2016-2017学年高中数学苏教版必修5章末综合测评3 Word版含解析

章末综合测评(三)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．若不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，那么a＋b＝________.【解析】因为x2－2x－3<0的解集为A＝{x|－1<x<3}，不等式x2＋x－6<0的解集为B＝{x|－3<x<2}，不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B＝{x|－1<x<2}，所以x2＋ax＋b＝0的解为x1＝－1，x2＝2.由根与系数的关系，得a＝－1，b＝－2，则a＋b＝－3.【答案】－32．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．【解析】设生产产品A x件，产品B y件，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．【答案】 216 0003．利用基本不等式求最值，下列运用正确的是________． ①y ＝|x |2＋4|x |≥2|x |2·4|x |＝4|x |≥0；②y ＝sin x ＋4sin x ≥2sin x ·4sin x ＝4(x 为锐角)；③已知ab ≠0，a b ＋ba ≥2a b ·ba＝2； ④y ＝3x ＋43x ≥23x ·43x ＝4.【解析】 ①错，右侧不为定值；②错，sin x ＝4sin x ，则sin x ＝2>1；③错，a b 与ba 为负时不成立．【答案】 ④4．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b .这两年的平均增长率为x ，则x 与a ＋b2的大小关系为________.【导学号：91730075】【解析】 由题意可知A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )≤A ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a ＋b 22，∴x ≤a ＋b 2. 【答案】 x ≤a ＋b25．(2016·南京高二检测)若0≤x ≤1,0≤y ≤2，且2y －x ≥1，则z ＝2y －2x ＋4的最小值为________．【解析】由已知作出可行域(如图)， 由z ＝2y －2x ＋4，得y ＝x －2＋z 2， 当x ＝1，y ＝1时，z min ＝4. 【答案】 4 6．设M ＝a ＋1a －2(2<a <3)，N ＝log 12⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋116，x ∈R ，则M ，N 的大小关系为________．【解析】 M ＝a －2＋1a －2＋2≥2＋2＝4， 此时a －2＝1，a ＝3， 而2<a <3，则M >4，N ＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋116≤log 12116＝4，∴M >N . 【答案】 M >N7．在如图1所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值是________．图1【解析】 若最优解有无数个，则y ＝－1a x ＋za 与其中一条边平行，而三边的斜率分别为13，－1,0，与－1a 对照可知a ＝－3或1，又因z ＝x ＋ay 取得最小值，则a ＝－3.【答案】 －38．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是________．(1)6.5 m ；(2)6.8 m ；(3)7 m ；(4)7.2 m.【解析】 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故答案为(3)．【答案】 (3)9．方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0的两根都大于2，则m 的取值范围是________．【解析】 令f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m ， 要使f (x )＝0的两根都大于2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －2)2－4(5－m )≥0，f (2)>0，－m －22>2，解得⎩⎨⎧m 2≥16，m >－5，⇒－5<m ≤－4，m <－2故答案为(－5，－4]． 【答案】 (－5，－4]10．已知等比数列{a n }各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝a 2＋a 92，Q ＝a 4a 7，则P 与Q 的大小关系是________．【解析】 ∵{a n }是等比数列， ∴a 2·a 9＝a 4·a 7， ∴a 2＋a 92≥a 2a 9＝a 4a 7.又q ≠1，∴a 2≠a 9，∴a 2＋a 92>a 4a 7，∴P >Q . 【答案】 P >Q11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．【解析】 f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.【答案】 (－1,3)12．已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值为________．【解析】 由题意知y ＝x ＋3z 2，所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz＝x 2＋9z 24xz ＋32≥29x 2z 24xz＋32＝32＋32＝3，当且仅当x 2＝9z 2时等号成立， 所以y 2xz 的最小值为3. 【答案】 313．(2016·苏州高二检测)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么不等式f (x ＋2)<5的解集是________.【导学号：91730076】【解析】 因为f (x )为偶函数，所以f (|x ＋2|)＝f (x ＋2)， 则f (x ＋2)<5可化为f (|x ＋2|)<5， 即|x ＋2|2－4|x ＋2|<5， (|x ＋2|＋1)(|x ＋2|－5)<0，所以|x ＋2|<5，解得－7<x <3，所以不等式f (x ＋2)<5的解集是(－7,3)． 【答案】 (－7,3)14．设m >1，在约束条件⎩⎨⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋5y 的最大值为4，则m 的值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，把目标函数化为y ＝－15x ＋z 5，显然当y ＝－15x ＋z5过点A 时取到最大值．此时z ＝4，即y ＝－15x ＋45. 由⎩⎨⎧x ＋5y ＝4，y ＝x ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23.把A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23代入y ＝mx 得，23m ＝23，∴m ＝1. 【答案】 1二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)解关于x 的不等式：x －a x －a 2<0(a ∈R )．【解】 原不等式等价于(x －a )(x －a 2)<0. (1)当a ＝0时，原不等式为x 2<0， ∴x ∈∅.(2)当a ＝1时，原不等式为(x －1)2<0， ∴x ∈∅.(3)当0<a <1时，a >a 2，∴原不等式的解集为{x |a 2<x <a }． (4)当a <0或a >1时，a 2>a ， ∴原不等式的解集为{x |a <x <a 2}．综上，当a ＝0或a ＝1时，不等式解集为∅； 当0<a <1时，不等式解集为{x |a 2<x <a }； 当a <0或a >1时，不等式解集为{x |a <x <a 2}．16．(本小题满分14分)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集是R ，求k 的取值范围．【解】 (1)因为不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，所以－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根且k <0.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧(－3)×(－2)＝6，(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.(2)因为不等式的解集为R ，所以⎩⎨⎧k <0，Δ＝4－4k ·6k <0，即⎩⎨⎧k <0，k >66或k <－66，所以k <－66.即k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－66.17．(本小题满分14分)画出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？ (3)求z ＝x －2y 的最大值．【解】 (1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集点，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，3，y ∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－52≤x ≤3，且x ∈Z ，当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点；当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点；当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点；当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点；当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点；当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点．所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．(3)平移直线y ＝12x －z2，所以当直线过点()3，－3时z 值最大．所以z max ＝3－2×(－3)＝9.18．(本小题满分16分)(2016·江苏高考改编)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，求tan A tan B tan C 的最小值．【解】 在锐角三角形ABC 中， ∵sin A ＝2sin B sin C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B sin C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，等号两边同除以cos B cos C ，得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .∴tan A ＝tan[π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C tan B tan C －1＝2tan B tan C tan B tan C －1.①∵A ，B ，C 均为锐角，∴tan B tan C －1>0，∴tan B tan C >1. 由①得tan B tan C ＝tan Atan A －2.又由tan B tan C >1得tan Atan A －2>1，∴tan A >2.∴tan A tan B tan C ＝tan 2Atan A －2＝(tan A －2)2＋4(tan A －2)＋4tan A －2＝(tan A －2)＋4tan A －2＋4≥24＋4＝8，当且仅当tan A －2＝4tan A －2，即tan A ＝4时取得等号．故tan A tan B tan C 的最小值为8.19．(本小题满分16分)规定：max(a ，b ，c )与min(a ，b ，c )分别表示a ，b ，c 中的最大数与最小数，若正系数二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有公共点，试证：(1)max(a ，b ，c )≥49f (1)； (2)min(a ，b ，c )≤14f (1)．【证明】 由题意知a ，b ，c >0，f (1)＝a ＋b ＋c ，Δ＝b 2－4ac ≥0. (1)若b ≥49f (1)，结论显然成立； 下面证明当b <49f (1)时，结论也成立．记f (1)＝a ＋b ＋c ＝d .，由b 2－4ac ≥0，可知ac ≤b 24<481d 2，而a ＋c ＝d －b >59d ，所以a 2＋481d 2≥a 2＋ac ＝a (a ＋c )>59ad ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a －19d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －49d >0，解得a <19d 或 a >49d .若a <19d ，则a ＋c >59d ，c >49d . 因此，必有a >49f (1)或b >49f (1)或 c >49f (1)，于是max(a ，b ，c )≥49f (1)． (2)若a ≤14f (1)，结论显然成立； 下面证明当a >14f (1)时，结论也成立． 因为b ＋c ＝d －a <34d 且b 2≥4ac >cd ，所以c ＋cd <c ＋b <34d ， 整理为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32d ⎝ ⎛⎭⎪⎫c －12d <0，解得c <14d .因此，必有a ≤14f (1)或c <14f (1)，于是min(a ，b ，c )≤14f (1)．20．(本小题满分16分)(2016·南京高二检测)某个集团公司下属的甲、乙两个企业在2016年1月的产值都为a 万元，甲企业每个月的产值与前一个月相比增加的产值相等，乙企业每个月的产值与前一个月相比增加的百分数相等，到2017年1月两个企业的产值再次相等．(1)试比较2016年7月甲、乙两个企业产值的大小，并说明理由． (2)甲企业为了提高产能，决定投入3.2万元买台仪器，并且从2017年2月1日起投入使用．从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元，(n ∈N *)，求前n 天这台仪器的日平均耗资(含仪器的购置费)，并求日平均耗资最少时使用的天数？【解】 (1)设从2016年1月到2017年1月甲企业每个月的产值分别为a 1，a 2，a 3，…，a 13，乙企业每个月的产值分别为b 1，b 2，…，b 13，由题意{a n }成等差数列，{b n }成等比数列，所以a 7＝12(a 1＋a 13)，b 7＝b 1·b 13，因为a 1＝b 1，a 13＝b 13，从而a 7＝12(a 1＋a 13)>a 1·a 13＝b 1·b 13＝b 7，所以到7月份甲企业的产值比乙企业的产值要大． (2)设一共使用了n天，n天的平均耗资P (n )＝32 000＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4910＋2＋4910＋3＋4910＋…＋n ＋4910n＝32 000＋49n 10＋n (n ＋1)20n＝32 000n ＋n 20＋9920≥232 000n ×n 20＋9920＝1 69920(元)，当且仅当32 000n＝n20时，取得最小值，此时n＝800，即日平均耗资最少时使用了800天．。