第2讲 二项分布与超几何分布
高中数学(人教B版)选择性必修二：二项分布与超几何分布【精品课件】
尝试与发现
3
已知某种药物对某种疾病的治愈率为 ，现有甲、乙、
4
丙、丁4个患有该病的患者服用了这种药物，观察其中有多
少患者会被这种药物治愈．
（1）这能否看成独立重复试验？
（2）求出甲、乙、丙都被治愈而丁没被治愈的概率；
（3）求出恰有3个患者被治愈的概率；
（4）设有人被治愈，求的分布列．
课堂小结
因此的分布列如下表所示．
0
1
…
…
0 0 1 1 −1
0
−
C C
… C
… C
称服从参数, 的二项分布，记作~ , ．
课后作业
教材79页 练习A 2，4；练习B 1.
A-2. 一个车间有5台同类型的且独立工作的机器，假设每天
（1）不难看出，4个患者是否会被治愈是相互独立
的，因此尝试与发现中的情形可以看成4次独立重
复试验．
（2）如果用1 , 2 , 3 , 4 分别表示甲被治愈、乙被治愈、
丙被治愈、丁被治愈，则不难看出
=
3
,
4
= 1 − =
1
,
4
= 1,2,3,4.
甲乙丙都被治愈而丁没被治愈可以表示为1 2 3 4 ，
启动时，每台机器出故障的概率均为0.01.设某天启动时，出
故障的机器数为X.
(1)写出的分布列；
(2)求该天机器启动时，至少有3台机器出现故障的概率.
课后作业
A-4.张明从家坐公交车到学校的途中，会通过3个有红绿灯
的十字路口，假设在每个十字路口遇到红灯的概率均为
0.25，而且在各路口是否遇到红灯是相互独立的.设为张
【人教B版高中数学选择性必修第二册】二项分布与超几何分布(2)-课件
− )时取0，否则取减乙类物品件数之差(即
= − − ).
课堂小结
而且
−
C C−
= =
, = , + 1, … , .
C
这里的称为服从参数为, , 的超几何分布，记
作~(, , ).
功”的概率为，记 = 1 − ，且次独立重复试
验中出现“成功”的次数为，则的取值范围是
{0,1,2, … , , … , }，而且
= = C − , = 0,1, … , ,
复习旧知
因此的分布列如下表所示．
0
1
…
…
0 0 1 1 −1
(即 = − − ).
而且
= =
−
C C−
C
, = , + 1, … , .
这里的称为服从参数为, , 的超几何分布，记
作~ , , .
例如，尝试与发现中(10名同学，6男，4女，
随机抽取3人, 为女生人数) = 10， = 4，
5
0
4
×
5
3
64
=
,
125
1
1
= 1 = C3 ×
5
1
4
×
5
2
48
=
,
125
1
×
5
2
4
×
5
1
12
=
,
125
1
×
5
3
4
×
5
0
1
=
.
125
二项分布与超几何分布的区别
（1）从中每次取出1个球然后放回，连续抽取三次，求取到红球 次数X的分布列和数学期望。 3k k k 解：由已知X~B(3,0.4)， PX k C3 0.4 1 0.4 , (k 0,1,2,3)
X 所以，X的分布列为: p
0
1
2
3
27 54 36 8 E X 3 0.4 1.2 125 125 125 125
k n－ k P(X＝k)＝Ck p (1 － p ) ，k＝0,1,2，…，n. n
则称随机变量 X 服从参数为 n、p 的二项分布，记 作 X～B(n，p)，并称 p 为成功概率．
2．超几何分布
一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其 中恰有 X 件次品，则事件{X＝k}发生的概率为
E X 3 0.6 1.8
0
1
2
3
8 36 54 27 125 125 125 125
变式：（3）把（2）改为：若随机在样本不赞成高考改革的家长中 抽取3个，记这3个家长中是城镇户口的人数为Y，试求Y的分布列 及数学期望E(Y). k 3 k C15 C10 解：由已知Y服从超几何分布， PY k , (k 0,1,2,3) 3 C25 所以，Y的分布列为: Y
2018届南宁市摸底考试18题
摸底考试18题第（1）问
（2）用样本的频率估计概率，若随机在全省不赞成高考改革的家 长中抽取3个，记这3个家长中是城镇户口的人数为X，试求X的分 布列及数学期望E(X). 用样本的频率估计概率应怎样理解？ 概率定义：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事 件A发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为 事件A的概率。 在样本中，不赞成高考改革的家长中是城镇户口的频率为0.6，因 此，估计全省从不赞成高考改革的家长中随机抽取1个，他是城镇 户口的概率为0.6，抽取3个，即进行3次独立重复试验，所以， X~(n,p)
超几何分布和二项分布的联系和区别
超几何分布和二项分布的联系和区别开滦一中 张智民在最近的几次考试中,总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布,二者到底该如何区分呢?什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题?什么时候用超几何分布的公式去解决呢?好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案,其实这个问题的回答就出现在教材上,人教版新课标选修2-3从两个方面给出了很好的解释.诚可谓:众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处! 一、两者的定义是不同的教材中的定义: (一)超几何分布的定义在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k)=nNk-n M -N k M C C C ,Λ，2,1,0k =, m,其中m=min{M,n},且n ≤N,M ≤N,n,M,N ∈N,称随机变量X 服从超几何分布(二)独立重复试验和二项分布的定义1）独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验,且各次试验试验的结果相互独立,称为n 次独立重复试验,其中A(i=1,2,…,n)是第ⅰ次试验结果,则P(A1A2A3…An)=P(A 1)P(A2)P(A3)…P(An) 2)二项分布在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为P,则P(X=k)=k n k p p --)1(C k n(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X 服从二项分布,记作X~B(n,p),并称P 为成功概率。
1.本质区别(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,二项分布描述的是放回抽样问题;(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题2.计算公式超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k)=n Nk-n M -N k M C C C ,Λ，2,1,0k =, m,二项分布:在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为P,则P(X=k)=kn k p p --)1(C k n(k=0,1,2,…,n), 温馨提示:当题目中出现“用样本数据估计XXX 的总体数据”时,均为二项分布问题。
二项分布与超几何分布问题区别举例
二项分布与超几何分布问题区别举例文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）关于“二项分布”与“超几何分布”问题举例一．基本概念1.超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件X=k 发生的概率为：P(X=k)= nNk n MN k M C C C --⋅,k= 0,1,2,3,,m ；其中，m = minM,n,且n N , M N . n,M,N N 为超几何分布；如果一个变量X 的分布列为超几何分布列，则称随几变量X 服从超几何分布.其中，EX= n MN2.二项分布在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X,在每次试验中，事件A 发生的概率为P,那么在n 次独立重复试中，事件A 恰好发生k 次的概率为：P(X=k)= C n kp k(1-p)n-k(k=0,1,2,3,,n),此时称随机变量X 服从二项分布.记作：X B(n,p),EX= np3.“二项分布”与“超几何分布”的联系与区别(1)“二项分布”所满足的条件每次试验中，事件发生的概率是相同的；是一种放回抽样.各次试验中的事件是相互独立的；每次试验只有两种结果，事件要么发生，要么不发生；随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数.(2)“超几何分布”的本质：在每次试验中某一事件发生的概率不相同，是不放回抽样，“当样本容量很大时，超几何分布近似于二项分布;(3)“二项分布”和“超几何分布”是两种不同的分布，但其期望是相等的.即：把一个分布看成是“二项分布”或“超几何分布”时，它们的期望是相同的.分布”和“二项分布”的这种“巧合”，使得“超几何分布”期望的计算大简化.共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败。
不同点：1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”；联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布。
关于二项分布与超几何分布问题区别举例
关于二项分布与超几何分布问题区别举例Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】关于“二项分布”与“超几何分布”问题举例一．基本概念 1.超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件X=k 发生的概率为：P(X=k)=n Nk n MN k M C C C --⋅,k= 0,1,2,3,,m ；其中，m = minM,n,且n N , M N . n,M,N N 为超几何分布；如果一个变量X 的分布列为超几何分布列，则称随几变量X 服从超几何分布.其中，EX= n MN2.二项分布在n次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X,在每次试验中，事件A 发生的概率为P,那么在n次独立重复试中，事件A恰好发生k次的概率为：P(X=k)= C n k p k(1-p)n-k(k=0,1,2,3,,n),此时称随机变量X服从二项分布.记作：X B(n,p),EX= np3.“二项分布”与“超几何分布”的联系与区别(1)“二项分布”所满足的条件每次试验中，事件发生的概率是相同的；是一种放回抽样.各次试验中的事件是相互独立的；每次试验只有两种结果，事件要么发生，要么不发生；随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.(2)“超几何分布”的本质：在每次试验中某一事件发生的概率不相同，是不放回抽样，“当样本容量很大时，超几何分布近似于二项分布;合”，使得“超几何分布”期望的计算大简化.共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败。
不同点：1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”；联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布。
因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的． 二．典型例题例1：袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：（1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为15，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫⎪⎝⎭，． 03031464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴；12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 333141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，X 的分布列为（2）．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为０，1，2，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15C C P YC ===．因此，Y 的分布列为例2.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1) 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.(2) 记：X表示“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的数量”，求X 的分布列并求EX;分析：由题可知：从10件产品中分别任取两次得到“一等品”或“二等品”的概率是不相等的，因此是一种不放回抽样;随机变量 X服从超几何分布.解：(1) 记A1：取出3件一等品；A2：取出2件一等品；A3：取出1件一等品，二件三等品.A1、A2、A3互斥，P(A 1)= C 33C 103 = 1120 , P(A 2)= C 32C 71C 103 =740,P(A 3)= C 31C 72C 103 = 340 ; 所以，P =P(A 1)+ P(A 2)+ P(A 3)= 31120 .(2)X=0，1，2，3; X 服从超几何分布，所以P(X=0)= P(一件一等品，一件二等品，一件三等品)=310131413C C C C =310;P(X=1)=P （二件一等品，一件二等品） =3101423C C C =110; P(X=2)=P(三件一等品，一件二等品)=3101433C C C =130 ; P(X=3)= P （三件一等品，零件二等品）= 3100433C C C = 1120;EX = nM N = 3310=说明：谨防错误地认为随机变量X 服从二项分布，即：XB(3, 31120).例3.从某高中学校随机抽取16名学生，经校医检查得到每位学生的视力，其中“好视力”4人,以这16人的样本数据来估计整个学校的整体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望.分析：本题就是从“该校（人数很多）任选3人”，由此得到“好视力”人数X，若每次从该校任取一名学生为“好视力”这一事件的概率显然是相等的，因为该校“人数很多”相当于“有放回抽样”，因此，随机变量X服从“二项分布”而不是“超几何分布”.解：由题可知：X= 0,1,2,3；由样本估计总体，每次任取一人为“好视力”的概率为： P = 416 = 14，则XB(3,14 );P(X=0)= C 30( 14 )0(1- 14)3-0 = 2764; P(X=1)= C 31( 14 )1(1- 14)3-1 = 2764 ;P(X=2)= C 32( 14 )2(1- 14 )3-2 = 964 ;P(X=3)= C 33( 14 )3(1- 14 )3-3 = 164;EX = 3×14 = 34. 说明：假设问题变为：“从16名学生中任取3名，记X 表示抽到“好视力”学生的人数，求X 的分布列及数学期望”.那么X 服从“超几何分布”，即：P(X=k)= 3163124C C C k k ，(X=0,1,2,3)，其中,数学期望值不变，即为：EX= 3×416 = 34.。
超几何分布和二项分布的联系和区别
超几何分布和二项分布的联系和区别开滦一中张智民在最近的几次考试中,总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布,二者到底该如何区分呢?什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题?什么时候用超几何分布的公式去解决呢?好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案,其实这个问题的回答就出现在教材上,人教版新课标选修2-3从两个方面给出了很好的解释.诚可谓:众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处! 一、两者的定义是不同的教材中的定义: (一)超几何分布的定义在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k) =nNk -n M-N k MCC C,，2,1,0k, m,其中m=min{M,n},且n ≤N,M ≤N,n,M,N ∈N,称随机变量X 服从超几何分布(二)独立重复试验和二项分布的定义1）独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验,且各次试验试验的结果相互独立,称为n 次独立重复试验,其中A(i=1,2,…,n)是第ⅰ次试验结果,则P(A1A2A3…An)=P(A 1)P(A2)P(A3)…P(An)2)二项分布在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为P,则P(X=k)=kn kp p )1(Ck n(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X 服从二项分布,记作X~B(n,p),并称P 为成功概率。
1.本质区别(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,二项分布描述的是放回抽样问题; (2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题2.计算公式超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k)=nNk -n M-N k MCC C,，2,1,0k, m,二项分布:在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为P,则P(X=k)=kn kp p )1(Ck n(k=0,1,2,…,n),温馨提示:当题目中出现“用样本数据估计XXX 的总体数据”时,均为二项分布问题。
如何快速识别“二项分布”与“超几何分布”
在离散型变量综合题型中，如何快速地识别“二项分布”与“超几何分布”两种分布列的区分应按下述步骤进行快速识别：（一）从抽样方法来区分。
若在题干中出现明显的“放回抽样”、“不放回抽样”、“一次性抽取几件”、“n次独立重复试验”等字眼时，“放回抽样”、“n次独立重复试验”对应“二项分布”，“不放回抽样”对应“超几何分布”，“一次性抽取几件”可以理解为“不放回地抽取一件，连续抽取几次”，这样就对应“超几何分布”了。
（二）若是没有明显字眼特征，则第二步马上应“从抽取产品的总数N和其中所含次品的件数M是否明确来区分”注意：题中若出现“用频率估计概率”、“以样本推断总体”等字眼时，应判断为“总体数N不确定”，适用“二项分布”。
这是因为：“用频率估计概率”本身“概率”就是发生的可能性大小，具有不确定性，“以样本推断总体”中的“推断”就是“估计、大概”的意思，具有不确定性。
例：某工厂为检验其所生产的产品的质量，从所生产产品中随机抽取10件进行抽样检验，检测出有两件次品.（1）从这10件产品中随机抽取3件，其中次品件数为X，求X分布列和期望；（2）用频率估计概率，若所生产的产品按每箱100件装箱，从一箱产品中随机抽取3件，其中次品件数为Y，求Y分布列和期望;（3）用频率估计概率，从所生产的产品中随机抽取3件，其中次品件数为Z，求Z分布列和期望.分析：第（1）问中，抽取产品的总体N=10，所含次品件数M=2，都是明确的，所以该随机变量的分布为超几何分布。
第（2）问是从一箱产品中抽取，产品的总体N=100是明确的，但其中有多少件次品M是不明确的，有的同学根据样本可认为M=20，但违背了题目中的“用频率估计概率”这一条件，或者说没有理解这句话的含义，本质上就是概率的定义没有理解。
据概率定义，“用频率估计概率”这一条件应理解为：从这100件产品中任意抽取1件产品，该件产品是次品的概率是0.2，同时抽取3件等同于不放回抽1件3次，由于每次的概率都是0.2，因此，可看成独立重复实验，该随机变量的分布为二项分布。
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第2讲 二项分布与超几何分布★ 知 识 梳理 ★1．条件概率：称)()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。
特别提醒：①0≤P （B|A ）≤1；②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
2. 相互独立事件：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
特别提醒：①如果事件A 、B 是相互独立事件，那么，A 与_B 、_A 与B 、_A 与_B 都是相互独立事件 ②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
我们把两个事件A 、B 同时发生记作A ·B ，则有P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）推广：如果事件A 1，A 2，…A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
即：P （A 1·A 2·…·A n ）= P （A 1）·P （A 2）·…·P(A n ) 3.独立重复试验: 在同样的条件下，重复地、各次之间____________的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有____________结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的. 答案: 相互独立地进行, 两种4.如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率计算公式：________________________答案:P n （k ）=C k n P k（1－P ）n －k,其中，k =0,1,2，…,n .5.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是kn k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． ξ1 … k … nPnn q p C 00111-n n q p C … kn k k n q p C - …q p C n n n由于kn k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从____________，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．答案:二项分布6. 两点分布： X 0 1 P 1－p p特别提醒： 若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.7. 超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则},,min{,,1,0,)(n M m m k C C C k X P nNk n MN k M ====-- 其中，N M N n ≤≤,。
称分布列X 0 1 … mP n N n M N M C C C 00-- n N n M N M C C C 11-- … nNm n MN m M C C C -- 为超几何分布列， 称X 服从____________答案: 超几何分布。
★ 重 难 点 突 破 ★1.重点：理解超几何分布及其导出过程.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，能理解n 次独立重复实验的模型及二项分布.2.难点：能利用超几何分布, 二项分布及n 次独立重复实验解决一些简单的实际问题3.重难点：.(1) “互斥”与“独立”混同问题1: 甲投篮命中率为O ．8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少?错解 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，则两人都恰好投中两次为事件A+B ，P(A+B)=P(A)+P(B)： 2222330.80.20.70.30.825c c ⨯+⨯=点拨: 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．正确解答：设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A ，B 相互独立，则两人都恰好投中两次为事件A·B ，于是P(A·B)=P(A)×P(B)=2222330.80.20.70.30.169c c ⨯+⨯≈．（2）“条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同问题2:袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．错解 记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,所以P(C)=P(B/A)=6293=. 点拨：本题错误在于P(A ⋅B)与P(B/A)的含义没有弄清, P(A ⋅B)表示在样本空间S 中,A 与B同时发生的概率；而P （B/A ）表示在缩减的样本空间S A 中，作为条件的A 已经发生的条件下事件B 发生的概率。
正确答案：P （C ）= P(A ⋅B)=P （A ）P （B/A ）=46410915⨯=。
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★考点一： 条件概率,相互独立事件和独立重复试验 题型1. 条件概率[例1] 一张储蓄卡的密码共有6位数，每位数字都可从0～9中任选，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：⑴按第一次不对的情况下，第二次按对的概率； ⑵任意按最后一位数字，按两次恰好按对的概率；⑶若他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率[解题思路]：⑴这是一个一般概率还是条件概率？应选择哪个概率公式？⑵“按两次恰好按对”指的是什么事件？为何要按两次？隐含什么含义？第一次按与第二次按有什么关系？应选择哪个概率公式？⑶“最后一位是偶数”的情形有几种？“不超过2次就按对”包括哪些事件？这些事件相互之间是什么关系？应选择用哪个概率公式？解析：设事件(12)i A i=，表示第i 次按对密码⑴211()9P A A =⑵事件12A A 表示恰好按两次按对密码，则12121911()()()10910P A A P A P A A ==⨯= ⑶设事件B 表示最后一位按偶数，事件112A A A A =+表示不超过2次按对密码，因为事件1A 与事件12A A 为互斥事件，由概率的加法公式得：1121412()()()5545P A B P A B P A A B ⨯===+=⨯【名师指引】⑴条件概率相当于随机试验及随机试验的样本空间发生了变化，事件A 发生的条件下事件B 发生的概率可以看成在样本空间为事件A 中事件B 发生的概率，从而得出求条件概率的另一种方法——缩减样本空间法⑵将条件概率的计算公式进行变形，可得概率的乘法公式)()()(A B P A P AB P = 【新题导练】2. 设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率． 解:设B 表示取得一等品，A 表示取得合格品，则（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，70()0.7100P B == (2)方法一:因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以B A AB B ⊂∴=70()0.736895P B A ==方法二:()()()P AB P B A P A =701000.736895100=≈题型2。
相互独立事件和独立重复试验[例2] (2008四川省成都市一诊)某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定．他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张．投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，他们的投票相互没有影响．规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目投资． （Ⅰ）求此公司一致决定对该项目投资的概率； （Ⅱ）求此公司决定对该项目投资的概率；[解题思路]： 注意相互独立事件和独立重复试验恰有k 次发生的区别 解析：（Ⅰ）此公司一致决定对该项目投资的概率P= (13)3＝127（Ⅱ）此公司决定对该项目投资的概率为 P ＝C 32(13)2(23)＋C 33(13)3＝727答: （Ⅰ）此公司一致决定对该项目投资的概率为127（Ⅱ）此公司决定对该项目投资的概率为727.【名师指引】 除注意事件的独立性外, 还要注意恰有k 次发生与指定第k 次发生的区别, 对独立重复试验来说,前者的概率为(1)kk n k nC p p --,后者的概率为(1)k n k p p --【新题导练】1. （湖南卷16）.（本小题满分12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试 合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响.求：至少有1人面试合格的概率; 解: 用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A ，B ，C 相互独立，且P （A ）＝P （B ）＝P （C ）＝12. 至少有1人面试合格的概率是3171()1()()()1().28P ABC P A P B P C -=-=-=2．（山东卷18）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。
假设甲队中每人答对的概率均为32，乙队中3人答对的概率分别为21,32,32且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分. （Ⅰ）求随机变量ε分布列；(Ⅱ)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB ).解: (Ⅰ)由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且所以ε（Ⅱ）用表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB =C ∪D ,且C 、D 互斥，又,34)213131()32()(,310213132213231213132)321()32()(52324232=⨯⨯⨯⨯==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯=C D P C C P 由互斥事件的概率公式得24334334354310)()()(54==+=+=D P C P AB P考点二: 两点分布与超几何分布题型1: 两点分布与超几何分布的应用[例3] 高二（十）班共50名同学，其中35名男生，15名女生，随机从中取出5名同学参加学生代表大会，所取出的5名学生代表中，女生人数X 的频率分布如何？ [解题思路]：5名学生代表中，女生人数有6种情况.解析：从50名学生中随机取5人共有550C 种方法，没有女生的取法是051535C C ，恰有1名女生的取法是141535C C ，恰有2名女生的取法是231535C C ，恰有3名女生的取法是321535C C ，恰有4名女生的取法是411535C C ，恰有5名女生的取法是501535C C ， 因此取出的5名学生代表中，女生人数X 的频率分布为：.278)32()3(,94)321()32()2(,92)321(32)1(,271)321()0(3333232231330=⨯===-⨯⨯===-⨯⨯===-⨯==C P C P C P C P εεεε[例4] 若随机事件A 在1次试验中发生的概率是p ，用随机变量ξ表示A 在1次实验中发生的次数。