2017年高中数学必修一课堂同步学案2.2.2 对数函数及其性质的应用(习题课)

－
1 3
.
取得最小值时 x＝ 2

1 － 3 － 2 3

＝ 2<2，
这时 x [2,8]，舍去． 32 1 1 若2loga8＋2 －8＝1， 1 则 a＝2，此时取得最小值时
1－ 3 x＝2 2 ＝2
2∈[2,8]符合题意，
1 ∴a＝2.
[随堂即时演练]
②由于 log 2＝
1 3
1，log 2＝ 1. log23 log25
1 5
1
1
1 1 又因对数函数 y＝log2x 在(0，＋∞)上是增函数，且3>5， 1 1 1 1 ∴0>log23>log25，∴ 1< 1. log23 log25 ∴log 1 2<log 1 2.
3 5
③取中间值 1， ∵log23>log22＝1＝log55>log54，∴log23>log54.
(2)比较下列各组值的大小． 3 4 ①log54与 log53； ②log 1 2 与 log 1 2；
3 5
③log23 与 log54.
(1)[解析]
[答案] C
0<0.43<1,30.4>1，log40.3<0，故选 C.
(2)[解] ①法一：对数函数 y＝log5x 在(0，＋∞)上是增函数， 3 4 3 4 而4<3，∴log54<log53. 3 4 法二：∵log54<0，log53>0， 3 4 ∴log54<log53.
(1)[解析] 指数、对数函数在其定义域内不具备奇偶性，故 选D. [答案] D
(2)[解]
①由 a>1，a－ax>0，即 a>ax，得 x<1.
故 f(x)的定义域为(－∞，1)． 由 0<a－ax<a，可知 loga(a－ax)<logaa＝1. 故函数 f(x)的值域为(－∞，1)． ②f(x)在(－∞，1)上为减函数，证明如下： 任取 1>x1>x2，又 a>1，∴ax1>ax2，∴a－ax1<a－ax2， ∴loga(a－ax1)<loga(a－ax2)，即 f(x1)<f(x2)，故 f(x)在 (－∞，1)上为减函数．
[规范解答] 由2(log0.5x)2＋7log0.5x≤－3， 得(log0.5x＋3)(2log0.5x＋1)≤0， 1 则－3≤log0.5x≤－2，(2分) 即log0.50.5－3≤log0.5x≤log0.5 0.5
－
1 2
[名师批注]
解形如logax≤b的不等式，应将 常数化为与logax同底的对数， 即转化为logax<logaab求解.故此 1 处将－3≤log0.5x≤－2转化为 该不等式组，进而利用对数函 数的单调性求得x的取值范围.
[活学活用] 比较下列各组中两个值的大小： (1)ln 0.3，ln 2； (2)loga3.1，loga5.2(a>0，且 a≠1)； (3)log30.2，log40.2； (4)log3π，logπ3.
解：(1)因为函数 y＝ln x 是增函数，且 0.3<2， 所以 ln 0.3<ln 2. (2)当 a>1 时，函数 y＝logax 在(0，＋∞)上是增函数，又 3.1<5.2， 所以 loga3.1<loga5.2； 当 0<a<1 时，函数 y＝logax 在(0，＋∞)上是减函数， 又 3.1<5.2，所以 loga3.1>loga5.2. 1 1 (3)因为 0>log0.23>log0.24，所以log 3<log 4，即 log30.2<log40.2. 0.2 0.2 (4)因为函数 y＝log3x 是增函数，且 π>3，所以 log3π>log33＝1. 同理，1＝logππ>logπ3，所以 log3π>logπ3.
解：(1)由题设，3－ax>0 对 x∈[0,2]恒成立，且 a>0，a≠1. 设 g(x)＝3－ax， 则 g(x)在[0,2]上为减函数， ∴g(x)min＝g(2)＝3－2a>0， 3 ∴a<2. ∴a
3 的取值范围是(0,1)∪1，2.
(2)假设存在这样的实数 a，则由题设知 f(1)＝1， 3 即 loga(3－a)＝1，∴a＝2. 此时
(
)
A．奇函数 C．既奇又偶函数
f(－x)＋f(x)＝lg
B．偶函数 D．非奇非偶函数
解析：f(x)定义域为 R，
1 1 ＋ lg 2 2 x ＋1＋x x ＋ 1 － x
1 ＝lg 2 ＝lg 1＝0， x ＋1－x2 ∴f(x)为奇函数，故选 A.
4．设 a>1，函数 f(x)＝logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值 1 之差为2，则 a＝________. 解析：∵a>1，
，
∴ 2≤x≤8.(4分)
x x log2 又∵f(x)＝log22· 4
＝(log2x－1)(log2x－2)
＝(log2x)2－3log2x＋2，(6 分) 令 t＝log2x. ∵x∈[ 2，8]，
1 ∴t∈2，3，(8
分)
利用换元法解决问题时， 一定要求出换元后的变 量的取值范围，即新 函数的定义域.
[类题通法] 解决对数函数综合问题的方法 对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问 题综合，求解中通常会涉及对数运算．解决此类综合问题，首先 要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识 点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决 问题的思路．
[活学活用] 已知函数 f(x)＝loga(3－ax)， (1)当 x∈[0,2]时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围； (2)是否存在实数 a，使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数，并 且最大值为 1？如果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说 明理由．
求解对数不等式
5－ 1 [例 2] (1)已知 a＝ 2 ，若 logam>loga5，则 m 的取值范围 是________． 1 (2)已知 loga2>1，则 a 的取值范围为________． (3)已知 log0.72x<log0.7(x－1)，则 x 的取值范围为________．
[解析]
求此类函数的最值，应 借助函数的图象求解， 此处极易将两端点处的 函数值作为最值，从 而导致解题错误.
则 y＝h(t)＝t2－3t＋2，
1 t∈2，3，(10
分)
3 1 ∴ymin＝h2＝－4，
ymax＝h(3)＝2.(12 分)
[活学活用] 1 设 x∈[2,8]，函数 f(x)＝2loga(ax)· loga(a2x)的最大值是 1， 1 最小值是－8，求 a 的值． 1 解：f(x)＝2(logax＋1)(logax＋2)
2.2 2.2.2
1回顾相 关知识 题型一 题型二 题型三
第 二 章
第二 课时
2 突破常 考题型 3 跨越高 分障碍
对数函 数及其 性质的 应用(习 题课)
4 应用落 实体验
随堂即时演练 课时达标检测
2.2
对数函数
2．2.2 第二课时
对数函数及其性质
对数函数及其性质的应用(习题课)
1．对数函数的定义是什么？
(3)∵函数 y＝log0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， 2x>0， ∴由 log0.72x<log0.7(x－1)得x－1>0， 2x>x－1， 即 x 的取值范围是(1，＋∞)．
解得 x>1，
[答案] (1)0<m<5
1 (2)2，1
(3)(1，＋∞)
[类题通法] 常见对数不等式的解法 常见的对数不等式有三种类型： (1)形如 logax>logab 的不等式， 借助 y＝logax 的单调性求解， 如果 a 的取值不确定，需分 a>1 与 0<a<1 两种情况讨论． (2)形如 logax>b 的不等式， 应将 b 化为以 a 为底数的对数式 的形式，再借助 y＝logax 的单调性求解． (3)形如 logax>logbx 的不等式，可利用图象求解．
[解题流程]
x x log24的最值，应先确定函数的定义域 求fx＝ log22 ·
1由2log0.5x2＋7 log0.5x≤－3可求解x 的取值范围，即确定函数fx的定义域. 2fx可变形为fx＝log2x2－3log2x＋2 3由方程的形式可联想二次函数，故可 采用换元法求解.
1 1 解得3<a<1，即 a 的取值范围为3，1.
对数函数性质的综合应用
[例 3]
(1)下列函数在其定义域内为偶函数的是 B．y＝2x D．y＝x2
(
)
A．y＝2x C．y＝log2x
(2)已知 f(x)＝loga(a－ax)(a>1)． ①求 f(x)的定义域和值域； ②判断并证明 f(x)的单调性．
1 ＝2(log2 ax＋3logax＋2) 32 1 1 ＝2logax＋2 －8，
由题设， 1 3 ∵f(x)min＝－8，这时 logax＝－2， 又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)． ∵f(x)是关于 logax 的二次函数， ∴函数最大值必在 x＝2 或 x＝8 时取得． 32 1 1 若2loga2＋2 －8＝1， 则 a＝ 2
(1)∵0<a<1，
∴f(x)＝logax 在(0，＋∞)上是减函数， ∴0<m<5.
1 1 (2)由 loga2>1 得 loga2>logaa. 1 ①当 a>1 时，有 a<2，此时无解． 1 ②当 0<a<1 时，有2<a， 1 从而2<a<1. ∴a