三角函数典型例题剖析与规律总结00

学科: 数学任课教师：黄老师授课时间：2013年3月日(星期) 1 :00-1 :00姓名年级：教学课题三角函数典型例题剖析与规律总结阶段基础（√）提高（）强化（）课时计划共次课第次课课前检查作业完成情况：__________________ 建议_________________________________________________________教学过程一：函数的定义域问题1.求函数1sin2+=xy的定义域。

分析：要求1sin2+=y的定义域，只需求满足01sin2≥+x的x集合，即只需求出满足21sin-≥x的x 值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上πk2()Zk∈即可。

解：由题意知需01sin2≥+x，也即需21sin-≥x①在一周期⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,2ππ上符合①的角为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-672,62ππππkk()Zk∈小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。

（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。

（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。

（4）若函数是形如()()1,0log≠>=aaxfya的函数，则其定义域由()x f确定。

（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。

二．函数值域及最大值，最小值（1）求函数的值域例。

求下列函数的值域（1）xy2sin23-=（2）2sin2cos2-+=xy x分析：利用1cos≤x与1sin≤x进行求解。

解：（1） 12sin1≤≤-x∴[]5,151∈∴≤≤yy（2）()[].0,4,1sin11sin1sin2sin2sin2222cos-∈∴≤≤---=-+-=-+=yxxxxxxy 评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。

（2）函数的最大值与最小值。

例。

求下列函数的最大值与最小值 （1）x y sin 211-= （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6662sin 2πππx x y （3）4sin 5cos 22-+=x x y （4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-=32,31cos 4cos 32ππx x x y 分析：（1）（2）可利用sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3）（4）可利用二次函数c bx ax x f ++=2)(在闭区间[]n m ,上求最值得方法。

解：(1)221sin ;261sin 1sin 11sin 10sin 211min max ===-=∴≤≤-∴⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥-y x y x x x x 时当时，当 (2).11)32cos(5132cos ,1)32cos(1min max =-=+==⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴≤+≤-y x y x x 时，；当时，当πππ(3)[]222592cos 5sin 42sin 5sin 22sin ,sin 1,1,48y x x x x x x ⎛⎫=+-=-+-=--+∈- ⎪⎝⎭∴当sin 1x =-，即2(2x k k Z ππ=-+∈）时，y 有最小值9-；当sin 1x =，即2(2x k k Z ππ=+∈），y 有最大值1。

(4)413,21cos 415y 32,21cos ,21,21cos ,32,3,31)32(cos 31cos 4cos 3min max 22-=====-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈--=+-=y x x x x x x x x x y 时，即当时，、即从而ππππ 小结：求值域或最大值，最小值的问题，一般的依据是：（1）sinx,cosx 的有界性；（2）tanx 的值可取一切实数；（3）连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。

根据上面的原则，常常把给出的函数变成以下几种形式； （1）()sin x ωα+一次形式（2）sin ()x f y =或cos ()x f y =的形式，通过()1f y ≤来确定或其他变形来确定。

三：函数的周期性例 求下列函数的周期()x x f 2cos )(1=())62sin(2)(2π-=x x f 分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量的替换，将它们归结为基本三角函数去处理。

（1） 把x 2看成是一个新的变量u ，那么u cos 的最小正周期是π2，就是说，当π2+u u 增加到且必须增加π2+u 时，函数u cos 的值重复出现，而),(2222πππ+=+=+x x u 所以当自变量x 增加到π+x 且必加到π+x 时，函数值重复出现，因此，x y 2sin =的周期是π。

（2） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-62sin 2)262sin(2πππx x 即())62sin(2)()62sin(26421sin 2ππππ-=∴-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x x f x x 的是π4。

小结：由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量x 的系数有关。

一般地，函数)sin(ϕω+=x A y 或)cos(ϕω+=x A y （其中ϕω,,A 为常数，),0,0R x A ∈>≠ω的周期ωπ2=T 。

四．函数的奇偶性 例 判断下列函数的奇偶性xxx x f x x x f sin 1cos sin 1)()2)(sin()()1(2+-+=+=π 分析：可利用函数奇偶性定义予以判断。

解：（1）函数的定义域R 关于原点对称。

是偶函数。

)()(sin )sin()()(,sin )sin()(x f x f x x x x x f x x x x x f ∴=-=--=--=+=ππ （2函数应满足∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈∴≠+.,2320sin 1Z k k x R x x x ππ，且函数的定义于为函数的定义域不关于原称。

∴ 函数既不是奇函数又不是偶函数。

评注：判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称的区间，如果是，再验证)(x f -是否等于(xf -)(x f ，进而判断函数的奇偶性，如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。

五：函数的单调性 例：下列函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2上是增函数的是（ ） x y A sin .= x y Bcos = x y C2sin = x y D2cos =分析：判断。

在各象限的单调性作出与可根据x x x x cos sin .22,2ππππ≤≤∴≤≤解：sin y x =与cos y x =在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上都是减函数，∴排除,A B ，2x ππ≤≤，22,x ππ∴≤≤知sin y x =[]2,2x ππ∈内不具有单调性，∴又可排除C ，∴应选D 。

小结：求形如)0,0)(cos()sin(>≠+=+=ωϕωϕωA x A y x A y 其中或的函数的单调区间，可以通过解不等式法去解答，列不等式的原则是：式的方向相同（反）。

的单调区间对应的不等与时，所列不等式的方向）视为一个整体；（把“)(cos ),(sin )0(02)"0()1(R x x y R x x y A A x ∈=∈=<>>+ωϕω练习：1. 函数xy sin 1=的定义域为（ ） {}[)(]{}0.1,00,1.,..≠-∈≠∈x x D C Z k k x R x B R A π2. 函数)6cos(π+=x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 的值域是( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,211,2323,2121,23.DCBA 3. 函数)0)(4sin(>+=ωπωx y 的周期为32π，则ω=------------. 4. 下列函数中是偶函数的是（ ）1sin sin sin 2sin .+==-==x y D x y C x y B x y A5. 下列函数中，奇函数的个数为（ ）（1）x x y sin 2=（2）[]π2,0,sin ∈=x x y （3）[]ππ,,sin -∈=x x y （4）x x y cos =432.1.D C B A6. 在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上，下列函数为增函数的是（ ） x y Dxy Cxy Bxy A cos sin cos 1sin 1.-=-=-==7. 函数x y 2sin =的单调减区间是（ ）[]()Z k k k D k k Ck k B k k A ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++4,423,243,4223,22ππππππππππππππππ8. 如果4π≤x ，则函数x x y sin cos 2+=的最小值是——————9. 函数)2434(tan πππ≠≤=x xx y 且的值域为（ ） [](][)(][)+∞-∞-+∞-∞--,11,,11,1,1DCBA答案：B B 3 C C D B 221- B。