高中数学必修三角函数知识点与题型总结

高中数学必修三角函数知
识点与题型总结
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三角函数典型考题归类
1．根据解析式研究函数性质
例1（天津理）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．
【相关高考1】（湖南文）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭．
求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间．
【相关高考2】（湖南理）已知函数2π()cos 12f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，1()1sin 22g x x =+．
（I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．
2．根据函数性质确定函数解析式
例2（江西）如图，函数π
2cos()(00)2
y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y 轴相交于点(0，且
该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值；
（2）已知点π02A ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA
的中点，当0y =
0ππ2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，时，求0x 的值． 【相关高考1】（辽宁）已知函数2
ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛
⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭R ，（其中0ω>），（I ）求函数()f x 的值域；（II ）（文）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交
点间的距离为
π
2
，求函数()y f x =的单调增区间．
（理）若对任意的a ∈R ，函数()y f x =，(π]x a a ∈+，的图象与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数()y f x x =∈R ，的单调增区间． 【相关高考2】（全国Ⅱ）在ABC △中，已知内角A π
=
3
，边BC =．设内角B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求函数()y f x =的最大值． 3．三角函数求值
例3（四川）已知cos α=7
1,cos(α-β)＝
14
13，且0<β<α<2
π,(Ⅰ)求tan2α的值；（Ⅱ）求β.
【相关高考1】（重庆文）已知函数f (x )=
)
2
sin(42cos 2π
π+
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-x x .（Ⅰ）求f (x )的定义域；（Ⅱ）若角a 在第一
象限，且）。

（求a f a ,5
3cos =
【相关高考2】(重庆理)设f(x )=x x 2sin 3cos 62-（1）求f(x )的最大值及最小正周期；（2）若锐
角α满足323)(-=αf ，求tan α5
4
的值.
4．三角形中的函数求值
例4（全国Ⅰ）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．
（Ⅰ）求B
的大小；（文）（Ⅱ）若a =5c =，求b ．（理）（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．
【相关高考1】（天津文）在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4
cos 5A =-．
（Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值．
【相关高考2】（福建）在ABC △中，1tan 4A =
，3
tan 5
B =．（Ⅰ）求角
C 的大小；文（Ⅱ）若AB
BC 边的长．理（Ⅱ）若ABC △
5三角函数与不等式
例7
（湖北文）已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，．（I ）求()f x 的最大值和最小
值；
（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，上恒成立，求实数m 的取值范围．
6．三角函数与极值
例8（安徽文）设函数()R x t t t x
x t x x f ∈+-++--=,4342
cos 2sin 4cos 232
其中t ≤1，将()x f 的最小值记为g (t ).
(Ⅰ)求g (t )的表达式；(Ⅱ)讨论g (t )在区间（-1,1）内的单调性并求极值.
2011三角函数集及三角形高考题
1.（2011年北京高考9）在ABC 中，若
1
5,,sin 4
3b B A π
=∠=
=
，则a =.
2.（2011年浙江高考5）.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则
2sin cos cos A A B +=
(A)-12(B)1
2(C)-1(D)1
3.（2011年全国卷1高考7）设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π
个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于
（A ）1
3（B ）3（C ）6（D ）9
5.（2011年江西高考14）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若
()
4,p y 是角θ终边
上一点，且
sin 5θ=-
，则y=_______.
6．（2011年安徽高考9）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若
()()
6f x f π
≤对x R ∈恒成立，且()()
2f f π
π>，则()f x 的单调递增区间是
（A ）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（B ）,()2k k k Z πππ⎡
⎤+∈⎢⎥⎣⎦ （C ）2,()63k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣⎦（D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦
7．（2011四川高考8）在△ABC 中，222
sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是
（A ）(0,]
6π
（B ）[,)
6π
π
（C ）(0,]
3π
（D ）[,)
3π
π
1.（2011年北京高考17）已知函数()4cos sin() 1.
6f x x x π
=+-
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值。

3.（2011年山东高考17）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知
cos 2cos 2cos A C c a
B b --=
，
（Ⅰ）求sin sin C A 的值；（Ⅱ）若1
cos ,2
4B b ==，求ABC ∆的面积S 。

5.（2011年全国卷高考18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.
己知
sin csin sin sin a A C C b B +=.
(Ⅰ)求B ；（Ⅱ）若
75,2,A b ==a c 求，. 6.（2011年湖南高考17）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C =
（I ）求角C 的大小；（II
cos()
4A B π
-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小． 7．（2011年广东高考16）已知函数
1()2sin()
36f x x π
=-，x ∈R ． （1）求
5()4f π的值；（2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求cos()αβ+的值． 8．（2011年广东高考18）已知函数
73()sin()cos()44f x x x ππ=+
+-，x ∈R ． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知
4cos()5βα-=
，4cos()5βα+=-，02π
αβ<<≤．求
证：
2
[()]20f β-=． 9.（2011年江苏高考17）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,
（1）若
,
cos 2)6
sin(A A =+
π
求A 的值；（2）若c
b A 3,31
cos ==，求C sin 的值.
10.（2011高考）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinAsinB+bcos 2
a 。

（I ）求b
a ；（II ）若c 2=
b 2
2，求B 。

11.（2011年湖北高考17）设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知
1
1,2,c o s 4a b C ===
(I)求ABC ∆的周长；(II)求c o s ()A C -的值。

12.（2011年浙江高考18）在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，已知1cos 24C =-
(I)求sinC 的值；(Ⅱ)当a=2，2sinA=sinC 时，求b 及c 的长．。