专题：二次函数中的符号问题
26.1二次函数(7)有关符号的判断
精讲点拨：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号：由抛物线的开口方向确定 开口向上 开口向下 a>0 a<0
由抛物线与y轴的交点位置确定 （2）C的符号： 交点在x轴上方 c>0
交点在x轴下方
经过坐标原点
c<0
c=0
先定a的符号，由对称轴的位置确定 （3）b的符号：
对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧
开口向上
对称轴是：直线x 1
练习：
1.二次函数y=a(x+k)2+k(a≠0)，无论k取什么实数， 图象顶点必在（ ）A . A.直线y=-x上 B.x轴上 C.直线y=x上 D.y 轴上
2.若所求的二次函数的图象与抛物线y=2x2 －4x－1 有相同的顶点，并且在对称轴左侧，y随x的增大而 增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，则所求 的二次函数的解析式为（ A ） A.y=-x2+2x-4 B.y=ax2-2ax+a-3(a>0) C.y=-x2-4x-5 D.y=ax2-2ax+a-3(a<0)
课堂作业
1.已知二次函数y=ax2+bx+c， 写出a、b、c、△的符号。 2.二次函数y=ax2+bx+c的图
c 像如图所示，求点M（b, ) a 所在得象限
3、已知抛物线y=-2x2+3x-1，画出 抛物线的草图。
4、若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两
个交点，则a的取值范围是 ( D )
练一练：
1、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中不正确的是 （ D ） y A、abc＞0 B、b2-4ac＞0
二次函数中的符号问题
基础回顾：
1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向、形状与什么 有关？
a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下。
a 相等
抛物线的形状相同
2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是（0、c）.
3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是 X=- b .
2a
2
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
y
根据图像可得：
1、a＞0
2、- b ＞0
2a
o
x 3、△=b²-4ac＞0
4、C＞0
6
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
根据图像可得：
1、a＞0
b
2、-
＜0
2a
o
x 3、△=b²-4ac＞0
4、C＝0
7
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
M
B 1
Ax
O
1
17
再想一想：
5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a<0）的
图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是 -2 .
设正方形的对角线长为2n， 根据图像可得：
∵A（0、2n）、B（-n、n）、 C（n、n） ∴n=a（±n）²+2n、c=2n，
∴a=- 1 ，∴ac=2n*（-
②如图2a＋b _______0 4a＋2b＋c_______0
12
根据图象填空：
（1）a_____0； （2）b_____0； （3）c______0； （4）b2 4ac _____0； （5）a＋b＋c_____0； （6）a－b＋c_____0； （7）2a＋b_____0；
期末专题复习(一)二次函数的符号判断
的图象与 轴交于点
， 两点，与 轴交于点 ，对称轴为直线 숸 ，点 的坐标为 ，则下列
结论：① 숸 ；② t t ；③ t ；④ t t ，其中正确的结
论有
个．
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
7. 如 图 10 ， 二 次 函 数 숸 t t
的部分图象如图所示，图象过点
，对称轴为直线 숸 ，下列结论：（1） t 숸 ；（2） t t；
...
与 b （对称轴）和 a b c,3a b,2a 2b,2a b... 等特殊符号判断 2a
2a c,2a b, a b, a b 将对称轴与常数大小作比较/通过代入消元法解决.
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期末专题复习·九年级·数学
图象的一部分，对称轴为 숸 ，且
经过点
．有 下列 说法 ：① tt ； ② t 숸 ；③ t t ； ④若
，
是抛物线上的两点，则 숸 ．上述说法正确的是
A. ①②④
B. ③④
C. ①③④
D. ①②
图2
例题 3. （2018·深圳中考）如图 3，二次函数 숸 t
A. tt
B. t
C. t
A.
B.
C.
D.
10. 当 t 时， 숸 与 숸 t 的图象大致是
A.
B.
C.
D.
11. ，函数 숸 与 숸 在同一直角坐标系中的大致图象可能是
图 12
A.
B.
C.
D.
12. 如图 13，二次函数 숸 t t 的图象经过点
中考数学二次函数由图像判断符号题目(大全)
二次函数判断符号问题大全1 函数y=ax + 1与y=ax 2+ bx + 1 （a 工0的图象可能是（）大而增大；④a - b ■ C ：：： 0，其中正确的个数（） A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个4、 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图2所示，若点A （1, yj 、B （2, y ?）是它图象上的两点，贝V y i 与y 2的大小关系是（ 、A . y 1 ::: y 2 B . y 1 = y 2 C . y 1 y 2 D .不能确定 5、 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c （a 丰0）的图象如图所示，给出以下结论： ①a > 0.②该函数的图象关于直线 x =1对称•③当x 二-1或x 二3时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ 、A . 3 B . 2 C . 1 D . 02y = bx • b 2 -4ac 与反比例函数1Xo2、（3、 A .B .C .D .①ac 0 ；②方程ax 2 bx 0的两根之和大于 0 ；③y 随x 的增6、二次函数y =ax bx c的图象如图所示，则一次函数在同一坐标系内的图象大致为（①b ：：： 0②c0③b 2-4ac 0④a-b ，c ：：：0，其中正确的个数有()A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2①b ：：：0②c 0③b -4ac 0④a-b ，c ：：：O ，其中正确的个数有(2已知二(a = 0 )的图象如图4所示，有下列四个结论：7 题图 8 题图 9 题图8、已知=次函数y = ax 2 +bx+c 的图象如图.则下列5 个代数式：ac , a+b+c , 4a — 2b+c ,2a+b , 2a — b 中，其值大于0的个数为(B 3C 、4D 、52已知二次函数y = ax bx c(a = 0 )的图象如图所示，有下列四个结论：2a +b + c则一次函数 y = bx • b -4ac 与反比例函数 y 二10、二次函数y =ax bx c 的图象如图所示,A . 在同一坐标系内的图象大致为B .x C.xD .211、小强从如图所示的二次函数y =ax bx c 的图象中，观察得出了下面五条信息：（1） a ::： 0 ； （2）c 1 ； （ 3）b 0 ； （ 4） a b c 0 ；（ 5）a-b ・c 0.你认为其中正确信息的个数有A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个能是（）14、 二次函数y =ax 2 bx c 的图象如图6所示，则下列关系式不正确的是A . a v 0B. abc >0C. a b c > 0D. b 2 -4ac > 02J严：1 11 i/O ! 4\212、二次函数 y =ax bx c （a = 0）的图象如图所示，对称轴是直线x = 1，则下列四个结论错误.的是13、在同一直角坐标系中，函数2B . 2a b=0C . b -4ac 0D . a -b c 02y = mx m 和函数 y = -mx 2x 2（m 是常数，且m = 0 ）的图象可12题图15、已知二次函数y =ax - bx - c的图象如图所示，有以下结论：① a b ： 0:② b c 1 :③abc 0 :④4a -2b • c ：：： 0 :⑤c - a 1其中所有正确结论的序号是（）A .①②B .①③④C .①②③⑤D .①②③④⑤15题图216、二次函数 y =ax bx c(a =0)B . b :: 017、二次函数y 二ax 2 - bx c 的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（）D . b 2 -4ac ：：0 C . c ： 0)。
二次函数的符号的问题浙教版
观察抛物线的对称轴位置，若对称轴在 $y$ 轴左侧，则 $a$ 与 $b$ 同号；若对称轴在 $y$ 轴右侧，则 $a$ 与 $b$ 异号。
已知二次函数根的情况求符号
若方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 有两个不相等的实根，则 $Delta = b^2 - 4ac > 0$，且 $a neq 0$。
当二次函数无实根时，若$a > 0$，则 函数值始终大于0；若$a < 0$，则函
数值始终小于0。
04 典型例题分析
已知二次函数解析式求符号
对于形如 $y = ax^2 + bx + c$ 的二次函数，若 $a > 0$，则抛 物线开口向上，若 $a < 0$，则
抛物线开口向下。
抛物线的对称轴为 $x = frac{b}{2a}$，若 $a$ 与 $b$ 同 号，则对称轴在 $y$ 轴左侧，若 $a$ 与 $b$ 异号，则对称轴在
二次函数与绝对值不等式
将绝对值不等式转化为分段函数，再结合二次函数的性质进行求解。
二次函数与实际应用问题
二次函数与最值问题
利用二次函数的性质，可以求解实际生活中的最值问题，如最大 利润、最小成本等。
二次函数与拟合问题
通过最小二乘法等方法，可以用二次函数对数据进行拟合，预测 未来趋势。
二次函数与动态规划
若方程有两个相等的实根，则 $Delta = b^2 - 4ac = 0$，且 $a neq 0$。
若方程无实根，则 $Delta = b^2 - 4ac < 0$，且 $a neq 0$。
05 浙教数的符号问题
参数影响二次函数开口方向
01
当参数使得二次项系数为正时，函数开口向上；为负时，开口
初中数学专题训练：二次函数图象与a,b,c,b2-4ac等符号问题(含答案)
初中数学专题训练：二次函数图象与a，b，c，b2－4ac等符号问题（含答案）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a，b，c及判别式b2－4ac的符号之间的关系：一、选择题1．已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( )A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1)B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2－ZT－1所示，则下列关系式错误的是( )图2－ZT－1A．a＜0B．b＞0C．b2－4ac＞0D．a＋b＋c＜03．以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b 的取值范围是( )A．b≥54B．b≥1或b≤－1C．b≥2 D．1≤b≤24．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图2－ZT－2所示，则正比例函数y＝(b＋c)x与反比例函数y＝a－b－cx在同一坐标系中的大致图象是( )图2－ZT－2图2－ZT－35．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与反比例函数y＝bx的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y＝bx＋ac的图象可能是( )图2－ZT－46．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图2－ZT－5所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0.其中正确的是( )图2－ZT－5A．①④ B．②④C ．①②③D ．①②③④7．如图2－ZT －6，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象交x 轴于点A (－2，0)和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB ＝OC .下列结论：①2b －c ＝2；②a ＝12；③ac ＝b －1；④a ＋bc ＞0，其中正确的结论有( )图2－ZT －6A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－2，与x 轴的一个交点在(－3，0)和(－4，0)之间，其部分图象如图2－ZT －7所示，则下列结论：①4a －b ＝0；②c ＜0；③－3a ＋c ＞0；④4a －2b ＞at 2＋bt (t 为实数)；⑤点⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，y 1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 3是该抛物线上的点，则y 1＜y 2＜y 3.正确的结论有( )图2－ZT －7A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 二、填空题9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分如图2－ZT －8所示，则a 的取值范围是________．图2－ZT－810．如图2－ZT－9是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点是B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x(ax＋b)≤a＋b.其中正确的结论是________．(只填写序号)图2－ZT－911．如图2－ZT－10，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A(－1，0)，C(x，0)，且与y轴交于点B(0，－2)，小强得到以下结论：2①0＜a＜2；②－1＜b＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时，x2＞5－1.以上结论中，正确的结论序号是________．图2－ZT－1012．如图2－ZT－11，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3，与y轴负半轴交于点C.在下面五个结论中：①2a－b＝0；②a＋b＋c>0；③c＝－3a；④当a＝12时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有四个．其中正确的结论是________(只填序号)．图2－ZT－11三、解答题13．如图2－ZT－12，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于B，C两点，交y轴于点A.(1)根据图象确定a，b，c的符号；(2)如果OC＝OA＝13OB，BC＝4，求这个二次函数的表达式．图2－ZT－1214．已知函数y＝ax2＋bx＋c，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个函数的图象与x轴交点的情况是怎样的？若无交点，请说明理由；若有交点，请说明有几个交点及交点分别在x轴的哪个半轴上．详解详析二次函数图象与a，b，c，b2－4ac等符号问题1．[答案] D2．[解析] D 抛物线开口向下，则a＜0，所以A选项的关系式正确；抛物线的对称轴在y轴的右侧，a，b异号，则b＞0，所以B选项的关系式正确；抛物线与x轴有2个交点，则b2－4ac＞0，所以C选项的关系式正确；当x＝1时，y＞0，即a＋b＋c＞0，所以D选项的关系式错误．3．[答案] A4．[答案] C5．[解析] B 由公共点的横坐标为1，且在反比例函数y＝bx的图象上，当x＝1时，y＝b，即公共点的坐标为(1，b)．又点(1，b)在抛物线上，得a＋b＋c＝b，即a＋c＝0.由a≠0知ac＜0，一次函数y＝bx＋ac的图象与y轴的交点在负半轴上，而反比例函数y＝bx的图象的一支在第一象限，故b＞0，一次函数的图象满足y随x的增大而增大，选项B符合条件．故选B.6．[解析] C ①抛物线的开口向上，所以a>0.抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝1，所以b<0，所以ab＜0.所以①正确；②抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac>0，所以b2＞4ac.所以②正确；③由图象知，当x＝1时，y＝a＋b＋c<0.又抛物线与y轴交于负半轴，所以c<0，所以a ＋b＋2c＜0.所以③正确；④由抛物线的对称性知当x ＝3时，y ＝9a ＋3b ＋c>0.又－b2a＝1，所以b ＝－2a ，所以3a ＋c>0.所以④错误．综上可知，正确的是①②③.故选C.7．[解析] C 在y ＝ax 2＋bx ＋c 中，当x ＝0时y ＝c ，∴C(0，c)，∴OC ＝－c.∵OB＝OC ，∴B(－c ，0)．∵A(－2，0)，∴－c ，－2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根，∴－c·(－2)＝c a .∵c≠0，∴a ＝12，②正确；∵－c ，－2是一元二次方程12x 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根，∴－c ＋(－2)＝－b12，即2b －c ＝2，①正确；把B(－c ，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得0＝a(－c)2＋b·(－c)＋c ，即ac 2－bc ＋c ＝0.∵c≠0，∴ac －b ＋1＝0，∴ac ＝b －1，③正确；∵抛物线开口向上，∴a ＞0.∵抛物线的对称轴在x 轴左侧，∴－b2a ＜0，∴b ＞0，∴a ＋b ＞0.∵抛物线与y 轴负半轴交于点C ，∴c ＜0.∴a ＋bc＜0，④错误．8．[解析] B ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－2，∴－b2a＝－2，∴4a －b ＝0，故①正确；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－2，与x 轴的一个交点在(－3，0)和(－4，0)之间，∴另一个交点位于(－1，0)和(0，0)之间，∴抛物线与y 轴的交点在原点的下方，∴c ＜0.故②正确；∵4a －b ＝0，∴b ＝4a.∵当x ＝－3时，y ＝9a －3b ＋c ＝9a －12a ＋c ＝－3a ＋c>0，故③正确；∵4a －b ＝0，∴b ＝4a ，∴at 2＋bt －(4a －2b)＝at 2＋4at －(4a －2×4a)＝at 2＋4at ＋4a ＝a(t 2＋4t ＋4)＝a(t ＋2)2.∵t 为实数，a ＜0，∴a(t ＋2)2≤0，∴at 2＋bt －(4a －2b)≤0，∴at 2＋bt≤4a－2b ，即4a －2b≥at 2＋bt ，∴④错误；∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，y 1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 3是该抛物线上的点，∴将它们描在图象上可得由图象可知：y1<y3<y2，故⑤错误．综上所述，正确的有3个．故选B.9．[答案] －1＜a＜0[解析] ∵抛物线开口向下，∴a＜0.∵函数图象过点(0，1)，∴c＝1.∵函数图象过点(1，0)，∴a＋b＋c＝0，∴b＝－(a＋c)＝－(a＋1)．由题意知，当x＝－1时，应有y＞0，∴a－b＋c＞0，∴a＋(a＋1)＋1＞0，∴a＞－1，∴a的取值范围是－1＜a＜0.10．[答案] ②⑤[解析] ①根据函数图象的开口方向、对称轴、与y轴交点可知，a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0；②根据函数图象的顶点坐标可知，方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根，即x1＝x2＝1；③根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点是(－2，0)；④根据函数图象，当1＜x＜4时，有y2＜y1；⑤当x＝1时，y＝a＋b＋c＝3≥x(ax＋b)＋c，∴x(ax＋b)≤a＋b.故正确的结论有②⑤.11．[答案] ①④[解析] 由抛物线的开口向上可知，a ＞0，且抛物线经过点A(－1，0)，B(0，－2)，对称轴在y 轴的右侧可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，c ＝－2，－b 2a>0，即a －b ＝2，b ＜0，故a ＝2＋b ＜2.综合可知0＜a ＜2；由a －b ＝2可得a ＝b ＋2，将其代入0＜a ＜2中，得0＜b ＋2＜2，即－2＜b ＜0；当|a|＝|b|时，因为a ＞0，b ＜0，故有a ＝－b.又a －b ＝2，可得a ＝1，b ＝－1. 故原函数为y ＝x 2－x －2，当y ＝0时，即有x 2－x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2，此时x 2＝2＞5－1.故答案为：①④.12．[答案] ③④[解析] ∵抛物线与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为－1，3，∴AB ＝4，对称轴为直线x ＝－b 2a＝1，∴b ＝－2a ，即2a ＋b ＝0.故①错误；根据图象知，当x ＝1时，y ＜0，即a ＋b ＋c ＜0.故②错误；∵点A 的坐标为(－1，0)，∴a －b ＋c ＝0，而b ＝－2a ，∴a ＋2a ＋c ＝0，即c＝－3a.故③正确；当a ＝12时，b ＝－1，c ＝－32，抛物线的函数表达式为y ＝12x 2－x －32.设对称轴直线x ＝1与x 轴的交点为E ，∴把x ＝1代入y ＝12x 2－x －32，得y ＝12－1－32＝－2，∴点D 的坐标为(1，－2)，∴AE ＝2，BE ＝2，DE ＝2，∴△ADE 和△BDE 都为等腰直角三角形，∴△ABD 为等腰直角三角形．故④正确；要使△ACB 为等腰三角形，则必须保证AB ＝BC ＝4或AB ＝AC ＝4或AC ＝BC ，当AB ＝BC ＝4时，∵BO ＝3，△BOC 为直角三角形，OC 的长为|c|，∴c 2＝16－9＝7.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c ＝－7，与2a ＋b ＝0，a －b ＋c ＝0联立组成方程组，解得a ＝73； 当AB ＝AC ＝4时，∵AO ＝1，△AOC 为直角三角形，OC 的长为|c|，∴c 2＝16－1＝15.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c ＝－15，与2a ＋b ＝0，a －b ＋c ＝0联立组成方程组，解得a ＝153； 当AC ＝BC 时，在△AOC 中，AC 2＝1＋c 2，在△BOC 中，BC 2＝c 2＋9.∵AC ＝BC ，∴1＋c 2＝c 2＋9，此方程无解．∴只有两个a 值满足条件．故⑤错误．综上所述，正确的结论是③④.13．解：(1)∵抛物线开口向上，∴a>0.又∵对称轴x ＝－b 2a<0， ∴a ，b 同号，即b>0.∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c<0.综上所述，a>0，b>0，c<0.(2)∵OC＝OA ＝13OB ，BC ＝4， ∴点A 的坐标为(0，－1)，点B 的坐标为(－3，0)，点C 的坐标为(1，0)．把A ，B ，C 三点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，可得⎩⎨⎧－1＝c ，0＝9a －3b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝23，c ＝－1， ∴该二次函数的表达式是y ＝13x 2＋23x －1. 14．[全品导学号：63422210]解：∵a＞0，b ＜0，c ＜0，∴b 2－4ac ＞0，∴这个函数图象与x 轴有两个交点．设这个函数图象与x 轴的交点坐标为(x 1，0)，(x 2，0)．∵x 1·x 2＝c a，a ＞0，c ＜0，∴x1·x2＜0，∴这个函数图象与x轴有两个交点，一个交点在x轴的正半轴上，另一个交点在x轴的负半轴上．。
二次函数的符号问题
y a>0, b>0, c=0, o x △>0.
练习
3、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定 、 、抛物线 如图所示， 如图所示 试确定a、 b、c、△的符号： 、 、 的符号：
二次函数的符号问题
知识点一： 知识点一：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： 的符号问题： 抛物线 的符号问题 的符号： （1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定 ） 的符号 a>0 a<0 由抛物线与y轴的交点位置确定 的符号： （2）C的符号： ） 的符号 由抛物线与 轴的交点位置确定 c>0 交点在y轴正半轴 交点在 轴正半轴 交点在y轴负半轴 交点在 轴负半轴 经过坐标原点 c<0 c=0 开口向上 开口向下
c
二次函数的图象和性质
二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的几个特例 的几个特例： 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例： y (1)当 (1)当x=1 时， y=a+b+c (2)当x=(2)当x=-1时， y=a-b+c (3)当x=2时 (3)当x=2时，
x -2 -1 o 1 2
练习
o
x
o
x （C） ）
o （D） ）
x
练习
9、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 、已知：二次函数 的图象如图所 下列结论中： 示，下列结论中：①abc＞0；②b=2a； ＞ ； ； ③a+b+c＜0；④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的 ＜ ； ＞ ＞ 正确的 个数是 （ C ） A、2个 、 个 C、4个 、 个 B、3个 、 个 D、5个 、 个
二次函数中的符号问题
→
3 、C ＞ 0
b ＜ 0
-1 o
1
x
→ b = 2a
X=-1
练一练：
3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①b＞0；②c＜0；③4a+2b+c＞0；④ （a+c)2＜b2其中正确的个数是（ B ） A 、4 个 B 、3 个 C 、2 个 D 、1 个 y
根据图像可得： 1 、a ＜ 0
下降的
⇔
k ＜0
（2）、b符号的： 是由直线y=kx+b与y轴的交点位置确定的； ① 交于y轴的正半轴 ② 交于y轴的正半轴 ③ 交于原点
⇔ ⇔ ⇔
b ＞0 b ＜0 b ＝0
⑶、k和b的符号共同确定直线y=kx+b经过的象限。
二、新知讲解与归纳：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题
（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定；
①与x轴有两个交点 ②与x轴有一个交点
③与x轴无交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
利用以上知识主要解决以下两方面问题：
（1）由抛物线的位置确定系数a、b、c、及∆（b²-4ac) 等有关含a、b、c的某些代数式的符号； （2）由a、b、c、及∆ （b²-4ac)的符号确定抛物线在 坐标系中的大致位置。
→b
o x 3 、C = 0
＞ 0
4、△ = b²- 4ac ＞ 0
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
根据图像可得：
y 1、a ＞ 0
→b
o x 3 、C ＞ 0
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y
C、4个
D、5个
；
-1 o
1
x
练一练：
3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0； ④（a+c)2＜b2，其中正确的个数是 （ B ） A、4个 C、2个 B、3个 D、1个 y
o x=1
x
练一练：
4.如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）
y
2
x -1 O 1
这节课你有哪些体会？
1.a,b,c等符号与二次函数y=ax2+bx+c有密切的 联系； 2.解决这类问题的关键是运用数形结合思想， 即会观察图象；如遇到2a+b,2a-b要与对称轴联 系等； 3.要注意灵活运用数学知识，具体问题具体分 析
课外作业：
1.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和 一次函数y2=mx+n的图象，观察 图象写出y2 ≥y1时，x的取值范围 是________;
仔细想一想：
7. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点 （-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴． (以下有(1)、(2)两问，你只需选答一问，若两问都答,则只以 第(2)问计分) 第(1)问：给出四个结论： ①a>0；② b>0；③c>0；④ a+b+c=0．其中正确结论的序号 是 ①④ （答对得3分，少选、错选均不得分）． 第(2)问：给出四个结论： ① abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1．其中正确结论的序 号是 ② ③ ④（答对得5分，少选、错选均不得分）．
b2-4ac>0
b2-4ac=0 b2-4ac<0
归纳知识点：
（5）a+b+c的符号： 由x=1时抛物线上的点的位置确定 （6）a-b+c的符号： 由x=-1时抛物线上的点的位置确定
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
.
.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定 开口向上 开口向下 （2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定: 交点在x轴上方 c>0 c<0 a>0 a<0
交点在x轴下方
经过坐标原点
c=0
归纳知识点：
（3）b的符号：由对称轴的位置确定： 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴 （4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定: 与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点 a、b同号 a、b异号 b=0 简记为：左同右异
二次函数中的符号问题
(a、b、c、△等符号)
教学目标
由a,b,c,
△的符号确定抛物线在坐 标系中的大致位置
由抛物线在坐标系中的位置确定
a,b,c, △等符号及有关a,b,c的代 数式的符号
回味知识点：
1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关？
2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是 3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是
o
x
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
例题
若抛物线 y (m 1) x 2mx m 3 位于x轴上方,求m的取值范围.
2
练一练：
1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点 b M（ ，a）在（ D ） c y A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
o x
练一练：
2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①abc＞0；② a+b+c＜0 ③ a-b+c＞0 ； ④a+b-c＞0; ⑤ b=2a正确的个数是 （ ） C A、2个 B、3个
y y y y
o
x
o x
o x
o
x
A
B
C
D
想一想：
5. 二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的 顶点M在第二象限，且经过A(1,0),B(0,1),请判断实数a的 范围,并说明理由.
y M 1 B A x O 1
再想一想：
6.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a<0） 的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值 是 -2 .