2015高考理科数学《空间几何体的表面积和体积》练习题

2015高考理科数学《空间几何体的表面积和体积》练习题
[A组基础演练·能力提升]
一、选择题
1.一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是( )
A.11π
2
B.
11π
2
＋6
C．11π D.11π
2
＋3 3
解析：这个空间几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．根据图中数据可知这个圆台的上底面半径是1，下底面半径是2，高为3，母线长是2，其表面积是两个半圆、圆台侧面积的一半和一
个轴截面的面积之和，故S＝1
2
π×12＋
1
2
π×22＋
1
2
π(1＋2)×2＋
1
2
×(2＋4)×3＝
11π
2
＋3 3.
答案：D
2．(2013年高考重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.560
3
B.
580
3
C．200 D．240
解析：由三视图可得该几何体是上、下底面均为矩形，左、右侧面均为等腰梯形的多面体，如图
所示，故体积V＝1
2
×(2＋8)×4×10＝200.
答案：C
3.(2013年高考广东卷)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )
A．4 B.14 3
C.16
3
D．6
解析：由四棱台的三视图可知，台体上底面积S1＝1×1＝1，下底面积S2＝2×2＝4，高h＝2，
代入台体的体积公式V＝1
3
(S1＋S1S2＋S2)h＝
1
3
×(1＋1×4＋4)×2＝
14
3
.
答案：B
4.已知正三棱锥P－ABC的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为( )
A．4πB．12π
C.16π
3
D.
64π
3
解析：由主视图得到正三棱锥的侧棱长为4，由俯视图得到正三棱锥的底面是边长为23的正三
角形，所以正三棱锥的高为23，所以外接球的半径为43
3
，所以外接球的表面积为
64
3
π，故选D.
答案：D
5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．16＋8π
B ．8＋8π
C ．16＋16π
D ．8＋16π
解析：根据三视图可以判断该几何体由上、下两部分组成，其中上面部分为长方体，下面部分为半个圆柱，所以组合体的体积为2×2×4＋1
2
×22π×4＝16＋8π，选择A.
答案：A
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．32
B ．18
C ．16
D ．10
解析：由三视图可知直观图如图所示，则该几何体可以看成正方体沿着某顶点削去了一半，所以
体积为1
2
×43＝32.
答案：A 二、填空题
7.(2013年高考陕西卷)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．
解析：由三视图可知，该几何体为半径r＝1的半球体，表面积为底面圆面积加上半球面的面积，所以S＝πr2＋2πr2＝3π.
答案：3π
8．将边长为a的正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的体积为________．
解析：该几何体是正方体截去两个全等的三棱锥剩下的部分，所以其体积V＝a3－2(1
3
×S△
A 1B
1
D
1
×AA1)＝
2
3
a3.
答案：
2
3
a3
9．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，该三棱锥的外接球的半
径为2，则该三棱锥的体积为________．
解析：根据三视图可以画出直观图(如图所示)，其中SA⊥AB，SA⊥AC，S A＝2，设AB＝AC＝x，
外接球的半径为r，由题意可知，22＋2x2＝2r＝4，∴x＝6，所以三棱锥的体积为1
3
×
1
2
×6×6×2
＝2.
答案：2
三、解答题
10.(2014年郑州检测)一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的表面积S.
解析：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为3，
所以V＝1×1×3＝ 3.
(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，
所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，
S＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.
11.正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与四个面都相切，求棱锥的表面积和球的半径．
解析：过PA 与球心O 作截面PAE 与平面PCB 交于PE ，与平面ABC 交于AE ，因△ABC 是正三角形，易知AE 即是△ABC 中BC 边上的高，又是BC 边上的中线，作为正三棱锥的高PD 通过球心，且D 是三角形△ABC 的重心，据此根据底面边长为26，即可算出DE ＝13AE ＝13×3
2
×26＝2，
PE ＝1＋2
2
＝3，
由△POF ∽△PED ，知r DE ＝1－r
PE
， ∴
r 2
＝
1－r
3
，r ＝6－2. ∴S 表＝S 侧＋S 底＝3×12×26×3＋3
4×(26)2
＝92＋6 3.
12．(能力提升)如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△
ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图2所示．
(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体D －ABC 的体积．
解析：(1)证明：在图1中，可得AC ＝BC ＝22，从而AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC ，又平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ，
∴BC ⊥平面ACD .
(2)由(1)可知BC 为三棱锥B －ACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2， ∴V B －ACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝42
3，
由等体积性可知几何体D －ABC 的体积为
42
3
.
[B 组 因材施教·备选练习]
1．(2014年大连双基测试)SC 为球O 的直径，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝π4，若棱锥A －SBC 的体积为433
，则球O 的体积为( ) A.4π3 B.32π3
C ．27π
D ．43π 解析：设球的半径为R ，因为△SOA 为等腰三角形，且底角为π4，所以△SOA 为等腰直角三角形．同
理可得到△SOB 为等腰直角三角形，所以推得SO ⊥平面AOB ，所以V A －SBC ＝2V S －AOB ＝2·13·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12·2·R 2
－1R ＝433，解得R ＝2，所以球的体积为43πR 3＝32π3.
答案：B
2．已知正三棱柱内接于一个半径为2的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为( )
A . 6 B. 2 C. 3 D. 2
解析：在如图所示的正三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，设底面边长为a ，其高SE ＝h ，O 为其外接球的球
心．在Rt△OAE 中，OA ＝R ，OE ＝h 2，AE ＝3
3
a ，
∴OA 2
＝OE 2
＋AE 2
，即R 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫h 22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫33a 2
，
∴4＝h 24＋a 2
3≥2×h 2×a
3
，∴ah ≤43，
当且仅当h
2＝a
3，即h ＝2a
3时等号成立，此时正三棱柱的侧面积最大，且其最大值为3×a ×h ＝
3×43＝123，故有3×a ×
2a
3
＝123，∴a ＝ 6. 答案：A
3.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积为________m2.
解析：由三视图可知，该几何体由一个正方体和一个四棱柱组成，其表面积S＝2×2＋3
2
×1＋2
×1＋7×1×1＋3×1＝15＋2(m2)．答案：15＋ 2。