高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.6.1 椭圆的
苏教版版高考数学一轮复习第八章平面解析几何椭圆及其性质教学案
１．椭圆的定义（１）平面内与两个定点F１，F２的距离的和等于常数（大于|F１F２|）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．（２）集合P＝{M||MF１|＋|MF２|＝２a}，|F１F２|＝２c，其中a，c为常数且a>0，c>0．１当２a>|F１F２|时，M点的轨迹为椭圆；２当２a＝|F１F２|时，M点的轨迹为线段F１F２；３当２a<|F１F２|时，M点的轨迹不存在．２．椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝１（a>b>0）错误!＋错误!＝１（a>b>0）图形性质范围—a≤x≤a—b≤y≤b—b≤x≤b—a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A１（—a,0），A２（a,0），B１（0，—b），B２（0，b）A１（0，—a），A２（0，a），B１（—b,0），B２（b,0）离心率e＝错误!，且e∈（0,１）a，b，c的关系c２＝a２—b２错误１．点P（x0，y0）和椭圆的位置关系（１）点P（x0，y0）在椭圆内⇔错误!＋错误!＜１．（２）点P（x0，y0）在椭圆上⇔错误!＋错误!＝１．（３）点P（x0，y0）在椭圆外⇔错误!＋错误!＞１．２．焦点三角形如图，椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点构成的△PF１F２叫做焦点三角形．设r１＝|PF１|，r２＝|PF２|，∠F１PF２＝θ，△PF１F２的面积为S，则在椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）中：（１）当r１＝r２时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；（２）S＝b２tan 错误!＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.（３）a—c≤|PF１|≤a＋c.（４）|PF１|＝a＋ex0，|PF２|＝a—ex0.３．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a２＝b２＋c２.４．已知过焦点F１的弦AB，则△ABF２的周长为４a.５．椭圆中点弦的斜率公式若M（x0，y0）是椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的弦AB（AB不平行y轴）的中点，则有k AB·k OM ＝—错误!，即k AB＝—错误!.6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长|AB|＝错误!|x１—x２|＝错误!＝错误!|y１—y２|＝错误!（k为直线的斜率）．一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）平面内与两个定点F１，F２的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．（）（２）椭圆上一点P与两焦点F１，F２构成△PF１F２的周长为２a＋２c（其中a为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距）．（）（３）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．（）（４）关于x，y的方程mx２＋ny２＝１（m＞0，n＞0，m≠n）表示的曲线是椭圆．（）[答案]（１）×（２）√（３）×（４）√二、教材改编１．若F１（—３,0），F２（３,0），点P到F１，F２距离之和为１0，则P点的轨迹方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１A[设点P的坐标为（x，y），因为|PF１|＋|PF２|＝１0>|F１F２|＝6，所以点P的轨迹是以F１，F２为焦点的椭圆，其中a＝５，c＝３，b＝错误!＝４，故点P的轨迹方程为错误!＋错误!＝１．故选Ａ．]２．设椭圆的两个焦点分别为F１，F２，过点F２作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F１PF２为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．２—错误!Ｄ．错误!—１D[法一：设椭圆方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），依题意，显然有|PF２|＝|F１F２|，则错误!＝２c，即错误!＝２c，即e２＋２e—１＝0，又0<e<１，解得e＝错误!—１．故选Ｄ．法二：因为△F１PF２为等腰直角三角形，所以|PF２|＝|F１F２|＝２c，|PF１|＝２错误!c.因为|PF１|＋|PF|＝２a，所以２错误!c＋２c＝２a，所以e＝错误!＝错误!＝错误!—１．故选Ｄ．]２３．若方程错误!＋错误!＝１表示椭圆，则k的取值范围是．（３,４）∪（４,５）[由已知得错误!解得３＜k＜５且k≠４．]４．已知椭圆的一个焦点为F（１,0），离心率为错误!，则椭圆的标准方程为．错误!＋错误!＝１[设椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0）．因为椭圆的一个焦点为F（１,0），离心率e＝错误!，所以错误!解得错误!故椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．]第１课时椭圆及其性质考点１椭圆的定义及应用椭圆定义的应用主要有两个方面一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．（１）如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）Ａ．椭圆Ｂ．双曲线Ｃ．抛物线Ｄ．圆（２）F１，F２是椭圆错误!＋错误!＝１的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF１F２＝４５°，则△AF１F２的面积为（）Ａ．7 Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（１）A（２）C[（１）由题意可知，CD是线段MF的垂直平分线，∴|MP|＝|PF|，∴|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|（定值）．又|MO|＞|FO|，∴点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆，故选Ａ．（２）由题意得a＝３，b＝错误!，c＝错误!，∴|F１F２|＝２错误!，|AF１|＋|AF２|＝6．∵|AF２|２＝|AF１|２＋|F１F２|２—２|AF１|·|F１F２|cos ４５°＝|AF１|２—４|AF１|＋8，∴（6—|AF１|）２＝|AF１|２—４|AF１|＋8．∴|AF１|＝错误!，∴S△AF１F２＝错误!×错误!×２错误!×错误!＝错误!.]本例（１）应用线段中垂线的性质实现了“|PF|＋|PO|”向定值的转化；本例（２）把余弦定理与椭圆的定义交汇在一起，借助方程的思想解出|AF１|，从而求得△AF１F２的面积．[教师备选例题]设F１，F２分别是椭圆错误!＋错误!＝１的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为（6,４），则|PM|—|PF１|的最小值为．—５[由椭圆的方程可知F２（３,0），由椭圆的定义可得|PF１|＝２a—|PF２|.∴|PM|—|PF１|＝|PM|—（２a—|PF２|）＝|PM|＋|PF２|—２a≥|MF２|—２a，当且仅当M，P，F２三点共线时取得等号，又|MF２|＝错误!＝５,２a＝１0，∴|PM|—|PF１|≥５—１0＝—５，即|PM|—|PF１|的最小值为—５．]已知F１，F２是椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF１⊥PF２，若△PF１F２的面积为9，则b＝ .３[设|PF１|＝r１，|PF２|＝r２，则错误!所以２r１r２＝（r１＋r２）２—（r错误!＋r错误!）＝４a２—４c２＝４b２，所以S△PF１F２＝错误! r１r２＝b２＝9，所以b＝３．]考点２椭圆的标准方程定义法先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，并确定a２，b２的值，再结合焦点位置可写出椭圆方程．特别地，利用定义法求椭圆方程要注意条件２a＞|F１F２|.１．在△ABC中，A（—４,0），B（４,0），△ABC的周长是１8，则顶点C的轨迹方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１（y≠0）Ｂ．错误!＋错误!＝１（y≠0）Ｃ．错误!＋错误!＝１（y≠0）Ｄ．错误!＋错误!＝１（y≠0）A[由|AC|＋|BC|＝１8—8＝１0＞8知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆（A，B，C不共线）．设其方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），则a＝５，c＝４，从而b＝３．由A，B，C不共线知y≠0．故顶点C的轨迹方程是错误!＋错误!＝１（y≠0）．]２．已知两圆C１：（x—４）２＋y２＝１69，C２：（x＋４）２＋y２＝9，动圆在圆C１内部且和圆C１相内切，和圆C２相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１D[设圆M的半径为r，则|MC１|＋|MC２|＝（１３—r）＋（３＋r）＝１6，又|C１C２|＝8＜１6，∴动圆圆心M的轨迹是以C１，C２为焦点的椭圆，且２a＝１6,２c＝8，则a＝8，c＝４，∴b２＝４8，故所求的轨迹方程为错误!＋错误!＝１．]利用定义法求轨迹方程时，注意检验所求轨迹是否是完整的曲线，倘若不是完整的曲线，应对曲线中的变量x或y进行限制．待定系数法利用待定系数法要先定形（焦点位置），再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx２＋ny２＝１（m＞0，n＞0，m≠n）的形式．１．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点错误!，（错误!，错误!），则椭圆方程为．错误!＋错误!＝１[设椭圆方程为mx２＋ny２＝１（m，n＞0，m≠n）．由错误!解得m＝错误!，n＝错误!.∴椭圆方程为错误!＋错误!＝１．]２．过点（错误!，—错误!），且与椭圆错误!＋错误!＝１有相同焦点的椭圆的标准方程为．错误!＋错误!＝１[法一：椭圆错误!＋错误!＝１的焦点为（0，—４），（0,４），即c＝４．由椭圆的定义知，２a＝错误!＋错误!，解得a＝２错误!.由c２＝a２—b２可得b２＝４，∴所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．法二：∵所求椭圆与椭圆错误!＋错误!＝１的焦点相同，∴其焦点在y轴上，且c２＝２５—9＝１6．设它的标准方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）．∵c２＝１6，且c２＝a２—b２，故a２—b２＝１6．１又点（错误!，—错误!）在所求椭圆上，∴错误!＋错误!＝１，则错误!＋错误!＝１．２由１２得b２＝４，a２＝２0，∴所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．]３．设F１，F２分别是椭圆E：x２＋错误!＝１（0＜b＜１）的左、右焦点，过点F１的直线交椭圆E 于A，B两点．若|AF１|＝３|F１B|，AF２⊥x轴，则椭圆E的方程为．x２＋错误!y２＝１[不妨设点A在第一象限，如图所示．∵AF２⊥x轴，∴A（c，b２）（其中c２＝１—b２,0＜b＜１，c＞0）．又∵|AF１|＝３|F１B|，∴由错误!＝３错误!得B错误!，代入x２＋错误!＝１得错误!＋错误!＝１．又c２＝１—b２，∴b２＝错误!.故椭圆E的方程为x２＋错误!y２＝１．]（１）已知椭圆上两点，常设方程为mx２＋ny２＝１（m＞0，n＞0，m≠n）；（２）椭圆的通径（过焦点且与长轴垂直的弦）长为错误!.考点３椭圆的几何性质椭圆的长轴、短轴、焦距求解与椭圆几何性质有关的问题，如：顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，同时要结合图形进行分析．（１）已知椭圆错误!＋错误!＝１的长轴在x轴上，焦距为４，则m等于（）Ａ．8 Ｂ．7Ｃ．6 Ｄ．５（２）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0），若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为．（１）A（２）错误!＋错误!＝１[（１）因为椭圆错误!＋错误!＝１的长轴在x轴上，所以错误!解得6<m<１0．因为焦距为４，所以c２＝m—２—１0＋m＝４，解得m＝8．（２）椭圆长轴长为6，即２a＝6，得a＝３，∵两焦点恰好将长轴三等分，∴２c＝错误!×２a＝２，得c＝１，因此，b２＝a２—c２＝9—１＝8，所以此椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．]求离心率的值（或范围）求椭圆的离心率，常见的有三种方法一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．（１）（２0１8·全国卷Ⅱ）已知F１，F２是椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为错误!的直线上，△PF１F２为等腰三角形，∠F１F２P＝１２0°，则C的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）椭圆C的两个焦点分别是F１，F２，若C上的点P满足|PF１|＝错误!|F１F２|，则椭圆C的离心率e的取值范围是．（１）D（２）错误![（１）由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F１F２|＝２c，∵△PF １F２为等腰三角形，且∠F１F２P＝１２0°，∴|PF２|＝|F１F２|＝２c.∵|OF２|＝c，∴点P坐标为（c＋２c cos 60°，２c sin 60°），即点P（２c，错误!c）．∵点P在过点A，且斜率为错误!的直线上，∴错误!＝错误!，解得错误!＝错误!，∴e＝错误!，故选Ｄ．（２）因为椭圆C上的点P满足|PF１|＝错误!|F１F２|，所以|PF１|＝错误!×２c＝３c.由a—c≤|PF１|≤a＋c，解得错误!≤错误!≤错误!. 所以椭圆C的离心率e的取值范围是错误!.]本例（２）在求解时运用了隐含条件“a—c≤|PF１|≤a＋c”．特别地，在求与椭圆的相关量的范围时，要注意经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系．１．（２0１9·昌平二模）嫦娥四号月球探测器于１２月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.１２日下午４点４３分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道３所示，其近月点与月球表面距离为１00公里，远月点与月球表面距离为４00公里．已知月球的直径为３４76公里，则该椭圆形轨道的离心率约为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!B[如图，F为月球的球心，月球半径为：错误!×３４76＝１7３8，依题意，|AF|＝１00＋１7３8＝１8３8，|BF|＝４00＋１7３8＝２１３8．∴２a＝１8３8＋２１３8，即a＝１988，∴a＋c＝２１３8, c＝２１３8—１988＝１５0，故椭圆的离心率为：e＝错误!＝错误!≈错误!，选Ｂ．]２．已知F１，F２是椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF１⊥PF２，则该椭圆的离心率的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!B[∵F１，F２是椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右两个焦点，∴0<e<１，F１（—c,0），F（c,0），c２＝a２—b２.设点P（x，y），由PF１⊥PF２，得（x＋c，y）·（x—c，y）＝0，化简得x２＋y ２２＝c２.联立方程组错误!整理得，x２＝（２c２—a２）·错误!≥0，解得e≥错误!.又0<e<１，∴错误!≤e<１．]与椭圆性质有关的最值或范围问题与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法（１）利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．（２）利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．（３）利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．（１）（２0１7·全国卷Ⅰ）设A，B是椭圆C：错误!＋错误!＝１长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝１２0°，则m的取值范围是（）Ａ．（0,１]∪[9，＋∞）Ｂ．（0，错误!]∪[9，＋∞）Ｃ．（0,１]∪[４，＋∞）Ｄ．（0，错误!]∪[４，＋∞）（２）（２0１9·烟台模拟）若点O和点F分别为椭圆错误!＋错误!＝１的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则错误!·错误!的最大值为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．6 Ｄ．8（１）A（２）C[（１）由题意知，当M在短轴顶点时，∠AMB最大．１如图１，当焦点在x轴，即m＜３时，a＝错误!，b＝错误!，tan α＝错误!≥tan 60°＝错误!，∴0＜m≤１．图１图２２如图２，当焦点在y轴，即m＞３时，a＝错误!，b＝错误!，tan α＝错误!≥tan 60°＝错误!，∴m≥9．综上，m的取值范围（0,１]∪[9，＋∞），故选Ａ．（２）由题意知，O（0,0），F（—１,0），设P（x，y），则错误!＝（x，y），错误!＝（x＋１，y），∴错误!·错误!＝x（x＋１）＋y２＝x２＋y２＋x.又∵错误!＋错误!＝１，∴y２＝３—错误!x２，∴错误!·错误!＝错误!x２＋x＋３＝错误!（x＋２）２＋２．∵—２≤x≤２，∴当x＝２时，错误!·错误!有最大值6．]本例（１）的求解恰恰应用了焦点三角形中张角最大的情形，借助该临界点可以迅速求出此种情形下的椭圆离心率，然后数形结合求解；本例（２）的求解采用了先建模，再借助椭圆中变量x（y）的有界性解模的思路．[教师备选例题]１．（２0１9·深圳模拟）设椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F１，F２，P 是C上的点，PF２⊥F１F２，∠PF１F２＝３0°，则C的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!D[法一：（直接法）如图，在Rt△PF２F１中，∠PF１F２＝３0°，|F１F２|＝２c，∴|PF１|＝错误!＝错误!，|PF２|＝２c·tan ３0°＝错误!.∵|PF１|＋|PF２|＝２a，即错误!＋错误!＝２a，可得错误!c＝a.∴e＝错误!＝错误!.法二：（特殊值法）在Rt△PF２F１中，令|PF２|＝１，∵∠PF１F２＝３0°，∴|PF１|＝２，|F１F２|＝错误!.∴e＝错误!＝错误!＝错误!.故选Ｄ．]２．如图，焦点在x轴上的椭圆错误!＋错误!＝１的离心率e＝错误!，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则错误!·错误!的最大值为．４[由题意知a＝２，因为e＝错误!＝错误!，所以c＝１，b２＝a２—c２＝３．故椭圆方程为错误!＋错误!＝１．设P点坐标为（x0，y0）．所以—２≤x0≤２，—错误!≤y0≤错误!.因为F（—１,0），A（２,0），错误!＝（—１—x0，—y0），错误!＝（２—x0，—y0），所以错误!·错误!＝x错误!—x0—２＋y错误!＝错误!x错误!—x0＋１＝错误!（x0—２）２.则当x0＝—２时，错误!·错误!取得最大值４．]３．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>c>0，a２＝b２＋c２）的左、右焦点分别为F１，F２，若以F为圆心，b—c为半径作圆F２，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于错误!２（a—c），则椭圆的离心率e的取值范围是．错误![因为|PT|＝错误!（b>c），而|PF２|的最小值为a—c，所以|PT|的最小值为错误!.依题意，有错误!≥错误!（a—c），所以（a—c）２≥４（b—c）２，所以a—c≥２（b—c），所以a＋c≥２b，所以（a＋c）２≥４（a２—c２），所以５c２＋２ac—３a２≥0，所以５e２＋２e—３≥0．１又b>c，所以b２>c２，所以a２—c２>c２，所以２e２<１．２联立１２，得错误!≤e<错误!.]以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为１，则椭圆长轴长的最小值为（）Ａ．１Ｂ．错误!Ｃ．２Ｄ．２错误!D[设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以错误!×２cb＝１，bc＝１，而２a＝２错误!≥２错误!＝２错误!（当且仅当b＝c＝１时取等号）．即长轴长２a的最小值为２错误!.]。
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8_5椭圆课件文新人教A版
点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝6，则椭圆C的方程为( )
A.3x62 ＋1y62 ＝1 C.4x92 ＋2y42 ＝1
B.4x02 ＋1y52 ＝1 D.4x52 ＋2y02 ＝1
[解析]
(1)因为O，M分别为F1F2和PF1的中点，所以OM∥PF2，且|OM|＝
1 2
|PF2|，
中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )
1
1
A.3
B.2
2
3
C.3
D.4
(2)如图，焦点在x轴上的椭圆
x2 4
＋
y2 b2
＝1的离心率e＝
1 2
，F，A分别是椭圆的左焦点
和右顶点，P是椭圆上任意一点．则P→F·P→A的最大值为________．
[解析] (1)如图，|OB|为椭圆中心到l的距离，则|OA|·|OF|＝|AF|·|OB|，即bc＝a·b2， 所以e＝ac＝12.故选B.
②设直线 AM 的方程为 y＝k(x＋2)(k＞0)，
代入x2＋y2＝1 得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0. 43
由
x1·(－2)＝163k＋2－4k122得
x1＝
2(3 4k 2 ) 3 4k 2
，
故|AM|＝|x1＋2| 1＋k2＝123＋14＋k2k2.
由题设直线 AN 的方程为 y＝－1(x＋2)， k
点，则△AF1B的周长为________．
答案：20
考点一|椭圆的定义及方程 (易错突破)
【例 1】 (1)椭圆 C：ax22＋y2＝1(a>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆上异
于端点的任意一点，PF1，PF2 的中点分别为 M，N.O 为坐标原点，四边形 OMPN
【精编】高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.5椭圆课件文-精心整理
1 2
，所以|PF1|＝
1 2
，根据椭圆定
义：|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－|PF1|＝2×2－12＝72.
考向 椭圆的性质及应用
例2 (1)[2016·全国卷Ⅰ]直线l经过椭圆的一个顶点和一
个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的
1 4
，则该椭圆的
离心率为(
)
A.13 B.12 C.23 D.34
焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一
个焦点F2构成的△ABF2的周长为(
)
A．2 B．4
C．8 D．2 2
[解析] 因为椭圆方程为4x2＋y2＝1，所以a＝1.根据椭
圆的定义，知△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋ |BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝4.
23a，2b
，C
23a，
b
2
，F(c,0)，∴
→ BF
＝
c＋
23a，－b2
，
→ CF
＝
c－
由 23a∠，B－FC2b＝ ，90°，可得B→F·C→F＝0，
所以c－
3 2a
c＋
3 2a
＋－b22＝0，
4．椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( × ) 5．方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是 椭圆．( √ )
二、小题快练
1．[2015·广东高考]已知椭圆
x2 25
＋
y2 m2
＝1(m>0)的左焦点
新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何第5节椭圆课件新人教B版
2．(2021·八省联考)椭圆m2x＋2 1＋my22＝1(m>0)的焦点为 F1，F2，上
顶点为 A.若∠F1AF2＝π3，则 m＝(
Hale Waihona Puke )A．1B． 2
C． 3
D．2
C 解析：在椭圆m2x＋2 1＋my22＝1(m>0)中，a＝ m2＋1，b＝m，c＝ a2－b2＝1，
距离为 1，所以 y＝±1，把 y＝±1 代入x52＋y42＝1，得 x＝± 215.
又 x＞0，所以 x＝
215，所以点
P
坐标为
215，1或
215，－1.
1234 5
02
关键能力·研析考点强“四翼”
考点1 椭圆的定义及应用——基础性 考点2 椭圆的标准方程——综合性 考点3 椭圆的几何性质——综合性
考点1 椭圆的定义及应用——基础性
(1)(2020·东莞4月模拟)已知F1，F2分别为椭圆C：
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两
点．若△AF2B是边长为4的等边三角形，则椭圆C的方程为( )
A.x42＋y32＝1
B.x92＋y62＝1
3c.
令 y＝
3x－b＝0，则
M
b3，0，
即 M(c,0)，
所以 M 为椭圆的右焦点，所以|FM|＝2c.
由椭圆的定义可知，|NF|＋|NM|＝2a，因为△FMN 的周长为 6，所 以 2a＋2c＝6，
因为ba＝ 23，b＝ 3c，所以 a＝2c， 所以 c＝1，a＝2，b＝ 3，
所以
S△FAN＝12·|FM|·35b－－b＝c·85b＝8
高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.5椭圆课件理
典例1 (2018·湖南岳阳模拟)在平面直角坐标系 xOy
中，椭圆 C 的中心为坐标原点，F1、F2 为它的两个焦点，
离心率为 22，过 F1 的直线 l ABF2 的周长为 16，那么椭圆
交椭圆 C 于 A，B 两点，且△ C 的方程为_1x_62＋__y8_2＝__1_或__x8_2＋__1y_62_＝_1．
即 有 △ F1PF2
的面积
S
＝
1 2
|PF1|·|PF2|sin
∠
F1PF2
＝
b2·1＋sincoθsθ＝b2tanθ2＝tan2θ.
第二十五页，共69页。
方法技巧 椭圆定义的应用技巧
1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内 动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角 形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率等．
第三十页，共69页。
典例2
(2017·江西模拟)椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)，F1，
F2 为椭圆的左、右焦点，且焦距为 2 3，O 为坐标原点，点
P 为椭圆上一点，|OP|＝ 42a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比
数列，求椭圆的方程．
用待定系数法，根据已知列出方程组．
第三十一页，共69页。
为 2a＋2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦
距)．( √ )
(4)
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)
与
y2 a2
＋
x2 b2
＝
1(a>b>0)
的
焦
距
相
同．( √ )
第十二页，共69页。
高考数学一轮复习第8章平面解析几何课件
[五年考情]
考点
2016 年 2015 年 2014 年
2013 年
2012 年
直线的倾斜角 与斜率、直线的 方程、距离
17,4 分(文) 15,4 分(理)
3,5 分(理) 4,5 分(文)
圆的方程、直线
与圆的位置关 系、圆与圆的位 10,6 分(文)
14,4 分(理) 14,4 分(文)
双曲线的标 准方程及其 性质
7,5 分(理) 13,4 分 17,4 分(文)
9,5 分(理) 9,5 分(文)
8,5 分(理)
抛物线的标
准方程及其 9,4 分(理) 5,5 分(理)
15,4 分(理) 16,4 分(理)
性质
直线与圆锥 曲线的位置 关系及圆锥 曲线的综合 应用
19,15 分 (理)
19,15 分 (文)
19,15 分 (理)
19,15 分 (文)
21,15 分 (理)
22,7 分(文)
22(2)，9 分(理) 22,14 分(文)
21(2)，8 分(理) 22,15 分(文)
[重点关注] 综合近 5 年浙江卷高考试题，我们发现高考主要考查直线的方程、圆的方 程、直线与圆、圆与圆的位置关系、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、 标准方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系及综合应用，突出对数形结合思 想、函数与方程思想、转化与化归思想的考查．
老师没提了一个问题，同学们就应当立即主动地去思考，积极地寻找答案，然后和老师的解答进行比较。通过超前思考，可以把注意力集中在对这些“难点”的理解 上，保证“好钢用在刀刃上”，从而避免了没有重点的泛泛而听。通过将自己的思考跟老师的讲解做比较，还可以发现自己对新知识理解的不妥之处，及时消除知识 的“隐患”。
全国通用近年高考数学一轮复习第八章解析几何课时作业五十四8.6.1椭圆的概念及其性质理(2021年
（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第八章解析几何课时分层作业五十四8.6.1 椭圆的概念及其性质理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第八章解析几何课时分层作业五十四8.6.1 椭圆的概念及其性质理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第八章解析几何课时分层作业五十四8.6.1 椭圆的概念及其性质理的全部内容。
课时分层作业五十四椭圆的概念及其性质一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2018·承德模拟）椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P,则｜PF2｜= （）A。
B.C。
D。
4【解析】选A。
a2=4,b2=1,所以a=2，b=1，c=，不妨设P在x轴上方，则F1(-，0），设P(—，m）（m〉0）,则+m2=1,解得m=，所以|PF1｜=，根据椭圆定义:|PF1｜+|PF2｜=2a，所以|PF2｜=2a—|PF1｜=2×2—=.2.已知点F1,F2分别是椭圆+=1(k>—1)的左、右焦点，弦AB过点F1,若△ABF2的周长为8,则椭圆的离心率为 ( )A. B.C。
D。
【解析】选A.由椭圆的定义可得4a=8⇒a=2，又因为c2=a2—b2=1⇒c=1，所以椭圆的离心率e==。
3。
（2018·亳州模拟）已知椭圆+=1(a〉b〉0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作一条直线(不与x轴垂直）与椭圆交于A,B两点，如果△ABF1恰好为以A为直角顶点的等腰直角三角形，该直线的斜率为（）A。
「精品」高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.5椭圆课件文-精品资料
(2)椭圆
x2 4
＋y2＝1的左
、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂
7
直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝_2___.
解析 a2＝4，b2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝ 3，不妨
设P在x轴上方，则F1(－ 3 ，0)，设P(－ 3 ，m)(m>0)，则
－ 4
32
＋m2＝1，解得m＝
30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|＝
3
.所以e＝
2c 2a
＝
|F1F2| |PF1|＋|PF2|
＝
3 3.
(2)已知椭圆C：
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过
原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10， |BF|＝8，cos∠ABF＝45，则C的离心率为____57____．
考点2 椭圆的标准方程和几何性质
[必会结论]
椭圆的常用性质
(1)设椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x
＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，
|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．
(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角
三角形，其中a为斜边，a2＝b2＋c2.
【变式训练2】
(1)[
2017·锦州模拟]设椭圆C：
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥
F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(
)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
椭圆的概念及其性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知椭圆错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=1(a>b>0)的一个焦点是圆x2+y2-6x+8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为( )A.(-3,0)B.(-4,0)C.(-10,0)D.(-5,0)【解析】选D.因为圆的标准方程为(x-3)2+y2=1,所以圆心坐标为(3,0),所以c=3.又b=4,所以a=错误!未找到引用源。
=5.因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的左顶点为(-5,0).2.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,且点N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】选B.点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|,又AM是圆的半径,所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆.3.已知圆M:x2+y2+2mx-3=0(m<0)的半径为2,椭圆C:错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=1的左焦点为F(-c,0),若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切,则a的值为( )A.错误!未找到引用源。
B.1C.2D.4【解题提示】由圆的半径可求出m的值,再由直线l与圆相切可求出c的值,进而得出a的值.【解析】选C.圆M的方程可化为(x+m)2+y2=3+m2,则由题意得m2+3=4,即m2=1(m<0),所以m=-1,则圆心M的坐标为(1,0).由题意知直线l的方程为x=-c,又因为直线l与圆M相切,所以c=1,所以a2-3=1,所以a=2.4.(2016·武汉模拟)若m≠0,则椭圆错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=1的离心率的取值范围是( )A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
∪错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
∪错误!未找到引用源。
【解析】选A.因为椭圆方程中m>0,m2+1≥2m>m(m>0),所以a2=m2+1,b2=m,c2=a2-b2=m2-m+1,e2=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
=1-错误!未找到引用源。
=1-错误!未找到引用源。
≥1-错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
,所以错误!未找到引用源。
≤e<1.5.(2016·石家庄模拟)已知正数m是2,8的等比中项,则圆锥曲线x2+错误!未找到引用源。
=1的离心率是( )A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
【解析】选B.因为正数m是2,8的等比中项,所以m2=2×8=16,所以m=4,所以圆锥曲线x2+错误!未找到引用源。
=1的方程为x2+错误!未找到引用源。
=1,所以其离心率e=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
.【加固训练】(2016·南阳模拟)设椭圆错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=1(a>b>0),右焦点为F(c,0)(c>0),方程ax2+bx-c=0的两实根分别为x1,x2,则P(x1,x2) ( )A.必在圆x2+y2=2内B.必在圆x2+y2=2外C.必在圆x2+y2=1外D.必在圆x2+y2=1与圆x2+y2=2形成的圆环之间【解析】选D.在椭圆中有a2=b2+c2,由方程ax2+bx-c=0的根与系数之间的关系有:x1+x2=-错误!未找到引用源。
,x1x2=-错误!未找到引用源。
, 错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=(x1+x2)2-2x1x2=错误!未找到引用源。
+2错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
=1-e2+2e=2-(e-1)2,又0<e<1,所以1<错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
<2.故P(x1,x2)必在圆x2+y2=1与圆x2+y2=2形成的圆环之间.二、填空题(每小题5分,共15分)6.椭圆错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=1的左焦点为F1,点P在椭圆上,若线段PF1的中点M 在y轴上,则|PF1|= .【解析】因线段PF1的中点M在y轴上,故可知P错误!未找到引用源。
,即P错误!未找到引用源。
,所以|PF1|=10-错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
.答案:错误!未找到引用源。
7.过点(错误!未找到引用源。
,-错误!未找到引用源。
),且与椭圆错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=1有相同焦点的椭圆的标准方程为.【解析】椭圆错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.由椭圆的定义知,2a=错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
,解得a=2错误!未找到引用源。
. 由c2=a2-b2可得b2=4.所以所求椭圆的标准方程为错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=1.答案:错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=1【一题多解】解答本题还可以用如下的方法:因为所求椭圆与椭圆错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=1的焦点相同,所以其焦点在y轴上,且c2=25-9=16.设它的标准方程为错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=1(a>b>0).因为c2=16,且c2=a2-b2,故a2-b2=16.①又点(错误!未找到引用源。
,-错误!未找到引用源。
)在所求椭圆上,所以错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=1,即错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=1.②由①②得b2=4,a2=20,所以所求椭圆的标准方程为错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=1.答案:错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=18.设F1,F2分别是椭圆错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为.【解析】|PF1|+|PF2|=10,|PF1|=10-|PF2|,|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|,易知M点在椭圆外,连接MF2并延长交椭圆于P点,此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|,故|PM|+|PF1|的最大值为10+|MF2|=10+错误!未找到引用源。
=15.答案:15三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴与短轴长的比是2∶错误!未找到引用源。
.(1)求椭圆C的方程.(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点.当|PM|最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.【解析】(1)由题意知错误!未找到引用源。
解得错误!未找到引用源。
所以椭圆方程为错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=1.(2)设P(x0,y0),且错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=1,所以|PM|2=(x0-m)2+错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
-2mx0+m2+12错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
-2mx0+m2+12=错误!未找到引用源。
(x0-4m)2-3m2+12(-4≤x0≤4).所以|PM|2为关于x0的二次函数,开口向上,对称轴为x0=4m.由题意知,当x0=4时,|PM|2最小,所以4m≥4,所以m≥1.又点M(m,0)在椭圆长轴上,所以1≤m≤4.10.如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.(1)若点C的坐标为错误!未找到引用源。
,且|BF2|=错误!未找到引用源。
,求椭圆的方程.(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.【解析】(1)由题意,F2(c,0),B(0,b),|BF2|=错误!未找到引用源。
=a=错误!未找到引用源。
,又C错误!未找到引用源。
,所以错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=1,解得b=1.所以椭圆方程为错误!未找到引用源。
+y2=1.(2)直线BF2的方程为错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=1,与椭圆方程错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=1联立组成方程组,解得A点坐标为错误!未找到引用源。
,则C点坐标为错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
.又k AB=-错误!未找到引用源。
,由F1C⊥AB得错误!未找到引用源。
·错误!未找到引用源。
=-1,即b4=3a2c2+c4,所以(a2-c2)2=3a2c2+c4,化简得e=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
.(20分钟40分)1.(5分)(2016·太原模拟)已知圆锥曲线mx2+4y2=4m的离心率e为方程2x2-5x+2=0的根,则满足条件的圆锥曲线的个数为( )A.4B.3C.2D.1【解析】选B.因为e是方程2x2-5x+2=0的根,所以e=2或e=错误!未找到引用源。
.mx2+4y2=4m可化为错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=1,当它表示焦点在x轴上的椭圆时,有错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
,所以m=3;当它表示焦点在y轴上的椭圆时,有错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
,所以m=错误!未找到引用源。
;当它表示焦点在x轴上的双曲线时,可化为错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
=1,有错误!未找到引用源。
=2,所以m=-12.所以满足条件的圆锥曲线有3个.2.(5分)已知椭圆错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=1(a>b>0)的右焦点为F1,左焦点为F2,若椭圆上存在一点P,满足线段PF1相切于以椭圆的短轴为直径的圆,切点为线段PF1的中点,则该椭圆的离心率为( )A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
【解析】选A.如图所示,设线段PF1与圆切于点M,则|OM|=b,|OF1|=c,故|MF1|=错误!未找到引用源。
,所以|PF 1|=2|MF1|=2错误!未找到引用源。
.又O为F1F2的中点,M为PF1的中点,所以|PF2|=2|OM|=2b.由椭圆的定义,得2错误!未找到引用源。
+2b=2a,即错误!未找到引用源。
=a-b,即错误!未找到引用源。
=a-错误!未找到引用源。