Chap7.线性方程组的迭代解法
计算方法3_线性方程组迭代解法
计算方法3_线性方程组迭代解法线性方程组的迭代解法是解决线性方程组的一种常见方法，常用于大规模的线性方程组求解。
该方法通过不断迭代更新解的近似值，直到满足一定的收敛准则为止。
线性方程组的迭代解法有很多种，其中最经典的是雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和超松弛迭代法。
本文将分别介绍这三种迭代解法及其计算方法。
雅可比迭代法是一种比较简单的线性方程组迭代解法，它的基本思想是先将线性方程组转化为对角占优的形式，然后通过迭代求解逐渐接近精确解。
雅可比迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)是第k+1次迭代的近似解，n是未知数的个数，a_ij 是系数矩阵A的元素，f_i是方程组的右端向量的元素。
雅可比迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式，即保证矩阵A的对角元素绝对值大于其它元素的绝对值。
2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。
3.根据雅可比迭代公式，计算x^(k+1)。
4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。
高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法，它的基本思想是在每次迭代计算x^(k+1)时，利用已经计算出的近似解作为x的一部分。
高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。
高斯-赛德尔迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式。
2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。
3.根据高斯-赛德尔迭代公式，计算x^(k+1)。
4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。
超松弛迭代法是对高斯-赛德尔迭代法的一种改进方法，它引入了松弛因子ω，通过调整参数ω的值，可以加快迭代的收敛速度。
超松弛迭代法的迭代公式为：其中，0<ω<2，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。
线性方程组的迭代式求解方法
线性方程组的迭代式求解方法迭代法解方程的基本原理1.概述把 Ax=b 改写成 x=Bx+f ，如果这一迭代格式收敛，对这个式子不断迭代计算就可以得到方程组的解。
道理很简单：对 x^{(k+1)}=bx^{(k)}+f 两边取极限，显然如果收敛，则最终得到的解满足 \lim_{k\rightarrow\infty } x^{(k)}=x^*=Bx^*+f ，从而必然满足原方程 Ax^*=b 。
迭代方法的本质在于这一次的输出可以当作下一次的输入，从而能够实现循环往复的求解，方法收敛时，计算次数越多越接近真实值。
2.收敛条件充要条件：迭代格式 x=Bx+f 收敛的充要条件是 \rho (B)<1充分条件： \Vert B\Vert <1即 \Vert B\Vert <1 \Rightarrow \rho(B)<1\Leftrightarrow 迭代收敛一、Jacobi迭代法怎样改写Ax=b ，从而进行迭代求解呢？一种最简单的迭代方法就是把第i行的 x_i 分离出来(假定 a_{ii} \ne 0 )：\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j=b_i\Rightarrow x_i=\frac{b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j}{a_{ii}}\quad \\这就是Jacobi(雅可比)迭代法。
迭代格式给定x^{(0)}=\left[x_1^{(0)},x_2^{(0)},\cdots,x_n^{(0)}\rig ht]^T ，则Jacobi法的迭代格式（也称分量形式）为x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left ( {b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j^{(k)}}\right),\quadi=1,2,\cdots,n\\矩阵形式设 A=D-L-U。
Jacobi法的矩阵形式（也称向量形式）为x^{(k+1)}=B_Jx^{(k)}+D^{-1}b\\其中迭代矩阵 B_J=D^{-1}(L+U)收敛条件\begin{eqnarray} \left. \begin{array}{lll} \VertB_J\Vert <1 \\ A 严格对角占优\\ A, 2D-A对称正定\end{array} \right \} \end{eqnarray} \Rightarrow \rho (B_J)<1\Leftrightarrow 迭代收敛特别地，若 A 对称正定且为三对角，则 \rho^2(B_J)=\rho (B_G)<1 。
数值分析第六章线性方程组迭代解法
1)
b2 a21x1(k) a23x3(k)
xn( k
1)
bn an1x1(k) an2 x2(k)
a1n
x(k) n
a11
a2n xn(k) a22
an,n1
x(k) n1
ann
x(k1) D1(L U ) x(k) D1b
D1(D A) x(k) D1b
(I D1A) x(k) D1b x(k) D1(b Ax(k) )
x(7) = ( 2.0000, 3.0000, -1.0000 )T 如何确定 SOR 迭代中的最优松弛因子是一件很困难的事
26
收敛性
收敛性定理 Jacobi 迭代收敛的充要条件 (J)<1 G-S 迭代收敛的充要条件 (G)<1 SOR 迭代收敛的充要条件 (L)<1
Jacobi 迭代收敛的充分条件 ||J|| <1 G-S 迭代收敛的充分条件 ||G|| < 1 SOR 迭代收敛的充分条件 ||L|| < 1
x1( k x2( k
1) 1)
1
x(k) 2
2
8
x ( k 1) 1
x(k) 3
3
x3(k1)
5
x ( k 1) 2
2
迭代可得： x(1) = ( 0.5000, 2.8333, -1.0833 )T
x(9) = ( 2.0000, 3.0000, -1.0000 )T
25
举例
SOR 迭代：
x(k1) i
bi
i 1
a x(k1) ij j
n
aij
x(jk
)
aii
j 1
j i 1
Chap7.线性方程组的迭代解法
lim x(k) x* 或 x(k ) x*
k
向量序列 {x(k)} 收敛于向量 x*，当且仅当它的每一
个分量序列收敛于xi*的对应分量，即
x(k)
x*
x(k) i
xi* , i
1,2,, n
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第六章 线性方程组的迭代解法
7
二、矩阵的范数
矩阵范数是反映矩阵“大小”的一种度量，具体定义如下。 定义6.3 设||·||是以n阶矩阵为变量的实值函数，且满足 条件： （1）|| A ||≥0，且|| A ||＝0时，当且仅当A＝0
（2）||αA||＝|α| || A||，α∈R
（3）||A＋B|| ≤ || A ||＋|| B ||
（4）|| AB ||≤|| A || || B ||
则称|| A ||为矩阵A的范数。
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第六章 线性方程组的迭代解法
8
设 n 阶矩阵 A＝（aij），常用的矩阵范数有：
矩阵1-范数： 矩阵2-范数：
这是一个充分条件，根据范数与谱半径的关系式 ρ(B)≤||B|| ，容易推出该充分条件.
定理6.4 若 ||B||<1 ，则有估计式
由于
AT
A
1 2
3 1 4 3
2 10 4 14
14 20
则它的特征方程为:
I AT A 10 14
2 30 4 0
14
20
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第六章 线性方程组的迭代解法
10
此方程的根为矩阵ATA的特征值，解得
矩阵范数同矩阵特征值之间有密切的联系，设λ是矩 阵A相应于特征向量x的特征值，即 Ax＝λx,于是利用
解线性方程组的迭代法
4.若 x x (0) , 输出x, 停机；否则转5。 5.若k N , 置k 1 k , xi xi(0) (i 1, 2, , n), 转3； 否则，输出失败信息，停机。 评价：公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量 的乘法，不改变M 的稀疏性，需两组工作单元，存 x ( k ) , x ( k 1） 。
第六章、解线性方程组的迭代法
• 直接法: 经过有限次运算后可求得方程组精确解 的方法(不计舍入误差!) • 迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个 无穷序列去逼近精确解的方法。（一般有限步内 得不到精确解） • 直接法比较适用于中小型方程组。对高阶方程组， 既使系数矩阵是稀疏的，但在运算中很难保持稀 疏性，因而有存储量大，程序复杂等不足。 • 迭代法则能保持矩阵的稀疏性，具有计算简单， 编制程序容易的优点，并在许多情况下收敛较快。 故能有效地解一些高阶方程组。
k
(i 1, 2, , n)
( ( 其中x ( k ) ( x1( k ) , x2k ) , , xnk ) )T , x ( x1 , x2 , , xn )T 。
证：由定义， ( k ) }收敛于x即 lim x ( k ) x 0 {x
k
而对任意1 i n，有0 xi( k ) xi max x (jk ) x j x ( k ) x
1n
1 a11 a11 1 a 21 a 22 I 1 a nn a n1
a12 a1n a 22 a 2n 1 I- D A a nn a n2
T
同样
定义：设{ x ( k ) }为R n中的向量序列，x R n，如果 lim x ( k ) x 0
计算方法 5线性方程组的迭代解法【精选】
x2 x3
x3 x4
= =
a2 a3
x4 x5 = a4
x1 = a1 a2 a3 a4 x5
x2 = a2 a3 a4 x5 x3 = a3 a4 x5
x4 = a4 x5
( x5为任意实数 ).
例５ 设有线性方程组
线性方程组的迭代法主要有Jocobi迭代法、 Gauss-Seidel迭代法和超松弛(SOR)迭代法.
迭代法的特点
若在求解过程中 xkx*(k)，由 xk+1=(xk)产生 的迭代 xk向x*的逼近 ，在数次迭代求解之后，由 于机器跳动产生的xk值误差或是有效数字产生的 舍入误差，都会在第k+1次迭代计算中自动弥补 过来或逐步纠正过来。因此，在 迭代求解过程中 产生的各种误差是可以忽略的，即迭代求解无累 积误差，实际上， xk只是解的一个近似，机器的 舍入误差并不改变它的此性质。
谱半径：
设 nn 阶矩阵A的特征值为 i(i=1,2,3……n),则称 (A)=MAX | i| 为矩阵A的谱半径.
1 in
矩阵范数与谱半径之间的关系为: (A) ||A||.
5 几个定理及定义
Lim Lim 定义 :
|| x(k ) x(*) ||= 0
x(k ) = x(*)
1
2
(1 )
0
0
(1 )(2 )
(1
)(1
)2
(1) 当 = 1时,
1 1 1 1 B ~ 0 0 0 0
0 0 0 0
R(A) = R(B) < 3,方程组有无穷多解.
解线性方程组的迭代法
0.9906
0.0355
5 1.01159 0.9953
1.01159 0.01159
6 1.000251 1.005795 1.000251 0.005795
7 0.9982364 1.0001255 0.9982364 0.0017636
可见,迭代序列逐次收敛于方程组的解, 而且迭代7次得到精确到小数点后两位的近似解.
a11x1 a12x2 a13x3 b1 a21x1 a22x2 a23x3 b2 a31x1 a32x2 a33x3 b3
从而得迭代公式
x1
a12 a11
x2
a13 a11
x3
b1 a11
x2
a21 a22
x1
a23 a22
x3
b2 a22
x3
a31 a33
M 00.8 00..75
但(M)=0.8<1,所以迭代法 x(k+1)=Mx(k)+g 是收敛的.
由(3.5)式可见,‖M‖越小收敛越快,且当‖x (k) -x(k-1) ‖很小时,‖x(k) –x*‖就很小,实际中用‖x (k) x(k-1) ‖<作为
迭代终止的条件。 例如，对例1中的Jacobi迭代计算结果
+‖x(k+1) –x*‖‖M‖‖x(k) –x(k-1)‖+‖M‖‖x(k) –x*‖ 从而得‖x(k) –x*‖‖M‖‖x (k) -x(k-1) ‖/（1- ‖M‖）
(3.5) (3.6)
估计式(3.5)得证。利用(3.5)式和
‖x(k+1) 得到
-x(k)
‖‖M‖‖x
(k)
-x(k-1)
‖
解线性方程组 的迭代法
线性方程组的迭代解法-雅可比和塞德尔法数值例子
（迭代法）设线性方程组AX ＝b ，1）Jacbi 迭代法：设方程系数矩阵的A 的对角线元素0(1,2,,)ii a i n ≠=，M 是最大迭代次数，ε是容许误差。
a ）取初始向量00012(,,,)Tn x x x x =，令0k =；b ）对1,2,,i n =，计算(1)()11()nk k i ij i j ii j j ix b a x a +=≠=-∑； c ）如果(1)()1nk k i i i x x ε+=-<∑，则输出(1)k x +，结束；否则执行d ）。
d ）如果k M ≥，则不收敛，结束；否则1k k ←+，执行b ）。
2）Gauss-Seidel 迭代法a ）取初始向量00012(,,,)Tn x x x x =，令0k =；b ）对1,2,,i n =，计算1(1)(1)()111()i nk k k i ij ij i j j ii j j i x b a x a x a -++==+=--∑∑；c ）如果(1)()1nk k i i i x x ε+=-<∑，则输出(1)k x +，结束；否则执行d ）。
d ）如果k M ≥，则不收敛，结束；否则1k k ←+，执行b ）。
例7.用迭代法求解线性方程组AX=b ，其中1012061111325,21101110 3 1 815A b -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪== ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－－ 已知该方程组的解(1,2,1,1)x =-.1）Jacbi 迭代法>> A=[10 -1 2 0;-1 11 -1 3;2 -1 10 -1;0 3 -1 8];b=[6 25 -11 15]'; a=diag([A(1,1),A(2,2),A(3,3),A(4,4)]); format rational B=a\(a-A), d=a\b; B =0 1/10 -1/5 0 1/11 0 1/11 -3/11 -1/5 1/10 0 1/10 0 -3/8 1/8 0 X=zeros(4,16); x=[0 0 0 0]';>> for n=1:15 x=B*x+d; X(:,n+1)=x; end >> format short, X X =Columns 1 through 80 0.6000 1.0473 0.9326 1.0152 0.9890 1.0032 0.9981 0 2.2727 1.7159 2.0533 1.9537 2.0114 1.9922 2.0023 0 -1.1000 -0.8052 -1.0493 -0.9681 -1.0103 -0.9945 -1.0020 0 1.8750 0.8852 1.1309 0.9738 1.0214 0.9944 1.0036 Columns 9 through 161.0006 0.9997 1.0001 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.99872.0004 1.9998 2.0001 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 -0.9990 -1.0004 -0.9998 -1.0001 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 0.9989 1.0006 0.9998 1.0001 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 2）Gauss-Seidel 迭代法>> A=[10 -1 2 0;-1 11 -1 3;2 -1 10 -1;0 3 -1 8];b=[6 25 -11 15]'; a=diag([A(1,1),A(2,2),A(3,3),A(4,4)]); format rational B=a\(a-A);d=a\b;X=zeros(4,8);x=[0 0 0 0]'; >>x1=0;x2=x1;x3=x1;x4=x1; for n=1:8x1=B(1,:)*x+d(1);x=[x1,x2,x3,x4]'; x2=B(2,:)*x+d(2);x=[x1,x2,x3,x4]'; x3=B(3,:)*x+d(3);x=[x1,x2,x3,x4]'; x4=B(4,:)*x+d(4);x=[x1,x2,x3,x4]';X(:,n+1)=x; %保存迭代过程的中间变量 end>> format short, X X =0 0.6000 1.0302 1.0066 1.0009 1.0001 1.0000 1.0000 1.0000 0 2.3273 2.0369 2.0036 2.0003 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 0 -0.9873 -1.0145 -1.0025 -1.0003 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 0 0.8789 0.9843 0.9984 0.9998 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000可以看出高斯-塞德尔迭代法的收敛速度只需5次迭代就求得了结果，明显比雅可比迭代法快。
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而 Bk+1 0 ρ(B)<1，由此可得如下的收敛性条件。
2013-7-9 第六章 线性方程组的迭代解法 20
二、迭代法收敛性条件
1 n
|| x ||∞ ≤|| x ||2 ≤
n
|| x ||∞ n
|| x || 2≤|| x ||1 ≤n|| x ||2
1
例如： x
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x i n max xi n x
i 1
1 i n
第六章 线性方程组的迭代解法
6
定义6.2 对于向量序列
( ( ( x ( k ) ( x1k ) , x2k ) ,, xnk ) )T , k 1,2,,
x
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(k )
x x
*
(k ) i
x , i 1,2,, n
* i
7
第六章 线性方程组的迭代解法
二、矩阵的范数
矩阵范数是反映矩阵“大小”的一种度量，具体定义如下。 定义6.3 设||· ||是以n阶矩阵为变量的实值函数，且满足 条件： （1）|| A ||≥0，且|| A ||＝0时，当且仅当A＝0 （2）||αA||＝|α| || A||，α∈R （3）||A＋B|| ≤ || A ||＋|| B || （4）|| AB ||≤|| A || || B || 则称|| A ||为矩阵A的范数。
条件数比较大，可见该方程组为病态方程组。
2013-7-9 第六章 线性方程组的迭代解法 17
§2 迭代解法与收敛性
一、迭代解法
设有线性方程组
A∈Rn×n, b∈Rn . 对A 进行分裂， A=A1+A2 , 则 令
则
AX=b
(1)
其中 A1 可逆，
(A1+A2)x=b
A1x = - A2x+b
对于线性方程组 Ax=b，如果系数矩阵的条件数 Cond(A)=||A || ||A-1 || 太大，则称相应的方程组为病态方 程组。 病态现象是方程组的固有属性，无法改变，因此在求 解时为了不至于产生太大的误差，应该尽量减少原始数据 A、b 的误差，或者用高精度的计算机计算。
例如：对于方程组
系数矩阵和逆矩阵分别为
i 1
n
xi
向量2-范数： 向量∞-范数：
x
2
n x i2 i 1
1 i n
1 2
x
max xi
容易验证，以上三种范数都满足向量范数的三个条件。 例6.1 设向量x＝（1，－3，2，0）T，求向量范数|| x ||p，P＝1，2，∞。
2013-7-9 第六章 线性方程组的迭代解法 4
2013-7-9
第六章 线性方程组的迭代解法
8
设 n 阶矩阵 A＝（aij），常用的矩阵范数有：
矩阵1-范数：
A
1
max
1 j n
| a
i 1
n
ij
1 2
|
列和
矩阵2-范数： A = ( AT A的最大特征值) 2 矩阵∞-范数： A
max
1 i n
| a
j 1
n
ij
2013-7-9 第六章 线性方程组的迭代解法 11
通过向量范数定义的矩阵范数，满足不等式关系：
Ax A x , x R
n
通常将满足上式的矩阵范数称为与向量范数相容的矩阵范 数。 可以证明，前述的三种矩阵范数|| A ||p，P＝1，2，∞， 就是由向量范数|| x ||p派生出的矩阵范数，即
由于
1 3 1 2 10 A A 3 4 4 14 2 则它的特征方程为:
T
A max 1 | | 2 |, | 3 | | 4 | 7 |
14 20
I A A
T
10 14 14 20
及向量
如果
* * * x * ( x1 , x2 , , xn )T
lim x
k
(k )
x 0
*
则称向量序列 x(k) 收敛于向量 x* 。记作
lim x
k
(k )
x
*
或
x
(k )
x
*
向量序列 {x(k)} 收敛于向量 x*，当且仅当它的每一 个分量序列收敛于xi*的对应分量，即
设n阶矩阵A的n个特征值为λ1,λ2，…λn。称 ( A) max i
1 i n
为矩阵A的谱半径，从（6.1）式得知，对矩阵A的任何一 种相容范数都有 ρ(A)≤||A|| （6.2）
2013-7-9 第六章 线性方程组的迭代解法 13
另一个更深刻的结果,对于任意的ε＞0，必存在一种相 容的矩阵范数，使 || A ||≤ ρ(A) ＋ε （6.3） 式（6.2）和（6.3）表明，矩阵A的谱半径是它所有相 容范数的下确界。
|
行和
以上三种范数都满足矩阵范数的条件，通常将这三种 矩阵范数统一表示为|| A ||p，P＝1，2，∞。
2013-7-9
第六章 线性方程组的迭代解法
9
例6.2 设矩阵
1 A 3
2 4
求矩阵A的范数|| A ||p，P＝1，2，∞。 解 根据定义 A 1 max 1 | | 3 |, | 2 | | 4 | 6 |
解:对于 向量 x＝(1，－3，2，0)T ，根据定义 可以计算出：
|| x||1＝| 1 |＋|－3 |＋| 2 |＋| 0 |＝6
x
2
1 3 2
2 2
2
0
2
1 2
14
x
max 1 , 3 , 2 , 0
3
由此例可见，向量不同范数的值不一定相同，但这并不 影响对向量大小做定性的描述，因为不同范数之间存在如 下等价关系。
称(3)为求解(1)的近似解的迭代解法，称{x(k)}为(1)近 似解序列，称B为迭代矩阵。 如果
lim x
k x*=
(k )
x
*
则有
Bx*+F
（4）
我们称迭代法(3)收敛，否则为发散。下面分析迭代格 式(3)收敛的条件.
2013-7-9 第六章 线性方程组的迭代解法 19
x(k+1)= Bx(k)+F , k=0 ,1 , … , x*= Bx*+F
第六章 线性方程组的迭代解法
§1 向量和矩阵的范数 1.1 向量的范数 1.2 矩阵的范数 迭代解法与收敛性 2.1 迭代法的构造 2.2 迭代法的收敛性条件 常用的三种迭代解法 2.1 Jacobi迭代法 2.2 Gauss-Seidel迭代法 2.2 超松弛(SOR)迭代法
第六章 线性方程组的迭代解法 1
2013-7-9
第六章 线性方程组的迭代解法
5
定理6.1 （范数的等价性）对于Rn上任何两种范数 ||·α和||·β，存在着正常数 m，M，使得： || ||
m x x
M x , x R n
范数的等价性表明，一个向量若按某种范数是一个 小量，则它按任何一种范数也将是一个小量。容易证明， 常用的三种向量范数满足下述等价关系。 || x ||∞ ≤|| x ||1 ≤ n|| x ||∞
n×n矩阵A＝（aij）的充要条件为
2013-7-9
k
( lim aijk ) aij , i , j 1,2 , , n
第六章 线性方程组的迭代解法
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四、矩阵的条件数
引进了矩阵的度量标准——范数，就可以对方程组求 解进行误差分析，对于方程组 Ax =b 如果常数项产生了误差△b, 并设求解时产生的误差为△x， 则有 A(x + △x) =b+ △b 两式相减得到 取范数 A △x = △b △x = A-1△b 当系数矩阵可逆时
A
p
max
x 0
Ax x
p
p
, p 1,2,
均为相容范数，即
Ax
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p
A
p
x p,
p 1,2,
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第六章 线性方程组的迭代解法
三、矩阵的谱半径
矩阵范数同矩阵特征值之间有密切的联系，设λ是矩 阵A相应于特征向量x的特征值，即 Ax＝λx,于是利用 向量-矩阵范数的相容性，得到 =|| Ax|| ≤ || A || ||x|| |λ| || x ||＝||λx|| 从而，对A的任何特征值λ均成立 |λ|≤|| A || （6.1）
|| x＋y ||≤|| x ||＋|| y || 则称 ||· 为 Rn 空间上的范数，|| x ||为向量 x 的范数。 || 理论上存在多种多样的向量范数，但最常用的是如下 三种。 设向量x＝（x1，x2，…，xn）T，定义
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向量1-范数：
x
1
由(3) – (4)得
令（3）（4）x(k+1) - x* = B(x(k)- x* )
,
e(k)= x(k)- x*
( k + 1)
则有
(k ) 2 ( k - 1) k + 1 (0)
e = Be = B e =L = B e 若 x(k+1) x* , 则 e(k) 0。
这时只有
Bk+1 0 （k ∞）。
一、向量的范数
定义6.1设||· ||是向量空间Rn上的实值函数，且满足条件
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