【高中教育】高中数学 2.2 等差数列习题2 新人教A版必修5.doc

∴ac＝6.
由余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2accos30°＝(a＋c)2－2ac－6
＝4b2－12－6 ，
∴b2＝4＋2 .
又∵b是△ABC的一条边，∴b>0，
∴b＝ ＋1.故选B.
答案：B
12．若{an}为等差数列，且a1＋a5＋a9＝π，则cos(a2＋a8)的值为________．
解析：∵{an}为等差数列，∴a1＋a9＝2a5＝a2＋a8.代入a1＋a5＋a9＝π，得 (a2＋a8)＝π，
∴a7＝12，∴a6＋a7＋a8＝3a7＝36.
答案：C
2．a＝ ，b＝ ，则a、b的等差中项为()
A. B.
C. D.
解析： ＝
＝ ＝ .
答案：A
3．数列{an}满足3＋an＝an＋1(n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是()
A．－2 B．－
C．2 D.
解析：由已知可得{an}是等差数列，公差d＝3，
∴a2＋a8＝ ，从而cos(a2＋a8)＝－ .
答案：－
13．已知等差数列{an}中，a1＝a，公差d＝1，若bn＝a －a (n∈N*)，试判断数列{bn}是否为等差数列，并证明你的结论．
解：数列{bn}是等差数列．证明如下：
∵等差数列{an}中，a1＝a，d＝1，
∴an＝a＋(n－1)×1＝n－1＋a.
B组 能力提升
11．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为1.5，那么b等于()
A. B．1＋
C. D．2＋
解析：灵活选择三角形面积公式，再结合余弦定理可解出b的值．
由a，b，c成等差数列可得2b＝a＋c.
又∵S△ABC＝1.5，即 acsin30°＝ ac＝ ，
等差数列的性质
A组 基础巩固
1．若等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝4，则a6＋a7＋a8等于()
A．34 B．35
C．36 D．37
解析：由题意得：
(a3＋a7－a10)＋(a11－a4)＝12，
∴(a3＋a11)＋a7－(a10＋a4)＝12.
∵a3＋a11＝a10＋a4，
A．0 B．7
C．1 D．49
解析：∵数列{an}是等差数列，∴a2 011是a2 000与a2 022的等差中项，
即2a2 011＝a2 000＋a2 022＝log27＋log2 ＝log21＝0，故a2 011＝0.
答案：A
7．已知数列－1，x1，x2,9和－1，y1，y2，y3,9都是等差数列，则 ＝________.
答案：C
5．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，则 ＝()
A. B.
C. D.
解析：由d＝ 知 ＝ ，
∴a2－a1＝ .①
又 ＝ ，∴b4－b3＝ (y－x)． ②
由②÷①得 ＝ .
答案：C
6．在等差数列{an}中，a2 000＝log27，a2 022＝log2 ，则a2 011＝()
解析：设两个等差数列的公差分别为d1和d2，
则3d1＝9－(－1)＝10，d1＝ ，4d2＝9－(－1)＝10，d2＝ ，
于是 ＝ ＝ ＝ .
答案：
8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，最上面4节的容积共3升，最下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
∵a8＝a2＋(8－2)d，∴16＝4＋6d，∴d＝2，
∴an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.
(2)a2＝4，a4＝8，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n.
当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.
∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列．
∴bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.
∴bn＝a －a ＝(n－1＋a)2－(n＋1－1＋a)2
＝1－2n－2a，
∴bn＋1＝1－2(n＋1)－2a.
∴bn＋1－bn＝[1－2(n＋1)－2a]－(1－2n－2a)
＝－2.
又∵b1＝a －a ＝－2a－1，∴数列{bn}是以－2a来自1为首项，－2为公差的等差数列．
14．已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an＋1＝ ，n∈N*.设bn＋1＝1＋ ，n∈N*，求证：数列 是等差数列．
∴ ＝2＋ ×(2 015－1)＝ .
∴x2 015＝ .
10．已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式．
解：(1)∵a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝4，
解析：解法一：设自上第一节竹子容积为a1，则第9节容积为a9，且数列{an}为等差数列．
由a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，
即 解得a5＝ .
解法二：设自上第一节竹子容积为a1，依次类推，数列{an}为等差数列．又a1＋a2＋a3＋a4＝4a1＋6d＝3，a7＋a8＋a9＝3a1＋21d＝4，解得a1＝ ，d＝ ，∴a5＝a1＋4d＝ ＋4× ＝ .
答案：
9．已知函数f(x)＝ ，在数列{xn}中，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)．
(1)求证： 是等差数列；
(2)求当x1＝ 时，x2 015的值．
解析：(1)证明：∵f(x)＝ ，xn＝f(xn－1)，
∴xn＝ .∴ ＝ ＝ ＋ .
即 － ＝ (n≥2，n∈N*)．
∴ 是等差数列．
(2)由(1)可知 是等差数列，且 ＝2，公差d＝ ，∴ ＝ ＋(n－1)d＝2＋ (n－1)．
∴a5＋a7＋a9＝a2＋a4＋a6＋9d＝36，
∴log6(a5＋a7＋a9)＝2.
答案：C
4．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝240，则a9－ a11的值为()
A．30 B．31
C．32 D．33
解析：由等差数列的性质可得a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝240，解得a8＝48，设等差数列{an}的公差为d，a9－ a11＝a8＋d－ (a8＋3d)＝ a8＝32，故选C.
证明：由题设知an＋1＝ ＝ ＝ ，所以 ＝ ，
从而 2－ 2＝1(n∈N*)，
所以数列 是以1为公差的等差数列．