湖北省恩施州华中师大来凤附中2016-2017学年高二(上)9月月考数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年湖北省恩施州华中师大来凤附中高二（上）9月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合A={y|0≤y＜2}，B={x||x|＞1}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|0≤x≤1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|﹣1＜x≤0}D．{x|1＜x＜2}2．已知向量=（1，x），=（x，3），若与共线，则||=（）A．B．C．2 D．43．函数f（x）=x2﹣4x+3﹣2lnx的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．34．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是（）A．4π+24 B．4π+32 C．9πD．12π5．在各项均为正数的等比数列{b n}中，若b7•b8=3，则log3b1+log3b2+…+log3b14等于（）A．5 B．6 C．8 D．76．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定7．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是（）A．若a，b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b8．空间四边形ABCD中，若AB=AD=AC=CB=CD=BD，则AC与BD所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．设实数x，y满足约束条件，则x2+（y+2）2的取值范围是（）A．[，17] B．[1，17]C．[1，]D．[，]10．已知三棱锥D﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为（）A．B．C．0 D．﹣11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0|φ|＜）图象相邻对称轴的距离为，一个对称中心为（﹣，0），为了得到g（x）=cosωx的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位12．已知函数，若方程f（x）=x+a在区间[﹣2，4]内有3个不等实根，则实数a的取值范围是（）A．{a|﹣2＜a＜0}B．{a|﹣2＜a≤0}C．{a|﹣2＜a＜0或1＜a＜2}D．{a|﹣2＜a＜0或a=1}二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.）13．已知过点A（﹣2，m）和（m，10）的直线与直线2x﹣y﹣1=0平行，则m的值为．14．某三角形的直观图是斜边为2的等腰直角三角形，如图所示，则原三角形的面积是．=2，15．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=60°，b=2，S△ABC则=．16．曲线y=1+与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．过点P（1，1）作直线l，分别交x，y正半轴于A，B两点．（1）若直线l与直线x﹣3y+1=0垂直，求直线l的方程；（2）若直线l在y轴上的截距是直线l在x轴上截距的2倍，求直线l的方程．18．数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+n（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．已知函数f（x）=cos（π+x）cos（π﹣x）﹣cos2x+．（1）求f（x）的最小正周期和最大值；（2）讨论f（x）在[，π]上的单调性．20．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=AD=a，G是EF的中点，（1）求证平面AGC⊥平面BGC；（2）求GB与平面AGC所成角的正弦值．21．某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？22．已知动点P到两定点A（1，0），B（2，0）的距离的比为．（1）求P的轨迹C的方程；（2）是否存在过点A（1，0）的直线l交轨迹C于点M和N使得△MON的面积为（O 为坐标原点），若存在，求l的方程，若不存在说明理由．2016-2017学年湖北省恩施州华中师大来凤附中高二（上）9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合A={y|0≤y＜2}，B={x||x|＞1}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|0≤x≤1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|﹣1＜x≤0}D．{x|1＜x＜2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由条件根据补集的定义求得∁R B，从而求得A∩（∁R B）．【解答】解：∵B={x||x|＞1}，∴∁R B={x||x|≤1}={x|﹣1≤x≤1}．再根据集合A={y|0≤y＜2}，A∩（∁R B）={x|0≤x≤1}，故选：A．2．已知向量=（1，x），=（x，3），若与共线，则||=（）A．B．C．2 D．4【考点】向量的模．【分析】由两向量的坐标，根据两向量共线的条件求出x2的值，即可确定出||的值．【解答】解：∵向量=（1，x），=（x，3），且与共线，∴=，即x2=3，则||==2，故选：C．3．函数f（x）=x2﹣4x+3﹣2lnx的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．【分析】利用导数分析函数单调性，再根据函数零点存在性定理易解．【解答】解：函数定义域为（0，+∞），函数f（x）的导数为=，令f′（x）＞0得：x＞，令f′（x）＜0得：0＜x＜，∴函数在区间上递减，在上递增，∵f（1）=0，故x=1为函数一个零点，又f（2）=4﹣8+3﹣2ln2=﹣1﹣2ln2＜0，f（e2）=e4﹣4e2﹣1=e2（e2﹣4）﹣1＞0，故函数在区间（2，e2）内有一个零点，综上可得，函数有且只有两个零点．故选：C．4．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是（）A．4π+24 B．4π+32 C．9πD．12π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】首先由三视图还原成原来的几何体，再根据边长关系求表面积【解答】解：由三视图可知此几何体是一个简单的组合体：上面一个半径为1球，下面一个底面边长为2高为3正四棱柱∴球的表面积为4π，正三棱柱的表面积为2×2×2+4×2×3=32∴原几何体的表面积为4π+32故选B5．在各项均为正数的等比数列{b n}中，若b7•b8=3，则log3b1+log3b2+…+log3b14等于（）A．5 B．6 C．8 D．7【考点】数列与函数的综合．【分析】根据等比中项的性质可知b1b14=b2b13=b3b12=…=b7•b8=3，代入log3b1+log3b2+…+log3b14，根据对数的运算法则即可求的答案．【解答】解：∵数列{b n}为等比数列∴b1b14=b2b13=b3b12=…=b7•b8=3，∴log3b1+log3b2+…+log3b14=log3（b1b14b2b13…b7•b8）=log337=7故选D．6．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由M在圆外，得到|OM|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线ax+by=1的距离d，根据列出的不等式判断d与r的大小即可确定出直线与圆的位置关系．【解答】解：∵M（a，b）在圆x2+y2=1外，∴a2+b2＞1，∴圆O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=＜1=r，则直线与圆的位置关系是相交．故选B7．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是（）A．若a，b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】A．根据直线a，b的位置关系和直线所成角的定义进行判断．B．根据线面平行和面面平行的定义和性质进行判断．C．根据面面平行的判定定理进行判断．D．根据线面垂直和面面垂直的定义和性质进行判断．【解答】解：A．等腰三角形所在的平面垂直平面时，等腰三角形的两个直角边和α所成的角相等，但a∥b不成立，∴A错误．B．平行于平面的两条直线不一定平行，∴B错误．C．根据直线和平面的位置关系和直线平行的性质可知，当a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β不成立，∴C错误．D．根据线面垂直的性质和面面垂直的性质可知，若a⊥α，α⊥β，则a∥β或a⊂β，又∵b⊥β，∴a⊥b成立，∴D成立．故选：D．8．空间四边形ABCD中，若AB=AD=AC=CB=CD=BD，则AC与BD所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】先取AC中点E，连接BE，DE，根据AB=AD=AC=CB=CD=BD，可得AC垂直于BE，也垂直于DE；进而得AC垂直于平面BDE，即可得到结论．【解答】解：取AC中点E，连接BE，DE因为：AB=AD=AC=CB=CD=BD那么AC垂直于BE，也垂直于DE所以AC垂直于平面BDE，因此AC垂直于BD故选D．9．设实数x，y满足约束条件，则x2+（y+2）2的取值范围是（）A．[，17]B．[1，17]C．[1，]D．[，]【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，而x2+（y+2）2的几何意义是点A（0，﹣2）与阴影内的点的距离的平方，从而结合图象解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，x2+（y+2）2的几何意义是点A（0，﹣2）与阴影内的点的距离的平方，而点A到直线y=x﹣1的距离d==，B（﹣1，2），故|AB|==，故（）2≤x2+（y+2）2≤（）2，即≤x2+（y+2）2≤17，故选：A．10．已知三棱锥D﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为（）A．B．C．0 D．﹣【考点】二面角的平面角及求法．【分析】取BC中点E，连AE、DE，由题设知BC⊥AE，BC⊥DE，从而得到∠AED为二面角A﹣BC﹣D的平面角，由此能求出面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值．【解答】解：取BC中点E，连AE、DE，∵三棱锥D﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2，∴BC⊥AE，BC⊥DE，∴∠AED 为二面角A ﹣BC ﹣D 的平面角∵AB=AC=，BC=2，∴AE=ED=，AD=2，∴∠AED=90°，∴面BCD 与面BCA 为面的二面角的余弦值为0． 故选C ．11．已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（其中ω＞0|φ|＜）图象相邻对称轴的距离为，一个对称中心为（﹣，0），为了得到g （x ）=cos ωx 的图象，则只要将f （x ）的图象（ ）A ．向右平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向左平移个单位【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】由周期求得ω，根据图象的对称中心求得φ的值，可得函数的解析式，再根据函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律得出结论．【解答】解：由题意可得函数的最小正周期为 =2×，∴ω=2．再根据﹣×2+φ=k π，|φ|＜，k ∈z ，可得φ=，f （x ）=sin （2x +），故将f （x ）的图象向左平移个单位，可得y=sin [2（x +）+]=sin （2x +）=cos2x的图象，故选：D ．12．已知函数，若方程f （x ）=x +a 在区间[﹣2，4]内有3个不等实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{a |﹣2＜a ＜0} B ．{a |﹣2＜a ≤0}C ．{a |﹣2＜a ＜0或1＜a ＜2}D ．{a |﹣2＜a ＜0或a=1} 【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】作出函数y=f（x）和y=x+a的图象．利用两个图象的交点个数问题确定a的取值范围．【解答】解：若0≤x≤2，则﹣2≤x﹣2≤0，∴f（x）=2f（x﹣2）=2（1﹣|x﹣2+1|）=2﹣2|x﹣1|，0≤x≤2．若2≤x≤4，则0≤x﹣2≤2，∴f（x）=2f（x﹣2）=2（2﹣2|x﹣2﹣1|）=4﹣4|x﹣3|，2≤x≤4．∴f（1）=2，f（2）=0，f（3）=4．设y=f（x）和y=x+a，则方程f（x）=x+a在区间[﹣2，4]内有3个不等实根，、等价为函数y=f（x）和y=x+a在区间[﹣2，4]内有3个不同的零点．作出函数f（x）和y=x+a的图象，如图：当直线经过点A（2，0）时，两个图象有2个交点，此时直线y=x+a为y=x﹣2，当直线经过点O（0，0）时，两个图象有4个交点，此时直线y=x+a为y=x，当直线经过点B（3，4）和C（1，2）时，两个图象有3个交点，此时直线y=x+a为y=x+1，∴要使方程f（x）=x+a在区间[﹣2，4]内有3个不等实根，则a=1或﹣2＜a＜0．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.）13．已知过点A（﹣2，m）和（m，10）的直线与直线2x﹣y﹣1=0平行，则m的值为2．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由于过点A（﹣2，m）和（m，10）的直线与直线2x﹣y﹣1=0平行，可知其斜率相等，利用斜率计算公式即可得出．【解答】解：由直线2x﹣y﹣1=0化为y=2x﹣1，可知其斜率为2．∵过A（﹣2，m），B（m，10）两点的直线与直线2x﹣y+1=0平行，∴k AB=2，∴=2，解得m=2．故答案为：214．某三角形的直观图是斜边为2的等腰直角三角形，如图所示，则原三角形的面积是．【考点】斜二测法画直观图．【分析】根据斜二测画法的规则，分别判断原三角形对应的边长关系，即可求出三角形的面积．【解答】解：∵三角形的直观图是斜边为2的等腰直角三角形，∴根据斜二测画法的规则可知，原三角形A0B为直角三角形，且OB=0'B'=2，OA=2O'A'=2，∴△AOB的面积为，故答案为：2．15．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=60°，b=2，S=2，△ABC则=4．【考点】余弦定理的应用．【分析】首先利用三角形的面积公式求出c的长度，进一步利用余弦定理求出a的长度，在应用正弦定理和等比性质求出结果．=2，【解答】解：已知∠A=60°，b=2，面积S△ABCS=bcsinA=2，解得：c=4，利用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解得：a=2，利用正弦定理：====4，利用等比性质：则=4，故答案为：4．16．曲线y=1+与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k的取值范围．【解答】解：可化为x2+（y﹣1）2=4，y≥1，所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆y≥1的部分．直线y=k（x﹣2）+4过定点p（2，4），由图知，当直线经过A（﹣2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个．且k AP==，由直线与圆相切得d==2，解得k=则实数k的取值范围为故答案为：三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．过点P（1，1）作直线l，分别交x，y正半轴于A，B两点．（1）若直线l与直线x﹣3y+1=0垂直，求直线l的方程；（2）若直线l在y轴上的截距是直线l在x轴上截距的2倍，求直线l的方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出．（2）对直线l分类讨论：经过原点时直接得出；不经过原点时，设直线l：y﹣1=k（x﹣1）（k＜0），可得y轴上的截距为：y=1﹣k，x轴上的截距为：．由题意可得，解得k即可得出．【解答】解：（1）设直线l的斜率为k，∵直线l与直线x﹣3y+1=0垂直，∴k=﹣1，解得k=﹣3．∴直线方程为y﹣1=﹣3（x﹣1），化为3x+y﹣4=0．（2）经过原点的直线：y=x也满足条件．直线l不经过原点时，设直线l：y﹣1=k（x﹣1）（k＜0）；y轴上的截距为：y=1﹣k，x轴上的截距为：．∵，解得k=﹣2；∴直线方程为：2x+y﹣3=0．综上可得：直线方程为：2x+y﹣3=0或y=x．18．数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+n（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．=2n，从而归纳可得；【分析】（1）分类讨论当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1（2）化简b n==﹣，从而求和．【解答】解：（1）当n=1时，S1=12+1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+n﹣（（n﹣1）2+（n﹣1））=2n，当n=1时，也成立；故a n=2n；（2）b n===﹣，故T n=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．19．已知函数f（x）=cos（π+x）cos（π﹣x）﹣cos2x+．（1）求f（x）的最小正周期和最大值；（2）讨论f（x）在[，π]上的单调性．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性．【分析】（1）化简函数f（x）为正弦型函数，即可求出它的最小正周期和最大值；（2）根据x的取值范围，利用正弦函数的图象与性质，即可求出f（x）的单调性．【解答】解：（1）函数f（x）=cos（π+x）cos（π﹣x）﹣cos2x+=﹣cosx•（﹣sinx）﹣+=sinxcosx﹣cos2x=sin2x ﹣cos2x=sin （2x ﹣）；∴f （x ）的最小正周期为T==π，最大值是；（2）当x ∈[，π]时，2x ∈[，]，2x ﹣∈[，]；令2x ﹣=，解得x=，∴x ∈[，]时，2x ﹣∈[，]，f （x ）是单调增函数；x ∈[，]时，2x ﹣∈[，]，f （x ）是单调减函数．20．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，ABCD 是正方形，ABEF 是矩形，且AF=AD=a ，G 是EF 的中点，（1）求证平面AGC ⊥平面BGC ；（2）求GB 与平面AGC 所成角的正弦值．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（1）由面面垂直的性质证明CB ⊥AG ，用勾股定理证明AG ⊥BG ，得到AG ⊥平面CBG ，从而结论得到证明．（2）由（Ⅰ）知面AGC ⊥面BGC ，在平面BGC 内作BH ⊥GC ，垂足为H ，则BH ⊥平面AGC ，故∠BGH 是GB 与平面AGC 所成的角，解Rt △CBG ，可得GB 与平面AGC 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：正方形ABCD ⇒CB ⊥AB ，∵面ABCD ⊥面ABEF 且交于AB ， ∴CB ⊥面ABEF ．∵AG ，GB ⊂面ABEF ，∴CB ⊥AG ，CB ⊥BG ，又AD=2a ，AF=a ，ABEF 是矩形，G 是EF 的中点，∴AG=BG=，AB=2a ，AB 2=AG 2+BG 2，∴AG ⊥BG ，∵BG ∩BC=B ，∴AG ⊥平面CBG ，而AG ⊂面AGC ，故平面AGC ⊥平面BGC ． （2）解：如图，由（Ⅰ）知面AGC ⊥面BGC ，且交于GC ，在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角．∴在Rt△CBG中，又BG=，∴．21．某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）利用扇形的弧长公式，结合环面的周长为30米，可求θ关于x的函数关系式；（2）分别求出花坛的面积、装饰总费用，可求y关于x的函数关系式，换元，利用基本不等式，可求最大值．【解答】解：（1）由题意，30=xθ+10θ+2（10﹣x），∴θ=（0＜x＜10）；（2）花坛的面积为﹣==（10﹣x）（5+x）；装饰总费用为xθ•9+10θ•9+2（10﹣x）•4=9xθ+90θ+8（10﹣x）=170+10x，∴花坛的面积与装饰总费用的比为y=．令17+x=t，则y=，当且仅当t=18时取等号，此时x=1，θ=，∴当x=1时，y取得最大值．22．已知动点P到两定点A（1，0），B（2，0）的距离的比为．（1）求P的轨迹C的方程；（2）是否存在过点A（1，0）的直线l交轨迹C于点M和N使得△MON的面积为（O为坐标原点），若存在，求l的方程，若不存在说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（1）设P（x，y），由已知条件推导出，由此能求出P点的轨迹方程．（2）假设满足条件的直线l存在．设过点A（1，0）的直线l为kx﹣y﹣k=0，求出圆心（0，0）到直线的距离d，再由S===，能求出直线l的方程．【解答】解：（1）设P（x，y），∵动点P到两定点A（1，0），B（2，0）的距离的比为，∴，整理，得x2+y2=2，P点的轨迹方程是x2+y2=2．（2）假设满足条件的直线l存在．设过点A（1，0）的直线l：y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，圆心（0，0）到直线的距离d==，S===，解是d=或d=，d=时，k无解；d=时，k=1，或k=﹣1，∴直线l的方程为y=x﹣1，或y=﹣（x﹣1）=﹣x+1k不存在时，x=1，S=1，舍去．∴直线l的方程为：y=x﹣1或y=﹣x+1．2017年1月11日。