2018_2019学年高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(二)学案北师大版必修4

§8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质(二)学习目标 1.掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期、单调性及最值的求法(重、难点). 2.理解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称性(难点)．知识点 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的性质(1)函数y ＝2sin(2x ＋π6)＋1的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 当2x ＋π6＝2k π＋π2时，即x ＝k π＋π6(k ∈Z )时最大值为3.答案 C(2)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A ．4πB ．2πC ．πD.π2解析 由题意T ＝2π2＝π，故选C.答案 C题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的最值问题【例1】 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域． 解 ∵0≤x ≤π2，∴0≤2x ≤π.∴π4≤2x ＋π4≤5π4. ∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1.∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤2，即－1≤y ≤ 2. ∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域为[－1，2]． 规律方法 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[m ，n ]的值域的步骤： (1)换元，u ＝ωx ＋φ，并求u 的取值范围； (2)作出y ＝sin u (注意u 的取值范围)的图像； (3)结合图像求出值域．【训练1】 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的最大值和最小值．解 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3，∴0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝2；当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0时，y min ＝0.方向1 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期 【例2－1】 求下列函数的周期： (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6(x ∈R )．解 (1)T ＝2π2＝π.(2)T ＝2ππ2＝4.方向2 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性与对称性【例2－2】 (1)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像的对称轴方程为________，对称中心为________．(2)若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ是偶函数，则φ的值可以是( )A.5π6 B.π2C.π3D ．－π2解析 (1)令y ＝±1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝±1，则2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，即对称轴方程为x ＝k π2＋π12(k ∈Z )．令y ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0，则2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴x ＝k π2－π6(k ∈Z )，∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0(k∈Z )．(2)由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ为偶函数得φ－π3＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋5π6.∴当k ＝0时φ＝5π6.故选A.答案 (1)x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0(k ∈Z ) (2)A方向3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ) 单调性 【例2－3】 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间．解 ∵y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间就是函数u ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的递减区间． ∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )．规律方法 1.关于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称性与奇偶性(1)将ωx ＋φ看作整体，代入到y ＝sin x 的对称中心、对称轴的表达式可以求出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心、对称轴或求φ值．(2)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝π＋k π，k ∈Z ，若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋k π，k ∈Z ，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性实质是函数的对称中心、对称轴的特殊情况．2．求解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)单调区间的四个步骤 (1)将ω化为正值．(2)根据A 的符号确定应代入y ＝sin θ的单调增区间，还是单调减区间．(3)将ωx ＋φ看作一个整体，代入到上述的单调区间中解出x 的范围即为函数在R 上的单调区间．(4)如果要求函数在给定区间上的单调区间，则给k 赋值求单调区间． 题型三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的综合应用【例3】 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图像关于点M ⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．解 由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即函数f (x )的图像关于y 轴对称， ∴f (x )在x ＝0时取得最值．即sin φ＝±1. 依题设0≤φ≤π，∴解得φ＝π2.由f (x )的图像关于点M 对称，可知 sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4ω＋π2＝0，解得ω＝4k 3－23，k ∈Z .又∵f (x )在[0，π2]上是单调函数，∴T ≥π，即2πω≥π，∴ω≤2.又∵ω＞0，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2.∴φ＝π2，ω＝2或ω＝23.规律方法 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)综合应用的注意点(1)对于平移问题，应特别注意要提取x 的系数，即将ωx ＋φ变为ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω后再观察x的变化．(2)对于对称性、单调性问题应特别注意将ωx ＋φ看作整体，代入一般表达式解出x 的值． (3)对于值域问题同样是将ωx ＋φ看作整体，不同的是根据x 的范围求ωx ＋φ的范围，再依据图像求值域．(4)对于奇偶性问题，由φ来确定，φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是偶函数．【训练2】 设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)图像的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间． 解 (1)∵x ＝π8是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一条对称轴，∴2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∵－π＜φ＜0，由此可得φ＝－3π4.(2)由题意，得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z .课堂达标1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4－1的图像的一个对称中心坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0C.⎝⎛⎭⎪⎫π4，－1D.⎝⎛⎭⎪⎫π12，－1解析 3x －π4＝k π(k ∈Z )，x ＝π12＋k π3(k ∈Z )，令k ＝0，则x ＝π12，把x ＝π12代入y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4－1，得y ＝－1，∴对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，－1.答案 D2．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x 的单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3－5π12，2k π3－π12(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2k π3－5π12，－2k π3－π12(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3－π12，2k π3＋π4(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3－π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )解析 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x ＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4，∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x 的递减区间就是y ＝sin(3x －π4)的递增区间．由2k π－π2≤3x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )得2k π3－π12≤x ≤2k π3＋π4(k ∈Z )．答案 C3．函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B ．1 C.35 D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65.答案 A4．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像为C ，下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的序号)．①图像C 关于直线x ＝11π12对称；②图像C 关于点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝3sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度可以得到图像C .解析 由于2×11π12－π3＝3π2，故①正确．由于2×2π3－π3＝π，故②正确；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故函数f (x )为增函数，故③正确；将函数y ＝3sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度可得函数y ＝3sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图像，故④不正确． 答案 ①②③5．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈R .(1)写出函数f (x )的对称轴方程、对称中心的坐标； (2)求函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值． 解 (1)由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )得，x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π3，k ∈Z .由2x －π6＝k π得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )．所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π12，0，k ∈Z .(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤56π，所以当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值－1；当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值2.课堂小结1．对于y ＝A sin(ωx ＋φ)，其奇偶性可由φ决定，φ取不同值可得不同的奇偶性． 2．求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意ω的正负．3．y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心实质上是其图像与x 轴的交点，对称轴即过最高点或最低点且与x 轴垂直的直线.基础过关1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( ) A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称答案 A2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3在一个周期内的三个“零点”横坐标是( )A ．－π3，5π3，11π3B ．－2π3，4π3，10π3C ．－π6，11π6，23π6D ．－π3，2π3，5π3解析 由题x ＝－π3，－π6时y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3≠0，故A 、C 、D 错．答案 B3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，若存在α∈(0，π)，使得f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，则α的值是( ) A.π6 B.π3 C.π4D.π2解析 f (x ＋α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2α－π4， f (x ＋3α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋6α－π4，因为f (x ＋α)＝f (x ＋3α)且α∈(0，π)， 所以2x ＋2α－π4＝2x ＋6α－π4.所以α＝π2.故选D.答案 D4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π2的单调递增区间为________．解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π2，∴12x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12， ∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上单调递增． ∴－π6≤12x ＋π3≤π2.解得－π≤x ≤π3.故填⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π3.答案 [－π，π3]5．函数y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3的图像与x 轴的交点中，与原点最近的一点坐标是________． 解析 函数y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3的图像与x 轴相交． ∴4x ＋2π3＝k π，∴x ＝－π6＋k π4(k ∈Z )．当k ＝1时，交点离原点最近坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫π12，06．已知函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域为[－5,4]，求常数a ，b 的值．解 f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋b ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 则当a ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，b －2a ＝－5，∴a ＝3，b ＝1.当a ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－5，b －2a ＝4，∴a ＝－3，b ＝－2.7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像过点P ⎝⎛⎭⎪⎫π12，0，图像与P 点最近的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5. (1)求函数解析式； (2)指出函数的增区间； (3)求使y ≤0的x 的取值范围．解 (1)∵图像最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5，∴A ＝5.∵T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π. ∴ω＝2πT ＝2.∴y ＝5sin(2x ＋φ)．代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋φ＝1.∴23π＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z . 令k ＝0，则φ＝－π6，∴y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)∵函数的增区间满足2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴2k π－π3≤2x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )． ∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．∴增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(3)∵5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤0， ∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )．∴k π－512π≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．能力提升8．将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 解析 由题可得平移后的函数为y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，令2k π－π2≤2x －2π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )，故该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )上单调递增，当k ＝0时，选项B 满足条件，故选B. 答案 B9．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 解析 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像可由y ＝cos x 的图像向左平移π3个单位得到，如图可知，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上先递减后递增，D 选项错误．答案 D10．ω为正实数，函数f (x )＝2sin ωπx 的周期不超过1，则ω的最小值是________．解析 由2πωπ≤1，得ω≥2.即ω的最小值为2. 答案 211．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是________． 解析 令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．由k ＝0，得x ＝π3； 由k ＝－1，得x ＝－π6. 答案 x ＝－π612．已知方程2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝k 在x ∈[0，π]上有两个解，求实数k 的范围． 解 令y 1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，y 2＝k ，在同一坐标系内作出它们的图像(0≤x ≤π)，由图像可知，当1≤k ＜2时，直线y 2＝k 与曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在0≤x ≤π上有两个公共点，即当1≤k ＜2时，原方程有两个解．13．(选做题)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)与对数函数y ＝g (x )在同一坐标系中的图像如图所示．(1)分别写出两个函数的解析式；(2)方程f (x )＝g (x )共有多少个解？解 (1)由图像知A ＝2，φ＝0，T ＝2，故ω＝π，f (x )＝2sin πx .设g (x )＝log a x ，由图像知log a 4＝－1，故a ＝14，g (x )＝log 14x . (2)因g (x )为减函数，f (x )最小值为－2.故当g (x )≥－2时，可能有交点，由log 14x ≥－2，得0＜x ≤16.当2≤x ≤16时，f (x )与g (x )在f (x )的每一个周期上的图像均有两个交点，共14个交点；当0＜x ＜2时，由图像知有3个交点；当x ＞16时，图像无交点．综上可知，f (x )＝g (x )共有17个解．。