湖北省恩施州华中师大来凤附中2016-2017学年高二(上)9月月考数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年湖北省恩施州华中师大来凤附中高二（上）9月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合A={y|0≤y＜2}，B={x||x|＞1}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|0≤x≤1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|﹣1＜x≤0}D．{x|1＜x＜2}2．已知向量=（1，x），=（x，3），若与共线，则||=（）A．B．C．2 D．43．函数f（x）=x2﹣4x+3﹣2lnx的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．34．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是（）A．4π+24 B．4π+32 C．9πD．12π5．在各项均为正数的等比数列{b n}中，若b7•b8=3，则log3b1+log3b2+…+log3b14等于（）A．5 B．6 C．8 D．76．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定7．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是（）A．若a，b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b8．空间四边形ABCD中，若AB=AD=AC=CB=CD=BD，则AC与BD所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．设实数x，y满足约束条件，则x2+（y+2）2的取值范围是（）A．[，17] B．[1，17]C．[1，]D．[，]10．已知三棱锥D﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为（）A．B．C．0 D．﹣11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0|φ|＜）图象相邻对称轴的距离为，一个对称中心为（﹣，0），为了得到g（x）=cosωx的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位12．已知函数，若方程f（x）=x+a在区间[﹣2，4]内有3个不等实根，则实数a的取值范围是（）A．{a|﹣2＜a＜0}B．{a|﹣2＜a≤0}C．{a|﹣2＜a＜0或1＜a＜2}D．{a|﹣2＜a＜0或a=1}二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.）13．已知过点A（﹣2，m）和（m，10）的直线与直线2x﹣y﹣1=0平行，则m的值为．14．某三角形的直观图是斜边为2的等腰直角三角形，如图所示，则原三角形的面积是．=2，15．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=60°，b=2，S△ABC则=．16．曲线y=1+与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．过点P（1，1）作直线l，分别交x，y正半轴于A，B两点．（1）若直线l与直线x﹣3y+1=0垂直，求直线l的方程；（2）若直线l在y轴上的截距是直线l在x轴上截距的2倍，求直线l的方程．18．数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+n（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．已知函数f（x）=cos（π+x）cos（π﹣x）﹣cos2x+．（1）求f（x）的最小正周期和最大值；（2）讨论f（x）在[，π]上的单调性．20．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=AD=a，G是EF的中点，（1）求证平面AGC⊥平面BGC；（2）求GB与平面AGC所成角的正弦值．21．某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？22．已知动点P到两定点A（1，0），B（2，0）的距离的比为．（1）求P的轨迹C的方程；（2）是否存在过点A（1，0）的直线l交轨迹C于点M和N使得△MON的面积为（O 为坐标原点），若存在，求l的方程，若不存在说明理由．2016-2017学年湖北省恩施州华中师大来凤附中高二（上）9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合A={y|0≤y＜2}，B={x||x|＞1}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|0≤x≤1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|﹣1＜x≤0}D．{x|1＜x＜2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由条件根据补集的定义求得∁R B，从而求得A∩（∁R B）．【解答】解：∵B={x||x|＞1}，∴∁R B={x||x|≤1}={x|﹣1≤x≤1}．再根据集合A={y|0≤y＜2}，A∩（∁R B）={x|0≤x≤1}，故选：A．2．已知向量=（1，x），=（x，3），若与共线，则||=（）A．B．C．2 D．4【考点】向量的模．【分析】由两向量的坐标，根据两向量共线的条件求出x2的值，即可确定出||的值．【解答】解：∵向量=（1，x），=（x，3），且与共线，∴=，即x2=3，则||==2，故选：C．3．函数f（x）=x2﹣4x+3﹣2lnx的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．【分析】利用导数分析函数单调性，再根据函数零点存在性定理易解．【解答】解：函数定义域为（0，+∞），函数f（x）的导数为=，令f′（x）＞0得：x＞，令f′（x）＜0得：0＜x＜，∴函数在区间上递减，在上递增，∵f（1）=0，故x=1为函数一个零点，又f（2）=4﹣8+3﹣2ln2=﹣1﹣2ln2＜0，f（e2）=e4﹣4e2﹣1=e2（e2﹣4）﹣1＞0，故函数在区间（2，e2）内有一个零点，综上可得，函数有且只有两个零点．故选：C．4．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是（）A．4π+24 B．4π+32 C．9πD．12π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】首先由三视图还原成原来的几何体，再根据边长关系求表面积【解答】解：由三视图可知此几何体是一个简单的组合体：上面一个半径为1球，下面一个底面边长为2高为3正四棱柱∴球的表面积为4π，正三棱柱的表面积为2×2×2+4×2×3=32∴原几何体的表面积为4π+32故选B5．在各项均为正数的等比数列{b n}中，若b7•b8=3，则log3b1+log3b2+…+log3b14等于（）A．5 B．6 C．8 D．7【考点】数列与函数的综合．【分析】根据等比中项的性质可知b1b14=b2b13=b3b12=…=b7•b8=3，代入log3b1+log3b2+…+log3b14，根据对数的运算法则即可求的答案．【解答】解：∵数列{b n}为等比数列∴b1b14=b2b13=b3b12=…=b7•b8=3，∴log3b1+log3b2+…+log3b14=log3（b1b14b2b13…b7•b8）=log337=7故选D．6．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由M在圆外，得到|OM|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线ax+by=1的距离d，根据列出的不等式判断d与r的大小即可确定出直线与圆的位置关系．【解答】解：∵M（a，b）在圆x2+y2=1外，∴a2+b2＞1，∴圆O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=＜1=r，则直线与圆的位置关系是相交．故选B7．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是（）A．若a，b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】A．根据直线a，b的位置关系和直线所成角的定义进行判断．B．根据线面平行和面面平行的定义和性质进行判断．C．根据面面平行的判定定理进行判断．D．根据线面垂直和面面垂直的定义和性质进行判断．【解答】解：A．等腰三角形所在的平面垂直平面时，等腰三角形的两个直角边和α所成的角相等，但a∥b不成立，∴A错误．B．平行于平面的两条直线不一定平行，∴B错误．C．根据直线和平面的位置关系和直线平行的性质可知，当a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β不成立，∴C错误．D．根据线面垂直的性质和面面垂直的性质可知，若a⊥α，α⊥β，则a∥β或a⊂β，又∵b⊥β，∴a⊥b成立，∴D成立．故选：D．8．空间四边形ABCD中，若AB=AD=AC=CB=CD=BD，则AC与BD所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】先取AC中点E，连接BE，DE，根据AB=AD=AC=CB=CD=BD，可得AC垂直于BE，也垂直于DE；进而得AC垂直于平面BDE，即可得到结论．【解答】解：取AC中点E，连接BE，DE因为：AB=AD=AC=CB=CD=BD那么AC垂直于BE，也垂直于DE所以AC垂直于平面BDE，因此AC垂直于BD故选D．9．设实数x，y满足约束条件，则x2+（y+2）2的取值范围是（）A．[，17]B．[1，17]C．[1，]D．[，]【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，而x2+（y+2）2的几何意义是点A（0，﹣2）与阴影内的点的距离的平方，从而结合图象解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，x2+（y+2）2的几何意义是点A（0，﹣2）与阴影内的点的距离的平方，而点A到直线y=x﹣1的距离d==，B（﹣1，2），故|AB|==，故（）2≤x2+（y+2）2≤（）2，即≤x2+（y+2）2≤17，故选：A．10．已知三棱锥D﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为（）A．B．C．0 D．﹣【考点】二面角的平面角及求法．【分析】取BC中点E，连AE、DE，由题设知BC⊥AE，BC⊥DE，从而得到∠AED为二面角A﹣BC﹣D的平面角，由此能求出面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值．【解答】解：取BC中点E，连AE、DE，∵三棱锥D﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2，∴BC⊥AE，BC⊥DE，∴∠AED 为二面角A ﹣BC ﹣D 的平面角∵AB=AC=，BC=2，∴AE=ED=，AD=2，∴∠AED=90°，∴面BCD 与面BCA 为面的二面角的余弦值为0． 故选C ．11．已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（其中ω＞0|φ|＜）图象相邻对称轴的距离为，一个对称中心为（﹣，0），为了得到g （x ）=cos ωx 的图象，则只要将f （x ）的图象（ ）A ．向右平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向左平移个单位【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】由周期求得ω，根据图象的对称中心求得φ的值，可得函数的解析式，再根据函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律得出结论．【解答】解：由题意可得函数的最小正周期为 =2×，∴ω=2．再根据﹣×2+φ=k π，|φ|＜，k ∈z ，可得φ=，f （x ）=sin （2x +），故将f （x ）的图象向左平移个单位，可得y=sin [2（x +）+]=sin （2x +）=cos2x的图象，故选：D ．12．已知函数，若方程f （x ）=x +a 在区间[﹣2，4]内有3个不等实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{a |﹣2＜a ＜0} B ．{a |﹣2＜a ≤0}C ．{a |﹣2＜a ＜0或1＜a ＜2}D ．{a |﹣2＜a ＜0或a=1} 【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】作出函数y=f（x）和y=x+a的图象．利用两个图象的交点个数问题确定a的取值范围．【解答】解：若0≤x≤2，则﹣2≤x﹣2≤0，∴f（x）=2f（x﹣2）=2（1﹣|x﹣2+1|）=2﹣2|x﹣1|，0≤x≤2．若2≤x≤4，则0≤x﹣2≤2，∴f（x）=2f（x﹣2）=2（2﹣2|x﹣2﹣1|）=4﹣4|x﹣3|，2≤x≤4．∴f（1）=2，f（2）=0，f（3）=4．设y=f（x）和y=x+a，则方程f（x）=x+a在区间[﹣2，4]内有3个不等实根，、等价为函数y=f（x）和y=x+a在区间[﹣2，4]内有3个不同的零点．作出函数f（x）和y=x+a的图象，如图：当直线经过点A（2，0）时，两个图象有2个交点，此时直线y=x+a为y=x﹣2，当直线经过点O（0，0）时，两个图象有4个交点，此时直线y=x+a为y=x，当直线经过点B（3，4）和C（1，2）时，两个图象有3个交点，此时直线y=x+a为y=x+1，∴要使方程f（x）=x+a在区间[﹣2，4]内有3个不等实根，则a=1或﹣2＜a＜0．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.）13．已知过点A（﹣2，m）和（m，10）的直线与直线2x﹣y﹣1=0平行，则m的值为2．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由于过点A（﹣2，m）和（m，10）的直线与直线2x﹣y﹣1=0平行，可知其斜率相等，利用斜率计算公式即可得出．【解答】解：由直线2x﹣y﹣1=0化为y=2x﹣1，可知其斜率为2．∵过A（﹣2，m），B（m，10）两点的直线与直线2x﹣y+1=0平行，∴k AB=2，∴=2，解得m=2．故答案为：214．某三角形的直观图是斜边为2的等腰直角三角形，如图所示，则原三角形的面积是．【考点】斜二测法画直观图．【分析】根据斜二测画法的规则，分别判断原三角形对应的边长关系，即可求出三角形的面积．【解答】解：∵三角形的直观图是斜边为2的等腰直角三角形，∴根据斜二测画法的规则可知，原三角形A0B为直角三角形，且OB=0'B'=2，OA=2O'A'=2，∴△AOB的面积为，故答案为：2．15．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=60°，b=2，S=2，△ABC则=4．【考点】余弦定理的应用．【分析】首先利用三角形的面积公式求出c的长度，进一步利用余弦定理求出a的长度，在应用正弦定理和等比性质求出结果．=2，【解答】解：已知∠A=60°，b=2，面积S△ABCS=bcsinA=2，解得：c=4，利用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解得：a=2，利用正弦定理：====4，利用等比性质：则=4，故答案为：4．16．曲线y=1+与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k的取值范围．【解答】解：可化为x2+（y﹣1）2=4，y≥1，所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆y≥1的部分．直线y=k（x﹣2）+4过定点p（2，4），由图知，当直线经过A（﹣2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个．且k AP==，由直线与圆相切得d==2，解得k=则实数k的取值范围为故答案为：三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．过点P（1，1）作直线l，分别交x，y正半轴于A，B两点．（1）若直线l与直线x﹣3y+1=0垂直，求直线l的方程；（2）若直线l在y轴上的截距是直线l在x轴上截距的2倍，求直线l的方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出．（2）对直线l分类讨论：经过原点时直接得出；不经过原点时，设直线l：y﹣1=k（x﹣1）（k＜0），可得y轴上的截距为：y=1﹣k，x轴上的截距为：．由题意可得，解得k即可得出．【解答】解：（1）设直线l的斜率为k，∵直线l与直线x﹣3y+1=0垂直，∴k=﹣1，解得k=﹣3．∴直线方程为y﹣1=﹣3（x﹣1），化为3x+y﹣4=0．（2）经过原点的直线：y=x也满足条件．直线l不经过原点时，设直线l：y﹣1=k（x﹣1）（k＜0）；y轴上的截距为：y=1﹣k，x轴上的截距为：．∵，解得k=﹣2；∴直线方程为：2x+y﹣3=0．综上可得：直线方程为：2x+y﹣3=0或y=x．18．数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+n（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．=2n，从而归纳可得；【分析】（1）分类讨论当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1（2）化简b n==﹣，从而求和．【解答】解：（1）当n=1时，S1=12+1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+n﹣（（n﹣1）2+（n﹣1））=2n，当n=1时，也成立；故a n=2n；（2）b n===﹣，故T n=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．19．已知函数f（x）=cos（π+x）cos（π﹣x）﹣cos2x+．（1）求f（x）的最小正周期和最大值；（2）讨论f（x）在[，π]上的单调性．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性．【分析】（1）化简函数f（x）为正弦型函数，即可求出它的最小正周期和最大值；（2）根据x的取值范围，利用正弦函数的图象与性质，即可求出f（x）的单调性．【解答】解：（1）函数f（x）=cos（π+x）cos（π﹣x）﹣cos2x+=﹣cosx•（﹣sinx）﹣+=sinxcosx﹣cos2x=sin2x ﹣cos2x=sin （2x ﹣）；∴f （x ）的最小正周期为T==π，最大值是；（2）当x ∈[，π]时，2x ∈[，]，2x ﹣∈[，]；令2x ﹣=，解得x=，∴x ∈[，]时，2x ﹣∈[，]，f （x ）是单调增函数；x ∈[，]时，2x ﹣∈[，]，f （x ）是单调减函数．20．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，ABCD 是正方形，ABEF 是矩形，且AF=AD=a ，G 是EF 的中点，（1）求证平面AGC ⊥平面BGC ；（2）求GB 与平面AGC 所成角的正弦值．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（1）由面面垂直的性质证明CB ⊥AG ，用勾股定理证明AG ⊥BG ，得到AG ⊥平面CBG ，从而结论得到证明．（2）由（Ⅰ）知面AGC ⊥面BGC ，在平面BGC 内作BH ⊥GC ，垂足为H ，则BH ⊥平面AGC ，故∠BGH 是GB 与平面AGC 所成的角，解Rt △CBG ，可得GB 与平面AGC 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：正方形ABCD ⇒CB ⊥AB ，∵面ABCD ⊥面ABEF 且交于AB ， ∴CB ⊥面ABEF ．∵AG ，GB ⊂面ABEF ，∴CB ⊥AG ，CB ⊥BG ，又AD=2a ，AF=a ，ABEF 是矩形，G 是EF 的中点，∴AG=BG=，AB=2a ，AB 2=AG 2+BG 2，∴AG ⊥BG ，∵BG ∩BC=B ，∴AG ⊥平面CBG ，而AG ⊂面AGC ，故平面AGC ⊥平面BGC ． （2）解：如图，由（Ⅰ）知面AGC ⊥面BGC ，且交于GC ，在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角．∴在Rt△CBG中，又BG=，∴．21．某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）利用扇形的弧长公式，结合环面的周长为30米，可求θ关于x的函数关系式；（2）分别求出花坛的面积、装饰总费用，可求y关于x的函数关系式，换元，利用基本不等式，可求最大值．【解答】解：（1）由题意，30=xθ+10θ+2（10﹣x），∴θ=（0＜x＜10）；（2）花坛的面积为﹣==（10﹣x）（5+x）；装饰总费用为xθ•9+10θ•9+2（10﹣x）•4=9xθ+90θ+8（10﹣x）=170+10x，∴花坛的面积与装饰总费用的比为y=．令17+x=t，则y=，当且仅当t=18时取等号，此时x=1，θ=，∴当x=1时，y取得最大值．22．已知动点P到两定点A（1，0），B（2，0）的距离的比为．（1）求P的轨迹C的方程；（2）是否存在过点A（1，0）的直线l交轨迹C于点M和N使得△MON的面积为（O为坐标原点），若存在，求l的方程，若不存在说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（1）设P（x，y），由已知条件推导出，由此能求出P点的轨迹方程．（2）假设满足条件的直线l存在．设过点A（1，0）的直线l为kx﹣y﹣k=0，求出圆心（0，0）到直线的距离d，再由S===，能求出直线l的方程．【解答】解：（1）设P（x，y），∵动点P到两定点A（1，0），B（2，0）的距离的比为，∴，整理，得x2+y2=2，P点的轨迹方程是x2+y2=2．（2）假设满足条件的直线l存在．设过点A（1，0）的直线l：y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，圆心（0，0）到直线的距离d==，S===，解是d=或d=，d=时，k无解；d=时，k=1，或k=﹣1，∴直线l的方程为y=x﹣1，或y=﹣（x﹣1）=﹣x+1k不存在时，x=1，S=1，舍去．∴直线l的方程为：y=x﹣1或y=﹣x+1．2017年1月11日。
2016-2017学年湖北省高一上学期9月月考试题 数学5
高一年级第一次质量检测科目：数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合M ＝{2,3,5}，N ＝{4,5}，则∁U (M ∪N )等于A ．{1,3,5}B ．{2,4,6}C ．{1,5}D ．{1,6}2．有五个命题如下：（1）集合*N 中最小元素是1；（2）若**∈∈N b N a ,，则()*∈-N b a ；（3）空集是任何集合的真子集；（4）区间[]4,2是函数()322+-=x x x f 的一个单调增区间；（5）若集合{}31<<=x x A ，集合{}31<<=t t B ，则B A ≠；其中正确的命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．43.下列各组函数中，表示同一函数的是A ． ()()1,0==x g x x fB. ()()2,x x g x x f == C ．()(){}()1,1,0,1122-∈=-⨯-=x x g x x x fD ．()()2)(|,|x x g x x f == 4. 如果全集U ＝R ，A ＝{x |2<x ≤4}，B ＝{3,4}，则A ∩(∁U B )等于A ．(2,3)∪(3,4)B ．(2,4)C ．(2,3)∪(3,4]D ．(2,4]5.已知()()⎩⎨⎧<+≥-=7,27,5x x f x x x f ，则()=-2f A ．2 B ．3 C ．4 D ．56.已知集合M 满足{}{}5,4,3,2,13,2,1⊆⊆M ，则集合M 的个数为A ．4B ．5C ．6D ．77.设全集为R ，函数()112-=x x f 的定义域为集合M ，则M C R 为 A ．[]1,1-B ．()1,1-C ．(][)+∞-∞-,11,D ．()()+∞-∞-,11,8．函数()234x x x f -+=的单调递减区间是A .⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32B .⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞C .⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,23 9．若函数y ＝ax 与y ＝－b x 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是A ．减函数B ．增函数C ．先增后减D ．先减后增10. 已知函数()[](]⎩⎨⎧∈--∈-=5,2,32,1,32x x x x x f ，则方程()1=x f 的解是 A ．22或 B ．32或 C ．42或 D ．42或±11．已知()()⎪⎩⎪⎨⎧≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛->+-=1,2241,11x x a x x a x f 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为 A ．(1，＋∞) B ．[4,8) C ．(4,8) D ．(1,8)12. 已知函数()122++-=x x x f 的定义域为()3,2-，则函数()x f 的单调递增区间是A ．()()1,01,和-∞-B ．()()1,01,2和--C ．()()1,01,3和--D ．()()3,10,1和-二、填空题（每题5分，满分20分，）13.不等式()()01332>+--x x x 的解集为________.14.已知全集{}32<<-∈=x Z x U ，{}1,1-=A ，函数())(,2A C x x x f U ∈-=，则函数()x f 的值域为________.15.已知函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=221x x f y 的定义域为(]2,0，则函数()1+=x f y 的定义域为 . 16.已知集合{}{}0122,022222≥++=≤-+=x mx x B x mx x A ，且B A 有且仅有一个元素，则实数m 的取值的集合为________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （本小题10分）17.解下列关于x 的不等式：（1）23≤-xx （2）()012<++-a x a x（本小题12分）18.已知集合{}0122=+-∈=x ax R x A（1）若集合A 中只有一个元素，用列举法写出集合A ；（2）若集合A 中至多只有一个元素，求出实数a 的取值范围；（本小题12分）19. 已知集合S ＝()8,2-，P ＝{x |a ＋1<x <2a ＋5}．集合Φ是空集（1）若Φ=P ，求实数a 的取值范围；（2）若Φ=P S ，求实数a 的取值范围；（本小题12分）20. 已知f (x )是定义域为(－1,1)，且满足()()()y f x f y x f +=+，且f (x )在(－1,1)上是减函数（1）若4141-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ； （2）解不等式f (1－x )＋f (1－x 2)<0.（本小题12分）21.已知函数()32+-=x ax x f ，其中 R a ∈（1）若函数()x f 的定义域为R ，求实数a 的范围；（2）若函数()x f 的值域为[)+∞,0，求实数a 的范围；（本小题12分）（理科）22.（1）证明：()3223333b ab b a a b a +++=+ （2）已知()23331xx x x f +-=，记()()x f x f =1，对任意*∈N n ，满足 ()()[]x f f x f n n 1-=，① 求⎪⎭⎫ ⎝⎛312f 的值； ②求()x f 10的解析式；（本小题12分）（文科）22. 已知函数()21++=x ax x f ， （1） 当[]5,3,3--∈=x a 时，求()x f 的取值范围；（2） 若函数()x f 在区间()+∞-,2是增函数，求实数a 的取值范围。
湖北省华中师范大学第一附属中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
华中师大附中2016—2017学年度上学期高二期末检测数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设{}{},x Z A B ∈==奇数偶数，若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则其否定为A. ,2x A x B ∃∈∉B. ,2x A x B ∀∉∉C. ,2x A x B ∃∉∈D. ,2x A x B ∃∈∉2.在华中师大一附中首届数学节的演讲比赛中，七位评委为某参赛教师打出的分数的茎叶图如图所示，去掉最高分和最低分后，这位老师得分的方差为A. 1.14B. 1.6C. 2.56D. 33.对于给定的样本点所建立的模型A 和模型B ，它们的残差平方和分别是212,,a a R 的值分别为12,b b ，下列说法正确的是A. 若12a a <，则12b b <，A 的拟合效果更好B.若12a a <，则12b b <，B 的拟合效果更好C. 若12a a <，则12b b >，A 的拟合效果更好D.若12a a <，则12b b >，B 的拟合效果更好4.圆229x y +=，以()2,1M 为中点的弦所在的直线方程为A. 240x y +-=B. 490x y +-=C. 230x y --=D. 250x y +-=5.如图，程序运行后输出的结果是 A. 16 B. 32 C. 64 D. 1286.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，给出以下命题：①H 是1A BD ∆的垂心;②AH 垂直于平面11CB D ；③AH 的延长线过点1C ；④直线AH 和1BB 所成角的大小为45 ，其中正确的命题个数为A. 1B. 2C. 3D. 47.甲乙丙三人之间相互传球，球从一个人手中随机传到另外一个人手中，若开始时球在甲手中，则经过三次传球后，球传回甲手中的概率为 A. 14 B. 13 C. 38 D.128.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 2π+4π+23π+ D. 43π+9.如果程序框图中输入2,0.5x h =-=，那么输出的各个数的和等于A. 3B. 3.5C. 4D. 4.510.若[]0,5A ∈，则方程22320x ax a ++-=有两个负根的概率为 A. 14 B. 34 C. 13 D. 2311.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为A. 1B.12.已知ABC ∆的边长为,,a b c ，定义它的等腰判别式为{}{}max ,,min ,,D a b b c c a a b b c c a =---+---，则“0D =”是ABC ∆为等腰三角形的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.李明和李华同时到公交站等1路车和2路车回家，若李明的1路车8分钟一班，李华的2路车10分钟一班，则李明先李华上车的概率为 .14.在把()21111化为十进制数的程序框图（见第2页），判断框内应填入的内容为 .15.设()1,0,A B -是圆()22:116F x y -+=上的动点，AB 垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程是 .16.给出以下命题：①若方程220x x m ++=有实根，则2m ≤；②若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线斜率为2ABC ∆中，一定sin cos A B >成立；④秦九韶算法的特点在于把求一个n 次多项式的值转化为求n 个一次多项式的值；⑤随机模拟方法的奠基人是蒙特卡罗.其中正确的命题序号为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）某城市100户居民的月平均用水量（单位：吨），按[)[)[)[)[)[)[)[)0.5,1,1,1.5,1.5,2,2,2.5,2.5,3,3,3.5,3.5,4,4,4.5分组的频率分布直方图如图.（1）求月平均用水量的众数和中位数；（2）在月平均用水量为[)[)[)1.5,2,2,2.5,2.5,3的三组用户中，用分层抽样的方法抽取12户居民参加用水价格听证会，则月平均用水量在[)2,2.5的用户中应抽取多少户？18.（本题满分10分）同时投掷两个骰子，记向上的点数分别为,a b ，设函数()()2 1.f x a b x bx =-++（1）求()f x 为偶函数的概率；（2）求()f x 在1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增的概率.19.（本题满分12分）设()()1,0,2,1,A B C 是抛物线24y x =上的动点.（1）求ABC ∆周长的最小值；（2）若C 位于直线AB 左上方，求ABC ∆面积的最大值.20.（本题满分12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2,,AB M N =分别是1,CC AB 的中点.（1）求证：//CN 平面1AMB ；（2）若二面角1A MB C --的大小为45 ，求三棱柱111ABC A B C -的高.21.（本题满分12分）设命题()()()11:,1212n n p n N a n +*-∀∈-⋅+<+，命题:q 当()()20,,sin cos 2x x a x a a π⎛⎫∃∈--= ⎪⎝⎭. （1）当1a =-时，分别判断命题p 和q 的真假；（2）如果p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数a 的取值范围.22.（本题满分12分）已知圆222:O x y r +=的任意一条切线l 与椭圆22:163x y M +=都有两个不同的交点A,B.（1）求圆O 半径r 的取值范围；（2）是否存在圆O ，满足OA OB ⊥恒成立？若存在，求出圆O 的方程及OA OB ⋅ 的最大值；若不存在，说明理由.。
湖北省高二上学期数学9月月考试卷
湖北省高二上学期数学 9 月月考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 4 题；共 8 分)1. （2 分） (2016 高一上·成都期末) 要得到函数 y=log2（2x+1）的图象，只需将 y=1+log2x 的图象（ ）A . 向左移动 个单位B . 向右移动 个单位C . 向左移动 1 个单位D . 向右移动 1 个单位2. （2 分） 若等差数列 和等比数列 满足，，则（）A.5B . 16C . 80D . 1603. （2 分） (2020 高一下·陕西月考) 在且面积为，则A.中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 面积 的最大值为（ ）B.C.D.4. （2 分） (2020 高三上·海淀期末) 已知等边边长为 ，点 在 边上，且，第 1 页 共 19 页.下列结论中错误的是（ ）A.B. C.D.二、 填空题 (共 12 题；共 12 分)5. （1 分） (2018 高三上·三明期末) 已知向量，，若，则________．6. （1 分） (2016 高一下·海珠期末) 已知关于 x 的不等式 ax2﹣bx+c≥0 的解集为{x|1≤x≤2}，则 cx2+bx+a≤0 的解集为________．7. （1 分） (2016·安徽模拟) 若 f（x）=log3a[（a2﹣3a）x]在（﹣∞，0）上是减函数，则实数 a 的取值 范围是________．8. （1 分） (2016 高一上·黑龙江期中) 设方程 x+2x=4 的根为 m，方程 x+log2x=4 的根为 n，则 m+n=________．9. （1 分） 在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 的中点，F 在线段 DC 上，且 CF=2DF．若 =λ +μ μ 均为实数，则 λ+μ 的值为________， λ，10. （1 分） (2019 高一下·马鞍山期中) 若对任意 值范围是________.，不等式恒成立，则 的取11. （1 分） (2016 高二上·翔安期中) 在公差不为零的等差数列{an}中，a1=8，且 a1、a5、a7 成等比数列， 则 Sn 最大时，Sn=________．12. （1 分） (2019 高三上·无锡月考) 已知菱形的边长为 2，上，，.若，则 的值为________.，点分别在边13. （1 分） (2020·江西模拟) 定义新运算：，已知数列 满足，且，若对任意的正整数 n，不等式总成立，则实数 m 的取值范围为________.第 2 页 共 19 页14. （1 分） 已知函数 f（x）=ax2+（b﹣3）x+3，x∈[2a﹣3，4﹣a]是偶函数，则 a+b= ________ 15. （1 分） (2016 高一上·西安期末) 已知实数 x，y 满足（x﹣3）2+（y﹣3）2=8，则 x+y 的最大值为________．16. （1 分） (2020 高一上·天津月考) 已知则，当 ________时，最大值是________三、 解答题 (共 5 题；共 60 分)17. （10 分） (2019 高二下·柳州期中) 已知 .的内角的对边分别为，若（1） 若，求；（2） 若且，求的面积.18. （10 分） (2020·日照模拟) 已知函数，.（1） 若函数 （2） 求证：有唯一的极小值点，求实数 的取值范围； .19.（10 分）(2020 高三上·山东期中) 在①，②，的周长为 8，③，的外接圆半径为 2，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答.在中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，，______？求.20. （15 分） (2019 高一上·杭州期中) 已知函数（1） 判断函数的奇偶性，并求函数， 的值域；（2） 若实数 满足，求实数 的取值范围．21. （15 分） (2020 高一下·宜宾期末) 若数列满足.（1） 求及的通项公式；第 3 页 共 19 页（2） 若 ①求 ； ②对于任意，数列{ }的前项和 . ，均有恒成立，求 的取值范围.第 4 页 共 19 页一、 单选题 (共 4 题；共 8 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点： 解析：答案：3-1、 考点： 解析：第 5 页 共 19 页答案：4-1、 考点：第 6 页 共 19 页解析：二、 填空题 (共 12 题；共 12 分)答案：5-1、 考点：解析：第 7 页 共 19 页答案：6-1、 考点： 解析：答案：7-1、 考点：第 8 页 共 19 页解析： 答案：8-1、 考点： 解析：答案：9-1、 考点：第 9 页 共 19 页解析： 答案：10-1、 考点：解析：第 10 页 共 19 页答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：。
湖北省华中师大来凤附中2016-2017学年高二上学期9月月考试题 数学(理) 含答案
华中师大来凤附中高二年级2016年9月月考数 学 （理） 试 卷命题教师： 刘仕秀 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、班级信息填写在答题卡上．[来源:学科网ZXXK ］2．回答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在试卷上的无效．3．回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共 60 分一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.） 1．若集合{}|02A y y =≤<,{}|1B x x =>，则RA CB ⋂=( A )A ．{}|01x x ≤≤B ．{}|12x x ≤<C ．{}|10x x -<≤D ．{}|12x x << 2．已知向量()1,a x =，(),3b x =，若a 与b 共线，则a =( C ） A ．B ．C ．2D ．43.函数()2432ln f x xx x =-+-的零点个数为（ C )A 。
0B 。
1C 。
2D 。
34．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据,可得几何体的表面积是（ B ）A ．4π+24B ．4π+32C ．9πD ．12π5．在各项均为正数的等比数列{}nb 中，若783b b•=,则3132314log log log b b b +++=（ C ）A ．5B ．6C ．7D ．8 6．已知点(),M a b 在圆O ：221x y +=外,则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是（ B )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定7．设a ，b 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是（ D ）A ．若a,b 与α所成的角相等，则a ∥bB ．若a ∥α,b∥β,α∥β,则a ∥bC ．若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥βD ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b8．空间四边形ABCD 中,若AB=AD=AC=CB=CD=BD,则AC 与BD 所成角为（D ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．设实数x,y 满足约束条件10101x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则()222x y ++的取值范围是（ A ）A ．1,172⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．［1，17］C ．1,17⎡⎤⎣⎦D ．2,172⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知三棱锥D ﹣ABC 的三个侧面与底面全等，且AB=AC=,BC=2，则以BC 为棱,以面BCD 与面BCA 为面的二面角的余弦值为（ C )3.3A1.3B C ．01.2D -11．已知函数()()sin f x wx ϕ=+（其中0,2πωϕ><）图象相邻对称轴的距离为2π，一个对称中心为,06π⎛⎫-⎪⎝⎭，为了得到()()cos g x wx =的图象，则只要将()f x 的图象（D ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向左平移12π个单位12.已知函数()[]()()11,2,0,22,0,.x x f x f x x ⎧-+∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩若方程()f x x a =+在区间[]2,4-内有3个不等实根，则实数a 的取值范围是（ D ） A ．{}|20a a -<< B ．{}|20a a -<≤ C ．}2102|<<<<-a a a 或｛D ．}102|=<<-a a a 或｛第Ⅱ卷(非选择题,共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
湖北省2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题
AO 2 6 3 ． SA ，故 sin AMO AM 3 2 3
8
所以二面角 A SC B 的余弦值为
3 ………………12分 3
解法二：以 O 为坐标原点，射线 OB， OA 分别为 x 轴、 y 轴的正半轴，建立如图的空间直角 坐标系 O xyz ．
设 B (1 ，， 0 0) ，则 C (1 ，，，，，，，， 0 0) A(0 1 0) S (0 0 1) ．
所以 OA OB OC
2 SA ，且 AO BC ，又 △SBC 为等腰三角形， 2
SO BC ，且 SO
2 SA ，从而 OA2 SO 2 SA2 ． 2
所以 △SOA 为直角三角形， SO AO ． 又 AO BO O ． 所以 SO 平面 ABC ．…………………6分
a 2 ………8分 x x2
2 ' g( x) 0在1, 上恒成立, a - 2 x 2 , ………10分 4 x h( x) 2 63 - 2x 2在1, 为减函数, a h mi( h( 4 ) ………12分 4 n x) x 2
AC SB SC SA ，连结 OA ， △ ABC 为等腰直角三角形， 19.解：（Ⅰ）由题设 AB===
B． EF 与 BD 垂直 D． EF 与 A1C1 异面
C B
11．已知函数 y f ( x) 对任意的 x R 满足 （其中 f '( x) 是函数 f ( x) 的导函数），则下列不等式成立的是（ A． 2 f (2) f (1) B． 2 f (1) f (2) C． 4 f (2) f (0)
已知函数 f ( x) x 2 a ln x ．
湖北高二高中数学月考试卷带答案解析
湖北高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f(x 2)－f(x 1)](x 2－x 1)≥0，则¬p 是（ ） A ．∃x 1，x 2∈R ，[f(x 2)－f(x 1)](x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，[f(x 2)－f(x 1)](x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，[f(x 2)－f(x 1)](x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，[f(x 2)－f(x 1)](x 2－x 1)<02.经过圆的圆心C ，且与直线垂直的直线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．3.两圆的公切线有（ ） A ．2条B ．3条C ．4条D ．以上都不对4.已知，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件5.已知命题p ：∃x ∈[0，]，cos2x ＋cosx －m ＝0的否定为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[，－1]B ．[，2]C ．[－1,2]D ．[，＋∞)6.过直线y=x 上的一点作圆的两条切线l 1、l 2，切点分别为、，当直线l 1、l 2关于y=x对称时，则劣弧的长度是（ ） A ．B ．C ．D ．7.已知条件：，条件：，且是的充分不必要条件，则的取值范围可以是（ ）A ．B ．C ．D ．8.直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9.若实数满足，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．10.设x 、、、y 成等差数列，x 、、、y 成等比数列，则的取值范围是（ ）A ．4，＋∞)B ．(-∞,0∪4，＋∞)C ．0,4）D ．(－∞,-4)∪4,＋∞)11.已知，则满足关于的方程的充要条件是（ ）A ．B ．C ．D ．12.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，动点E ，F 在棱A 1B 1上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若EF ＝1，A 1E ＝x ，DQ ＝y ，DP ＝z(x ，y ，z 大于零)，则四面体PEFQ 的体积（ ）A ．与x ，y ，z 都有关B ．与x 有关，与y ，z 无关C ．与y 有关，与x ，z 无关D ．与z 有关，与x ，y 无关二、填空题1.已知P 为圆内一定点，过点P 且被圆所截得的弦最短的直线方程为__________.2.直线和与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m 的值为____________.3.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，BC ＝，D 、E 分别是AC 1和BB 1的中点，则直线DE与平面BB 1C 1C 所成的角为______________.4.若实数满足，则的最小值是 ．三、解答题1.命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立，命题q ：函数是增函数，若为真，为假，求实数a 的取值范围．2.在平面直角坐标系xOy 中，y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．3.已知平面区域被圆及其内部所覆盖． （Ⅰ）当圆的面积最小时，求圆的方程；4.如图，四边形为矩形，且，，为上的动点.（1）试在上确定一点，使；（2）设，在线段上存在这样的点，使得二面角的平面角大小为， 试确定点的位置.5.已知圆经过点，且圆心在直线上，又直线与圆相交于两点．（1）求圆的方程； （2）若，其中为原点，求实数的值；（3）过点作直线与直线垂直，且直线与圆交于、两点，求四边形面积的最 大值．6.已知A ，B 分别是直线y ＝x 和y ＝－x 上的两个动点，线段AB 的长为2，D 是AB 的中点． （1）求动点D 的轨迹C 的方程；（2）若过点(1,0)的直线l 与曲线C 交于不同两点P 、Q ． ①当|PQ|＝3时，求直线l 的方程； ②设点E(m,0)是x 轴上一点，求当·恒为定值时E 点的坐标及定值．湖北高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f(x 2)－f(x 1)](x 2－x 1)≥0，则¬p 是（ ） A ．∃x 1，x 2∈R ，[f(x 2)－f(x 1)](x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，[f(x 2)－f(x 1)](x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，[f(x 2)－f(x 1)](x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，[f(x 2)－f(x 1)](x 2－x 1)<0【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题:，故选C ．【考点】命题的否定．2.经过圆的圆心C ，且与直线垂直的直线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】圆心，所求直线的斜率为1，所以所求的直线方程是，故选A. 【考点】直线方程的应用．3.两圆的公切线有（ ） A ．2条B ．3条C ．4条D ．以上都不对【答案】B 【解析】圆心，半径，圆心，半径，圆心距，即两圆外切，公切线有条，故选B ．【考点】圆与圆的位置关系的判定与应用． 4.已知，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】B 【解析】若，则，故不能得到；反过来，，可得，故选B ．【考点】必要不充分条件的判定．5.已知命题p ：∃x ∈[0，]，cos2x ＋cosx －m ＝0的否定为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[，－1]B ．[，2]C ．[－1,2]D ．[，＋∞)【答案】C 【解析】依题意得在上有解，即，令，由于，所以，于是，因此实数的取值范围是，故选C ．【考点】三角函数的化简及二次函数的最值．6.过直线y=x 上的一点作圆的两条切线l 1、l 2，切点分别为、，当直线l 1、l 2关于y=x对称时，则劣弧的长度是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】∵直线关于对称，∴直线与垂直，点到直线距离，又圆的半径为，∴，∴，所以，故选C ．【考点】直线与圆的位置关系及弧长的计算．7.已知条件：，条件：，且是的充分不必要条件，则的取值范围可以是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】由：，：，要是的充分不必要条件，则有，故选D．【考点】充分不必要条件的应用．8.直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】圆心的坐标为，且圆与轴相切，设圆心到直线的距离为，则由点到直线距离公式，有，∴，则，∴，解得，故选A．【考点】直线与圆的位置关系及圆的弦长公式的应用．9.若实数满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知，点在圆心为，半径为的圆上，令，它表示一条直线方程，故圆和直线有公共点，圆心到直线的距离，即，解得为所求，故选C．【考点】直线与圆的位置关系的应用．10.设x、、、y成等差数列，x、、、y成等比数列，则的取值范围是（）A．4，＋∞)B．(-∞,0∪4，＋∞)C．0,4）D．(－∞,-4)∪4,＋∞)【答案】B【解析】依题意，，，则，又，若，则，于是，故≥4，当且仅当x=y时取“”号；若，则，于是，故≤0，当且仅当时取“”号，综上所述，的取值范围是．【考点】等差、等比数列的性质及基本不等式的应用．【方法点晴】本题主要考查了等差数列及等比数列的性质及其有意义、利用基本不等式求解最值问题，属于中档试题，着重考查了转化思想及构造的数学思想方法、分类讨论的思想方法，本题的解答中，由题意，又由可分和两种情况分类讨论，求解取“”号成立的条件是解答本题的关键．11.已知，则满足关于的方程的充要条件是（）A．B．C．D．【答案】C 【解析】由于，令函数，此时函数对应的开口向上，当时，取得最小值，而满足关于的方程，那么，那么对于任意的，都有，故选C ．【考点】二次函数的图象与性质及充要条件的应用．【方法点晴】本题主要考查了一元二次函数的图象与性质及充要条件的判定与应用，着重考查了分类讨论的数学思想和转化与化归的思想方法的应用，属于中的试题，本题的解答中，把关于的方程的充要条件转化为关于的二次函数的恒成立问题，即是解答本题的关键．12.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，动点E ，F 在棱A 1B 1上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若EF ＝1，A 1E ＝x ，DQ ＝y ，DP ＝z(x ，y ，z 大于零)，则四面体PEFQ 的体积（ ）A ．与x ，y ，z 都有关B ．与x 有关，与y ，z 无关C ．与y 有关，与x ，z 无关D ．与z 有关，与x ，y 无关【答案】D 【解析】连结，作，垂足为，∵且，∴是定值．∵面且平面，∴，∴面，∵，∴，∴与无关，与有关，故选D.【考点】三棱锥的体积．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的——三棱锥的体积的计算方法，在变量中寻找不变的量，着重考查了学生的空间想象能力和转化能力，属于中档试题，本题的解答中，四面体的体积，可找出三角形的面积是不变的两，而点到平面的距离是变化的量，从而可以确定三棱锥的体积与点到平面的距离有关，确定选项．二、填空题1.已知P 为圆内一定点，过点P 且被圆所截得的弦最短的直线方程为__________.【答案】【解析】由题意知圆心到弦的距离最大，∴，，又直线过定点，∴直线的方程为，即.【考点】直线的方程．2.直线和与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m 的值为____________.【答案】【解析】若四边形有外接圆，则内对角互补，故，∴，∴.【考点】两条直线的位置关系判定与应用．3.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，BC ＝，D 、E 分别是AC 1和BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为______________.【答案】【解析】取中点，则，∴，∴与平面所成的角为所求，∵，∴，又，∴平面，作交于，则平面，∴为直线与平面所成的角，由条件知，∴，∴．【考点】直线与平面所成的角．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体中直线与平面所成的角的求解，解答此类问题的关键是熟悉直线与平面所成角的作法，即由直线上一点作平面的垂线在连接斜足与垂足，则可得到直线与平面所成的角，放置在直角三角形中求解，属于中档试题，本题的解答中，根据题意，进而得到直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，利用几何体的结构特征，在直角三角形中，即可求解．4.若实数满足，则的最小值是 ．【答案】 【解析】因为表示圆及其内部，易得直线与圆相离，所以，当时，，如图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数，则可知当时，；当时，，如图所示，可行域为大的弓形内部，目标函数，则可知当时，，综上所述，的最小值是．【考点】简单的线性求最值．【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划的应用，正确作出约束条件表示的可行域是解答本题的关键，属于中档试题，同时着重考查了分类讨论的思想和转化与化归的思想方法的应用，本题的解答中，可分和两种情况化简目标函数，同时画出约束条件所表示的可行域，结合图形找出最优解，可求目标函数的最小值．三、解答题1.命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立，命题q ：函数是增函数，若为真，为假，求实数a 的取值范围． 【答案】或．【解析】列出命题为真命题的条件，求出；再求出命题为真命题时，实数的取值范围，最后根据为真，为假，即命题中一个为真、一个为假分情况求解的范围，即可求解参数的取值范围． 试题解析：设，由于关于x 的不等式对一切恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x 轴没有交点， 故Δ＝，∴．又∵函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，∴，∴． 由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．若P 真q 假，则∴； 若p 假q 真，则∴；综上可知，所求实数a 的取值范围为或． 【考点】命题的真假判定与应用．2.在平面直角坐标系xOy 中，y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值． 【答案】（I ）；（II ）．【解析】（I ）写好曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆的几何特征设出圆心坐标，构造圆心的坐标方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而计算圆的半径，写出圆的方程；（II ）利用设而不求思想设出圆与直线的交点的坐标，通过建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找出的方程，通过解方程确定出的值． 试题解析：（Ⅰ）y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．故可设C 的圆心为(3，t)，则有32＋(t －1)2＝(2)2＋t 2，解得t ＝1．则圆C 的半径为＝3．所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9．（Ⅱ）设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，其坐标满足方程组消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0． 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0．从而 x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝．①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0．所以2x 1x 2＋a(x 1＋x 2)＋a 2＝0．② 由①，②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1． 【考点】圆的标准方程及直线与圆的位置关系．3.已知平面区域被圆及其内部所覆盖．（Ⅰ）当圆的面积最小时，求圆的方程； 【答案】（Ⅱ）若斜率为的直线与(1)中的圆交于不同的两点，且满足，求直线的方程．[来（I ）；（II ）．【解析】（I ）由约束条件得出其可行域是直角三角形及其内部，被圆及其内部所覆盖，覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，求出即可；（II ）设出直线的方程，直线与圆交于不同的两点，且满足，则圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式即可求出．试题解析：（Ⅰ）由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部，且是直角三角形，∵覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∴圆心是，半径是，∴圆的方程是（Ⅱ）设直线的方程是：∴圆心C 到直线的距离是，即.解之得.∴直线的方程是：【考点】圆的标准方程；二元一次不等式组表示的平面区域；直线方程的应用．4.如图，四边形为矩形，且，，为上的动点.（1）试在上确定一点，使；（2）设，在线段上存在这样的点，使得二面角的平面角大小为，试确定点的位置.【答案】（1）当为的中点时，；（2）点在线段上距点的处．【解析】（1）取的中点，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，进而可证明；（2）根据几何体的结构特征，利用二面角的定义，找出为二面角的平面角，即，设，则，可分别在中，列出等式，求解的值，确定点的位置．试题解析：（1）证明：当为的中点时，，从而为等腰直角三角形，则，同理可得，∴，于是，又，且，∴，.∴，又，∴，即为中点时，.（也可以利用三垂线定理证明，但必需指明三垂线定理）（还可以分别算出，，三条边的长度，再利用勾股定理的逆定理得证）（2）如图过作于，连，则，∴为二面角的平面角. 设，则..，，，于是，，有解之得.点在线段上距点的处.【考点】直线与平面垂直的判定；二面角的定义与应用．5.已知圆经过点，且圆心在直线上，又直线与圆相交于两点．（1）求圆的方程；（2）若，其中为原点，求实数的值；（3）过点作直线与直线垂直，且直线与圆交于、两点，求四边形面积的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）设圆心为，半径为．故，建立方程，从而可求圆的方程；（2）利用向量的数量积公式，求得，计算圆心到直线的距离，即可求解实数的值；（3）方法1、设圆到直线的距离分别为，求得，根据垂径定理和勾股定理，可得，在利用基本不等式，可求四边形面积的最大值；方法2、利用弦长公式，，表示三角形的面积，在利用基本不等式，可求四边形面积的最大值．试题解析：（1）设圆心为，半径为．故，易得，因此圆的方程为．（2）因为，且与的夹角为，故，，所以到直线的距离，又，所以．又解：设P，，则，即，由得，∴，代入得，∴；（3）设圆心到直线的距离分别为，四边形的面积为．因为直线都经过点，且，根据勾股定理，有，又，故当且仅当时，等号成立，所以．（3）又解：由已知，由（2）的又解可得，同理可得，∴，当且仅当时等号成立，所以．【考点】直线与圆的方程的应用；点到直线的距离公式的应用；圆的标准方程．【方法点晴】本题主要考查了直线的方程与圆的方程的应用、点到直线的距离公式的应用，同时着重考查了向量的数量积的运算和圆的性质、四边形面积的计算和基本的运用，属于中档试题解答的关键是准确表达的长度，正确表示四边形的面积合理运用基本不等式求解四边形面积的最值，同时注意基本不等式等号成立的条件．6.已知A ，B 分别是直线y ＝x 和y ＝－x 上的两个动点，线段AB 的长为2，D 是AB 的中点． （1）求动点D 的轨迹C 的方程；（2）若过点(1,0)的直线l 与曲线C 交于不同两点P 、Q ． ①当|PQ|＝3时，求直线l 的方程； ②设点E(m,0)是x 轴上一点，求当·恒为定值时E 点的坐标及定值． 【答案】（1）；（2）①；②，定值．【解析】（1）设点，通过是的中点，的距离，列出方程即可求动点的轨迹的方程；（2）①若过点的直线与曲线交于不同两点，分直线的斜率存在和斜率不存在时两种情况讨论，根据和点到直线的距离，分别列出方程求解的值，从而求得直线的方程；②当直线的斜率存在时，设其斜率为，则的方程为，由消去得，由韦达定理及·，确定为定值，当直线的斜率不存在，求出，，得到，即可恒定值时的坐标及定值． 试题解析：(1)设D(x ，y)，A(a ，a)，B(b ，－b), ∵D 是AB 的中点， ∴x ＝，y ＝，∵|AB|＝2，∴(a －b)2＋(a ＋b)2＝12，∴(2y)2＋(2x)2＝12，∴点D 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝3. (2) ①当直线l 与x 轴垂直时，P(1，)，Q(1，－)， 此时|PQ|＝2，不符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k(x －1)， 由于|PQ|＝3，所以圆心C 到直线l 的距离为，由＝，解得k ＝.故直线l 的方程为y ＝(x －1).②当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝k(x －1)， 由消去y 得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－3＝0， 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)则由韦达定理得x 1＋x 2＝，x 1x 2＝，则＝(m －x 1，－y 1)，＝(m －x 2，－y 2)，∴·＝(m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 2＝m 2－m(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2 ＝m 2－m(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝m2－＋＋k2 (－＋1)＝要使上式为定值须＝1，解得m＝1，∴·为定值－2，当直线l的斜率不存在时P(1，)，Q(1，－)，由E(1，0)可得＝(0，－)，＝(0，)，∴·＝－2，综上所述当E(1，0)时，·为定值－2.【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算；轨迹方程．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系、平面向量的数量积、动点的轨迹方程的求解等知识的综合应用，着重考查了分类讨论的思想和运算、推理能力，有一定的难度，属于难题，本题的解答中把直线的方程为，由消去得，由韦达定理及，确定为定值，同时直线的斜率不存在，可得，即可恒定值时的坐标及定值．。
2024-2025学年湖北重点学校高二数学上学期9月联考试卷附答案解析
2024-2025学年湖北重点学校高二数学上学期9月联考试卷时长：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分､在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数()()1i 2i m ++在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m 的取值范围为（）A.(),2-∞ B.()2,+∞ C.(),2-∞- D.()2,2-2.平行六面体1111ABCD A B C D -中，O 为11A C 与11B D 的交点，设1,,AB a AD b AA c === ，用,,a b c表示BO，则（）A.12BO a b c=-+ B.12BO a b c=+- C.12BO a b c =-++ D.1122BO a b c=-++ 3.被誉为“湖北乌镇，荆门丽江”的莫愁村，位于湖北省钟祥市.高高的塔楼，是整个莫愁村最高的建筑，登楼远跳，可将全村风景尽收眼底.塔楼的主体为砖石砌成的正四棱台，如图所示，上底面正方形的边长约为8米，下底面正方形的边长约为12米，高约为15米，则塔楼主体的体积（单位：立方米）约为（）A .2400B.1520C.1530D.24104.某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为34，在实验操作中结果为优秀的概率为23，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（）A.712B.12 C.512D.135.已知()()()1231,9,1,,3,2,0,2,1n n m n =-=-=，若{}123,,n n n 不能构成空间的一个基底，则m =（）A.3B.1C.5D.76.设ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222a b ab c ++=，若角C 的内角平分线2CM =，则AC CB ⋅的最小值为（）A.8B.4C.16D.127.抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记录骰子朝上面的点数，若用x 表示红色骰子的点数，用y 表示绿色骰子的点数，用(),x y 表示一次试验结果，设事件:8E x y +=；事件F ：至少有一颗点数为5；事件:4G x >；事件:4H y ≤.则下列说法正确的是（）A.事件E 与事件F 为互斥事件B.事件F 与事件G 为互斥事件C.事件E 与事件G 相互独立D.事件G 与事件H 相互独立8.现有一段底面周长为12π厘米和高为12厘米的圆柱形水管，AB 是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从A 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行π厘米后再向下爬行3厘米到达P 点，另一只从B 沿下底部圆弧逆时针方向爬行π厘米后再向上爬行3厘米爬行到达Q 点，则此时线段PQ 长（单位：厘米）为（）A.B. C.6 D.12二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.有一组样本数据12,,,n x x x ，其平均数､中位数､标准差､极差分别记为1111,,,a b c d .由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ，其中()220241,2,,i i y x i n =-= ，其平均数､中位数､标准差､极差分别记为2222,,,a b c d ，则（）A.2122024a a =- B.21b b = C.212c c = D.212d d =10.设,,Ox Oy Oz 是空间内正方向两两夹角为60o的三条数轴，向量123,,e e e分别与x 轴､y 轴.z 轴方向同向的单位向量，若空间向量a 满足()123,,a xe ye ze x y z =++∈R ，则有序实数组(),,x y z 称为向量a在斜60o 坐标系Oxyz （O 为坐标原点），记作(),,a x y z =，则下列说法正确的有（）A.已知()1,2,3a =，则5= a B.已知()()1,2,1,2,4,2a b =-=-- ，则向量a∥b C.已知()()3,1,2,1,3,0a b =-= ，则0a b ⋅=D.已知()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1OA OB OC === ，则三棱锥O ABC -的外接球体积8V =11.在圆锥PO 中，PO 为高，AB ，母线长为2，点C 为PA 的中点，圆锥底面上点M 在以AO 为直径的圆上（不含A O ､两点），点H 在PM 上，且PA OH ⊥，当点M 运动时，则（）A.三棱锥M PAO -的外接球体积为定值B.直线CH 与直线PA 不可能垂直C.直线OA 与平面PAM 所成的角可能为60oD.2AH HO +<三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知3i 1-是关于x 的实系数方程2320x px q ++=的一个根，则实数p 的值为__________.13.已知向量,a b 满足()2,1,2a b a b ==+= ，则cos ,a b =______.14.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 222sin 2a b cC a b b----=，且ABC V 的面积为()34a b c ++，则2a b +的最小值为______.四､解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16､17小题15分，第18､19小题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0c b A a B --=（1）求A ；（2）若点M 在BC 上，且满足,2BM MC AM ==，求ABC V 面积的最大值.16.某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；（2）成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；（3）已知落在60,70内的平均成绩为67，方差是9，落在[)60,80内的平均成绩是73，方差是29，求落在[)70,80内的平均成绩和方差.（附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为：221122,,;,,m x s n x s .记两组数据总体的样本平均数为w ，则总体样本方差()()222221122m n s s x w s x w m n m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++）17.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.（1）当点E 在棱AB 的中点时，求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；（2）当AE 为何值时，直线1A D 与平面1D EC 所成角的正弦值最小，并求出最小值.18.甲､乙､丙三人玩“剪刀､石头､布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响.（1）求甲在一局中得2分的概率1P ；（2）求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率2P ；（3）求游戏经过两局就结束的概率3P .19.在空间直角坐标系O xyz -中，己知向量(),,u a b c = ，点()0000,,P x y z .若直线l 以u为方向向量且经过点0P ，则直线l 的标准式方程可表示为()0000x x y y z z abc a b c---==≠；若平面α以u为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程表示为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=.（1）已知直线l 的标准式方程为112x z-==，平面1α50y z +-+=，求直线l 与平面1α所成角的余弦值；（2）已知平面2α的点法式方程可表示为2320x y z ++-=，平面外一点()1,2,1P ，点P 到平面2α的距离；（3）（i ）若集合{(,,)|||||2,||1}M x y z x y z =+≤≤，记集合M 中所有点构成的几何体为S ，求几何体S 的体积；（ii ）若集合(){,,|2,2,2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤.记集合N 中所有点构成的几何体为T ，求几何体T 相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.1.B【分析】化简得()()1i 2i (2)(2)i m m m ++=-++，根据题意列出不等式组求解即可.【详解】解：因为()()1i 2i (2)(2)i m m m ++=-++，又因为此复数在第二象限，所以2020m m -<⎧⎨+>⎩，解得2m >.故选：B.2.D【分析】由平行六面体的性质和空间向量的线性运算即可求解；【详解】如图：由平行六面体的性质可得()()11111111122222BO BB B O AA BD AA AD AB c b a a b c =+=+=+-=+-=-++，故选：D.3.B【分析】根据题意，利用棱台的体积公式，准确运算，即可求解.【详解】由题意，正四棱台的上底面边长约为8米，下底面边长约为12米，高约为15米，可得正四棱台的上底面面积为64平方米，下底面面积为144平方米，则塔楼主体的体积约为1(641441515203V =++⨯=立方米.故选：B.4.C【分析】根据独立事件的概率公式与互斥事件的概率加法公式可求概率.【详解】根据题意可得该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为：12315434312⨯+⨯=．5.B【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果.【详解】若{}123,,n n n不能构成空间的一个基底，123,,n n n ∴共面，∴存在,λμ，使123n n n λμ=+，即1093212m λλμλμ-=+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩，解得131m λμ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故选：B .6.A【分析】先根据222a b ab c ++=，结合余弦定理求C ，再根据ABC ACM BCM S S S =+ ，结合面积公式得到2()ab b a =+≥，进而求出ab 的最小值，再根据数量积定义求AC CB ⋅.【详解】因为222a b ab c ++=，所以2221cos 22a b c C ab +-==-，所以2π3C =，由ABC ACM BCM S S S =+ ，所以12π1π1πsin sin sin 232323ab b CM a CM =⋅⋅+⋅⋅，化简得到22ab b a =+，所以2()ab b a =+≥，则16ab ≥，当且仅当4a b ==时，等号成立，所以π1cos 832AC CB AC CB ab ⋅=⋅=≥ ，所以AC CB ⋅的最小值为8.故选：A ．7.D【分析】分别写出事件E 、F 、G 、H 所包含的基本事件，根据互斥事件的定义判断A ，B ；根据独立事件的定义判断C ，D.【详解】解：由题意可知{(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}E =；{(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(6,5)}F =；{(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}G =；{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),H =(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)}；对于A ，因为()(){}3,5,5,3E F ⋂=，所以事件E 与事件F 不是互斥事件，故错误；对于B ，因为(5,1),(5,2),(5,3),(}){5,4),(5,5,(5,6),(6,5)G F ⋂=，所以事件G 与事件F 不是互斥事件，故错误；对于C ，因为{(5,3),(6,2)}E G ⋂=，5121(),()36363P E P G ===，21()()()3618P E G P E P G ⋂==≠，所以事件E 与事件G 不相互独立，故错误；对于D ，因为{(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)}G H ⋂=，242121(),()363363P H P G ====，82()()()369P H G P H P G ⋂===，所以事件E 与事件G 相互独立，故正确.故选：D.8.A【分析】根据已知条件建系结合弧长得出角及点的坐标，最后应用空间向量两点间距离计算.【详解】应用圆柱的特征取上下底面的圆心1,,OO BO 为,z y 轴，再过O 作OB 的垂线为x 轴，如图建系，过Q 向圆O 作垂线垂足为1Q ，1πBQ =，设圆O 半径为,2π12πr r =，所以6r =，所以111π6π,6BQ BOQ BOQ =∠⨯=∠=，则()()13,,3,Q Q --，同理，过P 向圆O 作垂线垂足为，则()()13,,3,P P ----，所以PQ ==.故选：A.9.ACD【分析】根据新旧数据间样本的数字特征的关系对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，平均数2122024a a =-，中位数2122024b b =-，标准差212c c =，极差212d d =，所以ACD 选项正确，B 选项错误.故选：ACD 10.AB【分析】先明确1231e e e === ，12132312e e e e e e ⋅=⋅=⋅= .根据()22a a = 求a，判断A 的真假；根据2b a =-判断B 的真假；计算a b ⋅ 判断C 的真假；判断三棱锥O ABC -的形状，求其外接球半径及体积，判断D 的真假.【详解】由题意：1231e e e === ，12132312e e e e e e ⋅=⋅=⋅= .对A ：因为12323a e e e =++ ⇒()2212323a e e e =++ 222123121323494612e e e e e e e e e =+++⋅+⋅+⋅ 149236=+++++25=，所以5a =.故A 正确；对B ：因为1232a e e e =-++ ，123242b e e e =-- ，所以2b a =-，所以//a b .故B 正确；对C ：12332a e e e =-+ ，123b e e =+，因为()()12312323a b e e e e e ⋅=-+⋅+ 22112122132339326e e e e e e e e e e =+⋅-⋅-+⋅+⋅ 91331322=+--++8=0≠，故C 错误；对D ：由题意，三棱锥O ABC -是边长为1的正四面体.如图：过O 作OE ⊥平面ABC ，垂足为E ，则E 在ABC V 的中线AD 上，且:2:1AE ED =，因为ABC S =!，32AD =，所以33AE =，63OE ==.设正四面体O ABC -外接球球心为G ，则点G 在OE 上，且G 亦为正四面体O ABC -内切球球心，设GO R =，GE r =.则22313R r R r ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩⇒4=R ，所以正四面体O ABC -外接球的体积为：34π3V R=34ππ38R ==.故D 错误.故选：AB 11.AD 【解析】【分析】由条件结合线面垂直判定定理证明AM ⊥平面POM ，由此证明AM PM ⊥，再证明点C 为三棱锥M PAO -的外接球球心，判断A ，证明PA ⊥平面OHC ，由此证明PA CH ⊥，判断B ；证明OH ⊥平面PAM ，由此可得OAH ∠为直线OA 与平面PAM 所成的角，解三角形求其正弦，判断C ，证明OH AH ⊥，解三角形求AH HO +，结合基本不等式求其范围，判断D.【详解】连接,,,,,OM AM AH OC CM CH ，对于A ，易知⊥PO 平面AMB ，AM⊂平面AMB ，所以AM PO ⊥，因为点M 在以AO 为直径的圆上（不含A 、O ），所以AM OM ⊥，OM PO O = ，OM ⊂平面POM ，PO ⊂平面POM ，所以AM ⊥平面POM ，又PM⊂平面POM ，所以AM PM ⊥，又PO AO ⊥，C 为PA 的中点，2PA =，所以1CO CA CP CM ====，所以点C 为三棱锥M PAO -的外接球的球心，所以三棱锥M PAO -的外接球的半径为=1，所以三棱锥M PAO -的外接球体积为定值，A 正确；由已知，PO AO ⊥，2PA =，AO =所以PO AO==所以POA 为等腰三角形，连接OC ，又C 为PA 的中点，故PA OC ⊥，又PA OH ⊥，OH OC O ⋂=，OH ⊂平面OHC ，OC ⊂平面OHC ，则PA ⊥平面OHC ，又CH ⊂平面OHC ，所以PA CH ⊥，故B 错误．因为AM ⊥平面POM ，又OH ⊂平面POM ，所以AM OH ⊥，又PA OH ⊥，PA AM A = ，AM⊂平面PAM ，PA ⊂平面PAM ，则OH ⊥平面PAM ，所以OA 在平面PAM 上的射影为AH ，所以OAH ∠为直线OA 与平面PAM 所成的角，设OM x=，则PM =OH PM OM PO ⋅=⋅，所以OH =，所以sin OHOAH OA∠==，令60OAH ∠=2=，解得x =，即OM =，与OM OA <矛盾，C 错误；对于D 中，因为OH ⊥平面PAM ，AH ⊂平面PAM ，所以OHAH ⊥，又OH=OA =，所以AH ==，所以xAH HO ++==，0x <<由基本不等式可得22222x x ⎛⎫++< ⎪ ⎪⎝⎭，即x +<，所以2AH HO +<，D 正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：解决多面体的外接球问题的关键在于由条件确定其外接球的球心的位置，由此确定外接球的半径.12.3【分析】将3i 1-代入方程2320x px q ++=求解即可.【详解】3i 1-代入方程2320x px q ++=，得()()233i 123i 10p q -+-+=，化简得()()242618i 0p q p --++-=，故24206180p q p --+=⎧⎨-=⎩，解得330p q =⎧⎨=⎩，故填：313.18##0.125【分析】先利用坐标运算求解23a b += ，根据数量积的运算律结合模的公式列式求得14a b ⋅= ，从而利用数量积的定义求解即可.【详解】因为()2a b += ，所以23a b +=，又2,1a b ==，所以23a b +=，所以14a b ⋅= ，所以1cos ,8a b a b a b ⋅==⋅.故答案为：1814.6+【分析】根据三角恒等变换以及余弦定理可得π3C =，即可利用面积可得()222230a t a t -++-=有根，即可利用判别式求解.222sin 2a b c C a b b----=可得2222sin 22C ba b a b c --=--，即222s 22c i o n s ab C C ba a b c ==-+-，由于0ab ≠cos 1C C -=π1sin 62C ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭，由于()0,πC ∈，故ππ5π,666C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，因此ππ66C -=，故π3C =，2222221cos 22a b c C a b c ab ab +-==⇒+-=，ABC V 的面积为()34a b c ++，故()31sin 42a b c ab C a b c ab ++=⇒++=，由于2c ab a b a b b =-->-⇒>，2c ab a b b a a =-->-⇒>，故26a b +>，将c ab a b =--代入222a b c ab +-=可得()222a b ab a b ab +---=，化简得()32ab a b +=+，将其代入()32ab a b +=+，且可得()222230a t a t -++-=，则()()2Δ448230t t t =++--≥，解得6t ≥+，或06t <≤-故最小值为6+.故答案为：6+【点睛】关键点点睛：由()32ab a b +=+可得()222230a t a t -++-=有实数根，利用判别式求解.15.（1）π3（2）433【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换，结合三角形内角的取值范围、特殊角的三角函数值求解即可；（2）利用向量的线性运算、余弦定理、基本不等式、三角形面积公式即可求解.【小问1详解】()2cos cos 0c b A a B --= ，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos 0C B A A B --=，2sin cos (sin cos cos sin )0C A B A B A ∴-+=，2sin cos sin()0C A A B ∴-+=，2sin cos sin C A C ∴=，()0,πC ∈ ，sin 0C ∴≠，1cos 2A ∴=，()0,πA ∈ ，π3A ∴=.【小问2详解】BM MC = ，1()2AM AB AC ∴=+ ，2221(2)4AM AB AB AC AC ∴=+⋅+ ，又2AM =，221π4(2cos 43c b bc ∴=++⋅，221623c b bc bc bc bc ∴=++≥+=，163bc ∴≤，当且仅当3b c ==时，等号成立，ABC ∴ 的面积1116sin 22323S bc A =≤⨯⨯=，即ABC V 面积的最大值为433.16.（1）平均数为71，众数为75.（2）88.（3）平均数为76，方差为12.【解析】【分析】（1）在频率分布直方图中，平均数等于每组的组中值乘以每组的频率之和；众数是最高矩形横坐标的中点，据此求解.（2）依题意可知题目所求是第90％分位数，先判断第90％分位数落在哪个区间再求解即可；（3）先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可.【小问1详解】一至六组的频率分别为0.10,0.15,0.15,0.30,0.25,0.05，平均数450.10550.15650.15750.30850.25950.0571=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.由图可知，众数为75.以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分.【小问2详解】前4组的频率之和为0.100.150.150.300.700.90+++=<，前5组的频率之和为0.700.250.950.90+=>，第90%分位数落在第5组,设为x ，则()0.70800.0250.90x +-⨯=，解得88x =.“防溺水达人”的成绩至少为88分.【小问3详解】[60,70)的频率为0.15，[70,80)的频率为0.30，所以[60,70)的频率与[60,80)的频率之比为0.1510.150.303=+[)70,80的频率与[)60,80的频率之比为0.3020.150.303=+设[)70,80内的平均成绩和方差分别为222x s ，依题意有212736733x =⨯+⨯，解得276,x =()222212299(6773)767333s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-⎣⎦⎣⎦，解得2212s =，所以[)70,80内的平均成绩为76，方差为12.17.1）66（2）当2AE =时，直线1A D 与平面1D EC所成角的正弦值最小，最小值为5【解析】【分析】（1）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面1D EC 的一个法向量，平面1DCD 的一个法向量，利用向量法可求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；（2）设AE m =，可求得平面1D EC 的一个法向量，直线的方向向量1DA，利用向量法可得sin θ=.【小问1详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，当点E 在棱AB 的中点时，则1(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,0)E C D A D ，则1(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)ED EC DA =--=-=，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1·0·0n ED x y z n EC x y ⎧=--+=⎪⎨=-+=⎪⎩ ，令1x =，则1,2y z ==，所以平面1D EC 的一个法向量为(1,1,2)n =，又平面1DCD 的一个法向量为(1,0,0)DA =，所以·cos ,6·DA n DA n DA n===，所以平面1D EC 与平面1DCD所成的夹角的余弦值为6；【小问2详解】设AE m =，则11(0,0,1),(1,,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,1)E m C D A D ，则11(1,,1),(1,2,0),(02),(1,0,1)ED m EC m m DA =--=--≤≤=，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1·0·(2)0n ED x my z n EC x m y ⎧=--+=⎪⎨=-+-=⎪⎩ ，令1y =，则2,2x m z =-=，所以平面1D EC 的一个法向量为(2,1,2)n m =-，设直线1A D 与平面1D EC 所成的角为θ，则11||sin ||||n DA n DA θ=== 令4[2,4]m t -=∈，则sin θ====，当2t =时，sin θ取得最小值，最小值为5.18.（1）13（2）281（3）49【分析】（1）根据题意可画出树状图，得到甲得2分情况有9种，从而可求解；（2）游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：①第一局甲得2分，第二局甲得1分，则第一局乙丙得负一分，第二局得1分，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分，然后求出每种情况的概率从而可求解；（3）游戏经过两局就结束总共有4种情况：①仅1人得3分，②有2人得分为3分，③仅1人得4分，④有2人分别得4分，然后求出每种情况的概率从而可求解.【小问1详解】根据题意，画出树状图，如图：所以每局中共有27种情况，其中甲在一局中得2分的情况有（出手势顺序按甲乙丙）：（剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、（石头、石头、剪刀）、（石头、剪刀、石头）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、布、石头）、（布、石头、布）、（布、石头、石头）、一共有9种情况，所以甲在一局中得2分的概率191 273P==.【小问2详解】游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：①第一局甲得2分，第二局甲得1分：则乙第一局得负1分，第二局得1分；则丙第一局得负1分，第二局得1分；由（1）中树状图可知满足情况有：第一局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）此时概率为331272781⨯=种情况，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分，则乙第一局得1分，第二局得负1分；则丙第一局得1分，第二局得负1分；由（1）中树状图可知满足情况有：第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）第二局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、此时概率为331272781⨯=，综上所述：游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率2112818181P =+=.【小问3详解】游戏经过两局就结束总共有4种情况：①仅1人得3分，记事件为A ，则()2238127P A =⨯=；②有2人得分为3分，记事件为B ，()33232272727P B ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭③仅1人得4分，记事件C ：一人得4分，另两人各负2分：3313272727⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭，一人得4分，一人得负2分，一人得1分：334322272727⎡⎤⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，一人得4分，另两人各1分：33232272727⎛⎫⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，()142727272727P C =++=；④有2人分别得4分，记为事件D ：则()3313272727P D ⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭综上所述：游戏经过两局就结束的概率322714272727279P =+++=.19.（1）10（2）2（3）（i ）16；（ii ）2π3【分析】（1）利用题中概念分别计算出直线方向向量与平面法向量，然后利用线面角与直线方向向量和平面法向量所成角的关系计算即可；（2）先计算平面法向量，找到平面上一点A 然后利用向量的投影计算即可；（3）（i ）先建立等式，然后画出所表示的面，计算所围成的图形的面积即可；（ii ）因为是一个完全对称的图形，只需计算第一卦限内相邻面的二面角，我们需要画出第一卦限内图像，得到其二面角为钝角；【小问1详解】由题可知，直线l的一个方向向量坐标为()1,2m = ，平面1α的一个法向量为)1n =- ，设直线l 与平面1α所成角为β，则有·10sin 10m n m n β===，所以cos 10β=，直线l 与平面1α所成角的余弦值为10.【小问2详解】由题可知平面2α的法向量为()22,3,1n =，且过点()0,0,2A ，因为()1,2,1P ,所以()1,2,1AP =-，所以点P 到平面2α的距离为22·2n AP n ==.【小问3详解】（i ）建立空间直角坐标系，先分别画平面2,0,02,0,02,0,02,0,011x y x y x y x y x y x y x y x y z z +=>>⎧⎪-=><⎪⎪-+=⎨--=<<⎪⎪=⎪=-⎩，然后得到几何体S为21几何体S是底面边长为的正方形，高为2的长方体，故几何体S的体积为216=，（ii ）由（i ）可知，(){,,|2,2,2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤的图像是一个完全对称的图像，所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可，此时0,0,0x y z >>>，得{}(,,)2,2,2,0,0,0N x y z x y y z z x x y z =+≤+≤+≤>>>，画出第一卦限图像，显然其二面角为钝角，计算平面2,2x y y z +=+=得二面角，所以两个平面的法向量分别为()()231,1,0,0,1,1n n == ，所以其二面角的余弦值为2323·12n n n n -=- ，所以二面角为2π3【点睛】思路点睛：我们需要按照解析式画出平面，在空间中三点确定一个平面，可以直接找三个点即可，找到的点，最好是三个平面的交点，一般直接建立方程求解即可.。
湖北省华中师大一附中2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题
华中师大一附中2016—2017学年度下学期高二期中检测数学（理科）试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡相应位置上．） 1．已知X 的分布列为右表，且37)(3=+=Y E aX Y ，，则a 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ． 4 2．甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占%20，乙市占%18，两市同时下雨占%12．则某一天当甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率为 A ．6.0B ．7.0C ．8.0D ．66.03. P 是抛物线2y x =上的动点，Q 是直线240x y --=上的动点，则||PQ 的最小值为 A.553 B. 554 C. 2 D. 44. 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼 到三楼用8步走完，则上楼梯的方法有 A ．45种B ．36种C ．28种D ． 25种5．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一 步，程序B 和C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有 A ．34种B ．48种C ．96种D ．144种6．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为 A ．10 B ．20C ．30D ．607．三个好朋友同时考进同一所高中，该校高一有10个班级，则至少有2人分在同一个班级的概 率为 A.257 B.1825C.13D.238.62)1()1(x ax +-的展开式中，3x 项的系数为16-，则实数a 的值为 A ．2B ．3C ．2-D ．2或39.设集合}420{，，=A ,}531{，，=B ，分别从B A ,中任取2个元素组成无重复数字的四位数，其 中能被5整除的数共有 A ．24个B ．48个C ．64个D ． 116个10． 已知某盒中有10个灯泡，其中有8个是正品，2个是次品．现需要从中取出2个正品.若每次 只取出1个灯泡，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设ξ为摸取的次数，则==)4(ξP A.154 B. 151 C.2845D.144511．设()f x '为函数()f x 的导函数，e 为自然对数的底数，且()ln ()xf x x f x '>，则 A ．2(2)()ln 2,2()()f f e f e f e <> B ．2(2)()ln 2,2()()f f e f e f e << C ．2(2)()ln 2,2()()f f e f e f e >< D ．2(2)()ln 2,2()()f f e f e f e >> 12．定义在R 上的奇函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()1212()[]0x x f x f x --<，若正实数a 使得不等式()()2230a f a e af ba -+<恒成立，则b 的取值范围是A ．[1,)-+∞B ．[,)e -+∞C ．[1,]e -D ．(,1]-∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置上．） 13．设随机变量X ~2(2,)N σ，且(4)=0.84P X ≤，则(0)=P X <14．计算383321nnnn C C -++=15．函数()4xf x x a=-在(1,)+∞上单调递减．则实数a 的取值范围是16．已知3()3f x x x m =-+，在区间[02]，上任取三个数,,a b c ，均存在以)(),(),(c f b f a f 为边 长的三角形，则m 的取值范围是三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把答案填在答题卡相应位置上．）17．(本小题满分10分)如图，从左到右有5个空格．（1）若向这5个格子填入43210，，，，五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？（2）若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3种颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？（3）若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？ 18．(本小题满分12分) 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.19．(本小题满分12分)已知函数1()ln(1),01xf x ax x x-=++≥+，其中0a > （1）若()f x 在1=x 处取得极值，求a 的值； （2）求()f x 的单调区间；（3）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围.20．(本小题满分12分) 某地农民种植A 种蔬菜，每亩每年生产成本为7000元，A 种蔬菜每亩产量及价格受天气、市场双重影响，预计明年雨水正常的概率为32，雨水偏少的概率为31，若雨水正常，A 种蔬菜每亩产量为2000公斤，单价为6元/公斤的概率为41，单价为3元/公斤的概率为43，若雨水偏少，A 种蔬菜每亩产量为1500公斤，单价为6元/公斤的概率为32，单价为3元/公斤的概率为31， （1）计算明年农民种植A 种蔬菜不亏本的概率；（2）在政府引导下，计划明年采取“公司加农户，订单农业”的生产模式，某公司未来不增加农民生产成本，给农民投资建立大棚，建立大棚后，产量不受天气影响，因此每亩产量为2500公斤，农民生产的A 种蔬菜全部由公司收购，为保证农民的每亩预期利润增加1000元，收购价格至少为多少？21．(本小题满分12分) 已知223(3)n xx +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．（1）求nx 2)21(-的展开式中各项系数的最大值和最小值； （2）已知nn n x a x a x a a x x 2222102)1(++++=++ ，求下列各式的值：①n a a a a 2321++++ ； ②n na a a a 2321232++++ ；③n n a a a a 2224232222-++++ .22.(本小题满分12分)已知函数,ln 1)(,12)(2x k xx g x k x e x f x +=--=(k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅)（1）记)()()(x g x f x h -=，若函数()h x 在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围； （2）若在区间],0(e 内至少存在一个数0x ，使得0)(0<x g 成立，求k 的取值范围.华中师大一附中2016—2017学年度下学期高二期中检测数学（理科）试题参考答案与评分标准考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：陈开懋 审题人：吴巨龙一、选择题： BAACC CADCB BA二、填空题：13．16.0； 14．466； 15．]4,0(； 16．),6(+∞． 三．解答题17．解：（1）96444=A ； ……………………3分 （2）4822223=⨯⨯⨯⨯； ……………………6分（3）16800)(5537222527=+A C A C C . ……………………10分 18．解：（1）法1：454565710101010101010P =⨯+⨯+⨯=； 法2：6571101010P =-⨯=；……………6分 （2）顾客抽奖3次，相当于3次独立重复试验，顾客抽奖1次获一等奖的概率为51105104=⨯， 所以)51,3(~B X ，于是0331464(0)()()55125P X C ===,11231448(1)()()55125P X C ===, 22131412(2)()()55125P X C ===, 3303141(3)()()55125P X C ===，故X 的分布列为所以X 的数学期望为553)(=⨯=X E . ……………12分 19．解：（1）22222'(),1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-=-=++++ ∵()f x 在x=1处取得极值，∴2'(1)0,120,f a a =+-=即解得 1.a = ………4分（2）222'(),(1)(1)ax a f x ax x +-=++ ∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +>①当2a ≥时，在区间(0,)'()0,f x +∞>上，∴()f x 在),0[+∞上单调递增； ②当02a <<时，由'()0'()0f x x f x x >><<解得由解得 ∴()f x 在)2,0(a a -单调递减，在)2(∞+-，aa单调递增， 综上，当2a ≥时，增区间为),0[+∞，无减区间； 当02a <<时，减区间为)2,0(a a -，增区间为)2(∞+-，aa. ………8分 （3）当2a ≥时，由（Ⅱ）①知，()(0)1;f x f =的最小值为 当02a <<时，由（Ⅱ）②知，()f x在x =处取得最小值(0)1,f f <= 综上可知，若()f x 得最小值为1，则a 的取值范围是[2,).+∞ ………12分 20．解：（1）只有当价格为6元/公斤时，农民种植A 种蔬菜才不亏本， 所以农民种植A 种蔬菜不亏本的概率是18732314132=⨯+⨯=p . ……………4分 （2）按原来模式种植，设农民种植A 种蔬菜每亩利润为ξ元， 则ξ可能取值为：2500,1000,2000,5000--． 614132)5000(=⨯==ξp ，923231)2000(=⨯==ξp ， 214332)1000(=⨯=-=ξp ，913131)2500(=⨯=-=ξp ， 所以500912500211000922000615000)(=⨯-⨯-⨯+⨯=ξE ……………8分 设收购价格为a 元/公斤，农民每亩预期利润增加1000元，则150070002500+≥a ， 即4.3≥a ，所以收购价格至少为4.3元/公斤. ……………12分 21．解：令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2nn+=， 又展开式中二项式系数和为2n ，∴222992n n -=，．0)312)(322(=+-nn，故322=n ，5n = ……………2分 （1）当5n =时， 10)21(x-的展开式中，各项系数为10,,2,1,0)21(10 =-=k C a k kk，，设||k a 最大，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥--++111010111010)21()21()21()21(k k k k k k k k C C C C ，解得31138≤≤k ， Z k ∈ ,3=∴k ，故系数最小值为15)21(33103-=-=C a ， ……………4分又因为445)21(22102=-=C a ，8105)21(44104=-=C a ，42a a <，故系数最大值为81054=a ． ……………6分 （2）当5n =时，1010221052)1(x a x a x a a x x ++++=++ ，① 令0=x 得，10=a ，令1=x 得，2433510210==++++a a a a ，所以24212431021=-=+++a a a ……………8分② 对 1010221052)1(x a x a x a a x x ++++=++ 两边求导得， 9102142102)21()1(5x a x a a x x x +++=+++ ，令1=x 得，1215103210321=++++a a a a ， ……………10分 ③ 在上式中， 令0=x 得，51=a ，又在 1010221052)1(x a x a x a a x x ++++=++ 中，令2=x 得，5101022107222=++++a a a a ， 所以167962722105101022=--=++a a a a ，两边同时除以4，得41992221084232=++++a a a a . ……………12分22.解：（1）解法1：)ln 2()()()(2x xk x e x g x f x h x +-=-=，323242))(2()2(2)12(2)(xkx e x x x k x e xe x x k x xe e x x h x x x x x --=---=+---=' 令)2,0(,)(∈-=x kx e x g x，原问题等价于)(x g 在)2,0(上有两个变号零点.又k e x g x-=')(， ①当1≤k 时，0)(>-='k e x g x，)(x g 递增，在)2,0(上不可能有两个变号零点. ②当21e k <<时，)2,0(ln 0)(∈=⇒=-='k x k e x g x. 当)ln ,0(k x ∈时， 0)(<'x g ，)(x g 递减， 当),(ln +∞∈k x 时， 0)(>'x g ， )(x g 递增， 所以)ln 1()(ln )(min k k k g x g -==，故)(x g 在)2,0(上有两个变号零点的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧><>0)2(0)(ln 0)0(g k g g ，解得22e k e <<.③当2e k ≥时，0)(<-='k e x g x ，)(x g 递减，在)2,0(上不可能有两个变号零点.综上所述，函数()h x 在(0,2)内存在两个极值点，k 的取值范围是)2,(2e e . ……………6分解法2：)ln 2()()()(2x xk x e x g x f x h x +-=-=，323242))(2()2(2)12(2)(xkx e x x x k x e xe x x k x xe e x x h x x x x x --=---=+---=' 若函数()h x 在(0,2)内存在两个极值点，则()h x '在(0,2)有两个变号零点，所以方程xe kx =，即x e k x =在(0,2)有两个不相等的实数根.记()x e x xϕ=，则2(1)()x e x x x ϕ-'=，所以()xe x xϕ=在(0,1)递减，在(1,2)递增，故min min ()(1)x e ϕϕ==，又因为()0x lim x ϕ+→=+∞，()222x e lim x ϕ→=，2(,)2e k e ∴∈ . ……………6分 （2）解法1：在区间],0(e 内至少存在一个数0x ，使得0)(0<x g 成立， 其充要条件是)(x g 在],0(e 上的最小值小于0.又21)(x kx x g -='， （ⅰ）当0<k 时，01)(2<-='x kx x g 对],0(e ∈∀恒成立， 所以)(x g 在],0(e 上单调递减， 故ek k e e g x g 101)()(min -<⇒<+==. （ⅱ）当0=k 时，,1)(xx g =在区间],0(e 内不存在0x ，使得0)(0<x g 成立. （ⅲ）当0>k 时， ①若e k 10≤<时，01)(2≤-='xkx x g ，所以)(x g 在],0(e 上单调递减， 此时，ek k e e g x g 101)()(min -<⇒<+==不成立. ②若e k 1>时，令01)(2=-='x kx x g ，得),0(1e kx ∈=， 所以)(x g 在]1,0(k上单调递减，在],1(e k上单调递增， 此时，e k k k kk k k g x g >⇒<-=+==0)ln 1(1ln)1()(min .综上可知，),()1,(+∞--∞∈e ek . ……………12分 解法2：若0)(≥x g 在区间],0(e 上恒成成立，即],0(0ln 1e x x k x∈∀≥+，，则 ①当1=x 时，原不等式即为01≥，恒成立； ②当)1,0(∈x 时，，0ln <x 原不等式等价于，xx k ln 1-≤ 记，xx x m ln 1)(-=则，2)ln (ln 1)(x x x x m +=' 令，0)(='x m 得e x 1=，所以)(x m 在)1,0(e 单调递减，在)1,1(e单调递增， 所以，e em x m ==)1()(min 故e k ≤. ③当],1(e x ∈时，，0ln >x 原不等式等价于，xx k ln 1-≥ 此时，0)ln (ln 1)(2>+='x x xx m 所以)(x m 在],1(e 单调递增， 所以，ee m x m 1)()(max -==故ek 1-≥. 综上可知，若0)(≥x g 在区间],0(e 上恒成成立，则e k e≤≤-1， 所以，在区间],0(e 内至少存在一个数0x ，使得0)(0<x g 成立，则),()1,(+∞--∞∈e ek . ……………12分。
华师一附中2017高二年级上学期期中考试数学(理)试题_含答案解析
华中师大一附中2015—2016学年度第一学期期中检测高二年级数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的 1．直线t t y t x (70sin 70cos 3⎩⎨⎧︒-=︒+=为参数)的倾斜角为A ．︒20B ．︒70C ．︒110D ．︒1602．双曲线12422=-y x 的焦点到渐近线的距离为A ．2B ．2C ．6D ．363．方程)0(02222≠=-++a ay ax y x 表示的圆 A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于直线0=-y x 对称D ．关于直线0=+y x 对称4．两圆36)3()4(22=++-y x 与10022=+y x 的位置关系是 A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切5．当32<<k 时，曲线13222=-+-k y k x 与曲线12322=+y x 有相同的A ．焦点B ．准线C ．焦距D ．离心率6．若过点)2,32(--P 的直线与圆422=+y x 有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是A ．)6,0(πB ．]3,0[πC ．]6,0[πD ．]3,0(π7．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线x y =无公共点，则离心率e 的取值范围是A ．]2,1(B ．)2,1(C ．]2,1(D ．)2,1(8．若椭圆的中心在原点，一个焦点为)2,0(F ，直线73+=x y 与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为 A ．1201622=+y xB ．1161222=+y xC ．181222=+y xD ．112822=+y x9．与圆122=+y x 和圆07822=+-+x y x 都相切的圆的圆心轨迹是 A ．椭圆 B ．椭圆和双曲线的一支 C ．双曲线和一条直线（去掉几个点）D ．双曲线的一支和一条直线（去掉几个点）10．过抛物线x y 42=的焦点F 作斜率为1的直线，交抛物线于A 、B 两点，若)1(>=λλFB AF ，则λ等于 A ．12+B ．13+C ．15+D ．322+11．若所有满足)0,0(1||||>>=+b a y b x a 的实数x , y 均满足12122222+-+++++y y x y y x22≤，则b a 2+的取值范围为A ．),2[+∞B ．]2,1[C ．),1[+∞D ．]2,0( 12．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB =2AD ，设θ=∠DAB ，)2,0(πθ∈，以A 、B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以C 、D 为焦点且过点A 的椭圆的离心 率为2e ，则12e e ⋅A ．随着θ角的增大而增大B ．随着θ角的增大而减小C ．为定值1D ．为定值2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．在极坐标系中，经过点)3,4(π且与极轴垂直的直线的极坐标方程为 ．14．在平面直角坐标系中，已知△ABC 顶点)0,4(-A 和)0,4(C ，顶点B 在椭圆192522=+y x 上，则=+BCA sin sin sin ．15．直角△ABC 的三个顶点都在给定的抛物线x y 42=上，且斜边AB 和y 轴平行，则△ABC 斜 边上的高的长度为 ．16．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,1(F ，设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ，原点O 在以线段MN 为直径的圆上．若直线AB 的斜率k 满足330≤<k ，则椭圆离心率e 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，18至22题每题12分。
2024年湖北省-恩施土家族苗族自治州来凤一中高二9月检测高二数学试卷(含解析)
2024年来凤一中高二9月检测高二数学试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知，则（ ）A.B.C.D.2.无论为何值，直线过定点（ ）A. B. C. D.3. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为，则这8个点数的中位数为4的概率为（ ）A.B.C.D.4. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ）A. 2B. 4C. D. 5. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（）z =z=13-13+12i 33-12i 33+λ()()()234210x y λλλ++++-=()2,2-()2,2--()1,1--()1,1-1,2,3,,4,5,5,6x 23121316R ()f x ()()0f x f x -+=0x ≤()22xaf x =+()1f =2-4-1111ABCD A B C D -ABCD 1160A AD A AB ∠=∠=︒13AA =M 11A C 11B D BMA. 3B.C.D. 6. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 7.已知实数满足，则的范围是（ ）A. B. C. D.8. 三棱锥满足，二面角的大小为，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）A. B.C.D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（）A. “”是“直线与直互相垂直”的充要条件B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件()f x [],a b ()(),f a f b ⎡⎤⎣⎦()f x Ω()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩Ωm []4,10[]4,14[]10,14[)10,+∞,x y ()22203y x x x =-+ (4)1y x ++[]2,6(][),26,-∞+∞ 92,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦(]9,2,4⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭A BCD -4+=+=BC AC BD AD C AB D --60︒CD AB ⊥AB =1CD =A BCD -7π28π31a =-210a x y -+=20x ay --=2a =-220ax y a ++=()110x a y +++=C. 直线的倾斜角的取值范围是D. 若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是10. 若数据，，和数据，，的平均数、方差、极差均相等，则（ ）A. 数据，，，，，与数据，，的平均数相等B. 数据，，，，，与数据，，的方差相等C. 数据，，，，，与数据，，的极差相等D. 数据，，，，，与数据，，的中位数相等11. 在棱长均为1的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法一定正确的有（ ）A. 当点为三角形的重心时，B. 当时，C. 当点在平面内时，的最大值为2D. 当时，点到三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.通过科学研究发现：地震释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放的能量分别为，，则______.13. 已知集合，在M 中可重复地依次取出三个数，则“以为边长恰好构成三角形”的概率是________．14. 已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围为__________.sin 20x y α++=θπ3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭()1,0A ()0,2B l ()2,1P AB l k 112k -≤≤1x 2x 3x 4x 5x 6x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 1x 2x 3x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 1x 2x 3x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 1x 2x 3x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 1x 2x 3x 111ABC A B C -1160A AB A AC BAC ∠=∠=∠=T 1AT xAB y AC z AA =++[],,0,1x y z ∈T 111A B C 2x y z ++=1x y z ++=AT T 11BB C C x y z ++1x y +=T 1AA lg 4.8 1.5E M =+1E 2E 12E E ={}1,3M =,,a b c ,,a b c ()21xg x =-()()()()()2121f x g x a g x a =+--+⎡⎤⎣⎦a四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在中，角的对边分别为，，，已知.（1）求角；（2）若是边上一点， 且满足，，求的最大值．16. 已知圆，过点的直线与圆交于两点，点满足，其中为坐标原点．（1）求点的轨迹方程；（2）若的面积为2，求．的ABC V ,,A B C a b c cos a C C b =+B D ABC V AC BA BD BD BCBA BC⋅⋅=9425a c +=BD 22:80C x y y +-=()2,2P l C ,A B M 2OM OA OB =+O M CMP !AB17.如图，在四棱锥中，平面，，四边形满足，，，点为的中点，点为棱上的动点.（1）求证：平面；（2）是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由.18. 如图1，直角梯形中，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W ，如图2，其中分别为上下底面直径，点分别在圆弧上，直线平面.（1）证明：平面平面；P ABCD -PA ⊥ABCD 2PA AB AD ===ABCD AB AD ⊥B C A D ∥4BC =M PC E BC DM ∥PAB E PDE ADE 23BE ABED 1,2,,AB AD DE AD DE BC DE ===⊥⊥BC ABED 180︒,GF HE ,P Q ,GF HE //PF BHQ BHQ ⊥PGH（2）若直线与平面到平面的距离；（3）若平面与平面夹角的余弦值为，求．19. 过点作斜率分别为，的直线，，若，则称直线，是定积直线或定积直线．（1）已知直线：，直线：，试问是否存在点，使得直线，是定积直线？请说明理由．（2）在中，为坐标原点，点与点均在第一象限，且点在二次函数的图象上．若直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，求点的坐标．（3）已知直线与是定积直线，设点到直线，的距离分别为，，求的取值范围．GQ PGH P BHQ BHQ BEQ 13HQ ()00,A x y 1k 2k 1l 2l ()120k k μμ=≠1l 2l ()A K μ()()00,x y K μa ()0y kx k =≠b 13y x k=-A a b ()A K μOPM V O P M ()00,M x y 23y x =-OP OM ()()0,01K OP PM ()2P K -OM PM ()00,202x y K x ⎛⎫-⎪⎝⎭P m n ()()2,44K --()0,0O m n 1d 2d 12d d1.A由题意得，故选：A 2.A由得：，由得∴直线恒过定点.故选A.3.D 由题意，当时，8个点数的中位数为3.5；当时，8个点数的中位数为4；当时，8个点数的中位数为4.5，则8个点数的中位数为4的概率为.故选:D.4.A因为定义在上的函数满足，所以是奇函数，且，故，解得，故当时，，由奇函数性质得，而，故，故A 正确.故选：A 5.C13z ====-()()()234210x y λλλ++++-=()()223420x y x y λ++++-=220,3420x y x y ++=⎧⎨+-=⎩2,2,x y =-⎧⎨=⎩()()()234210x y λλλ++++-=()2,2-1,2,3x =4x =5,6x =16R ()f x ()()0f x f x -+=()f x ()00f =0202a+=2a =-0x ≤()222x f x =-+()()11f f =--()121222f --=-+=-()()112f f =--=由题意可知：，则，所以故选：C.6.C由题意可知的定义域为，又因为函数是“函数”，故其值域为；而，则值域为；当时，，当时，，此时函数在上单调递增，则，故由函数是“函数”可得，解得，即实数的取值范围是，故选：C 7.A表示函数图象上的点与的连线的斜率，结合图象可知，斜率分别在与（相切时）处取最大值和最小值，所以的范围是.故选A.8.C设，则，()11111111111112222BM BB B D BB A D A B AA AD AB =+=+-=+-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r2222211111111122442BM AA AD AB AA AD AB AA AD AA AD AB AD⎛⎫=+-=+++⋅-⋅-⋅ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r11911323201122=+++⨯⨯-⨯⨯-=BM =u u u r()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩[0,4]()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩Ω()()[0,4]f f ()()00,4f f m ==[0,]m 02x ≤≤()5[0,10]f x x =∈24x <≤()24f x x x m =-+(2,4]()(4,]f x m m ∈-()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩Ω041010m m ≤-≤⎧⎨≥⎩1014m ≤≤m []10,1441y x ++()22203y x x x =-+……()1,4--()0,2()2,241y x ++[]2,6,AC m AD n ==4,4BC m BD n =-=-因为，所以，解得：，即，可知，过作，连接，则，可知，且二面角的平面角为，则为等边三角形，即，设，因为，即，解得：或可知点与点A 重合或与点B 重合，两者是对称结构，不妨取点E 与点A 重合，则，，由，平面，则平面，且为二面的平面角，可知为等边三角形，可将三棱锥补充直棱柱，如图所示，()CD AB AD AC AB AD AB AC AB⋅=-⋅=⋅-⋅ cos cos AD AB BAD AC AB BAC=⋅∠-⋅∠22222222AD AB BD AC AB BC AD AB AC AB AD AB AC AB+-+-=⋅⋅-⋅⋅⋅⋅ 22222AD BC BD AC+--=()()22224402n m n m CD AB +----⋅== m n =,AC AD BC BD ==ABC ABD ≅V V C CE AB ⊥DE DE AB ⊥CE DE =C AB D --60CED ∠=︒CDE V 1CE DE ==AE x =2222AC AE BC BE -=-()()222241m x m x-=---=10m x =⎧⎨=⎩3m x =⎧⎪⎨=⎪⎩E AC AB ⊥AD AB ⊥AC AD A = ,AC AD ⊂ACD AB ⊥ACD CAD ∠C AB D --CAD V B CAD -为底面正的外心，即，为的外接球球心，可知，且则三棱锥的外接球半径，所以外接球的体积.故选：C.9.BCD对于选项A ：当时，直线与直线斜率分别为1，，斜率之积为，故两直线相互垂直，即充分性成立；若“直线与直线互相垂直”，则，故或，所以得不到，即必要性不成立，故A 错误；对于选项B ：由直线平行得，解得，所以“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故B 正确；对于选项C ：直线的倾斜角为，则，因为，所以，故C 正确；对于选项D ：如图所示：1O ACD V 123AO ==O A BCD -1//OO AB 112OO AB ==A BCD -R ==34π3V R ==1a =-10x y -+=20x y +-=1-1-210a x y -+=20x ay --=20a a +=0a =1a =-1a =-()212a a a a ⎧+=⎨≠⎩2a =-2a =-220ax y a ++=()110x a y +++=θ[]tan sin 1,1k θα==-∈-0πθ≤<π3π0,,π44θ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭可得，，结合图象知，故D 正确；故选：BCD.10.ABC设数据的平均数为，数据的平均数也为.那么数据的平均数为，所以数据与数据的平均数相等，A 选项正确.设数据的方差为，数据的方差也为.对于数据，其方差计算为,所以数据与数据的方差相等，B 选项正确.设数据的极差为，数据的极差也为.对于数据，其极差是这六个数中的最大值减去最小值，由于前面两组数据的极差相等，所以组合后数据的极差依然是，所以数据与数据的极差相等，C 选项正确.设数据按从小到大排列为，中位数为.设数据按从小到大排列为，中位数为.对于数据按从小到大排列后，中位数不一定是，12PB k =-1PA k =112k -≤≤123,,x x x x 456,,x x x x 123456,,,,,x x x x x x 123456()()3366x x x x x x x xx ++++++==123456,,,,,x x x x x x 123,,x x x 123,,x x x 2s 456,,x x x 2s 123456,,,,,x x x x x x 2222221234561[(()()((()]6x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-2222221234561[3(()(())3(((())]6x x x x x x x x x x x x =⨯-+-+-+⨯-+-+-2221(33)6s s s =+=123456,,,,,x x x x x x 123,,x x x 123,,x x x R 456,,x x x R 123456,,,,,x x x x x x R 123456,,,,,x x x x x x 123,,x x x 123,,x x x 123x x x ≤≤2x 456,,x x x 456x x x ≤≤5x 123456,,,,,x x x x x x 2x所以数据与数据的中位数不一定相等，D 选项错误.故选：ABC 11.BCD对于A ，当点为三角形的重心时，，所以，又因为，所以，所以，故A 错误；对于B ，，因为，所以，则，当且仅当时取等号，所以，所以，所以，故B 正确；对于C ，当点在平面内时，则存在唯一实数对使得，则，又因为，所以，所以，因为，所以，所以的最大值为2，故C 正确；对于D ，当时，由A 选项知，123456,,,,,x x x x x x 123,,x x x T 111A B C ()()11111211323AT A B A C AB AC =⨯+=+1111133A AA A T AB AC A T A =++=+ 1AT xAB y AC z AA =++ 1,13x y z ===53x y z ++=2222211221222xy AB AC xz AB AA yz AC AA AT x AB y AC z AA +⋅+⋅+++⋅=+222x y z xy xz yz =+++++()()()21x y z xy xz yz xy xz yz =++-++=-++1x y z ++=()1z x y =-+()()()1xy xz yz xy x y z xy x y x y ⎡⎤++=++=++-+⎣⎦()()()()()2224x y xy x y x y x y x y +=++-+≤++-+()()223321144333x y x y x y ⎛⎫=-+++=-+-+≤ ⎪⎝⎭23x y +=()2121133AT xy xz yz =-++≥-= AT ≥AT T 11BB C C (),λμ()11BT BB BC BB AC AB λμλμ=+=+-()11AT AB BT AB AC AA μμλ=+=-++ 1AT xAB y AC z AA =++ 1,,x y z μμλ=-==11x y z μμλλ++=-++=+[]0,1z λ=∈[]11,2λ+∈x y z ++1x y +=，在方向上的投影为，所以点到的距离因为，所以，当且仅当时，取等号，所以点到，故D 正确.故选：BCD.12.1000 由题知，.13.##0.625从两个数里取三次，共有种情况，只有三种情况无法构成三角形，且设概率为，所以.故答案为：14.令，可得，所以，所以或，由，又，可得，解得或，方程无解，方程有一解，故有一解，()()22222221AT x y z xy xz yz x y z xy x y z z xy z =+++++=++-++=+-+ AT 1AA111111AT AA xAB AA y AC AA z AA AA AA ⋅=⋅+⋅+⋅111222x y z z =++=+T 1AA d ==()2144x y xy +≤=d =≥=12x y ==T 1AA 11112222lg 4.8 1.59,lg lg 3lg 31000lg 4.8 1.57E E EE E E E E =+⨯⎧⇒-=⇒=⇒=⎨=+⨯⎩58328=(1,1,3),(1,3,1),(3,1,1)P 335128P =-=58()2,1--()0f x =()()()()21210g x a g x a ⎡⎤+--+=⎣⎦()()()[2][1]0g x g x a -++=()2g x =()1g x a =--()2g x =()21xg x =-212x-=21x =-23x =21x =-23x =()2g x =要使函数有三个零点，则有两解，即y =g (x )与的图象有两个交点，作出函数y =g (x )的图象的示图如下：由图象可得，解得.所以的取值范围为.故答案为：.15.(1)因，即，由正弦定理可得，且，即，可得，且，则，可得，又因为，所以.(2)因为，即，可得，即，可知平分，则，因，为为()()()()()2121f x g x a g x a ⎡⎤=+--+⎣⎦()1g x a =--1y a =--011a <--<21a -<<-a (2,1)--(2,1)--cos a C C b =+sin cos a C b C =+sin sin sin cos A B C B C =+()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+sin cos cos sin sin sin cos B C B C B C B C +=+cos sin sin B C B C =()0,πC ∈sin 0C ≠tan B =0πB <<π3B =BA BD BD BCBA BC ⋅⋅=BA BD BD BC BA BD BC BD⋅⋅= cos cos ABD CBD ∠=∠ABD CBD ∠=∠BD ABC ∠π6ABD CBD ∠==ABC ABD BCD S S S =+△△△即，又因为，，当且仅当，即，时取等号，可得，所以16.(1)由可得点为线段的中点，设M (x,y )，圆方程化为标准方程为，所以圆心，半径，所以，因为，所以，整理可得，所以点的轨迹方程为，(2)设圆心到直线的距离为，因为为的中点，且，的面积为2，所以，即，解得，由弦长公式可得17.（1）因为平面，，平面，所以，，又，所以，，两两垂直.以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建1111122222ac BD a BD c =⨯⨯+⨯⨯11a c=+9425a c +=()11114919413131252525c a a c a c a c ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝49c aa c =53a =52c =BD ≤BD 2OM OA OB =+M AB ()22416x y +-=()0,4C 4r =()(),4,2,2CM x y MP x y =-=--CM MP ⊥()(),42,20x y x y -⋅--=()()22132x y -+-=M ()()22132x y -+-=d M AB C M A B ⊥CMP !CP =122d =4d =24d =AB ===PA ⊥ABCD A D AB ⊂ABCD PA AD ⊥PA AB ⊥AB AD ⊥PA AB A D A AB x A D y AP z立空间直角坐标系，如下图所示，则，，，，因为点为中点，所以，，又，，所以，所以，，为共面向量，则在平面内存在直线与平面外的直线平行，所以平面.（2）设，，，，依题意可知，平面的法向量为，设平面的法向量为，则令，则.因为平面与平面所成角的余弦值为，所以，即，解得或，所以存在点使得平面与平面所成角的余弦值为，或.18.(1)证明：设平面与几何体的上底面交于点，即平面平面，因为平面平面，平面平面，所以，()0,0,2P ()2,0,0B ()0,2,0D ()2,4,0C M PC ()1,2,1M ()1,0,1DM =()0,0,2AP = ()2,0,0AB =1122DM AP AB =+DM ,AP A BPAB l PAB DM DM ∥PAB ()2,,0E a 04a ……()0,2,2DP =- ()2,2,0DE a =-ADE ()0,0,2AP =PDE (),,n x y z =()220,220,DP n y z DE n x a y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩1z =2,1,12a n -⎛⎫= ⎪⎝⎭ PDE ADE 232cos ,3AP n AP n AP n ⋅==⋅23=1a =3a =E PDE ADE 231BE =3BE =BHQ W M BHQ PGF BM =//PGF EHQ BHQ EHQ HQ =//BM HQ又因为平面，平面，平面，所以，所以，因，所以，又因为平面，且平面，所以，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.(2)解：连接，由（1）知平面，所以就是直线与平面所成的角，即，因为，所以，所以为直角三角形，又，又因为平面平面，所以点到平面的距离为，因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，设为，因为，所以，因为，所以即点到平面.为//PF BHQ PF ⊂PGF BHQ PGF BM =//PF BM //PF HQ PF PG ⊥HQ PG ⊥GH ⊥EHQ HQ ⊂EHQ GH HQ ⊥PG GH G = ,PG GH ⊂PHG HQ ⊥PHG HQ ⊂BHG BHG ⊥PGH CQ HQ ⊥PGH HGQ ∠GQ PGH tan HGQ ∠=1GH =HQ ==CHQ V BH BQ ==2BHQ S ==V EFGH ⊥EHQ Q EFGH 1h CQ ==//PF BHQ P BHQ F BHQ d F BHQ Q BFH V V --=1133BHQ BFH S d S h ⋅=⋅V V 11111222BFHS BF GH =⋅=⨯⨯=V d ==P BHQ(3)解：分别取的中点，连接，则，因为且平面，，且平面，所以平面平面，若平面与平面夹角余弦值为，则平面与平面夹角的余弦值也为，因为为的中点，，所以，又因为且平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，连接，过点作于点，因为平面平面，且平面，所以平面，过点作于点，连接，则即为平面与平面夹角，即为，所以，设，则，因为，所以又因为，所以，在直角中，由射影定理知，所以，在直角中，，所以，在直角中，，,BH HQ ,I N ,,IN CI CN //,//IN BQCI BE IN CI I = ,IN CI⊂ICN BQ BE B =,BQ BE ⊂BEQ //ICN BEQ BHQ BEQ 13BHQ ICN 13N HQ ,CH CQ BH BQ ==,CN HQ BN HQ ⊥⊥CN BN N =I ,CN BN ⊂BCN HQ ⊥BCN HQ ⊂BHQ BHQ ⊥BCN BN C ⊥OC BN O BHQ BCN BN =OC ⊂BCN OC ⊥BHQ O OK IN ⊥K CK OKC ∠BHQ ICN 1cos 3OKC ∠=tan OKC ∠=(0)CN t t =>BN ==1122BCN S CN BC OC BN =⋅=⋅V CN BC CO BN ⋅===//IN BQ cos cos BN INO NBQ BQ ∠=∠==sin INO ∠=BCN △2CN ON BN =⋅2CN ON BN ==OKN △sin OKINO ON ∠==OK ON ==OCK △tan OC OKC OK ∠===整理得，解得，即，所以.19.(1)存在点，使得，是定积直线，理由如下：由题意可得，由，解得，故存在点，使得，是定积直线，且．(2)设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的斜率为．依题意得，得，即或．直线的方程为，因为点在直线上，所以．因为点在第一象限，所以，解得或（舍去），，，所以直线的方程为，直线的方程为，由，得，即点的坐标为．(3)设直线，直线，其中，221(1)4t t -=212t =t =2HQ HN ====()0,0A a b ()A K μ1133k k ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭()013y kx k y x k ⎧=≠⎪⎨=-⎪⎩00x y =⎧⎨=⎩()0,0A a b ()A K μ13μ=-OM ()0λλ≠OP 1λPM 2λ-()2022x λλ⋅-=-2201x λ=01x λ=1-OM y x λ=()200,3M x x -OM 2003x x λ-=M 20031x x λ-==02x =2-12λ=()2,1M OP 12y x x λ==PM ()2213y x x λ=--+=-+23y x y x =⎧⎨=-+⎩12x y =⎧⎨=⎩P ()1,2():42m y t x -=+()4:42n y x t-=-+0t ≠则，当且仅当，即时，等号成立，所以，即，故的取值范围为．12d d ===2216171725t t ++≥=2216t t =24t =08≤<1208d d ≤<12d d [)0,8。