数学师范论文

积分型极限的解法探究摘要积分型极限，即极限表达式中含有积分符号的极限，是极限运算问题中的一种特殊类型.本文主要探究含黎曼积分的积分型极限的解法.根据积分型极限中含积分的特点、性质，以及积分的运算法则，在极限一般解法的基础上，探究求解积分型极限的特殊解法和技巧处理，使得求解积分型极限问题变得简单化、系统化.本文得到的结论为解决更一般的与积分型极限相关问题提供了有益的思想和方法.【关键词】积分型极限；解法；积分Study on the solution of the integral type limitAbstractThe integral type limit,the limit which the integral symbol is contained in, is a special type of the problem of limit calculation. The solution of the integral type limit with Riemann integral is mainly studied on in this paper. According to the integral characteristics, integral properties, and the integral algorithm included in the integral type limit, and on the basis of the limit of general solution, the special solutions to solve the integral type limit and skills to deal with are studied on in this paper. It is easier and more systematic to solve problems of the integral type limit. Associated with the conclusion in this paper, the useful of thought and method is provided about the more general problem of the integral type limit.[Key words] integral type limit, solution, integral目录引言 (1)1 积分型极限的分类 (1)2 积分型极限的一般解法 (2)2.1 先求原函数再求极限 (2)2.2 运用洛比达法则（L’Hospital’s Rule） (2)2.3 运用放缩法或夹逼准则 (4)2.4 运用等价无穷小量 (5)3 积分型极限的特殊解法 (8)3.1 运用积分中值定理求解 (8)3.2 拟合法、隔离法、分段法 (10)3.3 概率方法 (12)3.4 其他方法 (14)4 总结 (15)参考文献 (16)引 言极限是分析数学中研究数列和函数性质的一个重要工具，贯穿数学分析的始终.极限问题是数学分析的基本问题，与连续、导数、积分和级数等许多问题密切相关[]1.极限运算是高等数学中的一种重要运算，通常，我们可以利用极限的性质，初等函数的连续性，等价代换，两个重要极限，夹逼准则及其推广，洛比达法则，利用积分定义，等方法求一般函数极限或数列极限.而积分型极限，即极限表达式中含有积分符号的极限，是极限运算问题中的一种特殊类型.对于这种极限，一般求极限的各种方法原则上都适用，但对于被积函数复杂、原函数求法繁琐和原函数不可能求出的积分型极限问题，或者是含有含参积分，反常积分和多重积分的积分型极限问题，求极限的一般解法将失效或者求解困难.本文主要讨论含黎曼积分的积分型极限问题.先将含不同黎曼积分的极限分类，再根据积分型极限中含积分的特点、性质，以及积分的运算法则，在极限一般解法的基础上，探究求解积分型极限的解法和技巧处理，使得求解积分型极限问题变得简单化、系统化.最终能够解决更一般的与积分型极限相关的问题，并能在相关问题中拓展延伸.1 积分型极限的分类黎曼积分有不定积分、定积分、变限积分、反常积分（无穷积分和瑕积分）、重积分、含参量积分等类型.在[3]中，把积分表达式中含有定积分的极限称为积分极限.具体定义如下：定义1 在极限表达式中含有积分符号的极限，称为积分型极限. 定义2 在极限表达式中含有定积分的极限，称为积分极限. 定义3 在极限表达式中含有变限积分的极限，称为变限积分极限. 定义4 在极限表达式中含有反常积分的极限，称为反常积分极限. 类似的，我们可以定义含参量积分极限，二重积分极限，多重积分极限等.例如：20lim sin d n n x x π→∞⎰是积分极限，也可称为含参量积分极限(参量为n ).lim d txt t e x ++∞-→⎰是含参量反常积分极限(参量为t ).因为变限积分()()d x ax f t t Φ=⎰，[],x a b ∈和()()d bxx f t t ψ=⎰，[],x a b ∈为特殊的含参量积分.所以含变限积分极限又可以称为含参量积分极限.2 积分型极限的一般解法函数极限问题的常用解法：由初等函数连续性直接求极限，等价无穷小代换，夹逼准则及其推广，洛比达法则(L Hospital's Rule)，利用定积分定义求极限，泰勒(Taylor)公式，级数收敛等. 这些方法同样也适用于积分型极限的问题中. 2.1 先求原函数再求极限针对被积函数存在初等函数表示的原函数的积分型极限，可以直接求出原函数，再利用极限的一般解法求解.例1 (1) 201lim d lim arctan 12x x x t x t π→∞→∞==+⎰；(2) 222001cos 2lim sin d lim d 2x xn n nxe nx x e x +∞+∞--→∞→∞-=⎰⎰ 21lim cos(2)d 42x n e nx x π+∞-→∞=-⎰. 令()2cos(2)d x g n e nx x +∞-=⎰，积分号下可以求导，得()22sin(2)d x g n xe nx x +∞-'=-⎰()()2sin 22cos(2)d 2x x e nx n e nx x ng n +∞+∞-=-=-⎰，解上式，得()22n g n e π-=，因此220lim sin d 4x n e nx x π+∞-→∞=⎰.注1 (1)的求解是显然的，在(2)中，先利用分部积分法和微分方程求解求出原函数，再计算极限.虽然较(1)求原函数复杂些，但当原函数求出后，极限问题也就变得简单了，所以该方法也是有效地. 2.2 运用洛比达法则（L’Hospital’s Rule ）洛比达法则（L’Hospital’s Rule ）[]10假设实函数f 和g 在(),a b 内可微，而且对于所有的(),x a b ∈，()0g x '≠.这里a b -∞≤<≤+∞.已知当x a →时，()()f x Ag x '→'； 如果当x a →时，()0f x →，()0g x →；或是当x a →时，()g x →+∞；那么当x a →时，()()f x Ag x →.参量积分的可微性[]1,2 设(),f x y ，(),x f x y 在[][],,a b p q =⨯ 上连续，()c x 和()d x 为定义在[],a b 上其值含于[],p q 内的可微函数，则函数()()()(),d d x c x F x f x y y =⎰在[],a b 上可微，且()()()()()()()()()(),d ,,d x x c x F x f x y y f x d x d x f x c x c x '''=+-⎰.洛比达法则是求解00型和∞∞型未定式函数极限的一种重要方法.当积分型极限是变限积分极限，或者可化为变限积分极限时，将极限构造成00型和∞∞型，运用洛比达法则和含参量积分的可微性，将积分型极限去掉积分号，化为一般形式极限求解.例2 求20sin d 022d limd sin d xt t x tx t tt t u u→⎰⎰⎰⎰.分析 在分子20sin d 0d xt t t t⎰⎰中，变上限积分的上限20sin d xt t ⎰也是变上限积分，并且当0x →时，2sin d 0x t t →⎰.在分母22d sin d x tt t u u ⎰⎰中，变上限积分函数20sin d tu u ⎰是关于t 的函数，与x 无关.故当0x →时，220(sin d )d 0xtt u u t →⎰⎰. 因此该式满足洛比达法则的条件.解 原式=20sin d 2222002222d sin d sin sin lim limlim 1(sin d )d sin d xt t xxtxx x x t tt t x x xt u u tx u u →→→⎰⋅===⎰⎰⎰⎰⎰. 类似的，可以求()2210limd xx tx e te →∞=⎰，1001cos lim d 0x tt xt→-=⎰等积分型极限.例3 设()f x 有一阶连续导数，求()222222241lim d d d t x y z tfx y z x y z t π+→++≤++⎰⎰⎰.解 作球面坐标变换：sin cos x r ϕθ=，sin sin y r ϕθ=，cos z r ϕ=，则()()()2222222222020d d d d d sin d 4d .x y z tttfx y z x y zf r r r f r r r ππϕθϕπ++≤++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰从而，原式()()()()()()220230004d 0, 00lim lim lim , 00tt t t f r r rf f f t t f t f t t t ππ+++→→→'=⎧⎪====⎨∞≠⎪⎩⎰. 注2 例3是多重积分极限，对于多重积分极限，需要结合多元函数的性质，重积分的定义、几何意义以及中值定理等进行求解.本题则利用坐标变换，将三重积分转化为类次积分，进一步转化为变上限积分，最后再应用洛比达法则求解. 2.3 运用放缩法或夹逼准则由于积分具有比较性质([10]中定理6.12(b))，在求解积分型极限时，可将所含积分做适当放大和缩小，找到一个适当的上函数和下函数易于求极限，且两者的极限值相等，那么原极限可由极限的夹逼准则求得.要特别注意的是，在对积分进行放缩时，要充分考虑被积函数及积分的上下限的具体形式，灵活处理.例如，1lim d 1n n x x x →∞+⎰.由于01x ≤≤，故11000d d 1n nx x x x x ≤≤+⎰⎰，因为10lim d n n x x →∞⎰1lim 01n n →∞==+，于是，由夹逼准则可得原极限为0.类似可求120lim d 1nn x x x →∞+⎰， 10lim d 1n xx n x e x e →∞+⎰等.例4[]4 设()f x ，()g x 在[],a b 连续，且()0f x ≥，()0g x >，求()()lim d bn an f x g x x →∞⎰.分析 利用在[],a b 的连续的函数()g x 的最值定理，积分的比较性质，再由夹逼准则求解即可.当使用夹逼准则时，若放大与缩小所得之量的极限值不相等，但两者只差一个任意小量，则两边夹法则仍然有效.即设()f x 为含定积分的一个函数表达式，对0ε∀>，有()()()g x f x h x ≤≤，而()lim g x l ε=-，()lim h x l =（或者()lim g x l =，且()lim h x l ε=+），则由ε的任意性，得积分极限()lim f x l =.这就是夹逼准则的推广形式.2.4 运用等价无穷小量等价无穷小量代换是求极限的一种简洁方法，在求解0型未定式极限时是非常有效的，其内容简单且使用方便.在求积分型极限问题中，该方法巧妙的应用，也可使繁琐的问题变得简单.该方法多应用在求一些较复杂的变限积分极限中，其优越性是无可比拟的.定理1[]8若()f t '连续，()0f a =，() 0f a '≠，则当x a →时，()()()2d 2xaf a f t t x a '-⎰.推论1[]8若()()1n f t -连续，()()()()20n f a f a f a -'==== ，()()10n f a -≠，则 当x a →时，()()()()1d !n xna f a f t t x a n --⎰.定理2[]8若()f t '连续，()0f a =，() 0f a '≠，且()x ϕ连续，()0x a ϕ=，则当0x x →时，()()()()()2d 2x af a f t t x a ϕϕ'-⎰.推论2[]8 若()()1n f t -连续，()()()()20n f a f a f a -'==== ，()()10n f a -≠，且()x ϕ连续，()0x a ϕ=，则当0x x →时，()()()()()()1d 2n x n af a f t t x a ϕϕ--⎰.由定理1和推论1，可以得到如下常用的等价无穷小量当0x →时，20sin d 2xx t t ⎰ ，20tan d 2x x t t ⎰ ，20arcsin d 2x x t t ⎰ ，20arctan d 2x x t t ⎰ ，()20ln 1d 2xx t t +⎰ .即()()2000sin d tan d arcsin d arctan d ln 1d 02xxxxxx t t t t t t t t t t x +→⎰⎰⎰⎰⎰ []7.由定理2和推论2，得()sin sin 223001sin d d sin 03xxt t t t x x →⎰⎰； ()()()()()()2001ln 1d d 0,02g x g x t t t t g x x g x +→→⎰⎰ . 例5 (1) ()2220220000arctan d 2lim lim 1arcsin d sin d 22xx x x x x t t x x t t t t →→⎛⎫ ⎪⎝⎭==⋅⎰⎰⎰； (2) 3203434001sin d 13lim lim 3xx x x t t x x x x →→==++⎰； (3) ()()2111d lim d x x x f t t f t t→⎰⎰(其中()f x '连续，()()10, 1f f b '==).由定理1和推论1，得()()()()()()()222211112111d 2limlim lim 141d 12x xx x x f x f t t x f f t t x →→→'-==+='-⎰⎰.若被积函数()0f a ≠时，我们有更一般的结论. 定理3 若果函数()f t 在[],a x 上连续，则当x a →时，()()d 2xax a f t t x a f +⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰.证明 当x a →时，()lim d 0x ax a f t t →=⎰，()lim 02x a x a x a f →+⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因此()d x a f t t ⎰和 ()2x a x a f +⎛⎫-⎪⎝⎭为同过程的无穷小量. 由积分第一中值定理，存在[],a x ξ∈使得()()()d x af t t f x a ξ=-⎰，其中当x a →时a ξ→.于是()()()()()()d limlimlim 222xax ax a x a f t tf x a f x a x a x a x a f x a f f ξξ→→→-==+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰.令2x at +=，当x a →时t a →，原式()()lim 1x a f f t ξ→==.所以当x a →时，()()d 2xax a f t t x a f +⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰.推论3 若果函数()f t 在()()12,g x g x ⎡⎤⎣⎦上连续，且()()0110lim x x g x g x a →==，()()0220lim x x g x g x a →==，则当0x x →时，()()()()()()()()211221d 2g x g x g x g x f t t g x g x f +⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰.证明与定理3类似，不再赘述. 例6 (1) 22000cos 12limcos d lim1x x x xx t t x x→→==⎰；(2) ()()()22222000sin 11211lim sin d lim lim 22x x x x x x x x x x x x t t x x x +++→→→⎛⎫+- ⎪-+⎝⎭===-⎰. 注3 该方法主要针对的是求解有关变限积分0型未定式极限的问题，在求解过程中，避免了在运用洛比达法则时对复杂积分函数的求导，使得求解更简便，准确性更高.然而针对含变限积分∞∞型未定式极限的问题中，若转化为00型未定式极限会更复杂，转化过程繁琐且容易出错，所以洛比达法则还是必要的.3 积分型极限的特殊解法在求积分极限的一般方法中，被积函数多为具体函数，一般多应用于计算的问题中，而在含抽象函数的积分型极限问题中，原函数是不可能求出的，因此，需要特殊的方法来求解这类极限问题，主要是根据积分中值定理，积分区间可加性，含参量积分连续性，一致收敛函数列的可积性等.还可根据概率论中的大数定理求解一类n 重积分极限.3.1 运用积分中值定理求解积分第一中值定理[]1,9 若f 在[],a b 上连续，则至少存在一点[],a b ξ∈，使得()()()d baf x x f b a ξ=-⎰.由积分第一中值定理可知，在应用过程中是将积分型极限中的积分号去掉，化为一般的函数极限，进而再进行求解.例如定理5的证明，就应用的是积分第一中值定理.积分第一中值定理的推广[]1若f 和g 都在[],a b 上连续，且()g x 在[],a b 上不变号，则至少存在一点[],a b ξ∈，使得()()()()d d b baaf xg x x f g x x ξ=⎰⎰.由积分第一中值定理的推广可知，应用过程的关键在于将被积函数分成两个连续函数的乘积形式，其中一个函数的原函数比较容易求得，从而达到简化积分型极限的求解目的.例7[]4 求()sin lim d 0n pn n xx p x+→∞>⎰.解 令()sin f x x =，()1g x x=，n +∀∈ ，()f x ，()g x ，在[],n n p +连续，且()g x 不变号，由积分第一中值定理的推广知，[],n n n p ξ∃∈+(当n →∞时，n ξ→∞)使得sin 1lim d lim sin d lim sin ln 10n pn p n n nn n n n x p x x x x n ξξ++→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫=⋅=⋅+= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎰⎰.积分第二中值定理[]1设函数f 在[],a b 可积.(ⅰ)若函数g 在[],a b 上减，且()0g x ≥，则存在[],a b ξ∈，使得()()()()d d baaf xg x x g a f x x ξ=⎰⎰；(ⅱ)若函数g 在[],a b 上增，且()0g x ≥，则存在[],a b η∈，使得()()()()d d bbaf xg x x g b f x x η=⎰⎰.例8 设()x ϕ为有界周期函数，周期为T ，且()01d Tx x C T ϕ=⎰，证明 ()2lim d nn t n t C tϕ+∞→∞=⎰.分析 注意到21d 1nn t t +∞=⎰，于是2d n C C n t t+∞=⎰，那么只需证明 ()2lim d 0nn t Cn t tϕ+∞→∞-=⎰.根据已知条件()()()d Ant C t A n ϕ-∀>⎰有界，即0M ∃>使得()()d Ant C t M ϕ-≤⎰.由积分第二中值定理，令()()f x x C ϕ=-，()21g x x=，显然()g x 在[],n A 上单调减，且()0g x ≥.故[],n A ξ∃∈使得()()()221d d Annt CMn t n t C t t n nξϕϕ-=⋅-≤⎰⎰，从而()2d nt CMn t t nϕ+∞-≤⎰.对每一个固定的n 都成立，令n →+∞取极限值可得()2lim d nn t n t C tϕ+∞→∞=⎰.注4 (1)积分中值定理经常结合夹逼准则来解决积分型极限问题，例如[4]中的例8. 由积分中值定理得到一个可求原函数的积分函数，求出积分后，在进行放缩，得到夹逼准则需要的不等式，即可求得.(2)在积分中值定理中，存在的至少一点ξ一般依赖于被积函数和积分区间，并非一定点.(3)在解决问题的过程中，也经常运用到积分第一中值定理的改进：若f 在[],a b 上连续，则至少存在一点(),a b ξ∈，使得()()()d ba f x x fb a ξ=-⎰.然而经常会出现一个典型的错误.例如：求20lim sin d n n x xπ→∞⎰[]6时，由改进的第一中值定理，0,2n πξ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，且n ξ与n 有关，于是有20lim sin d limsin 02n n n n n x x ππξ→∞→∞=⋅=⎰.这种解法是错误的，至少可以说是不严谨的.我们知道，当01a <<时，lim 0n n a →∞=，但当01n a <<(n a 与n 有关)时，lim 0n n n a →∞=就不一定成立.所以，即使有0sin 1n ξ<<，仍不足以保证lim sin 0n n n ξ→∞=.故应予以注意.3.2 拟合法、隔离法、分段法“拟合法”是将一个数或函数表示为定积分或反常积分的形式，使之与所讨论的问题在形式上一致，便于同一积分号下对问题进行变形或计算.“隔离法”是将某些“不好”的点隔离，极限存在的情况下，克服极限运算不能保严格序的问题.“分段法”由积分区间的可加性，可将积分区间分成几段，使得被积函数在区间段上具有某种性质，便于进一步求解.以上三种方法，在求解积分型极限问题时，并不是单独使用，而是经常结合积分中值定理（例8是拟合法与积分中值定理结合求证的）、放缩法或夹逼准则来解决问题的.在求解许多问题中，也经常要求以上两种或三种方法联合求解.例如 3.1注4(3)中的问题，由于sin 12n π≡，故需要隔离点是2x π=，然后利用积分中值定理和放缩法或夹逼准则即可求证，详见[3].例9 设()f x 在 上连续，证明()1lim d 01n n x f x f x →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰. 证明 由于()()100d f f x =⎰，故只需要证明()1lim 0d 01n n x ff x x →∞⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦⎰.对任意()01εε<<，记()1100d 1n x I f f x x ε-⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦⎰，()1210d 1n x I f f x x ε-⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦⎰. 在1I 中，有积分中值定理，[]0,1n ξε∃∈-，使得()10d 111n n n x f x f x εξεξ-⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰；由lim 01nn n ξξ→∞=+，可知，()()1lim lim 0101n n n n I f f ξεξ→∞→∞⎛⎫⎛⎫=--=⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭；在2I 中，又因为()f x 连续，不妨设()f x M ≤[]0,1x ∈，那么()121021n x I f f M x εε-⎛⎫≤-≤ ⎪+⎝⎭⎰. 故()1121200d 1n x ff x I I I I x ⎡⎤⎛⎫-=+≤+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦⎰，由推广的夹逼准则及ε的任意性，可得结论成立.例10 设()f x 在[]0,1上连续，证明()()12202lim d 01n nf x x f n x π→∞=+⎰.证明 由于()122022d arctan 11n x n n n x ππ==→∞+⎰，于是()0f 可拟合为相同形式的极限()()12202lim 0d 01n nf x f n x π→∞=+⎰. 故只需要证明()()12202lim 0d 01n nf x f x n x π→∞-=⎡⎤⎣⎦+⎰. 由于()f x 在0处连续，故()0,1ε∀∈，()0,1δ∃∈，当[]0,x δ∈时，()()0f x f ε-<.记()()122020d 1nI f x f x n x δπ=-⎡⎤⎣⎦+⎰，有 ()()1222200220d d 11n n I f x f x x n x n x δδεεππ≤-<⋅<++⎰⎰； 记()()122220d 1nI f x f x n xδπ=-⎡⎤⎣⎦+⎰，由积分的不等式性质，得 ()()()()()1122222220d 0011n n I f x f x f x f n n x n δδπδπ≤-≤⋅-→→∞++⎰⎰.显然有()()1121222020d 1nf x f x I I I I n x π-=+≤+⎡⎤⎣⎦+⎰； 由推广的夹逼准则及ε的任意性，可得结论成立.显然，在以上两个例子中，都是将等号右边的()0f 拟合为相应积分号的定积分来求证的.在例9中，为了利用()f x 在 上连续，可考虑积分中值定理，1d 11n n n x f x f x ξξ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰，这里虽有01nξ<<，却并不能保证lim 01nn nξξ→∞=+.因为11112n f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，故将点1x =隔离.然而在例10中，当0x ≠时，被积函数中含有一个零因子，即无穷小量221nn x+，()f x 在[]0,1连续，知()f x 在[]0,1有界只需将0x =隔离即可.但是，又因为在0x =时，221nn x +为无穷大量，必需使()()0f x f -是一个无穷小量，故还需要采用分段法，使当[]0,x δ∈时，()()0f x f ε-<的性质.“隔离法”和“分段法”在应用中，表面上有些相似，实际上这两个方法的目的是不相同的.常见的型如()10lim d p n n n x f x x →∞⎰（12p =或，()f x 为[]0,1上的一般连续函数）和型如()()01lim ,d t x x t f x x ϕ→⎰（00x =或+∞，()f x 为[]0,1上的一般连续函数，(),x t ϕ是已知的实函数，t 为参数），且它们的极限值是和()f x 的端点有关的积分型极限问题，可以利用以上三种方法求解.一般先将极限值拟合为同种积分号，再利用“隔离法”或“分段法”做进一步讨论处理.事实表明，该求解方法技巧性高、灵活性强，但处理这类积分型极限的证明题时，该方法是非常有效，且具有普遍的使用性的. 3.3 概率方法利用概率的方法来研究某些数学分析问题是概率论的一个重要的研究方向.大数定律是概率论中重要的极限理论结果之一利用大数定律和勒贝格控制收敛定理，可求一类较复杂的n 重积分型极限问题.辛钦大数定律[]5设1X ，2X ，…是一列独立同分布的随机变量，且数学期望存在：()i E X μ=，1,2,i = 则{}i X 服从大数定律，即对任意0ε>，有11lim 1n i n i P X n με→∞=⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑. 勒贝格控制收敛定理[]5设Pn X X −−→，若存在非负可积随机变量Y ，使n X Y ≤， ..a s ，则X 可积，且有()()Pn E X E X −−→.定理4 设()f x ，()g x 是[]0,1上的实值连续函数，且对某个常数0c >，又不等式()()0f x cg x ≤<，则()()()()1111101100001d lim d d d nii nnn ii f x f x x x x g x xg x =→∞==∑⎰⎰⎰⎰⎰∑ . 证明 设{}n X 是一列独立随机变量，都服从[]0,1U 分布，令()11nn i i f X n ξ==∑，()11n n i i g X n η==∑，由辛钦大数定理易知，()10d P n f x x ξ−−→⎰，()10d Pn g x x η−−→⎰，从而()()1010d d P n n f x x g x xξη−−→⎰⎰.又因为()()()00f x cg x c ≤<>，所以0n n c ξη≤<. 由勒贝格控制收敛定理知，()()1010d d P nnf x xE g x xξη⎛⎫−−→ ⎪⎝⎭⎰⎰；即()()1010d lim d n n n f x x E g x xξη→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰⎰.又因为()()111110001d d ni ni n nnii f x E x x g x ξη==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⎰⎰⎰∑，得证. 例11 求2111110001lim d d nii n nn ii xx x x=→∞=∑⎰⎰⎰∑ .解 令()2f x x =，()g x x =，[]0,1x ∈，显然()()0f x g x ≤<，所以原式()()1101d 2313d 2f x x g x x ===⎰⎰.类似的有()1111100011lim d d 01nq ii n n n pii xpx x q p qx=→∞=+=>>+∑⎰⎰⎰∑ .在[5]中，对()f x ，()g x ，的条件加强后，得到了更一般的结论：设()f x 是在[],a b 上有界可测且绝对可积的函数，()g x 在区间[],a b 上可测且绝对可积，对一切[],x a b ∈，有()0g x β≥>，则()()()()111d 1limd d ()d nbib bbi a nnb naaa n iai f x f x x x x b a g x xg x =→∞==-∑⎰⎰⎰⎰⎰∑ . 3.4 其他方法与含参量积分或含参变量反常积分有关的极限问题，可用以上的处理技巧和求解方法.然而，有些问题利用参变量积分或一致收敛的含参量反常积分的连续性和一致收敛函数列的可积性等性质，将积分运算与极限运算互换顺序，得到化简求解的目的.含参量积分连续性定理 若(),f x y 在矩形区域[][],,R a b c d =⨯上连续，则对[]0,x a b ∀∈，都有()()00lim ,d lim ,d d dcc x x x x f x y y f x y y →→=⎰⎰.例12 求极限1d lim 11nn x x n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰.解 令()[]()[]11 0,1,01,10,1,(0,1]11x y x y e f x y x y xy ⎧∈=⎪+⎪=⎨∈∈⎪⎪++⎩，则(),f x y 在[][]0,10,1⨯连续.由含参量积分连续性定理，()()1,d g y f x y y =⎰在[]0,1上连续，于是()()111100d 12lim lim ,d ,0d d ln1111nx n y x ef x y x f x x x e ex n +→∞→====++⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰. 一致收敛函数列的可积性定理 若函数列(){}n f x 在[],a b 一致收敛，且每一项都连续，则()()lim d lim d bbn n a an n f x x f x x →∞→∞=⎰⎰.利用该定理同样也可以求解例12中的问题.因为()11111nx n ex n →→∞+⎛⎫++ ⎪⎝⎭,且对[]0,1x ∈，1nx n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是单调递增的函数，根据Dini 定理知，当n →∞时，111nx n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 一致收敛于11x e+，故原式1100d 12lim d ln1111nx n x ex e ex n →∞===++⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰. 对于含参量反常积分极限的相关问题，可用上述方法类似处理.4 总结本文主要探究了积分型极限问题的普遍解法，全面总结了各种积分型极限问题的求解.对于积分型极限问题，由于含积分的类型不同，因此解题过程中运用的性质和方法也有差异，本文系统阐述了对于各种类型积分极限采取的相应处理方法.充分利用了积分的各种性质和计算法则，突破极限的一般求解方法的局限性.运用积分的逆运算（求导），积分的性质定理，含参积分的连续性定理，函数列的可积性等，得到了多种求解积分型极限的方法，有效的避免了求积分原函数的艰难、繁琐和不可能性.本文所述各种方法不仅可以单独使用，而且，在有些问题中也经常多种方法联合求解.此外，在处理含积分的函数的分析性质或含积分的实际问题中，以上各种方法也提供了简便的途径.例如：设()f x 连续,()()1d x f xt t φ=⎰且()limx f x A x→=(A 为常数)，讨论()x φ'在0x =处的连续性.参考文献[1] 华东师范大学数学系. 数学分析上、下册（第四版）. 北京：高等教育出版社，2010.[2] Apostal,T.M. . Mathematical Analysis（Second Edition）. 北京：机械工业出版社,2004.[3] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法（第2版）. 北京：高等级与出版社，2006.[4] 李福兴. 浅谈含定积分极限问题的解法. 梧州学院学报，2009，19(6):5-8.[5] 徐振贤. 用概率方法求证积分极限. 石油大学学报，1994，1(18):132-135.[6] 王青云，王焕. 一种积分型极限的新证明. 南昌教育学院学报2011，26(1):63.[7] 夏滨. 含变限积分的极限求法探究. 读与写杂志，2013，10(3):50-51.[8] 夏辉福，刘合财. 一类含变上限积分极限的等价无穷小量的研究. 贵州学院学报,2011，6(4):5-6.[9] Vladimir A.zorich. Mathematical AnalysisⅡ. Springer，2004：178-179.[10] Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis(Third Edition)，Properties of theintegral. 北京：机械工业出版社，2004:128-133.。