b x b x b x b a x a x a x a x q x p mn m m m m n n n n x m n x 0lim )()(lim 01110111例3 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≠∞==≠=→0)(0)(0)()()(000)()()()()(lim 00000000x q x p x q x p x q x q x p x q x p x x ；洛比达法则例1 求1lim →x 11232-+-x x x解 注意到1=x 使分子和分母都为零，可通过约去公共零因子的方法解决，我们有1lim →x 11232-+-x x x =1lim →x )1)(1()1(22++--x x x x =1lim→x 0112=++-x x x 注：约去零因子后，1=x 成为连续点，便可以利用初等函数的连续性求极限了。
例2 求4lim→x 22312---+x x解 同上题，设法分离出零因子，然后消去。
有4lim→x 22312---+x x =4lim →x )22)(312)(22()22)(312)(312(+-++--+-++-+x x x x x x=4lim →x ()()())312(22)22(3122222++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x x x x =4lim →x ()()()()31242282++-+--x x x x =4lim→x 23233222312)22(2=+⋅=+++-x x类型题2、利用两个重要极限求极限重要极限一及其推广形式 1sin lim0=→xxx ，推广形式 1)()(sin lim0)(=→x x x ϕϕϕ 注意比较以下四个极限1sin lim 0sin lim 0sin lim1sin lim0====∞→→∞→→x x x x x xx x x x x x 例2 求下列函数的极限： （1）0lim →x x x 3sin ； （2）∞→x lim xx3sin .解 （1）0lim→x x x 3sin =0lim →x 333sin ⋅x x x t 3=令 0lim →t 3313sin =⋅=⋅tt. （2）∞→x limxx 3sin =∞→x lim sin 1x 3x=0（因为∞→x lim01=x ，而sin3x 是有界函数） 例 3 求∞→x lim xsin x1解 ∞→x lim xsin x 1=∞→x limxx 11sinx t /1=令 0lim →t .1sin =tt 重要极限二 及其推广形式例1 求∞→x lim xx ⎪⎭⎫ ⎝⎛+21解 ∞→x lim xx ⎪⎭⎫ ⎝⎛+21=∞→x lim 2221⋅⎪⎭⎫⎝⎛+x x 令u=x /2 = ()22101lim e u u u =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→0sin sin lim sin lim 020==→→x xxx x x x 例(07.二.6) 极限=+-∞→xx x x )11(lim类型题3、利用无穷小量的性质求极限x1xsinlim x1xsin lim x x 1sinlim x sinx lim x sinx lim 3001sinx xsinx lim x x sin lim 2010xsinx x 1xsinlim sinx x 1sinx lim1x x x x 0x 0x 20x 0x 20x →∞→∞→∞→→→→→→=•=====例例例类型题4、利用洛必塔法则求极限6lim 5)111(lim 4xlnx lim 3111lim 11x 11x 1-lim arccotx )x 1ln(1lim 21sinx-lim a -x cosa -cosx lim1sin 0x 0x 0x 22x 22x x 0x 0x 例例例例例例xx x e x x x x x x ++→→→+∞→+∞→+∞→→→--=++=+-•+=+==⎰⎰-→x xx dtt t dtt 020)sin 1(2lim求极限类型题5、判断函数在指定点的连续性（连续的定义要明确）例1 判断函数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-≠-=0,21,0,1cos )(2x x xx x f 在x=0处的连续性。
解 因为0lim →x f(x)= 0lim →x =-21cos x x 0lim →x 22)2(sin 2xx-=0lim →x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2122sin 2x x =21-. 又因为 f(0)= 21-，所以函数f(x)在x=0处连续. (07.二.7) 设321)(--+=x x x f ，要使)(x f 在x=3处连续，应补充定义f(3)=_______函数在某一点是否有定义、是否有极限、是否连续、可导、可微之间的关系 小结判断分段函数在分界点处是否连续，首先要判断函数在该点处的极限是否存在，然后考察f(x)在该点的极限值是否等于函数在该点处的函数值，若相等，则函数在分界点处连续，否则就不连续。
类型题6、求函数的连续区间例 求函数f(x)=32231+-x x 的连续区间。
解 因为f(x)的定义域为x 2—3x+2≠0，即(x-1)(x-2)≠0得x ≠1且x ≠2。
所以函数f(x)的连续区间是()()()+∞⋃⋃∞-,22,11,小结由于一切初等函数在其定义域内都连续，因此要求初等函数的连续区间也就是求它的定义域。
类型题7、求函数间断点。
例1 求函数f(x)＝()221+x 的间断点。
解 对于有理分式函数，使分母为零的点是它的不连续点。
使(x+2)2=0的点为x= —2， ∴x= —2是函数f(x)的间断点。
例1 求函数f(x)＝())3(2)1)(2(----x x x x 的间断点。
解 对于有理分式函数，使分母为零的点是它的不连续点。
使（x-2）(x-3)=0的点为x= 2，x= 3 ∴ x= 2，x= 3是函数f(x)的间断点。
类型题8、判定方程根的存在性例1 证明：方程0145=-+x x 至少存在一个实根。
证：设14)(5-+=x x x f ，则函数)(x f 是定义在整个数轴上的初等函数，故在区间]1,0[上连续，且有,0)4()1()1()0(<⋅-=⋅f f ，由零点定理知，至少存在一个点),1,0(∈=c x 使得,0)(=c f 或,0145=-+c c 即方程0145=-+x x 至少存在一个实根.c x =小结：这类证明题一般都是先行设一个函数，这个函数通常是将给定方程的非零项移至方程的一侧所形成的。