三角函数的图像和性质题型归纳总结
三角函数图像与性质知识点总结和经典题型
函数图像与性质知识点总结和经典题型1．正弦函数、xx函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间：求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，3．对称轴与对称中心：的对称轴为，对称中心为；的对称轴为，对称中心为；无对称轴，对称中心为；对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。
4．函数最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。
y＝Asin(ωx＋φ)＋B的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝；②B的确定：根据图象的最高点和最低点，即B＝；③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T＝(ω>0)来确定ω；④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B，然后根据φ的范围确定φ即可，例如由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋K最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－(即令ωx＋φ＝0，x＝－)确定φ.5.三角函数的伸缩变化先平移后伸缩的图象得的图象得的图象得的图象得的图象．先伸缩后平移的图象得的图象得的图象得的图象得的图象．6．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。
7．求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。
函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 .8．五点法作y=Asin（ωx+）的简图：五点取法是设x=ωx+，由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。
三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结
三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结知识点讲解1.“五点法”作图原理在确定正弦函数])2,0[(sin π∈=x x y 的图像时，起关键作用的5个点是)0,2(),1,23(),0,(),1,2(),0,0(ππππ-.在确定余弦函数])2,0[(cos π∈=x x y 的图像时，起关键作用的5个点是)1,2(),0,23(),1,(),0,2(),1,0(ππππ-.2.3.)sin(ϕ+=wx A y 与)0,0)(cos(>>+=w A wx A y ϕ的图像与性质 （1）最小正周期：wT π2=. （2）定义域与值域：)sin(ϕ+=wx A y ，）ϕ+=wx A y cos(的定义域为R ，值域为[-A ,A ]. （3）最值假设00>>w A ，. ①对于)sin(ϕ+=wx A y ，⎪⎩⎪⎨⎧-∈+-=+∈+=+;)(22;)Z (22A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当ππϕππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，⎩⎨⎧-∈+=+∈=+;)(2;)Z (2A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当ππϕπϕ （4）对称轴与对称中心. 假设00>>w A ，. ①对于)sin(ϕ+=wx A y ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+∈=+=+=±=+∈+=+).0,()sin(0)sin()()sin(1)sin()(2000000x wx y wx Z k k wx xx wx y wx Z k k wx 的对称中心为时，，即当的对称轴为时，，即当ϕϕπϕϕϕππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+∈+=+=+=±=+∈=+).0,()cos(0)cos()(2)cos(1)cos()(000000x wx y wx Z k k wx x x wx y wx Z k k wx 的对称中心为时，，即当的对称轴为时，，即当ϕϕππϕϕϕπϕ 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与x 轴交点的位置.（5）单调性. 假设00>>w A ，. ①对于)sin(ϕ+=wx A y ，⎪⎩⎪⎨⎧⇒∈++∈+⇒∈++-∈+.)](223,22[)](22,22[减区间增区间；Z k k k wx Z k k k wx ππππϕππππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，⎩⎨⎧⇒∈+∈+⇒∈+-∈+.)](2,2[)](2,2[减区间增区间；Z k k k wx Z k k k wx πππϕπππϕ （6）平移与伸缩由函数x y sin =的图像变换为函数3)32sin(2++=πx y 的图像的步骤；方法一：)322(ππ+→+→x x x .先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形.−−−−−→−=个单位向左平移的图像3sin πx y 的图像)3sin(π+=x y 12−−−−−−−−→所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变的图像)32sin(π+=x y 2−−−−−−−−−→所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变的图像)32sin(2π+=x y−−−−−→−个单位向上平移33)32sin(2++=πx y方法二：)322(ππ+→+→x x x .先周期变换，后相位变换，再振幅变换.的图像x y sin =12−−−−−−−−→所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变−−−−−→−=个单位向左平移的图像62sin πx y的图像)22sin()6(2sin ππ+=+=x x y 2−−−−−−−−−→所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变−−−−−→−+=各单位向上平移的图像3)32sin(2πx y 3)32sin(2++=πx y注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x 而言的，即图像变换要看“变量x ”发生多大变化，而不是“角ϕ+wx ”变化多少.例如，函数x y 2sin =的图像向右平移6π个单位，得到的图像表达式是)32sin()6(2sin ππ-=-=x x y ，而不是)62sin(π-=x y ；再如，将图像)6sin(π+=x y 上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到的函数图像表达式是)621sin(x x y +=，而不是)6(21sin π+=x y .此点要引起同学们的的别注意.题型归纳及思路提示思路提示一般将所给函数化为)sin(ϕ+=wx A y 或)cos(ϕ+=wz A y ，0.0>>w A ，然后依据x y x y cos ,sin ==的性质整体求解.题型1 三角函数性质的应用一、函数的奇偶性例4.16函数)0)(sin(πϕϕ≤≤+=x y 是R 上的偶函数，则ϕ等于（ ） A .0 B .4π C .2πD .π 解析 因为函数)sin(ϕ+=x y 是R 上的偶函数，所以其图像关于y 轴对称，有正弦函数的对称性知，当0=x 时，1sin ±=ϕ，又πϕ≤≤0，所以2πϕ=.故选C.评注 由x y sin =是奇函数和x y cos =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论： （1）若)sin(ϕ+=x A y 为奇函数，则)(Z k k ∈=πϕ； （2）若)sin(ϕ+=x A y 为偶函数，则)(2Z k k ∈+=ππϕ； （3）若)cos(ϕ+=x A y 为奇函数，则)(2Z k k ∈+=ππϕ；（4）若)cos(ϕ+=x A y 为偶函数，则)(Z k k ∈=πϕ； 若)tan(ϕ+=x A y 为奇函数，则)(2Z k k ∈=πϕ，该函数不可能为偶函数. 变式1 已知R a ∈，函数)(sin )(R x a x x f ∈-=为奇函数，则a 等于（ ）. A .0 B .1 C .-1 D .1±变式2 设R ∈ϕ，则“0=ϕ”是“))(cos()(R x x x f ∈+=ϕ为偶函数”的（ ）.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不比哟啊条件 变式3设)sin()(ϕ+=wx x f ，其中0>w ，则)(x f 是偶函数的充要条件是（ ）.A .1)0(=fB . 0)0(=fC . 1)0(='fD . 0)0(='f 例4.17设函数))(22sin()(R x x x f ∈-=π，则)(x f 是（ ）.A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数解析 x x x f 2cos )22sin()(-=-=π，所以是最小正周期为x 的偶函数.故选B.变式1 若函数)(21sin )(2R x x x f ∈-=，则)(x f 是（ ）A. 偶函数且最小正周期为πB. 奇函数且最小正周期为πC. 偶函数且最小正周期为π2D. 奇函数且最小正周期为π2变式2 下列函数中，既是)2,0(π上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（ ）A .x y 2cos =B .x y 2sin =C .x y cos =D .x y sin = 二、函数的周期性 例4.18函数)62cos()62sin(ππ++=x x y 的最小正周期为（ ）A .2π B .4πC .π2D .π 解析 函数)34sin(21)62cos()62sin(πππ+=++=x x x y ，242ππ==T .故选A评注 关于三角函数周期的几个重要结论：（1）函数b wx A y b wx A y b wx A y ++=++=++=)tan(,)cos(,)sin(ϕϕϕ的周期分别为wT π2=，wT π=. （2）函数)cos(,)sin(ϕϕ+=+=wx A y wx A y ，)tan(ϕ+=wx A y 的周期均为wT π=（3）函数)0()cos(),0()sin(≠++=≠++=b b wx A y b b wx A y ϕϕ的周期均wT π2=.变式1 函数)32cos()62sin(ππ++=x x y 的最小正周期和最大值分别为（ ）A .1,πB .2,πC .1,2πD .2,2π变式2 已知函数))(cos (sin sin )(R x x x x x f ∈-=，则)(x f 的最小正周期为_____. 变式3 设函数x x x f 3sin 3sin )(+=，则)(x f 为（ ）A. 周期函数，最小正周期为3πB. 周期函数，最小正周期为32πC. 周期函数，最小正周期为π2D. 非周期函数 二、函数的单调性 例4.19函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是（ ）A .]3,0[πB .]127,12[ππC .]65,3[ππD .],65[ππ解析 因为)62sin(2)26sin(2ππ--=-=x x y ，所以)26sin(2x y -=π的递增区间实际上是 )62sin(2π-=x y 的递减区间.令)(2326222Z k kx x k ∈+≤-≤+ππππ， 解得)(653Z k k x k ∈+≤≤+ππππ. 令0=k ，得653ππ≤≤x ，又因为],0[π∈x ， 所以653ππ≤≤x .即函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 的增区间为]65,3[ππ.故选C评注 三角函数的单调性，需将函数)sin(ϕ+=wx A y 看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式.如函数)0,0)(sin(>>+=w A wx A y ϕ的单调区间的确定基本思想是吧ϕ+wx 看做是一个整体，如由)(2222Z k kx wx k ∈+≤+≤-πϕππ解出x 的范围，所得区间即为增区间；由)(23222Z k kx wx k ∈+≤+≤+πϕππ解出x 的范围，所得区间即为减区间.若函数)sin(ϕ+=wx A y 中0,0>>w A ，可用诱导公式将函数变为)sin(ϕ---=wx A y ，则)sin(ϕ--=wx A y 的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间.如)4sin()4sin(ππ--=-=x x y ，令22422πππππ+≤-≤-k x k ，即)(43242Z k k x k ∈+≤≤-ππππ，可得)](432,42[Z k k k ∈+-ππππ为原函数的减区间.对于函数)tan(),cos(ϕϕ+=+=wx A y wx A y 的单调性的讨论与以上类似处理即可. 变式1 若函数)(sin x f x y +=在]43,4[ππ-内单调递增，则)(x f 可以是（ ）.A .1B .x cosC .x sinD .x cos -变式2 已知0>w ，函数)4sin()(π+=wx x f 在),2(ππ上单调递减，则w 的取值范围是（ ） A .]45,21[ B .]43,21[ C .]21,0( D .]2,0( 变式3 已知函数)0(,),3cos()3cos(sin 3)(>∈-+++=w R x wx wx wx x f ππ.（1）求函数)(x f 的值域； （2）若)(x f 的最小正周期为]2,0[,2ππ∈x ，求)(x f 的单调递减区间. 四、函数的对称性（对称轴、对称中心） 例4.30函数)32sin(π+=x y 图像的对称轴方程可能是（ ）A .6π-=x B .12π-C .6π=x D .12π=x解析 解法一：已知x y sin =的对称轴方程是)(2Z k k x ∈+=ππ令)(232Z k k x ∈+=+πππ，得)(122Z k k x ∈+=ππ， 当0=k 时，12π=x ，故选D.解法二，当6π-=x 时，032=+πx .其正弦值为0；当12π-=x 时，632ππ=+x ，其正弦值不等于1或-1当6π=x 时，3232ππ=+x ，其正弦值不等于1或-1 当12π=x 时，232ππ=+x ，这时12sin=π.故选D评注 关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数x y sin =的对称轴为)(2Z k k x ∈+=ππ，对称中心为))(0.(Z k k ∈π；（2）函数x y cos =的对称轴为)(Z k k x ∈=π，对称中心为))(0,2(Z k k ∈+ππ；（3）函数x y tan =函数无对称轴，对称中心为))(0,2(Z k k ∈π；（4）求函数)0()sin(≠++=w b wx A y ϕ的对称轴的方法；令)(2Z k k wx ∈+=+ππϕ，得)(2Z k w k x ∈-+=ϕππ；对称中心的求取方法；令)(Z k k wx ∈=+πϕ，得wk x ϕπ-=，即对称中心为)(b wk ，ϕπ-.（5）求函数)0()cos(≠++=w b wx A y ϕ的对称轴的方法；令)(Z k k wx ∈=+πϕ得wk x ϕππ-+=2，即对称中心为))(,2(Z k b wk ∈-+ϕππ变式1 已知函数)0)(3sin()(>+=w wx x f π的最小正周期为π，则该函数的图像（ ）.A .关于点)0,3(π对称 B .关于直线4π=x 对称 C .关于点)0,4(π对称 D .关于直线3π=x 对称变式2 )4sin(π-=x y 的图像的一个对称中心是（ ）A .)0,(π-B .)0,43(π-C . )0,43(πD .)0,2(π变式3 52sin52cos xx y +=的图像中，相邻两条对称轴之间的距离是______. 变式4 将函数x x y cos 3sin -=的图像沿x 轴向右平移a 个单位)0(>a ，所得图像关于y 轴对称，则a 的最小值是（ ）.A .67πB .2πC .6πD .3π五、三角函数性质的综合 思路提示三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性.因为对称性⇒奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数)(x f 为奇函数；若函数图像关于y 轴对称，则函数)(x f 为偶函数）；对称性⇒周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是2T ；相邻的对称中心之间的距离为2T；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为4T）；对称性⇒单调性（在相邻的对称轴之间，函数)(x f 单调，特殊的，若0,0),sin()(>>=w A wx A x f ，函数)(x f 在],[21θθ上单调，且],[021θθ∈，设{}21,max θθθ=，则θ≥4T深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）例4.21设x b x a x f 2cos 2sin )(+=，其中,0,,≠∈ab R b a 若)6()(πf x f ≤对一切R x ∈恒成立，则①;0)1211(=πf ②)5()107(ππf f <； ③)(x f 既不是奇函数也不是偶函数； ④)(x f 的单调递增区间是)](32,6[Z k k k ∈++ππππ； ⑤存在经过点),(b a 的直线与函数)(x f 的图像不相交. 以上结论正确的是_______（写出所有正确命题的序号）分析 函数)2sin()(22ϕ++=x b a x f ，a b =ϕtan ，其中一条对称轴为6π=x ，函数的最小正周期π=T ，通过对称轴⇒对称中心（对称轴与零点相距4T的奇数倍）通过对称轴⇒奇偶性（若函数)(x f 为奇函数，则6π等于4T 的奇数倍；若函数)(x f 为偶函数，则6π等于4T的偶数倍）；通过对称性⇒单调性（在相邻的两条对称轴之间，)(x f 单调递增或单调递减）.解析 )2sin()(22ϕ++=x b a x f ，其中a b =ϕtan ，))6((πf x f ≤对一切R x ∈恒成立，知直线6π=x 是)(x f 的对称轴，又)(x f 的最小正周期为π. 对于①：)436()1211(πππ+=f f 可看做6π=x ，加了43个周期所对应的函数值，所以0)1211(=πf .故①正确对于②：函数)(x f y =周期2π=T ，因为25107πππ=-，所以)5()107(ππf f =，因此)5()107(ππf f <错误，故②不正确. 对于③：因为6π既不是4T 的奇倍数，也不是4T的偶倍数，所以函数)(x f 的图像既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，所以函数)(x f 既不是奇函数也不是偶函数，故③正确 对于④：依题意，函数)(x f 相邻两条对称轴32,621ππ==x x ，在区间)](32,6[Z k k k ∈++ππππ上函数)(x f 单调，不能确定是单调递增，还是单调递减，故④不正确.对于⑤：因为x b x a x f 2cos 2sin )(+=)2sin(22ϕ++=x b a （其中ab =ϕtan ），所以22)(b a x f +≤，又0≠ab ，所以22b a b +≤，因此经过点),(b a 的直线与函数)(x f 的图像相交，⑤不正确，应填①③. 例4.22设)2cos(sin )6cos(4)(ππ+--=wx wx wx x f ，其中0>w（1）求)(x f 的值域； （2）若)(x f y =在区间]2,23[ππ-上为增函数，求w 的最大值. 解析12sin 32cos 2cos 12sin 32cos sin 2cos sin 322cos sin )6sin sin 6cos(cos 42cos sin )6cos(4)(12+=+-+=++=++=+-=wx wx wx wx wxwx wx wx wxwx wx wx wxwx wx x f πππ）（因为]1,1[2sin -∈wx 所以函数)(x f 的值域为]31,31[+-. （2）解法一：12sin 3)(+=wx x f ，由)(x f y =在区间]2,23[ππ-上为增函数，的)0](2,2[],3[>-⊆-w w w ππππ 故⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-223ππwx wx ，得610≤<w ，则w 的最大值为61. 解法二：由12sin 3)(+=wx x f )0(>w 在区间]2,23[ππ-上为增函数，含原点的增区间的对称型可知函数)(x f 在]23,23[ππ-上也为增函数，故π32≥T ，即π6≥T ，得ππ622≥w ，故610≤<w ，则w 的最大值为61评注 一般的，若))((R x x f ∈为奇函数，在],[21θθ上为增函数，其中210θθ<<，若令},max{21θθθ=，则4T≤θ，即可求出w 的范围. 变式1 已知函数)sin(2)(wx x f =，其中常数0>w ，若)(x f y =在]32,4[ππ-上单调递增，求w 的取值范围.变式2 已知函数)0)(sin(2)(>=w wx x f ，)3()6(ππf f =在]4,3[ππ-上的虽小值为-2，则w 的最小值为_____.例4.23若)0)(3sin()(>+=w wx x f π，)3()6(ππf f =且在)3,6(ππ上有最小值无最大值，则______. 解析 依题意，如图4-24所示，在4236πππ=+=x 处)(x f 取得最小值，故Zk k w ∈+=+,2323ππππ得3148+=k w.取0=k ，得314=w .评注 本题融汇了三角函数)sin()(ϕ+=wx x f 的最值（对称轴）、周期性、单调性之间的相互关系与转化 题型2 根据条件确定解析式方向一：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式. 思路提示已知函数图像求函数)0,0)(sin(>>+=w A wx A y ϕ的解析式时，常用的解析方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A ，由周期确定w ，由适合解析式点的坐标确定ϕ，但有图像求得的)0,0)(sin(>>+=w A wx A y ϕ的解析式一般不唯一，只有限定ϕ的取值范围，才能得出唯一解，将若干个点代入函数式，可以求得相关特定系数ϕ,,w A ，这里需要注意的是，要认清选择的点属于“五点”中的哪一个位置点，并能正式代入式中，依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是：“第一点”（及图像上升时与x 轴的交点）为0=+ϕwx ；“第二点”（即图像曲线的最高点）为2πϕ=+wx ；“第三点”（及图像下降时与轴的交点），为πϕ=+wx ；“第四点”（及图像曲线的最低点）为23πϕ=+wx ；“第五点”（及图像上升时与x 轴的交点）为πϕ2=+wx .例4.24函数),)(2(sin )(R A x A x f ∈+=ϕϕ的部分图像如图4-25所示，那么)0(f =（ A .21-B .-1C .23-D .3-分析 对于)sin(ϕ+=wx A y 的解析式的确定，通过最值确定A ，周期T 确定w ，特征点（尤其是极值点）来确定ϕ；对于零点要分析向上零点还是向下零点. 解析 解法一：依题意Z k k A ∈+=+=,2232,2ππϕπ得Z k k ∈-=,62ππϕ， 所以1)62sin(2sin 2)0(-=-==ππϕk f ，故选B解法二：由函数)2(sin )(ϕ+=x A x f ，得π=T ，则相邻的零点与对称轴之间的距离为44π=T ，因此图中向上的零点是120π=x ，则满足0)122sin()12(=+⨯=ϕππA f 所以.,62Z k k ∈-=ππϕ故1)62sin(2sin 2)0(-=-==ππϕk f ，故选B评注 对于三角函数问题中的“知图求式”（及其性质），应重点关注以下方面 （1）周期（可推出w 的值域范围） （2）振幅（可推出A （A >0））（3）特征点（可形成三角方程，以求ϕ的值）对于本题代入零点)0,(0x ，（0x 为上零点），则满足0)sin(0=+ϕwx A ，所以)sin()sin(sin )0(,,2000wx A wx A A f Z k wx k -=-==∈-=ϕπϕ1)122sin(2-=⨯-=π，对于正弦型函数),0)(sin()(R w wx A x f ∈>+=ϕϕ，若已知上零点0x ，则)sin()0(0wx A f -=.同理，若已知下零点0x '，则)sin()0(0x w A f '=. 变式一 函数0,0,,,)(sin()(>>+=w A w A wx A x f是常数ϕϕ所示，则=)0(f _______.变式二 已知函数)cos()(ϕ+=wx A x f 的图像如图4-27所示，32)(-=πf ，则=)0(f （ ） A .32- B .32C .21- D .21例4.25已知函数),0,0)(sin(πϕϕ<>>+=w A wx A y 的部分图像如图4-28所示，求函数)(x f 的解析式.分析 有最小值为-2确定A ，由周期确定w ，但本题的周期不易求解，我们可抓住,2127T >π，且12743π>T ，建立周期 T 的不等关系，从而得到w 的取值范围，在建立w 的等量关 系（根据零点），最终建立求得w ，而ϕ的确定可通过特征点（0,1）得到.解析 有图知2=A ，将点（0,1），代入)sin(ϕ+=wx A y 中，得ϕsin 21=，即21sin =ϕ，又πϕπ<<-，且（0,1）点在函数的单调增区间上，故6πϕ=，又431272T T <<π，得6797π<<T T ，又因为wT π2=，得67297ππ<<w T ，故718712<<w ，又点)0,127(π-在函数图像上，且127π-为函数)(x f 的下零点，所以Z k k ∈+=+-,26127ππππ，解得Z k k w ∈--=,710724，因此7187********<--<k ，得121167-<<-k ，又Z k ∈，因此1-=k ，此时2=w . 所以).62sin(2)(π+=x x f变式一 已知),)((cos )(2为常数ϕϕw wx x f +=，如果存在正整数w 常数ϕ使得函数)(x f 的图像经过点（1,0）如图4-29所示，求w 的值.方向二：知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值） 求解函数解析式（即ϕ,,w A 的值的确定）例4.26已知函数)0,0)(sin()(πϕϕ<≤>+=w wx x f 为)0,43π是一个对称中心，且在区间]2,0[π上为单调函数，求函数)(x f 的解析式.分析 本题的目标是求φ,w 因为)sin(ϕ+=wx y 为偶函数，则必关于y 轴对称，因此化为wx y cos =的形式，由函数在]2,0[π上单调，则]2,0[π最多只会是半个周期，即22π≥T ，从而得wT π2=得w 的范围，再代入对称中心求解.解析 由函数)0,0)(sin()(πϕϕ<≤>+=w wx x f 为R 上的偶函数，则2πϕ=，得wx x f cos )(=，且在区间]2,0[π上为单调函数，得22π≥T ，即π≥T ，故ππ≥w 2，又0>w 得20≤<w .，同时点)0,43(π为函数)(x f 的一个对称中心，的Z k k w ∈+=,243πππ，则Z k k w ∈+=,324，因此23240≤+<k ，得Z k k ∈≤<-,121所以0=k 或1得32=w 或2，所以函数)(x f 的解析式为x y 32cos =或x y 2cos =.评注 根据函数必关于y 轴对称，在三角函数中联想到wx y cos =的模型，从图象、对称轴、对称中心、最值点或单调性来求解.变式一：已知函数),20,0)(sin(4)(R x w wx x f ∈<<>+=πϕϕ图像的两条相邻对称轴的距离为3π，且经过点（0,2）.（1）求)(x f 的最小正周期； （2）求函数)(x f 的解析式.题型3 函数的值域（最值） 思路提示求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理. （1）b x a y +=sin ，设x t sin =，化为一次函数b at y +=在]1,1[-上的最值求解. （2）c x b x a y ++=cos sin ，引入辅助角)(tan ab=ϕϕ，化为c x b a y +++=)sin(22ϕ，求解方法同类型（1）（3）c x b x a y ++=sin sin 2，设x t sin =，化为二次函数c bt at y ++=2在闭区间]1,1[-∈t 上的最值求解，也可以是c x b x a y ++=sin cos 2或c x b x a y ++=sin 2cos 型.（4）c x x b x x a y +±+=)cos (sin cos sin ，设x x t cos sin ±=，则x x t cos sin 212±=，故21cos sin 2-±=t x x ，故原函数化为二次函数c bt t a y ++-±⋅=)21(2在闭区间]2,2[-上的最值求解.（5）d x c b x a y ++=sin sin 与dx c bx a y ++=cos sin ，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值.这里需要注意的是化为关于x sin 或x cos 的函数求解释务必注意x sin 或x cos 的范围.例4.27函数x x x f cos sin )(=的最小值是（ ）A .-1B .21-C .21D .1分析 将函数)(x f 转化为)sin(ϕ+=wx A y 的形式求最值 解析 函数).(2sin 21cos sin )(R x x x x x f ∈==最小值为21-，故选B. 评注 若本题改为“]4,0[,cos sin )(π∈=x x x x f ”则最小值为0，在解题过程中，若存在换元环节，应注意新元取值范围的限定.变式1 函数)6cos(sin )(π+-=x x x f 的值域为（ ）.A .[-2,2]B .]3,3[-C .[-1,1]D .]23,23[-变式2 函数x x x x f cos sin 3sin )(2+=在区间]2,4[ππ-上的最大值是（ ）. A .1 B .231+ C .23D .31+ 例4.28函数)6sin(3)3sin(4x x y -++=ππ的最大值为（ ）A .7B .2332+ C .5 D .4 分析 由263πππ=-++x x ，利用诱导公式把)6(x -π转化为)3(π+x ，化不同角为相同角，将函数化为)sin()(ϕ+=wx A x f 的形式.解析 )]6(2cos[3)3sin(4x x y --++=πππ)3cos(3)3sin(4x x +++=ππ )43tan )(3sin(5=++=ϕϕπ其中x ，所以5=wax y .故选C.变式1 求函数)(2cos 2)32cos()(2R x x x f ∈++=ππ的值域 变式2 求函数])2,12[)(4sin()4sin(2)32cos()(πππππ-∈+-+-=x x x x x f 的值域.例4.29求函数x x x x f cos 4sin 2cos 2)(2-+=的最大值和最小值.分析 通过二倍角公式和同角公式将函数)(x f 的公式化简为)(cos cos 2R x c x b x a y ∈++=的形式，换元转化为求二次函数在给定区间上的最值.解析 ,1cos 4cos 3cos 4)cos 1()1cos 2(2)(222--=--+-=x x x x x x f 令]1,1[cos -∈=x t ，则])1,1[(37)32(3143)(22-∈--=--=t t t t t g ，因为]1,1[-∈t ，所以当1-=t 时，)(t f 取最大值6，即)(x f 的最大值为6；当32=t 时，)(t g 取最小值37-，即)(x f 的最小值为37-.变式1 已知4π≤x ，求函数x x y sin cos 2+=的最小值.变式2 求函数)20(2385cos sin 2π≤≤-+=x a xa x y 的最大值. 变式3 若0cos sin 2=++a x x 有实数解，试确定实数a 的取值范围. 变式4 若关于x 的方程0sin cos 2≥+-a x x 在]2,0(π上恒成立，求实数a 的取值范围.例4.30对于函数)0(sin 1sin )(π<<+=x xx x f ，下列结论中正确的是（ ）.A .有最大值无最小值B .有最小值无最大值C .有最大值且有最小值D .既无最大值又无最小值分析 形如dx c bx a y ++=sin sin 的函数的最值，可考虑用函数的有界性求解.解析 解法一：x x f sin 11)(+=，令]1,0(sin ∈=x t ，则ty 11+=在区间]1,0(上单调递减，即)(x f 只有最小值无最大值.故选B 解法二：1sin sin sin 1sin =-⇒+=x x y xx y ，得111sin 0≤-=<y x ，解得2≥y ，所以)(x f 只有最小值无最大值.故选B 变式1 求函数xxy sin 2cos 3+=的值域.变式2 若24ππ<<x ，则函数x x y 2tan 2tan =的最大值为_______.题型4 三角函数图像变换 思路提示由函数x y sin =的图像变换为函数)0,()sin(>++=w A b wx A y ϕ的图像.方法一：)(ϕϕ+→+→wx x x 先相位变换，后周期变换，再振幅变换.x y sin =的图像→<ΦΦ>ΦΦ）个单位（向左平移）个单位（向左平移00)sin(ϕ+=x y 的图像→<ΦΦ>ΦΦ）个单位（向左平移）个单位（向左平移00ϖϖ)sin(ϕ+=wx y 的图像→横坐标不变倍来的所有点的纵坐标变为原A)sin(ϕ+=wx A y 的图像→<>）个单位（向下平移）个单位（向上平移00b b b b b wx A y ++=)sin(ϕ 例4.31把函数12cos +=x y 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1分析 利用三角函数的图像与变换求解解析 12cos +=x y →纵坐标不变倍横坐标伸长2−−−−−−→−+=个单位长度向左平移11cos x y −−−−−−→−++=个单位长度向下平移11)1cos(x y ).1cos(+=x y结合选项可知，函数图像过)0,12(-π.故选A变式1 为得到函数)32cos(π+=x y 的图像，只需将函数x y 2sin =的图像（ ）.A .向左平移125π个单位 B . 向右平移125π个单位 C .向左平移65π个单位 D . 向右平移65π个单位变式2 已知)2sin()(π+=x x f ，)2cos()(π-=x x g ，则)(x f 的图像（ ）.A .与)(x g 图像相同B .与)(x g 图像关于y 轴对称C .是由)(x g 的图像向左平移2π个单位得到D .是由)(x g 的图像向右平移2π个单位得到 变式3 已知函数)0,)(4sin()(>∈+=w R x wx x f π的最小正周期为π，为了得到)cos()(wx x g =的图像，只要将)(x f y =的图像（ ）C DA .向左平移8π个单位长度 B .向右平移8π个单位长度 C .向左平移4π个单位长度 D .向右平移4π个单位长度例4.32已知函数)0)(2sin(21cos cos sin 2sin 21)(2πϕϕπϕϕ<<+-+=x x x f ，其图像过点)21,6(π.（1）求ϕ的值（2）将)(x f 图像上各点的横坐标缩短为原来的21，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图像，求函数)(x g 在]4,0[π上的最大值和最小值解析 由题意把点)21,6(π代入函数的解析式得21cos 21cos 43sin 3sin 21=-+ϕϕϕπ 1)6sin(cos 21sin 23=+=+⇒πϕϕϕ （1）1)6sin(=+πϕ，.3,26),67,6(6),,0(πϕππϕπππϕπϕ==+∈+∈ （2）41cos 21232sin 21)(2-+⋅=x x x f )62sin(2141)2cos 1(412sin 43π+=-++=x x x ， 依题意)64sin(21)622sin(21)(ππ+=+⋅=x x x g ， 当6764ππ=+x ，即4π=x 时，)(x g 取最小值41-；当264ππ=+x ，即12π=x 时，)(x g 取最大值21.变式1已知向量)0)(2cos 2,cos 3(),1,(sin >==A x Ax A n x m ，函数n m x f ⋅=)(的最大值为6.（1）求A（2）求将函数)(x f y =的图像向左平移12π个单位，再将所的图像上各点的横坐标缩短到原来的21倍，，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图像，求)(x g 在]245,0[π上的值域最有效训练题1.已知函数)02,0)(sin()(<<->+=ϕπϕA wx A x f ，在65π=x 时取得最大值，则)(x f 在]0,[π-上的单调增区间是（ ）.A .]65,[ππ-- B .]6,65[ππ-- C .]0,3[π- D .]0,6[π- 2.若直线t x =与函数)42sin(π+=x y 和)42cos(π+=x y 的图像分别交于P ,Q的最大值为（ ）A .2B .1C .3D .2 3.已知函数x x x f sin cos )(2+=，那么下列命题中假命题是（ ）A .)(x f 既不是奇函数也不是偶函数B .)(x f 在]0,[π-上恰有一个零点C .)(x f 是周期函数D .)(x f 在)65,2(ππ上是增函数4,.已知函数)46sin()(π+=x x f 的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移8π个单位，得到的函数一个对称中心是（ ）.A .)0,16(π B .)0,9(π C .)0,4(π D .)0,2(π5.如图4-30所示，点P 是函数0,)(sin(2>∈+=w R x wx y ϕx 轴的交点，若0=⋅PN PM ,则w 的值为（ ）A .8π B .4πC .4D .8 6.已知],0(π∈x ，关于x 的方程a x =+)3sin(2π，（ ）..[2]A 2]B 2]C 2)D7.已知函数22()2sin cos f x x x x x ωωω=+，其中0ω>，且()f x 的最小正周期为π，则()f x 的单调递增区间为 . 8.已知函数()3sin()(0)6f x x πωω=->的图象和()2cos(2)1g x x ϕ=++的图象对称轴完全相同，若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围为 .9.定义一种运算12341423(,)(,)a a a a a a a a ⊗=-，将函数()2sin )(cos ,cos 2)f x x x x =⊗的图象向左移(0)n n >个单位长度所得图像对应的函数为偶函数，则n 的最小值为 .10.某学生对函数()2cos f x x x =进行研究后，得出如下四个结论：①函数()f x 在[,0]π-上为单调递增，在[0,]π上单调递减；②存在常数0M >，使()f x M x ≤对一切实数x 均成立；③点(,0)2π是函数()y f x =图像的一个对称中心；④函数()y f x =的图象关于直线x π=对称.其中正确的是 .（把所有正确的命题的序号都填上）. 11.已知函数22()cos(2)sin cos .3f x x x x π=-+-(1)求函数()f x 的最小正周期及图像的对称轴方程； (2)设函数2()[()]()g x f x f x =+，求()g x 的值域.12.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中 (,0,0,)22x R A ππωϕ∈>>-<<的部分图 像如图4－31所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)已知函数()f x 图像上三点Ｍ，Ｎ，Ｐ的横坐标分别为－1，1，5，求sin MNP ∠ 的值.。
三角函数的图象与性质经典例题含答案
1、（1）（2008浙江卷5）在同一平面直角坐标系中，函数 的图象和直线 的交点个数是(D)
（A）0（B）1（C）2（D）4
（2）、函数 单调增区间是（A）
A[2kπ- ,2kπ＋ ］（k∈Z）B．［2kπ＋ ，2kπ＋ ］（k∈Z）
C．［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）D．［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z）
2.（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，则f（cosx）的定义域是[2kπ- ,2kπ＋ ］
（2）函数y=｜sin（2x+ ）｜的最小正周期是
三．典例解析
例1、求函数）y= sin（ － ）的单调递增区间：
例2、（2008北京卷）．已知函数 （ ）的最小正周期为 ．
（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）求函数 在区间 上的取值范围．
8、（2008湖南卷）函数 在区间 上的最大值是(C)
A.1B. C. D.1+
9、函数y＝ 的最大值是（B）
A． －1B． ＋1C．1－ D．－1－
10、（2001上海春）关于x的函数f（x）=sin（x+ ）有以下命题：
①对任意的 ，f（x）都是非奇非偶函数；
②不存在 ，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；
①图象 关于直线 对称；②图象 关于点 对称；
③函数 在区间 内是增函数；
④由 的图角向右平移 个单位长度可以得到图象 ．
6．函数 的图象向右平移 （ ）个单位，得到的图象关于直线 对称，则 的最小值全国卷II）函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是(D)
（A）2π（B）4π（C）（D）
化简完是
三角函数的图象与性质
一．要点精讲
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
三角函数图像与性质-知识点总结及题型归纳讲义
专题七《三角函数》讲义7.3 三角函数的图像与性质知识梳理.三角函数的图像与性质1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象定义域R R错误!值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在⎣⎡⎦⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在⎣⎡⎦⎤π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是递增函数周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ2，0(k∈Z)题型一. 三角函数图像的伸缩变换1．要得到函数y ＝3sin （2x +π3）的图象，只需要将函数y ＝3cos2x 的图象（ ） A ．向右平行移动π12个单位 B ．向左平行移动π12个单位C ．向右平行移动π6个单位D ．向左平行移动π6个单位2．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin （2x +2π3），则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 23．（2021春•闵行区校级期中）函数y ＝cos （2x +φ）的图象向右平移π2个单位长度后与函数y ＝sin （2x +2π3）的图象重合，则|φ|的最小值为 ．4．（2016春•南通期末）将函数f(x)=sin(ωx +φ)，(ω＞0，−π2＜φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π4个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f(π6)= ．5．（2015•湖南）将函数f （x ）＝sin2x 的图象向右平移φ（0＜φ＜π2）个单位后得到函数g （x ）的图象．若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|＝2的x 1、x 2，有|x 1﹣x 2|min =π3，则φ＝（ ） A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6题型二. 已知图像求解析式1．图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上所有的点（ ）A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变2．已知函数y =sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则（ ）A ．ω=π2，φ=−π4 B ．ω=π2，φ=π4C ．ω=π，φ=−π4D ．ω=π，φ=π43．已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象如图所示，f （π2）=−23，则f （0）＝（ ）A ．−23B ．−12C ．23D ．124．已知函数f （x ）＝A tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，下列关于函数g （x ）＝A cos （ωx +φ）（x ∈R ）的表述正确的是（ ）A ．函数g （x ）的图象关于点（π4，0）对称B ．函数g （x ）在[−π8，3π8]递减 C ．函数g （x ）的图象关于直线x =π8对称D ．函数h （x ）＝cos2x 的图象上所有点向左平移π4个单位得到函数g （x ）的图象题型三. 三角函数的性质 考点1.单调性1．函数y ＝sin （﹣2x +π3）的单调递减区间是（ ） A ．[k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z B ．[2k π−π12，2k π+5π12]，k ∈ZC ．[k π−π6，k π+5π6]，k ∈ZD ．[2k π−π6，2k π+5π6]，k ∈Z2．已知函数f(x)=Asin(x +φ)(A ＞0，−π2＜φ＜0)在x =5π6时取得最大值，则f （x ）在[﹣π，0]上的单调增区间是（ ） A ．[−π，−5π6] B ．[−5π6，−π6] C ．[−π3，0]D ．[−π6，0]3．已知函数f （x ）＝sin （2x +π3）在区间[0，a ]（其中a ＞0）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{a |0＜a ≤π12} B ．{a |0＜a ≤π2} C ．{a |a ＝k π+π12，k ∈N *} D ．{a |2k π＜a ≤2k π+π12，k ∈N *} 4．已知ω＞0，函数f （x ）＝sin （ωx +π4）在区间（π2，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ） A ．[12，54] B ．[12，34]C ．(0，12]D ．（0，2]考点2.周期性、奇偶性、对称性1．已知函数f （x ）＝cos 2x +sin 2（x +π6），则（ ）A ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为12B ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为−12C ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为12D ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为−122．已知f （x ）＝sin2x +|sin2x |（x ∈R ），则下列判断正确的是（ ） A ．f （x ）是周期为2π的奇函数 B ．f （x ）是值域为[0，2]周期为π的函数 C ．f （x ）是周期为2π的偶函数 D ．f （x ）是值域为[0，1]周期为π的函数3．将函数y ＝sin2x −√3cos2x 的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（ ） A ．712π B ．π4C ．π12D ．π64．已知函数f （x ）＝a sin x ﹣b cos x （ab ≠0，x ∈R ）在x =π4处取得最大值，则函数y ＝f （π4−x ）是（ ）A ．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B ．偶函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 C ．奇函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 D ．奇函数且它的图象关于点 （π，0）对称考点3.三角函数性质综合1．（2019•天津）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y ＝f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g （x ）．若g （x ）的最小正周期为2π，且g （π4）=√2，则f （3π8）＝（ ）A ．﹣2B ．−√2C ．√2D ．22．（2015•天津）已知函数f （x ）＝sin ωx +cos ωx （ω＞0），x ∈R ，若函数f （x ）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为 ．3．（2014•大纲版）若函数f （x ）＝cos2x +a sin x 在区间（π6，π2）是减函数，则a 的取值范围是 ．4．（2016•新课标Ⅰ）若函数f （x ）＝x −13sin2x +a sin x 在（﹣∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，13]C ．[−13，13]D ．[﹣1，−13]5．（2013•安庆二模）已知函数f （x ）＝sin （ωx +π6），其中ω＞0，若f （π6）＝f （π3），且f （x ）在区间（π6，π3）上有最小值、无最大值，则ω等于（ ）A ．403B ．283C ．163D ．436．（2014•北京）设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）若f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f （π2）＝f（2π3）＝﹣f （π6），则f （x ）的最小正周期为 ．题型四. 三角函数最值1．函数f （x ）=15sin （x +π3）+cos （x −π6）的最大值为（ ） A ．65B ．1C ．35D ．152．函数f （x ）＝cos （ωx +π3）（ω＞0）在[0，π]内的值域为[﹣1，12]，则ω的取值范围为（ ） A ．[32，53]B ．[23，43]C ．[23，+∞)D ．[23，32]3．已知函数f （x ）＝cos2x +sin x ，则下列说法中正确的是（ ） A ．f （x ）的一条对称轴为x =π4 B ．f （x ）在（π6，π2）上是单调递减函数C ．f （x ）的对称中心为（π2，0）D ．f （x ）的最大值为14．若0＜x ≤π3，则函数y ＝sin x +cos x +sin x cos x 的值域为 ．5．已知函数f(x)=2sinωx ⋅cos 2(ωx 2−π4)−sin 2ωx(ω＞0)在区间[−2π5，5π6]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是（ ） A ．(0，35]B ．[12，35]C ．[12，34]D ．[12，52)6．已知函数f （x ）＝cos x •sin （x +π3）−√3cos 2x +√34，x ∈R （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在闭区间[0，π2]上的最大值和最小值及相应的x 值；（3）若不等式|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[0，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．题型五.三角函数零点1．已知函数f （x ）＝sin ωx −√3cos ωx （ω＞0），若方程f （x ）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为 ．2．已知函数f （x ）=√3sin ωx cos ωx +cos 2ωx −12，（ω＞0，x ∈R ），若函数f （x ）在区间（π2，π）内没有零点，则ω的取值范围（ ） A ．（0，512] B ．（0，512]∪[56，1112]C ．（0，58]D ．（0，56]∪[1112，1）3．函数f(x)=2sin(2ωx +π6)(ω＞0)图象上有两点A （s ，t ），B （s +2π，t ）（﹣2＜t ＜2），若对任意s ∈R ，线段AB 与函数图象都有五个不同交点，若f （x ）在[x 1，x 2]和[x 3，x 4]上单调递增，在[x 2，x 3]上单调递减，且x 4−x 3=x 2−x 1=23(x 3−x 2)，则x 1的所有可能值是课后作业. 三角函数的图像与性质1．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g （x ）＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f （x ）的图象（ ）A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π3个单位长度D ．向右平移π12个单位长度2．关于函数y ＝2sin （3x +π4）+1，下列叙述正确的是（ ） A ．其图象关于直线x =−π4对称 B ．其图象关于点（π12，1）对称 C ．其值域是[﹣1，3]D ．其图象可由y ＝2sin （x +π4）+1图象上所有点的横坐标变为原来的13得到 3．已知函数f （x ）＝（12a −√3）sin x +（√32a +1）cos x ，将f （x ）的图象向右平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，若对任意x ∈R ，都有g （x ）≤g （π4），则a 的值为 ． 4．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点M （3π4，0）对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，则ω和φ的值分别为（ ）A ．23，π4B ．2，π3C ．2，π2D ．103，π25．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ），其中ω＞0，|φ|≤π2，−π4为f （x ）的零点：且f （x ）≤|f （π4）|恒成立，f （x ）在区间（−π12，π24）上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ）A ．11B ．13C ．15D ．176．已知函数f （x ）＝2sin （ωx −π6）sin （ωx +π3）（ω＞0），若函数g （x ）＝f （x ）+√32在[0，π2]上有且只有三个零点，则ω的取值范围为（ ）A ．[2，113） B ．（2，113） C ．[73，103） D ．（73，103）。
三角函数概念图像与性质复习题型总结(最全)
三角函数概念和性质复习1.终边相同的角: 与角α终边相同角的集合为（1）试写出与角16800终边相同的最小正角和最大负角. （2）已知α与0240角的终边相同，则2α为第 象限角.（3）第二象限角的集合为（4）如果角α为第三象限角，则2α为第象限角2.弧度制 （1）0180rad π= ，01180radπ=，1801rad π=（2）弧长公式：l = ，扇形面积公式：s =（1）扇形的圆心角为1200，半径为6，扇形的弧长是 . （2）若2弧度的圆心角所对的弧长为4，则这个圆心角所在的扇形面积为 2cm ．3.任意角的三角函数定义角α终边上任意一点P 的坐标(,)x y ，它与原点的距离是(0)r r =.规定：s i n α= ；cos α= ；tan α=(0)x ≠.（1）①已知角α的终边经过点(5,12)-，则sin cos αα-= ．②已知角α的终边过点(,6)P x --，且5c o s 13α=-，则x = .③已知角α的终边在直线y =上，则sin α= ；tan α= .（2）特殊角的三角函数：（1）已知0tan cos <⋅θθ,则角θ是第 象限角. （2）设角α是三角形的一个内角，在s i n ,c o s,t a n,t a n2αααα中， 有可能取负值. （3）函数cos sin tan sin cos tan x x xy x x x=++的值域为 .5.同角三角函数关系: ①平方关系： ；②商关系： .（1）①已知4sin 5α=，且α是第二象限角，则cos α= ；tan α= .②若12tan ,(,0)52παα=-∈-，则s i n α= ；cos α= .③已知sin α=，则44sin cos αα-的值为.（2）化简：①若α是第二象限角，则tan = ；②= ； ③若(,0)2πα∈-,则=（3）已知tan()3πα-=-．①求的值；②求αα－2α的值．（4）①已知sin cos αα+=sin cos αα及44sin cos αα+的值.6.诱导公式tan(2)k πα+=（1）求值：①4sin3π= ；②19cos4π= ；③17tan()6π-= . （2）已知cos 3α=，且(,0)2πα∈-，则(πα-)= ．（3）整体角思维应用（角的内在关系）①已知1sin()123πα+=，则7cos()12πα+= . ②已知01co s (75),3α+=且018090α--＜＜，则0co s (15)α-= . ③已知1sin(),64x π+=则25sin()sin ()63x x ππ-+-= . 7.三角函数的周期设,,A ωϕ为常数，且0,0A ω≠＞，则 sin()y A x ωϕ=+的周期 ；cos()y A x ωϕ=+的周期 ； t a n ()y A x ωϕ=+的周期 .（1）①函数cos(2)3y x π=-的最小正周期是 ； ②函数tan(3)6y x ππ=+的最小正周期是 。
三角函数的图像与性质(名师经典总结)
三角函数的图像与性质（正弦、余弦、正切）【知识点1】函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象性质题型1：定义域例1：求下列函数的定义域(1)xx y cos 2cos 1+=； (2)x y 2sin = 2lg(4)x -题型2：值域 例2：求下列函数值域 (1))3π2,6π(,sin 2-∈=x x y (2)y=2sin(2x-3π),x 5,46ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(3) )3π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y(4)函数1)6π21cos(2++-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合题型3：周期例3：求下列函数的周期： （1）f(x)=2sin2x (2)y=cos(123x π-) (3)y=tan(2x 4π-) （4）y=sin x 例4： 若函数()2sin(2)3f x kx π=+的最小正周期T 满足12T <<,则自然数k 的值为______.例5：若)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，则ϖ=________.例6：使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为【 】A ．π25B ．π45C ．πD ．π23例7：设函数f(x)=2sin(25x ππ+),若对于任意的x R ∈,都有f(1x )2()()f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值是A.4B.2C.1D.12题型4：奇偶性 例8：函数y ＝sin （x ＋2π）（x ∈［－2π，2π］）是【 】A.增函数B.减函数C.偶函数D.奇函数例9：判断下列函数的奇偶性 (1)y=xsin(x π+) (2)y=cos 1sin x x+例10：已知函数f(x)=x 3cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=________ 题型5：单调性例11：函数y =21log sin(2x +4π)的单调递减区间是【 】 A.（k π－4π,k π］(k ∈Z ) B.（k π－8π,k π+8π］(k ∈Z ) C.（k π－83π,k π+8π］(k ∈ D.（k π+8π,k π+83π］(k ∈Z )例12：.求1cos()3412logx y π+=的单调区间例13：求下列函数的单调增区间(1))3π21cos(-=x y ; (2) ]0,π[),6π2sin(2-∈+=x x y ；(3))23πsin(2x y -=例14：（1）求函数y=2sin(2x-3π)的单调递减区间。
最全三角函数的图像与性质知识点总结
三角函数的图像与性质一、正弦函数、余弦函数的图像与性质
(
二、正切函数的图象与性质
三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换
1. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的图象
注意：图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。
2. )sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的性质
（1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：
将ϕω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出； （2）奇偶性：只有当ϕ取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性：
)sin(ϕω+=x A y ，当πϕk =时为奇函数，当2
ππϕ±=k 时为偶函数；
（3）最小正周期：ω
π2=T
3. y ＝A sin(ωx ＋φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义
(1) A 称为振幅； (2)2T πω
=称为周期；
(3)1f
T
=
称为频率；
(4)x ωϕ+称为相位；
(5)ϕ称为初相 (6)ω称为圆频率.。
三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结
三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结知识点讲解1.五点法”作图原理在确定正弦函数y Sinx(x [0,2 ])的图像时，起关键作用的5个点是3(0,0),( ,1),( ,0),( , 1),(2 ,0).2 2在确定余弦函数y COSX(X [0,2 ])的图像时，起关键作用的5个点是3(0,1),^-,0),( , 1),( ,0),(2 ,1).2 22•三角函数的图像与性质ASin(wx )与y ACoS(WX )(A 0, W 0)的图像与性质3. y(1)最小正周期：T .W(2)定义域与值域：y ASin(wx ) , y ACOS(WX )的定义域为R 值域为[-A,A].(3)最值假设A 0, W 0.①对于y ASin(wx )，当WX — 2k (k Z)时，函数取得最大值A当WX — 2k (k Z)时，函数取得最小值A;②对于y ACOS(WX )，当WX 2k (k Z)时，函数取得最大值A;当WX 2k (k Z)时，函数取得最小值A;(4)对称轴与对称中心假设A 0, W 0.①对于y ASin(wx )，当 WX O k — (k Z),即卩 Sin(wx 0 )1时，y Sin(wx )的对称轴为X X 0当WX ok (k Z)，即Sin(WX o ) 0 时，y Sin(WX )的对称中心为(X 0,0).②对于yACOS(WX )，当WX 0k (k Z)，即卩 CQS(WX O ) 1时，y CQS(WX )的对称轴为X X 0 当WX ok (k Z)，即卩 CQS(WX O)时，y CQS(WX)的对称中心为(X 0,0).正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大(小)值的位置 •正、余弦的对称中心是相应函数与 X 轴交点的位置. (5)单调性. 假设A 0, W 0.①对于yASi n(wx)WX[二 2k,2 2k ](k Z) 增区间;2WX[ 2k 2 3,22k ](k Z) 减区间. ②对于yACQS(WX )WX [ 2k ,2k ](k Z)增区间；WX[2k ,2k](k Z)减区间.(6)平移与伸缩由函数y Sinx 的图像变换为函数 y 2sin(2x—) 3的图像的步骤; 3方法(XX -2x -)23'先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们 想欺负 ”(相一期一幅) 三角函数图像，使之变形y Sin X 的图像向左平移一个单位3y Sin (X护图像1所有点的横坐标变为原来的 -2纵坐标不变y Sin(2X捫图像所有点的纵坐标变为原来的 2倍横坐标不变y 2Sin(2X3)的图像方法二：(XXΞ 2xT ).先周期变换，后相位变换，再振幅变换向上平移3个单位y 2 Si n(2x —) 3y Si nx 的图像1所有点的横坐标变为原来的 -2纵坐标不变y sin 2x 的图像向左平移—个单位6y Si n2(x) Sin (2x )的图像6 2向上平移3各单位y 2 Si n(2x )的图像y 2 Si n(2x ) 33 3注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩(先相位后周期，即想欺负”，但先伸缩后平移(先周期后相位)在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量 X 而言的,即图像变换要看 变量X ”发生多大变化，而不是 角WX移一个单位，得到的图像表达式是 y Sin 2(x) Sin(2x ),而不是y Sin(2x )；再如，将 66 3 6图像y Sin(X -)上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的函数图像表达式是61X 1 y Sin(—X),而不是y Sin (X )•此点要引起同学们的的别注意 •26 26题型归纳及思路提示思路提示一般将所给函数化为 y ASin(WX)或y ACOS(WZ )， A 0.w O ，然后依据y Sin X, y CoSX 的性质整体求解•题型1 三角函数性质的应用 一、函数的奇偶性 例4.16函数y Sin(X )(0)是R 上的偶函数，贝U 等于( )A. 0 B . — C. — D.4 2解析 因为函数y Sin(X )是R 上的偶函数，所以其图像关于 y 轴对称，有正弦函数的对称性知，当X 0时，Sin 1 ,又0 ,所以 -.故选C.2评注 由y Sinx 是奇函数和y cosx 是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：(1)若 y ASi n(x )为奇函数， 则k (k Z)；(2) 若 y ASi n(x )为偶函数，则 k(k 2Z)； (3) 若 y ACOS(X )为奇函数, 则 k(k2Z)；(4) 若 y ACOS(X)为偶函数, 则k (k Z)；k若y Atan(x )为奇函数，则 (k Z),该函数不可能为偶函数.所有点的纵坐标变为原来的 2倍横坐标不变”变化多少•例如，函数y Sin2x 的图像向右平2变式1已知a R,函数f (X) Sinx a(x R)为奇函数，则a等于( )A.0B.1 C.-1D. 1变式2 设 R ,则“O ”是“f(x) CoS(X )(x R)为偶函数”的( )),其中W 0 ,则f (x)是偶函数的充要条件是(A. f (0) 1B. f(0)0 C. f (0)1 D. f (0)例 4.17 设函数 f(χ) Sin(2x -)(x R),则 f(x)是()2A. 最小正周期为 的奇函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为一的奇函数2 D. 最小正周期为一的偶函数2解析 f(x) sin(2x -) cos2x ,所以是最小正周期为 X 的偶函数•故选B.2 2 1变式1 若函数f(χ) Sin X -(X R),则f(x)是()2 A. 偶函数且最小正周期为 B. 奇函数且最小正周期为 C. 偶函数且最小正周期为 2 D. 奇函数且最小正周期为 2二、函数的周期性Tw.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不比哟啊条件 (2)函数 ASi n(wx ),y ACOS(WX )， y Ata n(wx )的周期均为T(3)函数ASi n(wx )b(b 0),y2ACOS(WX ) b(b 0)的周期均 T -变式 3 设 f (x) Sin(WX 变式2F 列函数中，既是(0,—)上的增函数，又是以2为周期的偶函数的是(A. y cos 2xB. y sin 2xc ∙y COSXD.ySin X例4.18函数ySin (2x )COS (2X 6S)的最小正周期为( A.—2B.—4C. 2D.解析 函数ySin (2x 评注 —)Cos(2x 关于三角函数周期的几个重要结论:1) sin(4x 62•故选A(1) 函数ASin (WX )b, y A COS(WX ) b, y A tan(wx2)b 的周期分别为TI Wl变式1函数y Sin(2x —) cos(2x —)的最小正周期和最大值分别为( )A. ,1 B ∙ ,、2 C. 2 ,1 D.2 ,,2 变式2 已知函数f(x) Sin X(Sinx COSX)(X R),贝U f(x)的最小正周期为 变式3 设函数 f(x) sin3x Sin3x ,贝U f (x)为( ) A. 周期函数，最小正周期为 B . 周期函数，最小正周期为 周期函数，最小正周期为 非周期函数 一、函数的单调性C. D. 3 2 3 2 例4.19函数y 2si n( 2x)( x 6 7 B ∙[,]12 12 [0,])为增函数的区间是( )解析因为y 2si n( — 2x) 6 2sin(2x 6)， 所以y 2sin(6 2X)的递增区间实际上是 y 2 si n(2x 2 6 2解得 k X k (k Z). 3 5 X 6 令k 0 ,得 —— ,又因为X [0,]， 3 6所以 X 5 .即函数 y 2sin(- 2x)(x [0, 5 ])的增区间为[,].故选C 3 66 3 6 评注 三角函数的单调性， 需将函数y ASi n(wx )看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数,复合函数单调区间的单调方法转化为解一兀- 次不等式 令2k Z), 2x 如函数y ASi n( wx -)的递减区间. 2kx —(k )(A 0,w 0)的单调区间的确定基本思想是吧 WX 看做是一个整体，如由 利用 2k2 WX2k 2WX2kx (k Z)解出X 的范围，所得区间即为增区间；由2 3 2kx (k Z)解出X 的范围，所得区间即为减区间 若函数y ASin(wx )中2A 0, w 0 ,可用诱导公式将函数变为 y ASin( WX ),则y ASin( WX )的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间.如y sin( x) Sin(X ),令44232kX 2k ,即 2k X 2k(k Z),可得［2k,2k 2 4244 4为原函数的减区间•对于函数y ACoS(WX ),y Atan(wx)的单调性的讨论与以上类似处理即可3 变式1若函数y Sinx f (x)在［,］内单调递增，则f (x)可以是( )4 4A.1B.cosxC.sinXD. cosx变式2 已知W 0 ,函数f(χ) Sin(WX 1 5 1 3 1A ∙［亍匚］B ∙［;,;］ C.(0j2 4 2 4 2 -)在(一，)上单调递减，则 W 的取值范围是(4 2D.(0,2] 变式 3 已知函数 f (x) . 3Sin wx COS(WX ) COS(WX ), X R, (W 0).3 3(1)求函数f (x)的值域； (2)若f (X)的最小正周期为，χ [0,—],求f (x)的单调递减区间2 2四、函数的对称性(对称轴、对称中心) 例4.30函数y Sin(2x-)图像的对称轴方程可能是(A. XB.C. XD.X6 12 6 12解析解法一：已知y Si nx 的对称轴方程是X k -(k Z)2 k令 2x 3 k (k Z),得 X(k Z)，2 2 12当k 0时，X ，故选D.12解法当 X时， 2x0.其正弦值为 0；63当X 时，2x123 6 ,其正弦值不等于1或-1当X时，2x -2 其正弦值不等于 1 或-1633当X时，2x—， 这时Sin 1.12 322(1)函数y Sin X 的对称轴为X k(k 2Z),对称中心为(k .0)(k Z)；(2)函数y cosx 的对称轴为X k (k Z) ,对称中心为(k ,0)(k Z )； (3)函数yta nx 函数无对称轴，对称中心为k(―,0)(k Z)；故选D评注 关于三角函数对称的几个重要结论;24A.关于点(一,0)对称3 B.关于直线X—对称4C.关于点(一,0)对称D .关于直线X -对称43变式2 y Sin(X)的图像的一个对称中心是( )43 A.( ,0)B.(4,O)3C. (4 ,O)D⑺2x 2x变式3 yCOST SinT 的图像中，相邻两条对称轴之间的距离是变式4 将函数y Sinx3CoSX 的图像沿X 轴向右平移a 个单位(a 0)，所得图像关于y 轴对称，则a 的最小值是( ).A. 7B. C. D.—62 6 3五、三角函数性质的综合思路提示三角函数的性质(如奇偶性、周期性、单调性、对称性)中，尤为重要的是对称性 因为对称性奇偶性(若函数图像关于坐标原点对称，则函数f (X)为奇函数；若函数图像关于 y 轴对称,则函数f(x)为偶函数)；对称性 周期性(相邻的两条对称轴之间的距离是T;相邻的对称中心之间的距离为 T;相邻的对称轴2 2与对称中心之间的距离为 T)；对称性 单调性(在相邻的对称轴之间，函数 f(x)单调，特殊的，若4(4)求函数y ASin(WX) b(w 0)的对称轴的方法；令 WXk (k Z),得k X 2 ---------- (k Z);对称中心的求取方法；令 WXW为( ------ ,b).Wk (k Z),得 X,即对称中心k (5)求函数y ACOS(WX ) b(W 0)的对称轴的方法； 令WX k (k Z)得X Z --------------------------W k即对称中心为( ----------- ,b)(k Z)W变式1已知函数f (X) Sin(WX )(W 30)的最小正周期为,则该函数的图像(24f (x) ASin(wx), A 0, w 0 ,函数 f (x)在[I , ?]上单调，且 0 [1,2],设 max 1,2,则T深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系)6 3 6 3例 4.21 设 f(x) asin 2x bcos2x ,其中 a, b R,ab 0,若 f (X )11 ① f (IT ) 0；③f (X)既不是奇函数也不是偶函数;④ f (X)的单调递增区间是[k - k —](k Z)；6,3⑤ 存在经过点(a,b)的直线与函数f (x)的图像不相交. 以上结论正确的是 ________ (写出所有正确命题的序号)分析 函数f(χ) ,a 2b 2sin(2χ )，tan -,其中一条对称轴为 X ―,函数的最小正周期 a 6T ,通过对称轴 对称中心(对称轴与零点相距 T 的奇数倍)通过对称轴奇偶性(若函数f(x)为4奇函数，则一等于T的奇数倍；若函数f (X)为偶函数，则一等于T的偶数倍)；通过对称性单调性(在6 46 4相邻的两条对称轴之间，f(x)单调递增或单调递减).是f (X)的对称轴，又f (X)的最小正周期为关于y 轴对称，所以函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故③正确2 2对于④：依题意，函数 f(x)相邻两条对称轴x 1 -,x 2,在区间[k -,k](k Z)上函数f (X)单调，不能确定是单调递增，还是单调递减，故④不正确f (―)对一切X R 恒成立，则 6② f(7F )解析 f (x) a 2b 2Sin(2x),其中 tanb，f(xaf (O ))对一切 XR 恒成立，知直线X -11对于①：f(—)123)可看做X3,加了 -个周期所对应的函数值，所以 6 4 11 f(IT) 0.故①正对于②：函数y f (X)周期T77—，因为 ——一一，所以f ()f(—)2 10 5 2105对于③：因为一既不是T的奇倍数，也不是 64 T的偶倍数，所以函数4f(x)的图像既不关于原点对称，也不因此咱错误，故②不正确K(其中tan —)，所以af (x) a 2 b 2 ,又 ab⑤不正确，应填①③.(1)求f (X)的值域;3⑵若y f (X)在区间［亍R 上为增函数，求W的最大值.解析(1)f (x) 4 COS(WX —)sin wx cos2wx4(CoSWXCos & Sinwxsinfsin wx cos2wx 2 -. 3 Sin WXCOSWX 2sin 2WX cos2wx .3sin 2wx 1 cos2wx cos2wx .3sin2wx 1[1,1]所以函数f (X)的值域为[1 .. 3,1 ... 3].f(X) 3sin2wx 1,由y f(X)在区间［3T2］上为增函数，的例 4.22 设 f (χ) 4COS(WX )Sin WX 6 cos(2wx ),其中 W评注一般的，若f (x)(x R)为奇函数，在【1,2】上为增函数，其中2 ,若令max{ 1, 2},则T,即可求出W 的范围. 4变式1已知函数f (x)2sin(wx),其中常数 W 0,若y f(x)在[2］上单调递增，求W 的取 3变式2 已知函数f (x) 2sin(wx)(w 0)，f (―) f (—)在［—,—］上的虽小值为-2 ,则W 的最小值对于⑤：因为 f(x) a sin 2x b cos2 X.a 2 b 2Sin(2x) ,a 2 b 2 ,因此经过点(a,b)的直线与函数f (X)的图像相交,因为Sin 2wx (2)解法一: [3w ,w[2，-](W0)3wx故WX2，得 0 W1 1 ,则W 的最大值为一. 6解法二：由 f(x),3sin 2wx 1 (W3O)在区间［32,2］上为增函数,含原点的增区间的对称型可知3 函数f (x)在[— 2 牛］上也为增函数, T 2故一3 ,即T 6 ,得—2 2w1,故0 W 6 ,则W的最44例4.23若f (X) Sin(WX-)(W O)，f （—）且在（ -- ）上有最小值无最大值，则 3 6'3题型2根据条件确定解析式方向一： 知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式 思路提示干个点代入函数式，可以求得相关特定系数 A,w,,这里需要注意的是，要认清选择的点属于五点”中的 哪一个位置点，并能正式代入式中，依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是:点）来确定 ；对于零点要分析向上零点还是向下零点 解析 解法一：依题意 A 2,232k-,k Z 得 2k-,k Z ， 26所以 f (0) 2sin 2si n(2k-)6 1, 故选 B解法二 二：由函数f （x ） A(Sin 2x ）， 得T,则相邻的零点与对称轴之间的距离为T-,因此图中向上的零点是 X 0,则满足f( ) ASin(2 ) 0所以 2k ,k Z.故12 12 12 6解析 依题意，如图4-24所示，在X8k 14.取 k 0,得 W314 32k3—,k Z 2评注 本题融汇了三角函数 f （x ） Sin （WX ）的最值（对称轴）、 周期性、单调性之间的相互关系与转化f(O )已知函数图像求函数 y ASin(wx )(A 0, w 0)的解析式时,常用的解析方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定 A ，由周期确定 W ,由适合解析式点的坐标确定 ，但有图像求得的y ASi n(wx)(A0,w0）的解析式一般不唯一，只有限定的取值范围，才能得出唯一解，将若第一点”（及图像 上升时与X 轴的交点）为WX 第二点”（即图像曲线的最高点）为 WX ；第三点”（及图像下降时与轴的交点），为WX ；第四点”（及图像曲线的最低点）为WX —；第五点”2（及图像上升时与 X 轴的交点） 为 WX 例 4.24 函数 f(x) A(Sin2x)(代1 A. 2B.-1C. 分析 对于y ASin （wx ）的解析式的确定，通过最值确定R ）的部分图像如图D.9 W127f （0） 2sin 2sin （2k） 1 ,故选 B6评注 对于三角函数问题中的 知图求式”（及其性质），应重点关注以下方面 （1） 周期（可推出 W 的值域范围） （2） 振幅（可推出 A （ A>0）） （3） 特征点（可形成三角方程，以求 的值） 对于本题代入零点（X o ,o ），（ X o 为上零点），则满足AS in （WX o ） 0,所以 2k wx 0, k Z, f (0) ASin Asin( wx 0) ASi n(wx 0) 2Sin(2 石) 1，对于正弦型函数f （X ） ASin(wx )(w 0, R),若已知上零点 X 0 ,则 f(0)ASin （WX 0） •同理，若已知下零 点x °，则 f (0) ASin(WX 0). 变式一 函数 f(x) ASin(wx )(A,w,是常数,A f(0) 0,w变式二 已知函数f(x) ACOS(WXA. C. 2 3 12 2B.-3 1 D.—2）的部分图像如图 ()例4.25已知函数 y ASi n(wx )(A 0,w 0, 式. 分析有最小值为-2确定A ， 不易求解，我们可抓住 — 12 由周期确定W ,但本题的周期 T 3T 7 T ,，且3T —,建立周期2 4 12 T 的不等关系, 系（根据零点） （0,1）得到. 从而得到 W 的取值范围，在建立 W 的等量关 ,最终建立求得 W ,而 的确定可通过特征点4-28所示，求函数f （x ）的解析 解析有图知 A 2 ,将点（0,1）,代入y ASin (WX ）中，得12sin ,即 Sin 1 ,又22 ,又因为T—， 6WT_，又—6 2712 18 7,故 W ,又点( ，0)在函数图像上，且 6 7 712 2410 12 2k ,k Z ,解得 W 24k 10,k Z ,因此777（0,1）点在函数的单调增区间上，故7T 为函数f （X ）的下零点，所 12迢k W 里，得7 7 75 sin (X3-k 11 ,又k Z ,因此k 1,此时W 2.6 12所以 f(x) 2sin(2x)• 6变式一已知f(x) cos 2(wx )(w,为常数)， 点(1,0)如图4-29所示，求W 的值.方向二：知性质(如奇偶性、单调性、对称性、最值) 求解函数解析式(即 A,w,的值的确定)例 4.26 已知函数 f(x) Sin(wx)(w 0,0心，且在区间［0,—］上为单调函数，求函数 f(x)的解析式.2评注 根据函数必关于 y 轴对称，在三角函数中联想到 y coswx 的模型，从图象、对称轴、对称中心、最值点或单调性来求解(2)求函数f (x)的解析式. 题型3函数的值域(最值) 思路提示求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理 .(1) y a sin X b ,设t Sinx ,化为一次函数 y at b 在［1,1］上的最值求解.b J —2 - 2(2)y a si nx bcosx c ,弓 I 入辅助角 (tan ),化为 y a bSin(X ) C ,求解方法a分析本题的目标是求w,因为y Sin(WX )为偶函数，则必关于 y 轴对称，因此化为 y coswx 的 形式，由函数在［0 -］上单调，则［0 -］最多只会是半个周期，即 T—,从而得T '2 ,2 2 2 再代入对称中心求解. 得W 的范围, 解析由函数 f (x) Sin(WX )(w 0,0 在区间［0 —］上为单调函数，得 T—,即T '2 2 2 )为R 上的偶函数，贝U —，得f(χ) coswx ，且 2 2 3 ,故— ,又W 0得0 W 2.,同时点(二,0) W 4 3 为函数f (x)的一个对称中心，的W k4,k Z ,则 w 4k 2,k Z ,因此 0 4k 2 2 , 2 33k 1,k Z 所以k 0或1得W-或2,所以函数f(x)的解析式为y CoSZX 或y33cos 2x.,0)是一个对称中变式一：已知函数 f (x) 4sin(wx )(w 0,0经过点(0,2).(1) 求 f (x)的最小正周期；,X R)图像的两条相邻对称轴的距离为 ，且23如果存在正整数 W 常数 使得函数f(x)的图像经过4同类型(1) 33y a si n2x bsinx c,设t Si nx ,化为二次函数y at2 bt C在闭区间t [ 1,1]上的最值5 sin (X3求解，也可以是 y acoWx bsinx C 或 y acoS2x bsinx C 型.(4) y a si n x cosx b(si nx cosx) C ,设 t Si nx cosx ,贝U t 21 2si n xcosx ,故t 21t 21Sin xcosx,故原函数化为二次函数 y a () bt C 在闭区间［∙λ2,ι2］上的最值求2 2(5) yasinx b与yasinx b,根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式CSi nx d ccosx d法求最值，更可用数形结合法求最值.这里需要注意的是化为关于 Si nx 或cosx 的函数求解释务必注意SinX 或cosx 的范围.例4.27函数f (χ) Sin xcosx 的最小值是(，利用诱导公式把( x)转化为(X)，化不同角为相同角， 将函数化为 263)3cos[ ( x)] 4 si n(x ) 3cos( x) 32 63 3 3)(其中tan —)，所以y wax 5.故选C.分析 解析 1A.-1B. 2 1C.—2D.1将函数f (x)转化为y ASin(wx)的形式求最值、， 1 .函数 f (x) Sin xcosx Sin2χ(χ 2R)-最小值为1,故选B. 2评注 若本题改为"f(x) Sin Xcosx,X ［0,］ ”则最小值为 40，在解题过程中，若存在换元环节，应注意新元取值范围的限定 变式1函数f(x)Sin X cos(x )的值域为(6A.[-2,2]B.[ ,3, 3]C ∙[-1,1]D.[∙∙ 3 .. 31变式2 函数f(x) sin 2X .3Sin xcosx 在区间[ ：,?］上的最大值是().1 JlA.1B.——2C .32D.1 -.3例4.28函数 y 4sin(x3sin(6 X)的最大值为()A.7B.2 3C.5D.4分析 f(x) ASin (WX)的形式.y 4sin(x解析45 sin (X 3、 2 2变式1求函数f(χ) cos(x )2 cos (X R)的值域32变式2求函数 f (x) cos(2x ) 2sin(x)sin(x )(x [ ,])的值域. 344 12 2__ 2例4.29求函数f(x) 2cos2x Sin X 4cosx 的最大值和最小值. 2a cos X bcosχ C(X R)的形式，换元转化为求二次函数在给定区间上的最值思路提示 分析 通过二倍角公式和同角公式将函数 f(x)的公式化简为y 解析 f (x)2(2 cos 2X 1)(1 cos 2x)4cos x23 cos X 4cos x 1,令 t cos X [ 1,1],则 g(t) 3t 24t 1f (t)取最大值6, 即f (x)的最大值为6;当3(tI )t -时,37(t [1,1]),因为t [ 1,1],所以当tg(t)取最小值7,即f (x)的最小值为变式1已知,求函数y cos 2X Sin X 的最小值.4变式2 求函数y sin 2x a COSX- a — (0 X —)的最大值.8 2 2 变式32右 Sin Xcos X a 0有实数解,试确定实数 a 的取值范围.变式4 若关于X 的方程cos 2x Sinx a 0在(0,§］上恒成立，求实数 a 的取值范围. 1时,例 4.30 对于函数 f(χ)Sin X 1(0 X Sin XA.有最大值无最小值C.有最大值且有最小值分析 形如yasinx b的函数的最值,CSi nx d丄，令tSin X解析解法一 ：f (X) 1有最小值无最大值.故选B sin X 1ySi n x SinXSin X解法二：y得 0 Sin X 变式1 求函数y变式2题型4 ),下列结论中正确的是(B.有最小值无最大值 D .既无最大值又无最小可考虑用函数的有界性求解SinX (0,1］,贝U y 1 f 在区间(0,1］上单调递减，即f(x)只1,1 ,解得y2 ,所以f (X)只有最小值无最大值.故选B■- 3 cos X的值域.2 Sin XΞ½若—X4 三角函数图像变换2,则函数y tan2xtan X 的最大值为 2由函数y Si nx的图像变换为函数y ASi n(wx ) b(代W 0)的图像.方法一：(X XWX)先相位变换，后周期变换，再振幅变换向左平移_个单位( 0))的图像向左平移个单位(0分析 利用三角函数的图像与变换求解结合选项可知，函数图像过(1,0).故选A25B.向右平移—个单位125D.向右平移—个单位6-)，g(x) COS (X —),则 f(x)的图像().—)(x R, W 0)的最小正周期为 ，为了得到g (X) COS(WX)的图 4像，只要将y f (x)的图像(SinX 的图像向左平移个单位(O )个单位(0) y S 6i n (XSin(WX )的图像 所有点的纵坐标变为原 来的A 倍丿的图像 横坐标不变 ----------ASi n(wx)的图像向上平J:个单位；：0)yASin (WX ) b例4.31把函数 y COS 2X 1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，在向下移 1个单位长度,得到的图像时().1Iy1、I 2/、O 1-1 22解析y cos2χ1横纵标不变2倍yCoSX 1 向左平移1个单位长度y cos(x 1)1向下平移1个单位长度y cos(x 1).变式2 已知f (χ) Sin(xA.与g(x)图像相同B.与g(x)图像关于y 轴对称C.是由g(x)的图像向左平移—个单位得到2D.是由g(x)的图像向右平移 一个单位得到2变式3已知函数f(χ) Sin(WX XA.向左平移 一个单位长度8B ∙向右平移一个单位长度81 1依题意 g (x) Sin(2 2x )Sin(4x )，2 6 2 65纵坐标不变，得到函数 y g(x)的图像，求g(x)在［0——］上的值域 ，24最有效训练题C.向左平移—个单位长度 D •向右平移—个单位长度 4 4 1 2 1例 4.32 已知函数 f(x) Sin 2xsin cos 2xcos Sin( )(0 2 2 2 (1) 求的值 1 (2)将f(x)图像上各点的横坐标缩短为原来的 -,纵坐标不变，得到函数y 2 1)，其图像过点(一，).6 2g(x)的图像，求函数g(x)在［°,—］上的最大值和最小值 4 解析 由题意把点(一，1)代入函数的解析式得 6 21 . Sin- Sin2 33 1 1cos cos —4 2 2 Sin 1 COS2 sin (F ) 1(I) Sin( 6) 1， (0,), 6 -sin2x 41 . C 3 12 1 sin 2x cos X2 2 2 4 6 2 (2) f (x) -(1 COS 2X ) 41 Sin (2x 2?)，当4x67,即X 时，1g (x)取最小值 一；6 44 当4x 6 ， 即X时， 1 g(x)取最大值一.212 2 变式1 已知向量 m (Sin x,1), n— A (∖3Acosx, cos2x)( A2 的最大值为 6.(1)求 A 0),函数 f(x)(2)求将函数yf (x)的图像向左平移个单位，再将所的图像上各点的横坐标缩短到原来的12i 倍，1.已知函数f(x) ASi n(wx )(A 0, —0),在X —时取得最大值，则f(x)在［,0］上的2 6单调增区间是(f (x) cos 2x Sinx ,那么下列命题中假命题是(4,.已知函数f(x) Sin(6x -)的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移§个单位,).则f (x)的单调递增区间为8. 已知函数f(x) 3sin( X )(0)的图象和g(x) 2cos(2 X ) 1的图象对称轴完全相同，若6X ［0,亍］,贝U f(x)的取值范围为9. 定义一种运算(a 1,a 2) (a 3,a 4) a 1a 4 a 2a 3，将函数f (x) (∙∙.3,2si n x) (cosx,cos 2x)的图象向左移 n(n 0)个单位长度所得图像对应的函数为偶函数，则n 的最小值为10. 某学生对函数f (x) 2xcosx 进行研究后，得出如下四个结论： ①函数f (x)在［,0］上为单调递增，在［0,］上单调递减；②存在常数M 0,使f (x) M X 对一切实数X 均成立；③点(一，0)是函数2A ∙[B ∙[56C ∙[护2.若直线t 与函数 y Sin (2x-)和y cos(2x -)的图像分别交于 PQ 两点，则IPQ 的最大值为A.2B.1 D. 23•已知函数 A. f (x)既不是奇函数也不是偶函数 B. f(x)在［,0］上恰有一个零点 C. f (x)是周期函数D. f(x)在(一，丄)上是增函数2 6得到的A.(荷O)B.(9,O)c.q ,°)D.(畀)5.如图4-30所示，点 X 轴的A.—8y PPM PN0,则W 的值为()∖NM O/ XB.-C.4D.8∖46.已知A.[ 3,2]B.[ .3,2] C"3,2]D ∙C ∙ 3, 2) 7.已知函数 f(x) 3sin 2χ 2sin xcosX X 3 cos 2X ,其中0,且f (x)的最小正周期为，函数一个对称中心是(P 是函数y 2 sin(wx交点，若 则实数a 的取值范围为a ，有两个不同的实数解,)(x R,w 0)的图像的最高点，M,N 是该图像与(0,］，关于X 的方程2sin(x -) 3y f(x)图像的一个对称中心；④函数y f(x)的图象关于直线X 对称•其中正确的.(把所有正确的命题的序号都填上)f (x) cos(2X —) sin 2x cos 2x. 所示.(1)求函数f (X)的解析式;∣S4-315A.向左平移个单位125C.向左平移个单位611.已知函数 (1)求函数 f (X)的最小正周期及图像的对称轴方程; (2)设函数 g(x) [f(x)]2f (X),求g(x)的值域. 12.已知函数 f (x) ASin( X),其中(X R, A 0,I )的部分图像如图4—31⑵已知函数f(x)图像上三点 M,N,P 的横坐标分别为一1, 1, 5,求 Sin MNP 的值.。
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三角函数的图像与性质题型归纳总结题型归纳及思路提示 题型 1 已知函数解析式确定函数性质【思路提示】一般所给函数为 y ＝A sin( ω x ＋φ)或y ＝A cos( ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根 据y ＝ sin x ，y ＝ cos x 的整体性质求解。
一、函数的奇偶性例1 f (x )＝sin (x )(0≤ < )是R 上的偶函数，则等于( )B ．C ．D ．42A 充分不必要条件B ．必要不充分条C ．充要条件变式 3.设f (x) sin( x )，其中 0，则 f (x)是偶函数的充要条件是( )A. f (0) 1 B ． f (0) 0 C ． f '(0) 1 D ． f '(0) 0例2.设f (x) sin(2 x )(x R)，则 f(x)是( )2A. 最小正周期为 的奇函数 B ． 最小正周期为 的偶函数 C ．最小正周期为 的奇函数 D ． 最小正周期为 的偶函数22结论： (1) 若y Asin( x )是奇函数，则k (k Z);(2) 若 y Asin( x )是偶函数，则 k + (k2 Z); (3) 若 y Acos(x)是奇函数，则k2(kZ);(4) 若 y Acos( x)是偶函数，则k (k Z);(5) 若 y A tan(x )是奇函数，则 k2 (k Z).变式 1.已知 a R ， 函数 f (x) sin x | a | 为奇函数，则 a 等于B ． 1C ．1 D ． 1【评注】由 y sin x 是奇函数， y cosx 是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要变式 2.设 R ，则 “ 0”是“f(x) cos(x )(xR)为偶函数 ” 的( )D ．无关条件若函数 y Asin( x )(A 0, 0)则变式1.若f(x) sin 2 x 1(x R)，则f (x)是( )A. 最小正周期为 的奇函数 B ． 最小正周期为 的偶函数二、函数的周期性A. B ． C ． 2 D24评注】关于三角函数周期的几个重要结论：(1) 函数 y Asin( x ) b, y Acos( x ) 的周期分别为 |2 |,|2三、函数的单调性例 4.函数y sin( 2x)(x6A. [0, ] B ．[ ,7 ]3 12 12【评注】求三角函数的单调区间：[3,56 ] D ．[56C ． 最小正周期为 2 的奇函数D ． 最小正周期为 2 的偶函数变式2.下列函数中，既在 (0, 2)递增，又是以 为周期的偶函数的是 ( )A. y cos2x B ．y |sin2x| C ．y |cos2x| D ． y|sin x|例3.函数 y sin(2 x)cos(2 x)的最小正周期为 ( )66(2) 函数 y | Asin( x ) |, y | Acos( x )|,y | Atan( x ) | 的周期均为 (3) 函数 y | A sin( x b |(b 0), y | A cos( x ) b |(b 0)的周期均为 ||2||变式1.函数y sin(2 x 6) cos(2 x )的最小正周期和最大值分别为 ( ) A. ,1 B． 2 ,1 D ． 2 , 2 变式 2. 若f(x) sin x(sin x cosx),则f ( x)的最小正周期是变式 3. 若f(x) sin3x |sin3x|则f(x)是( ) A. 最小正周期为 的周期函数 3 B ． 最小正周期为 2的周期函数 3C ． 最小正周期为 2 的周期函数D ． 非周期函数b, y A tan([0, ])的递增区间是 ( )(1) 函数的递增区间由 2k (2) 函数的递减区间由 2k (3) 若函数 y 则 y Asin( (4) 对于函数 2 )中 A A sin( x Acos( x ) 和 y 0,0， 2k (k2 3 2k (k2可将函数变为 Z ) 决定；Z ) 决定； x )的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间； A tan( x ) 单调性的讨论同上。
y A sin( x ) 变式1.函数y sinx f (x)在[ 4 3 3] 内单调递增，则 f ( x)可以是 ( ) 4 A.1 B ． cosx C ． sinx cosx 变式 2. 若f(x) sin( x 4)(A. [1,5] B ． [1,3] A. [2,4] B ．[2,4] 0)在 ( ,21 (0,21] D) 上单调递增，则 的取值范围是(． (0, 2]变式3.已知函数 f (x) 3sinx cos( x3) cos( x 3)( 0)(1)求f ( x)的值域；(2) 若f (x)的最小正周期为,x [0, ]，f (x)的单调递减区间 .四、函数的对称性(对称轴、对称中心)例 5. 函数 y sin(2 x)图象的对称轴方程可能是 ( )A.x B ． x C ． x D ． x6 12 6 12【评注】关于三角函数对称性的几个重要结论：变式1.已知函数 y sin( x 3)(0)的最小正周期为 ，则f (x)的图象 ( )A. 关于点 ( ,0) 对称3B ． 关于直线 x 对称4C ．关于点 ( ,0)对称4 D ． 关于直线 x 对称3变式 2.函数 y sin(x )的图象的一个对称中心是 ( )A. ( ,0) B ． ( 333,0) C ． (3 ,0) D ． 44 (2,0)2x 2x变式3.函数f (x) sin 2x cos 2x 的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是 ________________ .55变式4.若函数y sinx 3 cosx 的图象向右平移 a 个单位( a 0)后的图象关于 y 轴对称，则 a 的最小值是 ( )A. 7 B ． C ． D ． 6263五、三角函数性质的综合思路提示】三角函数的性质(奇偶性、周期性、单调性、对称性)中，对称性尤为重要；(1) 函数 y sin x 的对称轴为 x k (k Z ), 对称中心2(k ,0)( k Z );(2) 函数ycos x 的对称轴为 x k(k Z), 对称中心 (k2 ,0)( k Z );(3) 函数 ytan x 无对称轴，对称中心 k( , 0)( k Z );对称中心的求法 : 令 xk (kZ )得 x = kkx k (k Z),得x= 2 (k Z);2k(k Z ), 对称中心为 ( ,b)(k Z)；(5) 函数 y Acos( x) b 的对称轴的求法：令kx k (k Z ), 得 x= (k Z );对称中心的求法 : 令 xk 2 (k Z )得kx= 2 (k Z), 对称中心为2,b)(k Z )2(4) 函数 y Asin( x) b 的对称轴的求法：令1)对称性 奇偶性：若函数 f ( x)的图象关于 y 轴对称，则 f (x)是偶函数；若函数 f ( x)的图象关于原点对称，则 f (x)是奇函数；相邻的对称中心与对称轴之间的距离为 ；4(3) 对称性 单调性：在相邻的对称轴之间，函数f (x)单调；特殊的，若 f(x) Asin( x),A 0， 0函数f ( x)在[ 1, 2]上单调 ，且0 [ 1, 2]设 max{| 1 |, 2} ，则 T 。
4例6.设f (x) asin2x b cos2x, ab 0,若f(x) f( ) 对任x R 成立,则11 7(1)f( ) 0;(2) f( ) f( );(3) f (x)不具奇偶性；12 10 52(4) f (x)的单调递增区间是 [k, k 2 ](k Z)；63(5) ________________________________________存在经过点 (a,b)的直线与函数 f (x)的图象不相交 . 以上结论中正确的是 _____________ .例7.已知函数f (x) 4cos( x )sin x cos(2 x )( 0)63 (1)求f (x)的值域；(2)若f ( x)在区间 [ 3, ]为增函数，求 的最大值 .(2) 对称性 周期性：相邻两条对称轴之间的距离为T；相邻两个对称中心的距离为 T ； 222的取值范围.变式1.已知函数 f (x) 2sin x( 0),若f (x)在［ , ］上递增，求43题型 2 根据条件确定解析式 方向一：“知图求式”，即已知三角函数的部分图象，求函数解析式。
思路提示】由图象求得 y ＝A sin （ ω x ＋φ） （ A >0，ω>0）的解析式一般不唯一，只有限定 φ 的取值范围，才能得到唯一解。
依据五点法原理，点的序号与式子的关系是：第一点例8.若f (x) sin( x 3)(0),f(6)f （ ）且在 （ , ）上有最小值无最大值，则即图象上升时即图象上升时与横轴的交点）为与横轴的交点）为 x 0 ，第二点（即图象最高点）为 x，第三点（ 即图象下降时与横轴的交点）为 x，第四点（即图象最低点）为3，第五点 2例9.函数f (x) Asin(2 x )(A, R ）部分图象如下图所示，则 f （0） （ ）例10.已知函数 f (x) Asin( x )(A 0, 0,| | )部分图象如下图所示，求0)部分图象如下图所示，则 f(0)变式2.f (x) Acos( x )部分图象如下图所示，f(2)23, 则f(0)f ( x)的解析式。
2C20,数 f （x ）的图象如图所示（图象经过点（ 1,0 ）），求变式 1. 已知 f (x) cos 2( x ) (为常数），如果存在正整数和实数 使得函的值.方向二：知性质(如奇偶性、单调性、对称性、最值)求函数解析式。
3例11.已知函数 f (x) sin( x )( 0,0)为 R 上的偶函数，点 ( ,0) 是其一对称中心，4且函数在 [0, ]上单调，求函数 f (x)的解析式。
且经过点 (0,2) ，求函数 f (x)的解析式。
变式 1.已知函数 f ( x) 4sin( x )( 0,0 )图象的相邻两条对称轴的距离为 ，23题型3：函数的值域（最值）【思路提示】求三角函数的最值，通常要利用正、化归为余弦函数的有界性，般是通过三角变换下列基本类型处理：(1)y asinx b at b,sin x t[1,1];(2)y asinx bcosx c a 2 b 2 sin(x ) c,tan (3)y 2 asin x bsinx c at 2 bt c,sin x t [ 1,1];ba at 2 bt y acos 2 x bsinx c y acos2x bsinx c 2 2at 2 bt (4)y a cosxsin x b(sin x cosx) y acosx sin x b(sin x cosx) c (a c),sin x t [ 1,1]; (a c),sin x t [ 1,1]; t 2 1c a bt (a c),sin x cosx t [ 2, 2]; a 1 t bt (a c),sin x cosx t [ 2, 2]; (5)y asinx b 与y asinx b根据正、余弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可 csin x d ccosx d 用不等 式法求最值，更可用数形结合法求最值， 但都必须要注意 sin x 、cosx 的范围。