陕西省2019年中考数学试题研究 类型3 线段最值问题练习

类型3 线段最值问题
6. 问题探究
(1)如图①，点M、N在直线l异侧，在直线l上找一点P，使P到M、N两点的距离之和最短；
(2)如图②，点M、N在直线l同侧，若MN＝2，点M、N到直线l的距离分别为2和1，在直线l上找一点P，使P到M、N两点的距离之和最短，求最短距离为多少？
问题解决
(3)聪聪的爸爸是供电公司的线路设计师，公司准备在输电农田区l上连接一个分支线路，为M、N两个村落同时输电．如图③所示，农田区两侧AB与CD平行，且农田区宽为0.5千米，村落M到农田AB一侧的距离为2千米，村落N到农田CD一侧的距离为1千米，两村落M、N的连线与农田区l所夹锐角恰好为45°，根据架线要求，当线路通过农田区时，要求线路与农田区垂直．请你帮助聪聪的爸爸设计出最短的分支线路，并根据所画示意图计算出最短线路．(要求：写出计算过程，结果保留根号)
第6题图
解：(1)如解图①，连接MN，与直线l相交于点P，点P即为所求；
第6题解图①第6题解图②
(2)如解图②，连接MN，作点N关于l的对称点N′，连接MN′交l于点P，此时P到M、N 两点的距离最短．
过点M作MO⊥l于点O，并延长到点C，使OC＝1，过点N作NF⊥MO于点F，连接N′C，根据作图可知四边形NDOF为矩形，即ND＝N′D＝FO＝OC＝1.
又∵MO＝2, MN＝2，则MF＝MO－FO＝2－1＝1，MC＝MO＋OC＝3，
∴N′C＝FN＝MN2－MF2＝22－12＝3，
∴N′M＝MC2＋N′C2＝32＋（3）2＝23；
(3)如解图③，过点M作l的垂线，过点N作l的平行线，两条线交于点O，再在MO上找一点P，使得点P与点O关于l对称，连接PN，与农田区CD一侧的交点为点F，过点F作农田区AB一侧的垂线，垂足为E，然后连接MN及ME.
第6题解图③
根据题意可知在Rt△MON中，∵∠MNO＝45°，
∴△MON为等腰直角三角形，故OM＝ON＝3.5千米，
结合作图中的对称性，可知PO＝3千米，
∴MP＝MO－PO＝3.5－3＝0.5(千米)，
又∵EF⊥l，MO⊥l，且MP＝EF, ∴四边形MPFE为平行四边形，∴ME＝PF，即ME＋FN＋EF＝PN＋EF，
∴线路ME→EF→FN的线路为最短线路．
∵在Rt△PON中，PN＝OP2＋ON2＝32＋3.52＝85
2
(千米)，
∴ME＋EF＋FN＝PN＋EF＝85＋1
2
(千米)．
∴最短线路长为85＋1
2
千米．
7. 问题探究
(1)如图①，点M、N分别是△ABC边AB、AC上任意一点，在BC边上确定一点P，使得PM＋PN的值最小；
(2)如图②，点M是边长为2的正方形ABCD对角线AC上一动点，点N为CD边的中点，求△DMN 周长的最小值；
问题解决
(3)如图③，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB边的中点，在OA上取一点D，将△BDA 沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．若M为x轴上任意一点，N为y轴上任意一点，当四边形MNFE的周长最小时，求出点M、N的坐标，并求出周长的最小值．
第7题图
解：(1)如解图①，作点M关于BC的对称点M′，连接M′N交BC于点P，则点P就是所求的点；
第7题解图
(2)如解图②，连接BD 交AC 于点O ， ∵正方形的对角线互相垂直平分， ∴点D 关于AC 的对称点为点B ， 连接BN ，交AC 于点M ，连接DM ， ∴DM ＋MN ＝MB ＋MN ＝BN .
在AC 上任取一点M ′，连接BM ′、DM ′、M ′N ， 则DM ′＋M ′N ＝BM ′＋M ′N >BN ， ∴点M 就是所求的点， ∵线段DN 的长为定值，
∴当DM ＋MN 的值最小时△DMN 的周长最小， 即周长的最小值为BN ＋DN 的值．
∵正方形ABCD 的边长为
2，N 为DC 的中点，
∴DN ＝1，BN ＝22
＋12
＝5，
∴△DMN 的周长的最小值为5＋1；
(3)∵在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点， ∴点E 坐标为(3，1)．
又∵△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处， 可知四边形ADFB 是正方形， ∴BF ＝AB ＝OC ＝2， CF ＝BC －BF ＝3－2＝1， ∴点F 的坐标为(1，2)．
如解图③，作点E 关于x 轴的对称点E ′，作点F 关于y 轴的对称点F ′，连接E ′F ′，分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，连接FN 、ME 、EF ，在OC 上任取一点N ′，在OA 上任取一点M ′，连接F ′N ′、N ′M ′、M ′E ′、FN ′、EM ′，则EF ＋FN ′＋N ′M ′＋M ′E ＝EF ＋F ′N ′＋N ′M ′＋M ′E ′>E ′F ′，则取M 、N 点时四边形MNFE 的周长最小．
第7题解图③
∴E ′(3，－1)，F ′(－1，2)，
设直线E ′F ′的解析式为y ＝kx ＋b ，将点E ′、F ′的坐标分别代入，
得⎩
⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝－1
－k ＋b ＝2，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－
34b ＝54
，
∴直线E ′F ′的解析式为y ＝－34x ＋5
4.
当y ＝0时，x ＝53，故点M 的坐标为(5
3，0)，
当x ＝0时，y ＝54，故点N 的坐标为(0，5
4
)．
∵点E 与E ′关于x 轴对称，点F 与F ′关于y 轴对称，
∴NF ＝NF ′，ME ＝ME ′，F ′B ＝4，E ′B ＝3.
在Rt △BE ′F ′中，E ′F ′＝BE ′2
＋BF ′2
＝32
＋42
＝5， ∴FN ＋NM ＋ME ＝F ′N ＋NM ＋ME ′＝F ′E ′＝5， 在Rt △BEF 中，EF ＝BE 2
＋BF 2
＝12
＋22
＝5， ∴FN ＋NM ＋ME ＋EF ＝5＋5，
∴四边形MNFE 周长的最小值是5＋ 5.。