2014考研数学一真题及答案
2014年考研数一真题及答案解析
2014年考研数一真题与答案解析数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）B（2）D（3）D（4）B（5）B（6）A（7）（B ）（8）（D ）二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）012=---z y x（10）11=-)(f（11）12+=x x yln（12）π（13）[-2,2]（14）25n三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）【答案】（16）【答案】x y )(y 20-==或舍。
x y 2-=时，所以21-=)(y 为极小值。
（17）【答案】令u y cos e x =，则u )u (f )u (f +=''4， 故)C ,C (,u e C e C )u (f u u 为任意常数2122214-+=-由,)(f ,)(f 0000='=得（18）【答案】 补{}∑=11z )z ,y ,x (:的下侧，使之与∑围成闭合的区域Ω，（19）【答案】（1）证}a {n 单调 由20π<<n a ，根据单调有界必有极限定理，得n n a lim ∞→存在， 设a a lim n n =∞→，由∑∞=1n n b 收敛，得0=∞→n n b lim ， 故由n n n b cos a a cos =-，两边取极限（令∞→n ），得10==-cos a a cos 。
解得0=a ，故0=∞→n n a lim 。
（20）【答案】①()1,2,3,1T - ②123123123123261212321313431k k k k k k B k k k k k k -+-+--⎛⎫ ⎪--+ ⎪= ⎪--+ ⎪⎝⎭()123,,k k k R ∈ （21）【答案】利用相似对角化的充要条件证明。
2014年考研数学(一)真题与解析(完整版)
1
1
应该选（D）
４． 若函数
( x a1 cos x b1 sin x ) 2 dx min ( x a cos x b sin x ) 2 dx ，则 a1 cos x b1 sin x
a ,bR
（Ａ） 2 sin x 【详解】注意
1 y 1 ，可知 lim 1 且 lim ( y x ) lim sin 0 ，所以有斜渐近线 y x x x x x x x
（B）当 f ' ( x ) 0 时， f ( x ) g ( x ) （D）当 f ( x ) 0 时， f ( x ) g ( x )
（Ｂ） 2 cos x
（Ｃ） 2 sin x
（Ｄ） 2 cos x
x
2
2 dx 3 ， cos 2 xdx sin 2 xdx ， x cos xdx cos x sin xdx 0 ， 3 2
x sin xdx 2 ，
如果换成直角坐标则应该是
0
1
dx
1 x 2
0
f ( x , y )dy dx
0
1
1 x
0
（ A） ， （B） f ( x , y )dy ，
两个选择项都不正确；
如果换成极坐标则为
2 0
d cos sin f ( r cos , r sin )rdr d cos sin f ( r cos , r sin )rdr ．
2 2
其中 :
2014年考研数学一真题及答案解析
(B)充分非必要条件. (D)既非充分也非必要条件.
1 0 【解析】由 (α 1 + kα 3, α 2 + lα 3) = (α 1, α 2, α 3) 0 1 知， k l
当 α 1, α 2, α 3 线性无关时，因为
1 0 ≠0 0 1
所以 α 1 + kα 3, α 2 + lα 3 线性无关 反之不成立 如当 α 3 = 0 ,
}
， 则
a1 cos x + b1 sin x =
（A） 2π sin x . 【解析】 解析】令 Z ( a, b) = (B) 2 cos x . (C) 2π sin x . (D) 2π cos x .
∫
π
−π
( x − a cos x − b sin x) 2 dx
π Za ′ = 2∫ −π ( x − a cos x − b sin x)(− cos x)dx = 0 π ′ Zb = 2∫ −π ( x − a cos x − b sin x)(− sin x)dx = 0
针方向，则曲面积分 [ ] zdx + ydz =___________.
∫
x = cos t 【解析】 解析】令 y = sin t z = − sin t
∴
t : [0,2π]dz =
∫ [− sin t (− sin t ) + sin t (− cos t )]dt
2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析(完 整精准版)
一、选择题： 选择题：1~8 小题， 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出四个选项中， 下列每题给出四个选项中，只有一个选项 符合题目要求的， 符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。 请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。 （1）下列曲线中有渐近线的是 （A） y = x + sin x . (B) y = x 2 + sin x . (C) y = x + sin
2014考研数一真题答案及详细解析
令y'=O,得y = -2x,或y =O (不适合方程 ， 舍去）．
将y =-2x代入方程得-6 x 3 +6 =0,解得x=l,J(l) =-2.
在3y
2
I
y
+y
2
I
+ 2x y y
+2xy +X
2
I
y
=0两端关于x求导
，得
(3y 2 +2xy +x 勹 y"+2(3y +x) (y') 2 +4(y+x)y'+2y =0.
l
cosb
b
2
n
an
•
l -cosb n
= — 2l nl-im00
1
an -cosb n
1 2
ln-im00
a
n
an +l -cosa
n
2，
00
00
2 且级数 n = l 从收敛，所以: n = l 生 bn 收敛．
(2 0)解 C I)对矩阵A施以初等行变换
。 。01 0
A�(�-; -0� �n-(� 1
(8) D
解
厂 [f EY 1 = _00Yfy1(y)dy = 了
+■a
_00Yf1(y)dy+f_=yj、z(y)dy]
=
(EX
了
1
+EX2
),
EY2=— 2 ECX1 +Xz)
=
—(EX
2
1
+EX2
),
故EY1 =EY2 , 又因为
DY 1 =E(Y�)-(EY 1 凡DY2 = ECY!) -(EY2 凡
2014-数一真题大全及答案
X
的概率密度为
f
( x, )
=
2x
3
2
,
x
2
，其中
是未知参数， X1,
X 2 ,,
X n 是来自总
0, 其它
n
体的简单样本，若 C
X
2 i
是
2
的无偏估计，则常数 C
=
．
i =1
【详解】E( X 2 ) =
x2
2x 3 2 dx
=
5 2
2 ，所以
E C
n i =1
X
2 i
=
Cn
5 2
2 ，由于 C
0
0
0
2
【分析】此题考查二重积分交换次序的问题，关键在于画出积分区域的草图． 【详解】积分区域如图所示
如果换成直角坐标则应该是
0
1− x2
1
1− x
dx
f ( x, y)dy + dx f ( x, y)dy ，（A），（B）
−1 0
0
0
两个选择项都不正确；
如果换成极坐标则为
1
1
2 d cos +sin f (r cos , r sin )rdr + d cos +sin f (r cos , r sin )rdr ．
线性无关的 （A）必要而非充分条件 （C）充分必要条件
（B）充分而非必要条件 （D） 非充分非必要条件
【详解】若向量1, 2 ,3 线性无关，则
1 （1 + k3 ， 2 + l3 ） = (1, 2 ,3 ) 0 k
0
1 = (1, 2 ,3 )K ，对任意的常数 k, l ，矩阵 K 的秩都等 l
2014年考研(数学一)真题试卷(题后含答案及解析)
2014年考研（数学一）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．下列曲线中有渐近线的是A．y=x+sinxB．y=x2+sinxC．y=x+sin(1/x)D．y=x2+sin(1/x)正确答案：C解析：显然这几条曲线均无垂直与水平渐近线，就看哪条曲线有斜渐近线．对于(C)．故有斜渐近线y=x．选(C)．2．设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间[0，1]上A．当f’(x)≥0时，f(x)≥g(x)B．当f’(x)≥0时，f(x)≤g(x)C．当f’’(x)≥0时，f(x)≥g(x)D．当f’’(x)≥0时，f(x)≤g(x)正确答案：D解析：【分析一】y=f(x)在[0，1]上是凹函数(设f(x)在[0，1]二阶可导，不妨f’’(x)＞0)，y=g(x)是连接(0，f(0))与(1，f(1))的线段．由几何意义知f(x)≤g(x)(x ∈[0，1])．选(D)．【分析二】令ω(x)：f(x)-g(x)==>ω(0)=f(0)-f(0)=0，ω(1)=f(1)-f(1)=0 在[0，1]上，当f’’(x)≥0时，ω’’(x)=f’’(x)-g’’(x)=f’’(x)≥0==>ω(x)≤0，即f(x)≤g(x)．选(D)．3．设f(x，y)是连续函数，则A．B．C．D．正确答案：D解析：4．若，则a1cosx+b1sinx=A．2sinx．B．2cosx．C．2πsinx．D．2πcosx．正确答案：A解析：考察二元函数f(a，b)=∫-ππ(x-acosx-bsinx)2dx，由5．行列式A．(ad-bc)2．B．-(sd-bc)2．C．a2d2-b2c2．D．b2c2-a2d2．正确答案：B解析：计算出这个行列式．比较好的方法为先交换第2，3两行，再把第1列和第2，3列邻换：(此题也可用排除法：4个选项中都有a2d2和b2c2，但是前面的符号不同，(A)都是+，(B)都是-，(C)+，-，(D)-，+．观察完全展开式中它们的系数都是一，可排除(A)、(C)、(D)．6．设a1，a2，a3均为3维向量，则对任意常数k，ι，向量组a1+ka3，a2+ιa3。
2014年考研数一真题及答案解析(完整版)
2014年考研数一真题与答案解析数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）B（2）D（3）D（4）B（5）B（6）A（7）（B）（8）（D）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）012=---z y x（10）11=-)(f（11）12+=x xy ln （12）π（13）[-2,2]（14）25n三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）【答案】2121111111110202211212112=-=--=--=--=--=+--++→→+∞→+∞→+∞→+∞→⎰⎰⎰u e lim u u e lim x )e (x lim ,xu x )e (x lim xtdt dt t )e (lim )x ln(x dt ]t )e (t [lim u u u u x x x xx x x x x 则令（16）【答案】20202232222=+=+='++'⋅++')x y (y xy y y x xy y y x y y yx y )(y 20-==或舍。
x y 2-=时，21106606248062480633333223223-==⇒==+-=+-+-=+-⋅+⋅+-=+++y ,x x x x x x )x (x )x (x x y x xy y04914190141411202222222362222>=''=''=''+-''-''=''+'+'++''⋅+'⋅+'+'+''+')(y )(y )(y )(y )(y y x y x y x y y y x )y (x y y y y y y y )y ( 所以21-=)(y 为极小值。
2014考研数学一二三真题及答案
2014年考研数学一真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin += （D ）x x y 12sin +=【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以．【详解】对于xx y 1sin +=，可知1=∞→x yx lim 且01==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ）2．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤（C ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≤【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点21x x ,及常数10≤≤λ，恒有())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，则曲线是凸的． 显然此题中x x x ===λ,,1021，则=+-)()()(211x f x f λλ)()())((x g x f x f =+-110，而())()(x f x x f =+-211λλ，故当0≤'')(x f 时，曲线是凸的，即())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，也就是)()(x g x f ≥，应该选（C ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≤'')(x f 时，曲线是凸的，从而010==≥)()()(F F x F ，即0≥-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≥，应该选（C ）３．设)(x f 是连续函数，则=⎰⎰---y y dy y x f dy 11102),(（Ａ）⎰⎰⎰⎰---+210011010x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),(（Ｂ）⎰⎰⎰⎰----+010111012x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),((Ｃ）⎰⎰⎰⎰+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020dr r r f d dr r r f d（Ｄ）⎰⎰⎰⎰+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020rdr r r f d rdr r r f d【分析】此题考查二重积分交换次序的问题，关键在于画出积分区域的草图． 【详解】积分区域如图所示如果换成直角坐标则应该是⎰⎰⎰⎰---+xx dy y x f dx dy y x f dx 10101012),(),(，（A ），（B ）两个选择项都不正确；如果换成极坐标则为⎰⎰⎰⎰+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020rdr r r f d rdr r r f d ．应该选（D ）４．若函数{}⎰⎰-∈---=--ππππdx x b x a x dx x b x a x Rb a 2211)sin cos (min )sin cos (,，则=+x b x a sin cos 11（Ａ）x sin 2 （Ｂ）x cos 2 （Ｃ）x sin π2 （Ｄ）x cos π2【详解】注意3232πππ=⎰-dx x ，222πππππ==⎰⎰--dx x dx x sin cos ，0==⎰⎰--dx x x dx x x ππππsin cos cos ，πππ2=⎰-dx x x sin ，所以b b a dx x b x a x πππππ42322232-++=--⎰-)()sin cos ( 所以就相当于求函数b b a 422-+的极小值点，显然可知当20==b a ,时取得最小值，所以应该选（A ）．５．行列式dc d c ba b a00000000等于（A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad --（C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +- 【详解】20000000000000000)()()(bc ad bc ad bc bc ad ad dc ba bc d cb a addc c ba b d c d b a a dc d c ba b a --=-+--=+-=+-=应该选（B ）．6．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关，则（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(3213211001αααααα=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，对任意的常数l k ,，矩阵K 的秩都等于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．而当⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关，但321ααα,,线性相关；故选择（A ）．7．设事件A ，B 想到独立，3050.)(,.)(=-=B A P B P 则=-)(A B P （ ）（A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4【详解】)(.)(.)()()()()()(.)(A P A P A P B P A P A P AB P A P B A P 505030=-=-=-==-．所以60.)(=A P ，=-)(A B P 205050.)(..)()(=-=-A P AB P B P ．故选择（B ）．8．设连续型随机变量21X X ,相互独立，且方差均存在，21X X ,的概率密度分别为)(),(x f x f 21，随机变量1Y 的概率密度为))()(()(y f y f y f Y 21211+=，随机变量)(21221X X Y +=，则 （A ）2121DY DY EY EY >>, （B ）2121DY DY EY EY ==,（C ）2121DY DY EY EY <=, （D ）2121DY DY EY EY >=,【详解】())())()((2212112121Y E EX EX dy y f y f y EY =+=+=⎰+∞∞-，222121221212121EX EX dy y f y f y EY +=+=⎰+∞∞-))()((，()2212212121221222211221141414141412141412121DY X D X D X X E X D X D X E X E X E X E EX EX Y E Y E DY =+≥-++=---+=-=)()()()()()()()()()(故应该选择（D ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．曲面)sin ()sin (x y y x z -+-=1122在点),,(101处的切平面方程为 ．【详解】曲面)sin ()sin (x y y x z -+-=1122在点),,(101处的法向量为()),,(|,,),,(1121101--=-y xz z，所以切平面方程为0110112=--+--+-))(())(()(z y x ，即012=---z y x ．10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ．【详解】当[]20,∈x 时，C x x dx x x f +-=-=⎰2122)()(，由00=)(f 可知0=C ，即x x x f 22-=)(；)(x f 为周期为4奇函数，故1117==-=)()()(f f f ．11．微分方程0=-+)ln (ln 'y x y xy 满足31e y =)(的解为 ．【详解】方程的标准形式为x y x y dx dy ln =，这是一个齐次型方程，设xyu =，得到通解为1+=Cx xe y ，将初始条件31e y =)(代入可得特解为12+=x xe y ．12．设L 是柱面122=+y x 和平面0=+z y 的交线，从z 轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分⎰=+Lydz zdx ．【详解】由斯托克斯公式⎰⎰⎰∑∂∂∂∂∂∂=++RQ P z y x dxdydzdx dydz Rdz Qdy Pdx L 可知π===+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑xyD Ldxdy dxdy dzdx dydz ydz zdx ．其中⎩⎨⎧≤+=+∑1022y x z y :取上侧，{}122≤+=y x y x D xy |),(． 13．设二次型3231222132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是 ．【详解】由配方法可知232232231323122213214242xa x x ax x x x x ax x x x x x f )()()(),,(-+--+=++-=由于负惯性指数为1，故必须要求042≥-a ，所以a 的取值范围是[]22,-．14．设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,,),(02322θθθθx xx f ，其中θ是未知参数，nX X X ,,, 21是来自总体的简单样本，若∑=ni iXC12是2θ的无偏估计，则常数C = ．【详解】22222532θθθθ==⎰2dx x x X E )(，所以21225θCn X C E n i i =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=，由于∑=ni i X C 12是2θ的无偏估计，故125=Cn，nC 52=． 三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】21121111111222121122112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞→+∞→+∞→⎰⎰x x o x x x x e x xdtt e t x x dtt e t x xx xtx x tx )((lim ))((lim ))((lim)ln())((lim16．（本题满分10分）设函数)(x f y =由方程06223=+++y x xy y 确定，求)(x f 的极值．【详解】解：在方程两边同时对x 求导一次，得到0223222=++++)(')(xy y y x xy y ， （１）即222232xxy y xyy dx dy ++--= 令0=dxdy及06223=+++y x xy y ，得到函数唯一驻点21-==y x ,． 在（１）式两边同时对x 求导一次，得到（022*******=+++++++y y x xy yy x xy y yy ")(')''(把0121=-==)(',,y y x 代入，得到0941>=)("y ， 所以函数)(x f y =在1=x 处取得极小值2-=y ．17．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足xx e y e z yz x z 222224)cos (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．【详解】 设y eu xcos =，则)cos ()(y e f u f z x ==，y e u f y e u f xze uf xzx x y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂2222;y e u f y e u f yz y e u f y z x x xcos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； x x x e y e f e u f yzx z 222222)cos (")("==∂∂+∂∂ 由条件x x e y e z yzx z 222224)cos (+=∂∂+∂∂， 可知u u f u f +=)()("4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程． 对应齐次方程的通解为：u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为u y 41-=*．故非齐次方程通解为u e C e C u f u u 412221-+=-)(．将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==C C ,． 所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(． 18．（本题满分10分） 设曲面)(:122≤+=∑z y x z的上侧，计算曲面积分：dxdy z dzdx y dydz x )()()(11133-+-+-⎰⎰∑【详解】设⎩⎨⎧≤+=∑11221y x z :取下侧，记由1∑∑,所围立体为Ω，则高斯公式可得πθπ47373366733113131111210202222223321-=+-=++-=--++-=+-+--=-+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ∑+∑rdz r rdr d dxdydzy x dxdydz y x y x dxdydzy x dxdy z dzdx y dydz x )()()())()(()()()(在⎩⎨⎧≤+=∑11221y x z :取下侧上，0111111133=-=-+-+-⎰⎰⎰⎰∑∑dxdy dxdy z dzdx y dydz x )()()()(， 所以dz dy d yx )()()(11133-+-+-⎰⎰∑=π4111133-=-+-+-⎰⎰∑+∑dxdy z dzdx y dydz x )()()( 19．（本题满分10分）设数列{}{}n n b a ,满足2020ππ<<<<n n b a ,，n n nb a a cos cos =-且级数∑∞=1n n b 收敛．（1） 证明0=∞→n n a lim ；（2） 证明级数∑∞=1n nnb a 收敛． 【详解】（1）证明：由n n n b a a cos cos =-，及2020ππ<<<<n n b a ,可得20π<-=<n n n b a a cos cos ，所以20π<<<n n b a ，由于级数∑∞=1n nb收敛，所以级数∑∞=1n na也收敛，由收敛的必要条件可得0=∞→n n a lim ．（2）证明：由于2020ππ<<<<n n b a ,，所以2222nn n n n n n n a b a b b a b a -≤-+≤+sin ,sin222222222222nn n n n n n nn n n nnnn n nnn n n b b b b a b b a b b a b a b b a b b a b a =<-=-+≤-+=-=sin sincos cos由于级数∑∞=1n n b 收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数∑∞=1n nnb a 收敛． 20．（本题满分11分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵．（1） 求方程组0=AX 的一个基础解系； （2） 求满足E AB =的所有矩阵．【详解】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=310020101001310011104321134011104321302111104321A ，得到方程组0=AX 同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-=43424132xx x x x x 得到0=AX 的一个基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=13211ξ． （2）显然B 矩阵是一个34⨯矩阵，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=444333222111z y x z y x z y x z y x B 对矩阵)(AE 进行进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=141310013120101621001141310001011100014321101134001011100014321100302101011100014321)(AE由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011214321c x x x x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321043624321c y y y y ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011134321c z z z z ， 即满足E AB =的所有矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+-++-+-----=321321321321313431212321162c c cc c c c c c c c c B 其中321c c c ,,为任意常数． 21．（本题满分11分）证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似．【详解】证明：设=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111，=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100． 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：1111111111--=---------=-n n A E λλλλλλ)( ，所以A 的n 个特征值为0321====n n λλλλ ,；而且A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00 λ~A ；1002010--=---=-n n nB E λλλλλλ)(所以B 的n 个特征值也为0321====n n λλλλ ,；对于1-n 重特征值0=λ，由于矩阵B B E -=-)(0的秩显然为1，所以矩阵B 对应1-n 重特征值0=λ的特征向量应该有1-n 个线性无关，进一步矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00 λ~B 从而可知n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似．22．（本题满分11分）设随机变量X 的分布为2121====)()(X P X P ，在给定i X =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布210,),,(=i i U ． （1） 求Y 的分布函数； （2） 求期望).(Y E 【详解】（1）分布函数())/()/()()/()()/(),(),()()(2121221121=≤+=≤===≤+==≤==≤+=≤=≤=X y Y P X y Y P X P X y Y P X P X y Y P X y Y P X y Y P y Y P y F当0<y 时，0=)(y F ；当10<≤y 时，y y y y F 4322121=+=)(； 当21<≤y 时，214122121+=+=y y y F )(；当2≥y 时，1=)(y F ．所以分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤+<≤<=2121421104300y y y y y y y F ,,,,)( （2）概率密度函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<<==其它,,,)(')(021411043y y y F y f ，434432110=+=⎰⎰dy y ydy Y E )(． 23．（本题满分11分）设总体X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-00012x x ex F x ,,),(θθ，其中θ为未知的大于零的参数，n X X X ,,, 21是来自总体的简单随机样本，（1）求)(),(2XE X E ；（2）求θ的极大似然估计量．（３）是否存在常数a ，使得对任意的0>ε，都有0=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∞→εθa P n n ^lim ．【详解】（１）先求出总体X 的概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-00022x x e x x f x,,),(θθθ，πθθθθθθ=+-=-==⎰⎰⎰∞+-∞+--∞+∞+-dx exedex dx exEX x x x x 000222222|；;θθθθθθθ====⎰⎰⎰∞+--∞+∞+-dt te dx ex dx exEX tx x 020203211222（２）极大似然函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥∑∏=∏==-==其它,,),()(0021211i x i ni n n i n i x e x x f L ni i θθθθ当所有的观测值都大于零时，∑∑==--+=ni ini ixn xn LnL 12112θθθln ln ln )(，令0=θθd L d )(ln ，得θ的极大似然估计量为nxni i∑==12^θ；（３）因为n X X X ,,, 21独立同分布，显然对应的22221nX X X ,,, 也独立同分布，又有（１）个可知θ=2iEX ，由辛钦大数定律，可得0112=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∑=∞→εn i i i n EX x n P lim ，由前两问可知，nxni i∑==12^θ，θ=2iEX ，所以存在常数θ=a ，使得对任意的0>ε，都有0=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∞→εθa P n n ^lim ． 2014年考研数学二真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(lnx 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(210 【详解】αααx x 221~)(ln+，是α阶无穷小，ααα211211x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧>>121αα所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）．2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin += （D ）x x y 12sin +=【详解】对于xx y 1sin +=，可知1=∞→x yx lim 且01==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ）3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤（C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）4．曲线⎩⎨⎧++=+=14722t t y t x ,上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ）（Ａ）5010（Ｂ）10010 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式321)'("y y K +=，曲率半径KR 1=． 本题中422+==t dt dy t dt dx ,，所以t t t dx dy 21242+=+=，3222122tt t dx y d -=-=，对应于1=t 的点处13-==",'y y ，所以10101132=+=)'("y y K ，曲率半径10101==KR ． 应该选（C ）5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→22xx ξlim（ ）（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21 （Ｄ）31 【详解】注意（1）211xx f +=)('，（2）)(arctan ,33310x o x x x x +-=→时．由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )()('==+=211ξξ，22)(arctan arctan x x x -=ξ， 31313332022=+--=-=→→→x x o x x x x x xarx x x x x x )()(lim)(arctan tan limlimξ． 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂y x u及02222=∂∂+∂∂yu x u ，则（ ）．（A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；（B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．【详解】),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，所以),(y x u 在D 内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点),(00y x ，也就是0=∂∂=∂∂yux u ，在这个点处x y u y x u B yu C x u A ∂∂∂=∂∂∂=∂∂=∂∂=222222,,，由条件，显然02<-B AC ，显然),(y x u 不是极值点，当然也不是最值点，所以),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上．所以应该选（A ）．7．行列式dc d c ba b a00000000等于（A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +- 【详解】20000000000000000)(bc ad dc ba bc d cb a ad dc c ba b d c d b a a dc d c b a b a --=+-=+-=应该选（B ）．8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关，则（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(3213211001αααααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，对任意的常数l k ,，矩阵K 的秩都等于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．而当⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关，但321ααα,,线性相关；故选择（A ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．⎰∞-=++12521dx x x ．【详解】⎰⎰∞-∞-∞-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=++=++11122832421212141521πππ)(|arctan )(x x dx dx x x ． 10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ．【详解】当[]20,∈x 时，C x x dx x x f +-=-=⎰2122)()(，由00=)(f 可知0=C ，即x x x f 22-=)(；)(x f 为周期为4奇函数，故1117==-=)()()(f f f ．11．设),(y x z z =是由方程4722=+++z y x eyz确定的函数，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz ．【详解】设4722-+++=z y x ez y x F yz),,(，1222122+=+==yz z yz y x ye F y ze F F ,,，当21==y x 时，0=z ，21-=-=∂∂z x F F x z ，21-=-=∂∂z y F F y z ，所以=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz dy dx 2121--．12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ．【详解】先把曲线方程化为参数方程⎩⎨⎧====θθθθθθθθsin sin )(cos cos )(r y r x ，于是在2πθ=处，20π==y x ,，πθθθθθθππ222-=-+=|sin cos cos sin |dx dy ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为)(022--=-x y ππ，即.22ππ+-=x y13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．【详解】质心坐标20113512111221021023101==++-++-==⎰⎰⎰⎰dx x x dxx x x dx x dxx x x )()()()(ρρ． 14．设二次型3231222132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是 ． 【详解】由配方法可知232232231323122213214242xa x x ax x x x x ax x x x x x f )()()(),,(-+--+=++-=由于负惯性指数为1，故必须要求042≥-a ，所以a 的取值范围是[]22,-．三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】21121111111222121122112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞→+∞→+∞→⎰⎰x x o x x x x e x xdtt e t xx dt t e t x xx xtx x tx )((lim ))((lim ))((lim)ln())((lim16．（本题满分10分）已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x-=+122，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值． 【详解】解：把方程化为标准形式得到2211x dxdyy -=+)(，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：C x x y y +-=+333131，由02=)(y 得32=C ， 即32313133+-=+x x y y ． 令01122=+-=y x dx dy ，得1±=x ，且可知3222222211212)()()(y x y y x dx y d +--+-=； 当1=x 时，可解得1=y ，01<-="y ，函数取得极大值1=y ；当1-=x 时，可解得0=y ，02>="y ，函数取得极小值0=y ．17．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy y x y x x )sin(22π 【详解】由对称性可得432112121212022222222-==+=+++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D D D Ddr r r d dxd y x dxdy y x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππsin )sin()sin()()sin()sin(18．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足xx e y e z yz x z 222224)cos (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．【详解】 设y eu xcos =，则)cos ()(y e f u f z x ==，y e u f y e u f xz e u f xzxx y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂2222; y e u f y e u f yz y e u f y z xx x cos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； xx x e y e f e u f yz x z 222222)cos (")("==∂∂+∂∂ 由条件xx e y e z yz x z 222224)cos (+=∂∂+∂∂， 可知u u f u f +=)()("4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程． 对应齐次方程的通解为：u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为u y 41-=*．故非齐次方程通解为u e C e C u f u u 412221-+=-)(．将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==C C ,． 所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(．19．（本题满分10分） 设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明：（3） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；（4）⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．【详解】（1）证明：因为10≤≤)(x g ，所以[]b a x dt dt t g dx xax axa,)(∈≤≤⎰⎰⎰10．即[]b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0．（2）令⎰⎰⎰-=+xa dtt g a axadu u f du u g u f x F )()()()()(，则可知0=)(a F ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰xadt t g a f x g x g x f x F )()()()()('，因为,)(a x dt t g xa-≤≤⎰0且)(x f 单调增加，所以)()()(x f a x a f dt t g a f xa =-+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰．从而0=-≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰)()()()()()()()()('x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F xa ，[]b a x ,∈ 也是)(x F 在[]b a ,单调增加，则0=≥)()(a F b F ，即得到⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．20．（本题满分11分）设函数[]101,,)(∈+=x xxx f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=， )),(()(,x f f x f n n 1-=设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞→lim ．【详解】x xxx x xx f x f x f x x x f 21111111121+=+++=+=+=)()()(,)(， ,)(x x x f 313+=， 利用数学归纳法可得.)(nxxx f n +=1))ln(()()(nn n dx nx n dx nx x dx x f S n n +-=+-=+==⎰⎰⎰1111111110101，111=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∞→∞→n n nS n n n )ln(lim lim ． 21．（本题满分11分）已知函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积．【详解】由于函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf，所以)(),(x C y y y x f ++=22，其中)(x C 为待定的连续函数．又因为y y y y y f ln )()(),(--+=212，从而可知y y y C ln )()(--=21，得到x x y y x C y y y x f ln )()(),(--++=++=212222．令0=),(y x f ，可得x x y ln )()(-=+212．且当1-=y 时，2121==x x ,．曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积为πππ)ln (ln )()(45222121212-=-=+=⎰⎰dx x x dx y V22．（本题满分11分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵．（3） 求方程组0=AX 的一个基础解系； （4） 求满足E AB =的所有矩阵．【详解】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=310020101001310011104321134011104321302111104321A ，得到方程组0=AX 同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-=43424132xx x x x x 得到0=AX 的一个基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=13211ξ．（2）显然B 矩阵是一个34⨯矩阵，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=444333222111z y x z y xz y x z y x B 对矩阵)(AE 进行进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=141310013120101621001141310001011100014321101134001011100014321100302101011100014321)(AE由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011214321c x x x x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321043624321c y y y y ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011134321c z z z z ， 即满足E AB =的所有矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+-++-+-----=321321321321313431212321162c c cc c c c c c c c c B其中321c c c ,,为任意常数． 23．（本题满分11分）证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似． 【详解】证明：设=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111，=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100． 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：1111111111--=---------=-n n A E λλλλλλ)( ，所以A 的n 个特征值为0321====n n λλλλ ,；而且A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00 λ~A ； 1002010--=---=-n n nB E λλλλλλ)(所以B 的n 个特征值也为0321====n n λλλλ ,；对于1-n 重特征值0=λ，由于矩阵B B E -=-)(0的秩显然为1，所以矩阵B 对应1-n 重特征值0=λ的特征向量应该有1-n 个线性无关，进一步矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00 λ~B从而可知n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似． 2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ）（A ）2n aa >（B ）2n a a <（C ）1n a a n >-（D ）1n a a n<+（2）下列曲线有渐近线的是（ ）（A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+（C ）1sin y x x =+（D ）21sin y x x=+（3）设23(x)a P bx cx dx =+++ ，当0x → 时，若(x)tanx P - 是比x 3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是 （A ）0a = （B ）1b = （C ）0c =（D ）16d =（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥（5）行列式0000000a b abc d cd=（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a d b c - （D ）2222b c a d -（6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的 （A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4（8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ的简单随机样本，服从的分布为 （A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2)二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。
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2014年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. （1）B
（2）D
（3）D
（4）B
（5）B
（6）A
（7）（B ）
（8）（D ）
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. （9）012=---z y x
（10）11=-)(f
（11）12+=x x
y ln （12）π
（13）[-2,2]
（14）25n
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．
指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）【答案】
2
1211111111102
0221
121
2112=-=--=--=--=--=+
--++→→+∞→+∞
→+∞→+∞→⎰⎰⎰u e lim u u e lim x )e (x lim ,x
u x )e (x lim x
tdt dt t )e (lim )x ln(x dt ]t )e (t [lim u u u u x x x x
x x x x x 则令
（16）【答案】
20
20
2232222=+=+='++'⋅++')x y (y xy y y x xy y y x y y y
x y )(y 20-==或舍。
x y 2-=时， 2
110
660
62480
62480
633333223223-==⇒==+-=+-+-=+-⋅+⋅+-=+++y ,x x x x x x )x (x )x (x x y x xy y
04914
190
141411202222222362222>=''=''=''+-''-''=''+'+'++''⋅+'⋅+'+'+''+')(y )(y )(y )(y )(y y x y x y x y y y x )y (x y y y y y y y )y ( 所以21-=)(y 为极小值。
（17）【答案】
y cos e )y cos e (f x
E x x '=∂∂
)y cos (e )y cos e (f y sin e )y cos e (f y E )y sin (e )y cos e (f y
E y cos e )y cos e (f y cos e )y cos e (f x
E x x x x x x x x x x -'+''=∂∂-'=∂∂'+''=∂∂22222222
y
cos e )y cos e (f )y cos e (f e )y cos e E (e )y cos e (f y
E x E x x x x x x x +=''+=''=∂∂+∂∂44222222 令u y cos e x =，
则u )u (f )u (f +=''4， 故)C ,C (,u e C e C )u (f u u 为任意常数2122214-+=-
由,)(f ,)(f 0000='=得
4
161622u e e )u (f u u --=- （18）【答案】 补{}∑=1
1z )z ,y ,x (:的下侧，使之与∑围成闭合的区域Ω， π
ρρρρπρθρθρρρθρθρθρρθρπρπ41732766311313113131
23122220101222010222
2
11-=-+-=+---=+-+--=+-+--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰Ω
∑∑+∑d ))((dz
]sin cos [d d dz
])sin ()cos ([d d dxdydz
])y ()x ([
（19）【答案】
（1）证}a {n 单调 由20π
<<n a ，根据单调有界必有极限定理，得n n a lim ∞
→存在， 设a a lim n n =∞→，由∑∞=1n n b 收敛，得0=∞
→n n b lim ，
故由n n n b cos a a cos =-，两边取极限（令∞→n ），得10==-cos a a cos 。
解得0=a ，故0=∞
→n n a lim 。
（20）【答案】①()1,2,3,1T - ②123123123123261212321313431k k k k k k B k k k k k k -+-+--⎛⎫ ⎪--+ ⎪= ⎪--+ ⎪⎝⎭
()123
,,k k k R ∈ （21）【答案】利用相似对角化的充要条件证明。
（22）【答案】（1）()0,0,3,01,4111,12,221, 2.
Y y y y F y y y y <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎛⎫⎪+≤< ⎪⎪⎝⎭⎪≥⎩ （2）34
（23）【答案】（1
）2EX EX θ=
= （2）21
1ˆn i i X n θ==∑ （3）存在。