湖北省恩施市利川市第五中学2019-2020学年第一学期高二期中考试数学试卷

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五校2019-2020学年高二数学上学期期中试题理(含解析)

五校2019-2020学年高二数学上学期期中试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.直线的倾斜角和斜率分别是（）A. ，B. 、C. ，不存在D. 不存在，不存在【答案】B【解析】【分析】根据直线方程可得出该直线的倾斜角和斜率.【详解】由题意可知，直线的倾斜角为，斜率分别为.故选：B.【点睛】本题考查利用直线的方程得出直线的倾斜角和斜率，属于基础题.2.与椭圆的焦点坐标相同的是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】先确定已知椭圆的焦点在x轴上，求出焦点坐标，接着分别求出四个选项中曲线的焦点坐标，再与已知椭圆的焦点坐标进行比较，即可得答案.【详解】椭圆的焦点在轴上，且，所以，所以椭圆的焦点坐标为.对A选项，双曲线方程，其焦点在x轴上，且，故其焦点坐标为，与已知椭圆的焦点坐标相同；对B选项，其焦点在x轴上，且，故其焦点坐标为；对C选项，其焦点在x轴上，且，故其焦点坐标为；对D选项，其焦点在y轴上.故选A.【点睛】本题考查椭圆、双曲线焦点坐标的求解，主要考查两种曲线中之间的关系.3.抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，进而可得出焦点坐标.【详解】因为可化为，所以，且焦点轴负半轴，因此焦点坐标为故选C【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点问题，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.4.已知直线与直线平行，则实数m的值为（）A. 3B. 1C. -3或1D. -1或3【答案】B【解析】【分析】两直线平行应该满足，利用系数关系及可解得m.【详解】两直线平行，可得（舍去）.选B.【点睛】两直线平行的一般式对应关系为：，若是已知斜率，则有，截距不相等.5.已知方程表示双曲线，则的取值范围是（）A. B. C. 或 D.【答案】D【解析】【分析】对双曲线的焦点位置进行分类讨论，得出关于的不等式组，解出即可.【详解】若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得；若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得.因此，实数的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查双曲线的方程，解题时要对双曲线的焦点位置进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于基础题.6.已知双曲线,四点，中恰有三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先判断，在双曲线上，则一定不在双曲线上，则在双曲线上，则可得，求出，再根据离心率公式计算即可．详解：根据双曲线的性质可得，在双曲线上，则一定不在双曲线上，则在双曲线上，解得故选C．点睛：本题考查了双曲线的简单性质和离心率的求法，属于基础题7.已知变量、满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域如图所示，将所求代数式变形为，将视为可行域中的点与点连线的斜率，利用数形结合思想得出的取值范围，即可得出代数式的取值范围.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：，代数式的几何意义为可行域中的点与点连线的斜率，由图象可知，当点与可行域的顶点重合时，直线的斜率最大，此时取得最大值.当点与可行域的顶点重合时，直线的斜率最小，此时取得最小值.因此，的取值范围是.故选：B.【点睛】本题考查线性规划中非线性目标函数的取值范围，利用代数式的几何意义并结合数形思想求解是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8.椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设出、两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到、两点的横纵坐标的和，则、中点坐标可求，由斜率公式列式可得的值．【详解】设点，，联立，得：，①．，＝．设是线段的中点，∴（）．∴直线的斜率为．则,代入①满足△＞0（＞0，＞0）．故选：C．【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了一元二次方程的根与系数关系，考查了斜率公式的应用，属于中档题．9.已知圆和点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，，则点的轨迹为（）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆【答案】A【解析】【分析】作出图形，利用中垂线的定义得出，从而可得出为定值，再利用椭圆的定义可得出点的轨迹图形.【详解】如下图所示：由垂直平分线的性质可知，则，所以，动点的轨迹是以、分别为左、右焦点的椭圆.故选：A.【点睛】本题考查椭圆定义的应用，在运用椭圆定义判断动点的轨迹时，需要满足椭圆定义的几个条件，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10.已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设点，，利用求出点的横坐标，然后利用抛物线的定义可得出.【详解】抛物线的准线的方程为，焦点为.设点，，，即，则，解得，因此，.故选：D.【点睛】本题考查抛物线定义的应用，同时也考查了共线向量的坐标运算，解题的关键就是求出点的横坐标，考查运算求解能力，属于中等题.11.已知圆，圆，分别为圆上的点，为轴上的动点，则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求得的最小值，得到答案．【详解】如图所示，圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为,，半径为3，由图象可知，当三点共线时，取得最小值，且的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径之和，即，故选D．【点睛】本题主要考查了圆的对称圆的方程的求解，以及两个圆的位置关系的应用，其中解答中合理利用两个圆的位置关系是解答本题的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题．12.已知、分别为双曲线的左、右焦点，为坐标原点，以原点为圆心，为半径的圆与双曲线左支的一个交点为，若与双曲线右支有交点，则双曲线的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设点在轴上方，设双曲线的方程为，，联立双曲线与圆的方程，求出点的坐标，由题意得出直线的斜率小于，由此可求出双曲线的离心率的取值范围.【详解】设点在轴上方，设双曲线的方程为，，以原点为圆心，为半径的圆的方程为，联立圆与双曲线的方程得，解得，则点，所以，直线的斜率为，化简得，两边平方并化简得，.所以，双曲线的离心率.因此，双曲线的离心率的取值范围是.故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率取值范围的求解，考查利用联立双曲线与圆的方程求交点坐标，解题的关键就是得出直线与渐近线斜率的大小关系，考查计算能力，属于难题.二、填空题（本大题共4个小题. 每小题5分，共20分）13.已知、满足约束条件，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，根据直线在轴上的截距最小，找到使得目标函数取得最小值时的最优解，代入即可.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：平移直线，当直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最小，此时取得最小值，即，故答案为：.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的方法，使得目标函数对应的直线在坐标轴上的截距取得最值来得到，考查数形结合思想的应用，属于中等题.14.将参数方程（为参数），转化成普通方程为_______.【答案】（且）【解析】【分析】由得出，代入可将参数方程化为普通方程，再由普通方程以及参数方程得出的范围，即可得出结果.【详解】由得出，代入得，则，由可得.所以，参数方程（为参数）化成普通方程为（且）.故答案为：（且）.【点睛】本题考查将参数方程化为普通方程，一般利用换元消参法与平方消参法，同时也要注意相应变量取值范围的求解，考查计算能力，属于中等题.15.已知是抛物线的焦点，点，抛物线上有某点，使得取得最小值，则点的坐标为______．【答案】【解析】【分析】作出图形，作垂直于抛物线准线于点，利用抛物线的定义得出，可得出，利用、、三点共线可得出点的坐标.【详解】如下图所示，抛物线的焦点为，准线为直线，过点作垂直于抛物线准线于点，由抛物线的定义得，则，当且仅当、、三点共线时，取最小值.此时，直线的方程为，联立直线的方程与抛物线的方程，解得，因此，点的坐标为.故答案为：.【点睛】本题考查抛物线上的点到定点和焦点的距离和的最值问题，一般要利用抛物线的定义进行转化，借助三点共线来得出最小值，考查数形结合思想，属于中等题.16.下列说法中所有正确的序号是_________①两直线的倾斜角相等，则斜率必相等；②若动点到定点和定直线的距离相等，则动点的轨迹是抛物线；③已知、是椭圆两个焦点，过点的直线与椭圆交于、两点，则的周长为；④曲线的参数方程为为参数，则它表示双曲线且渐近线方程为；⑤已知正方形，则以、为焦点，且过、两点的椭圆的离心率为.【答案】③④⑤【解析】【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系可判断出命题①的正误；根据抛物线的定义可判断出命题②的正误；利用椭圆的定义可判断出命题③的正误；将曲线的方程化为普通方程，即可判断出命题④的正误；利用椭圆的定义以及离心率的定义可判断出命题⑤的正误.【详解】对于命题①，当两直线的倾斜角都为时，两直线的斜率都不存在，命题①错误；对于命题②，由于点在直线上，所以，动点的轨迹不是抛物线，命题②错误；对于命题③，椭圆的标准方程为，该椭圆的焦点在轴，其长半轴长为，所以，的周长为，命题③正确；对于命题④，，即，所以，曲线方程为，所表示的图形为双曲线，其渐近线方程为，命题④正确；对于命题⑤，设正方形的边长为，则，设椭圆的长轴长为，则，所以，该椭圆的离心率为，命题⑤正确.因此，正确命题的序号为③④⑤.故答案为：③④⑤.【点睛】本题主要考查命题真假的判断，涉及解析几何中直线、椭圆、双曲线以及抛物线的定义与几何性质，着重于定义与性质的理解，综合性较强，难度不大，属于中等题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，.（1）求边上的高所在的直线方程；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）5【解析】【分析】（1）写出BC边所在的直线的斜率，即可求出BC边上高的斜率，根据点斜式写出方程；（2）利用点到直线的距离求三角形的高，再根据两点间的距离求三角形的底BC，即可得解.【详解】（1）直线的斜率，则边上高所在直线斜率，则边上的高所在的直线方程为，即.（2）的方程为，.点到直线的距离，，则的面积【点睛】本题主要考查了直线方程的点斜式，垂直直线斜率间的关系，点到直线的距离，属于中档题.18.（1）求经过点、且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程；（2）求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线标准方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设双曲线的方程，将点、的坐标代入双曲线的方程，求出、的值，即可得出双曲线的标准方程；（2）设所求双曲线的标准方程为，求出双曲线的焦点坐标，利用定义求出的值，即可求出的值，由此可得出双曲线的标准方程.【详解】（1）依题意，设双曲线的方程为，双曲线过点、两点，，解得.因此，双曲线的标准方程为；（2）双曲线双曲线的焦点为，设所求双曲线的方程为，则，由双曲线定义得，，则，因此，所求双曲线的标准方程为.【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，考查待定系数法以及利用双曲线的定义求双曲线的标准方程，考查运算求解能力，属于基础题.19.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线和直线的普通方程；（2）求曲线上的点到直线的距离的最大距离.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由可将曲线的参数方程化为普通方程，在直线的参数方程中利用加减消元法消去参数，可得出直线的普通方程；（2）设曲线的上任意一点的坐标为，利用点到直线的距离公式以及辅助角公式可得出曲线上的点到直线距离的最大值.【详解】（1）由，得，由于，所以，.由，得，两式相加得.因此，曲线的普通方程为，直线的普通方程为；（2）设曲线上任意一点的坐标为，则点到直线的距离为，其中，当时，椭圆上的点到的距离的最大值为.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，同时也考查了椭圆上的点到直线距离的最值，一般利用参数方程结合三角函数的有界性求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.20.（1）已知圆过点，且与直线相切于点，求圆的方程；（2）已知圆与轴相切，圆心在直线上，且圆被直线截得的弦长为，求圆的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）求出过点且垂直于直线的直线方程，并求出线段的垂直平分线方程，联立两直线方程可得出圆心坐标，求出圆心到点的距离作为圆的半径，由此可得出圆的标准方程；（2）设圆心的坐标为，可知圆的半径为，求出圆心到直线的距离，利用弦长的一半、、圆的半径之间的关系并结合勾股定理求出的值，即可得出圆的标准方程.【详解】（1）由题意知圆心必在过切点且垂直切线的直线上，可求得此直线为，直线的斜率为，线段的中点坐标为，则线段的垂直平分线方程为，即，可知圆心必在线段的垂直平分线上，联立，可求得圆心，则，因此，圆的方程为；（2）设圆心，半径，圆心到直线的距离为，由半弦长、弦心距、半径的关系得，，当时，圆心，半径，此时圆为；当时，圆心，半径，此时圆为.因此，圆的方程为或.【点睛】本题考查圆的标准方程的求解，解题时要明确圆心的位置以及圆的半径长，考查运算求解能力，属于中等题.21.已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于、两点（不同于点），直线、分别交直线于点、.（1）求抛物线方程及其焦点坐标；（2）求证：以为直径的圆恰好经过原点.【答案】（1）抛物线方程为，焦点坐标为；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将点坐标代入抛物线的方程，求出的值，可得出抛物线的方程，并求出抛物线的焦点坐标；（2）设，，、，设直线的方程为，其中，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用向量共线求出点、的坐标，然后将韦达定理代入，利用向量数量积的坐标运算计算出，即可证明出结论成立.【详解】（1）将代入，得，因此，抛物线方程为，焦点坐标为；（2）设，，、.因为直线不经过点，所以直线一定有斜率，设直线方程为，与抛物线方程联立得到，消去，得，则由韦达定理得，.，，，，即，显然，，，，则点，同理可求得点的坐标为，所以，，，因此，以为直径的圆过原点.【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了直线与抛物线位置关系的综合问题，考查圆过定点问题的证明，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，考查运算求解能力，属于中等题.22.在平面直角坐标系中，动圆与圆外切，与圆内切．（1）求动圆圆心的轨迹方程；（2）直线过点且与动圆圆心的轨迹交于、两点．是否存在面积的最大值，若存在，求出的面积；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，面积的最大值为，理由见解析.【解析】【分析】（1）设动圆的半径为，利用几何关系转化两圆内切和外切的问题，可得出，可得知点的轨迹是以点、为焦点的椭圆，并设该椭圆的方程为，利用椭圆的定义求出的值，可求出的值，由此可得出动点的轨迹方程；（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，并计算出的面积关于的表达式，换元，利用双勾函数的单调性可得出面积的最大值.【详解】（1）设点，动圆的半径为，由题意知，，，由椭圆定义可知，动圆圆心在以、为焦点的椭圆上，设该椭圆的方程为，且，，.由于圆内切于圆于点，则.因此，动圆圆心的轨迹方程为；（2）存在面积的最大值.因为直线过点，可设直线的方程为或（舍）．则，整理得．由．设点、，则，.则，因．设，则，则.设在区间上为增函数，所以．所以，当且仅当时取等号，即．因此，面积的最大值为．【点睛】本题考查利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，同时也考查了直线与椭圆中三角形面积最值的计算，在计算最值时，一般利用基本不等式或函数单调性来求解，考查运算求解能力，属于中等题.五校2019-2020学年高二数学上学期期中试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.直线的倾斜角和斜率分别是（）A. ，B. 、C. ，不存在D. 不存在，不存在【答案】B【解析】【分析】根据直线方程可得出该直线的倾斜角和斜率.【详解】由题意可知，直线的倾斜角为，斜率分别为.故选：B.【点睛】本题考查利用直线的方程得出直线的倾斜角和斜率，属于基础题.2.与椭圆的焦点坐标相同的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先确定已知椭圆的焦点在x轴上，求出焦点坐标，接着分别求出四个选项中曲线的焦点坐标，再与已知椭圆的焦点坐标进行比较，即可得答案.【详解】椭圆的焦点在轴上，且，所以，所以椭圆的焦点坐标为.对A选项，双曲线方程，其焦点在x轴上，且，故其焦点坐标为，与已知椭圆的焦点坐标相同；对B选项，其焦点在x轴上，且，故其焦点坐标为；对C选项，其焦点在x轴上，且，故其焦点坐标为；对D选项，其焦点在y轴上.故选A.【点睛】本题考查椭圆、双曲线焦点坐标的求解，主要考查两种曲线中之间的关系.3.抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，进而可得出焦点坐标.【详解】因为可化为，所以，且焦点轴负半轴，因此焦点坐标为故选C【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点问题，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.4.已知直线与直线平行，则实数m的值为（）A. 3B. 1C. -3或1D. -1或3【答案】B【解析】【分析】两直线平行应该满足，利用系数关系及可解得m.【详解】两直线平行，可得（舍去）.选B.【点睛】两直线平行的一般式对应关系为：，若是已知斜率，则有，截距不相等.5.已知方程表示双曲线，则的取值范围是（）A. B. C. 或 D.【答案】D【解析】【分析】对双曲线的焦点位置进行分类讨论，得出关于的不等式组，解出即可.【详解】若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得；若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得.因此，实数的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查双曲线的方程，解题时要对双曲线的焦点位置进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于基础题.6.已知双曲线,四点，中恰有三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先判断，在双曲线上，则一定不在双曲线上，则在双曲线上，则可得，求出，再根据离心率公式计算即可．详解：根据双曲线的性质可得，在双曲线上，则一定不在双曲线上，则在双曲线上，解得故选C．点睛：本题考查了双曲线的简单性质和离心率的求法，属于基础题7.已知变量、满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域如图所示，将所求代数式变形为，将视为可行域中的点与点连线的斜率，利用数形结合思想得出的取值范围，即可得出代数式的取值范围.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：，代数式的几何意义为可行域中的点与点连线的斜率，由图象可知，当点与可行域的顶点重合时，直线的斜率最大，此时取得最大值.当点与可行域的顶点重合时，直线的斜率最小，此时取得最小值.因此，的取值范围是.故选：B.【点睛】本题考查线性规划中非线性目标函数的取值范围，利用代数式的几何意义并结合数形思想求解是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8.椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设出、两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到、两点的横纵坐标的和，则、中点坐标可求，由斜率公式列式可得的值．【详解】设点，，联立，得：，①．，＝．设是线段的中点，∴（）．∴直线的斜率为．则,代入①满足△＞0（＞0，＞0）．故选：C．【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了一元二次方程的根与系数关系，考查了斜率公式的应用，属于中档题．9.已知圆和点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，，则点的轨迹为（）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆【答案】A【解析】【分析】作出图形，利用中垂线的定义得出，从而可得出为定值，再利用椭圆的定义可得出点的轨迹图形.【详解】如下图所示：由垂直平分线的性质可知，则，所以，动点的轨迹是以、分别为左、右焦点的椭圆.故选：A.【点睛】本题考查椭圆定义的应用，在运用椭圆定义判断动点的轨迹时，需要满足椭圆定义的几个条件，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10.已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设点，，利用求出点的横坐标，然后利用抛物线的定义可得出.【详解】抛物线的准线的方程为，焦点为.设点，，，即，则，解得，因此，.故选：D.【点睛】本题考查抛物线定义的应用，同时也考查了共线向量的坐标运算，解题的关键就是求出点的横坐标，考查运算求解能力，属于中等题.11.已知圆，圆，分别为圆上的点，为轴上的动点，则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求得的最小值，得到答案．【详解】如图所示，圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为,，半径为3，由图象可知，当三点共线时，取得最小值，且的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径之和，即，故选D．【点睛】本题主要考查了圆的对称圆的方程的求解，以及两个圆的位置关系的应用，其中解答中合理利用两个圆的位置关系是解答本题的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题．12.已知、分别为双曲线的左、右焦点，为坐标原点，以原点为圆心，为半径的圆与双曲线左支的一个交点为，若与双曲线右支有交点，则双曲线的离心率的取值范围为。

湖北省部分重点中学2019-2020学年高二上学期期中联考数学理科试题Word版含解析

湖北省部分重点中学2019-2020学年高二上学期期中联考数学理科试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题：，，则（）A. ：，B. ：，C. ：，D. ：，2. 已知命题：经过定点的直线都可以用方程表示，命题：直线的倾斜角是，则下列命题是真命题的为（）A. B. C. D.3. ：或；：，则（）A. 是的充分非必要条件B. 是的必要非充分条件C. 是的充要条件D. 既不是的充分条件，也不是的必要条件4. 圆与直线（）的位置关系为（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 以上都有可能5. 由曲线围成的图形的面积为（）A. B. C. D.6. 设，满足约束条件则的取值范围是（）A. B. C. D.7. 斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（）A. B. C. D.8. 已知过点的直线与圆相交于、两点，若，则点的轨迹方程是（）A. B.C. D.9. 已知两点，，点是椭圆上任意一点，则点到直线的距离最大值为（）A. B. C. D.的点到直线的距离最小值。

10. 已知直线：过椭圆的上顶点和左焦点，且被圆截得的弦长为，若，则椭圆离心率的取值范围是（）A. B. C. D.11. 设椭圆的两个焦点是、，过的直线与椭圆交于、，若，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.12. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点、的距离之比为（，），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：和点，点，为圆上动点，则的最小值为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 过点，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是__________．14. 已知圆，直线：，圆上至少有三个点到直线的距离都是2，则的取值范围是__________．15. 椭圆的离心率是，则它的长轴长是__________．16. 过点的直线交椭圆：于，两点，为椭圆的左焦点，当周长最大时，直线的方程为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．（1）求点的坐标；（2）求直线的方程．18. 已知中心在原点的椭圆，右焦点，且过．（1）求椭圆的标准方程；（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．19. 为迎接2017年“双11”，“双12”购物狂欢节的来临，某青花瓷生产厂家计划每天生产汤碗、花瓶、茶杯这三种瓷器共100个，生产一个汤碗需5分钟，生产一个花瓶需7分钟，生产一个茶杯需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个汤碗可获利润5元，生产一个花瓶可获利润6元，生产一个茶杯可获利润3元．（1）使用每天生产的汤碗个数与花瓶个数表示每天的利润（元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？20. 过点的直线与中心在原点，焦点在轴上且离心率为的椭圆相交于、两点，直线过线段的中点，同时椭圆上存在一点与右焦点关于直线对称．（1）求直线的方程；（2）求椭圆的方程．21. 在直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，点的坐标为．当变化时，解答下列问题：（1）以为直径的圆能否经过点？说明理由；（2）过，，三点的圆在轴上截得的弦长是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．22. 已知圆：和点，动圆经过点且与圆相切，圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）点是曲线与轴正半轴的交点，点，在曲线上，若直线，的斜率分别是，，满足，求面积的最大值．湖北省部分重点中学2019-2020学年高二上学期期中联考数学理科试题参考答案第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题：，，则（）A. ：，B. ：，C. ：，D. ：，【答案】D【解析】由含量词的命题的否定可得选项D成立。

湖北省恩施州19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)

湖北省恩施州19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|lg(x−2)≤0}，N={x|x>0}，则M∩N=()A. ⌀B. NC. MD. (0,3)2.设i是虚数单位，复数a+i2−i是纯虚数，则实数a=()A. −2B. 2C. −12D. 123.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，若P(ξ<4)=0.9，则P(−2<ξ<1)=()A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.64.5名应届毕业生报考3所高校，每人报且仅报1所院校，则不同的报名方法的种数是()A. 35B. 53 C. A32D. C535.已知向量a⃗=(1,3)，且a⃗+b⃗ =(4,9)，则|b⃗ −a⃗|等于()A. √15B. √7C. 2√3D. √136.已知函数f(x)=ln(1−ax+1)(a∈R)，命题p：∃a∈R，f(x)是奇函数，命题q：∀a∈R，f(x)在定义域内是增函数，那么下列命题是真命题的是()A. ￢pB. p∧qC. (￢p)∧qD. p∧(￢q)7.下列命题中正确的个数是()①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l//α；②和两条异面直线都相交的两条直线异面；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．A. 0B. 1C. 2D. 38.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是10，则a的值可以是()A. 2B. 3C. 4D. 59.某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为()A. √33B. √32C. 2√33D. 2√6310.若双曲线x2a2−y2b2=1的一条渐近线经过点(3,−4)，则此双曲线的离心率为()A. √73B. 54C. 45D. 5311.将函数y=sin2x的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是()A. y =2cos 2xB. y =2sin 2xC. y =1+sin(2x +π4)D. y =cos2x12. 设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，f′(x )，g′(x )为其导函数，当x <0时，f′(x )g (x )+f (x )g′(x )>0且g (−3)=0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )A. (−3,0)⋃(3,+∞)B. (−3,0)⋃(0,3)C. (−∞,−3)⋃(3,+∞)D. (−∞,−3)⋃(0,3)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知(2+ax)(1+x)5的展开式中x 2的系数为15，则展开式中所有项的系数和为________． 14. 若在不等式组{x +3y −4≤0y ≥0x ≥0，表示的区域内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2+y 2=1内的概率是__________．15. 命题“∃x 0∈R ，asin x 0+cos x 0≥2”为假命题，则实数a 的取值范围是______．16. 已知四面体P −ABC 的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ，2AC =√3AB ，若四面体P −ABC 的体积为32，则该球的体积为 __________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设等比数列{a n )的前n 项和为S n ,a 2=18，且S 1+116，S 2，S 3成等差数列，数列{b n }满足b n =2n ．(1)求数列{a n )的通项公式；(2)设c n =a n b n ，若对任意n ∈N ∗，不等式恒成立，求λ的取值范围．18.已知四棱锥E−ABCD，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，cos∠ADC=12，EC⊥平面ABCD．13(1)求证：平面ABE⊥平面EBC；(2)当CE=60时，求直线AC和平面ADE所成角的正弦值．19.某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82820.求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的焦点在X轴上，长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3,0)．(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(√6,1)，P2(−√3,−√2)．21.已知函数f(x)=2x2+aln x．(1)当a=−1时，求f(x)的单调区间．(2)试问：是否存在实数a，使得f(x)≥a2对x∈[1,2]恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．22.编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ)．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵集合M={x|lg(x−2)≤0}={x|2<x≤3}，N={x|x>0}，∴M∩N={x|2<x≤3}=M．故选：C．分别求出集合M和N，由此能求出M∩N．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题．利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．解：∵复数a+i2−i =(a+i)(2+i)(2−i)(2+i)=2a−1+(2+a)i5=2a−15+2+a5i是纯虚数，∴2a−15=0，2+a5≠0，解得a=12，故选D．3.答案：C解析：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．根据随机变量ξ服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P(−2<ξ<1)．解：∵随机变量ξ服从正态分布N(1,o2)，∴正态曲线的对称轴是x=1，∵P(ξ<4)=0.9，∴P(ξ≥4)=0.1∴P(−2<ξ<1)=0.5−0.1=0.4．故选：C．4.答案：A解析：本题考查分步乘法计数原理，属于基础题．根据题意，5个人，每人都有3种不同的选法，由分步乘法计数原理计算可得答案．解：分析可得，这是一个分步乘法计数原理问题，根据题意，5个人，每人都有3种不同的选法，则有3×3×3×3×3=35种.故选A．5.答案：D解析：本题主要考查平面向量的坐标运算，以及向量的模．根据平面向量坐标运算法则代入计算可得．解：因为向量a⃗=(1,3)，且a⃗+b⃗ =(4,9)，所以b⃗ =(a⃗+b⃗ )−a⃗=(4,9)−(1,3)=(3,6)，则b⃗ −a⃗=(3,6)−(1,3)=(2,3)，所以|b⃗ −a⃗|=√22+32=√13．故选D．6.答案：D解析：解：若f(x)是奇函数，则f(0)=0，∴ln(1−a)=0，即1−a=1，解得a=0，∴命题p：∃a∈R，f(x)是奇函数是真命题，则￢p为假命题，t=1−a，当a>0时，为增函数，当a<0时，为减函数，x+1∴当a>0时，f(x)为增函数，当a<0时，f(x)为减函数，∴命题q：∀a∈R，f(x)在定义域内是增函数是假命题，故￢q为真命题，故选：D．根据奇函数定义及复合函数的单调知命题p是真，命题q是假，问题得以解决．本题借助考查复合命题的真假判断，考查了对数函数的奇偶性及复合函数的单调性，解题的关键是熟练掌握复合命题的真假规律．7.答案：B解析：本题考查平面的基本性质和空间线线、线面的位置关系的判断，属于基础题．由线面的位置关系可判断①，③；由空间线线位置关系可判断②；运用平面的基本性质可判断④．解：①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l//α或l与α相交，故①错误；②过一条直线上的点与另一条直线上不同的两点所连直线满足条件，此时两直线相交，故②错误；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行或在平面内，故③错误；④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面，故④正确．故选：B．8.答案：B解析：解：模拟执行程序，可得S=1，k=1不满足条件k>a，执行循环体，S=4，k=2不满足条件k>a，执行循环体，S=7，k=3不满足条件k>a，执行循环体，S=10，k=4由题意，此时应该满足条件k>a，退出循环，输出S的值为10．可得：3≤a<4，故a的值是3．故选：B．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．9.答案：A解析：解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，底面是一个三角形：即俯视图：底是2、高是侧视图的底边√3，三棱锥的高是侧视图和正视图的高1，∴几何体的体积V=13×12×2×√3×1=√33，故选：A．由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图之间的关系求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．本题考查三视图求几何体的体积以，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．10.答案：D解析：解：双曲线x2a2−y2b2=1的一条渐近线经过点(3,−4)，可得3b=4a，即9(c2−a2)=16a2，解得ca =53．故选：D．利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．11.答案：A解析：解：将函数y=sin2x的图象向左平移π4个单位，得到函数y=sin2(x+π4)=cos2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y=1+cos2x=2cos2x，故选A．按照向左平移，再向上平移，推出函数的解析式，即可．本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查图象变化，是基础题．12.答案：D解析：【分析】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的判断与应用，同时考查了不等式的解法，属于中档题．由题意可判断f(x)，g(x)是R上的奇函数，且在(−∞,0)上是增函数；从而求不等式的解集即可．【解答】解：令ℎ(x)=f(x)g(x)，当x<0时，ℎ′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，则ℎ(x)在(−∞,0)上单调递增，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以ℎ(x)为奇函数，所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增．由g(−3)=0，可得ℎ(−3)=−ℎ(3)=0，所以x<−3或0<x<3时ℎ(x)<0，故选D．13.答案：32解析：本题考查了二项式求展开式的特定项、求展开式的系数和问题，属于中档题．由题意可得2C52+aC51=15，解得a=−1，再令x=1，即可求出展开式中所有项的系数和．解：(2+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为15，即2C52+aC51=15，解得a=−1，设(2−x)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6令x=1，得25=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=32．故答案为32．14.答案：3π32解析：本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式(组)与平面区域，求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N(A)，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N ，最后根据P =N(A)÷N 求解．由{x +3y −4≤0y ≥0x ≥0我们易画出图象求出其对应的面积，即所有基本事件总数对应的几何量，再求出区域内也单位圆重合部分的面积，代入几何概型计算公式，即可得到答案．解：满足约束条件{x +3y −4≤0y ≥0x ≥0区域为△ABC 内部(含边界)，与单位圆x 2+y 2=1的公共部分如图中阴影部分所示，则点P 落在单位圆x 2+y 2=1内的概率概率为 P =S 14圆S △=π412×4×43=3π32．故答案为3π32．15.答案：(−√3,√3)解析：本题考查特称命题的否定及真假的判断，属基础题.解题关键是先找出命题的否定再转化为恒成立问题．解：∵命题∃x 0∈R,asinx 0+cosx 0≥2为假命题， ∴命题的否定即∀x ∈R,asinx +cosx <2为真命题．∵asinx +cosx =√1+a 2sin (x +α)≤√1+a 2，其中tanα=1a ， ∴√1+a 2<2， ∴−√3<a <√3．故答案为(−√3,√3)．16.答案：4√3π解析：本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=√3AB=√3×2R，故AC=√3R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=√3AB=√3×2R，∴AC=√3R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2−AC2=R2，所以Rt△ABC面积S=12×BC×AC=√32R2，又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P−ABC的体积为32，∴V P−ABC=13×R×√32×R2=32，即√3R3=9，R3=3√3，所以：球的体积V球=43×πR3=43×π×3√3=4√3π.故答案为4√3π．17.答案：解：(1)设数列{a n}的公比为q，∵S1+116，S2，S3成等差数列，∴2S2=S1+116+S3，∴a2=a3+116，∵a2=1 8 ,∴a3=116，∴q =a 3a 2=12，又2S 2=S 1+116+S 3，可解得a 1=S 1=14，∴a n =a 2qn−2=18×(12)n−2=(12)n+1; (2)设数列{c n }的前n 项和为T n ，则T n =c 1+c 2+c 3+⋯…+c n ，又c n =a n ·b n =2n ·(12)n+1=n 2，∴T n =12+222+223+⋯+n2n ，12T n =122+222+⋯+n−12n +n 2n+1，两式相减得12T n =12+122+123+⋯+12n −n2n+1=12(1−12n )1−12−n 2n+1=1−12n −n 2n+1 =1−n+22n+1，∴T n =2−n+22n，又S n =14(1−12n )1−12=12(1−12n )，∴对任意n ∈N ∗，不等式c 1+c 2+⋯+c n ≥2S n −12λ+1恒成立，即2−n+22n≥1−12n−12λ+1恒成立，即12λ≥n+12n 恒成立，令k n =n+12n，k n+1−k n =n+22n+1−n+12n=−n2n+1<0，∴k n 关于n 单调递减， ∴k n =n+12≤1+12=1，∴λ≥2，∴λ的取值范围为[2,+∞)．解析：本题考查等比数列的通项公式，等差数列的性质，以及利用错位相减法求前n 项和． (1)利用S 1+116，S 2，S 3成等差数列，求出等比数列的公比，进而求出通项公式；(2)通过(1)，可求出c n 的通项公式，再利用错位相减法求和，可得T n,结合不等式恒成立可求出λ得取值范围．18.答案：解：(1)在△ADC 中，由余弦定理，知AC 2=AD 2+DC 2−2AD ·DCcos∠ADC ，将AD =13，DC =12，代入上式，计算得AC =5，故AB 2+BC 2=AC 2，所以AB ⊥BC ．又EC ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以EC ⊥AB ，又EC ∩BC =C ，EC 、BC ⊂平面EBC ，所以AB ⊥平面EBC ，又AB ⊂平面ABE ，故平面ABE ⊥平面BCE ．(2)由(1)知，AC 2+CD 2=AD 2，故AC ⊥CD ．又EC ⊥平面ABCD ，AC ，DC ⊂平面ABCD ，所以EC ⊥AC ，EC ⊥DC ，所以AC ，DC ，EC 两两垂直，以C 为坐标原点，CD ，CA ，CE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系：依题意，C(0,0，0)，A(0,5，0)，D(12,0，0)，E(0,0，60)，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−5,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−5,60)．假设平面ADE 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)，由{AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，得{12x −5y =0−5y +60z =0, 令z =1，得n ⃗ =(5,12,1)，而AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−5,0)，设直线AC 和平面ADE 所成的角为α，则=5×√52+122+12=6√17085．即AC 和平面ADE 所成角的正弦值为6√17085．解析：本题考查面面垂直的判定，线面垂直的判定与性质，考查利用空间向量求线面所成角的正弦值，属于中档题．(1)利用余弦定理及勾股定理可证AB ⊥BC ，利用线面垂直的性质定理可证EC ⊥AB ，进而可得AB ⊥平面EBC ，利用面面垂直的判定定理进行证明即可；(2)易证AC ，DC ，EC 两两垂直，以C 为坐标原点，CD ，CA ，CE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面夹角的正弦值即可．19.答案：解：(1)由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率P =4050=45，女顾客对该商场服务满意的概率P =3050=35； (2)由题意可知，K 2=100(40×20−30×10)270×30×50×50=10021≈4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．解析：本题主要考查了等可能事件的概率求解及独立性检验的基本思想的应用，属于基础题． (1)由题中数据，结合等可能事件的概率求解；(2)代入计算公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，然后把所求数据与3.841进行比较即可判断．20.答案：解：(1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) ∵椭圆经过点A(3,0)，且长轴长是短轴长的3倍， ∴a =3b ，且a =3，可得a =3，b =1，可得椭圆方程为x 29+y 2=1；(2)设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m 、n 是不相等的正数) ∵P 1(√6,1)，P 2(−√3,−√2)在椭圆上， ∴点的坐标代入，得{6m +n =13m +2n =1，解之得{m =19n =13，可得椭圆方程为19x 2+13y 2=1，即x 29+y 23=1．故所求椭圆方程为x 29+y 23=1．解析：(1)根据题意得椭圆的长半轴a =3，且短半轴b =13a ，由此不难得到椭圆的方程； (2)设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m 、n 是不相等的正数)，代入P 1、P 2两点的坐标，解出m 、n 的值即可得到椭圆的方程．本题给出椭圆的满足的条件，求椭圆的标准方程，着重考查了利用待定系数法求椭圆的标准方程的方法，属于基础题．21.答案：解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f ′(x)=1+a x 2−a+1x=(x−a)(x−1)x 2，当0<a <1时，由f′(x)>0得，0<x <a 或1<x <+∞，由f′(x)<0得，a <x <1 故函数f(x)的单调增区间为(0,a)和(1,+∞)，单调减区间为(a,1)；(2)当a =1时，f′(x)≥0，f(x)的单调增区间为(0,+∞)，f(x)≤x 恒成立可转化为a +(a +1)xlnx ≥0恒成立，令φ(x)=a +(a +1)xlnx ，则只需φ(x)≥0在x ∈(0,+∞)恒成立即可，求导函数可得：φ′(x)=(a +1)(1+lnx)，当a +1>0时，在x ∈(0,1e )时，φ′(x)<0，在时，φ′(x)>0∴φ(x)的最小值为ϕ(1e )，由ϕ(1e )≥0得a ≥1e−1，故当a ≥1e−1时f(x)≤x 恒成立，当a +1=0时，φ(x)=−1，φ(x)≥0在x ∈(0,+∞)不能恒成立，当a +1<0时，取x =1，有φ(1)=a <−1，φ(x)≥0在x ∈(0,+∞)不能恒成立，综上所述当a ≥1e−1时，使f(x)≤x 恒成立．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在最大值最小值中的应用，考查了数学转化思想和分类讨论的数学思想方法，训练了利用构造函数法求参数的取值范围，属难题． (1)确定函数f(x)的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数的正负确定取得函数的单调区间； (2)f(x)≤x 恒成立可转化为a +(a +1)xlnx ≥0恒成立，构造函数φ(x)=a +(a +1)xlnx ，则只需φ(x)≥0在x ∈(0,+∞)恒成立即可，求导函数，分类讨论，即可求出实数a 的取值范围．22.答案：解：ξ的所有可能取值为0，1，3，ξ=0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生，则P(ξ=0)=2A 33=13；ξ=1表示三位同学只有1位同学坐对了，则P(ξ=1)=C 31A 33=12；ξ=3表示三位同学全坐对了，即对号入座，则P(ξ=3)=1A 33=16．所以ξ的分布列为E(ξ)=0×13+1×12+3×16=1．D(ξ)=13×(0−1)2+12×(1−1)2+16×(3−1)2=1．解析：本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的计算问题，是中档题．由题意知ξ的可能取值，计算对应的概率值，写出概率分布列；利用期望公式和方差公式计算即可．。

2019—2020学年度第一学期高二年级学段(期中)考试数学试卷题

2019—2020学年度第一学期高二年级学段（期中）考试数学试卷题考试时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12 小题,每小题5 分,共60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若a,b 是异面直线,b,c 是异面直线,则a,c 的位置关系为()A.相交、平行或异面B.相交或平行C.异面D.平行或异面2.已知直线l1:(k-3)x+(4-2k)y+1=0 与l2:2(k-3)x-2y+3=0 平行,则k 的值是()A.1 或3B.1 或C.3 或D.1 或23.圆锥的底面半径为1，高为3 ，则圆锥的表面积为()A.B.2C.3D.44.在直线3x-4y-27=0 上到点P(2,1)距离最近的点的坐标为()A.(5,-3)B.(9,0)C.(-3,5)D.(-5,3)5.若圆C1:x2+y2=1 与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0 外切,则m=()A.21B.19C.9D.-116.某几何体的三视图(单位:cm)如图,则该几何体的体积是()A.72 cm3B.90 cm3C.108 cm3D.138 cm37.若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0 关于直线2ax+by+6=0 对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是()A.2B.3C.4D.6铜陵市一中期中考试第1页,共9页8.正四面体ABCD 中，E、F 分别是棱BC、AD 的中点，则直线DE 与平面BCF 所成角的正弦值为（）9.垂直于直线y=x+1 且与圆x2+y2=4 相切于第三象限的直线方程是(A.x+y+22=0 B.x+y+2=0 C.x+y-2=0 D.x+y-2 2=010.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BB1=4,长为1 的线段PQ 在棱AA1上移动,长为3 的线段MN 在棱CC1上移动,点R 在棱BB1上移动,则四棱锥R-PQMN 的体积是()A.12B.10C.6D.不确定11.已知A(-2,0),B(0,2),实数k 是常数,M,N 是圆x2+y2+kx=0 上两个不同点,P 是圆x2+y2+kx=0上的动点,如果点M,N 关于直线x-y-1=0 对称,则△P AB 面积的最大值是()A.3-2B.4C.3+2D.612.设圆C : x2 y2 3，直线l : x3y 6 0 ，点P x0, y0l ，若存在点Q C ，使得OPQ 60（O 为坐标原点），则x0的取值范围是())铜陵市一中期中考试第2页,共9页填空题(本大题共4 小题,每小题5 分,共20 分.把答案填在题中的横线上)二、解答题(本大题共6 小题,共70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10 分)已知直线l : y 3x3.(1)求点P 4,5关于直线l的对称点坐标；(2)求直线l关于点P 4,5对称的直线方程.18.(本小题满分12 分)如图,AA1B1B 是圆柱的轴截面,C 是底面圆周上异于A,B 的一点,AA1=AB=2.(1)求证:平面A1AC⊥平面BA1C;(2)求1-鏸ୋ的最大值.铜陵市一中期中考试第3页,共9页铜陵市一中期中考试第 4页,共 9 页19.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AP ⊥平面 PCD ,AD ∥BC ,AB=BC= AD ,E ,F 分别为线段 AD ,PC 的中点.求证: (1)AP ∥平面 BEF ;(2)BE ⊥平面 P AC.20.(本小题满分 12 分)已知圆 C 过点 M (0,-2),N (3,1),且圆心 C 在直线 x+2y+1=0 上. (1)求圆 C 的方程;(2)设直线 ax-y+1=0 与圆 C 交于 A ,B 两点,是否存在实数 a ,使得过点 P (2,0)的直线 l 垂直平分弦 AB ?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.21.(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为菱形,∠ABC=60°,P A ⊥底面 ABCD ,P A=AB=2,E 为 P A 的中点. (1)求证:PC ∥平面 EBD ;(2)求三棱锥 C-P AD 的体积 V C-P AD ;(3)在侧棱 PC 上是否存在一点 M ,满足 PC ⊥平面 MBD ,若存在,求 PM 的长;若不存在,说明理由.22.(本小题满分 12 分)已知以点 C (t ∈R ,t ≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O 和点 A ,与 y轴交于点 O 和点 B ,其中 O 为原点. (1)求证:△OAB 的面积为定值;(2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M ,N ,若 OM=ON ,求圆 C 的方程.1 2铜陵市一中期中考试第 5页,共 9 页数学答案13. 1 14.2=x 或01043=+-y x 15. 0412322=--++y x y x 16.π617. (1)()7,2- ----------------------5分 (2)173-=x y ----------------------10分18.(1)证明：∵C 是底面圆周上异于A ,B 的一点,且AB 为底面圆的直径,∴BC ⊥AC.又AA 1⊥底面ABC ,∴BC ⊥AA 1, 又AC ∩AA 1=A ,∴BC ⊥平面A 1AC. 又BC ⊂平面BA 1C ,∴平面A 1AC ⊥平面BA 1C. ----------------------6分(2)解：在Rt △ACB 中,设AC=x ,∴BC=√AB 2-AC 2=√4-x 2(0<x<2),∴V A 1-ABC =13S △ABC ·AA 1=13·12AC ·BC ·AA 1=13x√4-x 2=13√x 2(4-x 2)=13√-(x 2-2)2+4(0<x<2).∵0<x<2,∴0<x 2<4.铜陵市一中期中考试第 6页,共 9 页∴当x 2=2,即x=√2时,V A 1-ABC 的值最大,且V A 1-ABC 的最大值为23. ----------------------12分19.证明：(1)设AC ∩BE=O ,连接OF ,EC.因为E 为AD 的中点,AB=BC=12AD ,AD ∥BC , 所以AE ∥BC ,AE=AB=BC , 所以O 为AC 的中点.又在△P AC 中,F 为PC 的中点,所以AP ∥OF . 又OF ⊂平面BEF ,AP ⊄平面BEF ,所以AP ∥平面BEF . ----------------------6分 (2)由题意知,ED ∥BC ,ED=BC , 所以四边形BCDE 为平行四边形, 所以BE ∥CD.又AP ⊥平面PCD ,所以AP ⊥CD ,所以AP ⊥BE. 因为四边形ABCE 为菱形,所以BE ⊥AC. 又AP ∩AC=A ,AP ,AC ⊂平面P AC ,所以BE ⊥平面P AC. ----------------------12分20.解：(1)设圆C 的方程为:x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,{-D2-E +1=0,4-2E +F =0,10+3D +E +F =0,则有{D =-6,E =4,F =4.故圆C 的方程为x 2+y 2-6x+4y+4=0. ----------------------6分 (2)设符合条件的实数a 存在,因为l 垂直平分弦AB ,故圆心C (3,-2)必在l 上,所以l的斜率k PC=-2.,k AB=a=-1k PC. ----------------------8分所以a=12把直线ax-y+1=0即y=ax+1,代入圆C的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0.由于直线ax-y-1=0交圆C于A,B两点,则Δ=36(a-1)2-36(a2+1)>0,即-2a>0,解得a<0.则实数a的取值范围是(-∞,0).∉(-∞,0),由于12故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB. ----------------------12分21.(1)证明：设AC,BD相交于点F,连接EF,∵四棱锥P-ABCD底面ABCD为菱形,∴F为AC的中点,又∵E为P A的中点,∴EF∥PC.又∵EF⊂平面EBD,PC⊄平面EBD,∴PC∥平面EBD. ----------------------4分(2)解：∵底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,∴△ACD是边长为2的正三角形,又∵P A⊥底面ABCD,铜陵市一中期中考试第7页,共9页∴P A为三棱锥P-ACD的高,∴V C-P AD=V P-ACD=13S△ACD·P A=13×√34×22×2=2√33. ----------------------8分(3)解：在侧棱PC上存在一点M,满足PC⊥平面MBD,下面给出证明.∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∵P A⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥P A.∵AC∩P A=A,∴BD⊥平面P AC,∴BD⊥PC.在△PBC内,可求PB=PC=2√2,BC=2,在平面PBC内,作BM⊥PC,垂足为M,设PM=x,则有8-x2=4-(2√2-x)2,解得x=3√22<2√2.连接MD,∵PC⊥BD,BM⊥PC,BM∩BD=B,BM⊂平面BDM,BD⊂平面BDM.∴PC⊥平面BDM.∴满足条件的点M存在,此时PM的长为3√22. ----------------------12分22.(1)证明：∵圆C过原点O,∴OC2=t2+4t2.设圆C的方程是(x-t)2+(y-2t )2=t2+4t2,令x=0,得y1=0,y2=4t;令y=0,得x1=0,x2=2t,∴S△OAB=12OA·OB=12×|4t|×|2t|=4,即△OAB的面积为定值. ----------------------6分铜陵市一中期中考试第8页,共9页(2)解：∵OM=ON,CM=CN,∴OC垂直平分线段MN.∵k MN=-2,∴k OC=12.∴2t =12t,解得t=2或t=-2. ----------------------8分当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),OC=√5,此时,C到直线y=-2x+4的距离d=√5<√5,圆C与直线y=-2x+4相交于两点.符合题意,此时,圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),OC=√,此时C到直线y=-2x+4的距离d=√5>√5.圆C与直线y=-2x+4不相交,因此,t=-2不符合题意,舍去.故圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. ----------------------12分铜陵市一中期中考试第9页,共9页。

湖北省利川市第五中学2018_2019学年高二数学上学期期中模拟考试试题理201901110263

湖北省利川市第五中学2018-2019学年高二数学上学期期中模拟考试试题理一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 如果ac0且bc0，那么直线ax by c0不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2. 经过点P(2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值是（）A．4 B．1 C．1或3 D．1或43.设有直线m,n和平面,，则下列说法中正确的是（）A.若m//n,m,n,则//B.若m,m n,n，则//C.若m//n,m,n,则D.若m//n,m,n,则4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．(55)B．(2025)C．(1010)D．(525)第4题图5．M是两异面直线所成角的集合，N是线面角所成角的集合，P是二面角的平面角的集合，则M,N,P三者之间的关系为（）A. M N PB. M N PC. M N PD. M N P6．已知ABC的平面直观图A'B'C'是边长为2的正三角形，则ABC的面积为（）A.23B. 3C.26D.467．圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离等于2的点有() A．1个B．2个C．3个D．4个- 1 -8.平面⊥平面，A,B，AB 与两平面，所成的角分别为π4πA,B和，过分别作两平面交线的垂线，垂足为，则A/,B/AB:A/B/6等于( )．A．2∶1B．3∶1C．3∶2D．4∶3第8题图9. 若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是()A．a2＋2a＋2b＋5＝0 B．a2－2a－2b－3＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝010．直线l与两直线y 1和x y 70分别交于A,B两点，若线段AB的中点为M(1,1)l，则直线的斜率为（）323A．B．C．－D．－2322311. 已知圆22，圆2:(3)(4)9，分别是圆C xy221:(2)(3)1C xyM,NC C P x|PM||PN|1,2上的动点，为轴上的动点，则的最小值为() A．524 B 171C．622 D. 1712.已知函数f(x)x24x 3,集合M {(x,y)|f(x)f(y)0},集合N {(x,y)|f(x)f(y)0}M N,则集合的面积是（）2 A. B. C.D.42二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13. 过点A(4,1)的圆C与直线x y10相切于点B(2,1)，则圆C的方程为__________。

2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷含答案

2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷含答案注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上..2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷将答案写在答题卡上，在试题卷上作答，答案无效.4.考试结束，只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线x －y ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°2．若三点A (0，8)，B (－4，0)，C (m ，－4)共线，则实数m 的值是( )A ．6B ．－2C ．－6D ．23．圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x＋8y－24＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．内切D ．外切4．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1-ABCD 的体积与长方体AC 1的体积的比值为( )A.12 B ．16 C.13D ．155．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，K ，L 分别为AB ，BB 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1D ，DA 的中点，则六边形EFGHKL 在正方体面上的射影可能是( )6．已知直线l与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l的倾斜角是()A.π3 B.π4 C.2π3D.3π47．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．2π＋12B ．π＋12C ．2π＋24D ．π＋248．若坐标原点在圆x 2＋y 2－2mx ＋2my ＋2m 2－4＝0的内部，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．⎝⎛⎭⎫－22，22 C ．(－3，3)D ．(－2，2)9．点P(7，－4)关于直线l：6x－5y－1＝0的对称点Q的坐标是( )A ．(5,6)B ．(2,3)C ．(－5,6)D ．(－2,3)10.过(2，0)点作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，所得切线方程为( )A ．y ＝0B ．x ＝1和y ＝0C ．x ＝2和y ＝0D ．不存在 11．两圆x2＋y2＋4x －4y ＝0与x2＋y2＋2x －12＝0的公共弦长等于( ) A ．4 B ．2 3 C ．3 2 D ．4 212．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是( )A ．－6＜k ＜2B ．－16＜k ＜0C ．－16＜k ＜12D ．k ＞12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省恩施州利川市第五中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题

湖北省恩施州利川市第五中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．已知4sin 5α=-，且α第三象限角，则tan α的值为（） A ．34B ．34-C ．43D ．43-2．若0.32a -=，2log 3b =，4log 7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a c b <<3．下列命题中，正确的是（） A ．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B ．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱C ．侧面都是矩形的四棱柱是长方体D ．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥4．已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若4a =，6b =，tan C =，则ABC 外接圆的周长为（）A B C ．2D ．45．设a ，b 是两条直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是（） A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α6．已知点(2,1)A ，(2,1)B --，若直线():13l y k x =-+与线段AB 相交，则k 的取值范围是（）A ．43⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．(]2-∞-，C ．(]423⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭，， D ．423⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 7．已知圆2222(42)4410x y mx m y m m +--++++=的圆心在直线70x y +-=上，则该圆的面积为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π8．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为柱的表面积为（）A ．B ．(8π+C ．D ．(10π+二、多选题9．下列结论中，所有正确的结论有( ) A ．若22a b c c>，则22a c b c ->- B ．若,,a b R +∈，则a m ab m b+>+ C ．当(0,)x π∈时，1sin 2sin x x+≥ D ．若*,a b R ∈，1a b +=，则114a b+≥10．设向量a ，b 满足1a b ==，且25b a -=，则以下结论正确的是（） A ．a b ⊥B ．2a b +=C ．2a b -=D ．,60a b =︒11．“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”.在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ，点P 满足12PA PB =.设点P 的轨迹为C ，下列结论正确的是（）A ．C 的方程为()22416x y ++=B ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是APB ∠的平分线C ．PAB △的面积最大值为12D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．AEF 的面积与BEF 的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值三、填空题13．已知两点A (3，2)和B (－1，4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m ＝________.14．已知数列{}n a 满足：11a =，()*132n n a a n N +=+∈，则n a =______.15．关于x 的不等式20x ax b -+<的解集为{}|12x x <<，则不等式5bx a +>的解集为__________．16．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长6AB =，侧棱长1AA =外接球的球心为O ，点E 是AB 的中点，点P 是球O 上的任意一点，有以下命题： ①PE 的长的最大值为9;②三棱锥P EBC -的体积的最大值是323; ③过点E 的平面截球O 所得的截面面积最大时，1BC 垂直于该截面. ④三棱锥1P AEC -的体积的最大值为20；其中是真命题的序号是___________四、解答题17．直线m 过定点0(4,1)P ，交x 、y 正半轴于A 、B 两点，其中O 为坐标原点. （Ⅰ）当直线m 的倾斜角为34π时，ABO ∆斜边AB 的中点为D ，求OD ；（Ⅱ）记直线m 在x 、y 轴上的截距分别为a ，b ，其中a >0，b >0，求a +b 的最小值.18．已知()sin (sin )f x x x x =-，ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c .（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若3()2f A =，2a =，求ABC ∆周长的最大值 19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ABC ⊥平面，底面为正三角形，1AB AA =，D 是BC 的中点，P 是1CC 的中点.求证：（1）1//A B 平面1AC D ；（2）1B P ⊥平面1AC D .20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，12n n S a +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足22log 1n n b a =+，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求数列1{}nT 的前n 项和.21． “绿水青山就是金山银山”．某市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树当肥料()()252,02,50,25,1x x W x xx x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩费用为10x 时单株产量为W (单位：千克)与，W 与x 满足如下关系：其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x 元．已知这种水果的市场售价为15元／千克，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为()f x (单位：元)．（1）求()f x 的函数关系式；（2）当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大?最大利润是多少? 22．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0．(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程．(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值的点P 的坐标．参考答案1．C 【分析】由平方关系求出cos α，再由商数关系求得tan α．【详解】∵4sin 5α=-，且α第三象限角，∴3cos 5α==-，∴sin 4tan cos 3ααα==．故选：C ．【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，在应用平方关系求值时需确定角的范围． 2．D 【解析】分析：两个对数化为同底数的对数，幂借助中间数比较．详解：0.321a -=<，42log 7log =23<<，∴221log log 3<<，∴a c b <<．故选D ．点睛：比较对数与幂的大小时，能化为同底数的幂和对数分别化为同底数的，再进行比较，不能化为同底数的或不是同一类型的数可借助中间数比较，如0，1，2等等． 3．B 【分析】根据棱柱、棱锥的结构特征逐一判断即可. 【详解】对于A ，根据直棱柱的概念，侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，有两个侧面是矩形的棱柱可能是斜棱柱，只有相邻的两个侧面是矩形时，才是直棱柱，故A 不正确；对于B ，有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱，可知侧棱垂直于底面，又底面为正多边形，故B 正确；对于C ，侧面都是矩形的直棱柱，底面不是矩形，不是长方体，故C 不正确；对于D ，侧面都是等腰三角形，但底面不是正多边形的棱锥不是正棱锥，故D 不正确.故选：B4．C【分析】由C的正切值求得正弦和余弦值，先利用余弦定理求得c，再用正弦定理即可求得结果. 【详解】由已知可得tan0C>，故1cos3C==，sin3C==；由余弦定理，6c==；由正弦定理，2sin43crC===，故所求外接圆的周长为2，故选：C．【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，属综合基础题.5．D【分析】A、B、C选项，直接判断出α、β的位置关系；选项，D选项，根据面面平行的判定定理可判断α、β的位置关系.结合充分条件的定义可得出结论.【详解】对于选项A，若存在一条直线a，//aα，//aβ，则//αβ或α与β相交.若//αβ，则存在一条直线a，使得//aα，//aβ，所以选项A的内容是//αβ的一个必要条件而不是充分条件；对于选项B，存在一条直线a，aα⊂，//aβ，则//αβ或α与β相交.若//αβ，则存在一条直线a，aα⊂，//aβ，所以，选项B 的内容是//αβ的一个必要条件而不是充分条件；对于选项C ，存在两条平行直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α，则//αβ或α与β相交. 若//αβ，则存在两条平行直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α，故选项C 的内容是//αβ的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D ，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面γ中，成为相交直线，由面面平行的判定定理可知//γα，//γβ，则//αβ，所以选项D 的内容是//αβ的一个充分条件. 故选： D. 6．C 【分析】作出图象，求出直线经过定点()1,3M ，()()313142,12123MA MB k k ---==-==---，结合图象关系即可得解. 【详解】直线():13l y k x =-+过定点()1,3M ，()()313142,12123MA MB k k ---==-==---，直线与线段AB 相交，结合图象可得：(]423k ⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭，，. 故选：C 【点睛】此题考查根据经过定点的动直线与线段相交，求动直线的斜率取值范围，关键在于准确作图数形结合. 7．A 【分析】根据圆的一般方程化为标准方程，根据直线过圆心求出m ,即可计算半径得面积. 【详解】2222(42)4410x y mx m y m m +--++++=, 222()[(21)]x m y m m ∴-+-+=,即圆心为(,21)m m +，半径R m = 圆心在直线70x y +-=上，2170m m ∴++-=，即2m =，所以圆的半径2R =，24S R ππ∴==.故选：A 【点睛】本题主要考查了圆的一般方程，圆的标准方程，圆的面积，属于中档题. 8．D 【分析】先求出圆柱的底面圆的半径，再求圆柱的表面积. 【详解】=，所以圆柱的侧面积为(22+22πππ⨯⨯=.故选：D. 【点睛】本题主要考查球的内接圆柱问题，考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象观察能力，关键在于求出圆柱的底面圆的半径，属于中档题.【分析】A 选项由不等式的基本性质判定；B 选项赋特值判定；C 选项由基本不等式判定；D 选项因为1a b +=，则()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，化简后由基本不等式判定. 【详解】 A 选项因为22a b c c>，则a b >，不等式两边同减不等号不变，所以22a c b c ->-成立，正确；B 选项赋特值，若1,4,1a b m ===-，左边=11041a m b m +-==+-，右边=14a b =，显然左边<右边，错误；C 选项因为(0,)x π∈，则(]sin 0,1x ∈，由基本不等式可知当且仅当sin 1x =时，1sin 2sin x x+≥成立，正确； D 选项因为1a b +=，则()11112a b a b a b a b ba⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，又*,a b R ∈，所以由基本不等式11224a b a b b a +=++≥+=，当且仅当12a b ==时，取等号，正确.故选：ACD 【点睛】本题考查基本不等式的应用，主要是使用的限制和等式的转化，还考查了不等式的简单性质，属于中档题. 10．AC 【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】1a b ==，且25b a -=,平方得22445b a a b +-⋅=，即0a b ⋅=，可得a b ⊥，故A()22222a b a b a b +=++⋅=，可得2a b +=，故B 错误； ()22222a b a b a b -=+-⋅=，可得2a b -=，故C 正确；由0a b ⋅=可得,90a b =︒，故D 错误; 故选：AC 【点睛】本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题. 11．ABC 【分析】设(,)P x y ，运用两点的距离公式，化简可得P 的轨迹方程，可判断A ；当A ，B ，P 三点不共线时，由||1||||2||OA PA OB PB ==，由角平分线定理的逆定理，可判断B ；求出P 在圆上运动时，P 到AB 的最大距离，即可求出PAB △的面积最大值，可判断C; 若在C 上存在点M ，使得||2||MO MA =，可设(,)M x y ，运用两点的距离公式，可得M 的轨迹方程，联立P 的轨迹方程，即可判断D ．【详解】在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(4,0)B ，点P 满足||1||2PA PB =，设(,)P x y 12=，化简可得22(4)16x y ++=，故A 正确；当A ，B ，P 三点不共线时，由||1||||2||OA PA OB PB ==，可得射线PO 是APB ∠的平分线，故B 正确；因为||6AB =，而P 在圆22(4)16x y ++=上，所以P 到AB 的最大距离为4，所以PAB△的面积最大值为164122S =⨯⨯=，故C 正确；若在C 上存在点M ，使得||2||MO MA =，可设(,)M x y ，=化简可得221616033x y x +++=，联立2280x y x ++=，可得方程组无解，故不存在M ，故D 错误．故选：ABC【点睛】关键点点睛：求平面上点的轨迹方程的一般步骤：建系，设点，建立方程，代入坐标化简方程；根据这一过程可求出满足12PA PB =的点P 的轨迹方程，圆上的动点到直径的距离的最大值即为半径，可求出该题中三角形面积的最大.12．ABD【分析】对各选项逐一作出正确的判断即可.【详解】可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确；由11//B D 平面ABCD ，可知//EF 平面ABCD ，B 也正确；连结BD 交AC 于O ，则AO 为三棱锥A BEF -的高，1111224BEF S =⨯⨯=△，三棱锥A BEF -的体积为1134224⨯⨯=为定值，D 正确；很显然，点A 和点B 到的EF 距离是不相等的，C 错误.故选：ABD【点睛】本题主要考查空间线、面的位置关系及空间几何体的体积与面积，属于中档题.13．12或－6 【分析】根据点到直线的距离公式直接列出方程求解即可得到答案.【详解】=，解得m ＝12或m ＝－6. 故答案为：12或－6. 【点睛】本题考查点到直线的距离公式，属于基础题型.14．1231n -⋅-【分析】利用待定系数法得出数列{}1n a +是以2为首项，以3为公比的等比数列，可求出等比数列{}1n a +的通项公式，即可求出n a .【详解】设()13n n a x a x ++=+，可得132n n a a x +=+，22x ∴=，得1x =，()1131n n a a +∴+=+，则1131n n a a ++=+，且112a +=. 所以，数列{}1n a +是以2为首项，以3为公比的等比数列，1123n n a -∴+=⋅，因此，1231n n a -=⋅-.故答案为：1231n -⋅-.【点睛】本题考查利用待定系数法求数列的通项，同时也考查了等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.15．(,4)(1,)-∞-+∞【解析】∵ 不等式20x ax b -+<的解集为{}|12x x <<∴1x =或2是方程20x ax b -+=的解，即3a =，2b =∴23bx a x +=+ ∵5bx a +>∴235x +<-或235x +>∴4x <-或1x > ∴不等式5bx a +>的解集为()(),41,-∞-⋃+∞故答案为()(),41,-∞-⋃+∞16．①④【分析】计算外接球半径为5R =，4EO =，得到①正确；三棱锥P EBC -的max 5h =，计算得到②错误；根据1//EO BC 得到③错误，三棱锥1P AEC -，max 5h R ==，计算得到④；得到答案.【详解】外接球半径为：5R ==，因为点E 是AB 的中点，所以1142EO BC ===，故PE 的最大值为9EO R +=，①正确；13692EBC S ∆=⨯⨯=，高1max 52AA h R =+=，故)max 195153V =⨯⨯=，②错误；当过点E 的平面截球O 所得的截面面积最大时，截面过直线EO ，1//EO BC ，故③错误.113122AEC S ∆=⨯=，max 5h R ==，故max 1125203V =⨯⨯=，故④正确；故答案为：①④.17．（Ⅱ）9. 【分析】（Ⅰ）根据直线m 过定点0(4,1)P 和斜率，用点斜式写出直线方程，再分别令0,y =0x =求得A ,B 的坐标即可.（Ⅱ）由截距式设出直线方程，由直线过定点0(4,1)P ，得到411a b+=，再利用“1”的代换结合基本不等式求解.【详解】（Ⅰ）:1(4)m y x -=--，令0,(5,0),y A =令0,(0,5)x B =， 1||||2OD AB === （Ⅱ）设:1(,0)x y t a b a b +=>，则411(,0)a b a b+=>，. 所以41()()a b a b a b +=++4559b a a b =++≥+=，当6,3a b ==时，+a b 的最小值9.18．（1）2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）2+.【分析】（1）首先利用降幂公式和辅助角公式化简函数()1sin 226f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求函数的单调递增区间；（2）先求角A ，再根据余弦定理和基本不等式求周长的最大值.【详解】（1）()2111sin cos (cos22)sin(2)2226f x x x x x x x π==-=-+， ∴()f x 在3222262k x k πππππ+≤+≤+上单调递增， ∴2[,]63x k k ππππ∈++，k Z ∈ （2）()13sin(2)262f A A π=-+=，得32262A k k Z πππ+=+∈，，即23A k ππ=+，0A π<<，则23A π=，而2a =，由余弦定理知：2222cos 4a b c bc A =+-=，有22()()444b c b c bc ++=+≤+，所以0b c <+≤b c =时等号成立， ∵周长2l a b c b c =++=++，∴周长最大值为23+【点睛】思路点睛：已知一边及一边所对角求解三角形面积或周长的最大值时，可利用余弦定理构造方程，再利用基本不等式求所需的两边和或乘积的最值，代入三角形周长或面积公式，求得结果.19．（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）连接1A C 交1AC 于点O ，根据三角形中位线性质得1//OD A B ，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据平几知识得11B P C D ⊥，再根据面面垂直判定定理与性质定理得11AD BCC B ⊥平面，即得1AD B P ⊥，最后根据线面垂直判定定理得结论.【详解】（1）连接1A C 交1AC 于点O ，连接OD ，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，∴侧面11AAC C 是正方形，∴点O 是1AC 的中点，又点D 是BC 的中点，故OD 是1A CB ∆的中位线.∴1//OD A B ，又11A B AC D ⊄平面，1OD AC D ⊂平面，∴11//A B AC D 平面（2）由（1）知，侧面11BCC B 是正方形，又D 、P 分别为BC 、1CC 的中点，∴111CC D C B P ∆∆≌，∴111=CDC C PB ∠∠，∴11B P C D ⊥，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥，又11BCC B ABC ⊥侧面底面，且11BCC B ABC BC =侧面底面，AD ABC ⊂底面，∴11AD BCC B ⊥平面，又111B P BCC B 平面，∴1AD B P ⊥，又1AD C D D =，∴11B P AC D ⊥平面.【点睛】本题考查线面平行判定定理、线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理与性质定理，考查综合分析论证能力，属中档题.20．（1）2n n a =（2）31114212n n ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭【分析】（1）由12n n S a +=-，得到2n ≥时，12n n S a -=-，进而推得12n n a a +=，等差数列{}n a 表示首项为12a =，公比为2q 的等比数列，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）得21n b n =+，求得(2)n T n n =+，进而得到11111()(2)22n T n n n n ==⋅-++，利用“裂项法”，即可求得数列1{}nT 的前n 项和. 【详解】（1）由题意，因为12n n S a +=-， ①当2n ≥时，12n n S a -=-， ②由①-②，得11n n n n S S a a -+-=-，即1n n n a a a +=-，可得12n n a a +=，即12n na a +=，又由当1n =时，2124a a =+=，可得21422a a ==，所以数列{}n a 表示首项为12a =，公比为2q的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为112n n n a a q -==.（2）由（1）知2n n a =，可得22log 121n n b a n =+=+，所以(321)(2)2n n n T n n ++==+，则以11111()(2)22n T n n n n ==⋅-++，则数列1{}n T 的前n 项和为11111111[(1)()()()]2324112n n n n -+-++-+--++ 13113111[()]()22124212n n n n =-+=-+++++，即数列1{}n T 的前n 项和为3111()4212n n -+++. 【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，等比数列的通项公式和等差数列的前n 和公式，以及数列的“裂项法”求和的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.21．（1）()f x =27530150,02,75030,2 5.1x x x x x x x⎧-+≤≤⎪⎨-<≤⎪+⎩；（2）当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元.【分析】（1）由题意分段列出函数()f x 的解析式即可；（2）分两段讨论分别求出其最值，再取较大值即可.【详解】（1）由已知()()()1520101530f x W x x x W x x =--=-()2155230,02,501530,251x x x x x x x ⎧⨯+-≤≤⎪=⎨⨯-<≤⎪+⎩ 27530150,02,75030,2 5.1x x x x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩ ；（2）由（1）()f x ()227530150,027530150,02,25750780301,25,30,2511x x x x x x x x x x x x x ⎧-+≤≤⎧-+≤≤⎪⎪==⎨⎨⎡⎤-++<≤-<≤⎪⎪⎢⎥++⎩⎣⎦⎩当02x ≤≤时()()max 2390f x f ==；当25x <≤时，()()257803011f x x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦78030480≤-⨯=，当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立．因为390480<，所以当4x =时，()max 480f x =．答：当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元.22．(1) y )x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0；(2) 33,105⎛⎫-⎪⎝⎭ 【分析】（1）首先利用待定系数法设出切线的方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径求出切线方程；（2）PM 的距离用P 到圆心C 的距离与半径来表示，建立PO 与与PC 的关系，求出P 点的轨迹为一条直线，然后将求PM 的最小值问题转化为原点到直线的距离问题,【详解】解:(1)将圆C 整理得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2．①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y ＝kx ，=k 2－4k －2＝0，解得k ．∴y)x；②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x＋y－a＝0，=|a－1|＝2，解得a＝3或－1．∴x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．综上所述，所求切线方程为y)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．(2)∵|PO|＝|PM|，∴22x y+＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，即2x1－4y1＋3＝0，即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上．当|PM|取最小值时，即|OP|取得最小值，此时直线OP⊥l，∴直线OP的方程为：2x＋y＝0，解得方程组202430x yx y+=⎧⎨-+=⎩得31035xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴P点坐标为33,105⎛⎫-⎪⎝⎭．【点睛】本题考查圆与直线的位置关系，待定系数法求方程，转化与化归的思想.本题的易错点是截距相等的直线要区分过原点和不过原点.。

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利川市第五中学秋季高二年级期中考试
数学试题
考生注意：
1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第II 卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题卡区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

3.本试卷主要命题范围：高一40%、高二期中前60% 一、选择题(每小题5分,共12小题60分) 1、在中，，则为（）
A.
B. C.
D.
2、已知,
是椭圆
的两个焦点,是椭圆上一点,且,则
的面积等于( ) A.
B.
C.
D.
3. 已知直线
:
与圆相交于、两点,则大小为( )
A.
B.
C.
D.
4、平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹
是（） A.一条直线
B.一个圆
C.一个椭圆
D.曲线的一支 5、若直线的斜率
,则直线倾斜角
的范围是( )
A. B. C.
D.
6、抛物线的准线方程是( )
A.
B. C. D.
7、设
，则关于
的方程
所表示的曲线是（）
A.焦点在轴上的双曲线
B.焦点在轴上的双曲线
C.焦点在轴上的椭圆
D.焦点在轴上的椭圆
8、等比数列中,
,则的值为( )
A.
B.
C.
D.
9、椭圆
的左,右顶点分别是
,,左,右焦点分别是
,
,若
,
,
成等比数列,则此椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
10. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积
弦矢
矢.弧田,由圆弧和其对弧所围成.公式中“弦”指圆弧所对
的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为,弦长等于米的弧田.按照《九
章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积(单位:平方米)为( )
A.
B.
C.
D.
11、若椭圆与直线
交于两点,过原点与线段的中点的直线的斜
率为
,则
的值为( )
A. B. C. D.
12、如图，南北方向的公路，在公路的正东处，地在地东偏北
方向
，河流
沿岸
（曲线）上任一点到公路和到地距离相等，现要在曲线
上选一处
建一座码头，
向，两地转运货物，经测算，从到，
到修建公路的费用均为万元
，那么修建这
两条公路的总费用最低是（）
A.万元
B.
万元
C.
万元
D.
万元
二、填空题(每小题5分,共4小题20分) 13、过直线
与的交点,且垂直于直线的直线方程__________. 14、已知等差数列中，
，则__________.
15
.
已知圆
内一点
，过
点最短的弦所在的直线方程是
_______． 16、如果方程
表示焦点在轴上的椭圆,那么实数的取值范围是__________. 三、解答题(第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题
12分,共6小题70分) 17、如图，矩形
的顶点为原点，边所在直线的方程为
，
顶点的纵坐标为．
（1）求
边所在直线的方程；
（2）求矩形的面积． 18、在
中,角
,
,
所对的边分别为,,, 已知
.
(1)求角
; (2)若
,求
的最大值.
19. 已知直线
，
，且
．
(1)求以
为圆心，且与相切的圆的方程；
(2)判断直线与(1)中所求出圆的位置关系，若直线与圆相交，求弦长．
20、已知数列中,满足
,
. (1)证明:数列
为等比数列; (2)求数列
的前项和
.
21、某厂生产某种产品的年固定成本为万元,每生产千件,需另投入成本
万元,当年产量
不足千件时,
(万元);当年产量不小于千件
时,(万元),每件售价为
万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部
售完. (1)写出年利润
(万元)关于年产量(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 22、已知动点
在抛物线
上,过点
作
轴的垂线,垂足为
,动点
满足
.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)点
,过点且斜率为的直线交轨迹
于
两点,设直线
的斜率分
别为
,求
的值.
利川五中高二数学上学期期中测试卷答案解析
第1题答案
B
第1题解析
由题可设，则，根据余弦定理可算出.
第2题答案
A
第2题解析
因为,,所以.
又因为,所以,.
又因为,所以,
所以.
故的面积.
3.【答案】C
【解析】根据题意,圆的圆心的坐标为,半径,则圆心到直线的距
离,因为直线:与圆相交于、两点,
所以
,则有,则为等边三角形,所以.
第4题答案
A 如图，设与是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且的斜线，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点与垂直所有直线都在这个平面内，故动点都在平面与平面的交线上.
第5题答案
B
第5题解析
直线倾斜角为,∵直线的斜率,
∴,∴,所以B选项是正确的.
第6题答案
B
第6题解析
整理抛物线方程得，∴，
∵抛物线开口向下，
∴准线方程是.
第7题答案
B
第7题解析
由题意，知，因为，所以，，则方程表示焦点在轴上的双曲线.故选B.
第8题答案
B
第8题解析
∵数列为等比数列,且,,
∴,
∴.
第9题答案
B
第9题解析
,,,由,,成等比数列得
即.
10.【答案】D
【解析】在圆心角为,弦长等于米的弧田中,半径为,圆心到弦的距离为, 于是,
矢
, 所以,弧田面积弦矢矢.故选D.
第11题答案
B
第11题解析
设,代入椭圆方程得,两式相减得,依题意可知,,即,.
第12题答案
C
第12题解析
依题意知曲线是以为焦点，为准线的抛物线的一支，根据抛物线的定义知：欲求从到，修建公路的费用最低，只须求出到直线距离即可.因地在地北偏东方向处，∴到点的水平距离为，∴到直线距离为，那么修建这两条公路的总费用最低为，故选B. 第13题解析
直线与的交点为,垂直于直线的直线方程可设为
,所以,,即.
第14题答案
第14题解析
由题意可得，故.
15.【答案】．
【解析】将圆的方程整理成标准方程得，则圆心的坐标为
，，所以由圆的几何性质得，当所求直线的斜率为时，弦最短，故所求直线方程为，即.
第16题答案
第16题解析
根据题意,若方程,即表示焦点在轴上的椭圆,则有,
解可得:,即实数的取值范围是.
第17题答案
（1）边所在直线的方程为，边所在直线的方程为；
（2）.
第17题解析
（1）∵是矩形，∴，
由直线的方程可知，，∴，
边所在直线的方程为，即，
边所在直线的方程为，即．
（2）∴点在直线上，且纵坐标为，∴点的横坐标由，
解得为，即．
，，
∴．
第18题答案
见解答
第18题解析
(1)由,
根据正弦定理,得,
即
,
,
所以,,
因为,所以,,即,∵,∴.
(2)因为,,
由余弦定理得:,即,∴.
∵,∴,∴.当且仅当时等号成立,故时等号成立,故的最大值为.
19.【答案】(1); (2)相交，.
【解析】(1)∵∴且，解得：. ∴
的方程为：
∴∴圆方程为：
（2）∵∴与圆相交∴弦长为：
第20题答案
见解析
第20题解析
(1)∵每件商品售价为万元,∴千件商品销售额为万元.①当时,根据年利润销售收入成本,∴;②当时,根据年利润销售收入成本,.
综合①②可得,.
(2)①当时,,∴当时,取得最大值万元;②当
时,, 当且仅当,
即时,取得最大值万元.综合①②,由于,∴年产量为千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.
第21题答案
（1）；
（2）.
第21题解析
（1）因为双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线距离为（其中是双曲线的半焦距），所以由题意知，又因为，解得，故所求双曲线的渐近线方程是
；
（2）因为，由余弦定理得，即
.又由双曲线的定义得，平方得
，相减得.
根据三角形的面积公式得，得.再由上小题结论得，故所求双曲线方程是.
第22题答案
见解析
第22题解析
(1)设点,可得,,则可得出点的坐标为,得动点轨迹的方程为.
(2)设过点的直线方程为,,
联立方程有可得,则
.∵,∴,
.。