三角函数题型学霸总结(含答案)-

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高中数学高考三角函数重点题型解析及常见试题、答案+数列常见题型总结

高中数学高考三角函数重点题型解析及常见试题、答案+数列常见题型总结高考三角函数重点题型解析及常见试题(附参考答案)三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用．题型1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题．例 1 若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是（）A ．1-BC ．12-+ D ．12+分析：三角形的最小内角是不大于3π的，而()2sin cos 12sin cos x x x x +=+，换元解决．解析：由03x π<≤，令sin cos ),4t x x x π=+=+而74412x πππ<+≤，得1t <≤．又212sin cos t x x =+，得21sin cos 2t x x -=，得2211(1)122t y t t -=+=+-，有2111022y -+<≤=．选择答案D ．点评：涉及到sin cos x x ±与sin cos x x 的问题时，通常用换元解决．解法二：1sin cos sin cos sin 242y x x x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，max 12y =，选D 。

例2．已知函数2()2sin cos 2cos f x a x x b x =+．，且(0)8,()126f f π==．（1）求实数a ，b 的值；（2）求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值．分析：待定系数求a ，b ；然后用倍角公式和降幂公式转化问题．解析：函数)(x f 可化为()sin 2cos 2f x a x b x b =++．（1）由(0)8f = ，()126f π=可得(0)28f b ==，3()12622f a b π=+= ，所以4b =，a =（2）()24cos 248sin(2)46f x x x x π=++=++，故当2262x k πππ+=+即()6x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值为12．点评：结论()sin cos a b θθθϕ+=+是三角函数中的一个重要公式，它在解决三角函数的图象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的证明中有着广泛应用，是实现转化的工具，是联系三角函数问题间的一条纽带，是三角函数部分高考命题的重点内容．题型 2 三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质，一直是高考所重点考查的问题之一．例3．（2009年福建省理科数学高考样卷第8题）为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决．解析：函数π55cos 2sin 2sin 2sin 2332612y x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故要将函数sin 2y x =的图象向左平移5π12个长度单位，选择答案A ．例4 （2008高考江西文10）函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是分析：分段去绝对值后，结合选择支分析判断．解析：函数2tan ,tan sin tan sin tan sin 2sin ,tan sin x x x y x x x x x x x <⎧=+--=⎨≥⎩当时当时．结合选择支ABCD-和一些特殊点，选择答案D ．点评：本题综合考察三角函数的图象和性质，当不注意正切函数的定义域或是函数分段不准确时，就会解错这个题目．题型3 用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和与差的，二倍角的三角变换公式解决．例5 （2008高考山东卷理5）已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭则7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是A． BC ．45-D ．45分析：所求的7πsin sin()66παα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，将已知条件分拆整合后解决．解析： C．34cos sin sin cos sin 6522565ππααααα⎛⎫⎛⎫-+=⇔+=⇔+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以74sin sin 665ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．点评：本题考查两角和与差的正余弦、诱导公式等三角函数的知识，考查分拆与整合的数学思想和运算能力．解题的关键是对πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ 例6（2008高考浙江理8）若cos 2sin αα+=则tan α= A ．21B ．2C ．21-D ．2- 分析：可以结合已知和求解多方位地寻找解题的思路．()αϕ+=sin ϕϕ==，即1tan 2ϕ=，再由()sin 1αϕ+=-知道()22k k παϕπ+=-∈Z ，所以22k παπϕ=--，所以sin cos 2tan tan 2tan 222sin cos 2k πϕππϕαπϕϕπϕϕ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--=--=== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭．方法二：将已知式两端平方得()2222222cos 4cos sin 4sin 55sin cos sin 4sin cos 4cos 0tan 4tan 40tan 2ααααααααααααα++==+⇒-+=⇒-+=⇒=方法三：令sin 2cos t αα-=，和已知式平方相加得255t =+，故0t =，即sin 2cos 0αα-=，故tan 2α=．方法四：我们可以认为点()cos ,sin M αα在直线2x y +=而点M 又在单位圆221x y +=上，解方程组可得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，从而tan 2y x α==．这个解法和用方程组22cos 2sin sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩求解实质上是一致的．方法五：α只能是第三象限角，排除C ．D ．，这时直接从选择支入手验证，由于12计算麻烦，我们假定tan 2α=，不难由同角三角函数关系求出sin ,cos 55αα=-=-，检验符合已知条件，故选B ．点评：本题考查利用三角恒等变换求值的能力，试题的根源是考生所常见的“已知()1sin cos ,0,5βββπ+=∈，求tan β的值（人教A 版必修4第三章复习题B 组最后一题第一问）”之类的题目，背景是熟悉的，但要解决这个问题还需要考生具有相当的知识迁移能力．题型4 正余弦定理的实际应用：这类问题通常是有实际背景的应用问题，主要表现在航海和测量上，解决的主要方法是利用正余弦定理建立数学模型．例7．（2008高考湖南理19）在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A ．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45且与点A相距B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ+ (其中sin 26θ=，090θ<<)且与点A相距海里的位置C ．（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．分析：根据方位角画出图形，如图．第一问实际上就是求BC 的长，在ABC ∆中用余弦定理即可解决；第二问本质上求是求点E 到直线BC 的距离，即可以用平面解析几何的方法，也可以通过解三角形解决．解析：（1）如图，402AB =2， 1013AC =26,sin 26BAC θθ∠==由于090θ<<，所以226526cos 1()2626θ=-= 由余弦定理得222cos 10 5.BC AB AC AB AC θ+-=1051553=/小时）．（2）方法一：如上面的图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，设点,B C 的坐标分别是()()1122,,,B x y C x y ，BC 与x 轴的交点为D ．由题设有， 112402x y AB ===， 2cos 1013cos(45)30x AC CAD θ=∠=-=， 2sin 1013sin(45)20.y AC CAD θ=∠=-=所以过点,B C 的直线l 的斜率20210k ==，直线l 的方程为240y x =-．又点()0,55E -到直线l 的距离35714d ==<+，所以船会进入警戒水域．解法二：如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q ．在ABC ∆中，由余弦定理得，222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠=⋅=2222402105⨯⨯=31010．从而2910sin 1cos 110ABC ABC ∠=-∠=-= 在ABQ ∆中，由正弦定理得，102sin 1040sin(45)2210AB ABC AQ ABC ∠===-∠⨯．由于5540AE AQ =>=，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且15EQ AE AQ =-=．过点E 作EP BC ⊥于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离．在QPE ∆Rt 中，5sin sin sin(45)15357.5PE QE PQE QE AQC QE ABC =∠=⋅∠=⋅-∠=⨯=<所以船会进入警戒水域．点评：本题以教材上所常用的航海问题为背景，考查利用正余弦定理解决实际问题的能力，解决问题的关键是根据坐标方位画出正确的解题图．本题容易出现两个方面的错误，一是对方位角的认识模糊，画图错误；二是由于运算相对繁琐，在运算上出错．题型5 三角函数与平面向量的结合：三角函数与平面向量的关系最为密切，这二者的结合有的是利用平面向量去解决三角函数问题，有的是利用三角函数去解决平面向量问题，更多的时候是平面向量只起衬托作用，三角函数的基本问题才是考查的重点．例8（2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第18题）已知向量)1,(sin ),2cos ,cos 2(x b x x a ωωω==，（0>ω），令b a x f ⋅=)(，且)(x f 的周期为π．(1) 求4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)写出()f x 在]2,2[ππ-上的单调递增区间．分析：根据平面向量数量积的计算公式将函数()f x 的解析式求出来，再根据)(x f 的周期为π就可以具体确定这个函数的解析式，下面只要根据三角函数的有关知识解决即可．解析：(1)x x x b a x f ωωω2cos sin cos 2)(+=⋅=x x ωω2cos 2sin +=)42sin(2πω+=x ，∵)(x f 的周期为π． ∴1=ω， )42sin(2)(π+=x x f ，12cos 2sin )4(=π+π=π∴f ．(2) 由于)42sin(2)(π+=x x f ，当πππππk x k 224222+≤+≤+-（Z k ∈）时，()f x 单增，即ππππk x k +≤≤+-883（Z k ∈），∵∈x ]2,2[ππ- ∴()f x 在]2,2[ππ-上的单调递增区间为]8,83[ππ-．点评：本题以平面向量的数量积的坐标运算为入口，但本质上是考查的三角函数的性质，这是近年来高考命题的一个热点．例9 （2009江苏泰州期末15题）已知向量()3sin ,cos a αα=，()2sin ,5sin 4cos b ααα=-，3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且a b ⊥．（1）求tan α的值；（2）求cos 23απ⎛⎫+⎪⎝⎭的值．分析：根据两个平面向量垂直的条件将问题转化为一个三角函数的等式，通过这个等式探究第一问的答案，第一问解决后，借助于这个结果解决第二问．解析：（1）∵a b ⊥，∴0a b ⋅=．而()3sin ,cos a αα=，()2sin ,5sin 4cos b ααα=-，故226sin 5sin cos 4cos 0a b αααα⋅=+-=，由于cos 0α≠，∴26tan 5tan 40αα+-=，解得4tan 3α=-，或1tan 2α=．∵3π 2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，tan 0α<，故1tan 2α=（舍去）．∴4tan 3α=-．（2）∵3π 2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴3ππ24α∈（，）．由4tan 3α=-，求得1tan 22α=-，tan 22α=（舍去）．∴sincos 22αα=cos 23απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππcos cos sin sin 2323αα-=12= ．点评：本题以向量的垂直为依托，实质上考查的是三角恒等变换．在解题要注意角的范围对解题结果的影响．题型6 三角形中的三角恒等变换：这是一类重要的恒等变换，其中心点是三角形的内角和是π，有的时候还可以和正余弦定理相结合，利用这两个定理实现边与角的互化，然后在利用三角变换的公式进行恒等变换，是近年来高考的一个热点题型．例10．（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学17题）三角形的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量(,),(,)m c a b a n a b c =--=+，若//m n ，（1）求角B 的大小；（2）求sin sin A C +的取值范围．分析：根据两个平面向量平行的条件将向量的平行关系转化为三角形边的关系，结合余弦定理解决第一问，第一问解决后，第二问中的角,A C 就不是独立关系了，可以用其中的一个表达另一个，就把所要解决的问题归结为一个角的三角函数问题．解析：（1）//,()()()m n c c a b a a b ∴---+，222222,1a c b c ac b a ac +-∴-=-∴=．由余弦定理，得1cos ,23B B π==．（2）2,3A B C A C ππ++=∴+=，222sin sin sin sin()sin sin cos cos sin 333A C A A A A A πππ∴+=+-=+-3sin )26A A A π=+=+ 250,3666A A ππππ<<∴<+<1sin()1,sin sin 26A A C π∴<+≤<+≤点评：本题从平面向量的平行关系入手，实质考查的是余弦定理和三角形中的三角恒等变换，解决三角形中的三角恒等变换要注意三角形内角和定理和角的范围对结果的影响．题型7 用平面向量解决平面图形中的问题：由于平面向量既有数的特征（能进行类似数的运算）又具有形的特征，因此利用平面向量去解决平面图形中的问题就是必然的了，这在近年的高考中经常出现．考试大纲明确指出用会用平面向量解决平面几何问题．例11. 如图，已知点G 是ABO ∆的重心，点P 在OA 上，点Q 在OB 上，且PQ 过ABO ∆ 的重心G ，OP mOA =，OQ nOB =，试证明11m n+为常数，并求出这个常数．分析：根据两向量共线的充要条件和平面向量基本定理，把题目中需要的向量用基向量表达出来，本题的本质是点,,P G Q 共线，利用这个关系寻找,m n 所满足的方程．解析：令OA a =，OB b =，则OP ma =，OQ nb =，设AB 的中点为M ，显然1().2OM a b =+，因为G 是ABC ∆的重心，所以21()33OG OM a b ==⋅+．由P 、G 、Q 三点共线，有PG 、GQ 共线，所以，有且只有一个实数λ，使 PG GQ λ=，而111()()333PG OG OP a b ma m a b =-=+-=-+， 111()()333GQ OQ OG nb a b a n b =-=-+=-+-，所以1111()[()]3333m a b a n b λ-+=-+-．又因为a 、b 不共线，由平面向量基本定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-)31(313131n m λλ，消去λ，整理得3mn m n =+，故311=+nm ．结论得证．这个常数是3．【点评】平面向量是高中数学的重要工具，它有着广泛的应用，用它解决平面几何问题是一个重要方面，其基本思路是根据采用基向量或坐标把所要解决的有关的问题表达出来，再根据平面向量的有关知识加以处理．课标区已把几何证明选讲列入选考范围，应引起同学们的注意．题型8 用导数研究三角函数问题：导数是我们在中学里引进的一个研究函数的重要工具，利用导数探讨三角函数问题有它极大的优越性，特别是单调性和最值．例12. 已知函数22()cos 2sin cos sin f x x t x x x =+-，若函数()f x 在区间(,]126ππ上是增函数，求实数t 的取值范围．分析：函数的()f x 导数在(,]126ππ大于等于零恒成立．解析：函数()f x 在区间(,]126ππ上是增函数，则等价于不等式()0f x '≥在区间(,]126ππ上恒成立，即()2sin 22cos 20f x x t x '=-+≥在区间(,]126ππ上恒成立，从而tan 2t x ≥在区间(,]126ππ上恒成立，而函数tan 2y x =在区间(,]126ππ上为增函数，所以函数tan 2y x =在区间(,]126ππ上的最大值为max tan(2)6y π=⨯=，所以t ≥为所求．点评：用导数研究函数问题是导数的重要应用之一，是解决高中数学问题的一种重要的思想意识．本题如将()f x 化为()sin 2cos 2)f x t x x x ϕ=+=+的形式，则ϕ与t 有关，讨论起来极不方便，而借助于导数问题就很容易解决．题型9 三角函数性质的综合应用：将三角函数和其它的知识点相结合而产生一些综合性的试题，解决这类问题往往要综合运用我们的数学知识和数学思想，全方位的多方向进行思考．例13. 设二次函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈，已知不论α，β为何实数，恒有(sin )0f α≥和(2cos )0f β+≤．（1）求证：1b c +=- ；（2）求证：3c ≥；（3）若函数(sin )f α的最大值为8，求b ，c 的值．分析：由三角函数的有界性可以得出()10f =，再结合有界性探求．解析：（1）因为1sin 1α-≤≤且(sin )0f α≥恒成立，所以(1)0f ≥，又因为12cos 3β≤+≤且(2cos )0f β+≤恒成立，所以(1)0f ≤，从而知(1)0f =，10b c ++=，即1b c +=-．（2）由12cos 3β≤+≤且(2cos )0f β+≤恒成立得(3)0f ≤，即 930b c ++≤，将1b c =--代如得9330c c --+≤，即3c ≥．（3）22211(sin )sin(1)sin (sin )()22c c f c c c αααα++=+--+=-+-，因为122c+≥，所以当sin 1α=-时max [(sin )]8f α=，由1810b c b c -+=⎧⎨++=⎩ ，解得 4b =-，3c =．点评：本题的关键是1b c +=-，由(sin )0(2cos )0f f αβ≥⎧⎨+≤⎩ 利用正余弦函数的有界性得出()()1010f f ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，从而(1)0f =，使问题解决，这里正余弦函数的有界性在起了重要作用．【专题训练与高考预测】一、选择题1．若[0,2)απ∈，sin cos αα=-，则α的取值范围是（）A ．[0,]2πB ．[,]2ππ C ．3[,]2ππ D ．3[,2)2ππ 2．设α是锐角，且lg(1cos )m α-=，1lg 1cos n α=+，则lgsin α=（） A ．m n - B ．11()2m n - C ．2m n - D ．11()2n m-3．若00||2sin15,||4cos15a b ==，a 与b 的夹角为30。

三角函数题型汇总（附答案）

三角函数训练题（1）一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.命题p :α是第二象限角，命题q:α是钝角，则p 是q 的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件2.若角α满足sin αcos α<0,cos α-sin α<0,则α在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.集合M ={x |x =42ππ±k ,k ∈Z }与N ={x |x =4πk ,k ∈Z }之间的关系是( )A.M NB.N MC.M =ND.M ∩N=∅4.已知下列各角(1)787°,(2)-957°,(3)-289°,(4)1711°,其中在第一象限的角是( )A.(1)、(2)B.(2)、(3)C.(1)、(3)D.(2)、(4)5.设a <0,角α的终边经过点P (-3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于( )A.52B.-52C.51D.-51 6.若cos(π+α)=-23,21π<α<2π,则sin(2π-α)等于( )A.-23B.23C.21D.±237.已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是( )A.若α、β是第一象限角，则cos α>cos βB.若α、β是第二象限角，则tan α>tan βC.若α、β是第三象限角，则cos α>cos βD.若α、β是第四象限角，则tan α>tan β8.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )A.2B.1sin 2C.2sin1D.sin29.如果sin x +cos x =51,且0<x <π,那么cot x 的值是( )A.-34 B.-34或-43 C.-43 D.34或-43 10.已知①1+cos α-sin β+sin αsin β=0,②1-cos α-cos β+sin αcos β=0.则sin α的值为( )A.3101- B.351- C.212- D.221-二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.tan300°+cot765°的值是_______.12.已知tan α=3,则sin 2α-3sin αcos α+4cos 2α的值是______.13.若扇形的中心角为3π,则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为______.14.若θ满足cos θ>-21,则角θ的取值集合是______.三、解答题(本题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)设一扇形的周长为C (C >0),当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？16.(本小题满分10分)设90°<α<180°,角α的终边上一点为P (x ,5),且cos α=42x , 求sin α与tan α的值.17.(本小题满分12分)已知sin α是方程5x 2-7x -6=0的根，求)(cos )2cos()2cos()2(tan )23sin()23sin(22απαπαπαπαππα-⋅+⋅--⋅-⋅--的值.18.(本小题满分12分)已知sin α+cos α=-553,且|sin α|>|cos α|,求cos 3α-sin 3α的值.19.(本小题满分12分) 已知sin(5π-α)=2 cos(27π+β)和3cos(-α)=- 2cos(π+β),且0<α<π,0<β<π,求α和β的值.三角函数训练题（2）参考答案：1．解析：“钝角”用集合表示为{α|90°<α<180°},令集合为A ；“第二象限角”用集合表示为{α|k ²360°+90°<α<k ²360°+180°,k ∈Z },令集合为B .显然A B .答案：B2．解析：由sin αcos α<0知sin α与cos α异号；当cos α-sin α<0,知sin α>cos α.故sin α>0,cos α<0.∴α在第二象限.答案：B 3．解法一：通过对k 的取值，找出M 与N 中角x 的所有的终边进行判断.解法二：∵M ={x |x =4π²(2k ±1),k ∈Z },而2k ±1为奇数，∴M N .答案：A4．解析：787°=2³360°+67°,-957°=-3³360°+123°. -289°=-1³360°+71°,1711°=4³360°+271°. ∴在第一象限的角是(1)、(3). 答案：C5．解析：∵r=a a a 5)4()3(22-=+-.α为第四象限. ∴53cos ,54sin ==-==r x r y αα.故sin α+2cos α=52. 答案：A6．解析：∵cos(π+α)=- 21,∴cos α=21,又∵23π<α<2π. ∴sin α=-23cos 12-=-α.故sin(2π-α)=-sin α=23. 答案：B 7．答案：D8．解析：∵圆的半径r =1sin 2,α=2 ∴弧度l=r ²α=1sin 2. 答案：B9．分析：若把sin x 、cos x 看成两个未知数，仅有sin x +cos x =51是不够的，还要利用sin 2x +cos 2x =1这一恒等式.解析：∵0<x <π,且2sin x cos x =(sin x +cos x )2-1=-2524. ∴cos x <0.故sin x -cos x =57cos sin 4)cos (sin 2=-+x x x x ,结合sin x +cos x =51,可得sin x =54,cos x =-53,故co t x =-43.答案：C10．分析：已知条件复杂，但所求很简单，由方程思想，只要由①、②中消去β即可.解析：由已知可得：sin β=ααsin 1cos 1-+,cos β=ααsin 1cos 1--.以上两式平方相加得：2(1+cos 2α)=1-2sin α+sin 2α.即：3sin 2α-2sin α-3=0.故sin α=3101-或sin α=3101+ (舍). 答案：A11．解析：原式=tan(360°-60°)+cot (2³360°+45°)=-tan60°+cot45°=1-3.答案：1-312．分析：将条件式化为含sin α和cos α的式子，或者将待求式化为仅含tan α的式子.解法一：由tan α=3得sin α=3cos α,∴1-cos 2α=9cos 2α.∴cos 2α=101.故原式=(1-cos 2α)-9cos 2α+4cos 2α=1-6cos 2α=52.解法二：∵sin 2α+cos 2α=1.∴原式=52194991tan 4tan 3tan cos sin cos 4cos sin 3sin 222222=++-=++-=++-ααααααααα 答案：5213．分析：扇形的内切圆是指与扇形的两条半径及弧均相切的圆.解析：设扇形的圆半径为R ，其内切圆的半径为r ,则由扇形中心角为3π知：2r +r =R ,即R =3r .∴S 扇=21αR 2=6πR 2,S 圆=9πR 2.故S 扇∶S 圆=23. 答案：23 14．分析：对于简单的三角不等式，用三角函数线写出它们的解集，是一种直观有效的方法.其过程是：一定终边，二定区域；三写表达式.解析：先作出余弦线OM =-21，过M 作垂直于x 轴的直线交单位圆于P 1、P 2两点，则OP 1、OP 2是cos θ=21时θ的终边.要cos θ>-21,M 点该沿x 轴向哪个方向移动？这是确定区域的关键.当M 点向右移动最后到达单位圆与x 轴正向的交点时，OP 1、OP 2也随之运动，它们扫过的区域就是角θ终边所在区域.从而可写出角θ的集合是{θ|2k π-32π<θ<2k π+32π,k ∈Z }.答案：{θ|2k π-32π<θ<2k π+32π,k ∈Z }15．解：设扇形的中心角为α，半径为r ,面积为S ，弧长为l,则：l+2r =C ,即l=C -2r .∴16)4()2(212122C C r r r C lr S +--=⋅-==.故当r =4C时，S max =162C ,此时：α=.2422=-=-=CCC rrC r l∴当α=2时，S max =162C .16．解：由三角函数的定义得：cos α=52+x x ,又cos α=42x , ∴34252±=⇒=+x x x x . 由已知可得：x <0,∴x =-3. 故cos α=-46,sin α=410,ta n α=-315. 17．解：∵sin α是方程5x 2-7x -6=0的根. ∴sin α=-53或sin α=2(舍).故sin 2α=259,cos 2α=⇒2516tan 2α=169. ∴原式=169tan cot )sin (sin tan )cos (cos 222==⋅-⋅⋅-⋅ααααααα.18．分析：对于sin α+cos α,sin α-cos α及sin αcos α三个式子，只要已知其中一个就可以求出另外两个，因此本题可先求出sin αcos α,进而求出sin α-cos α,最后得到所求值.解：∵sin α+cos α=-553, ∴两边平方得：1+2sin αcos α=⇒59sin αcos α=52. 故(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=51.由sin α+cos α<0及sin αcos α>0知sin α<0,cos α<0. 又∵|sin α|>|cos α|,∴-sin α>-cos α cos α-sin α>0.∴cos α-sin α=55. 因此，cos 3α-sin 3α=(cos α-sin α)(1+sin αcos α)=55³(1+52)=2557. 评注：本题也可将已知式与sin 2α+cos 2α=1联解，分别求出sin α与cos α的值，然后再代入计算.19．分析：运用诱导公式、同角三角函数的关系及消元法.在三角关系式中，一般都是利用平方关系进行消元.解：由已知得sin α=2sin β ①3cos α=2cos β ② 由①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2. 即：sin 2α+3(1-sin 2α)=2. ∴sin 2α=⇒21sin α=±22,由于0<α<π,所以sin α=22. 故α=4π或43π. 当α=4π时，cos β=23,又0<β<π,∴β=6π, 当α=43π时，cos β=-23,又0<β<π,∴β=65π.综上可得：α=4π,β=6π或α=43π,β=65π.三角函数训练题（2）一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.cos24°cos36°-cos66°cos54°的值等于( ) A.0 B.21 C.23 D.-21 2.在△ABC 中，如果sin A =2sin C cos B .那么这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形 3.︒-︒80sin 310sin 1的值是( ) A.1 B.2 C.4 D.41 4.tan20°+4sin20°的值是( )A.1B.2C.3D.336+ 5.tan θ和tan(4π-θ)是方程x 2+px +q =0的两根，则p 、q 之间的关系是( )A.p +q +1=0B.p -q -1=0C.p +q -1=0D.p -q +1=06.设sin x +sin y =22,则cos x +cos y 的取值范围是( ) A.［0,214］ B.(- 214,0] C.［-214,214］ D.［-21,27］7.M =sin α²tan 2α+cos α,N =tan 8(tan 8ππ+2),则M 与N 的关系是( )A.M >NB.M =NC.M <ND.大小与α有关8.已知sin α+sin β=3 (cos β-cos α),α,β∈(0,2π),那么sin3α+sin3β的值是( )A.1B.23C.21D.09.已知tan α、tan β是方程x 2+33x +4=0的两个根，且α、β∈(-2,2ππ),则α+β的值是( )A.3π B.-32πC. 3π或-32πD.- 3π或32π10.(1+tan21°)(1+tan22°)(1+tan23°)(1+tan24°)的值是( ) A.16 B.8 C.4 D.2二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.已知tan x =34(π<x <2π).则cos(2x -3π)cos(3π-x )-sin(2x -3π)sin(3π-x )=______.12.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-3cos(θ+15°)的值等于______.13.log 4cos5π+log 4cos 52π的值等于______.14.已知tan(α+β)=52,tan(β-41)4=π,则sin(α+4π)²sin(4π-α)的值为___.三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)求值：212cos 412csc )312tan 3(2-︒︒-︒.16.(本小题满分10分) 已知cot β=βαsin sin ,5=sin(α+β),求cot(α+β)的值.17.(本小题满分12分)已知tan2θ=-22,x <2θ<2π,求)4sin(21sin 2cos 22πθθθ+--的值.18.(本小题满分12分)是否存在锐角α和β，使得(1)α+β=32π;(2)tan 2αtan β=2-3同时成立？若存在，则求出α和β的值；若不存在，说明理由.19.(本小题满分12分)已知△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，且BC A cos 2cos 1cos 1-=+,求cos 2CA -的值.三角函数训练题（2）参考答案：1．解析：原式=cos24°cos36°-sin24°sin36°=cos(24°+36°)=cos60°=21.答案：B2．解析：∵A +B +C =π,∴A =π-(B +C ).由已知可得：sin(B +C )=2sin C cos B ⇒sin B cos C +cos B sin C =2sin C cos B ⇒sin B cos C -cos B sin C =0⇒sin(B -C )=0. ∴B =C ,故△ABC 为等腰三角形. 答案：C3．解析：原式=︒︒-︒=︒-︒20sin 2110sin 310cos 10cos 310sin 1420sin 70cos 420sin )1060cos(420sin )10sin 2310cos 21(4=︒︒=︒︒+︒=︒︒-︒=.答案：C4．分析：运用三角变形的通法：化弦法、异角化同角.解析：原式=︒︒︒+︒=︒+︒︒20cos 20cos 20sin 420sin 20sin 420cos 20sin.320cos )20sin 20cos 3(20sin 20cos )2060sin(220sin 20cos 40sin 220sin =︒︒-︒+︒=︒︒-︒+︒=︒︒+︒=答案：C5．解析：由根与系数关系得tan θ+tan(4π-θ)=-p ,tan θ²tan(4π-θ)=q .又4π=θ+(4π-θ) ∴tan4π=tan ［θ+( tan-θ)］=qp--1 故p -q +1=0. 答案：D6．解析：设cos x +cos y =t ,又sin x +sin y =22. 两式平方相加得2+2cos(x -y )=t 2+21 即cos(x -y )=4322-t ,由于|cos(x -y )|≤1.故-1≤4322-t ≤1⇒t 2≤21427-⇒≤t ≤214.答案：C7．解析：12s i n212s in 2)2si n 21(2co s 2s i n 22cos2s i n 222=-+=-+⋅=αααααααM .14cos14sin 24cos 124cos 14sin 24cos18cos 4sin8sin )28cos 8sin(8cos8sin22=++-=++-=+=+=πππππππππππππN∴M =N . 答案：B8．分析：先从已知式中求出α与β的关系，然后代入求值. 解析：由已知得：sin α+3cos α=3cos β-sin β.即cos(α-6π)=cos(β+6π) 又α-6π∈(-6π,3π),β+6π∈(6π,32π)故α-6π=β+6π⇒α=β+3π,∴sin3α+sin3β=sin(3β+π)+sin3β=0. 答案：D 9．解析：由韦达定理得：tan α+tan β=-33,tan αtan β=4 ∴tan(α+β)=3tan tan 1tan tan =-+βαβα.又∵α、β∈(-2,2ππ),且tan α+tan β<0,tan αtan β>0. ∴tan α<0,tan β<0.故α、β∈(-2π,0)从而α+β∈(-π,0),∴α+β=-32π.答案：B 10．分析：本题中所涉及的角均为非特殊角，但两角之和为45°特殊角，为此，将因式重组来求.解析：∵tan45°=tan(21°+24°)=︒︒-︒+︒24tan 21tan 124tan 21tan∴1-tan21°tan24°=tan21°+tan24° 即1+tan21°+tan24°+tan21°tan24°=2 即(1+tan21°)(1+tan24°)=2.(同理，由tan45°+tan(22°+23°)可得 (1+tan22°)(1+tan23°)=2.故(1+tan21°)(1+tan22°)(1+tan23°)(1+tan24°)=4. 答案：C11．解析：原式=cos ［(2x -3π)+(3π-x )］=cos x .∵tan x =34>0且π<x <2π,∴π<x <23π.故cos x <0,从而得cos x =-52.答案：-5312．分析：观察所给角易得θ+75°=(θ+15°)+60°,θ+45°=(θ+15°)+30°.考查两角和的正弦余弦公式及换元法的运用.解析：令θ+15°=α,则原式=sin(α+60°)+cos(α+30°)-3cos α=21sin α+23cos α+23cos α-21sin α-3cos α=0.答案：013．解析：∵5sin252cos 5cos 5sin252cos 5cos ππππππ=415sin454sin 5sin 252cos 52sin ===πππππ ∴原式=log 4141log )52cos 5(cos 4-==ππ答案：-114．解析：∵tan(α+4π)=tan ［(α+β)-(β-4π)=223,∴原式=sin(α+4π)cos(α+4π)=)4(sin )4(cos )4cos()4sin(22παπαπαπα+++++49366)4(tan 1)4tan(2=+++=παπα. 答案：4936615．分析：本题中函数种类较多，在变换过程中，常用“切割化弦”的基本方法，考查公式的灵活运用.解：原式=)112cos 2(24sin 12cos 312sin 3)112cos 2(212sin 1)312cos 12sin 3(22-︒⋅︒︒-︒=-︒︒⋅-︒︒ ︒⋅︒︒-︒=24cos 24sin )12cos 2312sin 21(323448sin 21)6012sin(32-=︒︒-︒=16．分析：条件式中出现α、β及α+β角，要得到所求三角式的α+β角，显然就需对角α进行变换.即α=(α+β)-β.解：∵βαsin sin =sin(α+β). ∴sin ［(α+β)-β］=sin β²sin(α+β).即sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin βsin(α+β). ∴sin(α+β)cos β=sin β［sin(α+β)+cos(α+β)］ ∴)sin()cos()sin(sin cos βαβαβαββ++++=即cot β=1+cot(α+β) ∴cot(α+β)=cot β-1=5-1.评注：三角变换的基本原则是化异为同，可以从角及函数名称、式子结构等方面分析思考，逐步实行由异向同的转化.17．分析：求三角函数的值，一般先要进行化简，至于化成哪一种函数，可由已知条件来确定.本题中由已知可求得tan θ的值，所以应将所求的式子化成正切函数式.解：原式=)4sin(2)4sin(2)4sin(2sin cos θπθππθθθ+-=+- ∵2)4()4(πθπθπ=++-∴原式=θθθπθπθπtan 1tan 1)4tan()4cos()4sin(+-=-=--.由已知tan2θ=-22得22tan 1tan 22-=-θθ解得tan θ=-22或tan θ=2. ∴π<2θ<2π，∴2π<θ<π,故tan θ=-22.故原式=223221221+=-+. 评注：以上所给解法，似乎有点复杂，但对于提高学生的三角变换能力大有好处.本题也可将所求式化成θθθθsin cos sin cos +-,注意到此时分子、分母均是关于si n θ、cos θ的齐次式.通过同时除以cos θ,即可化成θθtan 1tan 1+-.18．分析：这是一道探索性问题的题目，要求根据(1)、(2)联解，若能求出锐角α和β，则说明存在，否则，不存在.由于条件(2)涉及到2α与β的正切，所以需将条件(1)变成2α+β=3π,然后取正切，再与(2)联立求解.解：由(1)得：2α+β=3π,∴3tan 2tan 1tan 2tan)2tan(=-+=+βαβαβα将(2)代入上式得tan 2α+tan β=3-3. 因此，tan2α与tan β是一元二次方程x 2-(3-3)x +2-3=0的两根，解之得x 1=1,x 2=2-3.若tan2α=1,由于0<2α<4π.所以这样的α不存在；故只能是tan 2α=2-3,tan β=1.由于α、β均为锐角，所以α=6π,β=4π故存在锐角α=6π,β=4π使(1)、(2)同时成立.19．解法一：依题意得B =3π,设A =3π+α,C =3π-α,则2CA -=α.同时有：3cos2)3cos(1)3cos(1παπαπ-=-++即22sin 3cos 2sin 3cos 2-=++-αααα023cos 2cos 242sin 3cos cos 2222=-+⇒-=-⇒ααααα ∴cos α=22或cos α=-423 (舍去)即cos222=-C A . 解法二：依题意得C C A C C A C A B -=--=-=+=32,232,32,3ππππ,不妨设cos(C -3π)=x .由已知得CC C C CC CA cos )32cos(cos )32cos(cos 1)32cos(1cos 1cos 1-+-=+-=+πππ∵cos(π32-C )+cos C=cos 32πcos C +sin 32πsin C +cos C=21cos C +23sin C =cos(3π-C ). cos(32π-C )cos C =cos 32πcos 2C+sin 32πsin C cos C)3(cos 43]1)3(cos 2[2141)232cos(21412sin 43)2cos 1(4122C C C C C -+-=--+-=-+-=++-=πππ∴22432-=+-x x 即0232242=-+x x∴x =22或x =-423 (舍去).故222cos=-C A . 解法三：依题意得B =3π,由已知得22cos 1cos 1-=+C A即cos A +cos C =-22cos A cos C利用积化和差及和差化积公式，并注意到A +C =32π,可得2cos22cos 2-=-+CA C A ［cos(A +C )+cos(A -C )］即22cos 22222cos2+--=-CA C A . 即0232cos 22cos 242=--+-CA C A ∴222cos=-C A 或4232cos -=-C A (舍去). 故222cos=-C A . 评注：解法三运用了和差化积及积化和差公式，这组公式虽不要求记忆，但在给出公式的情况下会运用.(3)1.在半经为2米的圆中，120°的圆心角所对的弧长为_____（34π）米。

三角函数计算题期末复习(含答案)

三角函数计算题期末复习(含答案)1.解答题1.计算：sin30°+tan60°-cos45°+tan30°。

2.计算：--2tan60°-(-)-。

3.计算：2sin30°+3cos60°-4tan45°。

4.计算：-2sin30°-(π-3)-(-3)。

5.计算：2sin30°-tan60°+cos60°-tan45°。

6.计算：|-3|+(π-2017)-2sin30°+(1-1)/3.7.计算：2-2-2cos30°+tan60°+(π-3.14)。

8.计算：2-1+2sin45°-8+tan260°。

9.计算：2sin30°-2cos45°+8.10.计算：(1)sin260°+cos260°；(2)4cos45°+tan60°-8-(-1)。

11.计算：sin45°+(1-3)-1+cos30°tan60°-3-1/2.12.求值：2+2sin30°-tan60°-tan45°。

13.计算：(sin30°-1)×sin45°+tan60°×cos30°。

14.(1)sin30°+cos30°+tan30°tan60°；(2)tan45°sin45°-2sin30°cos45°/2.15.计算：-4-tan60°+|-2|。

16.计算：-2sin30°-(-3)tan60°+(1-1)/2.17.计算：tan60°-2sin30°-cos45°。

三角函数经典题型总结

三角函数的经典题型主要包括以下几个方面：
1. 三角函数的基本性质和公式应用：
-三角函数的基本关系：sin²θ+ cos²θ= 1，tanθ= sinθ/cos θ等。

-诱导公式：sin(α±β)，cos(α±β)，tan(α±β)等的公式。

-二倍角公式、半角公式、和差化积、积化和差公式等。

2. 解三角形问题：
-正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

-余弦定理：a²= b²+ c²- 2bc cosA，同理可得其他边和角的关系。

-利用正弦定理和余弦定理解决边角关系问题。

3. 三角函数图像和性质：
-正弦函数、余弦函数、正切函数的图像及其周期性、奇偶性、单调性、对称性等性质。

-利用图像解三角函数方程和不等式。

4. 三角函数的应用问题：
-在物理中的应用，如振动问题、波动问题、光学问题等。

-在地理学中的应用，如地图上的方位角、距离计算等。

-在工程学中的应用，如结构力学、电路分析等。

5. 三角函数的复合与逆运算：
-复合三角函数的运算，如sin(cosx)，cos(sinx)等。

-三角函数的反函数，如arcsin(x)，arccos(x)，arctan(x)等。

6. 三角恒等式的证明：
-利用三角函数的基本关系和公式进行恒等式的变形和证明。

以上就是三角函数的一些经典题型总结，掌握这些题型的解题方法和技巧，可以有效地提高解决三角函数问题的能力。

高中数学三角函数与解三角形题型总结最新最全版含答案

三角函数1、三角函数对称性。

（1）涉及奇偶性的初相:对称中心可以是正弦、余弦函数的函数值为0，对称轴可以使正弦、余弦的函数值得到最大最小值。

)(x f =）（j w +x A sin ），（00¹¹w A 的图象关于直线x=t 对称Û)(t f =±A ；)(x f =）（j w +x A sin ），（00¹¹w A 的图象关于点（的图象关于点（t t ，0）对称Û)(t f =0=0；；1.【2012全国1，文3】若函数()sin 3x f x j +=(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( C )A ．π2 B ．2π3 C ．3π2 D ．5π32、已知()sin()cos()f x x x j j =-+-为奇函数，则j 的一个取值为（D ）A ．0B ．pC ．2pD ．4p3、（2017盐城三模）若()3sin()cos()()22f x x x ppq q q =+-+-££是定义在R 上的偶函数，则q =▲.3p-2.用代数符号的对称轴与对称中心的判定,注意周期性与对称性的联系①若()y f x =图像有相邻两条对称轴,()x a x b a b ==¹，则()y f x =必是周期函数，且一周期为2||T a b =-；（简单记为“相邻两轴距离，半个周期”）②若()y f x =图像有相邻两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ¹，则()y f x =是周期函数，且一周期为2||T a b =-；（简单记为“相邻两心距离，半个周期”）③如果函数()y f x =的图像有相邻一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =¹，则函数()y f x =必是周期函数，且一周期为4||T a b =-；（简单记为“相邻轴心距离，四分之一个周期”） 1.（2018·东城区期末·2）函数3sin(2)4y x p=+图像的两条相邻对称轴之间的距离是CA.2pB. pC.2p D.4p2．（2018全国新课标Ⅰ文）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（B ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为43（2018全国新课标Ⅱ文）若在是减函数，则的最大值是（C ）A ．B ．C ．D ．j ()cos sin f x x x =-[0,]a a π4π23π4π4．（2018全国新课标Ⅱ理）若在是减函数，则的最大值是（的最大值是（ A ） A ． B ． C ． D ．5．（2018全国新课标Ⅲ文）函数的最小正周期为（C ）A ．B ．C ．D ．6．（2018北京文）在平面坐标系中，，，，是圆上的四段弧（如图），点在其中一段上，角以为始边，为终边，为终边，若，则所在的圆弧是（C ） A ．B ．C ．D ．7．（2018全国新课标Ⅰ文）已知角a 的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23a =，则ab -=（B ）A ．15B ．55C ．255D ．18、【2012年新课标卷文9】已知>0，，直线=和=是函数图像的两条相邻的对称轴，则= A （A ）π4（B ）π3（C ）π2（D ）3π49、（河南省内黄一中2014届高三12月月考）若函数，满足，则的值为的值为 C A C A ． B ． C ．0 D ．10.【广东省佛山市2017届高三教学质量检测（一）】下列函数中，同时满足两个条件“①x R "Î，01212f x f x p p æöæö++-=ç÷ç÷èøèø；②当63x p p -<<时，()'0f x >”的一个函数是（”的一个函数是（C C ） A ．()sin 26f x x p æö=+ç÷èø B ．()cos 23f x x p æö=+ç÷èø C.()sin 26f x x p æö=-ç÷èø D ．()cos 26f x xp æö=-ç÷èø11、（潮州市2016届高三上期末）函数()c o s f x x x =-[,a a -a π4π23π4π2t a n()1tan x f x x=+4p 2p p 2p »AB »CD »EF ¼GH 221x y +=P a Ox OP t a n c o s a aa <<P »AB »CD »EF ¼GH w 0j p <<x 4p x 54p ()s i n (f x x wj =+j ()s i n (f x x j =+()(f a x f a x+=-()6f a p +321±12()sin()(0,)2f x x p w j w j =+><｜｜的部分图象如图所示，如果12,(,)63x x p p Î-，且12()()f x f x =，则12()2x x f +等于DA 、12B 、22C 、32D 、112．【2018北京大兴联考】设函数（是常数），若，则，，之间的大小关系可能是（之间的大小关系可能是（ B B ） A. B. C. D. 13．【2018辽宁庄河两校联考】已知函数（为常数，）的图像关于直线对称，则函数的图象（的图象（C C）根据条件可得(0)()3f f p = A. 关于点对称对称 B. B.关于点对称C. 关于直线对称对称 D. D. 关于直线对称对称14.【2017天津，理7文7】设函数()2sin()f x x w j =+，x ÎR ，其中0w >，||j <p .若5()28f p =，()08f 11p =，且()f x 的最小正周期大于2p ，则，则A （A ）23w =，12j p = （B ）23w =，12j 11p =- （C ）13w =，24j 11p =- （D ）13w =，24j 7p=15．（2018全国新课标Ⅰ理）已知函数，则的最小值是_____________．3、三角函数图像变换，五点法画三角函数sin()y A x B w j =++图像。

专题04 三角函数与解三角形学霸必刷100题(解析版)

三角函数与解三角形学霸必刷100题1．已知函数()sin()(>0)6f x x πωω=+在区间52[,]63ππ-上单调递增，且存在唯一05[0,]6x π∈使得0()1f x =，则ω的取值范围为（）A ．11[,]52B ．21[,]52C ．14[,]55D ．24[,]55【答案】B【解析】函数()sin()(>0)6f x x πωω=+在区间52[,]63ππ-上单调递增，所以52[,][2,2],663622k k k Z ππππππωωππ-++⊆-++∈，得：22362526620,k k k Z πππωππππωπω⎧+≤+⎪⎪⎪-+≤-+⎨⎪>∈⎪⎪⎩，即13241250,k k k Z ωωω⎧≤+⎪⎪⎪≤-⎨⎪>∈⎪⎪⎩经检验仅有0k =时有：102ω<≤.5[0,]6x π∈时，5[,]6666x ππππωω+∈+，由题意得：552662ππππω≤+<，解得：21455ω≤<. 综上：2152ω≤≤.故选：B.2．已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为π6x =-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12(,)x x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为 A ．2π3B ．π3C ．π6D ．4π3【答案】A【解析】由题，()sin f x a x x =-)x θ+，θ为辅助角，因为对称轴为π6x =-，所以1()362f a π-=--即132a --=解得2a =所以()4sin()3f x x π=-又因为()f x 在()12,x x 上具有单调性，且()()120f x f x +=，所以12,x x 两点必须关于正弦函数的对称中心对称，即12122333()22x x x x k k z ππππ-+-+-==∈所以1222()3x x k k z ππ+=+∈ 当0k =时，12x x +取最小为2π3故选A3．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()SA C b c+=-，则1tan 2tan()C B C +-的最小值为（）AB ．2C ．1D．【答案】A【解析】因为222sin()SA C b c +=-，即222sin S B b c=-，所以22sin sin ac BB b c =-，因为sin 0B ≠，所以22b c ac =+，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2cos a c B c -=，再由正弦定理得sin 2sin cos sin A C B C -=，因为sin 2sin cos sin()2sin cos sin()A C B B C C B B C -=+-=-，所以sin()sin B C C -=，所以B C C -=或B C C π-+=，得2B C =或B π=（舍去）.因为ABC ∆是锐角三角形，所以02022032C C C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，得64C ππ<<，即tan C ∈，所以11tan tan 22tan()2tan C C B C C+=+≥-，当且仅当2tan 2C =，取等号.故选:A 4．边长为2的等边ABC ∆和有一内角为30的直角1ABC ∆所在半平面构成60︒的二面角，则下列不可能是线段1CC 的取值的是（） A ．30 B ．10C ．102D ．103【答案】D【解析】(1) 当1130,90C AB C BA ∠=∠=时,空间位置关系如下图所示:过C 作CE AB ∥,且EB AB ⊥则1C BE ∠即为二面角1C AB C --的平面角所以160C BE ∠= 由题意可知132333C B AB ==,332BE BC ==在1C BE ∆中,由余弦定理可知22211112cos C E C B BE C B BE C BE =+-⨯∠ 代入可得2142373236033C E =+-= 而190C EC ∠=所以2211730133C C C E CE =+=+=(2)当1130,90AC B C BA ∠=∠=时,空间位置关系如下图所示:过C 作CF AB ∥,且FB AB ⊥则1C BF ∠即为二面角1C AB C --的平面角所以160C BF ∠=由题意可知1323C B AB ==,33BF BC == 在1C BF ∆中,由余弦定理可知22211112cos C F C B BF C B BF C BF =+-⨯∠ 代入可得211232233cos609C F =+-⨯⨯= 而190C FC ∠=所以22119110C C C F CF =+=+=(3) 当1130,90C AB AC B ∠=∠=时,空间位置关系如下图所示:过1C 作1C G AB ⊥交AB 于G .过C 作CH AB ∥,且GH AB ⊥ 则1C GH ∠即为二面角1C AB C --的平面角所以160C GH ∠= 由题意可知111,2C B AB ==1133C G B ==,33GH BC ==1142CH AB ==在1C GH ∆中,由余弦定理可知22211112cos C H C G GH C G GH C GH =+-⨯∠代入可得21393260424C H =+-⨯=所以12C C===综上可知,线段1CC的取值为3和2,在四个选项中,不能取的值为3故选:D5．函数()()()2sin 0,0fx x ωϕωϕπ=+><<，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，且()f x 在()0,π上单调，则下列说法正确的是() A ．12ω=B ．82f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()y f x =的图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】C【解析】由题意得函数()f x 的最小正周期为2T πω=，∵()f x 在()0,π上单调，∴2T ππω=≥，解得01ω<≤． ∵8f π⎛⎫=⎪⎝⎭02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴3842ωππϕωπϕπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2323ωπϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴22()2sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于选项A ，显然不正确．对于选项B ，227()2sin 2sin 838312f ππππ⎛⎫-=-⨯+== ⎪⎝⎭，故B 不正确．对于选项C ，当2x ππ-≤≤-时，220333x ππ≤+≤，所以函数()f x 单调递增，故C 正确．对于选项D ，32327()2sin 2sin 043436f ππππ⎛⎫=⨯+=≠ ⎪⎝⎭，所以点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()f x 图象的对称中心，故D 不正确．综上选C ． 6．已知函数 f (x ) = 1sin()+062x πωω-（），且 11(),()22f f αβ=-=．若 α − β 的最小值为34π，则函数的单调递增区间为（） A ．2,2,2k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．3,3,2k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ C ．52,2,2k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．53,3,2k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】解：函数1()sin()(0)62f x x πωω=-+>，且()12f α=-，1()2f β=，11()sin()622f παωα∴=-+=-，可得1262k ππωαπ-=-，1k Z ∈，解得：123k ππαω-=，1k Z ∈；11()sin()622f πβωβ=-+=，可得26k πωβπ-=，2k Z ∈，解得：26k ππβω+=，2k Z ∈；||αβ-的最小值为34π， 12122132|||||2|24k k k k πππππαβωω--∴-==--，1k Z ∈，2k Z ∈，可解得：1241|2|32k k ω--，1k Z ∈，2k Z ∈，取11k =．22k =，可得23ω=； 21()sin()362f x x π∴=-+，由2222362k x k πππππ--+，k Z ∈，解得332k x k ππππ-+，k Z ∈；∴函数()f x 的单调递增区间为：[32k ππ-，3]k ππ+，k Z ∈．故选：B ．7．如图，ABC 中，ACB ∠为钝角，10AC =，6BC =，过点B 向ACB ∠的角平分线引垂线交于点P ，若62AP =，则ABP △的面积为（）A ．4B ．2C ．6D ．43【答案】B【解析】设,CP x ACP BCP θ=∠=∠=，则在三角形BCP 中,cos 6CP xBC θ== 在三角形ACP 中,由余弦定理可知2222cos AP CP CA CP CA θ=+-⨯ 代入可得(22262102106xx x =+-⨯⨯化简可得212x =,解得23x =所以3cos 63x θ==,则236sin 13θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭由二倍角公式可得3622sin sin 223ACB θ∠===由三角形面积公式可得1122sin 210620222ACB S CA CB θ∆=⨯⨯⨯=⨯⨯=116sin 102310222ACP S CA CP θ∆=⨯⨯⨯=⨯⨯=116sin 62362223BCP S CB CP θ∆=⨯⨯⨯=⨯⨯=则2021026242ABP ABC ACP BCP S S S S ∆∆∆∆=--==故选:B8．某港口某天0时至24时的水深y （米）随时间x （时）变化曲线近似满足如下函数模型0.5sin 3.246y x πωπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0>ω）.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（） A ．16时 B ．17时C ．18时D ．19时【答案】D【解析】解：由题意可知，0x =时，0.5sin 0 3.24 3.496y πωπ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭，由五点法作图可知：如果当16x =时，函数取得最小值可得：51662ππωπ+=，可得748ω=，此时函数70.5sin 3.24486y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数的周期为：296147748T ππ==≈，该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，满足，如果当19x =时，函数取得最小值可得：51962ππωπ+=，可得757ω=，此时函数70.5sin 3.24576y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数的周期为：21147757T ππ==， 24x =时，70.5sin 24 3.243576y ππ⎛⎫=⨯++> ⎪⎝⎭，如图：该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，不满足，故选：D ．9．如图,矩形ABCD 中,1AB =,3BC =,F 是线段BC 上一点且满足1BF =,E 是线段FC 上一动点,把ABE △沿AE 折起得到1AB E △,使得平面1⊥B AC 平面ADC ,分别记1B A ,1B E 与平面ADC 所成角为α,β,平面1B AE 与平面ADC 所成锐角为θ,则:（）⇒A ．θαβ>>B ．θβα>>C ．αθβ>>D ．βθα>>【答案】A 【解析】如图,过B 作BO AC ⊥,在Rt ABC 中,由13AB BC ==，,可得2AC =．由等积法可得3BO =,则12AO =平面1⊥B AC 平面ADC ,且1B O AC ⊥,可得1B O ⊥平面ABCD∴ 11tan 3B OB AO AOαα∠==，＝．画出底面ABCD 平面图:在BOF ,由余弦定理可得:2222cos OF OB BF OB BF OBF =+-⋅⋅∠22233121cos 60OF ︒=+-⋅⎝⎭ ∴ 2723OF -=214OA=,故OF OA>，结合图像可知:OE OF>∴OE OF OA>>,可得:OE OA>11tanB OB EOEOββ∠==，,1tanB OAOα=∴可得tan tanαβ>┄①过O作OG AE⊥,垂足为G,连接1B G，则1∠B GO为平面1B AE与平面ADC所成的锐角θ．O到AB的距离14BC=,由底面图像可知:144BO CG=<∴1tan2B OOGθ=>=，即tan tanθα>┄②由①②可得: tan tan tanθαβ>>,,θαβ都是锐角,根据正切函数单调性可知: θαβ>>故选:A.10．已知A是函数()sin2018cos201863f x x xππ⎛⎫⎛⎫=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值，若存在实数12,x x使得对任意实数x 总有12()()()f x f x f x≤≤成立，则12||A x x⋅-的最小值为A．π2018B．π1009C．2π1009D．π4036【答案】B【解析】()2018cos201863f x sin x xππ⎛⎫⎛⎫=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112014cos2018cos2018201822x x x x=++2018cos2018x x=+220186sin xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()max 2A f x ∴==，周期220181009T ππ==，又存在实数12,x x ，对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，()()()()21max min 2,2f x f x f x f x ∴====-，12A x x ⋅-的最小值为121009A T π⨯=，故选B.11．如图，已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图象与坐标轴交于点1,,(,0)2-A B C ，直线BC交()f x 的图象于另一点D ，O 是ABD ∆的重心.则ACD ∆的外接圆的半径为A ．2B 57C 57D ．8【答案】B【解析】∵O 是ABD ∆的重心，1,02C ⎛⎫-⎪⎝⎭， ∴21OA OC ==，∴点A 的坐标为()1,0， ∴函数()f x 的最小正周期为3T 232=⨯=，∴23πω=，∴()2sin 3f x x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭．由题意得121sin sin 02323f ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又2πϕ<，∴3πϕ=，∴()2sin 33f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令0x =得()30sin 32f π==， ∴点B 的坐标为30,2⎛ ⎝⎭，∴tan 3BCO ∠=3BCO π∠=，∴23ACD π∠=．又点1,02C ⎛⎫-⎪⎝⎭是BD 的中点，∴点D 的坐标为31,⎛- ⎝⎭，∴AD ==．设ACD ∆的外接圆的半径为R，则222sin sin 3AD R ACD π∠===，∴R =．故选B ． 12．关于函数()cos sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 的最大值为2； ③()f x 在[],ππ-有3个零点；④()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增. 其中所有正确结论的编号是（） A ．①② B ．①③C ．②④D ．①④【答案】D【解析】对于命题①，函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，且()()cos sin f x x x -=-+-()cos sin cos sin x x x x f x =+-=+=，该函数的为偶函数，命题①正确；对于命题②，当函数()y f x =取最大值时，cos 0x ≥，则()2222k x k k Z ππππ-≤≤+∈.当()222k x k k Z πππ-≤≤∈时，()cos sin 4x x x f x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，此时，()22444k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，当()24x k k Z ππ+=∈，函数()y f x =.当()222k x k k Z πππ<≤+∈时，()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，此时，()32244k x k k Z ππππ+<≤+∈，当()242x k k Z πππ+=+∈，函数()y f x =. 所以，函数()y f x =，命题②错误；对于命题③，当0x π-≤≤时，令()cos sin 0f x x x =-=，则tan 1x =，此时34x π=-；当0x π<≤时，令()cos sin 0f x x x =+=，则tan 1x =-，此时34x π=.所以，函数()y f x =在区间[],ππ-上有且只有两个零点，命题③错误；对于命题④，当04x π<<时，()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则442x πππ<+<.所以，函数()y f x =在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，命题④错误.因此，正确的命题序号为①④.故选D.13．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的一条对称轴为3x π=，一个对称中心为5,06π⎛⎫⎪⎝⎭，且在3,25ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值（） A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】由于函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>的一条对称轴为3x π=，一个对称中心为5,06π⎛⎫⎪⎝⎭，所以12πππ325ππ6k k ωϕωϕ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减并化简得()2121k k ω=--为奇数，排除B,D 选项.由于()f x 在3,25ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，所以π3πππ25210T ω=≥-=，所以10ω≤.当9ω=时，由1πππ32k ωϕ+=+得()115ππ2k k Z ϕ=-∈，由于π2ϕ<，故9ω=时不合题意. 当7ω=时，由1πππ32k ωϕ+=+得()1111ππ6k k Z ϕ=-∈，由于π2ϕ<，所以取12k =，π6ϕ=，此时()π2sin 76f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由272262k x k πππππ-≤+≤+，解得222721721k k x ππππ-≤≤+，令2k =得1013,2121x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为()f x 的递增区间，满足31013,,252121ππππ⎛⎫⎡⎤⊆ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.所以ω的最大值为7.故选：C. 14．已知长方形的四个顶点是()0,0A ，()2,0B ，()2,1C ，()0,1D ，一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的1P 后，依次反射到CD ，DA 和AB 上的2P ，3P ，和4P （入射角等于反射角）.设4P 的坐标是(),0x ，若12x <<，则tan θ的取值范围是（）A ．13,55⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,52⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．21,52⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,25⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】设1PB a =，10PP B θ∠=，则11CP a =-，123243PP C P P D AP P θ∠=∠=∠= 所以10tan PB a P B θ==，又1221tan CP a a CP CP θ-===，所以2111a CP a a-==-；而32tan P D P D θ=312(1)P D a =--a = 所以31(3)31P D a a a=-=-；又34tan AP AP θ=41(31)a AP --=a = 所以423AP a =-，根据题设412AP <<，即2132a <-< 所以2512a <<，即21tan 52θ<<，故选：C15．在ΔABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =c ，且满足sin 1cos sin cos B BA A-=.若点O 是ΔABC 外一点，∠AOB =θ(0θπ＜＜)，OA =2，OB =4，则平面四边形OACB 面积的最大值（） A．2+B．4+C．6+D．8+【答案】D 【解析】因为sin 1cos sin cos B BA A-=，可得()sin sin cos cos sin sin sin A B A B A A B C =+=+=，所以a c =又b c =，所以ΔABC 为等边三角形．在OAB 中，22224224cos 2016cos AB θθ=+-⨯⨯⨯=- ，)213sin 602016cos 24ABCSAB θθ==-=．124sin4sin 2OABSθθ=⨯⨯=，所以4sin 8sin 3OACB ABCOABS SSπθθθ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，因为0θπ<<，所以当56πθ=时，平面四边形OACB面积的最大，最大值为8+．故选：D ．16．已知ABC 的三边a ，b ，c 满足：333a b c +=，则此三角形是（） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】A【解析】333a b c +=可知，∠C 为三角形ABC 中的最大角，且331a b c c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以01a c ＜＜，01b c ＜＜亦即32a a c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜，32b bc c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜将两式相加得：22331a b a b c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+＞所以∠C 为锐角，三角形ABC 为锐角三角形，故选：A17．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S，若222c a b S --=b a 的取值范围为（） A ．（0，+∞） B ．（1，+∞）C．(0D．)+∞【答案】A【解析】由2223c a b S --=,得2221sin 32a b c ab C +-=- ,所以2222a b c C ab +-=,所以cos 3C C =-,所以tan C =又0C π<<,所以23C π=, 所以sin()sin cos cos sin )sin 333sin sin sin A A A b B a A A A πππ--===1sin 122sin 2tan 2A AA A -==-, 因为03A π<<,所以0tan A <<所以13tan A >,所以33102b a >⨯-=,所以b a 的取值范围为(0,)+∞.故选:A18．已知腰长为2的等腰直角ΔABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅的最小值为（）A ．24162-B ．24162+C ．48322-D ．48322+【答案】C【解析】以,CA CB 为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,1)C A B M ，设(,)P x y ，则(2,),(,2)PA x y PB x y =--=--，(,),(1,1)PC x y PM x y =--=--，(2)(2)PA PB x x y y ⋅=----2222x x y y =-+-，PC PM ⋅=22(1)(1)x x y y x x y y ----=-+-，∵2PC =，∴224x y +=，设2cos ,2sin x y θθ==，则2cos 2sin 22)4x y πθθθ+=+=+，∴2222x y -+≤()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅2(4224)(4)2(4)x y x y x y =--+--=+-，∴22x y +=()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅取得最小值22(224)482=-故选：C 。

高三理科数学培优专题——三角函数(含答案)

三角函数专题一、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）注意隐含条件的应用：1＝cos 2x ＋sin 2x 。

（2）角的配凑。

α＝（α＋β）－β，β＝2βα+－2βα-等。

（3）升幂与降幂：主要用2倍角的余弦公式。

（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。

（5）引入辅助角。

asinθ＋bcosθ＝22b a +sin (θ＋ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ＝ab确定。

2.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

二、例题集锦：考点一：三角函数的概念1.（2011年东城区示范校考试15）设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是单位圆上的两点，O 是坐标原点，6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ ．（1）若34(,)55Q ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos πα的值；（2）设函数()f OP OQ α=⋅u u u r u u u r ，求()αf 的值域．考点二：三角函数的图象和性质2.（2014年课标I ，7）在函数①cos 2y x =，②cos y x =，③cos(2)6y x π=+，④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（）A.①②③B. ②③④C. ②④D. ①③3.（2012年课标全国，9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（）A.15[,]24B.13[,]24C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.()0,24.（2011年课标全国，11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（）A. ()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减B. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C. ()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增5．将函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后，所得函数()g x 的图象关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为 A ．12- B ．12C．6.（2011年东城区期末15）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2x π∈上的最大值和最小值．考点三、四、五：同角三角函数的关系、诱导公式、三角恒等变换7.已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-（0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π．（Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值.8.已知向量(cos ,sin ),a x x =r 向量(cos ,sin ),()b x x f x a b =-=⋅r r r（1）求函数()()sin 2g x f x x =+的最小正周期和对称轴方程；（2）若x 是第一象限角且'3()2()f x f x =-，求tan()4x π+的值.考点六：解三角形9．ABC ∆中，角,,A B C成等差数列是sin sin )cos C A A B =+成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10．已知函数()cos f x x =,,,a b c 分别为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边，且22233a b c +-4ab =，则下列不等式一定成立的是A ．()()sin cos f A fB ≤ B ．()()sin cos f A f B ≥C ．()()sin sin f A f B ≥D ．()()cos cos f A f B ≤ 11.（2014年课标I ，16）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .12.（2014年河南焦作联考）在ABC ∆中，已知sin sin cos sin sin cos sin sin cos A B C A C B B C A =+，若,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，则2abc 的最大值为 . 13.（2015河北秦皇岛一模，17，12分）在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，满足()222.AB AC a b c ⋅=-+u u u r u u u r（1）求角A 的大小；（2）求24sin()23C B π--的最大值，并求取得最大值时角,B C 的大小.14．（2009全国II ， 17，10分）设ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为,,a b c ，3cos()cos 2A CB +=-，2b ac =.求B ∠的大小.14.（2015课标II ，17，12分）△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆的面积是ADC ∆面积的2倍. （1）求sin sin BC∠∠；（2）若1,2AD DC ==，求BD 和AC 的长.15、（2011东城一模15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b Ba A-=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值．例题集锦答案：1.（2011年东城区示范校考试理15）如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是单位圆上的两点，O 是坐标原点，6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ ．（1）若34(,)55Q ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos πα的值；（2）设函数()f OP OQ α=⋅u u u r u u u r ，求()αf 的值域．★★单位圆中的三角函数定义解：（Ⅰ）由已知可得54sin ,53cos ==αα……………2分6sin sin 6cos cos 6cos παπαπα+=⎪⎭⎫⎝⎛-∴………3分1043321542353+=⨯+⨯=…………4分（Ⅱ）()f OP OQ α=⋅u u u r u u u r ()cos ,sin cos ,sin 66ππαα⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭………6分ααsin 21cos 23+=………………7分 sin 3πα⎛⎫=+⎪⎝⎭………………8分[0,)απ∈Q 4[,)333πππα∴+∈………9分 sin 123πα⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭ (12)分()αf ∴的值域是⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ (13)分2．（2011年西城期末理15）已知函数2()22sin f x x x =-.（Ⅰ）若点(1,P在角α的终边上，求()f α的值；（Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域.★★三角函数一般定义解：（Ⅰ）因为点(1,P 在角α的终边上，所以sin α=，1cos 2α=， ………………2分所以22()22sin cos 2sin f αααααα=-=-………………4分21(2(32=⨯-⨯=-. ………………5分（Ⅱ）2()22sin f x x x =-cos 21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-， ………………8分因为[,]63x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分所以1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分所以()f x 的值域是[2,1]-. ………………13分 3.（2011年东城区期末理15）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2x π∈上的最大值和最小值．解：（Ⅰ）由图可得1A =，22362T πππ=-=，所以T =π． ……2分所以2ω=．当6x π=时，()1f x =，可得 sin(2)16ϕπ⋅+=，因为||2ϕπ<，所以6ϕπ=． ……5分所以()f x 的解析式为()sin(2)6f x x π=+． ………6分（Ⅱ）()()cos 2sin(2)cos 26g x f x x x x π=-=+-sin 2cos cos 2sin cos 266xx x ππ=+- 12cos 22x x =- sin(2)6x π=-． ……10分因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤．当262x ππ-=，即3x π=时，()g x 有最大值，最大值为1；当266x ππ-=-，即0x =时，()g x 有最小值，最小值为12-．……13分2T =相邻平衡点（最值点）横坐标的差等；2||T =πω ；()max min 12y y A =- ;φ----代点法 4．（2010年海淀期中文16）已知函数x x x f 2cos )62sin()(+-=π.（1）若1)(=θf ，求θθcos sin ⋅的值；（2）求函数)(x f 的单调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心解：（1）22cos 16sin2cos 6cos2sin )(xx x x f ++-=ππ...3分（只写对一个公式给2分） 212sin 23+=x ....5分由1)(=θf ，可得332sin =θ ......7分所以θθθ2sin 21cos sin =⋅ ......8分 63= .......9分（2）当Z k k x k ∈+≤≤+-,22222ππππ，换元法 ..11即Z k k k x ∈++-∈],4,4[ππππ时，)(x f 单调递增.所以，函数)(x f 的单调增区间是Z k k k ∈++-],4,4[ππππ... 13分5.（2011年丰台区期末理15）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=- （0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π．（Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值．解：（Ⅰ）()sin 2cos 212sin(2)14f x x x x π=--=--ωωω． ω意义 ……4分因为 22T π=，所以 T =π，1ω=． ……6分所以 ()2sin(2)14f x x π=--．所以 ()04f π= ………7分（Ⅱ）()2sin(2)14f x x π=--当 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 32444x πππ-≤-≤，无范围讨论扣分所以当242x ππ-=，即8x 3π=时，max ()21f x =-， …10分当244x ππ-=-，即0x =时，min ()2f x =-． ………13分6、（2011朝阳二模理15）已知函数2()2sin sin()2sin 12f x x x x π=⋅+-+ ()x ∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若02()23x f =，0ππ(, )44x ∈-，求0cos 2x 的值. 解: 2()2sin cos 2sin 1=⋅-+f x x x x ……………………………………1分 sin 2cos2=+x x ……………………………………2分π2sin(2)4x =+. 和差角公式逆用 ………………3分（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==. ……………………………………5分令πππ2π22π242k x k -++≤≤()k ∈Z ， ……………………………………6分所以3ππ2π22π44k x k -+≤≤. 即3ππππ88k x k -+≤≤.所以，函数()f x 的单调递增区间为3ππ[π, π]88k k -+ ()k ∈Z . ……………8分（Ⅱ）解法一：由已知得0002()sin cos 23x f x x =+=， …………………9分两边平方，得021sin 29x += 同角关系式所以 07sin 29x =-…………11分因为0ππ(, )44x ∈-，所以0π2(, )22x π∈-. 所以20742cos 21()99x =--=. ……………………………………13分解法二：因为0ππ(, )44x ∈-，所以0ππ(0, )42x +∈. …………………………9分又因为000ππ2()2)2)2244x x f x =⋅+=+=，得 0π1sin()43x +=. ……………………………………10分所以20π122cos()1()43x +=-=……………………………………11分所以，00000πππcos 2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444x x x x x π=+=+=++ 122422339=⋅⋅=. 诱导公式的运用7、（2011东城二模理15）（本小题共13分）已知πsin()410A+=，ππ(,)42A∈．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求函数5()cos2sin sin2f x x A x=+的值域．解：（Ⅰ）因为ππ42A<<，且πsin()410A+=，πcos()410A+=-．ππππcos()cossin()sin4444A A+++31021025=-⋅+=．所以3cos5A=．………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得4sin5A=．212sin2sinx x=-+2132(sin)22x=--+，x∈R．因为sin[1,1]x∈-，所以，当1sin2x=时，()f x取最大值32；当sin1x=-时，()f x取最小值3-．所以函数()f x的值域为3[3,]2-．8．（2011年朝阳期末理15）已知△ABC中，2sin cos sin cos cos sinA B C B C B=+.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设向量(cos,cos2)A A=m，12(, 1)5=-n，求当⋅m n取最小值时，)4tan(π-A值.解：和差角公式逆用所以2sin cos sin()sin()sinA B B C A A=+=π-=. ……… 3分因为0A p<<，所以sin0A¹.所以1cos2B=. ……… 5分3Bπ=. …………7分（Ⅱ）因为12cos cos25A A⋅=-+m n，………………… 8分所以2212343cos2cos12(cos)5525A A A⋅=-+-=--m n. …10分所以当3cos5A=时，⋅m n取得最小值.同角关系或三角函数定义……12分所以tan11tan()4tan17AAAπ--==+. …………… 13分9．（2011年石景山期末理15）已知函数23cossinsin3)(2-+=xxxxf()Rx∈．（Ⅰ）求)4(πf的值；（Ⅱ）若)2,0(π∈x，求)(xf的最大值；（Ⅲ）在ABC∆中，若BA<，21)()(==BfAf，求ABBC的值．解：（Ⅰ）234cos4sin4sin3)4(2-+=ππππf21=． 4分（Ⅱ）2)2cos1(3)(xxf-=+232sin21-xxx2cos232sin21-=)32sin(π-=x．…6分2π<<xΘ，32323πππ<-<-∴x．∴当232xππ-=时，即125π=x时，)(xf的最大值为1．…8分（Ⅲ）Θ)32sin()(π-=xxf，若x是三角形的内角，则π<<x令21)(=xf，得解得4π=x或127π=x．……10分由已知，BA,是△ABC的内角，BA<且21)()(==BfAf，∴4π=A，127π=B，∴6π=--π=BAC．…11分又由正弦定理，得221226sin 4sinsin sin ==ππ==C A AB BC ． ……13分 10、（2011东城一模理15）（本小题共13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b Ba A-=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值．解：（Ⅰ）因为2cos cos c b Ba A-=，所以(2)cos cos c b A a B -⋅=⋅由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -⋅=⋅．边化角整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ⋅-⋅=⋅．所以2sin cos sin()sin C A A B C ⋅=+=．在△ABC所以1cos 2A =，3A π∠=．（Ⅱ）由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，a = 所以2220220b cbc bc +-=≥- 均值定理在三角中的应用所以20bc ≤，当且仅当b c=时取“=” ．取等条件别忘所以三角形的面积1sin 2S bc A =≤．所以三角形面积的最大值为 ……………………13分11、(2011丰台一模理15). 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=，当)(B f 取最大值23时，判断△ABC的形状．解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b2+c 2-a 2=bc 可得cos A =12．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ……3分 ∵，（或写成A 是三角形内角） ……………………4分 ∴3A π=．……………………5分（Ⅱ）2cos2cos 2sin 3)(2x x x x f +=11cos 222x x =++ …7分 1sin()62x π=++， ……9分∵3A π=∴2(0,)3B π∈（没讨论，扣1分）…10分 ∴当62B ππ+=，即3B π=时，()f B 有最大值是23． …11分又∵3A π=， ∴3C π= ∴△ABC 为等边三角形． ……13分12、(2011海淀一模理15). （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =. (Ⅰ)求tan A ； (Ⅱ)求ABC ∆的面积. 解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B C B C B C ++=-, …………………1分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . …………………3分因为180A B C =--o , …………………4分角关系 ………5分（II ）因为0180A <<o o ，由（I ）结论可得：135A =o . …………………7分因为11tan tan 023BC =>=>，所以090C B <<<o o . …………8分所以sin B =sin C =. …………9分由sin sin a cA C=得a = …………………11分所以ABC ∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分 13、（2011石景山一模理15）．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且274sin cos222A B C +-=．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．解：（Ⅰ）∵ A 、B 、C 为三角形的内角， ∴ π=++C B A ．∵ 三角形中角的大小关系∴ …………2分 ∴ 27)1cos 2(2cos 142=--+⋅C C ．即 021cos 2cos 22=+-C C ． ……4分∴ 21cos =C ．又∵ π<<C 0 ， ∴ 3π=C ． …7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得 32π=+B A ．∴ A A A sin 32cos cos 32sinsin ⋅-⋅+=ππ)6sin(3cos 23sin 23π+=+=A A A ．…10分 ∵ 320π<<A ，∴ 6566πππ<+<A ．∴ 当26ππ=+A ，即 3π=A 时，B A sin sin +取得最大值为3．…………13分。

(完整版)高考大题-三角函数题型汇总精华(含答案解释)

【模拟演练】1、[2014·江西卷16] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值； (2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值．2、[2014·北京卷16] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图像如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．3、[2014·福建卷18] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．4、( 06湖南）如图,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.（1）证明 sin cos 20αβ+=; （2）若求β的值.BDCαβ A图5、（07福建）在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △最大边的边长为17，求最小边的边长．6、（07浙江）已知ABC △的周长为21+，且sin sin 2sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．7、（07山东）如图,甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时, 乙船位于甲船的北偏西105︒的方向1B 处,此时两船相距20 海里.当甲船航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120︒方向的2B 处,此时两船相距102海里, 问乙船每小时航行多少海里?8、（2013年全国新课标2）在ABC ∆中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角，已知B cC b a sin cos +=（1）求B ；（2）若b=2, 求ABC S ∆的最大值。

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三角函数题型学霸总结（含答案）阳光老师：祝你学业有成一、选择题（本大题共30小题，共150.0分）1.点在函数的图象上，则m等于A. 0B. 1C.D. 2【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了正弦函数的性质，属于基础题由题意知，求得m 的值．【解答】解：由题意知，所以，所以．2.用五点法画，的图象时，下列哪个点不是关键点A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查三角函数图象的作法，属于基础题．熟练掌握五点法作图即可．【解答】解：用“五点法”画，的简图时，横坐标分别为，纵坐标分别为0，1，0，，0，故选A．3.函数y x，x的大致图象是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查三角函数的图像，属于基础题利用“五点法”画出函数图像即可得出答案．【解答】解：“五点法”作图：x0010010121故选B．4.用“五点法”作出函数的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查三角函数图象的画法以及余弦函数的性质，属于基础题．分别令，，，，得，3，4，3，2，即可得到五点，再对照选项，即可得到答案．【解答】解：，分别令，，，，得，3，4，3，2，所以五个关键点为，，，，，可知A不属于．故选A．5.已知函数的图象与直线恰有四个公共点，，，，其中，则A. B. 0 C. 1 D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了三角函数图象的作法及利用导数求函数图象的切线方程，属于较难题．由三角函数图象及利用导数求函数图象的切线方程可得：切点坐标为，切线方程为：，又切线过点，则，即，得解．【解答】解：由得其图象如图所示，当，，，由图知切点坐标为，切线方程为：，又切线过点，则，即，故选A．6.函数的部分图象可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的图象的判断，函数奇偶性的运用，属于基础题．先判断出此函数是奇函数，再根据时，函数值为正即可找出可能的图象．【解答】解：函数是奇函数，故其图象关于原点对称，故排除B；又当时，函数值为正，仅有A满足，故它的图象可能是A中的图．故选A．7.函数恰有两个零点，则m的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角函数的图象及函数零点．考查数形结合以及计算能力，属于中档题．将零点个数问题转化为交点问题，即与的交点个数，作出图象，数形结合可得答案．【解答】解：，的零点个数，就是与的交点个数，作出的图象，如图，由图象可知当或时，函数与有两个交点，故当函数恰有两个零点时，m的取值范围为．故选C．8.下列关于函数的表述正确的是A. 函数的最小正周期是B. 当时，函数取得最大值2C. 函数是奇函数D. 函数的值域为【答案】D【解析】【分析】本题主要考查正弦型函数的图象性质，函数的奇偶性、周期性及值域等，属于基础题．利用正弦型函数的性质，可得奇偶性、周期性及函数的值域，逐项分析，可得正确答案．【解答】解：函数的最小正周期是，故A错误；B.当时，函数，故B错误；C.函数是非奇非偶函数，故C错误；D.因为，故函数的值域为，故D正确．故选D．9.下列函数中，周期为，且在上为减函数的是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查正余弦函数，以及三角函数单调性和单调区间和周期性，属于基础题，可直接利用相关定义和正余弦函数单调性以及单调区间进行作答．【解答】解：考虑函数周期为，于是对形如的三角函数，必有，因此排除选C、D，又时，有，又因为正弦函数在区间上单调递减，于是选项A符合题意，余弦函数在区间上单调递增，故选项B错误．故本题选项为A．10.若函数与函数在区间上的单调性相同，则的一个值是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数的单调性与单调区间、正弦、余弦函数的图象与性质的相关知识，试题难度较易【解答】解：在区间上是单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故排除A．在单调递增，在上单调递减，故排除B．在单调递增，在上单调递减，故排除C．在区间上也是单调递减，故选D．11.已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数的图象A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的性质及函数图象变换，同时考查诱导公式，利用函数的周期性、函象变换规律、诱导公式，求得的解析式，再利用函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：因为函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以最小正周期为，所以，则把其图象向左平移个单位后得到函数的图象，因为得到的图象关于y轴对称，所以，，又，所以，所以，当时，函数，所以的图象关于点对称．故选A．12.下列函数既是奇函数又在上是增函数的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了诱导公式，正弦、余弦函数的图象与性质，函数的定义域与值域，对数函数及其性质，复合函数的单调性，函数的奇偶性和指数函数及其性质．利用诱导公式和正弦的奇偶性对A进行判断，再利用函数的定义域对B进行判断，再利用对数函数的单调性，结合复合函数的单调性对C进行判断，最后利用指数函数的单调性和复合函数的单调性，结合函数的奇偶性对D进行判断，从而得结论．【解答】解：对于A，因为是上的减函数，所以A不符合题目条件对于B，因为函数在没有定义，所以B不符合题目条件对于C，因为是其定义域内的减函数，所以C不符合题目条件对于D，因为函数是奇函数，且在上是增函数，所以D符合题目条件．故选D．13.已知函数的零点依次构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数的图象，则函数A. 在上是增函数B. 其图象关于直线对称C. 函数是偶函数D. 在区间上的值域为【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角函数图象的变换、三角函数图象的性质及三角函数的值域，属于中档题．由题意，先得到，根据三角函数图象的变换得到，再逐个分析选项即可得解．【解答】解：，因为函数的零点构成一个公差为的等差数列，所以函数的最小正周期，则，即，把函数的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数的图象，则，易得：是在上为减函数，其图象关于直线对称，且函数为奇函数，故选项A，B，C错误，当时，，函数的值域为，故选项D正确，故选：D．14.已知，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列的后三项的最大值的求法，涉及圆的参数方程，三角函数的辅助角公式和三角函数的性质，等差数列的性质等，是中档题．根据题意，设插入的三个数为a、b、c，即构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，由等差数列的性质可得b、c的值，分析可得这个等差数列后三项和为，进而根据，设，，解答表示为角的三角函数形式的表达式，利用辅助角公式化简，利用三角函数性质能求出最大值．【解答】解：根据题意，设插入的三个数为a、b、c，即构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，则有，则，，则这个等差数列后三项和为，又由，设，，则，即这个等差数列后三项和的最大值为；故选：C．15.已知，的最大值为a，最小值为b，的最大值为c，最小值为d，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，，，即，，，，又，．故选：A．本题考查了三角函数的性质的运用和复合函数的值域计算．属于中档题．16.已知直线与函数，其中的相邻两交点间的距离为，则函数的单调递增区间为A. B.C. D.【答案】B【解析】解：与函数，其中的相邻两交点间的距离为，函数的周期，即，得，则，由，，得，，即函数的单调递增区间为，，故选：B．根据最值点之间的关系求出周期和，结合三角函数的单调性进行求解即可．本题主要考查三角函数单调性的应用，根据最值性求出函数的周期和，以及利用三角函数的单调性是解决本题的关键．难度不大．17.已知函数，下列结论中正确的是A. 函数的最小正周期为B. 函数的图象关于直线对称C. 函数的图象关于点对称D. 函数在内是增函数．【答案】D【解析】解：A错，最小正周期为，当时，，B错，当时，，单调递增，D成立，故选：D．利用正弦函数的性质判断即可．考查正弦函数的图象和性质的应用，基础题．18.函数的最小正周期是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：对于，，函数是函数轴上方的图象不动将x轴下方的图象向上对折得到的，如图示，故，故选：C．先求出的周期，再由函数是函数轴上方的图象不动将x 轴下方的图象向上对折得到，故其周期是原来的一半，得到答案．本题主要考查三角函数的最小正周期的求法和加绝对值后周期的变化．对于三角函数不仅要会画简单三角函数的图象还要会画加上绝对值后的图象．19.关于函数，给出下列命题：函数在上是增函数；函数的图象关于点对称；为得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度．其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．由时，可得，由的单调性即可判断；由可得，，即可判断；根据函数的图象平行移动规则即可判断．【解答】解：对于，时，，在上不是增函数，故错；对于，由可得，，可得函数的图象关于点对称，故正确；对于，函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度可得，故正确；故选：C．20.已知函数是上的增函数，且满足，则的值组成的集合为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了正弦函数的性质，解决本题的关键是根据题意得到的值，属于较难题．首先根据函数在上是单调的得到，再结合，函数在上是增函数，从而得到的值，进而求得的值．【解答】解：函数是上的增函数，，，又，或当时，，2，10；当时，，6，．又函数在上是增函数，或，则当时，，当时，，的值组成的集合为故选A．21.函数的定义域为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角函数的定义域，根据题意列出不等式，利用正弦函数的图象与性质解之即可．【解答】解：，，，．故选C．22.函数的值域为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，当时，函数取最大值，当时，函数取最小值，．故选：A．由，可得，利用正弦函数的单调性即可得出．本题考查了正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．23.函数的值域为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数的图象与性质、辅助角公式，属于中档题由题意，令，去绝对值，再利用辅助角化简，结合正弦函数的性质求解即可．【解答】解：由题意，令，则，因为，所以，所以，即，所以，所以函数的值域为．故选A．24.函数在下面哪个区间内是增函数A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的单调性，属于基础题．求导，利用导函数大于零，解三角不等式，进而求得结果．【解答】解：令，则，可得，结合选项可知B正确，故选B．25.函数的值域是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查求余弦函数在给定区间上的值域，属于基础题．【解答】解：因为在递增，递减，且，所以的值域是．故选D．26.下列函数中，最小正周期为的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【试题解析】解：由于函数不是周期函数，故排除A；由于函数的周期为，故B不正确；由于函数的周期为，故排除C；由于函数的周期为，故D正确，故选：D．由题意利用三角函数的周期性，得出结论．本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．27.下列函数中，最小正周期是且图象关于直线对称的是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了三角函数的周期与对称性，直接由三角函数的性质求出最小正周期与对称轴即可得到答案．【解答】解：由题意知，当时，y可取得最值，即或．对于A，将代入，可得，故排除A；对于B，将代入，可得，故B正确；对于C，的周期为，故排除C；对于D，将代入，可得，故排除D．故选B．28.函数的图象与直线交点的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正弦函数的图象，属于基础题利用“五点作图法”作出函数的图象，确定出与直线只有1个交点．【解答】解：由函数的图象如图所示，可知其与直线只有1个交点．故选B．29.函数的定义域为A. B.C. D. R【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是求函数的定义域和余弦函数的图象与性质，属于基础题．要使函数有意义需满足，再结合余弦函数的性质求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则，得，所以，．故选C．30.下列不等式正确的是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查诱导公式，正余弦函数的图像和性质根据诱导公式化简，再由正余弦函数的性质比较大小．【解答】解：在单调递增，，，故此A选项错误；，，所以B正确；对于C，由结合正切函数的单调性，可得，得C正确对于D，，，，此时余弦函数为减函数，，即，故D错误．故选BC．二、不定项选择题（本大题共7小题，共28.0分）31.关于函数，下列选项正确的是A. 是偶函数B. 在区间单调递增C. 在有4个零点D. 的最大值为2【答案】AD【解析】【分析】本题考查三角函数的性质，根据条件结合三角函数的图象和性质逐项判断即可，属于基函数的性质；在当时，，利用零点定义借助奇偶性即可得到答案；利用最值定义即可判断．【解答】解：，故是偶函数，A对；时，，故在区间单调递减，B错；当时，，令得到或，又在是偶函数，故在有3个零点，分别为，C错；，故，又，故的最大值为2，D对．故选AD．32.函数在一个周期内的图象如图所示，则A. 该函数的解析式为B. 该函数的对称中心为C. 该函数的单调递增区间是D. 把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到该函数图象【答案】ACD【解析】【分析】本题考查三角函数的图象与性质，考查正弦函数的图象与性质，属于中档题目．根据函数图象得出函数解析式，再借助正弦函数的图象与性质得出答案即可．【解答】解：由图可知，函数的周期为，故即，代入最高点有．因为故故A正确．对B，的对称中心：故该函数的对称中心为故B错误．对C，单调递增区间为，解得故C正确．对D，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到故D正确．故选ACD．33.下面选项正确的有A. 存在实数x，使B. 若，是锐角的内角，则C. 函数是偶函数D. 函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象【答案】ABC【解析】【分析】本题考查辅助角公式，正弦函数的性质，诱导公式的运用，考查余弦函数的性质，函数的图象与性质，属于中档题．将各个选项进行逐一分析求解即可．【解答】解：A选项：，则，又，存在x，使得，可知A正确；B 选项：为锐角三角形，，即，，又且在上单调递增，，可知B正确；C选项：，则，则为偶函数，可知C正确；D 选项：向右平移个单位得：，可知D错误．故选A B C．34.以下关于正弦定理或其变形正确的有A. 在中，若，则B. 在中，C. 在中，若，则，若，则都成立D. 在中，【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查正弦定理及其变形，还考查了理解辨析的能力，属于中档题．A.根据内角的范围，由，得或，再边角转化判断B.在中，根据正弦定理得：，再结合正弦函数的值域判断C.根据判断D.根据正弦定理，由判断．【解答】解：在中，若，则或，所以或，故A错误．B.在中，由正弦定理得：，因为所以，故B正确．C.在中，由正弦定理得，所以是充要条件，故C正确．D.在中，由正弦定理得，所以，故D正确．故选：BCD．35.已知函数，下列结论中正确的是A. 函数的周期为的偶函数B. 函数在区间上是单调减函数C. 若函数的定义域为，则值域为D. 函数的图象与的图象重合【答案】BD【解析】【分析】本题主要考查了余弦函数的图像与性质，函数的奇偶性以及三角函数的定义域及值域，属于中档题．根据三角函数的性质对各选项进行分析，判断正误即可．【解答】解：对于A，由题意可得：，因为，，所以，故A不正确，对于B，当时函数单调减函数，解得，故B正确．对于C，由B可知，是单调增区间，是单调减区间，最大为，下边界为，或者，因为，值域为，故C不正确，对于D，，两图像重合，故D正确，故选BD．36.如图，已知函数其中，，的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，，，，则下列说法正确的有．A. 的最小正周期为12B.C. 的最大值为D. 在区间上单调递增【答案】ACD【解析】【分析】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的图象和性质，涉及向量的坐标运算，属于中档题．由函数的图象以及，，，，求出A，BC，D坐标，代入解析式，求出，，A的值，再利用正弦函数的定义域和值域，正弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：由题意可得：，，，，，，．，，，，把代入上式可得：，．解得，，可得周期，故A正确．，，解得，故B错误．，，解得．函数，故C正确．时，，，可得：函数在单调递增．综上可得：ACD正确．故选ACD．37.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列判断正确的是A. 曲线关于直线对称B. 曲线关于点对称C. 函数在上单调递增D. 函数在上单调递减【答案】ABC【解析】【分析】本题考查三角函数的图象的变换，函数的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于中档题．利用三角函数的图象变换，结合三角函数的简单性质，判断选项的正误即可．【解答】解：将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得函数的图象，令，得，故曲线关于直线对称，故A正确；令，得，故曲线关于点对称，故B正确；在上，，函数单调递增，故C正确；在上，，函数没有单调性，故D错误，故选：ABC．三、填空题（本大题共7小题，共35.0分）38.设函数，若函数在内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，正余弦函数图象的画法．画出函数的图象，问题转化为和在内恰有4个不同的交点，结合图象读出即可．【解答】解：画出函数在的图象，如图示：若函数在内恰有4个不同的零点，即和在内恰有4个不同的交点，结合图象，．故答案为．39.函数的定义域是__________．【答案】【解析】【试题解析】【分析】本题考查了函数的定义域，根据对数函数的性质可得，然后根据正弦函数的性质解不等式可得答案．【解答】解：由题意可得，函数满足，即．由正弦函数的图象知，在上的解集为，所以在R上的解集为，故函数的定义域为．40.设锐角三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则c的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及正弦函数的性质，属于中档题．根据已知及余弦定理化简可得，结合正弦定理与正弦函数的性质可得c的取值范围．【解答】解：由及余弦定理得，，，又为锐角三角形，，由正弦定理得，，由，得，，，的取值范围为，故答案为．41.若在上是减函数，则a的最大值是________．【答案】【解析】【分析】本题考查辅助角公式，正弦函数的单调性，属于基础题．利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的单调性求得a的最大值．【解答】解：，当，即时，单调递增，单调递减．函数在上是减函数，，，的最大值为．故答案为．42.四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为______．【答案】【解析】【试题解析】【分析】本题考查棱锥体积的求法，考查了线面垂直、面面垂直的判定及性质定理，考查了运算求解能力，逻辑思维能力，是较难题．由题意可知，平面平面ABCD，过作于，根据线面，面面垂直的判定及性质定理可证平面ABCD，表示出，设，结合勾股定理计算得，通过求解SO的取值范围，从而四棱锥的体积取值范围可求．【解答】解：如图：，，，平面SAB，，则平面平面ABCD，过S作于O，平面SAB，平面平面，则平面ABCD，因为平面ABCD，所以．故，在中，，设，则，，在中，，因此在中，，则有，又，所以，所以，则，四棱锥的体积取值范围为．故答案为．43.如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了正弦、余弦函数的图象与性质，属于一般题．由题意知，，解得，当时，．【解答】解：由题意知，，解得，当时，．44.在区间范围内，函数与函数的图象交点有______个．【答案】1【解析】【试题解析】解：因为“”，故与，在内的图象无交点，又它们都是奇函数，从而与，在内的图象也无交点，所以在区间范围内，函数与函数的图象交点的个数为1个，即坐标原点．故答案为：1通过，以及与的奇偶性，分，求解即可．本题是基础题，考查正切函数，正弦函数的图象及性质；可以在同一坐标系中，作出与，在内的图象，容易误认为3个交点．四、解答题（本大题共8小题，共96.0分）45.已知点，是函数图象上的任意两点，角的终边经过点，且当时，的最小值为．求函数的解析式求函数的单调递增区间当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：角的终边经过点，．，．由时，的最小值为，得，即，，令，，得，函数的单调递增区间为，当时，，，恒成立，等价于恒成立，又，实数m的取值范围是【解析】利用三角函数的定义求出的值，由时，的最小值为，可得函数的周期，从而求出，进而可求得函数的解析式，属于中档题．利用正弦函数的单调区间，可求函数的单调区间．当时，不等式恒成立，等价于，由此可求实数m的取值范围．46.设函数，．已知，函数是偶函数，求的值；求函数的值域．【答案】解：由，得，为偶函数，，，或，，，，，函数的值域为：．【解析】本题考查了三角函数的奇偶性和三角函数的图象与性质，关键是熟练掌握三角恒等变换，属中档题．函数是偶函数，则，根据的范围可得结果；化简函数得，然后根据x的范围求值域即可．47.已知函数，．Ⅰ求函数的最小正周期与单调增区间；Ⅱ求函数在上的最大值与最小值．【答案】解：由题意得，，Ⅰ的最小正周期为：，令得，，所以函数的单调增区间是；Ⅱ因为，所以，所以，即，所以，当且仅当时，取最小值，当且仅当时，即时最大值．【解析】根据题意、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式运算化简，Ⅰ由三角函数的周期公式求出周期，再由正弦函数的单调递增区间求出此函数的增区间；Ⅱ由x的范围求出求出的范围，再由正弦函数的性质求出次函数的最大值、最小值．本题考查正弦函数的单调性、最值，以及三角恒等变换的公式的应用，考查了整体思想的应用．48.设．Ⅰ求的单调区间；Ⅱ在锐角中，角的对边分别为，若，，求面积的最大值．【答案】解：Ⅰ由题意知：．由，，可得，；由，，可得，．所以的单调递增区间是；单调递减区间是．Ⅱ由，得，由题意知角A为锐角，所以．由余弦定理，可得，即，当且仅当时等号成立．因此，所以面积的最大值为．【解析】本题主要考查了三角恒等变形，三角函数的图象与性质，余弦定理，三角形面积公式以及基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．Ⅰ利用二倍角公式和诱导公式化简，再利用三角函数的单调性即可求出单调区间；Ⅱ先求出角A，再利用余弦定理和基本不等式求出bc的最大值，即可求出面积的最大值．49.设函数．求的最小正周期和对称中心；当时，求函数的最值．【答案】解：，的最小正周期是，令，，解得，，可得对称中心为，．当时，，可得，可得函数，即函数的最小值为，最大值为．【解析】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式，利用三角函数。