广东省揭阳市第一中学、潮州金山中学2016届高三数学五月联考(模拟)试题理(新)
201x年广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(解析版)
2016年广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：（每小题5分，共60分）．1．复数（1+2i ）2（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．4B ．﹣4C ．4iD ．﹣4i2．已知集合，则满足A∩B=B 的集合B 可以是（ ）A ．{0， }B ．{x|﹣1≤x ≤1}C ．{x|0＜x ＜}D ．{x|x ＞0} 3．各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为2，则log 2a 7+log 2a 11=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．已知平面向量，，，则λ的值为（ ） A ．1+B ．﹣1C ．2D ．15．不等式组，表示的平面区域内的点都在圆x 2+（y ﹣）2=r 2（r ＞0）内，则r 的最小值是（ ） A ．B ．C ．1D ．6．如图所示为函数f （x ）=2sin （ωx +φ）（ω＞0，≤φ≤π）的部分图象，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么fA ．B ．﹣C ．﹣1D ．17．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．16B ．17C ．14D ．158．在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BD 1上，且，M 为线段B 1C 1上的动点，则三棱锥M ﹣PBC 的体积为（ ） A ．1 B ．C ．D ．与M 点的位置有关9．已知抛物线y 2=6x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF|=2，则直线AF 的倾斜角为（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知点F 1、F 2分别是双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，若|AB|：|BF 2|：|AF 2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．4C ．D ．11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（ ）A ．4+B ．6C ．4+D ．612．设函数y=f （x ）对任意的x ∈R 满足f （4+x ）=f （﹣x ），当x ∈（﹣∞，2]时，有f （x ）=2﹣x ﹣5．若函数f （x ）在区间（k ，k+1）（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为（ ） A ．﹣3或7 B ．﹣4或7 C ．﹣4或6 D ．﹣3或6二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知数列{a n }满足a 1=1，a n ﹣a n ﹣1=n （n ≥2），则数列{a n }的通项公式a n = ． 14．若直线2ax+by ﹣1=0（a ＞0，b ＞0）经过曲线y=cosπx +1（0＜x ＜1）的对称中心，则+的最小值为 ．15．已知△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E ﹣ABCD 的外接球的表面积为 ． 16．已知函数f （x ）=，g （x ）=acos+5﹣2a （a ＞0）若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．（Ⅰ）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，求甲停车付费恰为6元的概率；（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知=（1）求角C 的大小，（2）若c=2，求使△ABC 面积最大时a ，b 的值．19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且．（Ⅰ）求证：EF ∥平面BDC 1；（Ⅱ）在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．20．已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）．（1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 与椭圆M 相交于A 、B 两点，以线段OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中点P 在椭圆M 上，O 为坐标原点，求点O 到直线l 的距离的最小值． 21．已知函数f （x ）=e 2x ﹣1﹣2x ﹣kx 2．（1）当k=0时，求f （x ）的单调区间；（2）若x ≥0时，f （x ）≥0恒成立，求k 的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交圆O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F ． （Ⅰ）求证：DE 是圆O 的切线； （Ⅱ）若=，求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数，t∈R），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（Ⅰ）求直线l与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上求一点D，使它到直线l的距离最短．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|．（Ⅰ）若不等式f（x）﹣f（x+5）≥|m﹣1|有解，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜3，且a≠0，证明：＞f（）．2016年广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考高考数学模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分）．1．复数（1+2i ）2（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．4 B ．﹣4 C ．4i D ．﹣4i 【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数（1+2i ）2，则答案可求． 【解答】解：复数（1+2i ）2=1+4i+4i 2=﹣3+4i ， 则复数（1+2i ）2的虚部为：4． 故选：A ．2．已知集合，则满足A∩B=B 的集合B 可以是（ ）A ．{0， }B ．{x|﹣1≤x ≤1}C ．{x|0＜x ＜}D ．{x|x ＞0}【考点】交集及其运算．【分析】求出A 中y 的范围确定出A ，根据A∩B=B，找出满足题意的集合B 即可． 【解答】解：∵x 2+1≥1，∴0＜y=（）x2+1≤（）1=， ∴A={y|0＜y ≤}．则满足A∩B=B 的集合B 可以{x|0＜x ＜}． 故选：C ．3．各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为2，则log 2a 7+log 2a 11=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【考点】等比数列的性质．【分析】利用a 4•a 14=（a 9）2，各项为正，可得a 9=2，然后利用对数的运算性质，即可得出结论．【解答】解：∵各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为2，∴a 4•a 14=（2）2=8，∵a 4•a 14=（a 9）2， ∴a 9=2，∴log 2a 7+log 2a 11=log 2a 7a 11=log 2（a 9）2=3， 故答案为：3．4．已知平面向量，，，则λ的值为（ ）A ．1+B ．﹣1C ．2D ．1 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】求出的坐标，代入模长公式列出方程解出λ． 【解答】解： =（2，2﹣λ）， ∵||=2， ∴22+（2﹣λ）2=4，解得λ=2． 故选：C ．5．不等式组，表示的平面区域内的点都在圆x 2+（y ﹣）2=r 2（r ＞0）内，则r 的最小值是（ ） A ．B ．C ．1D ．【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合判断点与圆的位置关系进行求解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 圆x 2+（y ﹣）2=r 2（r ＞0）对应的圆心坐标为（0，）， 由图象知只需要点B （1，0）或A （﹣1，0）在圆内即可， 即r ≥==，在r 的最小值为， 故选：A ．6．如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么fA．B．﹣C．﹣1 D．1【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】由图象得到振幅A，由A、B两点的距离结合勾股定理求出B和A的横坐标的差，即半周期，然后求出ω，再由f（0）=1求φ的值，则解析式可求，从而求得f=2sin（x+φ）．由f（0）=1，得2sinφ=1，∴sinφ=．又≤φ≤π，∴φ=．则f（x）=2sin（x+）．∴f=2×=1．故选：D．7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．16B ．17C ．14D ．15 【考点】程序框图．【分析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果． 【解答】解：第一次循环：S=log 2，n=2； 第二次循环：S=log 2+log 2，n=3； 第三次循环：S=log 2+log 2+log 2，n=4； …第n 次循环：S=log 2+log 2+log 2+…+log 2=log 2，n=n+1；令log 2＜﹣3，解得n ＞15．∴输出的结果是n+1=16． 故选：A ．8．在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BD 1上，且，M 为线段B 1C 1上的动点，则三棱锥M ﹣PBC 的体积为（ ） A ．1 B ．C ．D ．与M 点的位置有关【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】如图所示，连接BC 1，取=，可得PN ∥D 1C 1，=1，由于D 1C 1⊥平面BCC 1B 1，可得PN ⊥平面BCC 1B 1，利用三棱锥M ﹣PBC 的体积=V 三棱锥P ﹣BCM =即可得出．【解答】解：如图所示，连接BC 1，取=，则PN ∥D 1C 1，，PN=1，∵D 1C 1⊥平面BCC 1B 1， ∴PN ⊥平面BCC 1B 1，即PN 是三棱锥P ﹣BCM 的高． ∴V 三棱锥M ﹣PBC =V 三棱锥P ﹣BCM ===．故选：B ．9．已知抛物线y 2=6x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF|=2，则直线AF 的倾斜角为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】抛物线的简单性质． 【分析】可先画出图形，得出F （），由抛物线的定义可以得出|PA|=2，从而可以得出P 点的横坐标，带入抛物线方程便可求出P 点的纵坐标，这样即可得出A 点的坐标，从而求出直线AF 的斜率，根据斜率便可得出直线AF 的倾斜角． 【解答】解：如图，由抛物线方程得；|PF|=|PA|=2；∴P 点的横坐标为； ∴，P 在第一象限；∴P 点的纵坐标为；∴A 点的坐标为；∴AF 的斜率为；∴AF 的倾斜角为． 故选：D ．10．已知点F 1、F 2分别是双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，若|AB|：|BF 2|：|AF 2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．4C ．D ．【考点】双曲线的简单性质． 【分析】根据双曲线的定义可求得a=1，∠ABF 2=90°，再利用勾股定理可求得2c=|F 1F 2|，从而可求得双曲线的离心率．【解答】解：∵|AB|：|BF 2|：|AF 2|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF 2|=4，|AF 2|=5，∵|AB|2+|BF 2|2=|AF 2|2，∴∠ABF 2=90°，又由双曲线的定义得：|BF 1|﹣|BF 2|=2a ，|AF 2|﹣|AF 1|=2a ，∴|AF 1|+3﹣4=5﹣|AF 1|，∴|AF 1|=3．∴|BF 1|﹣|BF 2|=3+3﹣4=2a ，∴a=1．在Rt △BF 1F 2中，|F 1F 2|2=|BF 1|2+|BF 2|2=62+42=52，又|F 1F 2|2=4c 2，∴4c 2=52，∴c=，∴双曲线的离心率e==． 故选：C ．11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（ ）A ．4+B ．6C ．4+D ．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体侧面展开图，将问题转化为平面上的最短问题解决．【解答】解：由三视图可知几何体为圆锥的一部分，圆锥的底面半径为2，几何体底面圆心角为120°，∴几何体底面弧长为=．圆锥高为2．∴圆锥的母线长为．作出几何体的侧面展开图如图所示：其中，AB=AB′=2，AB⊥BC，AB′⊥B′D，B′D=BC=2，AC=AD=4，．∴∠BAC=∠B′AD=30°，∠CAD=．∴∠BAB′=120°．∴BB′==6．故选D．12．设函数y=f（x）对任意的x∈R满足f（4+x）=f（﹣x），当x∈（﹣∞，2]时，有f（x）=2﹣x﹣5．若函数f（x）在区间（k，k+1）（k∈Z）上有零点，则k的值为（）A．﹣3或7 B．﹣4或7 C．﹣4或6 D．﹣3或6【考点】二分法求方程的近似解．【分析】由已知可得函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，画出函数的图象，进而可得满足条件的k值．【解答】解：∵函数y=f（x）对任意的x∈R满足f（4+x）=f（﹣x），∴函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，又∵当x∈（﹣∞，2]时，有f（x）=2﹣x﹣5．故函数y=f（x）的图象如下图所示：由图可知，函数f （x ）在区间（﹣3，﹣2），（6，7）各有一个零点，故k=﹣3或k=6，故选：D二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知数列{a n }满足a 1=1，a n ﹣a n ﹣1=n （n ≥2），则数列{a n }的通项公式a n = n （n+1） ． 【考点】数列递推式．【分析】由已知得a n ﹣a n ﹣1=n （n ≥2），由此利用累加法能求出该数列的通项公式．【解答】解：∵数列{a n }满足：a 1=1，a n ﹣a n ﹣1=n （n ≥2），（n ≥2），∴a n =a 1+a 2﹣a 1+a 3﹣a 2+…+a n ﹣a n ﹣1=1+2+3+4+…+n=n （n+1），故答案为：．14．若直线2ax+by ﹣1=0（a ＞0，b ＞0）经过曲线y=cosπx +1（0＜x ＜1）的对称中心，则+的最小值为 3+2 ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】求出函数的对称中心坐标，推出ab 关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最值．【解答】解：曲线y=cosπx +1（0＜x ＜1）的对称中心（，1）．直线2ax+by ﹣1=0（a ＞0，b ＞0）经过曲线y=cosπx +1（0＜x ＜1）的对称中心，可得a+b=1．+=（+）（a+b ）=3+≥3+2=3+2， 当且仅当b=，a+b=1，即b=2，a=时，表达式取得最小值．故答案为：3+2．15．已知△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E ﹣ABCD 的外接球的表面积为 16π ．【考点】球的体积和表面积．【分析】设球心到平面ABCD 的距离为d ，利用△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°，可得E 到平面ABCD 的距离为，从而R 2=（）2+d 2=12+（﹣d ）2，求出R 2=4，即可求出多面体E ﹣ABCD 的外接球的表面积．【解答】解：设球心到平面ABCD 的距离为d ，则∵△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°， ∴E 到平面ABCD 的距离为， ∴R 2=（）2+d 2=12+（﹣d ）2，∴d=，R 2=4， ∴多面体E ﹣ABCD 的外接球的表面积为4πR 2=16π．故答案为：16π．16．已知函数f （x ）=，g （x ）=acos +5﹣2a （a ＞0）若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是 [，5] ．【考点】分段函数的应用．【分析】由存在性，得到只需两个函数的值域相交不为空集即可，所以转换为求函数值域问题．【解答】解：∵函数f （x ）=，∴f （x ）∈[0，]；∵g （x ）=acos +5﹣2a （a ＞0），当x 2∈[0，1]时，∴acos ∈[0，a]∴g （x ）∈[5﹣2a ，5﹣a]∵存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，∴[5﹣2a ，5﹣a]∩[0，]≠∅，∴只需排除[5﹣2a ，5﹣a]∩[0，]=∅的情况，即5﹣2a ＞，或5﹣a ＜0，得a ＜或a ＞5∴a 的取值范围是[，5]．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．（Ⅰ）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，求甲停车付费恰为6元的概率；（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；互斥事件与对立事件．【分析】（Ⅰ）根据题意，由全部基本事件的概率之和为1求解即可．（Ⅱ）先列出甲、乙二人停车付费之和为36元的所有情况，再利用古典概型及其概率计算公式求概率即可．【解答】解：（Ⅰ）设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A ， 则．所以甲临时停车付费恰为6元的概率是．（Ⅱ）设甲停车付费a 元，乙停车付费b 元，其中a ，b=6，14，22，30．则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：（6，6），（6，14），（6，22），（6，30），（14，6），（14，14），（14，22），（14，30），（22，6），（22，14），（22，22），（22，30），（30，6），（30，14），（30，22），（30，30），共16种情形．其中，（6，30），（14，22），（22，14），（30，6）这4种情形符合题意．故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知= （1）求角C 的大小，（2）若c=2，求使△ABC 面积最大时a ，b 的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA 不为0求出cosC 的值，即可确定出C 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c 与cosC 的值代入并利用基本不等式求出ab 的最大值，进而确定出三角形ABC 面积的最大值，以及此时a 与b 的值即可．【解答】解：（1）∵A+C=π﹣B ，即cos （A+C ）=﹣cosB ， ∴由正弦定理化简已知等式得： =，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB ，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin （B+C ）=sinA ，∵sinA ≠0，∴cosC=﹣，∵C 为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，即4=a 2+b 2+ab ≥2ab+ab=3ab ，∴ab ≤，（当且仅当a=b 时成立），∵S=absinC=ab ≤，∴当a=b 时，△ABC 面积最大为，此时a=b=， 则当a=b=时，△ABC 的面积最大为． 19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且．（Ⅰ）求证：EF ∥平面BDC 1；（Ⅱ）在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（I ）取AB 的中点M ，根据，得到F 为AM 的中点，又E 为AA 1的中点，根据三角形中位线定理得EF ∥A 1M ，从而在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1DBM 为平行四边形，进一步得出EF ∥BD ．最后根据线面平行的判定即可证出EF ∥平面BC 1D ．（II ）对于存在性问题，可先假设存在，即假设在棱AC 上存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，再利用棱柱、棱锥的体积公式，求出AG 与AC 的比值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．【解答】证明：（I ）取AB 的中点M ，∵，∴F 为AM 的中点，又∵E 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1M在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，M 分别为A 1B 1，AB 的中点，∴A 1D ∥BM ，A 1D=BM ，∴A 1DBM 为平行四边形，∴AM ∥BD∴EF ∥BD ．∵BD ⊂平面BC 1D ，EF ⊄平面BC 1D ，∴EF ∥平面BC 1D ．（II ）设AC 上存在一点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为1：15， 则， ∵= =∴，∴，∴AG=． 所以符合要求的点G 不存在．20．已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）．（1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 与椭圆M 相交于A 、B 两点，以线段OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中点P 在椭圆M 上，O 为坐标原点，求点O 到直线l 的距离的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，可得，解得即可得出．（2）当直线l 的向量存在时，设直线l 的方程为：y=kx+m ，与椭圆方程联立化为（1+2k 2）x 2+4kmx+2m 2﹣4=0，由△＞0，化为2+4k 2﹣m 2＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0）．可得x 0=x 1+x 2，y 0=y 1+y 2．代入椭圆方程．利用点到直线的距离公式可得：点O 到直线l 的距离d==即可得出．当直线l 无斜率时时，由对称性可知：点O 到直线l 的距离为1．即可得出．【解答】解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，∴，解得a=2，b 2=2，∴椭圆M 的方程为．（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y=kx+m ， 联立，化为（1+2k 2）x 2+4kmx+2m 2﹣4=0，△=16k 2m 2﹣4（1+2k 2）（2m 2﹣4）＞0，化为2+4k 2﹣m 2＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0）．∴x 0=x 1+x 2=，y 0=y 1+y 2=k （x 1+x 2）+2m=．∵点P 在椭圆M 上，∴， ∴+=1，化为2m 2=1+2k 2，满足△＞0．又点O 到直线l 的距离d====．当且仅当k=0时取等号．当直线l 无斜率时时，由对称性可知：点P 一定在x 轴上，从而点P 的坐标为（±2，0），直线l 的方程为x=±1，∴点O 到直线l 的距离为1．∴点O 到直线l 的距离的最小值为．21．已知函数f （x ）=e 2x ﹣1﹣2x ﹣kx 2．（1）当k=0时，求f （x ）的单调区间；（2）若x ≥0时，f （x ）≥0恒成立，求k 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当k=0时，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可求f （x ）的单调区间；（2）若x ≥0时，f （x ）≥0恒成立，求函数导数，讨论k 的范围，结合函数的单调性研究最值即可求k 的取值范围．【解答】解：（1）当k=0时，f（x）=e2x﹣1﹣2x，f'（x）=2e2x﹣2，…令f'（x）＞0，则2e2x﹣2＞0，解得：x＞0，令f'（x）＜0，则2e2x﹣2＜0，解得：x＜0，…所以，函数f（x）=e2x﹣1﹣2x的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）．…．（2）由函数f（x）=e2x﹣1﹣2x﹣kx2，则f'（x）=2e2x﹣2kx﹣2=2（e2x﹣kx﹣1），令g（x）=e2x﹣kx﹣1，则g'（x）=2e2x﹣k．…由x≥0，所以，①当k≤2时，g'（x）≥0，g（x）为增函数，而g（0）=0，所以g（x）≥0，即f'（x）≥0，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数，而f（0）=0，所以f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．…②当k＞2时，令g'（x）＜0，即2e2x﹣k＜0，则．即g（x）在上为减函数，而g（0）=0，所以，g（x）在上小于0．即f'（x）＜0，所以f（x）在上为减函数，而f（0）=0，故此时f（x）＜0，不合题意．综上，k≤2．…[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是圆O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交圆O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（Ⅰ）求证：DE是圆O的切线；（Ⅱ）若=，求的值．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（Ⅰ）根据OA=OD，得到∠ODA=∠OAD，结合AD是∠BAC的平分线，得到∠OAD=∠DAC=∠ODA，可得OD∥AE．再根据DE⊥AE，得到DE⊥OD，结合圆的切线的判定定理，得到DE是⊙O的切线．（Ⅱ）连接OD，BC，设AC=2k，AB=5k，可证OD垂直平分BC，利用勾股定理可得到OG，得到DG，于是AE=k，然后通过OD∥AE，利用相似比即可求出的值．【解答】（Ⅰ）证明：连接OD，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD∵∠BAC的平分线是AD∴∠OAD=∠DAC∴∠DAC=∠ODA，可得OD∥AE…又∵DE⊥AE，∴DE⊥OD∵OD是⊙O的半径∴DE是⊙O的切线；…5分（Ⅱ）解：连接OD，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，又OD∥AE，∴∠OGB=∠ACB=90°，∴OD⊥BC，∴G为BC的中点，即BG=CG，又∵=，∴设AC=2k，AB=5k，根据中位线定理得OG=k，∴DG=OD﹣OG=k，又四边形CEDG为矩形，∴CE=DG=k，∴AE=AC+CE=k，而OD∥AE，∴可得…10分[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数，t∈R），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（Ⅰ）求直线l与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上求一点D，使它到直线l的距离最短．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ2=2ρsinθ．把ρ2=x2+y2，代入可得C的直角坐标方程．由直线l的参数方程为（t为参数，t∈R），消去t得直线l的普通方程．（Ⅱ）由曲线C：x2+（y﹣1）2=1是以G（0，1）为圆心，1为半径的圆，点D在曲线C上，可设点D（cosφ，1+sinφ）（φ∈[0，2π）），利用点到直线的距离公式即可得出点D到直线l 的距离d及其最小值．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ2=2ρsinθ．∴曲线C的普通方程为x2+y2﹣2y=0，配方为x2+（y﹣1）2=1，∵直线l的参数方程为（t为参数，t∈R），消去t得直线l的普通方程为x+y﹣5=0．（Ⅱ）∵曲线C：x2+（y﹣1）2=1是以G（0，1）为圆心，1为半径的圆，∵点D在曲线C上，∴可设点D（cosφ，1+sinφ）（φ∈[0，2π）），∴点D到直线l的距离为d==2﹣sin（φ+），∵φ∈[0，2π），当φ=时，d=1，min此时D点的坐标为．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|．（Ⅰ）若不等式f（x）﹣f（x+5）≥|m﹣1|有解，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜3，且a≠0，证明：＞f（）．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的意义得到|m﹣1|≤5，求出m的范围即可；（Ⅱ）问题转化为证明（ab﹣3）2＞（b﹣3a）2，通过作差证明即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）﹣f（x+5）=|x﹣3|﹣|x+2|≤|（x﹣3）﹣（x+2）|=5，当且仅当x≤﹣2时等号成立，所以|m﹣1|≤5，解得﹣4≤m≤6；…（Ⅱ）证明：要证，即证，只需证|ab﹣3|＞|b﹣3a|，即证（ab﹣3）2＞（b﹣3a）2，又（ab﹣3）2﹣（b﹣3a）2=a2b2﹣9a2﹣b2+9=（a2﹣1）（b2﹣9），|a|＜1，|b|＜3，所以（a2﹣1）（b2﹣9）＞0，所以（ab﹣3）2＞（b﹣3a）2，故原不等式成立…2016年9月4日如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
2016年广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(解析版)
2016年广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：（每小题 分，共 分）．．复数（ ） （其中 为虚数单位）的虚部为（ ） ．．﹣ ． ．﹣．已知集合，则满足 的集合 可以是（ ）． ，． ﹣ ≤ ≤ ． ＜ ＜ ． ＞．各项为正的等比数列 中， 与 的等比中项为 ，则（ ）．．． ．．已知平面向量，，，则 的值为（ ）．．﹣ ． ．．不等式组，表示的平面区域内的点都在圆 （ ﹣）（ ＞）内，则 的最小值是（ ）．．． ．．如图所示为函数 （ ） （ ）（ ＞ ，≤ ≤ ）的部分图象，其中 ， 两点之间的距离为 ，那么． ．﹣ ．﹣ ．．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）． ． ． ．．在棱长为 的正方体 ﹣ 中， 在线段 上，且， 为线段上的动点，则三棱锥 ﹣ 的体积为（ ）． ．．．与 点的位置有关．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 为抛物线上一点，且在第一象限， ⊥ ，垂足为 ， ，则直线 的倾斜角为（ ）．．．．．已知点 、 分别是双曲线 ：﹣ （ ＞ ， ＞ ）的左右焦点，过 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 、 两点，若 ： ： ： ： ，则双曲线的离心率为（ ）．．．．．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）． ． ． ．．设函数 （ ）对任意的 ∈ 满足 （ ） （﹣ ），当 ∈（﹣， 时，有 （ ） ﹣ ﹣ ．若函数 （ ）在区间（ ， ）（ ∈ ）上有零点，则 的值为（） ．﹣ 或 ．﹣ 或 ．﹣ 或 ．﹣ 或二、填空题（每小题 分，共 分）．已知数列满足，﹣﹣（ ≥ ），则数列的通项公式 ．．若直线 ﹣ （ ＞ ， ＞ ）经过曲线 （ ＜ ＜ ）的对称中心，则 的最小值为．．已知△ 所在的平面与矩形 所在的平面互相垂直， ， ，∠ ，则多面体 ﹣ 的外接球的表面积为．．已知函数 （ ） ， （ ） ﹣ （＞ ）若存在 ， ∈ ， ，使得 （ ） （ ）成立，则实数 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共 小题，满分 分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过 小时收费 元，超过 小时的部分每小时收费 元（不足 小时的部分按 小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过 小时．（ ）若甲停车 小时以上且不超过 小时的概率为，停车付费多于 元的概率为，求甲停车付费恰为 元的概率；（ ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为 元的概率．．在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知（ ）求角 的大小，（ ）若 ，求使△ 面积最大时 ， 的值．．如图，三棱柱 ﹣ 中， ⊥平面 ， 、 分别为 、 的中点，点 在棱 上，且．（ ）求证： ∥平面 ；（ ）在棱 上是否存在一个点 ，使得平面 将三棱柱分割成的两部分体积之比为 ： ，若存在，指出点 的位置；若不存在，说明理由．．已知椭圆 的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（， ）．（ ）求椭圆 的方程；（ ）设直线 与椭圆 相交于 、 两点，以线段 、 为邻边作平行四边形 ，其中点 在椭圆 上， 为坐标原点，求点 到直线 的距离的最小值．．已知函数 （ ） ﹣ ﹣ ﹣ ．（ ）当 时，求 （ ）的单调区间；（ ）若 ≥ 时， （ ）≥ 恒成立，求 的取值范围．选修 ：几何证明选讲．如图， 是圆 的直径， 是弦，∠ 的平分线 交圆 于点 ， ⊥ ，交 的延长线于点 ， 交 于点 ．（ ）求证： 是圆 的切线；（ ）若 ，求的值．选修 ：坐标系与参数方程．已知直线 的参数方程为（ 为参数， ∈ ），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ， ∈ ， ）．（ ）求直线 与曲线 的直角坐标方程；（ ）在曲线 上求一点 ，使它到直线 的距离最短．选修 ：不等式选讲．已知函数 （ ） ﹣ ．（ ）若不等式 （ ）﹣ （ ）≥ ﹣ 有解，求实数 的取值范围；（ ）若 ＜ ， ＜ ，且 ≠ ，证明：＞ （）．年广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考高考数学模拟试卷（文科）（ 月份）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题 分，共 分）．．复数（ ） （其中 为虚数单位）的虚部为（ ） ．．﹣ ． ．﹣【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数（ ） ，则答案可求． 【解答】解：复数（ ） ﹣ ，则复数（ ）的虚部为： ．故选： ．．已知集合，则满足 的集合 可以是（ ）． ，． ﹣ ≤ ≤ ． ＜ ＜ ． ＞【考点】交集及其运算．【分析】求出 中 的范围确定出 ，根据 ，找出满足题意的集合 即可． 【解答】解：∵ ≥ ，∴ ＜ （） ≤（） ， ∴ ＜ ≤ ．则满足 的集合 可以 ＜ ＜ ． 故选： ．．各项为正的等比数列 中， 与 的等比中项为 ，则（ ）．．． ．【考点】等比数列的性质．【分析】利用 （ ） ，各项为正，可得 ，然后利用对数的运算性质，即可得出结论．【解答】解：∵各项为正的等比数列 中， 与 的等比中项为 ，∴ （ ） ，∵ （ ） ，∴ ，∴ （ ） ，故答案为： ．．已知平面向量，，，则 的值为（） ． ．﹣ ． ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出的坐标，代入模长公式列出方程解出 ．【解答】解： （ ， ﹣ ），∵ ，∴ （ ﹣ ） ，解得 ．故选： ．．不等式组，表示的平面区域内的点都在圆 （ ﹣） （ ＞ ）内，则 的最小值是（）． ． ． ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合判断点与圆的位置关系进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆 （ ﹣） （ ＞ ）对应的圆心坐标为（ ，），由图象知只需要点 （ ， ）或 （﹣ ， ）在圆内即可，即 ≥ ，在 的最小值为，故选： ．．如图所示为函数 （ ） （ ）（ ＞ ，≤ ≤ ）的部分图象，其中 ， 两点之间的距离为 ，那么． ．﹣ ．﹣ ．【考点】由 （ ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】由图象得到振幅 ，由 、 两点的距离结合勾股定理求出 和 的横坐标的差，即半周期，然后求出 ，再由 （ ） 求 的值，则解析式可求，从而求得 （ ）．由 （ ） ，得 ，∴ ．又≤ ≤ ，∴ ．则 （ ） （ ）．∴ × ．故选： ．．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）． ． ． ．【考点】程序框图．【分析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．【解答】解：第一次循环： ， ；第二次循环： ， ；第三次循环： ， ；第 次循环：， ；令＜﹣ ，解得 ＞ ．∴输出的结果是 ． 故选： ．．在棱长为 的正方体 ﹣ 中， 在线段 上，且， 为线段上的动点，则三棱锥 ﹣ 的体积为（ ）． ．．．与 点的位置有关【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】如图所示，连接 ，取，可得 ∥ ，，由于 ⊥平面 ，可得 ⊥平面 ，利用三棱锥 ﹣ 的体积 三棱锥 ﹣即可得出．【解答】解：如图所示，连接 ，取 ，则 ∥ ，， ，∵ ⊥平面 ， ∴ ⊥平面 ， 即 是三棱锥 ﹣ 的高． ∴ 三棱锥 ﹣ 三棱锥 ﹣．故选： ．．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 为抛物线上一点，且在第一象限， ⊥ ，垂足为 ， ，则直线 的倾斜角为（）． ． ． ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】可先画出图形，得出 （），由抛物线的定义可以得出 ，从而可以得出 点的横坐标，带入抛物线方程便可求出 点的纵坐标，这样即可得出 点的坐标，从而求出直线 的斜率，根据斜率便可得出直线 的倾斜角．【解答】解：如图，由抛物线方程得；；∴ 点的横坐标为；∴， 在第一象限；∴ 点的纵坐标为；∴ 点的坐标为；∴ 的斜率为；∴ 的倾斜角为．故选： ．．已知点 、 分别是双曲线 ：﹣ （ ＞ ， ＞ ）的左右焦点，过 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 、 两点，若 ： ： ： ： ，则双曲线的离心率为（ ）．．．．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义可求得 ，∠ ，再利用勾股定理可求得 ，从而可求得双曲线的离心率．【解答】解：∵ ： ： ： ： ， 不妨令 ， ， ， ∵ ，∴∠ ，又由双曲线的定义得： ﹣ ， ﹣ ， ∴ ﹣ ﹣ ，∴ ． ∴ ﹣ ﹣ ，∴ ．在 △ 中， ， 又 ，∴ ， ∴，∴双曲线的离心率 ．故选： ．．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）． ． ． ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体侧面展开图，将问题转化为平面上的最短问题解决．【解答】解：由三视图可知几何体为圆锥的一部分，圆锥的底面半径为 ，几何体底面圆心角为 ，∴几何体底面弧长为 ．圆锥高为 ．∴圆锥的母线长为．作出几何体的侧面展开图如图所示：其中， ， ⊥ ， ⊥ ， ，，．∴∠ ∠ ，∠ ．∴∠ ．∴ ．故选 ．．设函数 （ ）对任意的 ∈ 满足 （ ） （﹣ ），当 ∈（﹣， 时，有 （ ） ﹣ ﹣ ．若函数 （ ）在区间（ ， ）（ ∈ ）上有零点，则 的值为（） ．﹣ 或 ．﹣ 或 ．﹣ 或 ．﹣ 或【考点】二分法求方程的近似解．【分析】由已知可得函数 （ ）的图象关于直线 对称，画出函数的图象，进而可得满足条件的 值．【解答】解：∵函数 （ ）对任意的 ∈ 满足 （ ） （﹣ ），∴函数 （ ）的图象关于直线 对称，又∵当 ∈（﹣， 时，有 （ ） ﹣ ﹣ ．故函数 （ ）的图象如下图所示：由图可知，函数 （ ）在区间（﹣ ，﹣ ），（ ， ）各有一个零点，故 ﹣ 或 ，故选：二、填空题（每小题 分，共 分）．已知数列满足，﹣﹣（ ≥ ），则数列的通项公式 （ ）．【考点】数列递推式．【分析】由已知得 ﹣﹣（ ≥ ），由此利用累加法能求出该数列的通项公式．【解答】解：∵数列 满足： ， ﹣ ﹣ （ ≥ ），（ ≥ ），∴ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣（ ），故答案为：．．若直线 ﹣ （ ＞ ， ＞ ）经过曲线 （ ＜ ＜ ）的对称中心，则 的最小值为 ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】求出函数的对称中心坐标，推出 关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最值．【解答】解：曲线 （ ＜ ＜ ）的对称中心（， ）．直线 ﹣ （ ＞ ， ＞ ）经过曲线 （ ＜ ＜ ）的对称中心，可得 ．（ ）（ ） ≥ ，当且仅当 ， ，即 ， 时，表达式取得最小值．故答案为： ．．已知△ 所在的平面与矩形 所在的平面互相垂直， ， ，∠ ，则多面体 ﹣ 的外接球的表面积为 ．【考点】球的体积和表面积．【分析】设球心到平面 的距离为 ，利用△ 所在的平面与矩形 所在的平面互相垂直， ，∠ ，可得 到平面 的距离为，从而 （） （﹣ ） ，求出 ，即可求出多面体 ﹣ 的外接球的表面积．【解答】解：设球心到平面 的距离为 ，则∵△ 所在的平面与矩形 所在的平面互相垂直， ，∠ ，∴ 到平面 的距离为，∴ （） （﹣ ） ，∴ ， ，∴多面体 ﹣ 的外接球的表面积为 ．故答案为： ．．已知函数 （ ） ， （ ） ﹣ （ ＞ ）若存在 ， ∈ ， ，使得 （ ） （ ）成立，则实数 的取值范围是， ．【考点】分段函数的应用．【分析】由存在性，得到只需两个函数的值域相交不为空集即可，所以转换为求函数值域问题．【解答】解：∵函数 （ ） ，∴ （ ）∈ ， ；∵ （ ） ﹣ （ ＞ ），当 ∈ ， 时，∴ ∈ ，∴ （ ）∈ ﹣ ， ﹣∵存在 ， ∈ ， ，使得 （ ） （ ）成立，∴ ﹣ ， ﹣ ， ≠∅，∴只需排除 ﹣ ， ﹣ ， ∅的情况，即 ﹣ ＞，或 ﹣ ＜ ，得 ＜或 ＞∴ 的取值范围是 ， ．三、解答题：本大题共 小题，满分 分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过 小时收费 元，超过 小时的部分每小时收费 元（不足 小时的部分按 小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过 小时．（ ）若甲停车 小时以上且不超过 小时的概率为，停车付费多于 元的概率为，求甲停车付费恰为 元的概率；（ ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为元的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；互斥事件与对立事件．【分析】（ ）根据题意，由全部基本事件的概率之和为 求解即可．（ ）先列出甲、乙二人停车付费之和为 元的所有情况，再利用古典概型及其概率计算公式求概率即可．【解答】解：（ ）设 甲临时停车付费恰为 元 为事件 ，则．所以甲临时停车付费恰为 元的概率是．（ ）设甲停车付费 元，乙停车付费 元，其中 ， ， ， ， ．则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），共 种情形．其中，（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ）这 种情形符合题意．故 甲、乙二人停车付费之和为 元 的概率为．．在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知（ ）求角 的大小，（ ）若 ，求使△ 面积最大时 ， 的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（ ）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据 不为 求出 的值，即可确定出 的度数；（ ）利用余弦定理列出关系式，将 与 的值代入并利用基本不等式求出 的最大值，进而确定出三角形 面积的最大值，以及此时 与 的值即可．【解答】解：（ ）∵ ﹣ ，即 （ ） ﹣ ，∴由正弦定理化简已知等式得： ，整理得： ﹣ ，即﹣（ ） ，∵ ≠ ，∴ ﹣，∵ 为三角形内角，∴ ；（ ）∵ ， ﹣，∴由余弦定理得： ﹣ ，即 ≥，∴ ≤，（当且仅当 时成立），∵ ≤，∴当 时，△ 面积最大为，此时 ，则当 时，△ 的面积最大为．．如图，三棱柱 ﹣ 中， ⊥平面 ， 、 分别为 、 的中点，点 在棱 上，且．（ ）求证： ∥平面 ；（ ）在棱 上是否存在一个点 ，使得平面 将三棱柱分割成的两部分体积之比为 ： ，若存在，指出点 的位置；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】（ ）取 的中点 ，根据，得到 为 的中点，又 为 的中点，根据三角形中位线定理得 ∥ ，从而在三棱柱 ﹣ 中， 为平行四边形，进一步得出 ∥ ．最后根据线面平行的判定即可证出 ∥平面 ．（ ）对于存在性问题，可先假设存在，即假设在棱 上存在一个点 ，使得平面 将三棱柱分割成的两部分体积之比为 ： ，再利用棱柱、棱锥的体积公式，求出 与 的比值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．【解答】证明：（ ）取 的中点 ，∵，∴ 为 的中点，又∵ 为 的中点，∴ ∥在三棱柱 ﹣ 中， ， 分别为 ， 的中点， ∴ ∥ ， ，∴ 为平行四边形，∴ ∥ ∴ ∥ ．∵ ⊂平面 ， ⊄平面 ，∴ ∥平面 ．（ ）设 上存在一点 ，使得平面 将三棱柱分割成两部分的体积之比为 ： ，则，∵∴，∴，∴ ．所以符合要求的点 不存在．．已知椭圆 的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（， ）．（ ）求椭圆 的方程；（ ）设直线 与椭圆 相交于 、 两点，以线段 、 为邻边作平行四边形 ，其中点 在椭圆 上， 为坐标原点，求点 到直线 的距离的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（ ）由题意可设椭圆的标准方程为：，可得，解得即可得出．（ ）当直线 的向量存在时，设直线 的方程为： ，与椭圆方程联立化为（ ） ﹣ ，由△＞ ，化为 ﹣ ＞ ，设 （ ，），（， ）， （ ， ）．可得 ， ．代入椭圆方程．利用点到直线的距离公式可得：点 到直线 的距离 即可得出．当直线 无斜率时时，由对称性可知：点 到直线 的距离为 ．即可得出．【解答】解：（ ）由题意可设椭圆的标准方程为：，∴，解得 ， ，∴椭圆 的方程为．（ ）当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为： ，联立，化为（ ） ﹣ ，△ ﹣ （ ）（ ﹣ ）＞ ，化为 ﹣ ＞ ，设 （ ， ）， （ ， ）， （ ， ）．∴ ， （ ） ．∵点 在椭圆 上，∴，∴ ，化为 ，满足△＞ ．又点 到直线 的距离 ．当且仅当 时取等号．当直线 无斜率时时，由对称性可知：点 一定在 轴上，从而点 的坐标为（± ， ），直线 的方程为 ± ，∴点 到直线 的距离为 ．∴点 到直线 的距离的最小值为．．已知函数 （ ） ﹣ ﹣ ﹣ ．（ ）当 时，求 （ ）的单调区间；（ ）若 ≥ 时， （ ）≥ 恒成立，求 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（ ）当 时，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可求 （ ）的单调区间；（ ）若 ≥ 时， （ ）≥ 恒成立，求函数导数，讨论 的范围，结合函数的单调性研究最值即可求 的取值范围．【解答】解：（ ）当 时， （ ） ﹣ ﹣ ， （ ） ﹣ ， 令 （ ）＞ ，则 ﹣ ＞ ，解得： ＞ ，令 （ ）＜ ，则 ﹣ ＜ ，解得： ＜ ，所以，函数 （ ） ﹣ ﹣ 的单调增区间为（ ， ），单调减区间为（﹣， ）． ．（ ）由函数 （ ） ﹣ ﹣ ﹣ ，则 （ ） ﹣ ﹣ （ ﹣ ﹣ ），令 （ ） ﹣ ﹣ ，则 （ ） ﹣ ．由 ≥ ，所以，当 ≤ 时， （ ）≥ ， （ ）为增函数，而 （ ） ，所以 （ ）≥ ，即 （ ）≥ ，所以 （ ）在 ， ）上为增函数，而 （ ） ，所以 （ ）≥ 在 ， ）上恒成立．当 ＞ 时，令 （ ）＜ ，即 ﹣ ＜ ，则．即 （ ）在上为减函数，而 （ ） ，所以， （ ）在上小于 ．即 （ ）＜ ，所以 （ ）在上为减函数，而 （ ） ，故此时 （ ）＜ ，不合题意．综上， ≤ ．选修 ：几何证明选讲．如图， 是圆 的直径， 是弦，∠ 的平分线 交圆 于点 ， ⊥ ，交 的延长线于点 ， 交 于点 ．（ ）求证： 是圆 的切线；（ ）若 ，求的值．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（ ）根据 ，得到∠ ∠ ，结合 是∠ 的平分线，得到∠ ∠ ∠ ，可得 ∥ ．再根据 ⊥ ，得到 ⊥ ，结合圆的切线的判定定理，得到 是⊙ 的切线．（ ）连接 ， ，设 ， ，可证 垂直平分 ，利用勾股定理可得到 ，得到 ，于是 ，然后通过 ∥ ，利用相似比即可求出的值．【解答】（ ）证明：连接 ，∵ ，∴∠ ∠∵∠ 的平分线是∴∠ ∠∴∠ ∠ ，可得 ∥又∵ ⊥ ，∴ ⊥∵ 是⊙ 的半径∴ 是⊙ 的切线； 分（ ）解：连接 ，如图，∵ 为直径，∴∠ ，又 ∥ ，∴∠ ∠ ，∴ ⊥ ，∴ 为 的中点，即 ，又∵ ，∴设 ， ，根据中位线定理得 ，∴ ﹣ ，又四边形 为矩形，∴ ，∴ ，而 ∥ ，∴可得 分选修 ：坐标系与参数方程．已知直线 的参数方程为（ 为参数， ∈ ），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ， ∈ ， ）．（ ）求直线 与曲线 的直角坐标方程；（ ）在曲线 上求一点 ，使它到直线 的距离最短．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（ ）由曲线 的极坐标方程为 ， ∈ ， ），即 ．把 ，代入可得 的直角坐标方程．由直线 的参数方程为（ 为参数， ∈ ），消去 得直线 的普通方程．（ ）由曲线 ： （ ﹣ ） 是以 （ ， ）为圆心， 为半径的圆，点 在曲线 上，可设点 （ ， ）（ ∈ ， ）），利用点到直线的距离公式即可得出点 到直线 的距离 及其最小值．【解答】解：（ ）由曲线 的极坐标方程为 ， ∈ ， ），即 ．∴曲线 的普通方程为 ﹣ ，配方为 （ ﹣ ） ，∵直线 的参数方程为（ 为参数， ∈ ），消去 得直线 的普通方程为 ﹣ ．（ ）∵曲线 ： （ ﹣ ） 是以 （ ， ）为圆心， 为半径的圆，∵点 在曲线 上，∴可设点 （ ， ）（ ∈ ， ）），∴点 到直线 的距离为 ﹣ （ ），∵ ∈ ， ），当 时， ，此时 点的坐标为．选修 ：不等式选讲．已知函数 （ ） ﹣ ．（ ）若不等式 （ ）﹣ （ ）≥ ﹣ 有解，求实数 的取值范围；（ ）若 ＜ ， ＜ ，且 ≠ ，证明：＞ （）．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（ ）根据绝对值不等式的意义得到 ﹣ ≤ ，求出 的范围即可；（ ）问题转化为证明（ ﹣ ） ＞（ ﹣ ） ，通过作差证明即可．【解答】解：（ ）因为 （ ）﹣ （ ） ﹣ ﹣ ≤ （ ﹣ ）﹣（ ） ，当且仅当 ≤﹣ 时等号成立，所以 ﹣ ≤ ，解得﹣ ≤ ≤ ；（ ）证明：要证，即证，只需证 ﹣ ＞ ﹣ ，即证（ ﹣ ） ＞（ ﹣ ） ，又（ ﹣ ） ﹣（ ﹣ ） ﹣ ﹣ （ ﹣ ）（ ﹣ ）， ＜ ， ＜ ，所以（ ﹣ ）（ ﹣ ）＞ ，所以（ ﹣ ） ＞（ ﹣ ） ，故原不等式成立年 月 日。
高三数学月考试题及答案-揭阳市第一中学、潮州金山中学2016届高三下学期第一次联考(理)
2015—2016学年度高三正月两校联考数学（理）试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.设集合2{|1,},{|}M y y x x R N x y x R ==-∈=∈，则MN 等于( )A.[B.[1-C.∅D.(- 2．已知i 是虚数单位，则20151i i =+( )A ．12i - B ．12i+ C ．12i -- D ．12i -+ 3．设函数()mf x x ax =+的导函数()21f x x '=+，则数列1()()n N f n *⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭的前n 项和是（ ）A ．1n n + B ．21n n ++ C ．-1n n D ．+1n n 4．已知平面向量(2,1),(1,1),(5,1),a b c =-==-若()//,a kb c +则实数k 的值为 （ ） A ．2 B ．12 C ． 114 D ．114- 5．若42log (34)log a b +=a b +的最小值是（ ）A．6+ B．7+ C ．6+ D．7+6. 下列叙述中正确的是（ ）A ．若,,a b c R ∈，则“20ax bx c ++≥”的充分条件是“240b ac -≤”B ．若,,a b c R ∈，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C ．命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x ≥”D ．l 是一条直线，,αβ是两个平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ7．△ABC 中，已知cosA=，sinB=，则cosC 的值为（ ） A. B. C. 或 D.8．设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线斜率为，那么（ ）1355365166556651665566516-28y x =F l P PA l ⊥AAF PF =A．B．8 C．D．169．利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P—ABCD，其中底面四边形ABCD是边长为1的正方形，PA=1，且PA⊥平面ABCD，则球体毛坯体积的最小值应为（）A B．43πC．D10．若定义在R上的减函数()y f x=，对任意的,a b R∈，不等式成立，则当14a≤≤时，的取值范围是( )A． B. C. D.11.甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（）A．甲得9张，乙得3张 B．甲得6张，乙得6张C．甲得8张，乙得4张D．甲得10张，乙得2张12. 已知13,(1,0]()1,(0,1]xf x xx x⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩，且()()g x f x mx m=--在（-1, 1］内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．91(,2](0,]42--B．111(,2](0,]42--C．92(,2](0,]43--D．112(,2](0,]43--第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 执行程序框图，如果输入4=a，那么输出=n．)2()2(22bbfaaf-≤-ab)1,41[-]1,41[-]1,21[-]1,21(-14. 设7254361634527777773333,3331,A C C C B C C C =+++=+++则A B -=15. 已知双曲线C 的离心率为2，左、右焦点为12,F F ，点A 在C 上，若12||2||F A F A =，则21cos AF F ∠= 。
揭阳市第一中学、潮州金山中学届高三五月联考(模拟数学试题及答案)(理科)
2015-2016学年度理数三模联考一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
） 1．设复数i 2i 1i-=++a b (,R)∈a b ，则=+b a （ ）． A ．1 B ．2 C ．1- D ．2- 2．已知集合P ={x |1＜2x ＜2}，Q ={}1log |5.0>x x ，则P ∩Q =（ ）．A ．（0，21） B ．（21，1） C ．（﹣1，21） D ．（0，1） 3．已知0,0>>b a ，则“1>ab ”是“2>+b a ”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．在△ABC 中，若sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是（ ）．A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形5．已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0， 数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 7b 8等于（ ）．A ．1B ．2C ．4D ．8 6．如果执行程序框图，且输入n =6，m =4，则输出的p =（ ）．A ．240B ．120C ．720D ．3607．设F 1，F 2为椭圆C ：1422=+y x 的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝（ ）． A ．167B ．1625C ．167- D ．1625-8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）．A.163 B. 203 C. 152 D. 1329．对于函数3()cos3()6f x x x π=+，下列说法正确的是（ ）． A ．()f x 是奇函数且在（6π6π，-）上递增 B ．()f x 是奇函数且在（6π6π，-）上递减 mn ,1,1==p k )(k m n p p +-=?m k <输出p1+=k kC ．()f x 是偶函数且在（6π0，）上递增 D ．()f x 是偶函数且在（6π0，）上递减10．当实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+101042x y x y x 时，41≤+≤y ax 恒成立，则实数a 的取值范围（ ）．A ．[1，23] B ．[﹣1，2] C ．[﹣2，3] D ．[1，2] 11．已知等()()()()432432123412341111x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++，定义映射()()12341234:,,,,,,f a a a a b b b b →，则()4,3,2,1f =（ ）．A ．()1,2,3,4B ．()0,3,4,0C ． ()0,3,4,1--D ．()1,0,2,2-- 12．对R,[0,2]∀∈∈n α，向量)sin 3,cos 32(αα-+=n n c 的长度不超过6的概率为（ ）．A ．105 B ．1052 C ．1053 D ．552 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2016年广东省揭阳市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2016年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合A ＝{x |y＝}，B ＝{x |x 2﹣2x ＜0}，则（ ）A ．A ∩B ＝∅B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B2．（5分）设复数z 满足（1+i ）z ＝2i ，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数＝（ ） A ．﹣1+iB ．﹣1﹣iC ．1+iD ．1﹣i3．（5分）设f （x ）是定义在R 上的函数，则“f （x ）不是奇函数”的充要条件是（ ）A ．∀x ∈R ，f （﹣x ）≠﹣f （x ）B ．∀x ∈R ，f （﹣x ）≠f （x ）C ．∃x 0∈R ，f （﹣x 0）≠﹣f （x 0）D ．∃x 0∈R ，f （﹣x 0）≠f （x 0）4．（5分）（4x ﹣2﹣x ）8展开式中含2x 项的系数是（ ） A ．﹣56B ．﹣28C ．28D ．565．（5分）一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，收集数据如表所示：根据表可得回归方程中的为9.4，据此可估计加工零件数为6时加工时间大约为（ ） A ．63.6min B ．65.5min C ．67.7min D ．72.0min6．（5分）已知，则sin2x ＝（ ）A ．B ．C ．D ．17．（5分）执行如图的程序框图，则输出S 的值为（ ）A．2B．﹣3C．D．8．（5分）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x+y＝6下方的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）若x、y满足|x|+|y|≤1，则z＝2x﹣y的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，2]C．[﹣1，1]D．（1，+∞）10．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．+1D．11．（5分）已知函数f（x）＝sinπx和函数g（x）＝cosπx在区间[﹣1，2]上的图象交于A、B、C三点，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．12．（5分）已知直线x+y﹣k＝0（k＞0）与圆x2+y2＝4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知＝（1，﹣2），+＝（0，2），则||＝．14．（5分）已知函数f（x）是周期为2的奇函数，当x∈[0，1）时，f（x）＝lg（x+1），f（）+lg18＝．15．（5分）某组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．16．（5分）已知△ABC中，角A、、C成等差数列，且△ABC的面积为，则AC边的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n＝n﹣n2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（k∈N*），求数列{b n}的前2n项和T2n．18．（12分）某公司做了用户对其产品満意度的问卷调查，随机抽取了20名用户的评分，得到图所示茎叶图，对不低于75的评分，认为用户对产品满意，否则，认为不满意（1）根据以上资料完成下面的2×2列联表，若据此数据算得K2＝3.7781，则在犯错的概率不超过5%的前提下，你是否认为“満意”与“否”与性别有有关？附：（2）以此“满意”的频率作为概率，求在3人中恰有2人满意的概率；（3）从以上男性用户中抽取2人，女性用户中抽取1人，其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD中，∠A＝90°，AB∥CD，AB＝1，AD＝CD＝2．（Ⅰ）若二面角P﹣CD﹣B为45°，求证：平面BPC⊥平面DPC；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求点A到平面PBC的距离．20．（12分）已知p，m＞0，抛物线E：x2＝2py上一点M（m，2）到抛物线焦点F的距离为．（Ⅰ）求p和m的值；（Ⅱ）如图所示，过F作抛物线E的两条弦AC和BD（点A、B在第一象限），若k AB+4k CD＝0，求证：直线AB经过一个定点．21．（12分）设函数f（x）＝（x﹣a）2lnx，a∈R．（I）若x＝e是y＝f（x）的极值点，求实数a的值；（Ⅱ）若函数y＝f（x）﹣4e2只有一个零点，求实数a的取值范围．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，圆O的直径AB＝10，P是AB延长线上一点，BP＝2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．（Ⅰ）当∠PEC＝60°时，求∠PDF的度数；（Ⅱ）求PE•PF的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知参数方程为（t为参数）的直线l经过椭圆的左焦点F1，且交y轴正半轴于点C，与椭圆交于两点A、B（点A位于点C 上方）．（I）求点C对应的参数t C（用θ表示）；（Ⅱ）若|F1B|＝|AC|，求直线l的倾斜角θ的值．选修4-5：不等式选讲24．设a∈R，f（x）＝|x﹣a|+（1﹣a）x．（I）解关于a的不等式f（2）＜0；（Ⅱ）如果f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．2016年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|x2﹣2x＜0}，则（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B【解答】解：∵集合A＝{x|y＝}＝（﹣∞，2]，B＝{x|x2﹣2x＜0}＝（0，2），故B⊆A，故选：C．2．（5分）设复数z满足（1+i）z＝2i，其中i为虚数单位，则z的共轭复数＝（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【解答】解：由（1+i）z＝2i，得，∴．故选：D．3．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，则“f（x）不是奇函数”的充要条件是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）【解答】解：f（x）不是奇函数，则等价为∀x∈R，f（﹣x）＝﹣f（x）不成立，即∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0），故选：C．4．（5分）（4x﹣2﹣x）8展开式中含2x项的系数是（）A．﹣56B．﹣28C．28D．56【解答】解：（4x﹣2﹣x）8展开式的通项公式为：T r+1＝•4x（8﹣r）•（﹣1）r•2﹣xr＝（﹣1）r••2x（16﹣3r），令16﹣3r＝1，解得r＝5；所以，展开式中含2x项的系数为（﹣1）5••＝﹣56．故选：A ．5．（5分）一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，收集数据如表所示：根据表可得回归方程中的为9.4，据此可估计加工零件数为6时加工时间大约为（ ） A ．63.6minB ．65.5minC ．67.7minD ．72.0min【解答】解：由表中数据得：＝×（2+3+4+5）＝3.5， ＝×（26+39+49+54）＝42， 将＝3.5，＝42代入回归直线方程中，得＝42﹣9.4×3.5＝9.1； 所以＝9.4x +9.1；所以当x ＝6时，＝9.4×6+9.1＝65.5（min ）． 故选：B ． 6．（5分）已知，则sin2x ＝（ ）A ．B ．C ．D ．1【解答】解：∵，∴＝2，解得tan x ＝，∴sin2x ＝＝＝，故选：C．7．（5分）执行如图的程序框图，则输出S的值为（）A．2B．﹣3C．D．【解答】解：模拟执行程序，可得S＝2，k＝1，S＝﹣3，不满足条件k≥2016，k＝2，S＝﹣，不满足条件k≥2016，k＝3，S＝，不满足条件k≥2016，k＝4，S＝2，不满足条件k≥2016，k＝5，S＝﹣3，…观察规律可知，S的取值周期为4，由于2016＝504×4，可得不满足条件k≥2016，k＝2016，S＝2，满足条件k≥2016，满足退出循环的条件，故输出的S值为2．故选：A．8．（5分）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x+y＝6下方的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，共可得到6×6＝36个点，点P在直线x+y＝6下方的情况有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（4，1），10种，故点P在直线x+y＝6下方的概率为＝，故选：D．9．（5分）若x、y满足|x|+|y|≤1，则z＝2x﹣y的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，2]C．[﹣1，1]D．（1，+∞）【解答】解：由约束条件|x|+|y|≤1作出可行域如图，化目标函数z＝2x﹣y为y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过点D时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2，当直线y＝2x﹣z过点B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2，故选：B．10．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．+1D．【解答】解：将x＝c代入双曲线的方程得y＝，即M（c，）．在△MF1F2中tan45°＝＝1即，解得e＝＝+1．故选：C．11．（5分）已知函数f（x）＝sinπx和函数g（x）＝cosπx在区间[﹣1，2]上的图象交于A、B、C三点，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）＝sinπx和函数g（x）＝cosπx在区间[﹣1，2]上的图象交于A、B、C三点，由sinπx＝cosπx，x∈[﹣1，2]，求得x＝﹣，或x＝，或x＝，可得A（﹣，﹣）、B（，）、C（，﹣），则△ABC的面积为•AC•＝，故选：C．12．（5分）已知直线x+y﹣k＝0（k＞0）与圆x2+y2＝4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：设AB中点为D，则OD⊥AB∵，∴∴∵∴∵直线x+y﹣k＝0（k＞0）与圆x2+y2＝4交于不同的两点A、B，∴∴4＞∴4＞∵k＞0，∴故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知＝（1，﹣2），+＝（0，2），则||＝．【解答】解：因为＝（1，﹣2），+＝（0，2），所以＝（﹣1，4），所以；故答案为：14．（5分）已知函数f（x）是周期为2的奇函数，当x∈[0，1）时，f（x）＝lg（x+1），f（）+lg18＝1．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，∴f（）+lg18＝f（404﹣）+lg18＝f（﹣）+lg18＝﹣f（）+lg18＝﹣lg（+1）+lg18＝lg（18×）＝lg10＝1，故答案为：1．15．（5分）某组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为32+8π．【解答】解：依题意知，该几何体是上面长与宽均为4，高为2长方体下接半径为2的半圆柱的组合体，故其体积为：V＝．故答案为：32+8π．16．（5分）已知△ABC中，角A、、C成等差数列，且△ABC的面积为，则AC边的最小值是2．【解答】解：∵A、B、C成等差数列，∴A+C＝3B，又∵A+B+C＝π，∴，∴由得，∵b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝，及a2+c2≥2ac，∴，解得：b≥2，∴b的最小值为2．故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n＝n﹣n2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（k∈N*），求数列{b n}的前2n项和T2n．【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）即：a n＝1﹣n（n≥2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）当n＝1时，由得a1＝0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）显然当n＝1时上式也适合，∴a n＝1﹣n．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）∵，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴T2n＝（b1+b3+…+b2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）＝]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）18．（12分）某公司做了用户对其产品満意度的问卷调查，随机抽取了20名用户的评分，得到图所示茎叶图，对不低于75的评分，认为用户对产品满意，否则，认为不满意（1）根据以上资料完成下面的2×2列联表，若据此数据算得K2＝3.7781，则在犯错的概率不超过5%的前提下，你是否认为“満意”与“否”与性别有有关？附：（2）以此“满意”的频率作为概率，求在3人中恰有2人满意的概率；（3）从以上男性用户中抽取2人，女性用户中抽取1人，其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（1）根据已知资料完成2×2列联表：∵K2≈3.7781＜3.841，∴在犯错的概率不超过5%的前提下，不能认为“満意”与“否”与性别有有关．（2）由频率估计“满意”的概率为＝0.3，∴在3人中恰有2人满意的概率为．（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）+＝，P（ξ＝1）＝+＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝2）＝1﹣＝．ξ的分布列为：Eξ＝＝．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD中，∠A＝90°，AB∥CD，AB＝1，AD＝CD＝2．（Ⅰ）若二面角P﹣CD﹣B为45°，求证：平面BPC⊥平面DPC；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求点A到平面PBC的距离．【解答】解：（I）取PD中点M，PC中点N，连结MN，AM，BN，则MN∥CD，MN＝．∵AB∥CD，AB＝，∴AB∥MN，AB＝MN，∴四边形ABNM是平行四边形．∵P A⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥P A，又AB⊥AD，P A⊂平面P AD，AD⊂平面P AD，P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，∵AM⊂平面P AD，∴AB⊥AM，∴平行四边形ABNM是矩形．∴BN⊥MN．∵AB∥CD，AB⊥平面P AD，∴CD⊥平面P AD，∵PD⊂平面P AD，AD⊂平面P AD，∴CD⊥PD，CD⊥AD，∴∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，即∠PDA＝45°，∴P A＝AD＝2，∴PB＝＝．取CD中点E，连结BE，则BE＝AD＝2，CE＝CD＝1，∠BEC＝90°，∴BC＝．∴PB＝BC，∴BN⊥PC．∵PC⊂平面PCD，MN⊂平面PCD，PC∩MN＝N，∴BN⊥平面PCD，∵BN⊂平面PBC，∴平面BPC⊥平面DPC．（II）连结AC，则AC＝．PD＝．∴PC＝．BN＝AM＝．∴S△PBC＝＝＝．S△ABC＝AB•AD＝1．设A到平面PBC的距离为h，则V棱锥P﹣ABC ＝S△ABC×P A＝．∴h＝．20．（12分）已知p，m＞0，抛物线E：x2＝2py上一点M（m，2）到抛物线焦点F的距离为．（Ⅰ）求p和m的值；（Ⅱ）如图所示，过F作抛物线E的两条弦AC和BD（点A、B在第一象限），若k AB+4k CD＝0，求证：直线AB经过一个定点．【解答】解：（Ⅰ）由点M（m，2）到抛物线焦点F的距离为，结合抛物线的定义得，，即p＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）抛物线的方程为x2＝2y，把点M（m，2）的坐标代入，可解得m＝2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（Ⅱ）解法1：显然直线AB、AC的斜率都存在，分别设AB、AC的方程为y＝k1x+b，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）联立，得x2﹣2k1x﹣2b＝0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）联立，得x2﹣2k2x﹣1＝0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则x1x2＝﹣2b，x1x3＝﹣1，同理，x2x4＝﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）故＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）注意到点A、B在第一象限，x1+x2≠0，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）故得x1x2＝4，﹣2b＝4，∴b＝﹣2，即直线恒经过点（0，﹣2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）解法2：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），显然直线AC的斜率都存在，设AC的方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）联立，得x2﹣2kx﹣1＝0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴x1x3＝﹣1，同理，x2x4＝﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）故＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）注意到点A、B在第一象限，x1+x2≠0，∴，故得x1x2＝4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）直线AB的方程为化简得即直线AB恒经过点（0，﹣2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）．21．（12分）设函数f（x）＝（x﹣a）2lnx，a∈R．（I）若x＝e是y＝f（x）的极值点，求实数a的值；（Ⅱ）若函数y＝f（x）﹣4e2只有一个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝（x﹣a）2lnx，a∈R．，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由x＝e是f（x）的极值点，得，解得a＝e或a＝3e，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）经检验，符合题意，所以a＝e或a＝3e；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由已知得方程f（x）＝4e2只有一个根，即曲线f（x）与直线y＝4e2只有一个公共点．易知f（x）∈（﹣∞，+∞），设，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）①当a≤0时，易知函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，满足题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）②当0＜a≤1时，易知h（x）是单调递增的，又h（a）＝2lna＜0，h（1）＝1﹣a≥0，∴∃x0∈（a，1），h（x0）＝0，当0＜x＜a时，＞0，∴f（x）在（0，a）上单调递增，同理f（x）在（a，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，又极大值f（a）＝0，所以曲线f（x）满足题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）③当a＞1时，h（1）＝1﹣a＜0，h（a）＝2lna＞0，∴∃x0∈（1，a），h（x0）＝0，即，得a﹣x0＝2x0lnx0，可得f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，又f（a）＝0，若要曲线f（x）满足题意，只需，即，所以，由x0＞1知g（x）＝x2ln3x＞0，且在[1，+∞）上单调递增，由g（e）＝e2，得1＜x0＜e，因为a＝x0+2x0lnx0在[1，+∞）上单调递增，所以1＜a＜3e；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）综上知，a∈（﹣∞，3e）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，圆O的直径AB＝10，P是AB延长线上一点，BP＝2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．（Ⅰ）当∠PEC＝60°时，求∠PDF的度数；（Ⅱ）求PE•PF的值．【解答】解：（Ⅰ）连结BC，∵AB是圆O的直径，∴则∠ACB＝90°，﹣﹣﹣﹣﹣（1分）又∠APF＝90°，∠CAB+∠CBA＝∠EAP+∠PEC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴∠CBA＝∠PEC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵∠PEC＝60°∴∠PDF＝∠CBA＝∠PEC＝60°；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）知∠PDF＝∠PEC，∴D、C、E、F四点共圆，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴PE•PF＝PC•PD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∵PC、P A都是圆O的割线，∴PC•PD＝PB•P A＝24，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴PE•PF＝24．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）解法2：∵∠PEC＝∠PDF，∠EPC＝∠DPF，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴△PEC～△PDF﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴即PE•PF＝PC•PD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵PC、P A都是圆O的割线，∴PC•PD＝PB•P A＝24﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴PE•PF＝24．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）选修4-4：坐标系与参数方程23．已知参数方程为（t为参数）的直线l经过椭圆的左焦点F1，且交y轴正半轴于点C，与椭圆交于两点A、B（点A位于点C 上方）．（I）求点C对应的参数t C（用θ表示）；（Ⅱ）若|F1B|＝|AC|，求直线l的倾斜角θ的值．【解答】解：（Ⅰ）在椭圆中，∵a2＝3，b2＝1，∴，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）故，在直线l的参数方程中，令x＝0，解得；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）解法1：把代入椭圆方程，并整理得：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）设点A、B对应的参数为t A、t B，由|F1B|＝|AC|结合参数t的几何意义得：t A+t B＝t C，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解得，依题意知，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）解法2：设A、B两点的横坐标分别为x A、x B，将直线l的普通方程代入椭圆方程并整理得：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∵﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴，解得，依题意知，得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）选修4-5：不等式选讲24．设a∈R，f（x）＝|x﹣a|+（1﹣a）x．（I）解关于a的不等式f（2）＜0；（Ⅱ）如果f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（I）解法1：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）不等式f（2）＜0等价于或者，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）解得a＞2或，即，∴所求不等式的解集为；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）解法2：由f（2）＜0，得|2﹣a|+2（1﹣a）＜0，即|a﹣2|＜2（a﹣1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）﹣2（a﹣1）＜a﹣2＜2（a﹣1），解得，解集为；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）因为f（x）≥0恒成立，故有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解得0≤a≤1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）。
广东省揭阳市2016届高三第一次模拟考试数学(理)试卷(扫描版)
揭阳市2016年高中毕业班高考第一次模拟考试 数学(理科)参考答案及评分说明 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题：C D C A B C A D B C C B 解析：11.由，又得或 或，即点, 故. 12. 由已知得圆心到直线的距离小于半径，即， 【或由，因直线与圆有两个不同的交点， 所以，】 由得----① 如图，又由得 因,所以,故----② 综①②得. 二、填空题：13.；14.1；15. ；16.2. 解析：14. 由函数是周期为的奇函数得 ， 故 15. 依题意知，该几何体是上面长方体下接半圆柱的组合体，故其体积 为：. 16. ∵A、B、C成等差数列，∴，又，∴， 由得，∵， 及，∴，，∴b的最小值为2. 三、解答题： 17.解：（Ⅰ）当时，（），-------------------------------------------------------------3分 当时，由得，时上式也适合， ∴.--------------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）------------------------------------6分 ∴-------------------------------------7分 ---------------------9分 ---------------------------------------------------------11分 -------------------------------------------------------12分 18．解：（Ⅰ） 不满意满意合计男 3 4 7 女11 2 13 合计14 6 20 -------------------------------2分 ∵0，∴f(x)在上单调递增， 同理f(x)在上单调递减，在上单调递增， 又极大值，所以曲线f(x) 满足题意；---------------------------------------8分 ③当a>1时，， ∴，，即，得， 可得f(x) 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，若要曲线f(x) 满足题意，只需，即， 所以，由知，且在[1,+∞)上单调递增， 由，得，因为在[1,+∞)上单调递增， 所以；----------------------------------------------------------------11分 综上知，。
广东省揭阳一中、潮州金中联考2016届高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年广东省揭阳一中、潮州金中联考高三（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（共12小题，满分60分）1．已知全集为R，集合A={x|2x≥1}，B={x|x2﹣3x+2≤0}，则A∩∁R B=（）A．{x|x≤0} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x＜1或x＞2} D．{x|0≤x＜1或x≥2}2．在复平面内复数对应的点在第一象限，则实数a的取值可以为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．23．设命题p“任意x＞0，log3x＞log4x”，则非p为（）A．存在x＞0，log3x＞log4 B．存在x＞0，log3x≤log4C．任意x＞0，log3x≤log4D．任意x＞0，log3x=log44．若某市8所中学参加中学生比赛的得分用茎叶图表示（如图）其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是（）A．91.5、5 B．91、5 C．92、5.5 D．92、55．在△ABC中，sinA=，•=6，则△ABC的面积为（）A．3 B．C．6 D．46．如图，在执行程序框图所示的算法时，若输入a3，a2，a1，a0的值依次是1，﹣3，3，﹣1，则输出v 的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．87．函数y=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为（）A．2+B．2﹣C．2 D．8．函数（e是自然对数的底数）的部分图象大致是（）A．B．C．D．9．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2 B．cm3C．3cm3D．3cm310．函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．﹣B．﹣C．D．11．设函数g（x）=x2f（x），若函数f（x）为定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），对任意实数x 满足x2f′（x）＞2xf（﹣x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是（）A． B．（0，） C．D．12．已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，⊙C的半径为2，G为⊙C上一动点，P为AG的中点，则DP的最大值为（）A．B． C． D．二．填空题（共4小题，满分20分）13．已知tanα=4，则的值为．14．在数列{a n}中，a1=6，a n+1=2a n+3×2n，则通项a n=．15．设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于．16．已知函数f（x）=则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是．三．解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列是等差数列，且（1）求{a n}的通项公式（2）若，求数列{b n}的前n项和S n．18．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商场购物，且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物．（Ⅰ）求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（Ⅱ）用ξ、η分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X=ξη，求随机变量X的分布列与数学期望EX．19．如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=a，PD=a．（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（2）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小．20．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．21．已知函数f（x）=mx2﹣x+lnx．（1）当m=﹣1时，求f（x）的极大值；（2）若在函数f（x）的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求实数m的取值范围；（3）当时，若曲线C：y=f（x）在点x=1处的切线l与曲线C有且只有一个公共点，求m的值或取值范围．请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．选修4-1：几何证明选讲22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，C是优弧AB上一点，设∠OAB=α，∠C=β．（1）当α=36°时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．（3）若点C平分优弧AB，且BC2=3OA2，试求α的度数．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线，曲线C2：（1）写出曲线C1的参数方程与曲线C2的普通方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最大值，并求此时点P的坐标．选修4-5：不等式选讲24．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．2015-2016学年广东省揭阳一中、潮州金中联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分）1．已知全集为R，集合A={x|2x≥1}，B={x|x2﹣3x+2≤0}，则A∩∁R B=（）A．{x|x≤0} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x＜1或x＞2} D．{x|0≤x＜1或x≥2}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】先求出集合AB，再求出B的补集，根据交集的定义即可求出．【解答】解：∵全集为R，集合A={x|2x≥1}={x|x≥0}，B={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，∴∁R B={x|x＜1或x＞2}，∴A∩∁R B={x|0≤x＜1或x＞2}故选：C【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．在复平面内复数对应的点在第一象限，则实数a的取值可以为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部大于0且虚部大于0求得a的范围得答案．【解答】解：∵=对应的点在第一象限，∴，即﹣1＜a＜1．∴实数a的取值可以为0．故选：A．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．设命题p“任意x＞0，log3x＞log4x”，则非p为（）A．存在x＞0，log3x＞log4 B．存在x＞0，log3x≤log4C．任意x＞0，log3x≤log4D．任意x＞0，log3x=log4【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p“任意x＞0，log3x＞log4x”，则非p为：存在x＞0，log3x≤log4x；故选：B．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．4．若某市8所中学参加中学生比赛的得分用茎叶图表示（如图）其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是（）A．91.5、5 B．91、5 C．92、5.5 D．92、5【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【专题】对应思想；待定系数法；概率与统计．【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的平均数与方差即可．【解答】解：把茎叶图中的数据按大小顺序排列，如下；87、88、90、91、92、93、94、97；∴平均数是（87+88+90+91+92+93+94+97）=91.5，S2=[（87﹣91.5）2+（88﹣91，5）2+（90﹣91.5）2+…+（97﹣91.5）2]=5，故选：A．【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求方差与平均数的应用问题，是基础题目．5．在△ABC中，sinA=，•=6，则△ABC的面积为（）A．3 B．C．6 D．4【考点】平面向量数量积的运算．【专题】解三角形；平面向量及应用．【分析】由题意结合数量积的运算和同角的平方关系可得||•|=10，而△ABC的面积S=||•|•sinA，代入数据计算可得．【解答】解：由题意可得•=||•|•cosA=6，又sinA=，故可得cosA=，故||•|=10，故△ABC的面积S=||•|•sinA=×10×=4．故选D．【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，涉及三角形的面积公式，属中档题．6．如图，在执行程序框图所示的算法时，若输入a3，a2，a1，a0的值依次是1，﹣3，3，﹣1，则输出v的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的v，i的值，当i=﹣1时，不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为8．【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=3，v=0，i=3满足条件i≥0，a3=1，v=1，i=2满足条件i≥0，a2=﹣3，v=0，i=1满足条件i≥0，a1=3，v=3，i=0满足条件i≥0，a0=﹣1，v=8，i=﹣1不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为8．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的v，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查．7．函数y=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为（）A．2+B．2﹣C．2 D．【考点】基本不等式；指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】求出定点A的坐标，代入直线方程，得到m．n的关系，利用基本不等式求解最小值即可．【解答】解：函数y=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），若点A在直线mx+ny﹣2=0上，可得m+n=2，===≥2+2=2+．当且仅当m=，n=时取等号．表达式的最小值为：2+．故选：A．【点评】本题考查指数函数的单调性与特殊点的应用，基本不等式的应用，考查计算能力．8．函数（e是自然对数的底数）的部分图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再根据函数的值域即可判断．【解答】解：∵f（﹣x）==f（x），∴函数f（x）为偶函数，排除A，B，∵＞0，故排除D，故选：C．【点评】本题考查了图象的识别，根据函数的奇偶性和函数的值域，是常用的方法，属于基础题．9．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2 B．cm3C．3cm3D．3cm3【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为的四棱锥，其中直角梯形两底长分别为1和2，高是2．故这个几何体的体积是×[（1+2）×2]×=（cm3）．故选：B．【点评】本题考查由几何体的三视图求原几何体的体积问题，属于基础题．10．函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由函数图象的平移得到，再由函数为奇函数及φ的范围得到，求出φ的值，则函数解析式可求，再由x的范围求得函数f（x）在[0，]上的最小值．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）图象向左平移个单位得，由于函数图象关于原点对称，∴函数为奇函数，又|φ|＜π，∴，得，∴，由于，∴0≤2x≤π，∴，当，即x=0时，．故选：A．【点评】本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了三角函数值域的求法，是中档题．11．设函数g（x）=x2f（x），若函数f（x）为定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），对任意实数x 满足x2f′（x）＞2xf（﹣x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是（）A． B．（0，） C．D．【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质．【专题】函数思想；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．【分析】由题意和乘积的导数可得奇函数g（x）=x2f（x）在R上单调递增，可化原不等式为x＜1﹣3x，解之可得．【解答】解：由题意可得函数g（x）=x2f（x）为R上的奇函数，∵x2f′（x）＞2xf（﹣x），∴x2f′（x）+2xf（x）＞0，∴g′（x）=x2f（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0，∴奇函数g（x）=x2f（x）在R上单调递增，∴不等式g（x）＜g（1﹣3x）可化为x＜1﹣3x，解得x＜故选：C【点评】本题考查函数的单调性和导数的关系，涉及函数的奇偶性，属基础题．12．已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，⊙C的半径为2，G为⊙C上一动点，P为AG的中点，则DP的最大值为（）A．B． C． D．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；函数思想；转化思想；三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的顶点坐标，写出圆的方程，设出G的坐标，推出P的坐标，利用两点间距离公式求解最值．【解答】解：抛物线与x轴交于A，B两点，可得A（1，0），B（9，0），D（5，0），C（5，3），圆的方程为：（x﹣5）2+（y﹣3）2=4，设G（5+2cosθ，3+2sinθ）．P为AG的中点，可得P（3+cosθ，+sinθ）．DP===，其中tanγ=．≤=．故选：A．【点评】本题考查抛物线的简单性质以及圆的参数方程与三角函数的最值的求法，考查分析问题解决问题以及转化思想的应用．二．填空题（共4小题，满分20分）13．已知tanα=4，则的值为．【考点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】由于已知tanα=4，利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简为，从而求得结果．【解答】解：由于已知tanα=4，则====，故答案为．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于中档题．14．在数列{a n}中，a1=6，a n+1=2a n+3×2n，则通项a n=（3n+3）•2n﹣1．【考点】数列递推式．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】a n+1=2a n+3×2n，变形为=．利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a n+1=2a n+3×2n，∴=．∴数列是等差数列，公差为，首项为3．∴=3+=，∴a n=（3n+3）•2n﹣1，故答案为：（3n+3）•2n﹣1．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．15．设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．【解答】解：||===，只考虑x＞0，则===，当且仅当=﹣时取等号．∴则的最大值等于．故答案为：．【点评】本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知函数f（x）=则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是[，）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴y′=，设切点为（x0，y0），k=，∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，∴直线l1的斜率为，又∵直线l2与y=x+1平行，∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值范围是[，）故答案为：[，）．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，考查函数与方程的关系，是易错题．三．解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列是等差数列，且（1）求{a n}的通项公式（2）若，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）由于为等差数列，若设其公差为d，则，∴，，解得，于是=2+3（n﹣1），整理得a n=．（2）由（1）得b n=a n a n+1==，∴．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．18．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商场购物，且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物．（Ⅰ）求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（Ⅱ）用ξ、η分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X=ξη，求随机变量X的分布列与数学期望EX．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东网购物的概率为，设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件A i，则，（i=0，1，2，3，4），由此能求出这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率．（Ⅱ）由已知得X的所有可能取值为0，3，4，P（X=0）=P（A0）+P（A4），P（X=3）=P（A1）+P（A3），P（X=4）=P（A2），由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东网购物的概率为，设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件A i（i=0，1，2，3，4），则，（i=0，1，2，3，4），这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率=．（Ⅱ）由已知得X的所有可能取值为0，3，4，P（X=0）=P（A0）+P（A4）==，P（X=3）=P（A1）+P（A3）=+=，P（X=4）=P（A2）==，∴X的分布列为：∴EX==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．19．如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=a，PD=a．（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（2）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．【专题】计算题．【分析】（1）连接PC，交DE与N，连接MN，所以MN∥AC，再根据线面平行的判定定理可得答案．（2）以D为空间坐标系的原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．【解答】解：（1）证明：连接PC，交DE与N，连接MN，在△PAC中，∵M，N分别为两腰PA，PC的中点∴MN∥AC，…又AC⊄面MDE，MN⊂面MDE，所以AC∥平面MDE．…（2）以D为空间坐标系的原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，a），B（a，a，0），C（0，2a，0），所以，，…设平面PAD的单位法向量为，则可取…设面PBC的法向量，则有即：，取z=1，则∴…设平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为θ，∴…∴θ=60°，所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为60°…【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，求二面角的平面角的关键是找到角，再求出角，解决此类问题也可以建立坐标系，利用空间向量求出空间角与空间距离．20．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由抛物线的准线方程可得p，进而得到抛物线方程；（2）求出函数y=﹣的导数，求出切线的斜率，以及切线方程，联立切线方程和抛物线方程求得切点A，进而直线OA的方程，设出直线BC的方程，联立抛物线方程运用韦达定理，求出N的坐标，代入所求式子化简即可得到定值2．【解答】解：（1）由题设知，，即，所以抛物线的方程为y2=x；（2）因为函数的导函数为，设A（x0，y0），则直线MA的方程为，因为点M（0，﹣2）在直线MA上，所以﹣2﹣y0=﹣•（﹣x0）．联立，解得A（16，﹣4），所以直线OA的方程为．设直线BC方程为y=kx﹣2，由，得k2x2﹣（4k+1）x+4=0，所以．由，得．所以，故的为定值2．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及导数的运用：求切线方程，考查运算能力，属于中档题和易错题．21．已知函数f（x）=mx2﹣x+lnx．（1）当m=﹣1时，求f（x）的极大值；（2）若在函数f（x）的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求实数m的取值范围；（3）当时，若曲线C：y=f（x）在点x=1处的切线l与曲线C有且只有一个公共点，求m的值或取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】分类讨论；函数思想；方程思想；转化思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（1）当m=﹣1时，求出函数的解析式，定义域，求出导函数，求出极值点，推出结果即可．（2）（法一），通过当m≤0，当m＞0时，求解实数m的取值范围．（法二），问题成立只需m ＜u （x ）max （x ∈（0，+∞）），然后求解实数m 的取值范围． （3）求出切线方程，转化mx 2﹣x+lnx=2mx ﹣m ﹣1在（0，+∞）上有且只有一解．构造函数g （x ）=mx 2﹣x+lnx ﹣（2mx ﹣m ﹣1），求出函数g （x ）有零点x=1．通过求解导函数，讨论当时，当时，判断函数的单调性，利用函数的零点．推出m 的范围．【解答】解：（1）当m=﹣1时，f （x ）=mx 2﹣x+lnx=﹣x 2﹣x+lnx ，其定义域（0，+∞）．又． ∵，故由f ′（x ）=0，得．… ∴当时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；当，f ′（x ）＜0，f （x ）递减．因此当时，f （x ）取得极大值；…（2）（法一），即2mx 2﹣x+1＜0在（0，+∞）上有解． 当m ≤0显然成立； …当m ＞0时，由于函数y=2mx 2﹣x+1的图象的对称轴，故须且只须△＞0，即1﹣8m ＞0，故．…综上所述得，故实数m 的取值范围为；…（若f'（x ）≤0在（0，+∞）上有解，最后有检验也是可以的）（法二），即2mx 2﹣x+1＜0在（0，+∞）上有解． 即2mx 2﹣x+1＜0在（0，+∞）能成立，即，设，问题成立只需m ＜u （x ）max （x ∈（0，+∞））…∵，∴故实数m 的取值范围为；… （3）因为f （1）=m ，f ′（1）=2m ，故切线方程为y ﹣m+1=2m （x ﹣1），即y=2mx ﹣m ﹣1，… 从而方程mx 2﹣x+lnx=2mx ﹣m ﹣1在（0，+∞）上有且只有一解．设g（x）=mx2﹣x+lnx﹣（2mx﹣m﹣1），则g（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点，又g（1）=0，故函数g（x）有零点x=1．…则．当时，g′（x）≥0，又g（x）不是常数函数，故g（x）在（0，+∞）上递增．∴函数g（x）有且只有一个零点x=1，满足题意；…当时，由g′（x）=0，得，或x=1．且由g′（x）＞0，得0＜x＜1，或；由g′（x）＜0，得；故当x在（0，+∞）上变化时，g′（x）、g（x）的变化情况如下表：（此表可省略）根据上表知．…又．∴，故在上，函数g（x）又有一个零点，不符；…综上所述得．…【点评】本题考查函数的对数的应用，函数的极值点以及单调性，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．选修4-1：几何证明选讲22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，C是优弧AB上一点，设∠OAB=α，∠C=β．（1）当α=36°时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．（3）若点C平分优弧AB，且BC2=3OA2，试求α的度数．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【专题】选作题；转化思想；推理和证明．【分析】（1）连接OB，根据三角形外心的性质可知：OA=OB；则在等腰△AOB中∠OBA=∠OAB；则再根据三角形内角和定理可以求得∠AOB的度数；最后根据圆周角定理可以求得β的度数；（2）由（1）可猜想α与β之间的关系是α+β=90°；同（1）一样∠OBA=∠OAB=α，则∠AOB=180°﹣2α，β=∠C=∠AOB，所以可求β=（180°﹣2α）=90°﹣α，则α+β=90度；（3）证明AC=BC=OA，过O作OK⊥AC于K，连接OC，由垂径定理可知：AK=AC=OA，可得∠CAO=30°，∠ACB=2∠ACO=2∠CAO=60°，△ABC为正三角形，即可求α的度数．【解答】解：（1）连接OB，则OA=OB；∵∠OAB=36°，∴∠OBA=∠OAB=36°，∵∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠OBA，∴∠AOB=180°﹣36°﹣36°=108°，∴β=∠C=∠AOB=54°．…（2）α与β之间的关系是α+β=90°；证明：∵∠OBA=∠OAB=α，∴∠AOB=180°﹣2α，∵β=∠C=∠AOB，∴β=（180°﹣2α）=90°﹣α，∴α+β=90°．…（3）∵点C平分优弧AB，∴∴AC=BC，又∵BC2=3OA2，∴AC=BC=OA，过O作OK⊥AC于K，连接OC，由垂径定理可知：AK=AC=OA，∴∠CAO=30°易得：∠ACB=2∠ACO=2∠CAO=60°，∴△ABC为正三角形，则：α=∠CAB﹣∠CAO=30°…【点评】本题考查了三角形的外接圆的性质以及圆周角定理．要熟练掌握这些性质定理才能灵活运用．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线，曲线C2：（1）写出曲线C1的参数方程与曲线C2的普通方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最大值，并求此时点P的坐标．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）由曲线C1的普通方程能写出曲线C1的参数方程，由曲线C2的参数方程能写出曲线C2的普通方程．（2）C1与C2联立，利用根的判别式得到椭圆C1与直线C2无公共点，再求出椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离，由此利用三角函数知识能求出点P到C2上点的距离的最大值，并能求此时点P的坐标．【解答】解：（1）∵曲线，∴曲线C1的参数方程：…∵曲线C2：∴，y=2+6﹣x，∴曲线C2的普通方程：x+y﹣8=0．…（2）由，得：4x2﹣48x+189=0，△=482﹣4×4×189=﹣720＜0，∴椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离：…∴当时，d的最大值为，…此时点P的坐标为．…【点评】本题考查曲线的参数方程和普通方程的互化，考查点到直线距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．选修4-5：不等式选讲24．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【专题】分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）运用绝对值的含义，对x讨论，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；（2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去绝对值的方法，即可解得x的范围．【解答】解：（1）由f（x）≤x+2得：或或，即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈∅，解得0≤x≤2，所以f（x）≤x+2的解集为[0，2]；（2）=|1+|﹣|2﹣|≤|1++2﹣|=3，当且仅当（1+）（2﹣）≤0时，取等号．由不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，可得|x﹣1|+|x+1|≥3，即或或，解得x≤﹣或x≥，故实数x的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，同时考查不等式恒成立问题的求法，运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键．。
广东省2016届高三五月联考(模拟)理综化学试题
潮州金山中学揭阳第一中学2015-2016学年度高三级第四次联考理科综合试卷可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Al 27 Si 28 S 32 Cl 35.5Mn 55 Zn 65 Fe 56 Cu 64第Ⅰ卷选择题一、选择题：（本题共13题，每小题6分；每小题只有一个选项是正确的，选对的得6分，选错或不答的得0分。
）1．下列关于真核细胞的组成物质和结构的叙述正确的是A．某些RNA可为特定化学反应提供能量B．蛋白质是细胞器共有的化学成分C．内质网上核糖体与性激素合成有关D．柳树成熟筛管细胞中的细胞核能发生碱基互补配对现象2．下列有关植物激素的说法，正确的是A．向光性与胚芽鞘尖端以下部分无关B．植物激素的调节特点与动物激素完全一致C．环境因素可以影响植物激素的合成D．将种子置于流动的河流中浸泡除去赤霉素可以让它提前发芽3．人体内氢随化合物在生物体内代谢转移的过程如图所示，下列分析合理的是A．在缺氧的情况下，③过程中也会发生脱氢反应产生还原性氢B．①过程发生在核糖体中，水中的H来自﹣NH2C．M物质是丙酮酸，②过程发生在线粒体基质中D．细胞进行无氧呼吸时，④过程能产生少量A TP4．下列有关生物体内酶和A TP的说法，不正确的是A．ATP脱掉两个磷酸基团后可成为转录所需的原料B．细胞中的吸能反应一般与A TP的合成相联系C．酶和ATP都可在细胞外发挥作用D．人体的骨骼肌细胞吸收周围组织液中氧气的过程既不需要酶，也不需要ATP5．人类基因组计划测定人的22号染色休约由5000万个碱基单位组成，分析发现22号染色体上约有545个基因，下列有关分析正确的是A．每个基因中有一个碱基对的替换，都会引起生物性状的改变B．神经细胞内的22号染色体DNA可转录出545种mRNAC．DNA聚合酶和RNA聚合酶的结合位点分别在DNA和RNAD．转录过程中存在T-A的配对方式6．下列有关群落和生态系统的叙述，不正确．．．的是A．物种组成是区分不同群落的重要特征B．稻田中水稻虽无高矮差异，但稻田群落仍具有垂直结构C．人类活动影响群落演替的速度和方向D．生物圈是一个在物质和能量上自给自足的系统29. （12分）科学家为了降低成本，利用富含氮和磷的鱼糜加工废水来培养小球藻F-9和小球藻HYS-2，并分别设置对照培养基进行比较，各组每天均给予12小时的充足光照。
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2015-2016学年度理数三模联考一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
）1．设复数bi a ii +=+-12),(R b a ∈，则=+b a （ ）． A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-2．已知集合P={x |1＜2x＜2}，Q={}1log |5.0>x x ，则P∩Q=（ ）．A ．（0，21）B ．（21，1）C ．（﹣1，21） D ．（0，1）3．已知0,0>>b a ，则“1>ab ”是“2>+b a ”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．在△ABC 中，若sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是（ ）． A ．等边三角形 B ．不含60°的等腰三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 5．已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0， 数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 7b 8等于（ ）．A ．1B ．2C ．4D ．8 6．如果执行程序框图，且输入n =6，m =4，则输出的p =（ ）．A ．240B ．120C ．720D ．3607．设F 1，F 2为椭圆C ：1422=+y x 的左、右焦点，点P 在C 上， |PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2＝（ ）． A ．167B ．1625C ．167- D ．1625-8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）．A. 163B. 203C. 152D. 1329．对于函数3()cos3()6f x x x π=+，下列说法正确的是（ ）． A ．()f x 是奇函数且在（6π6π，-）上递增 B ．()f x 是奇函数且在（6π6π，-）上递减 C ．()f x 是偶函数且在（6π0，）上递增 D ．()f x 是偶函数且在（6π0，）上递减是 否 开输mn ,1,1==p k )(k m n p p +-=?m k <输出p 结1+=k k10．当实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+101042x y x y x 时，41≤+≤y ax 恒成立，则实数a 的取值范围（ ）．A ．[1，23] B ．[﹣1，2] C ．[﹣2，3] D ．[1，2] 11．已知等式()()()()432432123412341111x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++，定义映射()()12341234:,,,,,,f a a a a b b b b →，则()4,3,2,1f =（ ）．A ．()1,2,3,4B ．()0,3,4,0C ． ()0,3,4,1--D ．()1,0,2,2-- 12．对]2,0[,∈∈∀n R α，向量)sin 3,cos 32(αα-+=n n c 的长度不超过6的概率为（ ）．A ．105 B ．1052 C ．1053 D ．552 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
）13．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1621222=+-+m x m y则实数m 的值为 ． 14．已知三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆是边长为3的等边三角形，侧棱长都相等，半径为7的球O 过三棱锥P ABC -的四个顶点，则点P 到面ABC 的距离为 ．15．已知函数()22,()f x x ax b x R =-+∈，给出下列命题：①a R ∃∈，使()f x 为偶数； ②若()()02f f =，则()f x 的图象关于1x =对称；③若20a b -≤，则()f x 在区间[,)a +∞上是增函数；④若220a b -->，则函数()()2h x f x =-有2个零点。
其中正确命题的序号为 ．16．已知数列{}n a 的前n 和为n S ，12a =，当2n ≥时，2n n S a n -=，则2016S 的值为 ． 三．解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共70分）17．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，f (x )＝sin(2x －A ) (x ∈R )，函数f (x )的图象关于点)0,6(π对称．⑴当x ∈(0，π2)时，求f (x )的值域；⑵若a ＝7且sin B ＋sin C ＝13314，求△ABC 的面积．18．从2016年1月1日起，广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表：分布如下(并用相应频率估计车辆每年出险次数的概率)：⑵经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，估计其回归直线方程为： 1201600y x =+．（其中x （万元）表示购车价格，y （元）表示商业车险保费）。
李先生2016 年1月购买一辆价值20万元的新车.根据以上信息，试估计该车辆在2017 年1月续保时应缴交的保费，并分析车险新政是否总体上减轻了车主负担。
(假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保）19．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1为矩形，AB=2，AA 1=22，D 是AA 1的中点，BD 与AB 1交于点O ，且CO⊥平面ABB 1A 1． ⑴证明：CD ⊥AB 1；⑵若OC=OA ，求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值．20．设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．⑴若2p =且090BFD ∠=时，求圆F 的方程；⑵若,,A B F 三点在同一直线m 上，设直线m 与抛物线C 的另一个交点为E ，在y 轴上求一点G ，使得OGE OGA ∠=∠． 21．已知函数()ln ,f x x mx m m R =-+∈．AD111⑴求函数)(x f 的极值点；⑵若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围； ⑶在⑵的条件下，对任意0a b <<，求证：()()1(1)f b f a b a a a -<-+请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题给分．为参数，的倾斜角α (x2015-2016学年度理数三模联考卷答案1．A ．2．A ，∵集合P={x |1＜2x＜2}={x |0＜x ＜1}，Q={x|log 0.5x ＞1}={x |0＜x ＜0.5}，∴P∩Q=（0，0.5）． 3．A ．4．D ，∵sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )＝1－2cos A sin B ，∴si n A cos B －cos A sin B ＝1－2cos A ²sin B ，∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝1，即sin(A ＋B )＝1，∴A ＋B ＝π2 5．D ，∵a 4－2a 27＋3a 8＝0，∴2a 27＝a 4＋3a 8，∴2a 27＝a 5＋a 7＋2a 8＝a 5＋a 7＋a 7＋a 9，即2a 27＝4a 7，∴a 7＝2，∴b 7＝2，故b 6b 7b 8＝b 27b 7＝(b 7)3＝8．6．D ，根据题中的程序框图，模拟运行如下：输入n=6，m=4，k=1，p=1，∴p=1³（6﹣4+1）=3，k=1＜4，符合条件，∴k=1+1=2，p=3³（6﹣4+2）=12，k=2＜4，符合条件， ∴k=2+1=3，p=12³（6﹣4+3）=60，k=3＜4，符合条件，∴k=3+1=4，p=60³（6﹣4+4）=360，k=4=4，不符合条件，故结束运行，输出p=360．7．C ，设m PF =||2，则m PF 2||1=，由椭圆定义42||||21==+a PF PF∴42=+m m ∴34=m . 又3222||2221=-==b a c F F ， ∴由余弦定理可得22212121212||||||7cos 2||||16PF PF F F F PF PF PF +-∠==-．8．D ，该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，所以其体积为8－43－16＝132．9．D ，∵3()cos(3)2f x x x π=+=3sin 3x x -，33()()sin(3)sin ()f x x x x x f x -=---=-=∴()f x 是偶函数，∵()f x '=233sin 33cos3x x x x --=23(sin3cos3)x x x x -+∴当06x π<<时，()f x '＜0，则()f x 在（6π0，）上是减函数．10．A ，由约束条件作可行域如图，联立，解得C （1，）．联立，解得B （2，1）．在x ﹣y ﹣1=0中取y=0得A （1，0）．要使1≤ax+y≤4恒成立，则，解得：1≤a≤． ∴实数a 的取值范围是[1，]．11．C ，114111,40a C b a b =+==由可得224222,33a C b a b =+==-所以又因为可得． 12．C ，即即∴．13．1或21-，根据双曲线方程的结构形式可知，此双曲线的焦点在y 轴上， 且122+=m a ,0622>+=m b ，故7222++=m m c 且3->m ，于是222222)5(172=+++==m m m a c e ，解得1=m ，或21-=m ，经检验符合题意．14．27±． 15．16．1007，当2n ≥时，2n n S a n -=，则当3n ≥时，1121n n S a n ---=-， 两式相减，故当3n ≥时，11n n a a -+=.故1007...S 212016201543210162++=++++++=∴a a a a a a a a ，又12a =，2222S a -=，1222()2a a a ∴+-=，22-=∴a ，故20161007S =.17．⑴∵函数f (x )的图象关于点(π6，0)对称，∴f (π6)＝0，即sin(2³π6－A )＝0.………………1分又A ∈(0，π)，∴A ＝π3．………………2分∵x ∈(0，π2)，∴2x －π3∈(－π3，2π3)，………………3分∴－32<sin(2x －π3)≤1，…4分 即函数f (x )的值域为(－32，1]．………………5分 ⑵由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得sin B ＋sin C ＝b sin A a ＋c sin Aa，………………6分又∵a ＝7，A ＝π3，∴sin B ＋sin C ＝314(b ＋c )．………………7分∵sin B ＋sin C ＝13314，∴b ＋c ＝13. ………………8分由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得49＝b 2＋c 2－bc ， 即49＝(b ＋c )2－3bc ＝169－3bc ，………………10分∴bc ＝40. ………11分 ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝10 3.………………12分18．⑴设某车在两年中出险次数为N,则(2)(0)(1)(2)P N P N P N P N ≤==+=+=112250050050038050010038038010001000100010001000100010001000C C =⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯……2分 0.8744= …………………………4分∴某车在两年中出险次数不超过2次的概率为0.8744………………………5分 ⑵设该车辆2017 年的保费倍率为X ,则X 为随机变量，X 的取值为0.85 ,1,1.25 ,1.5 ,1.75 , 2………………………6分 X 的分布列为……………9分计算得下一年保费的期望倍率为EX ＝0.85³0.5＋1³0.38+ 1.25³0.1 +1.5³0.015 +1.75³0.004 + 2³0.001 = 0.9615………10分该车辆估计2017年应缴保费为:(120³ 20 +1600) ³ 0.9615 = 3846元……………………12分19．⑴证明：∵ABB 1A 1是矩形，D 为AA 1中点，AB=2，AA 1=2，AD=，∴在直角三角形ABB 1中，tan∠AB 1B==，在直角三角形ABD 中，tan∠ABD==，所以∠AB 1B=∠ABD，又∠BAB 1+∠AB 1B=90°，∠BAB 1+∠ABD=90°，……3分 所以在直角三角形ABO 中，故∠BOA=90°，即BD⊥AB 1，又因为CO ⊥侧面ABB1A1，AB1⊂侧面ABB1A1，所以CO ⊥AB1……………4分 又因为CO ，BD 为相交于点O ，所以AB1⊥面BCD ………………5分 因为CD ⊂面BCD ，所以CD ⊥AB1………………6分⑵解：分别以OD ，OB 1，OC 所在的直线为x ，y ，z 轴，以O 为原点，建立空间直角坐标系，则A （0，﹣，0），B （﹣，0，0），C （0，0，）B 1（0，，0），D （，0，0），又因为=2，所以 所以=（﹣，，0），=（0，，）=（，，），=（，0，﹣）………………8分设平面ABC 的法向量为=（x ，y ，z ），由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AC n AB n 得可得=（1，，﹣）是平面ABC 的一个法向量……………………10分∴515,cos =>=<CD n ……………………11分 所以直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值为…………………………12分20．⑴由已知可得)1,0(F ，BFD ∆为等腰直角三角形，||4BD =，圆F 的半径22||=FB ，圆F 的方程为8)1(22=-+y x ……………………2分 ⑵因为,,A B F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，090ADB ∠=.……3分 由抛物线定义知1||||||2AD FA AB ==，所以030ABD ∠=，m……………………4分①当m的斜率为3时，直线m的方程为：32py x =+……………………………5分 代入x 2＝2py，220(0)x px p -=∆>.………………………………6分解得12,x x p ==. 不妨记3,),(,)26pA p E p ，并设0(0,)G y …8分OGE OGA ∠=∠ ，0GE GA k k ∴+= ………………………………………9分0030p y y p --=，解得02p y =- ……………………………………10分 ②当m 的斜率为-(0,)2p G - ………………………11分综上，点G 的坐标为(0,)2p- ……………………………12分21．⑴1()f x m x '=-xmx -=1)0(>x ……………………………1分 当0m ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x 无极值点………………2分当0>m 时，当10x m<<时，()0f x '>；当1x m >时，()0f x '<此时()f x 有极大值点1x m>………………………………4分 ⑵由⑴得0≤m 时，显然不成立，当0>m 时，m a x11()()ln 10f x f m m m==-+≤1ln --=m m ，只需01ln ≤--m m …………………6分 令1()1ln f x x x =--， 11()1f x x'=-易得1()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增∴1max 1()(1)0f x f ==，则1()0f x ≥，所以1ln 10m m-+≤的解为1m =综上所述：1=m ………………………………8分⑶ln()()ln ln ln ln 1111b f b f a b a a b b a a b b a b a b a a a --+--==-=----- 111ln -⋅-=a ab a b …………………9分 由0a b <<得1b a >，由⑴得ln 1b ba a≤-则 …………………10分2ln 1111111(1)(1)1b a a a b a a a a a a a a---≤-==<++- …………………11分则不等式()()1(1)f b f a b a a a -<-+成立 …………………12分22．⑴因为MD 为⊙O 的切线，由切割定理知MD 2＝MA²MB…………………………2分3<0 ≤1)11。